一、離散型隨機變量分布列、期望、方差及其性質(zhì)
（1）離散型隨機變量的分布列.
表13-1
= 1 \* GB3 ① ;
= 2 \* GB3 ② .
（2）表示的期望：，反應(yīng)隨機變量的平均水平，若隨機變量滿足，則.
（3）表示的方差：，反映隨機變量取值的波動性。越小表明隨機變量越穩(wěn)定，反之越不穩(wěn)定。若隨機變量滿足，則。
二、幾種特殊的分布列、期望、方差
（1）兩點分布（又稱0，1分布）
= ，= .
（2）二項分布：若在一次實驗中事件發(fā)生的概率為，則在次獨立重復(fù)實驗中恰好發(fā)生次概率 ，稱服從參數(shù)為的二項分布，記作 ，=，=.
（3）超幾何分布：總數(shù)為的兩類物品，其中一類為件，從中取件恰含中的件， ，其中為與的較小者，，稱 服從參數(shù)為的超幾何分布，記作 ，此時有公式。
三、正態(tài)分布
（1）若是正態(tài)隨機變量，其概率密度曲線的函數(shù)表達式為 ， （其中是參數(shù)，且，）。
其圖像如圖13-7所示，有以下性質(zhì)：
= 1 \* GB3 ①曲線在軸上方，并且關(guān)于直線對稱；
= 2 \* GB3 ②曲線在處處于最高點，并且此處向左右兩邊延伸時，逐漸降低，呈現(xiàn)“中間高，兩邊低”的形狀；
= 3 \* GB3 ③曲線的形狀由確定，越大，曲線越“矮胖”，越小，曲線越“高瘦”；
= 4 \* GB3 ④圖像與軸之間的面積為1.
（2）= ，= ，記作 .
當(dāng)時， 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記作 .
（3） ，則在， ，上取值的概率分別為68.3%，95.4%，99.7%，這叫做正態(tài)分布的原則。
【典型例題】
例1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）小李參加一種紅包接龍游戲：他在紅包里塞了12元，然后發(fā)給朋友，如果猜中，將獲得紅包里的所有金額；如果未猜中，將當(dāng)前的紅包轉(zhuǎn)發(fā)給朋友，如果猜中，，平分紅包里的金額；如果未猜中，將當(dāng)前的紅包轉(zhuǎn)發(fā)給朋友，如果猜中，，和平分紅包里的金額；如果未猜中，紅包里的錢將退回小李的賬戶，設(shè)，，C猜中的概率分別為，，，且，，是否猜中互不影響．
（1）求恰好獲得4元的概率；
（2）設(shè)獲得的金額為元，求的概率分布．
例2．（2021·遼寧·大連市一0三中學(xué)高二階段練習(xí)）(1)拋擲一顆骰子兩次,定義隨機變量
試寫出隨機變量的分布列(用表格格式);
(2)拋擲一顆骰子兩次,在第一次擲得向上一面點數(shù)是偶數(shù)的條件下,求第二次擲得向上一面點數(shù)也是偶數(shù)的概率．
例3．（2021·北京市第五中學(xué)通州校區(qū)高三階段練習(xí)）在全民抗擊新冠肺炎疫情期間，北京市開展了“停課不停學(xué)”活動，此活動為學(xué)生提供了多種網(wǎng)絡(luò)課程資源．活動開展一個月后，某學(xué)校隨機抽取了高三年級的甲、乙兩個班級進行網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查，統(tǒng)計學(xué)生每天的學(xué)習(xí)時間（單位：h），將樣本數(shù)據(jù)分成[3，4），[4，5），[5，6），[6，7），[7，8]五個組，并整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）已知該校高三年級共有600名學(xué)生，根據(jù)甲班的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，估計該校高三年級每天學(xué)習(xí)時間達到5小時及以上的學(xué)生人數(shù)；
（2）已知這兩個班級各有40名學(xué)生，從甲、乙兩個班級每天學(xué)習(xí)時間不足4小時的學(xué)生中隨機抽取3人，記抽到的甲班學(xué)生人數(shù)為，求的分布列和均值；
（3）記甲、乙兩個班級學(xué)生每天學(xué)習(xí)時間的方差分別為，，試比較與的大?。ㄖ恍鑼懗鼋Y(jié)論）
例4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在一次國際大型體育運動會上，某運動員報名參加了其中3個項目的比賽．已知該運動員在這3個項目中，每個項目能打破世界紀錄的概率都是，那么在本次運動會上：
（1）求該運動員至少能打破2項世界紀錄的概率；
（2）若該運動員能打破世界紀錄的項目數(shù)為X，求X的分布列及期望．
例5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）2021年是“十四五”規(guī)劃開局之年，也是建黨100周年．為了傳承紅色基因，某學(xué)校開展了“學(xué)黨史，擔(dān)使命”的知識競賽．現(xiàn)從參賽的所有學(xué)生中，隨機抽取100人的成績作為樣本，得到成績的頻率分布直方圖，如圖．
（1）求頻率分布直方圖中的值，并估計該校此次競賽成績的平均分（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值代表）；
（2）在該樣本中，若采用分層抽樣的方法，從成績高于75分的學(xué)生中隨機抽取7人查看他們的答題情況，再從這7人中隨機抽取3人進行調(diào)查分析，求這3人中至少有1人成績在內(nèi)的概率；
（3）假設(shè)競賽成績服從正態(tài)分布，已知樣本數(shù)據(jù)的方差為121，用平均分作為的近似值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計值，求該校本次競賽的及格率（60分及以上為及格）．
參考數(shù)據(jù)：，，．
例6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）2019年2月13日《煙臺市全民閱讀促進條例》全文發(fā)布，旨在保障全民閱讀權(quán)利，培養(yǎng)全民閱讀習(xí)慣，提高全民閱讀能力，推動文明城市和文化強市建設(shè)．某高校為了解條例發(fā)布以來全校學(xué)生的閱讀情況，隨機調(diào)查了200名學(xué)生每周閱讀時間 (單位：小時)并繪制如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）求這200名學(xué)生每周閱讀時間的樣本平均數(shù)和樣本方差 (同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值代表)；
（2）由直方圖可以看出，目前該校學(xué)生每周的閱讀時間服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差.
①一般正態(tài)分布的概率都可以轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率進行計算：若，令，則，且.利用直方圖得到的正態(tài)分布，求．
②從該高校的學(xué)生中隨機抽取20名，記表示這20名學(xué)生中每周閱讀時間超過10小時的人數(shù)，求(結(jié)果精確到)以及的均值．
參考數(shù)據(jù)：，.若，則.
【技能提升訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）袋中有大小相同的5個球，分別標(biāo)有1，2，3，4，5五個號碼，現(xiàn)在在有放回抽取的條件下依次取出兩個球，設(shè)兩個球的號碼之和為隨機變量X，則X所有可能取值的個數(shù)是（ ）
A．5B．9C．10D．25
2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）一袋中裝有5個球，編號為1，2，3，4，5，在袋中同時取出3個，以ξ表示取出的三個球中的最小號碼，則隨機變量ξ的分布列為（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)隨機變量X的分布列為P(X＝k)＝m(k＝1，2，3)，則m的值為（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）隨機變量的概率分布為，．若，則（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)隨機變量的分布列為，則等于（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）某射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列下表：已知的數(shù)學(xué)期望，則的值為（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））隨機變量X的分布列如下表所示，若，則（ ）
A．9B．7C．5D．3
8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列如下：
已知的數(shù)學(xué)期望，則的值為（ ）
A．B．C．D．
9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設(shè)隨機變量ξ表示所選3人中女生的人數(shù)，則P(ξ≤1)等于（ ）
A．B．
C．D．
10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）一個班級共有30名學(xué)生，其中有10名女生，現(xiàn)從中任選三人代表班級參加學(xué)校開展的某項活動，假設(shè)選出的3名代表中的女生人數(shù)為變量X，男生的人數(shù)為變量Y，則等于
A．B．
C．D．
11．（2022·全國·高三專題練習(xí)）“石頭、剪刀、布”，又稱“猜丁殼”，是一種流傳多年的猜拳游戲，起源于中國，然后傳到日本、朝鮮等地，隨著亞歐貿(mào)易的不斷發(fā)展，它傳到了歐洲，到了近代逐漸風(fēng)靡世界.其游戲規(guī)則是：“石頭”勝“剪刀”、“剪刀”勝“布”、而“布”又勝過“石頭”.若所出的拳相同，則為和局.小明和小華兩位同學(xué)進行“五局三勝制”的“石頭、剪刀、布”游戲比賽，則小華獲勝的概率是（ ）
A．B．
C．D．
12．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）設(shè)隨機變量，若，則的值為（ ）
A．B．C．D．
13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若隨機變量，，若，則（ ）
A．B．C．D．
14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）有8件產(chǎn)品，其中4件是次品，從中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次數(shù)，則
A．B．C．D．
15．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）《乘風(fēng)破浪的姐姐》是一檔深受觀眾喜愛的電視節(jié)目，節(jié)目采用組團比賽的方式進行，參賽選手需要全部參加完五場公開比賽，其中五場中有四場獲勝，就能取得參加決賽的資格.若某參賽選手每場比賽獲勝的概率是，則這名選手能參加決賽的概率是（ ）
A．B．C．D．
16．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）將一個半徑適當(dāng)?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器最上方的入口處，小球?qū)⒆杂上侣洌∏蛟谙侣涞倪^程中，將3次遇到黑色障礙物，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到黑色障礙物時，向左、右兩邊下落的概率都是，則小球落入袋中的概率為（ ）
A．B．C．D．
17．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知隨機變量的分布列為：
則等于（ ）
A．15B．11
C．2.2D．2.3
18．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知隨機變量，，，則（ ）
A．B．
C．D．
19．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某科技公司生產(chǎn)一批同型號的光纖通信儀器，每臺儀器的某個部件由三個電子元件按如圖方式連接而成，若元件或元件正常工作，且元件正常工作，則該部件正常工作.由大數(shù)據(jù)統(tǒng)計顯示：三個電子元件的使用壽命（單位：時）均服從正態(tài)分布，且各個元件能否正常工作相互獨立.現(xiàn)從這批儀器中隨機抽取臺檢測該部件的工作情況（各部件能否正常工作相互獨立），那么這臺儀器中該部件的使用壽命超過小時的臺數(shù)的均值為（ ）
A．B．C．D．
20．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若隨機變量，則下列說法錯誤的是（ ）
A．B．C．D．
21．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））由以往的統(tǒng)計資料表明，甲、乙兩名運動員在比賽中的得分情況為
現(xiàn)有一場比賽，應(yīng)派哪位運動員參加較好（ ）
A．甲B．乙
C．甲、乙均可D．無法確定
22．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知隨機變量，則隨機變量的方差為（ ）
A．B．C．D．
23．（2022·全國·高三專題練習(xí)）從裝有除顏色外完全相同的3個白球和個黑球的布袋中隨機摸取一球，有放回的摸取5次，設(shè)摸得白球數(shù)為，已知，則
A．B．C．D．
24．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知三個隨機變量的正態(tài)密度函數(shù)的圖象如圖所示，則（ ）
A．，B．，
C．，D．，
25．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））某市期末教學(xué)質(zhì)量檢測，甲、乙、丙三科考試成績近似服從正態(tài)分布，則由如圖曲線可得下列說法中正確的是（ ）
A．甲學(xué)科總體的均值最小
B．乙學(xué)科總體的方差及均值都居中
C．丙學(xué)科總體的方差最大
D．甲、乙、丙的總體的均值不相同
26．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)隨機變量ξ服從正態(tài)分布N（μ，7），若P（ξ＜2）=P（ξ＞4），則與D（ξ）的值分別為（ ）
A．B．C．μ=3，D（ξ）=7D．
27．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知隨機變量服從正態(tài)分布，，則（ ）
A．0.2B．0.3C．0.7D．0.8
28．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知隨機變量，若，則＝（ ）
A．0.7B．0.5C．0.3D．0.2
29．（2022·全國·模擬預(yù)測）某無人機配件廠商從其所生產(chǎn)的某種無人機配件中隨機抽取了一部分進行質(zhì)量檢測，其某項質(zhì)量測試指標(biāo)值X服從正態(tài)分布，且落在區(qū)間內(nèi)的無人機配件個數(shù)為則可估計所抽取的這批無人機配件中質(zhì)量指標(biāo)值低于的個數(shù)大約為（ ）
(附:若隨機變量服從正態(tài)分布，則
A．B．C．D．
30．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在某校高三月考中理科數(shù)學(xué)成績X～N(90，σ2)(σ>0)，統(tǒng)計結(jié)果顯示P(60≤X≤120)＝0.8，假設(shè)該校參加此次考試的有780人，那么試估計此次考試中，該校成績高于120分的有（ ）人
A．78B．156
C．234D．390
31．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某中學(xué)在高三上學(xué)期期末考試中，理科學(xué)生的數(shù)學(xué)成績.若已知，則從該校理科生中任選一名學(xué)生，他的數(shù)學(xué)成績大于120分的概率為（ ）
A．0.86B．0.64C．0.36D．0.14
32．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則（ ）
A．0.12B．0.22C．0.32D．0.42
33．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））設(shè)X~N（1，1），且其概率密度曲線如圖所示，那么從正方形ABCD中隨機取100000個點，則取自陰影部分的點的個數(shù)的估計值是（ ）
（注：若，則≈0.6827
A．75385B．60375C．70275D．65865
34．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某班有名學(xué)生，一次數(shù)學(xué)考試的成績近似地服從正態(tài)分布，平均分為，標(biāo)準(zhǔn)差為，理論上說在分到分的人數(shù)約為（ ）
附：若隨機變量，則，，.
A．B．C．D．
二、多選題
35．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某市有，，，四個景點，一位游客來該市游覽，已知該游客游覽的概率為，游覽，和的概率都是，且該游客是否游覽這四個景點相互獨立.用隨機變量表示該游客游覽的景點的個數(shù)，下列正確的（ ）
A．游客至多游覽一個景點的概率B．
C．D．
36．（2022·全國·高三專題練習(xí)）端午節(jié)，又稱端陽節(jié)、龍舟節(jié)、天中節(jié)等，與春節(jié)、清明節(jié)、中秋節(jié)并稱為中國四大傳統(tǒng)節(jié)日．扒龍舟與食粽是端午節(jié)的兩大禮俗，這兩大禮俗在中國自古傳承，至今不輟．在一個袋中裝有大小一樣的個豆沙粽，個咸肉粽，現(xiàn)從中任取個粽子，設(shè)取出的個粽子中咸肉粽的個數(shù)為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．隨機變量服從二項分布
C．隨機變量服從超幾何分布D．
37．（2022·全國·高三專題練習(xí)）紅外線自動測溫門能有效避免測溫者與被測溫者近距離接觸，從而降低潛在的感染風(fēng)險.某廠生產(chǎn)了一批紅外線自動測溫門，其測量體溫誤差服從正態(tài)分布，設(shè)X表示其測量體溫誤差，且，則下列結(jié)論正確的是（附：若隨機變量X服從正態(tài)分布，則，（ ）
A．，B．
C．D．
38．（2022·全國·高三專題練習(xí)）下列說法正確的是（ ）
A．已知隨機變量，則
B．已知隨機變量，滿足，且，則
C．線性回歸模型中，相關(guān)系數(shù)的絕對值越大，則這兩個變量線性相關(guān)性越強.
D．設(shè)，則越大，正太分布曲線越矮胖
三、雙空題
39．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某學(xué)校實行自主招生，參加自主招生的學(xué)生從8道試題中隨機挑選4道進行作答，至少答對3道才能通過初試.記在這8道試題中甲能答對6道，甲答對試題的個數(shù)為，則甲通過自主招生初試的概率為______，______.
40．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知某品牌電子元件的使用壽命（單位：天）服從正態(tài)分布.
（1）一個該品牌電子元件的使用壽命超過天的概率為_______________________；
（2）由三個該品牌的電子元件組成的一條電路（如圖所示）在天后仍能正常工作（要求能正常工作，， 中至少有一個能正常工作，且每個電子元件能否正常工作相互獨立）的概率為__________________．
（參考公式：若，則）
四、填空題
41．（2022·全國·高三專題練習(xí)）袋中有4只紅球3只黑球，從袋中任取4只球，取到1只紅球得1分，取到1只黑球得3分，設(shè)得分為隨機變量ξ，則P(ξ≤6)＝________.
42．（2022·全國·高三專題練習(xí)）隨機變量，，若，，則________
43．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)隨機變量，則______.
44．（2022·全國·高三專題練習(xí)）甲、乙兩名運動員在羽毛球場進行羽毛球比賽，已知每局比賽甲勝的概率為，乙勝的概率為，且各局比賽結(jié)果相互獨立.當(dāng)比賽采取5局3勝制時，甲用4局贏得比賽的概率為.現(xiàn)甲、乙進行6局比賽，則甲勝的局數(shù)的數(shù)學(xué)期望為______.
45．（2022·重慶市育才中學(xué)模擬預(yù)測）某人共有三發(fā)子彈，他射擊一次命中目標(biāo)的概率是，擊中目標(biāo)后射擊停止，射擊次數(shù)X為隨機變量，則方差______．
46．（2022·全國·高三專題練習(xí)）隨機變量的概率分布為
且，則________.
47．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知隨機變量X的分布列為
設(shè)Y＝2X＋3，則E（Y）的值為____
48．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若隨機變量，且，則_________．
49．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若隨機變量，且，則______．
50．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某校在一次月考中約有人參加考試，數(shù)學(xué)考試的成績（，試卷滿分分），統(tǒng)計結(jié)果顯示數(shù)學(xué)考試成績在分到分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的，則此次月考中數(shù)學(xué)考試成績不低于分的學(xué)生約有__________人.
五、解答題
51．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知X服從參數(shù)為0.3的兩點分布．
（1）求；
（2）若，寫出Y的分布列．
52．（2022·全國·高三專題練習(xí)）北京冬季奧運會將于2022年2月4日至2022年2月20日在中華人民共和國北京市和河北省張家口市聯(lián)合舉行.這是中國歷史上第一次舉辦冬季奧運會，北京、張家口同為主辦城市，也是中國繼北京奧運會、南京青奧會之后第三次舉辦奧運賽事.北京冬奧組委對報名參加北京冬奧會志愿者的人員開展冬奧會志愿者的培訓(xùn)活動，并在培訓(xùn)結(jié)束后進行了一次考核.為了解本次培訓(xùn)活動的效果，從中隨機抽取80名志愿者的考核成績，根據(jù)這80名志愿者的考核成績，得到的統(tǒng)計圖表如下所示.
若參加這次考核的志愿者考核成績在內(nèi)，則考核等級為優(yōu)秀.
（1）分別求這次培訓(xùn)考核等級為優(yōu)秀的男、女志愿者人數(shù)；
（2）若從樣本中考核等級為優(yōu)秀的志愿者中隨機抽取3人進行學(xué)習(xí)心得分享，記抽到女志愿者的人數(shù)為X，求X的分布列及期望.
53．（2022·全國·高三專題練習(xí)）端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習(xí)俗.設(shè)一盤中裝有6個粽子，其中肉粽1個，蛋黃粽2個，豆沙粽3個，這三種粽子的外觀完全相同，從中任意選取2個.
（1）用表示取到的豆沙粽的個數(shù)，求的分布列；
（2）求選取的2個中至少有1個豆沙粽的概率.
54．（2022·全國·高三專題練習(xí)）隨著我國國民消費水平的不斷提升，進口水果也受到了人們的喜愛，世界各地鮮果紛紛從空中、海上匯聚中國：泰國的榴蓮、山竹、椰青，厄瓜多爾的香蕉，智利的車厘子，新西蘭的金果獼猴桃等水果走進了千家萬戶，某種水果按照果徑大小可分為五個等級：特等、一等、二等、三等和等外，某水果進口商從采購的一批水果中隨機抽取500個，利用水果的等級分類標(biāo)準(zhǔn)得到的數(shù)據(jù)如下：
（1）若將樣本頻率視為概率，從這批水果中隨機抽取6個，求恰好有3個水果是二等級別的概率．
（2）若水果進口商進口時將特等級別與一等級別的水果標(biāo)注為優(yōu)級水果，則用分層抽樣的方法從這500個水果中抽取10個，再從抽取的10個水果中隨機抽取3個，表示抽取的優(yōu)級水果的數(shù)量，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．
55．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某外語學(xué)校的一個社團有7名同學(xué)，其中2人只會法語，2人只會英語，3人既會法語又會英語，現(xiàn)選派3人到法國的學(xué)校交流訪問.求：
（1）在選派的3人中恰有2人會法語的概率；
（2）求在選派的3人中既會法語又會英語的人數(shù)的分布列.
56．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在心理學(xué)研究中，常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響，具體方法如下：將參加試驗的志愿者隨機分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評價兩種心理暗示的作用，現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示．
（1）求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的頻率．
（2）用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列．
57．（2022·全國·高三專題練習(xí)）2021年7月24日，中國選手楊倩在東京奧運會女子10米氣步槍決賽中，為中國代表團攬入本界奧運會第一枚金牌.受奧運精神的鼓舞，某射擊俱樂部組織200名射擊愛好者進行一系列的測試，并記錄他們的射擊技能分數(shù)（單位：分），將所得數(shù)據(jù)分成7組：，，…，，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）求這200名射擊愛好者中射擊技能分數(shù)低于60分的人數(shù)；
（2）從樣本中射擊技能分數(shù)在的射擊愛好者中采用分層抽樣的方法抽取8人，再從這8人中隨機抽取3人進一步進行射擊訓(xùn)練，記抽取的3人中射擊技能分數(shù)不低于70分的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.
58．（2022·全國·高三專題練習(xí)）新高考的數(shù)學(xué)試卷第1至第8題為單選題，第9至第12題為多選題.多選題A、B、C、D四個選項中至少有兩個選項符合題意，其評分標(biāo)準(zhǔn)如下：全部選對得5分，部分選對得2分，選錯或不選得0分.在某次考試中，第11、12兩題的難度較大，第11題正確選項為AD，第12題正確選項為ABD.甲?乙兩位同學(xué)由于考前準(zhǔn)備不足，只能對這兩道題的選項進行隨機選取，每個選項是否被選到是等可能的.
（1）若甲同學(xué)每題均隨機選取一項，求甲同學(xué)兩題得分合計為4分的概率；
（2）若甲同學(xué)計劃每題均隨機選取一項，乙同學(xué)計劃每題均隨機選取兩項，記甲同學(xué)的兩題得分為，乙同學(xué)的兩題得分為，求的期望并判斷誰的方案更優(yōu).
59．（2022·全國·高三專題練習(xí)）甲?乙兩所學(xué)校之間進行排球比賽，采用五局三勝制(先贏3局的學(xué)校獲勝，比賽結(jié)束)，約定比賽規(guī)則如下：先進行男生排球比賽，共比賽兩局，后進行女生排球比賽.按照以往比賽經(jīng)驗，在男生排球此賽中，每局甲校獲勝的概率為，乙校獲勝的概率為，在女生排球比賽中，每局甲校獲勝的概率為，乙校獲勝的概率為.每局比賽結(jié)果相互獨立.
（1）求甲校以3：1獲勝的概率；
（2）記比賽結(jié)束時女生比賽的局數(shù)為，求的概率分布.
60．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））甲、乙兩名射擊運動員在進行射擊訓(xùn)練，已知甲命中10環(huán)，9環(huán)，8環(huán)的概率分別是，，，乙命中10環(huán)，9環(huán)，8環(huán)的概率分別是，，，任意兩次射擊相互獨立.
（1）求甲運動員兩次射擊命中環(huán)數(shù)之和恰好為18的概率；
（2）現(xiàn)在甲、乙兩人進行射擊比賽，每一輪比賽兩人各射擊1次，環(huán)數(shù)高于對方為勝，環(huán)數(shù)低于對方為負，環(huán)數(shù)相等為平局，規(guī)定連續(xù)勝利兩輪的選手為最終的勝者，比賽結(jié)束，求恰好進行3輪射擊后比賽結(jié)束的概率
61．（2021·北京·模擬預(yù)測）第二十四屆冬季奧林匹克運動會將于2022年在北京市和張家口舉行.為了調(diào)查學(xué)生對冬奧會知識的了解情況，某校對高一?高二年級全體學(xué)生進行了相關(guān)知識測試，然后從高一?高二各隨機抽取了20名學(xué)生成績(百分制)，并對數(shù)據(jù)(成績)進行了整理?描述和分析.下面給出了整理的相關(guān)信息：
高一年級成績分布表
（1）從高一和高二樣本中各抽取一人，這兩個人成績都不低于分的概率是多少？
（2）分別從高一全體學(xué)生中抽取一人，從高二全體學(xué)生中抽取人，這三人中成績不低于分的人數(shù)記為，用頻率估計概率，求的分布列和期望？
（3）若按照得分從高到底分為A?B?C?D?E，學(xué)校為提高對冬奧會知識的了解情況需要在高一或高二進行一場講座，假設(shè)講座能夠使學(xué)生成績普遍提高一個級別，那么若要想高一和高二學(xué)生的平均分盡可能的高，需要在高一講座還是高二講座？
62．（2022·全國·高三專題練習(xí)）新冠疫情這特殊的時期，規(guī)定居民出行或出席公共場合均需佩戴口罩，現(xiàn)將地區(qū)居民人一周的口罩使用量統(tǒng)計如表所示，其中個人一周的口罩使用為個以及個上的有人.
（1）求、的值；
（2）用樣本估計總體，將頻率視為概率，若從地區(qū)的所有居民中隨機抽取人，記一周使用口罩數(shù)量（單位：個）在范圍的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
63．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某行業(yè)對本行業(yè)人員的身高有特殊要求，該行業(yè)人員的身高（單位：）服從正態(tài)分布.已知，.
（1）從該行業(yè)中隨機抽取一人，求此人身高在區(qū)間的概率；
（2）從該行業(yè)人員中隨機抽取3人，設(shè)這3人中身高在區(qū)間上的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望（分布列結(jié)果可以只列式不計算）.
64．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某書店打算對A，B，C，D四類圖書進行促銷，為了解銷售情況，在一天中隨機調(diào)查了15位顧客（記為，）購買這四類圖書的情況，記錄如下（單位：本）：
（1）若該書店每天的人流量約為100人次，一個月按30天計算，試估計A類圖書的月銷售量（單位：本）；
（2）書店進行促銷活動，對購買過兩類及以上圖書的顧客贈送5元電子紅包現(xiàn)有甲、乙、丙三人，記他們獲得的電子紅包的總金額為X，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
65．（2022·全國·高三專題練習(xí)）十九大以來，某貧困地區(qū)扶貧辦積極貫徹落實國家精準(zhǔn)扶貧的政策要求，帶領(lǐng)廣大農(nóng)村地區(qū)人民群眾脫貧奔小康．經(jīng)過不懈的奮力拼搏，新農(nóng)村建設(shè)取得巨大進步，農(nóng)民年收入也逐年增加，為了制定提升農(nóng)民收入力爭早日脫貧的工作計劃，該地扶貧辦統(tǒng)計了2019年50位農(nóng)民的年收入并制成如下頻率分布直方圖：
（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計50位農(nóng)民的年平均收入 (單位：千元)(同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點值表示)；
（2）由頻率分布直方圖，可以認為該貧困地區(qū)農(nóng)民收入X服從正態(tài)分布，其中μ近似為年平均收入，近似為樣本方差s2，經(jīng)計算得s2＝6.92，利用該正態(tài)分布，求：
①在扶貧攻堅工作中，若使該地區(qū)約有84.14%的農(nóng)民的年收入高于扶貧辦制定的最低年收入標(biāo)準(zhǔn)，則最低年收入大約為多少千元？
②為了調(diào)研“精準(zhǔn)扶貧，不落一人”的政策要求落實情況，扶貧辦隨機走訪了1 000位農(nóng)民．若每位農(nóng)民的年收入互相獨立，記這1 000位農(nóng)民中的年收入高于12.14千元的人數(shù)為ξ，求E（ξ）．
附參考數(shù)據(jù)：≈2.63，若隨機變量X服從正態(tài)分布N(μ，)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3．
66．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件，測量這些產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得到如圖所示的頻率分布直方圖，質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間內(nèi)，，的頻率之比為4：2：1．
（1）求這些產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間內(nèi)的頻率；
（2）若將頻率視為概率，從該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品中隨機抽取3件，記這3件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)位于區(qū)間[45，75）內(nèi)的產(chǎn)品件數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．
67．（2022·全國·高三專題練習(xí)）羽毛球是一項隔著球網(wǎng)，使用長柄網(wǎng)狀球拍擊打用羽毛和軟木刷制作而成的一種小型球類的室內(nèi)運動項目．羽毛球比賽的計分規(guī)則：采用21分制，即雙方分數(shù)先達21分者勝，3局2勝．每回合中，取勝的一方加1分．每局中一方先得21分且領(lǐng)先至少2分即算該局獲勝，否則繼續(xù)比賽；若雙方打成29平后，一方領(lǐng)先1分，即算該局取勝．某次羽毛球比賽中，甲選手在每回合中得分的概率為，乙選手在每回合中得分的概率為．
（1）在一局比賽中，若甲、乙兩名選手的得分均為18，求在經(jīng)過4回合比賽甲獲勝的概率；
（2）在一局比賽中，記前4回合比賽甲選手得分為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．
68．（2022·全國·高三專題練習(xí)）2020新年伊始爆發(fā)的新冠疫情讓廣大民眾意識到健康的重要性，云南省全面開展愛國衛(wèi)生7個專項行動及健康文明生活的6條新風(fēng)尚行動，其中“科學(xué)健身”鼓勵公眾每天進行60分鐘的體育鍛煉．某社區(qū)從居民中隨機抽取了若干名，統(tǒng)計他們的平均每天鍛煉時間（單位：分鐘/天），得到的數(shù)據(jù)如下表：（所有數(shù)據(jù)均在0~120分鐘/天之間）
（1）求，，的值；
（2）為了鼓勵居民進行體育鍛煉，該社區(qū)決定對運動時間不低于分鐘的居民進行獎勵，為使30%的人得到獎勵，試估計的取值？
（3）在第（2）問的條件下，以頻率作為概率，在該社區(qū)得到獎勵的人中隨機抽取4人，設(shè)這4人中日均鍛煉時間不低于80分鐘的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．
69．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））某高中隨機抽取部分高一學(xué)生調(diào)查其上學(xué)路上所需的時間(單位:分鐘)，并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖)，其中上學(xué)路上所需時間的范圍是，樣本數(shù)據(jù)分組為
（1）求直方圖中的值；
（2）如果上學(xué)路上所需時間不少于1小時的學(xué)生可申請在學(xué)校住宿，若招生1200名，請估計新生中有多少名學(xué)生可以申請住宿；
（3）從學(xué)校的高一學(xué)生中任選4名學(xué)生，這4名學(xué)生中上學(xué)路上所需時間少于 40分鐘的人數(shù)記為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.(以直方圖中的頻率作為概率)
70．（2022·全國·高三專題練習(xí)）從某市的中學(xué)生中隨機調(diào)查了部分男生，獲得了他們的身高數(shù)據(jù)，整理得到如下頻率分布直方圖.
（1）求的值并估計該市中學(xué)生中的全體男生的平均身高（假設(shè)同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替）；
（2）從該市的中學(xué)生中隨機抽取一名男生，根據(jù)直方圖中的信息，估計其身高在以上的概率.若從全市中學(xué)的男生（人數(shù)眾多）中隨機抽取人，用表示身高在以上的男生人數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
71．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知5只動物中有1只患有某種疾病，需要通過血液化驗來確定患病的動物，血液化驗結(jié)果呈陽性的為患病動物．下面是兩種化驗方案：
方案甲：將各動物的血液逐個化驗，直到查出患病動物為止．
方案乙：先取3只動物的血液進行混合，然后檢查，若呈陽性，對這3只動物的血液再逐個化驗，直到查出患病動物；若不呈陽性，則檢查剩下的2只動物中1只動物的血液．分析哪種化驗方案更好．
72．（2022·全國·高三專題練習(xí)）為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取個零件，并測量其尺寸.根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布.假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記表示一天內(nèi)抽取的個零件中其尺寸在之外的零件數(shù).
（1）求值及的數(shù)學(xué)期望的值；
（2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，檢驗員判斷這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進行檢查，檢驗員的判斷是否合理？說明理由.
附：.若，則.
73．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在創(chuàng)建“全國文明衛(wèi)生城”過程中，某市“創(chuàng)城辦”為了調(diào)查市民對創(chuàng)城工作的了解情況，進行了一次創(chuàng)城知識問卷調(diào)查(一位市民只能參加一次)，通過隨機抽樣，得到參加問卷調(diào)查的人的得分統(tǒng)計結(jié)果如下表所示：
（1）由頻數(shù)分布表可以大致認為，此次問卷調(diào)查的得分，近似為這人得分的平均值．(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)，利用該正態(tài)分布，求；
（2）在（1）的條件下，“創(chuàng)城辦”為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎勵方案：
①得分不低于可以獲贈次隨機話費，得分低于的可以獲贈次隨機話費；
②每次獲贈的隨機話費和對應(yīng)的概率如下表所示：
現(xiàn)有市民甲參加此次問卷調(diào)查，記 (單位：元)為該市民參加問卷調(diào)查獲贈的話費，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
(附：參考數(shù)據(jù)：①；②；③若，則，，．
74．（2021·全國·（理））2020年某地在全國志愿服務(wù)信息系統(tǒng)注冊登記志愿者8萬多人．2019年7月份以來，共完成1931個志愿服務(wù)項目，8900多名志愿者開展志愿服務(wù)活動累計超過150萬小時．為了了解此地志愿者對志愿服務(wù)的認知和參與度，隨機調(diào)查了500名志愿者每月的志愿服務(wù)時長（單位：小時），并繪制如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）求這500名志愿者每月志愿服務(wù)時長的樣本平均數(shù)和樣本方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值代表）；
（2）由直方圖可以認為，目前該地志愿者每月服務(wù)時長服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差．一般正態(tài)分布的概率都可以轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率進行計算：若，令，則，且．
（?。├弥狈綀D得到的正態(tài)分布，求；
（ⅱ）從該地隨機抽取20名志愿者，記表示這20名志愿者中每月志愿服務(wù)時長超過10小時的人數(shù)，求（結(jié)果精確到0.001）以及的數(shù)學(xué)期望．
參考數(shù)據(jù)：，．若，則．
75．（2020·山東菏澤·）某高中調(diào)查暑假學(xué)生居家每天鍛煉時間情況，從高一、高二年級學(xué)生中分別隨機抽取100人，由調(diào)查結(jié)果得到如下的頻率分布直方圖：
（1）求a的值；并求高二這100名學(xué)生的鍛煉時間的樣本平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）；
（2）在高一、高二學(xué)生中各隨機抽取1人，求至少有一人的鍛煉時間大于30分鐘的概率；
（3）由頻率分布直方圖可以認為，高二學(xué)生鍛煉時間Z服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差，且每名學(xué)生鍛煉時間相互獨立，設(shè)X表示從高二學(xué)生中隨機抽取50人，其鍛煉時間位于的人數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望.
注：①計算得；②若，則：，.
76．（2020·全國·（理））某學(xué)校為了解全校學(xué)生的體重情況，從全校學(xué)生中隨機抽取了100 人的體重數(shù)據(jù)，得到如下頻率分布直方圖，以樣本的頻率作為總體的概率.
（1）估計這100人體重數(shù)據(jù)的平均值和樣本方差；(結(jié)果取整數(shù)，同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)
（2）從全校學(xué)生中隨機抽取3名學(xué)生，記為體重在的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（3）由頻率分布直方圖可以認為，該校學(xué)生的體重近似服從正態(tài)分布.若，則認為該校學(xué)生的體重是正常的.試判斷該校學(xué)生的體重是否正常?并說明理由.
77．（2021·山東泰安·）某市為了了解本市初中生周末運動時間，隨機調(diào)查了名學(xué)生，統(tǒng)計了他們的周末運動時間，制成如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）按照分層抽樣，從和中隨機抽取了名學(xué)生.現(xiàn)從已抽取的名學(xué)生中隨機推薦名學(xué)生參加體能測試.記推薦的名學(xué)生來自的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）由頻率分布直方圖可認為：周末運動時間服從正態(tài)分布，其中，為周末運動時間的平均數(shù)，近似為樣本的標(biāo)準(zhǔn)差，并已求得.可以用該樣本的頻率估計總體的概率，現(xiàn)從本市所有初中生中隨機抽取名學(xué)生，記周末運動時間在之外的人數(shù)為，求(精確到).
參考數(shù)據(jù)：當(dāng)時，，，.
參考數(shù)據(jù)： .
78．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某市在實施垃圾分類的過程中，從本市人口數(shù)量在兩萬人左右的A類社區(qū)（全市共320個）中隨機抽取了50個進行調(diào)查，統(tǒng)計這50個社區(qū)某天產(chǎn)生的垃圾量（單位：噸），得到如下頻數(shù)分布表，并將這一天垃圾數(shù)量超過28噸的社區(qū)定為“超標(biāo)”社區(qū).
（1）估計該市類社區(qū)這一天垃圾量的平均值.
（2）若該市類社區(qū)這一天的垃圾量大致服從正態(tài)分布，其中近似為個樣本社區(qū)的平均值（精確到0.1噸，估計該市類社區(qū)中“超標(biāo)”社區(qū)的個數(shù).
（3）根據(jù)原始樣本數(shù)據(jù)，在抽取的50個社區(qū)中，這一天共有8個“超標(biāo)”社區(qū)，市政府決定從這8個“超標(biāo)”社區(qū)中任選5個跟蹤調(diào)查其垃圾來源.設(shè)這一天垃圾量不小于30.5噸的社區(qū)個數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望附：若服從正態(tài)分布，則，，.
…
0
1
1-

1
2
3

1
2
3
4
1
2
3
1
2
3
7
8
9
10
0.1
0.3
X
0
1
P
a
b
7
8
9
10
X
1
2
4
P
0.4
0.3
0.3
X1(甲得分)
0
1
2
P
0.2
0.5
0.3
X2(乙得分)
0
1
2
P
0.3
0.3
0.4
0
1
X
－1
0
1
P
等級
特等
一等
二等
三等
等外
個數(shù)
50
100
250
60
40
成績(分數(shù))
人數(shù)
1
2
3
4
10
個人的一周口罩使用數(shù)量（單位：個）
頻率
A
1
1
1
1
1
B
1
1
1
1
1
1
1
1
C
1
1
1
1
1
1
1
D
1
1
1
1
1
1
平均鍛煉時間
人數(shù)
27
39
a
b
45
15
頻率
0.09
0.13
0.38
c
0.15
0.05
組別
頻數(shù)
贈送話費的金額(元)
概率
垃圾量
頻數(shù)
5
6
9
12
8
6
4
第31講 兩點分布、超幾何分布、二項分布、正態(tài)分布
【知識點總結(jié)】
一、離散型隨機變量分布列、期望、方差及其性質(zhì)
（1）離散型隨機變量的分布列.
表13-1
= 1 \* GB3 ① ;
= 2 \* GB3 ② .
（2）表示的期望：，反應(yīng)隨機變量的平均水平，若隨機變量滿足，則.
（3）表示的方差：，反映隨機變量取值的波動性。越小表明隨機變量越穩(wěn)定，反之越不穩(wěn)定。若隨機變量滿足，則。
二、幾種特殊的分布列、期望、方差
（1）兩點分布（又稱0，1分布）
= ，= .
（2）二項分布：若在一次實驗中事件發(fā)生的概率為，則在次獨立重復(fù)實驗中恰好發(fā)生次概率 ，稱服從參數(shù)為的二項分布，記作 ，=，=.
（3）超幾何分布：總數(shù)為的兩類物品，其中一類為件，從中取件恰含中的件， ，其中為與的較小者，，稱 服從參數(shù)為的超幾何分布，記作 ，此時有公式。
三、正態(tài)分布
（1）若是正態(tài)隨機變量，其概率密度曲線的函數(shù)表達式為 ， （其中是參數(shù)，且，）。
其圖像如圖13-7所示，有以下性質(zhì)：
= 1 \* GB3 ①曲線在軸上方，并且關(guān)于直線對稱；
= 2 \* GB3 ②曲線在處處于最高點，并且此處向左右兩邊延伸時，逐漸降低，呈現(xiàn)“中間高，兩邊低”的形狀；
= 3 \* GB3 ③曲線的形狀由確定，越大，曲線越“矮胖”，越小，曲線越“高瘦”；
= 4 \* GB3 ④圖像與軸之間的面積為1.
（2）= ，= ，記作 .
當(dāng)時， 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記作 .
（3） ，則在， ，上取值的概率分別為68.3%，95.4%，99.7%，這叫做正態(tài)分布的原則。
【典型例題】
例1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）小李參加一種紅包接龍游戲：他在紅包里塞了12元，然后發(fā)給朋友，如果猜中，將獲得紅包里的所有金額；如果未猜中，將當(dāng)前的紅包轉(zhuǎn)發(fā)給朋友，如果猜中，，平分紅包里的金額；如果未猜中，將當(dāng)前的紅包轉(zhuǎn)發(fā)給朋友，如果猜中，，和平分紅包里的金額；如果未猜中，紅包里的錢將退回小李的賬戶，設(shè)，，C猜中的概率分別為，，，且，，是否猜中互不影響．
（1）求恰好獲得4元的概率；
（2）設(shè)獲得的金額為元，求的概率分布．
【解析】
解：依題意，當(dāng)且僅當(dāng)猜中時恰好獲得元，
∴恰好獲得元的概率為.
（2）解：的所有可能取值為，
，
，
，
，
∴的概率分布為
例2．（2021·遼寧·大連市一0三中學(xué)高二階段練習(xí)）(1)拋擲一顆骰子兩次,定義隨機變量
試寫出隨機變量的分布列(用表格格式);
(2)拋擲一顆骰子兩次,在第一次擲得向上一面點數(shù)是偶數(shù)的條件下,求第二次擲得向上一面點數(shù)也是偶數(shù)的概率．
【詳解】
試題解析：(1)當(dāng)?shù)谝淮蜗蛏系拿娴狞c數(shù)等于第二次向上的面點數(shù)時,有6種情況,所以
,由互斥事件概率公式得, )
所以所求分布列是
(2)設(shè)第一次擲得向上一面點數(shù)是偶數(shù)的事件為A,第二次擲得向上一面點數(shù)是偶數(shù)的事件為B,在第一次擲得向上一面點數(shù)是偶數(shù)的條件下,第二次擲得向上一面點數(shù)也是偶數(shù)的概率為
或
例3．（2021·北京市第五中學(xué)通州校區(qū)高三階段練習(xí)）在全民抗擊新冠肺炎疫情期間，北京市開展了“停課不停學(xué)”活動，此活動為學(xué)生提供了多種網(wǎng)絡(luò)課程資源．活動開展一個月后，某學(xué)校隨機抽取了高三年級的甲、乙兩個班級進行網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查，統(tǒng)計學(xué)生每天的學(xué)習(xí)時間（單位：h），將樣本數(shù)據(jù)分成[3，4），[4，5），[5，6），[6，7），[7，8]五個組，并整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）已知該校高三年級共有600名學(xué)生，根據(jù)甲班的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，估計該校高三年級每天學(xué)習(xí)時間達到5小時及以上的學(xué)生人數(shù)；
（2）已知這兩個班級各有40名學(xué)生，從甲、乙兩個班級每天學(xué)習(xí)時間不足4小時的學(xué)生中隨機抽取3人，記抽到的甲班學(xué)生人數(shù)為，求的分布列和均值；
（3）記甲、乙兩個班級學(xué)生每天學(xué)習(xí)時間的方差分別為，，試比較與的大小．（只需寫出結(jié)論）
【解析】
（1）由甲班頻率分布直方圖知，甲班每天學(xué)習(xí)時間達到5小時及以上的頻率為．
故該校高三年級每天學(xué)習(xí)時間達到5小時及以上的學(xué)生人數(shù)約為．
（2）甲班每天學(xué)習(xí)時間不足4小時的人數(shù)約為，乙班每天學(xué)習(xí)時間不足4小時的人數(shù)約為，
所以兩個班每天學(xué)習(xí)時間不足4小時的學(xué)生共6人．從中隨機抽取3人．則抽到的甲班學(xué)生人數(shù)的可能取值為0，1，2，且服從超幾何分布，
，，，
所以的分布列為
方法一：．
方法二：．
（3）從甲、乙兩個班學(xué)生每天的學(xué)習(xí)時間的頻率分布直方圖上來看，甲班的數(shù)據(jù)比較集中，乙班的數(shù)據(jù)相比甲班較為分散，故．
例4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在一次國際大型體育運動會上，某運動員報名參加了其中3個項目的比賽．已知該運動員在這3個項目中，每個項目能打破世界紀錄的概率都是，那么在本次運動會上：
（1）求該運動員至少能打破2項世界紀錄的概率；
（2）若該運動員能打破世界紀錄的項目數(shù)為X，求X的分布列及期望．
【詳解】
解：（1）依題意，該運動員在每個項目上“能打破世界紀錄”為獨立事件，并且每個事件發(fā)生的概率相同．
設(shè)其打破世界紀錄的項目數(shù)為隨機變量，
“該運動員至少能打破3項世界紀錄”為事件A，則有
（2）設(shè)該運動員能打破世界紀錄的項目數(shù)為X，由（1）解答可知，，
則,
,
,
，
所以X的分布列為
所以期望．
例5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）2021年是“十四五”規(guī)劃開局之年，也是建黨100周年．為了傳承紅色基因，某學(xué)校開展了“學(xué)黨史，擔(dān)使命”的知識競賽．現(xiàn)從參賽的所有學(xué)生中，隨機抽取100人的成績作為樣本，得到成績的頻率分布直方圖，如圖．
（1）求頻率分布直方圖中的值，并估計該校此次競賽成績的平均分（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值代表）；
（2）在該樣本中，若采用分層抽樣的方法，從成績高于75分的學(xué)生中隨機抽取7人查看他們的答題情況，再從這7人中隨機抽取3人進行調(diào)查分析，求這3人中至少有1人成績在內(nèi)的概率；
（3）假設(shè)競賽成績服從正態(tài)分布，已知樣本數(shù)據(jù)的方差為121，用平均分作為的近似值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計值，求該校本次競賽的及格率（60分及以上為及格）．
參考數(shù)據(jù)：，，．
【詳解】
解：（1）由頻率分布直方圖可得，，
解得．
這組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為
．
所以估計該校此次競賽成績的平均分為71分；
（2）自頻率分布直方圖可知，成績在，內(nèi)的頻率分別為0.25，0.1．
所以采用分層抽樣的方法從樣本中抽取的7人，成績在內(nèi)的有5人，成績在內(nèi)的有2人．
記事件這3人至少有1人成績在內(nèi)
則；
（3）由題意知，樣本方差，故，
所以競賽成績
該校競賽的及格率．
例6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）2019年2月13日《煙臺市全民閱讀促進條例》全文發(fā)布，旨在保障全民閱讀權(quán)利，培養(yǎng)全民閱讀習(xí)慣，提高全民閱讀能力，推動文明城市和文化強市建設(shè)．某高校為了解條例發(fā)布以來全校學(xué)生的閱讀情況，隨機調(diào)查了200名學(xué)生每周閱讀時間 (單位：小時)并繪制如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）求這200名學(xué)生每周閱讀時間的樣本平均數(shù)和樣本方差 (同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值代表)；
（2）由直方圖可以看出，目前該校學(xué)生每周的閱讀時間服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差.
①一般正態(tài)分布的概率都可以轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率進行計算：若，令，則，且.利用直方圖得到的正態(tài)分布，求．
②從該高校的學(xué)生中隨機抽取20名，記表示這20名學(xué)生中每周閱讀時間超過10小時的人數(shù)，求(結(jié)果精確到)以及的均值．
參考數(shù)據(jù)：，.若，則.
【解析】
（1），
（2）①由題意知，，∴．
，.
②由①知，
可得，

.
【技能提升訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）袋中有大小相同的5個球，分別標(biāo)有1，2，3，4，5五個號碼，現(xiàn)在在有放回抽取的條件下依次取出兩個球，設(shè)兩個球的號碼之和為隨機變量X，則X所有可能取值的個數(shù)是（ ）
A．5B．9C．10D．25
【答案】B
【分析】
根據(jù)每次抽取的球號均可能是1，2，3，4，5中某個可得答案.
【詳解】
由于抽球是在有放回條件下進行的，所以每次抽取的球號均可能是1，2，3，4，5中某個，故兩次抽取球號碼之和X的可能取值是2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9個.
故選：B.
2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）一袋中裝有5個球，編號為1，2，3，4，5，在袋中同時取出3個，以ξ表示取出的三個球中的最小號碼，則隨機變量ξ的分布列為（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
先求出隨機變量ξ的可能取值，再計算相應(yīng)的概率，從而得出分布列.
【詳解】
隨機變量ξ的可能取值為1，2，3
故選：C.
3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)隨機變量X的分布列為P(X＝k)＝m(k＝1，2，3)，則m的值為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
由分布列的性質(zhì)得出m的值.
【詳解】
由分布列的性質(zhì)得
故選：B
4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）隨機變量的概率分布為，．若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根據(jù)分布列的性質(zhì)及期望公式得到方程組，求出，，再根據(jù)兩點分布的方差公式計算可得；
【詳解】
解：由題意，得，∴，．
由題意知隨機變量服從參數(shù)為的兩點分布，故．
故選：D
5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)隨機變量的分布列為，則等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
隨機變量的分布列的性質(zhì)求出的值，再根據(jù)，代入對應(yīng)概率，即可求出結(jié)果．
【詳解】
由題意知，概率分布為
由，
解得.
所以.
故選:C.
6．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）某射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列下表：已知的數(shù)學(xué)期望，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
利用離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望列出方程組，能求出的值．
【詳解】
解：的數(shù)學(xué)期望，
由射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列，得，
解得，．
故選：．
7．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））隨機變量X的分布列如下表所示，若，則（ ）
A．9B．7C．5D．3
【答案】C
【分析】
利用離散型隨機變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，列出方程組，求出，，由此能求出方差，再根據(jù)方差的性質(zhì)計算可得．
【詳解】
解：依題意可得，解得，所以
所以
故選：C
8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列如下：
已知的數(shù)學(xué)期望，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根據(jù)分布列的概率之和是，得到關(guān)于和之間的一個關(guān)系式，由變量的期望值，得到另一個關(guān)于和之間的一個關(guān)系式，聯(lián)立方程，解得的值.
【詳解】
由題意可知：，
解得.
故選：B.
【點睛】
本題考查期望和分布列的簡單應(yīng)用，通過創(chuàng)設(shè)情境激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情感，培養(yǎng)其嚴謹治學(xué)的態(tài)度，在學(xué)生分析問題、解決問題的過程中培養(yǎng)其積極探索的精神，屬于基礎(chǔ)題．
9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設(shè)隨機變量ξ表示所選3人中女生的人數(shù)，則P(ξ≤1)等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
由得出所求概率.
【詳解】
故選：D
10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）一個班級共有30名學(xué)生，其中有10名女生，現(xiàn)從中任選三人代表班級參加學(xué)校開展的某項活動，假設(shè)選出的3名代表中的女生人數(shù)為變量X，男生的人數(shù)為變量Y，則等于
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
求出,即得解.
【詳解】
由題得,
所以.
故選：C.
【點睛】
本題主要考查超幾何分布概率的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.
11．（2022·全國·高三專題練習(xí)）“石頭、剪刀、布”，又稱“猜丁殼”，是一種流傳多年的猜拳游戲，起源于中國，然后傳到日本、朝鮮等地，隨著亞歐貿(mào)易的不斷發(fā)展，它傳到了歐洲，到了近代逐漸風(fēng)靡世界.其游戲規(guī)則是：“石頭”勝“剪刀”、“剪刀”勝“布”、而“布”又勝過“石頭”.若所出的拳相同，則為和局.小明和小華兩位同學(xué)進行“五局三勝制”的“石頭、剪刀、布”游戲比賽，則小華獲勝的概率是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
由題意可得每局比賽中小華勝、和、輸?shù)母怕识紴?，再由相互獨立事件的概率乘法以及二項分布的概率計算公式即可求?
【詳解】
根據(jù)“石頭”勝“剪刀”，“剪刀”勝“布”，而“布”又勝“石頭”，
可得每局比賽中小華勝小明、小華與小明和局和小華輸給小明的概率都為，
小華獲勝有三種情況：
①小華連勝三局，概率為，
②小華前三局中兩勝另一局不勝，第四局小華勝，概率為：
P2＝，
③小華前四局中兩勝，另兩局不勝，第五局小華勝，概率為：
P3＝，
∴小華獲勝的概率是P＝P1＋P2＋P3＝.
故選：D.
12．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）設(shè)隨機變量，若，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
利用二項分布求解即可
【詳解】
解得
故選：A
13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若隨機變量，，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根據(jù)二項分布列式，計算出，然后利用正態(tài)分布的特點計算的值.
【詳解】
由題意，，解得，則，所以.
故選：A.
14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）有8件產(chǎn)品，其中4件是次品，從中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次數(shù)，則
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
首先把取一次取得次品的概率算出來，再根據(jù)離散型隨機變量的概率即可算出．
【詳解】
因為是有放回地取產(chǎn)品，所以每次取產(chǎn)品取到次品的概率為．從中取3次，為取得次品的次數(shù)，則,
,選擇D答案．
【點睛】
本題考查離散型隨機變量的概率,解題時要注意二項分布公式的靈活運用.屬于基礎(chǔ)題．
15．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）《乘風(fēng)破浪的姐姐》是一檔深受觀眾喜愛的電視節(jié)目，節(jié)目采用組團比賽的方式進行，參賽選手需要全部參加完五場公開比賽，其中五場中有四場獲勝，就能取得參加決賽的資格.若某參賽選手每場比賽獲勝的概率是，則這名選手能參加決賽的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
利用二項分布的概率計算公式即可求解.
【詳解】
由題意可知五場中獲勝的場次，
所求選手能參加決賽的概率.
故選：D
16．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）將一個半徑適當(dāng)?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器最上方的入口處，小球?qū)⒆杂上侣洌∏蛟谙侣涞倪^程中，將3次遇到黑色障礙物，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到黑色障礙物時，向左、右兩邊下落的概率都是，則小球落入袋中的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
利用二項分布概率公式計算即得.
【詳解】
由于小球每次遇到黑色障礙物時，有一次向左和兩次向右或兩次向左和一次向右下落時，小球?qū)⒙淙階袋，所以．
故選：C．
17．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知隨機變量的分布列為：
則等于（ ）
A．15B．11
C．2.2D．2.3
【答案】A
【分析】
利用期望的公式求得，根據(jù)，即可求解.
【詳解】
由隨機變量的分布列，可得期望，
所以.
故選：A.
18．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知隨機變量，，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
根據(jù)，，可得，然后簡單計算即可.
【詳解】
由題可知: ,，所以
所以
故選：A
19．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某科技公司生產(chǎn)一批同型號的光纖通信儀器，每臺儀器的某個部件由三個電子元件按如圖方式連接而成，若元件或元件正常工作，且元件正常工作，則該部件正常工作.由大數(shù)據(jù)統(tǒng)計顯示：三個電子元件的使用壽命（單位：時）均服從正態(tài)分布，且各個元件能否正常工作相互獨立.現(xiàn)從這批儀器中隨機抽取臺檢測該部件的工作情況（各部件能否正常工作相互獨立），那么這臺儀器中該部件的使用壽命超過小時的臺數(shù)的均值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
計算得出臺儀器中該部件的使用壽命超過小時的臺數(shù)服從二項分布，利用二項分布的期望公式可求得結(jié)果.
【詳解】
由題意可知，該部件每個元件正常工作超過小時的概率均為，
則該部件正常工作超過小時的概率為，
所以臺儀器中該部件的使用壽命超過小時的臺數(shù)服從二項分布，
故所求均值為.
故選：C.
20．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若隨機變量，則下列說法錯誤的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
本題可根據(jù)二項分布的期望與方差的相關(guān)計算得出結(jié)果.
【詳解】
因為隨機變量，
所以，，
所以，，D項錯誤，
故選：D.
21．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））由以往的統(tǒng)計資料表明，甲、乙兩名運動員在比賽中的得分情況為
現(xiàn)有一場比賽，應(yīng)派哪位運動員參加較好（ ）
A．甲B．乙
C．甲、乙均可D．無法確定
【答案】A
【詳解】
∵E(X1)＝E(X2)＝1.1，
D(X1)＝1.12×0.2＋0.12×0.5＋0.92×0.3＝0.49，
D(X2)＝1.12×0.3＋0.12×0.3＋0.92×0.4＝0.69，
∴D(X1)0)，統(tǒng)計結(jié)果顯示P(60≤X≤120)＝0.8，假設(shè)該校參加此次考試的有780人，那么試估計此次考試中，該校成績高于120分的有（ ）人
A．78B．156
C．234D．390
【答案】A
【分析】
根據(jù)正態(tài)分布的對稱性得到120分以上的人數(shù)占比為0.1，再計算人數(shù)得到答案.
【詳解】
因為成績，所以其正態(tài)曲線關(guān)于直線對稱，，根據(jù)對稱性知成績在120分以上的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的，
所以估計成績高于120分的有0.1×780＝78人，
故選：A.
31．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某中學(xué)在高三上學(xué)期期末考試中，理科學(xué)生的數(shù)學(xué)成績.若已知，則從該校理科生中任選一名學(xué)生，他的數(shù)學(xué)成績大于120分的概率為（ ）
A．0.86B．0.64C．0.36D．0.14
【答案】D
【分析】
由已知得，再根據(jù)正態(tài)分布的對稱性求得，由此可得答案.
【詳解】
解：因為學(xué)生成績服從正態(tài)分布，所以
因為，所以，
所以，
故選：D.
32．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則（ ）
A．0.12B．0.22C．0.32D．0.42
【答案】C
【分析】
由，結(jié)合對稱性可知，，從而求得的值．
【詳解】
解：隨機變量服從正態(tài)分布，且，
由對稱性可知，，又，，
故選：C．
33．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））設(shè)X~N（1，1），且其概率密度曲線如圖所示，那么從正方形ABCD中隨機取100000個點，則取自陰影部分的點的個數(shù)的估計值是（ ）
（注：若，則≈0.6827
A．75385B．60375C．70275D．65865
【答案】D
【分析】
利用正態(tài)曲線的對稱性分析求解即可．
【詳解】
解：因為，，
向正方形中隨機投擲一個點，這個點落在陰影部分的概率為，
所以陰影部分的．
故選：．
34．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某班有名學(xué)生，一次數(shù)學(xué)考試的成績近似地服從正態(tài)分布，平均分為，標(biāo)準(zhǔn)差為，理論上說在分到分的人數(shù)約為（ ）
附：若隨機變量，則，，.
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
計算出，乘以即可得解.
【詳解】
因為數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，所以，，
所以，，
因此，理論上說在分到分的人數(shù)約為.
故選：B.
二、多選題
35．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某市有，，，四個景點，一位游客來該市游覽，已知該游客游覽的概率為，游覽，和的概率都是，且該游客是否游覽這四個景點相互獨立.用隨機變量表示該游客游覽的景點的個數(shù)，下列正確的（ ）
A．游客至多游覽一個景點的概率B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】
利用相互獨立事件的概率公式和互斥事件的概率和來判斷A；由題意得隨機變量的可能取值，計算對應(yīng)的概率值，求出數(shù)學(xué)期望，來判斷BCD.
【詳解】
解：記該游客游覽個景點為事件，，
則，
，
所以游客至多游覽一個景點的概率為，故A正確；
隨機變量的可能取值為
，
，
，故B正確；
，
，故C錯誤；
數(shù)學(xué)期望為：，故D正確，
故選：ABD.
【點睛】
本題考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，是基礎(chǔ)題.
36．（2022·全國·高三專題練習(xí)）端午節(jié)，又稱端陽節(jié)、龍舟節(jié)、天中節(jié)等，與春節(jié)、清明節(jié)、中秋節(jié)并稱為中國四大傳統(tǒng)節(jié)日．扒龍舟與食粽是端午節(jié)的兩大禮俗，這兩大禮俗在中國自古傳承，至今不輟．在一個袋中裝有大小一樣的個豆沙粽，個咸肉粽，現(xiàn)從中任取個粽子，設(shè)取出的個粽子中咸肉粽的個數(shù)為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．隨機變量服從二項分布
C．隨機變量服從超幾何分布D．
【答案】ACD
【分析】
根據(jù)服從超幾何分布可判斷BC選項的正誤，利用超幾何分布的概率公式可判斷AD選項的正誤.
【詳解】
由題意知，隨機變量服從超幾何分布，故B錯誤，C正確；
，，
所以，故AD正確．
故選：ACD．
37．（2022·全國·高三專題練習(xí)）紅外線自動測溫門能有效避免測溫者與被測溫者近距離接觸，從而降低潛在的感染風(fēng)險.某廠生產(chǎn)了一批紅外線自動測溫門，其測量體溫誤差服從正態(tài)分布，設(shè)X表示其測量體溫誤差，且，則下列結(jié)論正確的是（附：若隨機變量X服從正態(tài)分布，則，（ ）
A．，B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】
根據(jù)正態(tài)分布的知識可以確定A，再根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性確定B,C,D.
【詳解】
依題意，所以，，即，，故A錯誤；
由于，所以，故B正確；
由于，，所以，故C正確.
由于，，所以，故D正確.
故選：BCD.
38．（2022·全國·高三專題練習(xí)）下列說法正確的是（ ）
A．已知隨機變量，則
B．已知隨機變量，滿足，且，則
C．線性回歸模型中，相關(guān)系數(shù)的絕對值越大，則這兩個變量線性相關(guān)性越強.
D．設(shè)，則越大，正太分布曲線越矮胖
【答案】ACD
【分析】
根據(jù)二項分布的方差公式即可判斷A；根據(jù)均值的性質(zhì)可判斷B；根據(jù)相關(guān)系數(shù)的定義可判斷C；根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)判斷D，進而可得正確選項.
【詳解】
對于A：隨機變量，則，故選項A正確；
對于B：已知隨機變量，滿足，所以，由可知
，所以，故選項B不正確；
對于C：線性回歸模型中，相關(guān)系數(shù)的絕對值越大，則這兩個變量線性相關(guān)性越強，故選項C正確；
對于D：若，越大說明越離散，正太分布曲線越矮胖，故選項D正確；
故選：ACD.
三、雙空題
39．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某學(xué)校實行自主招生，參加自主招生的學(xué)生從8道試題中隨機挑選4道進行作答，至少答對3道才能通過初試.記在這8道試題中甲能答對6道，甲答對試題的個數(shù)為，則甲通過自主招生初試的概率為______，______.
【答案】 3
【分析】
的可能值分別為，計算出各概率，是初試通過的概率，可由分布列計算出期望．
【詳解】
依題意，知甲能通過自主招生初試的概率為.由于的可能取值為2，3，4，，故.
故答案為：；3．
40．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知某品牌電子元件的使用壽命（單位：天）服從正態(tài)分布.
（1）一個該品牌電子元件的使用壽命超過天的概率為_______________________；
（2）由三個該品牌的電子元件組成的一條電路（如圖所示）在天后仍能正常工作（要求能正常工作，， 中至少有一個能正常工作，且每個電子元件能否正常工作相互獨立）的概率為__________________．
（參考公式：若，則）
【答案】##
【分析】
由題設(shè)可知，利用正態(tài)分布的對稱性求電子元件的使用壽命超過天的概率，應(yīng)用獨立事件的乘法公式、互斥事件的加法公式求電路在天后仍能正常工作的概率.
【詳解】
由題設(shè)知：，
∴.
由題意，要使電路能正常工作的概率.
故答案為：，.
四、填空題
41．（2022·全國·高三專題練習(xí)）袋中有4只紅球3只黑球，從袋中任取4只球，取到1只紅球得1分，取到1只黑球得3分，設(shè)得分為隨機變量ξ，則P(ξ≤6)＝________.
【答案】
【分析】
先求出隨機變量的可能取值，再分別求出概率即可.
【詳解】
解：取出的只紅球個數(shù)可能為：、、、個，黑球相應(yīng)個數(shù)為：、、、個
所以時，
所以
故答案為：.
42．（2022·全國·高三專題練習(xí)）隨機變量，，若，，則________
【答案】
【分析】
利用二項分布概率公式求得，再利用正態(tài)分布的對稱性求解的值.
【詳解】
∵隨機變量服從，符合二項分布，
由二項分布概率公式：得：
∴，
解得，
又，
∴.
故答案為：.
43．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)隨機變量，則______.
【答案】
【分析】
利用獨立重復(fù)試驗的概率計算公式，直接計算即可.
【詳解】
因為，
所以.
故答案為：.
【點睛】
本題考查獨立重復(fù)試驗的概率計算，難度較易.注意熟練掌握獨立重復(fù)試驗的概率計算公式：.
44．（2022·全國·高三專題練習(xí)）甲、乙兩名運動員在羽毛球場進行羽毛球比賽，已知每局比賽甲勝的概率為，乙勝的概率為，且各局比賽結(jié)果相互獨立.當(dāng)比賽采取5局3勝制時，甲用4局贏得比賽的概率為.現(xiàn)甲、乙進行6局比賽，則甲勝的局數(shù)的數(shù)學(xué)期望為______.
【答案】4
【分析】
根據(jù)比賽采用5局3勝制時甲用4局贏得比賽的概率為求得每局比賽甲勝的概率，再根據(jù)二項分布的有關(guān)知識求甲勝的局數(shù)的數(shù)學(xué)期望.
【詳解】
先因為比賽采用5局3勝制時甲用4局贏得比賽的概率為，
每局比賽甲勝的概率，所以，解得，
所以每局比賽甲勝的概率為，乙勝的概率為.
由題意可知，隨機變量服從二項分布，
所以，
故甲勝的局數(shù)的數(shù)學(xué)期望為4.
故答案為：
【點睛】
關(guān)鍵點點睛：本題考查二項分布，關(guān)鍵是求出每局比賽甲勝的概率.
45．（2022·重慶市育才中學(xué)模擬預(yù)測）某人共有三發(fā)子彈，他射擊一次命中目標(biāo)的概率是，擊中目標(biāo)后射擊停止，射擊次數(shù)X為隨機變量，則方差______．
【答案】
【分析】
根據(jù)某人共有三發(fā)子彈可得，2，3，然后求得其相應(yīng)概率，再由期望公式求、，最后根據(jù)求值.
【詳解】
由題意知：，2，3，
，，，
∴的分布列為：
∴，，
∴.
故答案為：.
46．（2022·全國·高三專題練習(xí)）隨機變量的概率分布為
且，則________.
【答案】
【分析】
利用離散型隨機變量及其分布列的概率和為1，求出的值，根據(jù)期望，求出的值，再根據(jù)方差的公式，即可求出結(jié)果.
【詳解】
由，得，
∵，
∴，得，
∴.
故答案為：.
47．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知隨機變量X的分布列為
設(shè)Y＝2X＋3，則E（Y）的值為____
【答案】
【分析】
先求出隨機變量X的均值，再根據(jù)其性質(zhì)求解.
【詳解】
因為E（X）＝－＋ ＝－，所以E（Y）＝E（2X＋3）＝2E（X）＋3＝－＋3＝.
故答案為：
48．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若隨機變量，且，則_________．
【答案】1
【分析】
由求出，再求得，進而求得.
【詳解】
因為，所以，解得，所以，故.
故答案為：1.
【點睛】
結(jié)論點睛：
（1）若隨機變量，則，；
（2），.
49．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若隨機變量，且，則______．
【答案】
【分析】
由正態(tài)分布曲線的對稱性，求得，得到，即可求解.
【詳解】
由題意，隨機變量，且，
根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性，可得，
所以.
故答案為：.
50．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某校在一次月考中約有人參加考試，數(shù)學(xué)考試的成績（，試卷滿分分），統(tǒng)計結(jié)果顯示數(shù)學(xué)考試成績在分到分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的，則此次月考中數(shù)學(xué)考試成績不低于分的學(xué)生約有__________人.
【答案】
【詳解】
試題分析：∵成績ξ~N(90，a2)，
∴其正態(tài)曲線關(guān)于直線x=90對稱，
又∵成績在70分到110分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的
由對稱性知:
成績在110分以上的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的 ，
∴此次數(shù)學(xué)考試成績不低于110分的學(xué)生約有:×600=120.
考點：正態(tài)分布.
五、解答題
51．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知X服從參數(shù)為0.3的兩點分布．
（1）求；
（2）若，寫出Y的分布列．
【答案】
（1）0.7
（2）答案見解析．
【分析】
（1）根據(jù)二項分布的概念求解；
（2）求出的可能值，寫出分布列即可．
（1）
．
（2）
時，，時，，
所以的分布列為：
52．（2022·全國·高三專題練習(xí)）北京冬季奧運會將于2022年2月4日至2022年2月20日在中華人民共和國北京市和河北省張家口市聯(lián)合舉行.這是中國歷史上第一次舉辦冬季奧運會，北京、張家口同為主辦城市，也是中國繼北京奧運會、南京青奧會之后第三次舉辦奧運賽事.北京冬奧組委對報名參加北京冬奧會志愿者的人員開展冬奧會志愿者的培訓(xùn)活動，并在培訓(xùn)結(jié)束后進行了一次考核.為了解本次培訓(xùn)活動的效果，從中隨機抽取80名志愿者的考核成績，根據(jù)這80名志愿者的考核成績，得到的統(tǒng)計圖表如下所示.
若參加這次考核的志愿者考核成績在內(nèi)，則考核等級為優(yōu)秀.
（1）分別求這次培訓(xùn)考核等級為優(yōu)秀的男、女志愿者人數(shù)；
（2）若從樣本中考核等級為優(yōu)秀的志愿者中隨機抽取3人進行學(xué)習(xí)心得分享，記抽到女志愿者的人數(shù)為X，求X的分布列及期望.
【答案】（1）考核等級為優(yōu)秀的男志愿者人數(shù)為5，考核等級為優(yōu)秀的女志愿者人數(shù)為7；（2）分布列見解析，期望為.
【分析】
（1）根據(jù)頻率分布表求出女志愿者的人數(shù)，由概率和等于求出，進而根據(jù)概率與志愿者總?cè)藬?shù)可求出優(yōu)秀人數(shù).
（2）根據(jù)超幾何分布求出分布列，再由分布列以及期望計算公式即可求解.
【詳解】
解：（1）由女志愿者考核成績的頻率分布表可知被抽取的女志愿者的人數(shù)為.
因為，所以，
所以這次培訓(xùn)考核等級為優(yōu)秀的女志愿者人數(shù)為.
因為被抽取的志愿者人數(shù)是80，所以被抽取的男志愿者人數(shù)是.
由男志愿者考核成績頻率分布直方圖可知男志愿者這次培訓(xùn)考核等級為優(yōu)秀的頻率為，
則這次培訓(xùn)考核等級為優(yōu)秀的男志愿者人數(shù)為.
（2）由題意可知X的可能取值為0，1，2，3.
，，
，.
X的分布列為
故
53．（2022·全國·高三專題練習(xí)）端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習(xí)俗.設(shè)一盤中裝有6個粽子，其中肉粽1個，蛋黃粽2個，豆沙粽3個，這三種粽子的外觀完全相同，從中任意選取2個.
（1）用表示取到的豆沙粽的個數(shù)，求的分布列；
（2）求選取的2個中至少有1個豆沙粽的概率.
【答案】（1）分布列見解析；（2）.
【分析】
（1）首先求隨機變量，再利用古典概型求概率；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果求概率.
【詳解】
（1）由條件可知，
，，，
所以的分布列，如下表，
（2）選取的2個中至少有1個豆沙粽的對立事件是一個都沒有，
則選取的2個中至少有1個豆沙粽的概率.
54．（2022·全國·高三專題練習(xí)）隨著我國國民消費水平的不斷提升，進口水果也受到了人們的喜愛，世界各地鮮果紛紛從空中、海上匯聚中國：泰國的榴蓮、山竹、椰青，厄瓜多爾的香蕉，智利的車厘子，新西蘭的金果獼猴桃等水果走進了千家萬戶，某種水果按照果徑大小可分為五個等級：特等、一等、二等、三等和等外，某水果進口商從采購的一批水果中隨機抽取500個，利用水果的等級分類標(biāo)準(zhǔn)得到的數(shù)據(jù)如下：
（1）若將樣本頻率視為概率，從這批水果中隨機抽取6個，求恰好有3個水果是二等級別的概率．
（2）若水果進口商進口時將特等級別與一等級別的水果標(biāo)注為優(yōu)級水果，則用分層抽樣的方法從這500個水果中抽取10個，再從抽取的10個水果中隨機抽取3個，表示抽取的優(yōu)級水果的數(shù)量，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．
【答案】（1）；（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為．
【分析】
（1）先求出抽到二等級別水果的頻率，從而可得抽到二等級別水果的概率為，所以隨機抽取6個，若設(shè)抽到二等級別水果的個數(shù)為，則，然后利用二項分布的概率公式求解即可，
（2）利用分層抽樣可得抽取的10個中其中優(yōu)級水果有3個，非優(yōu)級水果有7個，則可得優(yōu)級水果的數(shù)量服從超幾何分布，所有可能的取值為0，1，2，3，利用超幾何分布的概率公式求各自對應(yīng)的概率，從而可求得的分布列及數(shù)學(xué)期望
【詳解】
解：（1）設(shè)從500個水果中隨機抽取一個，抽到二等級別水果的事件為，
則，
隨機抽取6個，設(shè)抽到二等級別水果的個數(shù)為，則，
所以恰好抽到3個二等級別水果的概率為．
（2）用分層抽樣的方法從500個水果中抽取10個，
則其中優(yōu)級水果有3個，非優(yōu)級水果有7個．
現(xiàn)從中抽取3個，則優(yōu)級水果的數(shù)量服從超幾何分布，所有可能的取值為0，1，2，3．
則，，
，．
所以的分布列如下：
所以．
55．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某外語學(xué)校的一個社團有7名同學(xué)，其中2人只會法語，2人只會英語，3人既會法語又會英語，現(xiàn)選派3人到法國的學(xué)校交流訪問.求：
（1）在選派的3人中恰有2人會法語的概率；
（2）求在選派的3人中既會法語又會英語的人數(shù)的分布列.
【答案】（1）；（2）見解析.
【分析】
（1）利用組合的知識計算出基本事件總數(shù)和滿足題意的基本事件數(shù)，根據(jù)古典概型概率公式求得結(jié)果；
（2）確定所有可能的取值，根據(jù)超幾何分布概率公式可計算出每個取值對應(yīng)的概率，進而得到分布列.
【詳解】
（1）名同學(xué)中，會法語的人數(shù)為人，
從人中選派人，共有種選法；其中恰有人會法語共有種選法；
選派的人中恰有人會法語的概率.
（2）由題意可知：所有可能的取值為，
；；
；；
的分布列為：
【點睛】
56．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在心理學(xué)研究中，常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響，具體方法如下：將參加試驗的志愿者隨機分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評價兩種心理暗示的作用，現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示．
（1）求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的頻率．
（2）用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列．
【答案】
（1）；
（2）答案見解析﹒
【分析】
(1)基本事件總數(shù)，其中接受甲種心理暗示的志愿者中包含但不包含的基本事件有：，由此能求出接受甲種心理暗示的志愿者中包含但不包含的概率．
(2)設(shè)表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，則的可能取值為0，1，2，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出的分布列．
（1）
現(xiàn)有6名男志愿者，，，，，和4名女志愿者，，，，
從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示．
基本事件總數(shù)，
其中接受甲種心理暗示的志愿者中包含但不包含的基本事件有：
．
接受甲種心理暗示的志愿者中包含但不包含的概率．
（2）
設(shè)表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，則的可能取值為0，1，2，3，4，
，
，
，
，
的分布列為：
57．（2022·全國·高三專題練習(xí)）2021年7月24日，中國選手楊倩在東京奧運會女子10米氣步槍決賽中，為中國代表團攬入本界奧運會第一枚金牌.受奧運精神的鼓舞，某射擊俱樂部組織200名射擊愛好者進行一系列的測試，并記錄他們的射擊技能分數(shù)（單位：分），將所得數(shù)據(jù)分成7組：，，…，，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）求這200名射擊愛好者中射擊技能分數(shù)低于60分的人數(shù)；
（2）從樣本中射擊技能分數(shù)在的射擊愛好者中采用分層抽樣的方法抽取8人，再從這8人中隨機抽取3人進一步進行射擊訓(xùn)練，記抽取的3人中射擊技能分數(shù)不低于70分的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.
【答案】
（1）
（2）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：
【分析】
（1）先根據(jù)頻率分布直方圖得到射擊技能分數(shù)低于60分的頻率，然后可得射擊技能分數(shù)低于60分的人數(shù)；
（2）根據(jù)頻率分布直方圖及分層抽樣的知識得到抽取的8人中射擊技能分數(shù)不低于70分的人數(shù)和射擊技能分數(shù)低于70分的人數(shù)，然后寫出X的所有可能取值，根據(jù)超幾何分布的概率公式分別求出各個取值對應(yīng)的概率，最后可得分布列和數(shù)學(xué)期望.
（1）
由頻率分布直方圖可知，射擊技能分數(shù)低于60分的頻率為，所以這200名射擊愛好者中射擊技能分數(shù)低于60分的人數(shù)為.
（2）
由頻率分布直方圖可知，射擊技能分數(shù)在，，的頻率分別為0.2，0.4，0.2，
由分層抽樣的知識知抽取的8名射擊愛好者中，射擊技能分數(shù)不低于70分的人數(shù)為，則射擊技能分數(shù)低于70分的人數(shù)為.
所以X的所有可能取值為1，2，3，
；；；
X的分布列為
所以.
58．（2022·全國·高三專題練習(xí)）新高考的數(shù)學(xué)試卷第1至第8題為單選題，第9至第12題為多選題.多選題A、B、C、D四個選項中至少有兩個選項符合題意，其評分標(biāo)準(zhǔn)如下：全部選對得5分，部分選對得2分，選錯或不選得0分.在某次考試中，第11、12兩題的難度較大，第11題正確選項為AD，第12題正確選項為ABD.甲?乙兩位同學(xué)由于考前準(zhǔn)備不足，只能對這兩道題的選項進行隨機選取，每個選項是否被選到是等可能的.
（1）若甲同學(xué)每題均隨機選取一項，求甲同學(xué)兩題得分合計為4分的概率；
（2）若甲同學(xué)計劃每題均隨機選取一項，乙同學(xué)計劃每題均隨機選取兩項，記甲同學(xué)的兩題得分為，乙同學(xué)的兩題得分為，求的期望并判斷誰的方案更優(yōu).
【答案】
（1）
（2）（分），(分)，甲同學(xué)的方案更優(yōu).
【分析】
（1）根據(jù)相互獨立事件的概率公式進行求解即可；
（2）根據(jù)相互獨立事件的概率公式，結(jié)合數(shù)學(xué)期望公式進行求解判斷即可.
（1）
因為甲同學(xué)兩題得分合計為4分，所以這兩道題每道題得2分，
所以甲同學(xué)兩題得分合計為4分的概率為：；
（2）
甲同學(xué)的兩題得分的可能取值為
所以，，
，
所以的分布列為：
因此（分），
乙同學(xué)第11題可能得分為：，，
，
乙同學(xué)第12題可能得分為：，，
，
乙同學(xué)的兩題得分的可能取值為，
所以，
，
，
，
所以的分布列為：
因此(分)，
因為，所以甲同學(xué)的方案更優(yōu).
59．（2022·全國·高三專題練習(xí)）甲?乙兩所學(xué)校之間進行排球比賽，采用五局三勝制(先贏3局的學(xué)校獲勝，比賽結(jié)束)，約定比賽規(guī)則如下：先進行男生排球比賽，共比賽兩局，后進行女生排球比賽.按照以往比賽經(jīng)驗，在男生排球此賽中，每局甲校獲勝的概率為，乙校獲勝的概率為，在女生排球比賽中，每局甲校獲勝的概率為，乙校獲勝的概率為.每局比賽結(jié)果相互獨立.
（1）求甲校以3：1獲勝的概率；
（2）記比賽結(jié)束時女生比賽的局數(shù)為，求的概率分布.
【答案】（1）；（2）分布列答案見解析.
【分析】
（1）根據(jù)相互獨立事件概率乘法公式計算出所求概率.
（2）根據(jù)相互獨立事件概率乘法公式計算出所求分布列.
【詳解】
（1）甲校以3：1獲勝，則甲校在第四局獲勝，前三局勝兩局，
.
（2）的所有可能取值為1，2，3，
，
，
，
故的概率分布為：
60．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））甲、乙兩名射擊運動員在進行射擊訓(xùn)練，已知甲命中10環(huán)，9環(huán)，8環(huán)的概率分別是，，，乙命中10環(huán)，9環(huán)，8環(huán)的概率分別是，，，任意兩次射擊相互獨立.
（1）求甲運動員兩次射擊命中環(huán)數(shù)之和恰好為18的概率；
（2）現(xiàn)在甲、乙兩人進行射擊比賽，每一輪比賽兩人各射擊1次，環(huán)數(shù)高于對方為勝，環(huán)數(shù)低于對方為負，環(huán)數(shù)相等為平局，規(guī)定連續(xù)勝利兩輪的選手為最終的勝者，比賽結(jié)束，求恰好進行3輪射擊后比賽結(jié)束的概率
【答案】（1）（2）
【分析】
（1）甲運動員兩次射擊命中環(huán)數(shù)之和恰好為18包含“第一次10環(huán)和第二次8環(huán)”，“第一次8環(huán)第二次10環(huán)”，“第一次9環(huán)和第二次9環(huán)”這三種情況，分別求三種情況概率再求和；
（2）求恰好進行3輪射擊后比賽結(jié)束的概率，先確定甲勝利，平局，失敗的概率，恰好進行3輪射擊后比賽結(jié)束情形包括兩種：①當(dāng)甲獲得最終勝利結(jié)束3輪比賽時，由第2輪、第3輪甲連續(xù)勝利，第一輪甲沒有獲得勝利，算出其概率P1；②當(dāng)乙獲得最終勝利結(jié)束3輪比賽時，則第2輪、第3輪乙連續(xù)勝利，第1輪乙沒有獲得勝利，其概率P2，兩情形概率之和即為所求.
【詳解】
（1）記X表示甲運動員兩次射擊命中環(huán)數(shù)之和，
則X＝18包含“第一次10環(huán)和第二次8環(huán)”，“第一次8環(huán)第二次10環(huán)”，“第一次9環(huán)和第二次9環(huán)”這三種情況，
∴甲運動員兩次射擊命中環(huán)數(shù)之和恰好為18的概率為：
P.
（2）記Ai表示甲在第i輪勝利，Bi表示甲在第i輪平局，?i表示甲在第i輪失敗，
∴P（Ai），P（Bi），P（?i），
①當(dāng)甲獲得最終勝利結(jié)束3輪比賽時，由第2輪、第3輪甲連續(xù)勝利，第一輪甲沒有獲得勝利，
其概率P1，
②當(dāng)乙獲得最終勝利結(jié)束3輪比賽時，則第2輪、第3輪乙連續(xù)勝利，第1輪乙沒有獲得勝利，
其概率P2，
∴經(jīng)過3輪比賽結(jié)束的概率P.
【點睛】
本題考查了概率的計算，第一種為已知取值，求取此值的概率，常常利用排列組合、枚舉法、概率公式等方法計算，第二種需要分析判斷得到結(jié)果所有的可能情況，再根據(jù)每種狀況求出概率，屬于中檔題.
61．（2021·北京·模擬預(yù)測）第二十四屆冬季奧林匹克運動會將于2022年在北京市和張家口舉行.為了調(diào)查學(xué)生對冬奧會知識的了解情況，某校對高一?高二年級全體學(xué)生進行了相關(guān)知識測試，然后從高一?高二各隨機抽取了20名學(xué)生成績(百分制)，并對數(shù)據(jù)(成績)進行了整理?描述和分析.下面給出了整理的相關(guān)信息：
高一年級成績分布表
（1）從高一和高二樣本中各抽取一人，這兩個人成績都不低于分的概率是多少？
（2）分別從高一全體學(xué)生中抽取一人，從高二全體學(xué)生中抽取人，這三人中成績不低于分的人數(shù)記為，用頻率估計概率，求的分布列和期望？
（3）若按照得分從高到底分為A?B?C?D?E，學(xué)校為提高對冬奧會知識的了解情況需要在高一或高二進行一場講座，假設(shè)講座能夠使學(xué)生成績普遍提高一個級別，那么若要想高一和高二學(xué)生的平均分盡可能的高，需要在高一講座還是高二講座？
【答案】（1）；（2）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：；（3）高二.
【分析】
（1）根據(jù)事件的同時發(fā)生可直接求得答案；
（2）先取隨機變量的取值，再分別計算概率，從而可得分布列及期望；
（3）由圖表可直接判斷.
【詳解】
（1）設(shè)從高一樣本中抽取一人成績不低于90分為事件，從高二抽取一人成績不低于90分為事件B，兩人成績都不低于90分的概率為：
；
（2）由題意可知從高一年級中抽取一人此人成績不低于90分的概率為從高二年級中抽取一人此人成績不低于90分的概率為
的可取值為
，
，
，
.
的分布列如下表
所以.
（3）由于高一年級低分段的人數(shù)相比高二年級要少得多，需要在高二講座.
62．（2022·全國·高三專題練習(xí)）新冠疫情這特殊的時期，規(guī)定居民出行或出席公共場合均需佩戴口罩，現(xiàn)將地區(qū)居民人一周的口罩使用量統(tǒng)計如表所示，其中個人一周的口罩使用為個以及個上的有人.
（1）求、的值；
（2）用樣本估計總體，將頻率視為概率，若從地區(qū)的所有居民中隨機抽取人，記一周使用口罩數(shù)量（單位：個）在范圍的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
【答案】（1），；（2）分布列見解析，期望為.
【分析】
（1）根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的方程，即可求得結(jié)果；
（2）分析可得，利用二項分布可得出隨機變量的分布列，進而可求得的值.
【詳解】
（1）由題意可得，則，
因為，解得；
（2）從地區(qū)的所有居民中隨機抽取人，此人一周使用口罩數(shù)量（單位：個）在范圍內(nèi)的概率為，則，
所以，，，
，，
，
所以，隨機變量的分布列如下表所示：
故.
63．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某行業(yè)對本行業(yè)人員的身高有特殊要求，該行業(yè)人員的身高（單位：）服從正態(tài)分布.已知，.
（1）從該行業(yè)中隨機抽取一人，求此人身高在區(qū)間的概率；
（2）從該行業(yè)人員中隨機抽取3人，設(shè)這3人中身高在區(qū)間上的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望（分布列結(jié)果可以只列式不計算）.
【答案】
（1）
（2）分布列見解析；.
【分析】
（1）根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性，得到，即可求解；
（2）根據(jù)題意，求得，得到服從二項分布，結(jié)合獨立重復(fù)試驗的概率公式和二項分布期望公式，即可求解.
（1）
解：由題意，該行業(yè)人員的身高（單位：）服從正態(tài)分布，
可得正態(tài)分布曲線的對稱軸為，
根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性，可得
因為，，
可得.
（2）
解：由，可得，
又由，可得，
則隨機變量服從二項分布，
可得，，
，，
所以隨機變量的分布列為：
可得隨機變量的期望為.
64．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某書店打算對A，B，C，D四類圖書進行促銷，為了解銷售情況，在一天中隨機調(diào)查了15位顧客（記為，）購買這四類圖書的情況，記錄如下（單位：本）：
（1）若該書店每天的人流量約為100人次，一個月按30天計算，試估計A類圖書的月銷售量（單位：本）；
（2）書店進行促銷活動，對購買過兩類及以上圖書的顧客贈送5元電子紅包現(xiàn)有甲、乙、丙三人，記他們獲得的電子紅包的總金額為X，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【答案】（1）1000；（2）分布列見解析，.
【分析】
（1）根據(jù)15名顧客的數(shù)據(jù)，用頻率代替概率可估計A圖書的月銷售量；（2）根據(jù)表格數(shù)據(jù)，算出一個人買兩本及以上的書的人次進行計算.
【詳解】
（1），
即A類圖書的月銷售量約為1000本.
（2）顧客購買兩類及以上圖書的概率約為.
的取值范圍為，
，
，
，
.
所以X的分布列為
所以.
65．（2022·全國·高三專題練習(xí)）十九大以來，某貧困地區(qū)扶貧辦積極貫徹落實國家精準(zhǔn)扶貧的政策要求，帶領(lǐng)廣大農(nóng)村地區(qū)人民群眾脫貧奔小康．經(jīng)過不懈的奮力拼搏，新農(nóng)村建設(shè)取得巨大進步，農(nóng)民年收入也逐年增加，為了制定提升農(nóng)民收入力爭早日脫貧的工作計劃，該地扶貧辦統(tǒng)計了2019年50位農(nóng)民的年收入并制成如下頻率分布直方圖：
（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計50位農(nóng)民的年平均收入 (單位：千元)(同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點值表示)；
（2）由頻率分布直方圖，可以認為該貧困地區(qū)農(nóng)民收入X服從正態(tài)分布，其中μ近似為年平均收入，近似為樣本方差s2，經(jīng)計算得s2＝6.92，利用該正態(tài)分布，求：
①在扶貧攻堅工作中，若使該地區(qū)約有84.14%的農(nóng)民的年收入高于扶貧辦制定的最低年收入標(biāo)準(zhǔn)，則最低年收入大約為多少千元？
②為了調(diào)研“精準(zhǔn)扶貧，不落一人”的政策要求落實情況，扶貧辦隨機走訪了1 000位農(nóng)民．若每位農(nóng)民的年收入互相獨立，記這1 000位農(nóng)民中的年收入高于12.14千元的人數(shù)為ξ，求E（ξ）．
附參考數(shù)據(jù)：≈2.63，若隨機變量X服從正態(tài)分布N(μ，)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3．
【答案】（1）17.40千元；（2）①14.77千元；②E（ξ）＝977.3．
【分析】
（1）根據(jù)頻率分布直方圖的平均數(shù)的計算公式求得，即可求得50位農(nóng)民的年平均收入．
（2）由隨機變量，①求得，求得的值，即可求解；②由，得到，結(jié)合二項分布的期望公式，即可求解.
【詳解】
（1）由題意，根據(jù)頻率分布直方圖的平均數(shù)的計算公式，可得：
（千元）
故估計50位農(nóng)民的年平均收入千元．
（2）由題意知，隨機變量，
①，
所以時，滿足題意，
即最低年收入大約為千元．
②由，
每個農(nóng)民的年收入高于千元的事件的概率為，
則，其中，
所以．
66．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件，測量這些產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得到如圖所示的頻率分布直方圖，質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間內(nèi)，，的頻率之比為4：2：1．
（1）求這些產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間內(nèi)的頻率；
（2）若將頻率視為概率，從該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品中隨機抽取3件，記這3件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)位于區(qū)間[45，75）內(nèi)的產(chǎn)品件數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【答案】（1）0.05；（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為1.8．
【分析】
（1）長方形面積為對應(yīng)區(qū)間的概率，概率之和為1，那么面積之和為1，結(jié)合質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間內(nèi)，，的頻率之比為4：2：1，即可求出對應(yīng)區(qū)間的概率；
（2）求出位于區(qū)間[45，75）內(nèi)的概率為，寫出的可能取值及其分布列，即可得到數(shù)學(xué)期望.
【詳解】
（1）設(shè)這些產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間內(nèi)的頻率為，則在區(qū)間，內(nèi)的頻率分別為和．
依題意得，解得．所以這些產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間內(nèi)的頻率為0.05．
（2）從該企業(yè)生產(chǎn)的該種產(chǎn)品中隨機抽取3件，相當(dāng)于進行了3次獨立重復(fù)試驗，
所以，其中．
由（1）得，這些產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間內(nèi)的頻率為，
將頻率視為概率為．
因為的所有可能取值為0，1，2，3，
且，
，
，
．
所以的分布列為
隨機變量的數(shù)學(xué)期望或者（）．
67．（2022·全國·高三專題練習(xí)）羽毛球是一項隔著球網(wǎng)，使用長柄網(wǎng)狀球拍擊打用羽毛和軟木刷制作而成的一種小型球類的室內(nèi)運動項目．羽毛球比賽的計分規(guī)則：采用21分制，即雙方分數(shù)先達21分者勝，3局2勝．每回合中，取勝的一方加1分．每局中一方先得21分且領(lǐng)先至少2分即算該局獲勝，否則繼續(xù)比賽；若雙方打成29平后，一方領(lǐng)先1分，即算該局取勝．某次羽毛球比賽中，甲選手在每回合中得分的概率為，乙選手在每回合中得分的概率為．
（1）在一局比賽中，若甲、乙兩名選手的得分均為18，求在經(jīng)過4回合比賽甲獲勝的概率；
（2）在一局比賽中，記前4回合比賽甲選手得分為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．
【答案】（1）；（2）分布列見解析；期望為3．
【分析】
（1）可知甲在第4回合勝，前3回合勝2場，進而根據(jù)獨立重復(fù)試驗的概率公式即可求出結(jié)果；
（2）求出X的取值，進而求出對應(yīng)的概率，列出分布列，利用二項分布的期望即可求出結(jié)果．
【詳解】
（1）記在經(jīng)過4回合比賽，甲獲勝為事件A，
可知甲在第4回合勝，前3回合勝2場，所以；
（2）易知X的取值為0，1，2，3，4，且，
，，
，，
，
所以X的分布列為：
數(shù)學(xué)期望．
68．（2022·全國·高三專題練習(xí)）2020新年伊始爆發(fā)的新冠疫情讓廣大民眾意識到健康的重要性，云南省全面開展愛國衛(wèi)生7個專項行動及健康文明生活的6條新風(fēng)尚行動，其中“科學(xué)健身”鼓勵公眾每天進行60分鐘的體育鍛煉．某社區(qū)從居民中隨機抽取了若干名，統(tǒng)計他們的平均每天鍛煉時間（單位：分鐘/天），得到的數(shù)據(jù)如下表：（所有數(shù)據(jù)均在0~120分鐘/天之間）
（1）求，，的值；
（2）為了鼓勵居民進行體育鍛煉，該社區(qū)決定對運動時間不低于分鐘的居民進行獎勵，為使30%的人得到獎勵，試估計的取值？
（3）在第（2）問的條件下，以頻率作為概率，在該社區(qū)得到獎勵的人中隨機抽取4人，設(shè)這4人中日均鍛煉時間不低于80分鐘的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【答案】（1），；；（2）；（3）分布列見解析；期望為．
【分析】
（1）根據(jù)頻率和為1求得，設(shè)總?cè)藬?shù)為，則得及、；
（2）由表中數(shù)據(jù)位于之間，且占0.1可得答案；
（3）求出的所有可能取值及對應(yīng)的概率可得分布列及期望.
【詳解】
（1）由題意，
設(shè)總?cè)藬?shù)為，則，得，
∴，．
（2），分別占0.15和0.05，共0.2，要使得30%到獎勵，
則位于之間，且占0.1，∴．
（3）該社區(qū)得到獎勵的人中鍛煉時間不低于鐘的占，
，的所有可能取值為0，1，2，3，4，
則，
，
，
，
，
∴的分布列如下：
．
69．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））某高中隨機抽取部分高一學(xué)生調(diào)查其上學(xué)路上所需的時間(單位:分鐘)，并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖)，其中上學(xué)路上所需時間的范圍是，樣本數(shù)據(jù)分組為
（1）求直方圖中的值；
（2）如果上學(xué)路上所需時間不少于1小時的學(xué)生可申請在學(xué)校住宿，若招生1200名，請估計新生中有多少名學(xué)生可以申請住宿；
（3）從學(xué)校的高一學(xué)生中任選4名學(xué)生，這4名學(xué)生中上學(xué)路上所需時間少于 40分鐘的人數(shù)記為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.(以直方圖中的頻率作為概率)
【答案】（1）0.0025；（2）180；（3）分布列見解析，期望為.
【分析】
（1）根據(jù)頻率直方圖的矩形面積之和為1求出x的值；
（2）根據(jù)上學(xué)時間不少于1小時的頻率估計住校人數(shù)；
（3）根據(jù)二項分布的概率計算公式得出分布列,再求數(shù)學(xué)期望.
【詳解】
( 1 )由直方圖可得:∴x=0.0025.
(2) 新生上學(xué)所需時間不少于1小時的頻率為,
所以新生中可以申請住宿的人數(shù)為：1200×0.15=180人
所以估計1200名新生中有180名學(xué)生可以申請住宿.
（3）X的可能取值為0,1,2,3,4.
由直方圖可知每一個學(xué)生上學(xué)所需時間少于40分鐘的概率為，
所以，
,
,
,
則X的分布列為：
故
.
即X的數(shù)學(xué)期望為.
70．（2022·全國·高三專題練習(xí)）從某市的中學(xué)生中隨機調(diào)查了部分男生，獲得了他們的身高數(shù)據(jù)，整理得到如下頻率分布直方圖.
（1）求的值并估計該市中學(xué)生中的全體男生的平均身高（假設(shè)同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替）；
（2）從該市的中學(xué)生中隨機抽取一名男生，根據(jù)直方圖中的信息，估計其身高在以上的概率.若從全市中學(xué)的男生（人數(shù)眾多）中隨機抽取人，用表示身高在以上的男生人數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【答案】（1），平均身高為；（2）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：.
【分析】
（1）利用直方圖的面積之和為可求得的值，將每個矩形底邊的中點值乘以矩形的面積，再將所得結(jié)果全部相加可得出平均數(shù)；
（2）分析可知，根據(jù)二項分布可得隨機變量的分布列，進而可計算得出的值.
【詳解】
（1）根據(jù)題意得，解得，
設(shè)樣本中男生身高的平均值為，
，
所以估計該市中學(xué)全體男生的平均身高為；
（3）從全市中學(xué)的男生中任意抽取一人，其身高在以上的概率約為.
由已知得，
所以，，
，.
隨機變量的分布列為
所以.
71．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知5只動物中有1只患有某種疾病，需要通過血液化驗來確定患病的動物，血液化驗結(jié)果呈陽性的為患病動物．下面是兩種化驗方案：
方案甲：將各動物的血液逐個化驗，直到查出患病動物為止．
方案乙：先取3只動物的血液進行混合，然后檢查，若呈陽性，對這3只動物的血液再逐個化驗，直到查出患病動物；若不呈陽性，則檢查剩下的2只動物中1只動物的血液．分析哪種化驗方案更好．
【答案】方案乙更好.
【分析】
用，分別表示兩個方案所需化驗的次數(shù)，通過比較的大小即得.
【詳解】
用表示方案甲所需化驗的次數(shù)，則可取1,2,3,4，
∴；
用表示方案乙所需化驗的次數(shù)，則可取2,3
若，有兩種可能：
先化驗3只結(jié)果為陽性，再從中逐個化驗時，恰好一次驗中的概率為，
先化驗3只結(jié)果為陰性，再從其余2只中取1只化驗的概率為，
故，
若，只有一種可能：先化驗3只結(jié)果為陽性，再從中逐個化驗時，恰好兩次驗出時的概率為，
∴，
∴，
故方案乙更好.
72．（2022·全國·高三專題練習(xí)）為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取個零件，并測量其尺寸.根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布.假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記表示一天內(nèi)抽取的個零件中其尺寸在之外的零件數(shù).
（1）求值及的數(shù)學(xué)期望的值；
（2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，檢驗員判斷這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進行檢查，檢驗員的判斷是否合理？說明理由.
附：.若，則.
【答案】（1），；（2）檢驗員的判斷是合理的，理由見解析.
【分析】
（1）分析可知，利用對立事件的概率公式可求得的值，利用二項分布的期望公式可求得的值；
（2）根據(jù)一天抽取的個零件中，出現(xiàn)尺寸在之外的概率以及的值可得出結(jié)論.
【詳解】
（1）抽取一個零件尺寸在之內(nèi)的概率為，
從而零件尺寸在之外的概率為，故.
因此，；
（2）如果生產(chǎn)狀態(tài)正常，一天抽取的個零件中，出現(xiàn)尺寸在之外的概率為，發(fā)生的概率很小，期望值為，也很小.
因此這種情況一旦發(fā)生，就有理由認為這條生產(chǎn)線在這一天生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進行檢查，可見檢驗員的判斷是合理的.
73．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在創(chuàng)建“全國文明衛(wèi)生城”過程中，某市“創(chuàng)城辦”為了調(diào)查市民對創(chuàng)城工作的了解情況，進行了一次創(chuàng)城知識問卷調(diào)查(一位市民只能參加一次)，通過隨機抽樣，得到參加問卷調(diào)查的人的得分統(tǒng)計結(jié)果如下表所示：
（1）由頻數(shù)分布表可以大致認為，此次問卷調(diào)查的得分，近似為這人得分的平均值．(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)，利用該正態(tài)分布，求；
（2）在（1）的條件下，“創(chuàng)城辦”為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎勵方案：
①得分不低于可以獲贈次隨機話費，得分低于的可以獲贈次隨機話費；
②每次獲贈的隨機話費和對應(yīng)的概率如下表所示：
現(xiàn)有市民甲參加此次問卷調(diào)查，記 (單位：元)為該市民參加問卷調(diào)查獲贈的話費，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
(附：參考數(shù)據(jù)：①；②；③若，則，，．
【答案】
（1）
（2）分布列見解析，
【分析】
（1）計算均值即可得，由正態(tài)分布，得，根據(jù)原則計算；（2）計算，根據(jù)題意判斷獲贈話費的可能取值，分別計算對應(yīng)的概率，列出分布列并計算期望.
（1）
由題意得，
，，
（2）
由題意知，，
獲贈話費的可能取值為，
，，，
，，
則的分布列如表所示：
【點睛】
求解正態(tài)分布問題時，注意計算出，然后對照原則代入求解對應(yīng)的概率.
74．（2021·全國·（理））2020年某地在全國志愿服務(wù)信息系統(tǒng)注冊登記志愿者8萬多人．2019年7月份以來，共完成1931個志愿服務(wù)項目，8900多名志愿者開展志愿服務(wù)活動累計超過150萬小時．為了了解此地志愿者對志愿服務(wù)的認知和參與度，隨機調(diào)查了500名志愿者每月的志愿服務(wù)時長（單位：小時），并繪制如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）求這500名志愿者每月志愿服務(wù)時長的樣本平均數(shù)和樣本方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值代表）；
（2）由直方圖可以認為，目前該地志愿者每月服務(wù)時長服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差．一般正態(tài)分布的概率都可以轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率進行計算：若，令，則，且．
（?。├弥狈綀D得到的正態(tài)分布，求；
（ⅱ）從該地隨機抽取20名志愿者，記表示這20名志愿者中每月志愿服務(wù)時長超過10小時的人數(shù)，求（結(jié)果精確到0.001）以及的數(shù)學(xué)期望．
參考數(shù)據(jù)：，．若，則．
【答案】（1）9，1.64；（2）（?。?.7734，（ⅱ）0.994，4.532.
【分析】
（1）根據(jù)平均數(shù)和方差的公式直接求解即可.
（2）（?。┯桑?）可得由題知，，所以，則可得答案.
（ⅱ）（ⅰ）知,則從而可得答案.
【詳解】
解：（1）．
．
（2）（?。┯深}知，，所以，．
所以．
（ⅱ）由（?。┲傻茫?br>．
故的數(shù)學(xué)期望．
【點睛】
關(guān)鍵點睛：本題考查根據(jù)頻率分布直方圖求平均數(shù)和方差以及根據(jù)正態(tài)分布求概率和二項分布問題，解答本題的關(guān)鍵是將問題“從該地隨機抽取20名志愿者，記表示這20名志愿者中每月志愿服務(wù)時長超過10小時的人數(shù)”，轉(zhuǎn)化為得到，屬于中檔題.
75．（2020·山東菏澤·）某高中調(diào)查暑假學(xué)生居家每天鍛煉時間情況，從高一、高二年級學(xué)生中分別隨機抽取100人，由調(diào)查結(jié)果得到如下的頻率分布直方圖：
（1）求a的值；并求高二這100名學(xué)生的鍛煉時間的樣本平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）；
（2）在高一、高二學(xué)生中各隨機抽取1人，求至少有一人的鍛煉時間大于30分鐘的概率；
（3）由頻率分布直方圖可以認為，高二學(xué)生鍛煉時間Z服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差，且每名學(xué)生鍛煉時間相互獨立，設(shè)X表示從高二學(xué)生中隨機抽取50人，其鍛煉時間位于的人數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望.
注：①計算得；②若，則：，.
【答案】（1），；（2）；（3）.
【分析】
（1）利用頻率之和為列方程，解方程求得的值.根據(jù)頻率分布直方圖計算出平均數(shù).
（2）利用相互獨立事件概率計算公式，結(jié)合對立事件概率計算公式，計算出所求概率.
（3）先求得從高二中隨機抽取一人，其鍛煉時間位于的概率，根據(jù)二項分布期望公式，計算出.
【詳解】
（1）依題意知，
得，
；
（2）設(shè)事件A：在高一中隨機抽取一人，其鍛煉時間大于30分鐘，
事件B：在高二中隨機抽取一人，其鍛煉時間大于30分鐘，
事件C：在高一、高二中隨機抽取一人，至少有一人鍛煉時間大于30分鐘，
，，
所以；
（3）由題意知，
從而，
所以從高二中隨機抽取一人，其鍛煉時間位于的概率為0.6826，
依題意知，
所以.
【點睛】
本小題主要考查頻率分布直方圖，考查二項分布、正態(tài)分布等知識，屬于中檔題.
76．（2020·全國·（理））某學(xué)校為了解全校學(xué)生的體重情況，從全校學(xué)生中隨機抽取了100 人的體重數(shù)據(jù)，得到如下頻率分布直方圖，以樣本的頻率作為總體的概率.
（1）估計這100人體重數(shù)據(jù)的平均值和樣本方差；(結(jié)果取整數(shù)，同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)
（2）從全校學(xué)生中隨機抽取3名學(xué)生，記為體重在的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（3）由頻率分布直方圖可以認為，該校學(xué)生的體重近似服從正態(tài)分布.若，則認為該校學(xué)生的體重是正常的.試判斷該校學(xué)生的體重是否正常?并說明理由.
【答案】（1）60；25（2）見解析，2.1（3）可以認為該校學(xué)生的體重是正常的.見解析
【分析】
（1）根據(jù)頻率分布直方圖可求出平均值和樣本方差；
（2）由題意知服從二項分布，分別求出，，，，進而可求出分布列以及數(shù)學(xué)期望；
（3）由第一問可知服從正態(tài)分布，繼而可求出的值，從而可判斷.
【詳解】
解：（1）
（2）由已知可得從全校學(xué)生中隨機抽取1人，體重在的概率為0.7.
隨機拍取3人，相當(dāng)于3次獨立重復(fù)實驗，隨機交量服從二項分布，
則，，
，，
所以的分布列為：
數(shù)學(xué)期望
（3）由題意知服從正態(tài)分布，
則，
所以可以認為該校學(xué)生的體重是正常的.
【點睛】
本題考查了由頻率分布直方圖求進行數(shù)據(jù)估計，考查了二項分布，考查了正態(tài)分布.注意，統(tǒng)計類問題，如果題目中沒有特殊說明，則求出數(shù)據(jù)的精度和題目中數(shù)據(jù)的小數(shù)后位數(shù)相同.
77．（2021·山東泰安·）某市為了了解本市初中生周末運動時間，隨機調(diào)查了名學(xué)生，統(tǒng)計了他們的周末運動時間，制成如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）按照分層抽樣，從和中隨機抽取了名學(xué)生.現(xiàn)從已抽取的名學(xué)生中隨機推薦名學(xué)生參加體能測試.記推薦的名學(xué)生來自的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）由頻率分布直方圖可認為：周末運動時間服從正態(tài)分布，其中，為周末運動時間的平均數(shù)，近似為樣本的標(biāo)準(zhǔn)差，并已求得.可以用該樣本的頻率估計總體的概率，現(xiàn)從本市所有初中生中隨機抽取名學(xué)生，記周末運動時間在之外的人數(shù)為，求(精確到).
參考數(shù)據(jù)：當(dāng)時，，，.
參考數(shù)據(jù)： .
【答案】（1）分布列見解析，；（2）.
【分析】
（1）根據(jù)頻率分布直方圖求出在上抽取的人數(shù)為人，在上抽取的人數(shù)為人，隨機變量的所有可能取值為，，，，利用組合數(shù)得出各隨機變量的概率，進而得出分布列，即可求出數(shù)學(xué)期望.
（2）利用頻率分布直方圖求出平均數(shù)，得出，利用正態(tài)分布的性質(zhì)得出，再根據(jù)二項分布的概率計算公式即可求解.
【詳解】
解：運動時間在的人數(shù)為人.
運動時間在的人數(shù)為人.
按照分層抽樣共抽取人，則在上抽取的人數(shù)為人，
在上抽取的人數(shù)為人.
隨機變量的所有可能取值為，，，.
所以隨機變量的分布列為
，
（或）
【點睛】
關(guān)鍵點點睛：本題考查了離散型隨機變量的分布列、頻率分布直方圖以及正態(tài)分布，二項分布求概率，解題的關(guān)鍵是根據(jù)頻率分布直方圖求均值以及利用正態(tài)分布的性質(zhì)求出，考查了計算能力.
78．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某市在實施垃圾分類的過程中，從本市人口數(shù)量在兩萬人左右的A類社區(qū)（全市共320個）中隨機抽取了50個進行調(diào)查，統(tǒng)計這50個社區(qū)某天產(chǎn)生的垃圾量（單位：噸），得到如下頻數(shù)分布表，并將這一天垃圾數(shù)量超過28噸的社區(qū)定為“超標(biāo)”社區(qū).
（1）估計該市類社區(qū)這一天垃圾量的平均值.
（2）若該市類社區(qū)這一天的垃圾量大致服從正態(tài)分布，其中近似為個樣本社區(qū)的平均值（精確到0.1噸，估計該市類社區(qū)中“超標(biāo)”社區(qū)的個數(shù).
（3）根據(jù)原始樣本數(shù)據(jù)，在抽取的50個社區(qū)中，這一天共有8個“超標(biāo)”社區(qū)，市政府決定從這8個“超標(biāo)”社區(qū)中任選5個跟蹤調(diào)查其垃圾來源.設(shè)這一天垃圾量不小于30.5噸的社區(qū)個數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望附：若服從正態(tài)分布，則，，.
【答案】
（1）平均值約為22.76噸
（2）51個
（3）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：
【分析】
（1）直接利用平均數(shù)公式計算該市類社區(qū)這一天垃圾量的平均值；
（2）利用正態(tài)分布求出，即得解；
（3）由題得的可能取值為1，2，3，4，再求出對應(yīng)的概率，即得解.
（1）
解：樣本數(shù)據(jù)各組的中點值分別為14，17，20，23，26，29，32，
則.
估計該市類社區(qū)這一天垃圾量的平均值約為22.76噸.
（2）
解：據(jù)題意，得，，即，
則.
因為，
所以估計該市類社區(qū)中“超標(biāo)”社區(qū)約51個.
（3）
解：由頻數(shù)分布表知8個社區(qū)中這一天的垃圾量不小于30.5噸的“超標(biāo)”社區(qū)有4個，則垃圾量在內(nèi)的“超標(biāo)社區(qū)也有4個，則的可能取值為1，2，3，4.
，，
，.
則的分布列為
所以.
…
0
1
1-
0
4
6
12

0
1


0
1
2
X
0
1
2
3
P

1
2
3

1
2
3
4
1
2
3
1
2
3
7
8
9
10
0.1
0.3
X
0
1
P
a
b
7
8
9
10
X
1
2
4
P
0.4
0.3
0.3
X1(甲得分)
0
1
2
P
0.2
0.5
0.3
X2(乙得分)
0
1
2
P
0.3
0.3
0.4
1
2
3
0
1
X
－1
0
1
P
1
3
0.7
0.3
X
0
1
2
3
P
等級
特等
一等
二等
三等
等外
個數(shù)
50
100
250
60
40
0
1
2
3
0
1
2
3
4
X
1
2
3
P
1
2
3
成績(分數(shù))
人數(shù)
1
2
3
4
10
0
1
2
3
個人的一周口罩使用數(shù)量（單位：個）
頻率
0
1
2
3
A
1
1
1
1
1
B
1
1
1
1
1
1
1
1
C
1
1
1
1
1
1
1
D
1
1
1
1
1
1
X
0
5
10
15
P
0
1
2
3
0.064
0.288
0.432
0.216
X
0
1
2
3
4
P
平均鍛煉時間
人數(shù)
27
39
a
b
45
15
頻率
0.09
0.13
0.38
c
0.15
0.05
0
1
2
3
4
X
0
1
2
3
4
P
組別
頻數(shù)
贈送話費的金額(元)
概率
0
1
2
3
0.027
0.189
0.441
0.343
垃圾量
頻數(shù)
5
6
9
12
8
6
4
1
2
3
4

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