專訓(xùn)3　正方形性質(zhì)與判定的靈活運用 名師點金： 正方形既是菱形，又是矩形，它具有菱形、矩形的所有性質(zhì)，判定一個四邊形是正方形，只需判定它既是菱形又是矩形即可． 利用正方形的性質(zhì)證明線段位置關(guān)系 1．如圖，在正方形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，E，F(xiàn)分別在OD，OC上，且DE＝CF，連接DF，AE，并延長AE，其延長線交DF于點M. 求證：AM⊥DF. (第1題) 利用正方形的性質(zhì)解決線段和差倍分問題 2．在正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB，DC(或它們的延長線)于點M，N.【導(dǎo)學(xué)號：54274025】 (1)如圖①，當(dāng)∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到BM＝DN時，易證：BM＋DN＝MN.當(dāng)∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時，如圖②，請問圖①中的結(jié)論是否還成立？如果成立，請給予證明；如果不成立，請說明理由． (2)當(dāng)∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到如圖③所示的位置時，線段BM，DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，并說明理由． (第2題) 利用正方形的判定和性質(zhì)探究正方形的條件 3．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，過點C的直線MN∥AB，D為AB邊上一點，過點D作DE⊥BC，交直線MN于E，垂足為F，連接CD，BE. (1)求證：CE＝AD. (2)當(dāng)點D為AB的中點時，四邊形BECD是什么特殊四邊形？請說明理由． (3)若點D為AB的中點，則當(dāng)∠A的大小滿足什么條件時，四邊形BECD是正方形？請說明理由． (第3題) 正方形的性質(zhì)與判定的綜合運用 4．如圖，P，Q，R，S四個小球分別從正方形的四個頂點A，B，C，D同時出發(fā)，以同樣的速度分別沿AB，BC，CD，DA的方向滾動，其終點分別是B，C，D，A. (1)不管滾動多長時間，求證：連接四個小球所得的四邊形PQRS總是正方形． (2)四邊形PQRS在什么時候面積最大？ (3)四邊形PQRS在什么時候面積為正方形ABCD面積的一半？并說明理由． (第4題) 答案 1．證明：∵AC，BD是正方形ABCD的兩條對角線， ∴AC⊥BD，OA＝OD＝OC＝OB. ∴∠AOE＝∠DOF＝90°. ∵DE＝CF，∴OE＝OF. ∴△AOE≌△DOF. ∴∠OAE＝∠ODF. ∵∠DOF＝90°， ∴∠DFO＋∠FDO＝90°. ∴∠DFO＋∠FAE＝90°. ∴∠AMF＝90°，即AM⊥DF. 2．解：(1)仍有BM＋DN＝MN成立．證明如下： 過點A作AE⊥AN，交CB的延長線于點E, 易證△ABE≌△ADN，∴DN＝BE，AE＝AN. 又∵∠EAM＝∠NAM＝45°，AM＝AM， ∴△EAM≌△NAM.∴ME＝MN. ∵ME＝BE＋BM＝DN＋BM， ∴BM＋DN＝MN . (第2題) (2)DN－BM＝MN.理由如下： 如圖，在DN上截取DE＝BM，連接AE.∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠ABM＝∠D＝∠BAD＝90°，AB＝AD. 又∵BM＝DE，∴△ABM≌△ADE.∴AM＝AE，∠BAM＝∠DAE. ∵∠DAB＝90°，∴∠MAE＝90°. ∵∠MAN＝45°， ∴∠EAN＝45°＝∠MAN. 又∵AM＝AE，AN＝AN， ∴△AMN≌△AEN.∴MN＝EN. ∴DN＝DE＋EN＝BM＋MN. ∴DN－BM＝MN. 3．(1)證明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°. ∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB. ∴AC∥DE. ∵MN∥AB，即CE∥AD， ∴四邊形ADEC是平行四邊形． ∴CE＝AD. (2)解：四邊形BECD是菱形． 理由：∵D為AB的中點，∴AD＝BD. ∵CE＝AD，∴BD＝CE. ∵BD∥CE， ∴四邊形BECD是平行四邊形． ∵∠ACB＝90°，D為AB的中點， ∴CD＝BD. ∴四邊形BECD是菱形． (3)解：當(dāng)∠A＝45°時，四邊形BECD是正方形，理由： ∵∠ACB＝90°，∠A＝45°， ∴∠ABC＝∠A＝45°.∴AC＝BC. ∵點D為AB的中點，∴CD⊥AB. ∴∠CDB＝90°. ∵四邊形BECD是菱形， ∴菱形BECD是正方形． 即當(dāng)∠A＝45°時，四邊形BECD是正方形． 4．(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA.又∵在任何運動時刻，AP＝BQ＝CR＝DS，∴PB＝QC＝RD＝SA.∴△ASP≌△BPQ≌△CQR≌△DRS.∴PS＝QP＝RQ＝SR，∠ASP＝∠BPQ.∴在任何運動時刻，四邊形PQRS總是菱形．又∵∠APS＋∠ASP＝90°，∴∠APS＋∠BPQ＝90°.∴∠QPS＝180°－(∠APS＋∠BPQ)＝180°－90°＝90°.∴在任何運動時刻，四邊形PQRS總是正方形． (2)解：當(dāng)P，Q，R，S在出發(fā)時或在到達終點時面積最大，此時的面積就等于正方形ABCD的面積． (3)解：當(dāng)P，Q，R，S四個小球滾動到正方形ABCD各邊中點時，四邊形PQRS的面積為正方形ABCD面積的一半． 理由：設(shè)正方形ABCD的邊長為a. 當(dāng)PS2＝eq \f(1,2)a2時，在Rt△APS中，AS＝a－SD＝a－AP. 由勾股定理，得AS2＋AP2＝PS2， 即(a－AP)2＋AP2＝eq \f(1,2)a2， 解得AP＝eq \f(1,2)a. 同理可得BQ＝CR＝SD＝eq \f(1,2)a. ∴當(dāng)P，Q，R，S四個小球滾動到正方形ABCD各邊中點時，四邊形PQRS的面積為正方形ABCD面積的一半．

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