第01講計(jì)數(shù)原理（三大題型）（講義）-2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（新教材新高考）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

2、精練習(xí)題。復(fù)習(xí)時(shí)不要搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，應(yīng)在老師的指導(dǎo)下，選一些源于課本的變式題，或體現(xiàn)基本概念、基本方法的基本題，通過解題來提高思維能力和解題技巧，加深對所學(xué)知識(shí)的深入理解。在解題時(shí)，要獨(dú)立思考，一題多思，一題多解，反復(fù)玩味，悟出道理。
3、加強(qiáng)審題的規(guī)范性。每每大考過后，總有同學(xué)抱怨沒考好，糾其原因是考試時(shí)沒有注意審題。審題決定了成功與否，不解決這個(gè)問題勢必影響到高考的成敗。那么怎么審題呢? 應(yīng)找出題目中的已知條件 ;善于挖掘題目中的隱含條件 ;認(rèn)真分析條件與目標(biāo)的聯(lián)系，確定解題思路。
4、重視錯(cuò)題。錯(cuò)誤是最好的老師”，但更重要的是尋找錯(cuò)因，及時(shí)進(jìn)行總結(jié)，三五個(gè)字，一兩句話都行，言簡意賅，切中要害，以利于吸取教訓(xùn)，力求相同的錯(cuò)誤不犯第二次。
第01講計(jì)數(shù)原理
目錄
知識(shí)點(diǎn)1、分類加法計(jì)數(shù)原理
完成一件事，有類辦法，在第1類辦法中有種不同的辦法，在第2類辦法中有種不同的方法，…，在第類辦法中有種不同的方法，那么完成這件事共有：種不同的方法．
知識(shí)點(diǎn)2、分步乘法計(jì)數(shù)原理
完成一件事，需要分成個(gè)步驟，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法，…，做第步有種不同的方法，那么完成這件事共有：種不同的方法．
注意：兩個(gè)原理及其區(qū)別
分類加法計(jì)數(shù)原理和“分類”有關(guān)，如果完成某件事情有類辦法，這類辦法之間是互斥的，那么求完成這件事情的方法總數(shù)時(shí)，就用分類加法計(jì)數(shù)原理．
分步乘法計(jì)數(shù)原理和“分步”有關(guān)，是針對“分步完成”的問題．如果完成某件事情有個(gè)步驟，而且這幾個(gè)步驟缺一不可，且互不影響（獨(dú)立），當(dāng)且僅當(dāng)依次完成這個(gè)步驟后，這件事情才算完成，那么求完成這件事情的方法總數(shù)時(shí)，就用分步乘法計(jì)數(shù)原理．
當(dāng)然，在解決實(shí)際問題時(shí)，并不一定是單一應(yīng)用分類計(jì)數(shù)原理或分步計(jì)數(shù)原理，有時(shí)可能同時(shí)用到兩個(gè)計(jì)數(shù)原理．即分類時(shí)，每類的方法可能運(yùn)用分步完成；而分步后，每步的方法數(shù)可能會(huì)采取分類的思想求方法數(shù)．對于同一問題，我們可以從不同的角度去處理，從而得到不同的解法（但方法數(shù)相同），這也是檢驗(yàn)排列組合問題的很好方法．
知識(shí)點(diǎn)3、兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用
如果完成一件事的各種方法是相互獨(dú)立的，那么計(jì)算完成這件事的方法數(shù)時(shí)，使用分類計(jì)數(shù)原理．如果完成一件事的各個(gè)步驟是相互聯(lián)系的，即各個(gè)步驟都必須完成，這件事才告完成，那么計(jì)算完成這件事的方法數(shù)時(shí)，使用分步計(jì)數(shù)原理．
題型一：分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用
例1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對”.在一個(gè)正方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對”的個(gè)數(shù)是（）
A．48B．18C．24D．36
【答案】D
【解析】正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線有棱、面對角線、體對角線，
對于每一條棱，都可以與兩個(gè)側(cè)面構(gòu)成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有（個(gè)）；
對于每一條面對角線，都可以與一個(gè)對角面構(gòu)成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有12個(gè)，
不存在四個(gè)頂點(diǎn)確定的平面與體對角線垂直，
所以正方體中“正交線面對”共有（個(gè)）.
故選：D
例2．（2023·四川成都·雙流中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，小黑圓表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點(diǎn)，結(jié)點(diǎn)之間的連線表示它們有網(wǎng)線相連．連線上標(biāo)注的數(shù)字表示該段網(wǎng)線單位時(shí)間內(nèi)可以通過的最大信息量．現(xiàn)從結(jié)點(diǎn)A向結(jié)點(diǎn)B傳遞信息（）

A．26B．24C．20D．19
【答案】D
【解析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形知，
從A到B傳播路徑有4條，如圖所示；
途徑①傳播的最大信息量為3，途徑②傳播的最大信息量為4；
途徑③傳播的最大信息量為6，途徑④傳播的最大信息量為6；
所以從A向B傳遞信息，單位時(shí)間內(nèi)傳遞的最大信息量為，
故選：D．
例3．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高三揚(yáng)中市第二高級中學(xué)校考階段練習(xí)）定義：“各位數(shù)字之和為7的四位數(shù)叫好運(yùn)數(shù)”，比如1006，2203，則所有好運(yùn)數(shù)的個(gè)數(shù)為（）
A．82B．83C．84D．85
【答案】C
【解析】因?yàn)楦魑粩?shù)字之和為7的四位數(shù)叫好運(yùn)數(shù)，所以按首位數(shù)字分別計(jì)算：
當(dāng)首位數(shù)字為7，則剩余三位數(shù)分別為0，0，0，共有1個(gè)好運(yùn)數(shù)；
當(dāng)首位數(shù)字為6，則剩余三位數(shù)分別為1，0，0，共有3個(gè)好運(yùn)數(shù)；
當(dāng)首位數(shù)字為5，則剩余三位數(shù)分別為1，1，0或2，0，0，共有個(gè)好運(yùn)數(shù)；
當(dāng)首位數(shù)字為4，則剩余三位數(shù)分別為3，0，0或2，1，0或1，1，1，共有個(gè)好運(yùn)數(shù)；
當(dāng)首位數(shù)字為3，則剩余三位數(shù)分別為4，0，0或3，1，0或2，2，0或2，1，1，
共有個(gè)好運(yùn)數(shù)；
當(dāng)首位數(shù)字為2，則剩余三位數(shù)分別為5，0，0或4，1，0或3，2，0或3，1，1或2，2，1，
共有個(gè)好運(yùn)數(shù)；
當(dāng)首位數(shù)字為1，則剩余三位數(shù)分別為6，0，0或5，1，0或4，2，0或4，1，1或3，3，0或3，2，1或2，2，2，
共有個(gè)好運(yùn)數(shù)；
所以共有個(gè)好運(yùn)數(shù)，
故選：C
變式1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）從1，2，3，4，5，6中選取4個(gè)數(shù)字，組成各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字既不全相同，也不兩兩互異的四位數(shù)，記四位數(shù)中各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字從左往右依次為a，b，c，d，且要求，則滿足條件的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為 .
【答案】105
【解析】由題意可知，只用2個(gè)不同的數(shù)字時(shí)，有（種）選法，
按照位數(shù)要求，每種數(shù)字組合組成的符合要求的四位數(shù)有3個(gè)，比如數(shù)字1和2，可以構(gòu)成的四位數(shù)有1222，1122，1112，所以共有（個(gè)）符合要求的四位數(shù).
只用3個(gè)不同的數(shù)字時(shí)，有（種）選法，
按照位數(shù)要求，每種數(shù)字組合組成的符合要求的四位數(shù)有3個(gè)，比如數(shù)字1，2，3，可以構(gòu)成的四位數(shù)有1123，1223，1233，所以共有（個(gè)）符合要求的四位數(shù).
故符合要求的四位數(shù)總共有（個(gè)）.
故答案為：105
變式2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知直線方程，若從0、1、2、3、5、7這六個(gè)數(shù)中每次取兩個(gè)不同的數(shù)分別作為A、B的值，則可表示條不同的直線．
【答案】22
【解析】當(dāng)時(shí)，可表示1條直線；當(dāng)時(shí)，可表示1條直線；
當(dāng)時(shí)，A有5種選法，B有4種選法，可表示條不同的直線．
由分類加法計(jì)數(shù)原理，知共可表示條不同的直線．
故答案為：22
變式3．（2023·遼寧·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）某迷宮隧道貓爬架如圖所示，，C為一個(gè)長方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，，是邊長為3米的大正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)，且大正方形由完全相同的9小正方形拼成.若小貓從點(diǎn)沿著圖中的線段爬到點(diǎn)，再從點(diǎn)沿著長方體的棱爬到點(diǎn)，則小貓從點(diǎn)爬到點(diǎn)可以選擇的最短路徑共有條.

【答案】
【解析】小貓要從點(diǎn)爬到點(diǎn)，需要先從點(diǎn)爬到點(diǎn)，需要走3橫3豎，則可選的路徑共有條，
再從點(diǎn)爬到點(diǎn)的路徑共6條，用分步乘法計(jì)數(shù)原理可得小貓可以選擇的最短路徑有20×6=120條.
故答案為：120.
【解題方法總結(jié)】
分類標(biāo)準(zhǔn)的選擇
（1）應(yīng)抓住題目中的關(guān)鍵詞、關(guān)鍵元素、關(guān)鍵位置．根據(jù)題目特點(diǎn)恰當(dāng)選擇一個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn)．
（2）分類時(shí)應(yīng)注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法是不同的方法，不能重復(fù)，但也不能有遺漏．
題型二：分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用
例4．（2023·廣東深圳·高三?？茧A段練習(xí)）甲、乙、丙3個(gè)公司承包6項(xiàng)不同的工程，甲承包1項(xiàng)，乙承包2項(xiàng)，丙承包3項(xiàng)，則共有種承包方式（用數(shù)字作答）.
【答案】60
【解析】由題意得，不同的承包方案分步完成，先讓甲承包1項(xiàng)，有種，再讓乙承包2項(xiàng)，有，剩下的3項(xiàng)丙承包，
所以由分步乘法原理可得共有種方案，
故答案為：60
例5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若一個(gè)三位數(shù)同時(shí)滿足：①各數(shù)位的數(shù)字互不相同；②任意兩個(gè)數(shù)位的數(shù)字之和不等于9，則這樣的三位數(shù)共有個(gè)．(結(jié)果用數(shù)字作答)
【答案】432
【解析】從百位開始討論：
（1）百位數(shù)字為1，十位數(shù)字有0,2,3,4,5,6,7,9，（除1,8外所有數(shù)字）；
當(dāng)十位數(shù)字為0時(shí)，個(gè)位數(shù)字為2,3,4,5,6,7,（除1,0，8，9外所有數(shù)字），所以對應(yīng)的三位數(shù)有種；
（2）百位數(shù)字為2,3,4,5,6,7,8,9，情況同（1）；
綜上這樣的三位數(shù)共有：種；
故答案為：432.
例6．（2023·安徽亳州·高三蒙城第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）將3名男生，2名女生排成一排，要求男生甲必須站在中間，2名女生必須相鄰的排法種數(shù)有（）
A．4種B．8種C．12種D．48種
【答案】B
【解析】先讓甲站好中間位置，再讓2名女生相鄰有兩種選法，最后再排剩余的2名男生，
根據(jù)分步乘法原理得，有種不同的排法.
故選：B
變式4．（2023·四川成都·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）“數(shù)獨(dú)九宮格”原創(chuàng)者是18世紀(jì)的瑞士數(shù)學(xué)家歐拉，它的游戲規(guī)則很簡單，將1到9這九個(gè)自然數(shù)填到如圖所示的小九宮格的9個(gè)空格里，每個(gè)空格填一個(gè)數(shù)，且9個(gè)空格的數(shù)字各不相同，若中間空格已填數(shù)字5，且只填第二行和第二列，并要求第二行從左至右及第二列從上至下所填的數(shù)字都是從小到大排列的，則不同的填法種數(shù)為（）
A．72B．108
C．144D．196
【答案】C
【解析】按題意，5的上方和左邊只能從1，2，3，4中選取，5的下方和右邊只能從6，7，8，9中選?。谝徊?，填上方空格，有4種方法；第二步，填左方空格，有3種方法；第三步，填下方空格，有4種方法；第四步，填右方空格，有3種方法.
由分步計(jì)數(shù)原理得，填法總數(shù)為.
故選：C.
變式5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）三棱柱各面所在平面將空間分成不同部分的個(gè)數(shù)為（）
A．18B．21C．24D．27
【答案】B
【解析】三棱柱的三個(gè)側(cè)面將空間分成7部分，三棱柱的兩個(gè)底面將空間分成3部分．
故三棱柱各面所在平面將空間分成不同部分的個(gè)數(shù)為．
故選：B．
變式6．（2023·河北石家莊·高三校聯(lián)考期中）臨近春節(jié)，某校書法愛好小組書寫了若干副春聯(lián)，準(zhǔn)備贈(zèng)送給四戶孤寡老人．春聯(lián)分為長聯(lián)和短聯(lián)兩種，無論是長聯(lián)或短聯(lián)，內(nèi)容均不相同．經(jīng)過調(diào)查，四戶老人各戶需要1副長聯(lián)，其中乙戶老人需要1副短聯(lián)，其余三戶各要2副短聯(lián)．書法愛好小組按要求選出11副春聯(lián)，則不同的贈(zèng)送方法種數(shù)為（）
A．15120B．7560C．12520D．12160
【答案】A
【解析】4副長聯(lián)內(nèi)容不同，贈(zèng)送方法有種；
從剩余的7副短聯(lián)中選出1副贈(zèng)送給乙戶老人，有種方法，
再將剩余的6副短聯(lián)平均分為3組，最后將這3組贈(zèng)送給三戶老人，
方法種數(shù)為．
所以所求方法種數(shù)為．
故選：A
變式7．（2023·北京東城·高三北京市廣渠門中學(xué)校考開學(xué)考試）魚缸里有8條熱帶魚和2條冷水魚，為避免熱帶魚咬死冷水魚，現(xiàn)在把魚缸出孔打開，讓魚隨機(jī)游出，每次只能游出1條，直至2條冷水魚全部游出就關(guān)閉出孔，若恰好第3條魚游出后就關(guān)閉了出孔，則不同游出方案的種數(shù)為（）
A．16B．32C．36D．48
【答案】B
【解析】由題意得，前2條魚游出1條冷水魚，1條熱帶魚，第3條為另一條冷水魚，
先選出一條熱帶魚，有種，再選出一條冷水魚，有種，
兩條魚可在第一條魚和第二條魚順序上進(jìn)行全排列，
則不同游出方案的種數(shù)為.
故選：B
變式8．（2023·湖南·高三臨澧縣第一中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）在如圖所示的表格中填寫，，三個(gè)數(shù)字，要求每一行、每一列均有這個(gè)數(shù)字，則不同的填法種數(shù)為（）．
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】先填第一行，有種填法；再填第二行，有種填法；最后填第三行，只有種填法；
不同的填法種數(shù)為種.
故選：C.
變式9．（2023·黑龍江佳木斯·高三?？奸_學(xué)考試）甲、乙分別從門不同課程中選修門，且人選修的課程不同，則不同的選法有（）種．
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】甲從門課程中選擇門，有種選法；乙再從甲未選的課程中選擇門，有種選法；
根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得：不同的選法有種.
故選：C.
變式10．（2023·陜西西安·西安市第三十八中學(xué)?？寄M預(yù)測）從六人（含甲）中選四人完成四項(xiàng)不同的工作（含翻譯），則甲被選且甲不參加翻譯工作的不同選法共有（）
A．120種B．150種C．180種D．210種
【答案】C
【解析】依題意可得，甲需從除翻譯外的其他三項(xiàng)工作中任選一項(xiàng)，有3種選法，
再從其余五人中選三人參加剩下的三項(xiàng)工作，有種選法，
所以滿足條件的不同選法共有種．
故選：C
變式11．（2023·貴州黔東南·凱里一中?？寄M預(yù)測）某足球比賽有，，，，，，，，共9支球隊(duì)，其中，，為第一檔球隊(duì)，，，為第二檔球隊(duì)，，，為第三檔球隊(duì)，現(xiàn)將上述9支球隊(duì)分成3個(gè)小組，每個(gè)小組3支球隊(duì)，若同一檔位的球隊(duì)不能出現(xiàn)在同一個(gè)小組中，則不同的分組方法有（）
A．27種B．36種C．72種D．144種
【答案】B
【解析】根據(jù)題意，先排，共有1種排法；
再排，共有種不同的排法；
最后排，共有種不同的排法，
由分步計(jì)數(shù)原理得，共有種不同的排法.
故選：B.
【解題方法總結(jié)】
利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解題的策略
（1）明確題目中的“完成這件事”是什么，確定完成這件事需要幾個(gè)步驟，且每步都是獨(dú)立的．
（2）將這件事劃分成幾個(gè)步驟來完成，各步驟之間有一定的連續(xù)性，只有當(dāng)所有步驟都完成了，整個(gè)事件才算完成．
題型三：兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用
例7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）第屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)于月日至月日在成都舉辦，現(xiàn)在從男女共名青年志愿者中，選出男女共名志愿者，安排到編號為、、、、的個(gè)賽場，每個(gè)賽場只有一名志愿者，其中女志愿者甲不能安排在編號為、的賽場，編號為的賽場必須安排女志愿者，那么不同安排方案有（）
A．種B．種C．種D．種
【答案】D
【解析】分以下兩種情況討論：
①女志愿者甲被選中，則還需從剩余的人中選出男女，選法種數(shù)為，
則女志愿者甲可安排在號或號或號賽場，另一位女志愿者安排在號賽場，
余下個(gè)男志愿者隨意安排，此時(shí)，不同的安排種數(shù)為；
②女志愿者甲沒被選中，則還需從剩余人中選出男女，選法種數(shù)為，
編號為的賽場必須安排女志愿者，只需從名女志愿者中抽人安排在號賽場，
余下人可隨意安排，此時(shí)，不同的安排方法種數(shù)為.
由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，不同的安排方法種數(shù)為種.
故選：D.
例8．（2023·江蘇南京·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）從2位男生，3位女生中安排3人到三個(gè)場館做志愿者，每個(gè)場館各1人，且至少有1位男生入選，則不同安排方法有（）種
A．16B．36C．54D．96
【答案】C
【解析】當(dāng)選擇一個(gè)男生，二個(gè)女生時(shí)，不同的安排方法有；
當(dāng)選擇二個(gè)男生，一個(gè)女生時(shí)，不同的安排方法有，
所以不同安排方法有種，
故選：C
例9．（2023·上海黃浦·高三上海市敬業(yè)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）三位同學(xué)參加跳高、跳遠(yuǎn)、鉛球項(xiàng)目的比賽，若每人只選擇一個(gè)項(xiàng)目，則同一個(gè)項(xiàng)目最多只有2人參賽的情況共有種．
【答案】24
【解析】三位同學(xué)參加跳高、跳遠(yuǎn)、鉛球項(xiàng)目的比賽，若每人只選擇一個(gè)項(xiàng)目，
同一個(gè)項(xiàng)目最多只有2人參賽有以下兩種情況：①同一個(gè)項(xiàng)目有且僅有兩人選擇；②每個(gè)項(xiàng)目分別只有一人選擇；
有且僅有兩人選擇的項(xiàng)目完全相同有種；
每個(gè)項(xiàng)目分別只有一人選擇；種；
故同一個(gè)項(xiàng)目最多只有2人參賽的情況共有種.
故答案為：24.
變式12．（2023·廣東·高三河源市河源中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）現(xiàn)有5名同學(xué)從北京、上海、深圳三個(gè)路線中選擇一個(gè)路線進(jìn)行研學(xué)活動(dòng)，每個(gè)路線至少1人，至多2人，其中甲同學(xué)不選深圳路線，則不同的路線選擇方法共有種．（用數(shù)字作答）
【答案】.
【解析】每個(gè)路線至少1人，至多2人，則一個(gè)路線1人，另外兩個(gè)路線各2人，
若甲同學(xué)單獨(dú)1人時(shí)，有種不同的選法；
若甲同學(xué)與另外一個(gè)同學(xué)一起，則有種不同的選法，
則不同的選擇方法有60種．
故答案為：.
變式13．（2023·浙江·高三舟山中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）杭州亞運(yùn)會(huì)舉辦在即，主辦方開始對志愿者進(jìn)行分配．已知射箭場館共需要6名志愿者，其中3名會(huì)說韓語，3名會(huì)說日語．目前可供選擇的志愿者中有4人只會(huì)韓語，5人只會(huì)日語，另外還有1人既會(huì)韓語又會(huì)日語，則不同的選人方案共有種．（用數(shù)字作答）．
【答案】140
【解析】若從只會(huì)韓語中選3人，則種，
若從只會(huì)韓語中選2人，則種，
故不同的選人方案共有種.
故答案為：140.
變式14．（2023·江蘇揚(yáng)州·高三儀征中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知如圖所示的電路中，每個(gè)開關(guān)都有閉合、不閉合兩種可能，因此5個(gè)開關(guān)共有種可能，在這種可能中，電路從P到Q接通的情況有種．

【答案】16
【解析】若電路從到接通，共有三種情況：
（1）若1閉合，而4不閉合時(shí)，可得分為：
①若1、2閉合，而4不閉合，則3、5可以閉合也可以不閉合，共有種情況；
②若1、3、5閉合，而4不閉合，則2可以閉合也可以不閉合，有2種情況，
但①與②中都包含1、2、3、5都閉合，而4不閉合的情況，所以共有種情況；
（2）若4閉合，而1不閉合時(shí)，可分為：
③若4、5閉合，而1不閉合，則2、3可以閉合也可以不閉合，有種情況；
④若4、3、2閉合，而1不閉合，則5可以閉合也可以不閉合，有2種情況，
但③與④中，都包含4、2、3、5都閉合，而1不閉合的情況，所以共有種情況；
（3）若1、4都閉合，共有種情況，而其中電路不通有2、3、5都不閉合與2、5都不閉合2種情況，則此時(shí)電路接通的情況有種情況；
所以電路接通的情況有種情況.
故答案為：.
變式15．（2023·湖北·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）從5男3女共8名學(xué)生中選出組長1人，副組長1人，普通組員3人組成5人志愿組，要求志愿組中至少有3名男生，且組長和副組長性別不同，則共有種不同的選法.（用數(shù)字作答）
【答案】
【解析】由題意可知，當(dāng)志愿組有3名男生，2名女生時(shí)，有種方法；
當(dāng)志愿組有4名男生，1名女生時(shí)，有種方法，
由分類計(jì)數(shù)原理得，共有種不同的選法.
故答案為：.
變式16．（2023·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）有兩個(gè)家庭共8人暑假到新疆結(jié)伴旅游（每個(gè)家庭包括一對夫妻和兩個(gè)孩子），他們在烏魯木齊租了兩輛不同的汽車進(jìn)行自駕游，每輛汽車乘坐4人，要求每對夫妻乘坐同一輛汽車，且該車上至少有一個(gè)該夫妻自己的孩子，則滿足條件的不同乘車方案種數(shù)為 .
【答案】10
【解析】由題意得當(dāng)每個(gè)家庭各乘坐一輛車時(shí)，有2種乘車方案；
當(dāng)每對夫妻乘坐的車上恰有一個(gè)自己的孩子時(shí)，乘車方案種數(shù)為，
故滿足條件的不同乘車方案種數(shù)為，
故答案為：10
變式17．（2023·福建福州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）“二十四節(jié)氣”是中國古代勞動(dòng)人民偉大的智慧結(jié)晶，其劃分如圖所示．小明打算在網(wǎng)上搜集一些與二十四節(jié)氣有關(guān)的古詩．他準(zhǔn)備在春季的6個(gè)節(jié)氣與夏季的6個(gè)節(jié)氣中共選出3個(gè)節(jié)氣，若春季的節(jié)氣和夏季的節(jié)氣各至少選出1個(gè)，則小明選取節(jié)氣的不同情況的種數(shù)是（）

A．90B．180C．270D．360
【答案】B
【解析】根據(jù)題意可知，小明可以選取1春2夏或2春1夏，
其中1春2夏的不同情況有：種；
2春1夏的不同情況有：種，
所以小明選取節(jié)氣的不同情況有：種．
故選：B．
【解題方法總結(jié)】
利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解題時(shí)的三個(gè)注意點(diǎn)
（1）當(dāng)題目無從下手時(shí)，可考慮要完成的這件事是什么，即怎樣做才算完成這件事．
（2）分類時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)要明確，做到不重不漏，有時(shí)要恰當(dāng)畫出示意圖或樹狀圖．
（3）對于復(fù)雜問題，一般是先分類再分步．
1．（2014?重慶）某次聯(lián)歡會(huì)要安排3個(gè)歌舞類節(jié)目，2個(gè)小品類節(jié)目和1個(gè)相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是
A．72B．120C．144D．168
【答案】
【解析】分2步進(jìn)行分析：
1、先將3個(gè)歌舞類節(jié)目全排列，有種情況，排好后，有4個(gè)空位，
2、因?yàn)?個(gè)歌舞類節(jié)目不能相鄰，則中間2個(gè)空位必須都安排節(jié)目，
分3種情況討論：
①將中間2個(gè)空位安排1個(gè)小品類節(jié)目和1個(gè)相聲類節(jié)目，有種情況，
排好后，最后1個(gè)小品類節(jié)目放在2端，有2種情況，
此時(shí)同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是種；
②將中間2個(gè)空位安排2個(gè)小品類節(jié)目，有種情況，
相聲類節(jié)目放在2端，有2種情況，
此時(shí)有4種安排方法；
③將中間2個(gè)空位安排3個(gè)節(jié)目，
將一個(gè)小品類節(jié)目和相聲類節(jié)目作為一個(gè)整體放在其中一個(gè)空位，剩下一個(gè)空位安排另一個(gè)小品類節(jié)目，
此時(shí)有種安排方法，
則中間空位的安排方法有種，
則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是種，
故選：．
2．（2014?遼寧）6把椅子排成一排，3人隨機(jī)就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為
A．144B．120C．72D．24
【答案】
【解析】使用“插空法“．第一步，三個(gè)人先坐成一排，有種，即全排，6種；第二步，由于三個(gè)人必須隔開，因此必須先在1號位置與2號位置之間擺放一張凳子，2號位置與3號位置之間擺放一張凳子，剩余一張凳子可以選擇三個(gè)人的左右共4個(gè)空擋，隨便擺放即可，即有種辦法．根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，．
故選：．
3．（2012?北京）從0、2中選一個(gè)數(shù)字．從1、3、5中選兩個(gè)數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)．其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為
A．24B．18C．12D．6
【答案】
【解析】從0、2中選一個(gè)數(shù)字0，則0只能排在十位，從1、3、5中選兩個(gè)數(shù)字排在個(gè)位與百位，共有種；
從0、2中選一個(gè)數(shù)字2，則2排在十位，從1、3、5中選兩個(gè)數(shù)字排在個(gè)位與百位，共有種；
2排在百位，從1、3、5中選兩個(gè)數(shù)字排在個(gè)位與十位，共有種；
故共有種
故選：．
考點(diǎn)要求
考題統(tǒng)計(jì)
考情分析
（1）理解分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理．
（2）會(huì)用分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理分析和解決一些簡單的實(shí)際問題．
2020年上海卷第10題，5分
2016年上海卷第8題，3分
今后在本節(jié)的考查形式依然以選擇或者填空為主，以考查基本概念和基本方法為主，難度中等偏下，與教材相當(dāng)．

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