2、精練習(xí)題。復(fù)習(xí)時(shí)不要搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，應(yīng)在老師的指導(dǎo)下，選一些源于課本的變式題，或體現(xiàn)基本概念、基本方法的基本題，通過(guò)解題來(lái)提高思維能力和解題技巧，加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的深入理解。在解題時(shí)，要獨(dú)立思考，一題多思，一題多解，反復(fù)玩味，悟出道理。
3、加強(qiáng)審題的規(guī)范性。每每大考過(guò)后，總有同學(xué)抱怨沒(méi)考好，糾其原因是考試時(shí)沒(méi)有注意審題。審題決定了成功與否，不解決這個(gè)問(wèn)題勢(shì)必影響到高考的成敗。那么怎么審題呢? 應(yīng)找出題目中的已知條件 ;善于挖掘題目中的隱含條件 ;認(rèn)真分析條件與目標(biāo)的聯(lián)系，確定解題思路 。
4、重視錯(cuò)題。錯(cuò)誤是最好的老師”，但更重要的是尋找錯(cuò)因，及時(shí)進(jìn)行總結(jié)，三五個(gè)字，一兩句話都行，言簡(jiǎn)意賅，切中要害，以利于吸取教訓(xùn)，力求相同的錯(cuò)誤不犯第二次。
第04講 解三角形
目錄
知識(shí)點(diǎn)一：基本定理公式
（1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則
（2）面積公式：
（r是三角形內(nèi)切圓的半徑，并可由此計(jì)算R，r．）
知識(shí)點(diǎn)二：相關(guān)應(yīng)用
（1）正弦定理的應(yīng)用
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①邊化角，角化邊
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②大邊對(duì)大角 大角對(duì)大邊
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③合分比：
（2）內(nèi)角和定理：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①
同理有：，．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②；
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③斜三角形中，
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④；
= 5 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑤在中，內(nèi)角成等差數(shù)列．
知識(shí)點(diǎn)三：實(shí)際應(yīng)用
（1）仰角和俯角
在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角（如圖①）．
（2）方位角
從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為α（如圖②）．
（3）方向角：相對(duì)于某一正方向的水平角．
（1）北偏東α，即由指北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向（如圖③）．
（2）北偏西α，即由指北方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向．
（3）南偏西等其他方向角類(lèi)似．
（4）坡角與坡度
（1）坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)（如圖④，角θ為坡角）．
（2）坡度：坡面的鉛直高度與水平長(zhǎng)度之比（如圖④，i為坡度）．坡度又稱(chēng)為坡比．
【解題方法總結(jié)】
1、方法技巧：解三角形多解情況
在△ABC中，已知a，b和A時(shí)，解的情況如下：
2、在解三角形題目中，若已知條件同時(shí)含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則常用：
（1）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“角化邊”；
（2）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“邊化角”；
（3）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理，“角化邊”；
（4）代數(shù)變形或者三角恒等變換前置；
（5）含有面積公式的問(wèn)題，要考慮結(jié)合余弦定理使用；
（6）同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)自由角（或三個(gè)自由角）時(shí)，要用到．
3、三角形中的射影定理
在 中，；；．
題型一：正弦定理的應(yīng)用
例1．（2023·福建龍巖·高三校聯(lián)考期中）在中，角所對(duì)的邊分別為，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，所以?br>故選：C.
例2．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在中，設(shè)命題p：，命題q：是等邊三角形，那么命題p是命題q的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】由正弦定理可知，若t，
則，
即a＝tc，b＝ta，c＝bt，
即abc＝t3abc，即t＝1，
則a＝b＝c，即是等邊三角形，
若是等邊三角形，則A＝B＝C，則1成立，
即命題p是命題q的充要條件，
故選：C.
例3．（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若且，，則（ ）
A．B．C．8D．4
【答案】D
【解析】在中，由可得，
即
所以，因?yàn)椋?br>所以，且，
所以，又，可得，
由正弦定理可得．
故選：D.
變式1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，若，且，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由題意結(jié)合正弦定理可得，
即，
整理可得，由于，故，
據(jù)此可得，
則.
故選：C.
變式2．（2023·河南鄭州·高三鄭州外國(guó)語(yǔ)中學(xué)?？茧A段練習(xí)），，分別為內(nèi)角，，的對(duì)邊．已知，，則外接圓的面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因?yàn)?，由正弦定理得，可得?br>設(shè)外接圓的半徑為，則，即，
故外接圓的面積為．
故選：B.
變式3．（2023·甘肅蘭州·高三蘭州五十一中?？计谥校鰽BC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由正弦定理得，化簡(jiǎn)得，
則，
故選：B
變式4．（2023·寧夏·高三六盤(pán)山高級(jí)中學(xué)?？计谥校┰谥?，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c．若，則的值為（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【解析】依題意，
由正弦定理得.
故選：A
變式5．（2023·河南·洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，，則c＝（ ）
A．4B．6C．D．
【答案】D
【解析】因?yàn)?，根?jù)正弦定理得
，
移項(xiàng)得，
即，即，
則根據(jù)正弦定理有．
故選：D.
【解題方法總結(jié)】
（1）已知兩角及一邊求解三角形；
（2）已知兩邊一對(duì)角；．
（3）兩邊一對(duì)角，求第三邊．
題型二：余弦定理的應(yīng)用
例4．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為滿足且，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由題，,
又，，，
故選：A.
例5．（2023·河南·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在中，角的對(duì)邊分別為，若，則（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【解析】由正弦定理，得，
又，所以，
所以，因?yàn)?，所以或?br>故選：C.
例6．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，且，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因?yàn)?，由正弦定理有?br>根據(jù)余弦定理有，
且，故有，即，
又，所以.
故選：D .
變式6．（2023·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，則（ ）
A．0B．1C．2D．
【答案】A
【解析】由余弦定理以及可得：，
又在三角形中有，即，
所以
故.
故選：A．
變式7．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在中，角的對(duì)邊分別為，且，則的值為（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】A
【解析】因?yàn)椋?br>所以，由正弦定理與余弦定理得，化簡(jiǎn)得.
故選：A
【解題方法總結(jié)】
（1）已知兩邊一夾角或兩邊及一對(duì)角，求第三邊．
（2）已知三邊求角或已知三邊判斷三角形的形狀，先求最大角的余弦值，
若余弦值
題型三：判斷三角形的形狀
例7．（2023·甘肅酒泉·統(tǒng)考三模）在中內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則的形狀為（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【解析】由正弦定理，余弦定理及得，
，即，
則，即
或?yàn)榈妊切位蛑苯侨切危?br>故選：D.
例8．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且，則形狀為（ ）
A．銳角三角形B．直角三角形
C．鈍角三角形D．等腰直角三角形
【答案】C
【解析】，
所以由正弦定理可得
所以，
所以，
所以，
所以，
在三角形中，
所以，
所以為鈍角，
故選：C.
例9．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在中，若，則的形狀為（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【解析】由正弦定理，以及二倍角公式可知，,
即，整理為，
即，得，或,
所以的形狀為等腰三角形或直角三角形.
故選：D
變式8．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，且，則的形狀為（ ）
A．銳角三角形B．直角三角形
C．鈍角三角形D．等腰三角形
【答案】B
【解析】因?yàn)椋?br>所以，
又，所以，
因?yàn)?，由正弦定理得?br>則，
則，
所以為有一個(gè)角為的直角三角形.
故選：B.
變式9．（2023·河南周口·高三?？茧A段練習(xí)）已知的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為．若，則該三角形的形狀一定是（ ）
A．鈍角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．銳角三角形
【答案】C
【解析】因?yàn)椋?br>由正弦定理（為外接圓的直徑），
可得，
所以．
又因?yàn)椋裕礊榈妊切?
故選：C
變式10．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若則的形狀為（ ）
A．等腰三角形B．等腰三角形或直角三角形
C．直角三角形D．銳角三角形
【答案】B
【解析】由得,
由二倍角公式可得或，
由于在，,所以或,故為等腰三角形或直角三角形
故選：B
變式11．（2023·北京·高三101中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，則的形狀為（ ）
A．等腰直角三角形B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形D．等邊三角形
【答案】C
【解析】已知等式利用正弦定理化簡(jiǎn)得：，
整理得：，即，
，即，
，
，
，，
則或，即為等腰三角形或直角三角形．
故選：C．
【解題方法總結(jié)】
（1）求最大角的余弦，判斷是銳角、直角還是鈍角三角形．
（2）用正弦定理或余弦定理把條件的邊和角都統(tǒng)一成邊或角，判斷是等腰、等邊還是直角三角形．
題型四：正、余弦定理與的綜合
例10．（2023·河南南陽(yáng)·統(tǒng)考二模）銳角是單位圓的內(nèi)接三角形，角的對(duì)邊分別為，且，則等于（ ）
A．2B．C．D．1
【答案】C
【解析】由，
得，
由余弦定理，可得，
又由正弦定理，可得，
所以，
得，又，所以，所以.
又，所以，
故選：C
例11．（2023·河北唐山·高三開(kāi)灤第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，.
(1)求證：；
(2)若，求.
【解析】（1）在中，因?yàn)椋?br>由正弦定理可得，化簡(jiǎn)可得，
由余弦定理可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，因?yàn)榻鞘堑膬?nèi)角，所以，
所以.
（2）由
，則，
即，所以，又，
所以，在中，由余弦定理可得，
.
例12．（2023·重慶·統(tǒng)考三模）已知的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，．
(1)求；
(2)若，求．
【解析】（1）因?yàn)椋?br>所以，所以，
即，
由正弦定理可得，
由余弦定理可得，
所以，
即，
所以.
（2）由題意可知，又，可得，
所以，即為等腰三角形，
由，解得或，
因?yàn)椋?，所以?br>所以.
變式12．（2023·山東濱州·統(tǒng)考二模）已知的三個(gè)角，，的對(duì)邊分別為，，，且．
(1)若，求；
(2)求的值．
【解析】（1）若，則．
因?yàn)椋?br>所以，
，
整理得．
解得（舍），，
因?yàn)?，所以?br>（2）因?yàn)椋?br>所以
，
整理得
由正弦定理得，
由余弦定理得，
即，
所以．
變式13．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在中，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因?yàn)椋?br>所以由正弦定理得，即，
則，故，
又，所以.
故選：B.
變式14．（2023·青?！ばＢ?lián)考模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別是a，b，c，若的面積是，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由余弦定理可得：
由條件及正弦定理可得：
，
所以，則．
故選：A
變式15．（2023·全國(guó)·校聯(lián)考三模）已知a，b，c分別為的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，.
(1)求證：a，b，c成等比數(shù)列；
(2)若，求的值.
【解析】（1）因?yàn)椋?br>所以.
所以.
根據(jù)余弦定理，得，
所以.
所以.
所以a，b，c成等比數(shù)列.
（2）由余弦定理，得.
因?yàn)椋杂烧叶ɡ?，?
所以.
所以.
變式16．（2023·天津武清·天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知
(1)求角的大?。?br>(2)若，，求邊及的值．
【解析】（1）因?yàn)?，可得?br>所以由正弦定理可得，
又為三角形內(nèi)角，，
所以，
因?yàn)椋?，?br>所以，可得，
所以；
（2）因?yàn)椋?，?br>所以由正弦定理，可得，
所以為銳角，，，，
由余弦定理，可得，
整理可得，解得或（舍去），
所以．
【解題方法總結(jié)】
先利用平面向量的有關(guān)知識(shí)如向量數(shù)量積將向量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)形式，再利用三角函數(shù)轉(zhuǎn)化求解．
題型五：解三角形的實(shí)際應(yīng)用
方向1：距離問(wèn)題
例13．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）山東省科技館新館目前成為濟(jì)南科教新地標(biāo)（如圖1），其主體建筑采用與地形吻合的矩形設(shè)計(jì)，將數(shù)學(xué)符號(hào)“”完美嵌入其中，寓意無(wú)限未知?無(wú)限發(fā)展?無(wú)限可能和無(wú)限的科技創(chuàng)新.如圖2，為了測(cè)量科技館最高點(diǎn)A與其附近一建筑物樓頂B之間的距離，無(wú)人機(jī)在點(diǎn)C測(cè)得點(diǎn)A和點(diǎn)B的俯角分別為75°，30°，隨后無(wú)人機(jī)沿水平方向飛行600米到點(diǎn)D，此時(shí)測(cè)得點(diǎn)A和點(diǎn)B的俯角分別為45°和60°（A，B，C，D在同一鉛垂面內(nèi)），則A，B兩點(diǎn)之間的距離為_(kāi)_____米.
【答案】
【解析】由題意，，所以，
所以在中，，，
又，所以，
在中，由正弦定理得，，所以，
在中，，
由余弦定理得，，
所以.
故答案為：
例14．（2023·安徽阜陽(yáng)·高三安徽省臨泉第一中學(xué)校考期中）一游客在處望見(jiàn)在正北方向有一塔，在北偏西45°方向的處有一寺廟，此游客騎車(chē)向西行后到達(dá)處，這時(shí)塔和寺廟分別在北偏東30°和北偏西15°，則塔與寺廟的距離為_(kāi)_____.
【答案】
【解析】如圖，在中，由題意可知，，可得.

在中，，，，∴，
∴.
在中，
，
∴.
故答案為：.
例15．（2023·河南鄭州·高三統(tǒng)考期末）如圖，為了測(cè)量?jī)牲c(diǎn)間的距離，選取同一平面上的，兩點(diǎn)，測(cè)出四邊形各邊的長(zhǎng)度（單位：km）：，，，，且四點(diǎn)共圓，則的長(zhǎng)為_(kāi)________ .
【答案】7
【解析】∵四點(diǎn)共圓，圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角和為 ﹒
∴ ，
∴由余弦定理可得 ，
，
∵，即 ，
∴ ,解得,
故答案為：7
變式17．（2023·山東東營(yíng)·高三廣饒一中?？茧A段練習(xí)）如圖，一條巡邏船由南向北行駛，在A處測(cè)得燈塔底部C在北偏東方向上，勻速向北航行20分鐘到達(dá)B處，此時(shí)測(cè)得燈塔底部C在北偏東方向上，測(cè)得塔頂P的仰角為 ，已知燈塔高為．則巡邏船的航行速度為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】由題意知在 中，,故,即，
解得 ，
在 中， ，
則，而 ，
所以，
所以，
即船的航行速度是每小時(shí)千米，
故答案為：
方向2：高度問(wèn)題
例16．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，某中學(xué)某班級(jí)課外學(xué)習(xí)興趣小組為了測(cè)量某座山峰的高度，先在山腳處測(cè)得山頂處的仰角為，又利用無(wú)人機(jī)在離地面高的處（即），觀測(cè)到山頂處的仰角為，山腳處的俯角為，則山高_(dá)________m．

【答案】
【解析】依題意，則，,，
故，，
在中，由正弦定理得，即，
解得，則.

故答案為：
例17．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《海島算經(jīng)》記錄了一個(gè)計(jì)算山高的問(wèn)題（如圖1）：今有望海島，立兩表齊，高三丈，前后相去千步，令后表與前表相直.從前表卻行一百二十三步，人目著地取望島峰，與表末參合.從后表卻行百二十七步，人目著地取望島峰，亦與表末參合.問(wèn)島高及去表各幾何?假設(shè)古代有類(lèi)似的一個(gè)問(wèn)題，如圖2，要測(cè)量海島上一座山峰的高度AH，立兩根高48丈的標(biāo)桿BC和DE，兩竿相距BD=800步，D，B，H三點(diǎn)共線且在同一水平面上，從點(diǎn)B退行100步到點(diǎn)F，此時(shí)A，C，F(xiàn)三點(diǎn)共線，從點(diǎn)D退行120步到點(diǎn)G，此時(shí)A，E，G三點(diǎn)也共線，則山峰的高度AH=_________步.（古制單位:180丈=300步）

【答案】3280
【解析】由題可知步，步，步.步.
在RtAHF中，在RtAHG中.
所以，，
則.
所以步.
故答案為：3280
例18．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）為了培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和應(yīng)用能力，某校數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)學(xué)校雕像“月亮上的讀書(shū)女孩”進(jìn)行測(cè)量，在正北方向一點(diǎn)測(cè)得雕塑最高點(diǎn)仰角為30°，在正東方向一點(diǎn)測(cè)得雕塑最高點(diǎn)仰角為45°，兩個(gè)測(cè)量點(diǎn)之間距離約為米，則雕塑高為_(kāi)_____
【答案】
【解析】如圖所示，正北方向測(cè)量點(diǎn)為C，正東方向測(cè)量點(diǎn)為D，雕塑最高點(diǎn)為B，
其中A，C，D三點(diǎn)位于同一水平面，
由題意可知且，
設(shè)，在直角中，可得，
在直角中，可得，
在直角中，可得，解得，
故雕塑高為.
故答案為：
變式18．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）山西應(yīng)縣木塔（如圖1）是世界上現(xiàn)存最古老、最高大的木塔，是中國(guó)古建筑中的瑰寶，是世界木結(jié)構(gòu)建筑的典范．如圖2，某校數(shù)學(xué)興趣小組為測(cè)量木塔的高度，在木塔的附近找到一建筑物，高為米，塔頂在地面上的射影為，在地面上再確定一點(diǎn)（，，三點(diǎn)共線），測(cè)得約為57米，在點(diǎn)處測(cè)得塔頂?shù)难鼋欠謩e為30°和60°，則該小組估算的木塔的高度為_(kāi)_________米．
【答案】
【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)A作作垂線，垂足為，
由題意可知，，米，
設(shè)米，則米，米，
∵，則，解得，
所以估算木塔的高度為米．
故答案為：.
方向3：角度問(wèn)題
例19．（2023·福建廈門(mén)·高三廈門(mén)一中?？计谥校┳闱蚴且豁?xiàng)很受歡迎的體育運(yùn)動(dòng)．如圖，某標(biāo)準(zhǔn)足球場(chǎng)的B底線寬碼，球門(mén)寬碼，球門(mén)位于底線的正中位置．在比賽過(guò)程中，攻方球員帶球運(yùn)動(dòng)時(shí)，往往需要找到一點(diǎn)P，使得最大，這時(shí)候點(diǎn)P就是最佳射門(mén)位置．當(dāng)攻方球員甲位于邊線上的點(diǎn)O處時(shí)，根據(jù)場(chǎng)上形勢(shì)判斷，有、兩條進(jìn)攻線路可供選擇．若選擇線路，則甲帶球______碼時(shí)，到達(dá)最佳射門(mén)位置．
【答案】/
【解析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，如圖所示，
設(shè)，則 ，由題可知，，，
易得四邊形為矩形，
所以，，，
所以，
則，，
所以
，
設(shè)，則，
所以，
因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即，
所以當(dāng)時(shí)，即，最大，
由題可知，，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，
所以最大時(shí)，最大，
所以時(shí)，到達(dá)最佳射門(mén)位置，
故答案為：．
例20．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）當(dāng)太陽(yáng)光線與水平面的傾斜角為時(shí)，一根長(zhǎng)為的竹竿，要使它的影子最長(zhǎng)，則竹竿與地面所成的角________．
【答案】
【解析】作出示意圖如下如，
設(shè)竹竿與地面所成的角為，影子長(zhǎng)為，依據(jù)正弦定理可得，
所以，因?yàn)?，所以要使最大?br>只需，即，所以時(shí)，影子最長(zhǎng)．
答案為：.
例21．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處至景點(diǎn)C處有兩條線路．線路1是從A沿直線步行到C，線路2是先從A沿直線步行到景點(diǎn)B處，然后從B沿直線步行到C．現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處同時(shí)出發(fā)勻速步行，甲的速度是乙的速度的倍，甲走線路2，乙走線路1，最后他們同時(shí)到達(dá)C處．經(jīng)測(cè)量，AB＝1 040 m，BC＝500 m，則sin∠BAC等于________．
【答案】
【解析】依題意，設(shè)乙的速度為x m/s，
則甲的速度為x m/s，
因?yàn)锳B＝1 040 m，BC＝500 m，
所以＝，解得AC＝1 260 m．
在△ABC中，由余弦定理得，
cs∠BAC＝＝＝，
所以sin∠BAC＝＝＝．
故答案為：.
變式19．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）最大視角問(wèn)題是1471年德國(guó)數(shù)學(xué)家米勒提出的幾何極值問(wèn)題，故最大視角問(wèn)題一般稱(chēng)為“米勒問(wèn)題”.如圖，樹(shù)頂A離地面a米，樹(shù)上另一點(diǎn)B離地面b米，在離地面米的C處看此樹(shù)，離此樹(shù)的水平距離為_(kāi)__________米時(shí)看A，B的視角最大.
【答案】
【解析】過(guò)C作，交AB于D，如圖所示：
則，
設(shè)，
在中，，
在中，，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以取最大值時(shí)，最大，
所以當(dāng)離此樹(shù)的水平距離為米時(shí)看A，B的視角最大.
故答案為：
【解題方法總結(jié)】
根據(jù)題意畫(huà)出圖形，將題設(shè)已知、未知顯示在圖形中，建立已知、未知關(guān)系，利用三角知識(shí)求解．
題型六：倍角關(guān)系
例22．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.
(1)證明：；
(2)若，求的面積.
【解析】（1）證明：由及正弦定理得：，
整理得，.
因?yàn)椋?br>所以，
所以或，
所以或（舍），
所以.
（2）由及余弦定理得:，
整理得，
又因?yàn)?，可解得?br>則，所以△是直角三角形，
所以△的面積為.
例23．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c（a，b，c互不相等），且滿足.
（1）求證：；
（2）若，求.
【解析】（1）證明：因?yàn)?，由正弦定理，得?br>所以，所以.
又因?yàn)?，，所以?
若，又，所以，與a，b，c互不相等矛盾，
所以.
（2）由（1）知，所以.
因?yàn)?，所以，則，
可得.
又因?yàn)?br>所以.
因?yàn)?，所以，所以?br>所以，
解得，
又，得.
例24．（2023·江蘇·高三江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，若．
(1)求證：；
(2)若，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，，，求邊長(zhǎng)．
【解析】（1），
，
或
當(dāng)時(shí)，，，即，
綜上
（2），，，
，
，
設(shè)，，，，
在中：
，
變式20．（2023·陜西咸陽(yáng)·武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知分別是的角的對(duì)邊，.
(1)求證：；
(2)求的取值范圍.
【解析】（1）由正弦定理及知，
，
由余弦定理得，，
或.
.
（2）由（1）和正弦定理得，
，
，
設(shè)，則，則，
設(shè)，
則在上單調(diào)遞增，則，
即.
的取值范圍為.
變式21．（2023·四川·成都市錦江區(qū)嘉祥外國(guó)語(yǔ)高級(jí)中學(xué)?？既＃┮阎謩e為銳角ABC內(nèi)角的對(duì)邊，．
(1)證明：；
(2)求的取值范圍．
【解析】（1）∵．
∴，
∴，
因?yàn)闉殇J角三角形內(nèi)角，所以，，
所以，
所以，即；
（2）由題意得，解得，
所以，
由正弦定理得，
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，，
所以，
∴的取值范圍為．
變式22．（2023·福建三明·高三統(tǒng)考期末）非等腰的內(nèi)角、、的對(duì)應(yīng)邊分別為、、，且.
(1)證明：；
(2)若，證明：.
【解析】（1）由正弦定理，得，
，由，
則.
（2）由，則為銳角，，
則，去分母得，
則，由則.
由（1）有，得.
解方程組，消元，
則，可得，
要證，即證，
只需證，
即證，
即證，由，此不等式成立，得證.
另令，，又，
求導(dǎo)得，則在遞增，
則，得證.
題型七：三角形解的個(gè)數(shù)
例25．（2023·貴州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）中，角的對(duì)邊分別是，，.若這個(gè)三角形有兩解，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由正弦定理可得，.
要使有兩解，即有兩解，則應(yīng)有，且，
所以，
所以.
故選：B．
例26．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在△ABC中，a=18，b=24，∠A=45°，此三角形解的情況為（ ）
A．一個(gè)解B．二個(gè)解C．無(wú)解D．無(wú)法確定
【答案】B
【解析】因?yàn)椋鐖D所示：
所以，即，所以三角形解的情況為二個(gè)解.
故選：B
例27．（2023·河南南陽(yáng)·高三統(tǒng)考期中）在中，，，. 若滿足條件的有且只有一個(gè)，則的可能取值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由正弦定理，即，所以，
因?yàn)橹挥幸唤猓?br>若，則，
若顯然滿足題意，
所以或，所以或，
解得或；
故選：D
變式23．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，則下列條件能確定三角形有兩解的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】對(duì)于A：由正弦定理可知，
∵，∴，故三角形有一解；
對(duì)于B：由正弦定理可知，，
∵，∴，故三角形有兩解；
對(duì)于C：由正弦定理可知，
∵為鈍角，∴B一定為銳角，故三角形有一解；
對(duì)于D：由正弦定理可知，，故故三角形無(wú)解.
故選：B.
變式24．（2023·北京朝陽(yáng)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在下列關(guān)于的四個(gè)條件中選擇一個(gè)，能夠使角被唯一確定的是：（ ）
①
②；
③；
④.
A．①②B．②③C．②④D．②③④
【答案】B
【解析】對(duì)于①，因?yàn)?，所以或，故①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)，所以角被唯一確定，
故②正確；
對(duì)于③，因?yàn)?，，所以?br>所以，所以，又，由正弦定理有
，所以，所以角被唯一確定，故③正確；
對(duì)于④，因?yàn)椋?br>所以，所以如圖，不唯一，故④錯(cuò)誤.故A，C，D錯(cuò)誤.
故選：B.
變式25．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)在中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若滿足的不唯一，則m的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由正弦定理，即，所以，
因?yàn)椴晃ㄒ唬从袃山?，所以且，即?br>所以，所以，即；
故選：A
變式26．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在中，，，若該三角形有兩個(gè)解，則邊范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因?yàn)槿切斡袃蓚€(gè)解，所以，
所以，所以.
故選：D
變式27．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若滿足的恰有一個(gè)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由正弦定理可得，
故，
由且恰有一個(gè)，
故或，
所以或，即．
故選：B
【解題方法總結(jié)】
三角形解的個(gè)數(shù)的判斷：已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對(duì)角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對(duì)大角定理進(jìn)行判斷．
題型八：三角形中的面積與周長(zhǎng)問(wèn)題
例28．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）在中，若，且，則的面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因?yàn)榍?，所以?br>所以，所以的面積.
故選：B
例29．（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）在中，內(nèi)角A，，所對(duì)的邊分別為，，，，為上一點(diǎn)，，，則的面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
如圖所示，在中，由，得．
又，即，
所以，
化簡(jiǎn)得．①
在中，由余弦定理得，，②
由①②式，解得．由，得，
將其代入②式，得，解得，
故的面積．
故選：D
例30．（2023·四川成都·?？寄M預(yù)測(cè)）在中，，，分別為角，，的對(duì)邊，已知，，且，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，
由正弦定理可得，
整理可得，
所以，
為三角形內(nèi)角，，
∴，∵，，則，故B錯(cuò)誤；
∵，，
，解得，
由余弦定理得，
解得或（舍去），故C正確，D錯(cuò)誤.
又，所以，則三角形為等邊三角形，
所以，則，故A錯(cuò)誤.
故選：C.
變式28．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考三模）已知中，角，，的對(duì)邊長(zhǎng)分別是，，，，且.
(1)證明：；
(2)若，求外接圓的面積
【解析】（1）由已知，，
∴，
∴，
∴，
∴，
易知上式中，，，
∴由上式得，即.
（2）∵，
∴由正弦定理和余弦定理得，，
化簡(jiǎn)得，∴.
又∵，，
∴，是以為斜邊，為直角的直角三角形，
∴外接圓的直徑，外接圓的半徑，
∴外接圓的面積.
變式29．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．
(1)證明：是等腰三角形；
(2)若的面積為，且，求的周長(zhǎng)．
【解析】(1)在中，，
由射影定理得，，
所以是等腰三角形．
(2)在中，因且，則，
又，即，由(1)知，則有，
在中，由余弦定理得：，解得，
又，則a，b，c能構(gòu)成三角形，符合題意，，
所以的周長(zhǎng)為.
變式30．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在①；②.
這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并解答.
已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若的面積，，___________，求.
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
【解析】選①：
在中，由射影定理及得：，解得，
因，則，由得：，解得，
由余弦定理得：，解得，
所以.
選②：
在中，由正弦定理及得：，
因，即，則有，而，，
于是得，則，由得：，解得，
由余弦定理得：，解得，
所以.
變式31．（2023·湖南長(zhǎng)沙·周南中學(xué)校考二模）已知向量（，），（，），.
(1)求函數(shù)的最大值及相應(yīng)x的值；
(2)在△ABC中，角A為銳角且，，BC=2，求的面積.
【解析】（1）依題意，，
即，
所以，當(dāng)，
即，時(shí)，取最大值 ；
（2）由（1）及得：，
即，
由，則，
因此，，則，
而，有，所以，
在中，由正弦定理得，
，
，
所以的面積為.
變式32．（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角A，，的對(duì)邊分別為，，，，.
(1)若，證明：；
(2)若邊上的高為，求的周長(zhǎng).
【解析】（1）由已知可得，
由正弦定理可得，，
所以有.
又，所以，.
又，所以.
，
，
.
又，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
則.
（2）由題意得的面積.
又，則.
由余弦定理，
得，
所以，.
所以，的周長(zhǎng)為.
變式33．（2023·安徽·合肥一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知.
(1)求的值；
(2)若，，求的值.
【解析】（1）因?yàn)椋?br>所以
.
（2）因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，即，所以?br>再由余弦定理知，即，
即，解得或，
所以或（負(fù)值舍去）.
變式34．（2023·吉林長(zhǎng)春·東北師大附中校考模擬預(yù)測(cè)）已知中角的對(duì)邊分別為，．
(1)求；
(2)若，且的面積為，求周長(zhǎng)．
【解析】（1）由和正弦定理可得，
，
因?yàn)?，所以?br>所以，，，
，；
（2），，
又，
，
，
的周長(zhǎng)為.
【解題方法總結(jié)】
解三角形時(shí)，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理，以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到．
1．（2023?北京）在中，，則
A．B．C．D．
【答案】
【解析】由正弦定理為三角形外接圓半徑）可得：
，，，
所以可化為，
即，
，
又，．
故選：．
2．（2023?乙卷（文））在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別是，，，若，且，則
A．B．C．D．
【答案】
【解析】由得，
得，
即，
即，得，
在中，，
，即，
則．
故選：．
3．（2023?甲卷（理））在中，，，，為上一點(diǎn)，為的平分線，則 ．
【答案】2．
【解析】如圖，在中，，，
由正弦定理可得，
，又，
，，
又為的平分線，且，
，又，，
．
故答案為：2．
考點(diǎn)要求
考題統(tǒng)計(jì)
考情分析
（1）掌握正弦定理、余弦定理及其變形．
（2）能利用正弦定理、余弦定理解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題．
（3）能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題．
2023年I卷II卷第17題，10分
2023年甲卷第16題，5分
2023年乙卷第18題，12分
2022年I卷II卷第18題，12分
高考對(duì)本節(jié)的考查不會(huì)有大的變化，仍將以考查正余弦定理的基本使用、面積公式的應(yīng)用為主．從近五年的全國(guó)卷的考查情況來(lái)看，本節(jié)是高考的熱點(diǎn)，主要以考查正余弦定理的應(yīng)用和面積公式為主．
定理
正弦定理
余弦定理
公式
；
；
．
常見(jiàn)變形
（1），，；
（2），，；
；
；
．
A為銳角
A為鈍角或直角
圖形
關(guān)系式
解的個(gè)數(shù)
一解
兩解
一解
一解
無(wú)解

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第04講 解三角形（八大題型）（講義）-高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)（新教材新高考）

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