TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc16739" 【題型1 直角三角形中直接解直角三角形】 PAGEREF _Tc16739 \h 1
\l "_Tc3250" 【題型2 構(gòu)造直角三角形解直角三角形】 PAGEREF _Tc3250 \h 4
\l "_Tc26191" 【題型3 網(wǎng)格中解直角三角形】 PAGEREF _Tc26191 \h 9
\l "_Tc20815" 【題型4 坐標(biāo)系中解直角三角形】 PAGEREF _Tc20815 \h 15
\l "_Tc26997" 【題型5 四邊形中解直角三角形】 PAGEREF _Tc26997 \h 22
\l "_Tc4991" 【題型6 利用解直角三角形求不規(guī)則圖形的面積】 PAGEREF _Tc4991 \h 26
\l "_Tc1054" 【題型7 解直角三角形的應(yīng)用之坡度坡比問題】 PAGEREF _Tc1054 \h 31
\l "_Tc21372" 【題型8 解直角三角形的應(yīng)用之俯角仰角問題】 PAGEREF _Tc21372 \h 37
\l "_Tc31076" 【題型9 解直角三角形的應(yīng)用之方向角問題】 PAGEREF _Tc31076 \h 41
\l "_Tc9367" 【題型10 解直角三角形的應(yīng)用之實物建模問題】 PAGEREF _Tc9367 \h 48
【知識點(diǎn) 解直角三角形】
【題型1 直角三角形中直接解直角三角形】
【例1】（2023秋·上海青浦·九年級?？计谥校┤绻鸄D是Rt△ABC的斜邊BC上的高，BC=a，∠B=β，那么AD等于（ ）
A．a(chǎn)sinβcsβB．a(chǎn)cs2βC．a(chǎn)sin2βD．a(chǎn)sinβtanβ
【答案】A
【分析】根據(jù)題意畫出圖形，再由銳角三角函數(shù)的定義及三角形的面積公式即可得出結(jié)論．
【詳解】解：如圖所示，
∵在Rt△ABC中，AD是斜邊BC上的高，BC=a，∠B=β，
∴AC=αcsβ，AB=αcsβ，
∵AD⊥BC，
∴BC?AD=AC?AB，，
∴AD=AC?ABBC=αsinβ?αcsβα=αsinβcsβ，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的關(guān)鍵．
【變式1-1】（2023秋·陜西西安·九年級?？计谥校┤鐖D，在Rt△ABC中，∠B=90°，E是BC邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作ED⊥AC，垂足為D，AB=4，DE=3，∠C=30°，求BE的長．

【答案】43?6
【分析】在Rt△CDE中，CE=DEsin30°=6，在Rt△ABC中，求出
BC=ABtan30°=43，即可得到BE的長．
【詳解】解：在Rt△CDE中，sinC=DECE，DE=3，∠C=30°，
∴CE=DEsin30°=6，
在Rt△ABC中，tanC=ABBC．AB=4，
∴BC=ABtan30°=43，
∴BE=BC?CE=43?6．
【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值并準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵．
【變式1-2】（2023·福建泉州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，∠B=90°，∠A=30°．D為線段AB上的動點(diǎn)．

(1)若D運(yùn)動到某個位置時，∠CDB=60°，CD=10米，求BC的長度．
(2)若點(diǎn)D運(yùn)動到某個位置時，∠CDB=45°，AD=6米．求BC的長度．（結(jié)果可保留根號）
【答案】(1)53米
(2)33+1米
【分析】（1）在△ABC中，在Rt△ABC中利用正弦函數(shù)即可
（2）設(shè)BC=x，則CB=BD=x，在Rt△ABC中利用三角函數(shù)即可；
【詳解】（1）解：在△ABC中，∠B=90°，sin∠CDB=BCCD，CD=10米，
則BC=sin∠CDB?CD
=sin60°?10=32×10=53
答：此時BC長為53米.
（2）解：設(shè)BC=x，在Rt△CBD中，∠CDB=45°
則△CBD是等腰直角三角形，CB=BD=x
在Rt△ABC中，∠B=90°，tanA=BCAB，
tan30°=xAB，
則AB=xtan30°=3x
AD=AB?BD=3x?x=6
x=33+1
答：BC的長度為33+1米．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)在解直角三角形中的應(yīng)用，明確三角函數(shù)的定義式及其變形是解題的關(guān)鍵．
【變式1-3】（2023秋·廣西梧州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，sinB=45，D為線段BC上一點(diǎn)，并且CD=2，求BD及cs∠DAC的值．

【答案】BD=4，cs∠DAC=41717
【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)關(guān)系得出AB的長，再利用勾股定理得出BC的長，即可得出BD的長，直接利用勾股定理得出AD的長，再根據(jù)銳角三角函數(shù)關(guān)系得出答案．
【詳解】解：在Rt△ABC中，sinB=ACAB=45，
∵AC=8，
∴AB=10，BC=AB2?AC2=6，
又∵BD=BC?CD，CD=2，
∴BD=6?2=4，
在Rt△ACD中，
∴AD=AC2+DC2=64+4=217，
∴cs∠DAC=ACAD=8217=41717．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了解直角三角形，正確利用銳角三角函數(shù)關(guān)系求出是解題關(guān)鍵．
【題型2 構(gòu)造直角三角形解直角三角形】
【例2】（2023秋·廣西梧州·九年級統(tǒng)考期末）已知在△ABC中，AB=122，AC=13 ，csB=22，則BC的長（ ）
A．7B．8C．8或17D．7或17
【答案】D
【分析】①過A作AD⊥BC交BC于D，可求 BD122=22，AD=BD，從而可求BD=AD=12，CD=AC2?AD2=5，即可求解；②過A作AD⊥BC交BC的延長線于D，由BC=BD?CD即可求解．
【詳解】解：①如圖，過A作AD⊥BC交BC于D，

∵ csB=22，
∵BDAB=22，∠B=45°，
∴ BD122=22，AD=BD，
∴BD=AD=12，
∴CD=AC2?AD2
=132?122=5，
∴BC=BD+CD=17；
②如圖，過A作AD⊥BC交BC的延長線于D，

∴BD=AD=12，CD=5，
∴BC=BD?CD=7；
綜上所述：BC的長為7或17．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，掌握解法是解題的關(guān)鍵．
【變式2-1】（2023秋·上海靜安·九年級上海市市北初級中學(xué)?？计谀┤鐖D，已知將△ABC沿角平分線BE所在直線翻折，點(diǎn)A恰好落在邊BC的中點(diǎn)M處，且AM=BE，那么∠EBC的余弦值為 .

【答案】31313
【分析】設(shè)AM與BE交點(diǎn)為D，過M作MF∥BE交AC于F，證出MF為△BCE的中位線，由三角形中位線定理得出MF=12BE，由翻折變換的性質(zhì)得出：AM⊥BE，AD=MD，同理由三角形中位線定理得出DE=12MF，設(shè)DE=a，則MF=2a，AM=BE=4a，得出BD=3a，MD=12AM=2a，利用勾股定理求出BM，根據(jù)余弦的定義即可得出結(jié)果．
【詳解】解：設(shè)AM與BE交點(diǎn)為D，過M作MF∥BE交AC于F，如圖所示：

∵M(jìn)為BC的中點(diǎn)，
∴F為CE的中點(diǎn)，
∴MF為△BCE的中位線，
∴MF=12BE，
由翻折變換的性質(zhì)得：AM⊥BE，AD=MD，
同理：DE是△AMF的中位線，
∴DE=12MF，
設(shè)DE=a，則MF=2a，AM=BE=4a，
∴BD=3a，MD=12AM=2a，
∵∠BDM=90°，
∴BM=BD2+DM2=13a，
∴cs∠EBC=BDBM=3a13a=31313．
故答案為：31313．
【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換的性質(zhì)、三角形中位線定理、平行線的性質(zhì)、三角函數(shù)；熟練掌握翻折變換的性質(zhì)，通過作輔助線由三角形中位線定理得出MF=12BE，DE=12MF是解決問題的關(guān)鍵．
【變式2-2】（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）如圖，3個大小完全相同的正六邊形無縫隙、不重疊的拼在一起，連接正六邊形的三個頂點(diǎn)得到△ABC，則tan∠ACB的值是 ．

【答案】233
【分析】如圖所示，補(bǔ)充一個與已知相同的正六邊形，根據(jù)正六邊形的內(nèi)角為120°，設(shè)正六邊形的邊長為1，求得CD,AD，根據(jù)正切的定義，即可求解．
【詳解】解：如圖所示，補(bǔ)充一個與已知相同的正六邊形，

∵正六邊形對邊互相平行，且內(nèi)角為120°，
∴∠EDF=30°,∠ADB=90°

過點(diǎn)E作EG⊥FD于G，
∴FD=2FG=2EF×cs30°=3
設(shè)正六邊形的邊長為1，則CD=3，AD=2FD=23，
∴tan∠ACB=ADCD=233
故答案為：233．
【點(diǎn)睛】本題考查了正六邊形的性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握正六邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式2-3】（2023秋·上海靜安·九年級上海市民辦揚(yáng)波中學(xué)?？计谥校┤鐖D，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，BD⊥AC于點(diǎn)D，將△BCD繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角的大小與∠CBA相等，如果點(diǎn)C、D旋轉(zhuǎn)后分別落在點(diǎn)E、F的位置，那么∠EFD的正切值是 ．

【答案】12
【分析】由題意畫圖如下，過A作AQ⊥BC于Q，過D作DP⊥BC于P，DH⊥BF于H，先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理求得∠CBA=∠BCA，BQ=CQ=3，AQ=4，利用三角形的面積公式求得BD=245，進(jìn)而利用勾股定理和銳角三角函數(shù)求得CD=185，DP=7225，CP=5425，則BP=9625，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)和矩形的判定與性質(zhì)證明四邊形BPDH是矩形得到BH=DP=7225，DH=BP=9625，則FH=4825，利用平行線性質(zhì)證得∠EFD=∠FDH，求解tan∠FDH=FHDH=12即可求解．
【詳解】解：由題意畫圖如下，過A作AQ⊥BC于Q，過D作DP⊥BC于P，DH⊥BF于H，

∵AB=AC=5，BC=6，
∴∠CBA=∠BCA，BQ=CQ=3，則AQ=AB2?BQ2=52?32=4，
由S△ABC=12BC?AQ=12AC?BD得BD=BC?AQAC=6×45=245，
∴CD=BC2?BD2=62?2452=185，
∵sin∠C=AQAC=DPCD，cs∠C=CQAC=CPCD，
∴DP=4×1855=7225，CP=3×1855=5425，則BP=BC?CP=9625，
由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得BF=BD=245，∠BFE=∠BDC=90°，∠DBF=∠CBA，
∴∠FBC=∠DBF+∠CBD=∠CBA+∠CBD=∠C+∠CBD=90°，
∴∠FBC=∠BPD=∠BHD=90°，
∴四邊形BPDH是矩形，
∴BH=DP=7225，DH=BP=9625，
∴FH=BF?BH=245?7225=4825，
∵∠BFE=∠BHD=90°，
∴EF∥DH，
∴∠EFD=∠FDH，
在Rt△FHD中，tan∠FDH=FHDH=12，
∴tan∠EFD=12，
故答案為：12．
【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、解直角三角形、矩形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運(yùn)用，利用銳角三角函數(shù)尋求邊角關(guān)系是解答的關(guān)鍵．
【題型3 網(wǎng)格中解直角三角形】
【例3】（2023·湖北武漢·統(tǒng)考三模）如圖是由小正方形組成的8×8網(wǎng)格，每個小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，A，C兩個點(diǎn)是格點(diǎn)．僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖，畫圖過程用虛線表示．
(1)在圖中，點(diǎn)B是格點(diǎn)，先畫線段AB的中點(diǎn)D，再在AC上畫點(diǎn)E，使AD=DE；

(2)在圖中，點(diǎn)B在格線上，過點(diǎn)C作AB的平行線CF；

(3)在圖中，點(diǎn)B在格線上，在AB上畫點(diǎn)G，使tan∠ACG=47．

【答案】(1)詳見解析
(2)詳見解析
(3)詳見解析
【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格特點(diǎn)先作線段AB的中點(diǎn)D，然后作AC的垂線，交AC于點(diǎn)E，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可得出AD=DE；
（2）連接BC，利用正方形網(wǎng)格確定BC中點(diǎn)，然后連接點(diǎn)A與中點(diǎn)，延長，利用網(wǎng)格及矩形的對角線即可確定點(diǎn)F；
（3）根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)將線段AC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，然后利用網(wǎng)格使得兩個相似三角形的比為4:3，連接點(diǎn)C與交點(diǎn)交AB于點(diǎn)G，則點(diǎn)G即為所求．
【詳解】（1）解：解：如圖所示，點(diǎn)D,E即為所求；

（2）如圖所示：CF即為所求；

（3）如圖所示：點(diǎn)G即為所求；

【點(diǎn)睛】本題考查了正切的定義，無刻度直尺作圖，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的，正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
【變式3-1】（2023秋·江蘇蘇州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，A，B，C，D均為網(wǎng)格圖中的格點(diǎn)，線段AB與CD相交于點(diǎn)P，則∠APD的正切值為 ．
【答案】3
【分析】作M、N兩點(diǎn)，連接CM，DN，根據(jù)題意可得CM∥AB，從而 可得∠APD＝∠NCD，然后先利用勾股定理的 逆定理證明△CDN是直角三角形，然后再利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計算即可解答．
【詳解】解：如圖所示，作M、N點(diǎn)，連接CM、DN，
由題意得：CM∥AB，
∴∠APD＝∠NCD，
由題意得：CN2=12+12=2，DN2=32+32=18，CD2=22+42=20，
∴CN2+DN2=CD2，
∴△CDN是直角三角形，
∴tan∠DCN=DNCN=322=3，
∴∠APD的正切值為：3．
故答案為：3．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
【變式3-2】（2023秋·福建泉州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，A、B、C、D是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)，AB、CD交于點(diǎn)O，則cs∠BOD的值為 ．
【答案】55
【分析】連接AE、BE，利用正方形的性質(zhì)證明CD∥AE、∠AEB=90°，這樣把求∠BOD的余弦值轉(zhuǎn)化為求∠BAE的余弦值，在Rt△ABE中，利用勾股定理和直角三角形的邊角關(guān)系求解；
【詳解】解：如圖，連接AE、BE，
根據(jù)勾股定理，得AE=2，AB=10，
∵AE、BE、CD都是正方形的對角線，
∴∠BCD=∠CBD=45°，
∴∠CDB=90°，
同理∠AEB=90°，
∴CD∥AE，
∴∠BOD＝∠BAE，
在Rt△ABE中，
cs∠BAE=AEAB=210=55；
故答案為：55．
【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，平行線的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考常考題型．
【變式3-3】（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖是由小正方形組成的8×6網(wǎng)格，每個小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，△ABC的三個頂點(diǎn)都是格點(diǎn)，僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖，畫圖過程用虛線表示．

(1)在圖（1）中，D，E分別是邊AB，AC與網(wǎng)格線的交點(diǎn)．先將點(diǎn)C繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn)F，畫出點(diǎn)F；再在邊AB上畫點(diǎn)G，使EG∥BC；
(2)在圖（2）中，在邊AB上找一點(diǎn)P，使PA=PC；再在線段AC上找一點(diǎn)Q，使tan∠ABQ=34
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）點(diǎn)C繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180°即延長CD即可找到點(diǎn)F，最后構(gòu)造平行四邊形ABCF即可解決問題；
（2）先構(gòu)造正方形，然后找到對角線交點(diǎn)和AC中點(diǎn)，連接兩點(diǎn)的直線與AB的交點(diǎn)即為所作點(diǎn)P；點(diǎn)Q就是△ABC邊AC高的垂足．
【詳解】（1）如圖，

如圖（1），根據(jù)網(wǎng)格可知CD=DF,AD=BD，BH=CE，
∴四邊形ACBF是平行四邊形，
∴AC∥BF
∴四邊形CEHB是平行四邊形，
∴EH∥BC，即有EG∥BC，
∴如圖（1）點(diǎn)F、G即為所求；
（2）如圖，

如圖（2），根據(jù)網(wǎng)格可知，四邊形ABEF為正方形，AQ=CQ，
∴OA=OC=OE=OF，
∴點(diǎn)O在AC垂直平分線上，點(diǎn)S在AC垂直平分線上，
∴MN垂直平分AC，
∴PA=PC，
根據(jù)網(wǎng)格易得：∠BAI=90°，AB=AI，H是AI的四等分點(diǎn)，連接BH交AC于點(diǎn)Q，
∴AH=34AI=34AB
在RtABH中，tan∠ABH=AHAB=34ABAB=34，即tan∠ABQ=34，
∴如圖（1）點(diǎn) P、Q 即為所求；
【點(diǎn)睛】本題考查無刻度直尺作圖，解題關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形，正方形的性質(zhì)和判定，垂直平分線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用．
【題型4 坐標(biāo)系中解直角三角形】
【例4】（2023·河南洛陽·校聯(lián)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABOC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，∠BOC=60°，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(a,3)，y=kx的圖象與菱形對角線AO交于點(diǎn)D，連接BD，當(dāng)DB⊥x軸時，k的值是（ ）

A．?23B．?33C．?43D．?63
【答案】C
【分析】過點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，由∠BOC=60°，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(a,3)，可求得OC的長，進(jìn)而根據(jù)菱形的性質(zhì)，可求得OB的長，且∠AOB=30°，繼而求得DB的長，則可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，又由反比例函數(shù)y=kx的圖象與菱形對角線AO交D點(diǎn)，即可求得答案．
【詳解】解：過點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，

∵頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(a,3)，
∴OE=?a，CE=3，
∴OC=CEsin60°=23，
∵菱形ABOC中，∠BOC=60°，
∴OB=OC=23，∠BOD=12∠BOC=30°，
∵DB⊥x軸，
∴DB=OB?tan30°=23×33=2，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為：?23,2，
∵反比例函數(shù)y=kx的圖象與菱形對角線AO交于點(diǎn)D，
∴k=xy=?43．
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題考查了菱形的性質(zhì)，解直角三角形，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．注意準(zhǔn)確作出輔助線，求出OC是解本題關(guān)鍵．
【變式4-1】（2023·廣東湛江·嶺師附中校聯(lián)考一模）如圖，在△ABO中，AB⊥OB，AB=3，OB=1，把△ABO繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)120°后，得到△A1B1O，則點(diǎn)A1的坐標(biāo)為 ．

【答案】1,?3
【分析】首先根據(jù)勾股定理得到AO=OB2+AB2=2，然后求出∠A=30°，∠AOB=60°，然后利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠AOA1=120°，OA=OA1，進(jìn)而得到點(diǎn)A和點(diǎn)A1關(guān)于x軸對稱，進(jìn)而求解即可．
【詳解】∵AB⊥OB，AB=3，OB=1，
∴AO=OB2+AB2=2，A1,3，
∴sinA=OBOA=12，
∴∠A=30°，∠AOB=60°，
∵如圖所示，把△ABO繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)120°后，得到△A1B1O，

∴∠AOA1=120°，OA=OA1，
∴∠A1OB=60°，
∴點(diǎn)A和點(diǎn)A1關(guān)于x軸對稱，
∵A1,3，
∴A11,?3．
故答案為：1,?3．
【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)：圖形或點(diǎn)旋轉(zhuǎn)之后要結(jié)合旋轉(zhuǎn)的角度和圖形的特殊性質(zhì)來求出旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
【變式4-2】（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級哈爾濱市第十七中學(xué)校?？奸_學(xué)考試）如圖：已知一次函數(shù)圖像與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)B．OB=3，tan∠BAO=12．

(1)求直線AB的解析式；
(2)若點(diǎn)C在x軸上方的直線AB上，△AOC的面積為15，求tan∠BOC．
【答案】(1)y=12x+3
(2)45
【分析】（1）利用tan∠BAO=12求出OA，再利用待定系數(shù)法求AB的解析式；
（2）過點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H，根據(jù)△AOC的面積求出CH，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求出OH，則tan∠BOC =tan∠OCH=OHCH．
【詳解】（1）解：∵ OB=3，點(diǎn)B在y軸正半軸上，
∴ B0,3，
∵ tan∠BAO=12，
∴ OA=OBtan∠BAO=312=6，
∵點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上，
∴ A?6,0，
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，將A?6,0，B0,3代入，得：
?6k+b=0b=3，
解得k=12b=3，
∴直線AB的解析式為y=12x+3，
（2）解：如圖，過點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H，則CH∥OB，

∵ S△AOC=12OA?CH，
∴ CH=2S△AOCOA=2×156=5，
∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為5，
∵點(diǎn)C在直線y=12x+3上，將y=5代入，得12x+3=5，
解得x=4
∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為4，即OH=4，
∴ tan∠OCH=OHCH=45，
∵ CH∥OB，
∴ ∠OCH=∠BOC，
∴ tan∠BOC =tan∠OCH=45．
【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是通過作輔助線構(gòu)造直角三角形．
【變式4-3】（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級?？奸_學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=kx+6k交x軸于點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)A，AB=2AO．

(1)如圖1，求k的值；
(2)如圖2，點(diǎn)H在AB上，點(diǎn)F在OB上，連接FH、OH，且FH=OH，過點(diǎn)F作AB的垂線，垂足為點(diǎn)S，設(shè)點(diǎn)H的橫坐標(biāo)為t，?3367.5，
∴他們能在19：00之前到達(dá)C地．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，方向角問題，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
【變式9-1】（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考三模）宿遷駱馬湖兩岸風(fēng)光如畫，大家都喜歡坐游船游覽觀光．如圖，在某兩段平行航道（不考慮其他因素），甲游船由西向東慢速航行，同時乙游船由東向西航行．喜愛數(shù)學(xué)的小華在甲游船到達(dá)點(diǎn)A處時測得C處的乙游船在甲游船的北偏東67.4°方向，向前行駛156m到點(diǎn)B處測得行駛到D處的乙游船在甲游船的北偏東37°方向，CD=240m，求第二次測量時甲、乙兩游船之間的距離．（參考數(shù)據(jù)sin22.6°≈513，cs22.6°≈1213，tan22.6°≈512，sin53°≈45，cs53°≈35，tan53°≈43）
【答案】300m
【分析】根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形，在直角三角形利用三角函數(shù)值求出對應(yīng)的邊長關(guān)系，設(shè)參數(shù)建立方程求出參數(shù)，即可求出DM和BM長度，最后利用勾股定理即可求出答案.
【詳解】解：過點(diǎn)D作DM⊥AB于點(diǎn)M，過點(diǎn)C作CN⊥AB于N，如圖所示，

根據(jù)題意得：∠1=90°?67.4°=22.6°，∠2=90°?37°=53°，
∵DM⊥AB，CN⊥AB，AB∥CD，
∴∠3=∠4=∠MDC=∠DCN=90°，
∴四邊形CDMN為矩形.
∴MN=CD=240m，DM=CN.
∴在Rt△DBM中，tan∠2=tan53°=DMBM=43.
設(shè)DM=4xm則BM=3xm，CN=4xm，
∴在Rt△ACN中，tan∠1=tan22.6°=CNAN=125.
∴4x156+3x+240=125.
∴48x=1980+15x.
∴x=60.
∴DM=4×60=240m，BM=3×60=180m.
∴在Rt△DBM中，BD=BM2+DM2=1802+2402=300m.
∴第二次測量時甲、乙兩游船之間的距離約是300m.
【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形中的實際應(yīng)用，涉及到有銳角三角函數(shù)、勾股定理、矩形的面積，解題的關(guān)鍵在于正確理解題意，合理運(yùn)用相關(guān)數(shù)學(xué)知識.
【變式9-2】（2023春·安徽合肥·九年級?？奸_學(xué)考試）如圖，某巡邏艇在海上例行巡邏，上午10時在C處接到海上搜救中心從B處發(fā)來的救援任務(wù)，此時事故船位于B處的南偏東25°方向上的A處，巡邏艇位于B處的南偏西28°方向上1260米處，事故船位于巡邏艇的北偏東58°方向上，巡邏艇立刻前往A處救援，已知巡邏艇每分鐘行駛120米，請估計幾分鐘可以到達(dá)事故船A處．（結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：3≈1.73，sin53°≈45，cs53°≈35，tan53°≈43）．
【答案】估計8分鐘可以到達(dá)事故船A處
【分析】過點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，由題意得：BC=1260m，∠ABD=53°，∠ACB=30°，然后設(shè)AD=xm，分別在Rt△ABD和Rt△ADC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BD和CD的長，從而根據(jù)CD+BD=BC，列出關(guān)于x的方程，進(jìn)行計算可求出AD的長，進(jìn)而求出AC的長，即可求出結(jié)果．
【詳解】解：過點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，由題意得：
BC=1260m，∠ABD=28°+25°=53°，∠ACB=58°?28°=30°，
設(shè)AD=xm，
在Rt△ABD中，BD=ADtan53°≈x43=34xm，
在Rt△ADC中，CD=ADtan30°=x33=3xm，
∵CD+BD=BC，
∴3x+34x=1260，
解得：x≈508.1，
∴AD≈508.1m，
在Rt△ADC中，∠ACD=30°，
∴AC=2AD=1016.2m，
∴1016.2÷120≈8（分鐘），
∴估計8分鐘可以到達(dá)事故船A處．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用?方位角問題，根據(jù)已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
【變式9-3】（2023秋·河北石家莊·九年級統(tǒng)考期末）期中測試臨近學(xué)生都在緊張的復(fù)習(xí)中，小甘和小西相約周末去圖書館復(fù)習(xí)，如圖，小甘從家A地沿著正東方向走900m到小西家B地，經(jīng)測量圖書館C地在B地的北偏東15°，C地在A地的東北方向．
(1)求AC的距離：
(2)兩人準(zhǔn)備從B地出發(fā)，實然接到疾控中心通知，一名確診的新冠陽性患者昨天經(jīng)過了C地，并沿著C地南偏東22°走了1800m到達(dá)D地，根據(jù)相關(guān)要求，凡是確診者途徑之處800m區(qū)域以內(nèi)都會劃為管控區(qū)，問：小西家會被劃為管控區(qū)嗎？請說明理由（參考數(shù)據(jù)：3≈1.73,2≈1.41,6≈2.45,sin37°≈0.6,cs37°≈0.8,tan37°≈0.75）．
【答案】(1)1737m;
(2)小西家會被劃為管控區(qū)，理由見解析．
【分析】（1）過點(diǎn)B作BE⊥AC于點(diǎn)E，根據(jù)題意可得∠BAE=45°,∠CBA=90°+15°=105°,AB=900m，然后利用含30度角的直角三角形即可解決問題；
(2)過點(diǎn)B作BF⊥CD于點(diǎn)F，根據(jù)題意可得∠GBC=∠BCH=15°,∠DCH=22°，所以∠BCF=15°+22°=37°，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)即可解決問題．
【詳解】（1）如圖，過點(diǎn)B作BE⊥AC于點(diǎn)E，
根據(jù)題意可知：∠BAE=45°，∠CBA=90°+15°=105°，AB=900m，
∴∠BCE=180°?45°?105°=30°，
∴BE=AE=22AB=4502m，
∴CE=3BE=4506m，∴AC=AE+CE=4502+4506=450(2+6)≈450×3.86≈1737(m)；
∴AC的距離約為1737m;
（2）小西家會被劃為管控區(qū)，理由如下：
如圖，過點(diǎn)B作BF⊥CD于點(diǎn)F，
根據(jù)題意可知∶∠GBC=∠BCH=15°,∠DCH=22°，
∴∠BCF=15°+22°=37°,
在Rt△CBF中，CB=2BE=2×4502=9002(m)，
∴BF=CB?sin37°≈9002×0.6≈764(m),
∵764

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