1.結(jié)合具體函數(shù),了解奇偶性的概念和幾何意義.會運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的奇偶性.2.結(jié)合三角函數(shù),了解周期性的概念和幾何意義.會判斷、應(yīng)用簡單函數(shù)的周期性解決問題.3.能綜合運(yùn)用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性、對稱性等解決相關(guān)問題.
　此為奇偶函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱的原因
f(-x)=f(x)
f(-x)=-f(x)
微點撥1.函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱,必為偶函數(shù);關(guān)于原點對稱,必為奇函數(shù).互為充要條件.2.若f(x)≠0,則奇(偶)函數(shù)定義的等價形式如下:
3.幾個常見的奇函數(shù)、偶函數(shù):y=ax+a-x(a>0,a≠1),y=lga(1+x)+lga(1-x) (a>0,a≠1)為偶函數(shù);y=ax-a-x(a>0,a≠1),
4.多項式函數(shù)f(x)=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+…+a1x+a0(n∈N*)為偶函數(shù)時,奇次項系數(shù)全為0,只含有偶次項;f(x)為奇函數(shù)時,偶次項系數(shù)全為0,只含有奇次項.微思考存在既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)嗎?唯一嗎?
提示 存在既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù),但不唯一.如果函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù),那么有f(x)=f(-x),而它又是奇函數(shù),那么f(x)=-f(-x),因此必有f(x)=-f(x),則f(x)=0,則既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)的函數(shù)值只能為零,但其解析式的
2.函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù):一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D,如果存在一個非零常數(shù)T,使得對每一個x∈D都有x+T∈D,且f(x+T)=　　　,那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù).非零常數(shù)　　　就叫做這個函數(shù)的周期.?
(2)最小正周期:如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個　　　　的正數(shù),那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.?
并非所有周期函數(shù)都有最小正周期
微點撥若T是函數(shù)f(x)的周期,那么nT(n∈Z,n≠0)也是函數(shù)f(x)的周期.
常用結(jié)論1.關(guān)于函數(shù)奇偶性的常用結(jié)論(1)如果函數(shù)f(x)是奇函數(shù)且在x=0處有定義,那么一定有f(0)=0;如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù),那么f(-x)=f(x)=f(|x|).(2)如果函數(shù)f(x)不是常數(shù)函數(shù),當(dāng)f(x)是奇函數(shù)時,它在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性;當(dāng)f(x)是偶函數(shù)時,它在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.(3)奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù),偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù).(4)如果f(x)=g(x)+m(m為常數(shù))且g(x)為奇函數(shù),那么f(x)+f(-x)=2m.(5)如果奇函數(shù)f(x)存在最大值與最小值,那么它的最大值與最小值之和等于零.
2.關(guān)于函數(shù)周期性的常用結(jié)論(a,b為非零常數(shù))(1)若f(x+a)=-f(x),則周期T=2a.
(4)若f(x+a)=f(x+b),則周期T=|a-b|.(5)若函數(shù)f(x)圖象的對稱軸有直線x=a和x=b,那么周期T=2|a-b|.
3.關(guān)于函數(shù)圖象對稱性的常用結(jié)論(1)若對于R上的任意x都有f(a-x)=f(a+x)或f(2a-x)=f(x)或f(-x)=f(2a+x),則y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱.(2)若對于R上的任意x都有f(a-x)=-f(a+x)或f(2a-x)=-f(x)或f(-x)=-f(2a+x),則y=f(x)的圖象關(guān)于點(a,0)對稱.
題組一思考辨析(判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)
2.若f(x)是奇函數(shù),則有f(0)=0.(　　)3.若f(x)是奇函數(shù),則y=-|f(x)|為偶函數(shù).(　　)4.若f(x)滿足f(x-1)=f(x+2),則函數(shù)f(x)的周期為3.(　　)
題組二回源教材5.(人教B版必修第一冊117頁習(xí)題3-1B第8題改編)已知函數(shù)f(x)=(x-1)2+ax+2是偶函數(shù),則實數(shù)a的值為　　　　　.?
解析 (方法一)由題意得f(1)=a+2,f(-1)=-a+6,因為f(x)是偶函數(shù),所以f(1)=f(-1),即a+2=-a+6,解得a=2.(方法二)f(x)=(x-1)2+ax+2=x2+(a-2)x+3,因為f(x)是偶函數(shù),所以a-2=0,解得a=2.
6.(人教A版必修第一冊86頁習(xí)題3.2第11題改編)已知函數(shù)f(x)是定義域為R的奇函數(shù),當(dāng)x≥0時,f(x)=x(1+x),則f(x)的解析式為　 .?
解析 設(shè)x0,于是f(-x)=-x(1-x),又因為f(x)是奇函數(shù),所以f(x)=-f(-x) =x(1-x),故函數(shù)解析式為f(x)=
題組三連線高考7.(2021·全國乙,理4)設(shè)函數(shù)f(x)= ,則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是(　　)A.f(x-1)-1B.f(x-1)+1C.f(x+1)-1D.f(x+1)+1
解析 函數(shù)f(x)= ,故該函數(shù)圖象的對稱中心的坐標(biāo)為(-1,-1).將該函數(shù)圖象向右平移1個單位長度,再向上平移1個單位長度后得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為g(x)=f(x-1)+1,其圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱,即為奇函數(shù).故選B.
8.(2020·全國Ⅱ,理9)設(shè)函數(shù)f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,則f(x)(　　)
考點一函數(shù)的奇偶性及其應(yīng)用(多考向探究預(yù)測)
考向1函數(shù)奇偶性的判斷例1(1)(多選題)(2024·浙江紹興模擬)已知函數(shù)f(x)=2x-2-x,函數(shù)g(x)=cs 2x,則下列結(jié)論中正確的是(　　)A.f(x)g(x)是偶函數(shù)B.f(x)-|g(x)|是奇函數(shù)C.|f(x)|+g(x)是偶函數(shù)D.g(f(x))是偶函數(shù)
解析 易知函數(shù)f(x),g(x)的定義域均為R,且分別為奇函數(shù)和偶函數(shù).由于f(-x)g(-x)=-f(x)g(x),所以f(x)g(x)是奇函數(shù),故A錯誤;由于f(-x)-|g(-x)|=-f(x)-|g(x)|≠f(x)-|g(x)|≠-[f(x)-|g(x)|],所以f(x)-|g(x)|是非奇非偶函數(shù),故B錯誤;由于|f(-x)|+g(-x)=|-f(x)|+g(x)=|f(x)|+g(x),所以|f(x)|+g(x)是偶函數(shù),故C正確;由于g(f(-x))=g(-f(x))=g(f(x)),所以g(f(x))是偶函數(shù),故D正確,故選CD.
解析 ①函數(shù)的定義域為{x|x≠2},關(guān)于原點不對稱,所以f(x)為非奇非偶函數(shù);②由4-x2>0,解得-22或x0,∴f(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增.可得函數(shù)f(x)在一個周期內(nèi)的大致圖象如下,
[對點訓(xùn)練3](多選題)(2024·河南洛陽模擬)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y),f(x+2)=-f(x),且f(x)在區(qū)間[-1,0]上單調(diào)遞增,則下列結(jié)論中正確的是(　 　)A.f(x)是周期函數(shù)B.f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱C.f(x)在[1,2]上單調(diào)遞增D.f(2)=f(0)
解析 由于f(x+y)=f(x)+f(y),取x=y=0得f(0)=0;取y=-x,則有f(x-x)=f(0) =f(x)+f(-x)=0,即函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù),由f(x+2)=-f(x),得f(x+4)=-f(x+2) =f(x),因此函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù),故A正確;f(x+2)=-f(x)=f(-x),因此f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,故B正確;因為f(x)在區(qū)間[-1,0]上單調(diào)遞增,則f(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增,于是得f(x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減,故C錯誤;由f(x+2)=-f(x),得f(2)=-f(0)=0=f(0),故D正確,故選ABD.

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