專訓(xùn)1　利用特殊四邊形的性質(zhì)巧解動點問題 名師點金： 利用特殊四邊形的性質(zhì)解動點問題，一般將動點看成特殊點解決問題，再運用從特殊到一般的思想，將特殊點轉(zhuǎn)化為一般點(動點)來解答． 平行四邊形中的動點問題 1．如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)兩點在對角線BD上運動(E，F(xiàn)不重合)，且保持BE＝DF，連接AE，CF.請你猜想AE與CF有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由． (第1題) 菱形中的動點問題 2．如圖，在菱形ABCD中，∠B＝60°，動點E在邊BC上，動點F在邊CD上． (1)如圖①，若E是BC的中點，∠AEF＝60°，求證：BE＝DF； (2)如圖②，若∠EAF＝60°，求證：△AEF是等邊三角形． (第2題) 矩形中的動點問題 3．在矩形ABCD中，AB＝4 cm，BC＝8 cm，AC的垂直平分線EF分別交AD，BC于點E，F(xiàn)，垂足為O. (1)如圖①，連接AF，CE.試說明四邊形AFCE為菱形，并求AF的長． (2)如圖②，動點P，Q分別從A，C兩點同時出發(fā)，沿△AFB和△CDE各邊勻速運動一周，即點P自A→F→B→A停止，點Q自C→D→E→C停止．在運動過程中，已知點P的速度為5 cm/s，點Q的速度為4 cm/s，運動時間為t s，當以A，C，P，Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，求t的值． (第3題) 正方形中的動點問題 4．如圖，正方形ABCD的邊長為8 cm，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA上的動點，且AE＝BF＝CG＝DH. (1)求證：四邊形EFGH是正方形； (2)判斷直線EG是否經(jīng)過一個定點，并說明理由． (第4題) 答案 1．解：AE＝CF，AE∥CF.理由如下： ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB＝CD，AB∥CD. ∴∠ABE＝∠CDF. 又∵BE＝DF，∴△ABE≌△CDF. ∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD. ∵∠AEB＋∠AED＝∠CFD＋∠CFB＝180°， ∴∠AED＝∠CFB.∴AE∥CF. 2．證明：(1)連接AC.∵在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝BC＝CD， ∴∠BCD＝180°－∠B＝120°，△ABC是等邊三角形．又∵E是BC的中點，∴AE⊥BC.∵∠AEF＝60°，∴∠FEC＝90°－∠AEF＝30°.∴∠CFE＝180°－∠FEC－∠BCD＝180°－30°－120°＝30°.∴∠FEC＝∠CFE.∴EC＝CF.∴BE＝DF. (2)連接AC.由(1)知△ABC是等邊三角形， ∴AB＝AC，∠ACB＝∠BAC＝∠EAF＝60°.∴∠BAE＝∠CAF. ∵∠BCD＝120°，∠ACB＝60°， ∴∠ACF＝60°＝∠B. ∴△ABE≌△ACF. ∴AE＝AF.∴△AEF是等邊三角形． 3．解：(1)∵四邊形ABCD是矩形， ∴AD∥BC. ∴∠OAE＝∠OCF，∠AEO＝∠CFO. ∵EF垂直平分AC，垂足為O， ∴OA＝OC. ∴△AOE≌△COF.∴OE＝OF. ∴四邊形AFCE為平行四邊形． 又∵EF⊥AC，∴四邊形AFCE為菱形． 設(shè)AF＝CF＝x cm，則BF＝(8－x)cm， 在Rt△ABF中，AB＝4 cm，由勾股定理得42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5， ∴AF＝5 cm. (2)顯然當P點在AF上，Q點在CD上時，A，C，P，Q四點不可能構(gòu)成平行四邊形；同理P點在AB上時，Q點在DE或CE上，也不可能構(gòu)成平行四邊形．因此只有當P點在BF上，Q點在ED上時，才能構(gòu)成平行四邊形，如圖，連接AP，CQ，若以A，C，P，Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形，則PC＝QA. ∵點P的速度為5 cm/s，點Q的速度為4 cm/s，運動時間為t s， ∴PC＝5t cm，QA＝(12－4t)cm. ∴5t＝12－4t，解得t＝eq \f(4,3). ∴以A，C，P，Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，t＝eq \f(4,3). (第3題) (第4題) 4．(1)證明：如圖，∵四邊形ABCD為正方形， ∴∠A＝∠ABC＝∠C＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝CD＝AD. ∵AE＝BF＝CG＝DH，∴BE＝CF＝DG＝AH. ∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG. ∴EH＝EF＝FG＝GH，∠1＝∠2. ∴四邊形EFGH為菱形． ∵∠1＋∠3＝90°，∠1＝∠2， ∴∠2＋∠3＝90°.∴∠HEF＝90°. ∵四邊形EFGH為菱形， ∴四邊形EFGH是正方形． (2)解：直線EG經(jīng)過一個定點．理由如下：如圖，連接BD，DE，BG.設(shè)EG與BD交于O點． ∵BEDG， ∴四邊形BGDE為平行四邊形． ∴BD，EG互相平分．∴BO＝OD. ∴點O為正方形ABCD的對角線的交點． ∴直線EG必過正方形ABCD的對角線的交點．

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