第03講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（練習(xí)）-2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)練習(xí)（新教材新高考）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

2、精練習(xí)題。復(fù)習(xí)時(shí)不要搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，應(yīng)在老師的指導(dǎo)下，選一些源于課本的變式題，或體現(xiàn)基本概念、基本方法的基本題，通過解題來提高思維能力和解題技巧，加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的深入理解。在解題時(shí)，要獨(dú)立思考，一題多思，一題多解，反復(fù)玩味，悟出道理。
3、加強(qiáng)審題的規(guī)范性。每每大考過后，總有同學(xué)抱怨沒考好，糾其原因是考試時(shí)沒有注意審題。審題決定了成功與否，不解決這個(gè)問題勢必影響到高考的成敗。那么怎么審題呢? 應(yīng)找出題目中的已知條件 ;善于挖掘題目中的隱含條件 ;認(rèn)真分析條件與目標(biāo)的聯(lián)系，確定解題思路。
4、重視錯(cuò)題。錯(cuò)誤是最好的老師”，但更重要的是尋找錯(cuò)因，及時(shí)進(jìn)行總結(jié)，三五個(gè)字，一兩句話都行，言簡意賅，切中要害，以利于吸取教訓(xùn)，力求相同的錯(cuò)誤不犯第二次。
第03講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)
（模擬精練+真題演練）
1．（2023·陜西西安·陜西師大附中?？寄M預(yù)測）將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖像，則下列正確的是（）
A．直線是圖像的一條對(duì)稱軸B．的最小正周期為
C．的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D．在上單調(diào)遞增
【答案】C
【解析】由
，
則圖像向右平移個(gè)單位長度可得，
，
因?yàn)椋?br>所以不是圖像的一條對(duì)稱軸，A錯(cuò)；
由，得的最小正周期為，B錯(cuò)；
由，
所以點(diǎn)是圖像的一個(gè)對(duì)稱中心，C正確；
由，則，
所以在上有增有減，D錯(cuò).
故選：C
2．（2023·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測）函數(shù)圖象的對(duì)稱軸可以是（）
A．直線B．直線
C．直線D．直線
【答案】A
【解析】，
令，解得，
所以的對(duì)稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，.
故選：A.
3．（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度，然后橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，則在區(qū)間上的值域?yàn)椋? ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】將的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變得到的圖象，
再將圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度得到的圖象．
當(dāng)時(shí)，，．
故選：C.
4．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，都有，則的最小值為（）
A．2B．C．4D．8
【答案】C
【解析】因?yàn)閷?duì)于任意實(shí)數(shù)x，都有，則有函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
因此，解得，而，
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值4.
故選：C
5．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）某次實(shí)驗(yàn)得交變電流（單位：A）隨時(shí)間（單位：s）變化的函數(shù)解析式為，其中且，其圖象如圖所示，則下列說法錯(cuò)誤的是（）

A．B．
C．當(dāng)時(shí)，D．當(dāng)時(shí)，
【答案】D
【解析】由題知，則，又，
則，所以當(dāng)時(shí)，，
則，又，
則，因此，
所以當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
因此ABC正確，D錯(cuò)誤，
故選：D.
6．（2023·北京西城·北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？既＃┰谙铝兴膫€(gè)函數(shù)中，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增的有（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】A. 的增區(qū)間為，在整個(gè)定義域上不單調(diào)，故錯(cuò)誤；
B.的增區(qū)間是，在整個(gè)定義域上不單調(diào)，故錯(cuò)誤；
C. 在R上遞增，故正確；
D. 的增區(qū)間是，在整個(gè)定義域上不單調(diào)，故錯(cuò)誤；
故選：C
7．（2023·北京大興·?？既＃┮阎瘮?shù)，，將函數(shù)的圖象經(jīng)過下列變換可以與的圖象重合的是（）
A．向左平移個(gè)單位B．向左平移個(gè)單位
C．向右平移個(gè)單位D．向右平移個(gè)單位
【答案】D
【解析】因?yàn)椋?br>所以將向右平移個(gè)單位得到.
故選：D
8．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，則關(guān)于的下列結(jié)論不正確的是（）
A．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
C．在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)
D．將的圖象向左平移個(gè)單位即可得到的圖象
【答案】D
【解析】∵，∴的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故A正確；
∵，∴的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故B正確；
令，則，函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，
根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，故C正確；
∵，
∴將的圖象向左平移個(gè)單位即可得到的圖象，
而時(shí)，，故D錯(cuò)誤，
故選：D.
9．（多選題）（2023·福建漳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）把函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，則（）
A．在上單調(diào)遞減
B．在上有2個(gè)零點(diǎn)
C．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
D．在上的值域?yàn)?br>【答案】BC
【解析】把函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，
可得到的圖象；
再把所得曲線向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，
時(shí)，，
則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；
令，得，即，
因?yàn)椋?，解得?br>因?yàn)?，所以或，所以在上?個(gè)零點(diǎn)，故B正確；
因?yàn)?，為的最大值?br>所以直線是的圖象的一條對(duì)稱軸，故C正確；
當(dāng)時(shí)，，，故D錯(cuò)誤.
故選：BC
10．（多選題）（2023·江蘇鹽城·鹽城市伍佑中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)的圖象向左平移）個(gè)單位長度后對(duì)應(yīng)的函數(shù)為，若在上單調(diào)，則的可?。? ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【解析】依題意，，于是，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)在上單調(diào)遞增時(shí)，，
即，解得，不存在整數(shù)使得取得ABCD選項(xiàng)中的值；
當(dāng)在上單調(diào)遞減時(shí)，，
即，解得，
當(dāng)時(shí)，，CD符合，不存在整數(shù)使得取得AB選項(xiàng)中的值.
故選：CD
11．（多選題）（2023·廣東佛山·?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)的初相為，則下列結(jié)論正確的是（）
A．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
B．函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間為
C．若把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度得到函數(shù)的圖象，則為偶函數(shù)
D．若函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?br>【答案】AB
【解析】由題意知，所以．
對(duì)于選項(xiàng)A，，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故A項(xiàng)正確；
對(duì)于選項(xiàng)B，由，，得，，
則當(dāng)時(shí)，函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間為，故B項(xiàng)正確；
對(duì)于選項(xiàng)C，的圖象向右平移個(gè)單位長度得到函數(shù)的圖象，
所以為奇函數(shù)，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)?，所以?br>所以，
所以，
即：在區(qū)間上的值域?yàn)?，故D項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：AB.
12．（多選題）（2023·湖南衡陽·衡陽市八中?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，其圖象相鄰對(duì)稱軸間的距離為，點(diǎn)是其中的一個(gè)對(duì)稱中心，則下列結(jié)論正確的是（）
A．函數(shù)的最小正周期為
B．函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸方程是
C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增
D．將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長原來的2倍，縱坐標(biāo)縮短原來的一半，再把得到的圖象向左平移個(gè)單位長度，可得到正弦函數(shù)的圖象
【答案】ACD
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)圖象相鄰對(duì)稱軸間的距離為，則，即，所以正確；
因?yàn)?，則，即，且點(diǎn)是對(duì)稱中心，
當(dāng)時(shí)，，即，
又，所以，即.
令,解得，
所以函數(shù)的對(duì)稱軸為，所以錯(cuò)誤；
令,解得，
函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為：，所以C正確；
函數(shù)圖象上所有點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長原來的2倍，縱坐標(biāo)縮短原來的一半，得到的圖象，
再把得到的圖象向左平移個(gè)單位長度，得函數(shù)，所以正確.
故選:ACD.
13．（2023·河北滄州·?？寄M預(yù)測）若函數(shù)為奇函數(shù)，則的最小值為______.
【答案】
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為R上的奇函數(shù)，
所以，所以，所以，
又，所以的最小值為.
故答案為：
14．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知，當(dāng)（其中）時(shí)，有且只有一個(gè)解，則的取值范圍是____________.
【答案】
【解析】由于，
所以有且只有一個(gè)解，即有且只有一個(gè)解，
因?yàn)?，所以?br>由題意知，解得，
即的取值范圍是為，
故答案為：
15．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)?？既＃懗鲆粋€(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③，且定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集的函數(shù)__________.
①最小正周期為2；②；③無零點(diǎn).
【答案】（答案不唯一）
【解析】的定義域?yàn)椋?br>最小正周期為，
因?yàn)?，所以?br>所以無零點(diǎn)，
綜上，符合題意
故答案為：.
16．（2023·上海徐匯·位育中學(xué)?？寄M預(yù)測）若函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖像，若對(duì)滿足的，，有的最小值為，則________．
【答案】
【解析】由函數(shù)的圖像向右平移，可得
由可知一個(gè)取得最大值一個(gè)取得最小值，
不妨設(shè)取得最大值，取得最小值，
，，．
可得，
所以，
的最小值為，
，得，
故答案為：.
17．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.
(1)求的最小正周期及解析式；
(2)將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.
【解析】（1）由圖象可知的最大值為1，最小值-1，故；
又∴，
將點(diǎn)代入，
∴，
∵∴
故答案為：，.
（2）由的圖象向右平移個(gè)單位長度得到函數(shù)
∵
∴
∴當(dāng)時(shí)，即，；
當(dāng)時(shí)，即，
故答案為：
18．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學(xué)校校考三模）已知函數(shù)，其圖象的一條對(duì)稱軸與相鄰對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)相差，______，從以下兩個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在空白橫線中.①函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱且；②函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為且.
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在區(qū)間上恰有3個(gè)零點(diǎn)，求t的取值范圍.
【解析】（1）由題意可得
，
，
由于其圖象的一條對(duì)稱軸與相鄰對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)相差，故,
故
若選①，函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為，
由題意知該函數(shù)為偶函數(shù)，故，
由于且，即，故，
故；
若選②，函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為且，
則，
由于且，即，故，
故；
（2）由題意可得，
由于在區(qū)間上恰有3個(gè)零點(diǎn)，故，
即.
19．（2023·湖南常德·常德市一中校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)在區(qū)間上恰有3個(gè)零點(diǎn)，其中為正整數(shù).
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
【解析】（1）由，得，
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上恰有3個(gè)零點(diǎn)，
于是，解得，而為正整數(shù)，因此，
所以.
（2）由（1）知，，
由，得，即有，
因此，
由，解得，
所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為.
20．（2023·黑龍江哈爾濱·哈師大附中?？寄M預(yù)測）將函數(shù)的圖象先向右平移個(gè)單位長度，再將所得函圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模é兀?）倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象．
(1)若，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；
(2)若函數(shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn)，求ω的取值范圍．
【解析】（1）函數(shù)的圖象先向右平移個(gè)單位長度，則解析式變?yōu)椋?br>，再將所得函圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模é兀?）倍（縱坐標(biāo)不變），
則解析式變?yōu)?則.
當(dāng)時(shí)，，
因函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，.
∴，∴在區(qū)間上的最大值為．
（2），當(dāng)時(shí)，，
要使在上無零點(diǎn)，則，.
，，，，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，舍去．
綜上：的取值范圍為．
1．（2023?天津）已知函數(shù)的一條對(duì)稱軸為直線，一個(gè)周期為4，則的解析式可能為
A．B．C．D．
【答案】
【解析】：若，則，
令，，則，，顯然不是對(duì)稱軸，不符合題意；
：若，則，
令，，則，，
故是一條對(duì)稱軸，符合題意；
，則，不符合題意；
，則，不符合題意．
故選：．
2．（2022?天津）已知，關(guān)于該函數(shù)有下列四個(gè)說法：
①的最小正周期為；
②在，上單調(diào)遞增；
③當(dāng)，時(shí)，的取值范圍為，；
④的圖象可由的圖象向左平移個(gè)單位長度得到．
以上四個(gè)說法中，正確的個(gè)數(shù)為
A．1B．2C．3D．4
【答案】
【解析】對(duì)于，它的最小正周期為，故①錯(cuò)誤；
在，，，，函數(shù)單調(diào)遞增，故②正確；
當(dāng)，時(shí)，，，的取值范圍為，，故③錯(cuò)誤；
的圖象可由的圖象向右平移個(gè)單位長度得到，故④錯(cuò)誤，
故選：．
3．（2022?浙江）為了得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)
A．向左平移個(gè)單位長度B．向右平移個(gè)單位長度
C．向左平移個(gè)單位長度D．向右平移個(gè)單位長度
【答案】
【解析】把圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位可得的圖象．
故選：．
4．（2022?新高考Ⅰ）記函數(shù)的最小正周期為．若，且的圖像關(guān)于點(diǎn)，中心對(duì)稱，則
A．1B．C．D．3
【答案】
【解析】函數(shù)的最小正周期為，
則，由，得，，
的圖像關(guān)于點(diǎn)，中心對(duì)稱，，
且，則，．
，，取，可得．
，則．
故選：．
5．（2022?甲卷）將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長度后得到曲線，若關(guān)于軸對(duì)稱，則的最小值是
A．B．C．D．
【答案】
【解析】將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長度后得到曲線，
則對(duì)應(yīng)函數(shù)為，
的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，，，
即，，
則令，可得的最小值是，
故選：．
6．（2022?甲卷）設(shè)函數(shù)在區(qū)間恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是

A．，B．，C．，D．，
【答案】
【解析】當(dāng)時(shí)，不能滿足在區(qū)間極值點(diǎn)比零點(diǎn)多，所以；
函數(shù)在區(qū)間恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，
，，
，
求得，
故選：．
7．（多選題）（2022?新高考Ⅱ）已知函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)，中心對(duì)稱，
則
A．在區(qū)間單調(diào)遞減
B．在區(qū)間，有兩個(gè)極值點(diǎn)
C．直線是曲線的對(duì)稱軸
D．直線是曲線的切線
【答案】
【解析】因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)，對(duì)稱，
所以，，
所以，
因?yàn)椋?br>所以，
故，
令，解得，
故在單調(diào)遞減，正確；
，，，，
根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，故函數(shù)在區(qū)間，只有一個(gè)極值點(diǎn)，故錯(cuò)誤；
令，，得，，顯然錯(cuò)誤；
，
求導(dǎo)可得，，
令，即，解得或，
故函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為，
故切線方程為，即，故正確．
直線顯然與相切，故直線顯然是曲線的切線，故正確．
故選：．
8．（2023?新高考Ⅱ）已知函數(shù)，如圖，，是直線與曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，若，則．
【答案】
【解析】由題意：設(shè)，，，，則，
由的圖象可知：
，即，
，
又，，，
即，，
觀察圖象，可知當(dāng)時(shí)，滿足條件，
．
故答案為：．
9．（2023?新高考Ⅰ）已知函數(shù)在區(qū)間，有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是．
【答案】，
【解析】，，函數(shù)的周期為，，可得，
函數(shù)在區(qū)間，有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，
可得，
所以．
故答案為：，．
10．（2022?上海）函數(shù)的周期為．
【答案】
【解析】
，
．
故答案為：．
11．（2022?乙卷）記函數(shù)，的最小正周期為．若，為的零點(diǎn)，則的最小值為．
【答案】3．
【解析】函數(shù)，的最小正周期為，
若，，則，
所以．
因?yàn)闉榈牧泓c(diǎn)，所以，
故，，所以，，
因?yàn)椋瑒t的最小值為3．
故答案為：3．
12．（2023?北京）已知函數(shù)，，．
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）若在，上單調(diào)遞增，且，再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求、的值．
條件①：；
條件②：；
條件③：在，上單調(diào)遞減．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
【解析】（Ⅰ）因?yàn)楹瘮?shù)，
所以，
又因?yàn)椋裕?br>（Ⅱ）若選①：；
因?yàn)椋?br>所以在和時(shí)取得最大值1，這與在，上單調(diào)遞增矛盾，所以、的值不存在．
若選②：；
因?yàn)樵?，上單調(diào)遞增，且，
所以在時(shí)取得最小值，時(shí)取得最大值1，
所以的最小正周期為，計(jì)算，
又因?yàn)?，所以，?br>解得，；
又因?yàn)?，所以?br>若選③：在，上單調(diào)遞減，因?yàn)樵?，上單調(diào)遞增，且，
所以在時(shí)取得最小值，時(shí)取得最大值1，
所以的最小正周期為，所以，
又因?yàn)?，所以，?br>解得，；
又因?yàn)椋裕?br>

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