2024八下第22章四邊形階段方法技巧訓練三專訓2利用特殊四邊形的性質巧解折疊問題（冀教版）-試卷下載-教習網

專訓2　利用特殊四邊形的性質巧解折疊問題名師點金：四邊形的折疊問題是指將四邊形按照某種方式折疊，然后在平面圖形內按照要求完成相應的計算和證明．折疊的本質是圖形的軸對稱變換，折疊后的圖形與原圖形全等．平行四邊形的折疊問題 1．在?ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠B是銳角，將△ACD沿對角線AC所在直線折疊，點D落在△ABC所在平面內的點E處．如果AE恰好經過BC的中點，那么?ABCD的面積是________． 2．如圖，將平行四邊形紙片ABCD沿對角線AC所在直線折疊，點D落在點E處，AE恰好經過BC邊的中點．若AB＝3，BC＝6，求∠B的度數． (第2題) 矩形的折疊問題 3．【中考·衢州】如圖①，將矩形ABCD沿DE折疊，使頂點A落在DC上的點A′處，然后將矩形展平，沿EF折疊，使頂點A落在折痕DE上的點G處．再將矩形ABCD沿CE折疊，此時頂點B恰好落在DE上的點H處．如圖②. (1)求證：EG＝CH； (2)已知AF＝eq \r(2)，求AD和AB的長． (第3題) 菱形的折疊問題 4．如圖，將菱形紙片ABCD折疊，使點A恰好落在菱形的對角線交點O處，折痕為EF.若菱形的邊長為2，∠A＝120°，求EF的長． (第4題) 正方形的折疊問題 5．【中考·德州】如圖，現有一張邊長為4的正方形紙片ABCD，點P為正方形AD邊上的一點(不與點A，點D重合)．將正方形紙片折疊，使點B落在P處，點C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，連接BP，BH. (1)求證：∠APB＝∠BPH. (2)當點P在邊AD上移動時，△PDH的周長是否發(fā)生變化？并證明你的結論．【導學號：54274027】 (第5題) 答案 1．12eq \r(7)　點撥：如圖，設AE，BC的交點為O，連接BE，已知O是BC的中點． ∵在△ABC和△CDA中，AB＝CD，BC＝DA，AC＝CA，∴△ABC≌△CDA，則△ABC≌△CEA，∴∠ACB＝∠CAE，同時，BC＝AE，即在四邊形ABEC中，兩條對角線相等．∵在△AOC中，∠ACB＝∠CAE，∴AO＝OC，易得O是AE的中點．∴四邊形ABEC是矩形，在Rt△AEC中，CE＝AB＝6，AE＝AD＝8，由勾股定理得AC＝eq \r(AE2－CE2)＝eq \r(82－62)＝2eq \r(7). ∴?ABCD的面積＝AB·AC＝6×2eq \r(7)＝12eq \r(7). (第1題) (第2題) 2．解：設AE與BC相交于點F，如圖． ∵四邊形ABCD為平行四邊形， ∴AD∥BC.∴∠1＝∠3. ∵平行四邊形紙片ABCD沿對角線AC所在直線折疊，點D落在點E處， ∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2.∴FC＝FA. ∵F為BC邊的中點，BC＝6， ∴AF＝CF＝BF＝eq \f(1,2)×6＝3. 又∵AB＝3，∴△ABF是等邊三角形．∴∠B＝60°. (第3題) 3．(1)證明：由折疊知∠ADE＝∠A′DE，AE＝EG，BC＝CH. ∵四邊形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，AB∥CD. ∴∠A′DE＝∠AED. ∴∠AED＝∠ADE. ∴AE＝AD. ∴EG＝CH. (2)解：∵∠ADE＝45°，∠FGE＝∠A＝90°，AF＝eq \r(2)， ∴DG＝eq \r(2)，DF＝2.∴AD＝2＋eq \r(2). 如圖，由折疊知，∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠2＋∠4＝90°，∠1＋∠3＝90°. ∵∠1＋∠AFE＝90°， ∴∠3＝∠AFE. 又∵∠A＝∠B＝90°，由(1)知，AE＝BC， ∴△EFA≌△CEB. ∴AF＝BE.∴AB＝AE＋BE＝AD＋AF＝2＋eq \r(2)＋eq \r(2)＝2＋2eq \r(2). 4．解：如圖，連接BD，AC. (第4題) ∵四邊形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AC平分∠BAD. ∵∠BAD＝120°，∴∠BAC＝60°. ∴∠ABO＝90°－60°＝30°. ∵∠AOB＝90°， ∴AO＝eq \f(1,2)AB＝eq \f(1,2)×2＝1. 由勾股定理，得BO＝DO＝eq \r(3). ∵點A沿EF折疊與點O重合， ∴EF⊥AC，EF平分AO. ∵AC⊥BD，∴EF∥BD，易得EF為△ABD的中位線， ∴EF＝eq \f(1,2)BD＝eq \f(1,2)×(eq \r(3)＋eq \r(3))＝eq \r(3). 5．(1)證明：∵PE＝BE， ∴∠EBP＝∠EPB. 又∵∠EPH＝∠EBC＝90°， ∴∠EPH－∠EPB＝∠EBC－∠EBP，即∠BPH＝∠PBC. 又∵AD∥BC，∴∠APB＝∠PBC， ∴∠APB＝∠BPH. (2)解：△PDH的周長不變且為定值8. 證明如下：過B作BQ⊥PH，垂足為Q.如圖． (第5題) 由(1)知∠APB＝∠BPH，又∵∠A＝∠BQP＝90°，BP＝BP， ∴△ABP≌△QBP. ∴AP＝QP，AB＝BQ. 又∵AB＝BC，∴BC＝BQ. 又∵∠C＝∠BQH＝90°，BH＝BH， ∴Rt△BCH≌Rt△BQH，∴CH＝QH. ∴△PDH的周長為：PD＋DH＋PH＝AP＋PD＋DH＋HC＝AD＋CD＝8.