目錄
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc29376" 一、熱點(diǎn)題型歸納1
\l "_Tc17993" 【題型一】 不等式證明6：凸凹翻轉(zhuǎn)型1
\l "_Tc26924" 【題型二】 不等式證明7：三角函數(shù)與導(dǎo)數(shù)型2
\l "_Tc12217" 【題型三】 不等式證明8：極值點(diǎn)偏移（不含參）2
\l "_Tc30563" 【題型四】 不等式證明9：極值點(diǎn)偏移（含參）3
\l "_Tc30563" 【題型五】 不等式證明10：三個(gè)“極值點(diǎn)”（零點(diǎn)）型4
\l "_Tc30563" 【題型六】 不等式證明11：比值代換（整體代換等）型 4
\l "_Tc30563" 【題型七】 不等式證明11：非對(duì)稱(chēng)型（零點(diǎn)值x1與x2系數(shù)不一致）5
\l "_Tc30563" 【題型八】 不等式證明12：韋達(dá)定理型6
\l "_Tc30563" 【題型九】 不等式證明13：利用第一問(wèn)構(gòu)造（包括泰勒展開(kāi)）6
\l "_Tc30563" 【題型十】 不等式證明14：含ex和lnx型7
\l "_Tc30563" 【題型十一】 不等式證明15：先放縮再證明型7
\l "_Tc30563" 【題型十二】 不等式證明16：切線放縮證明“兩根差”型8
\l "_Tc30563" 【題型十三】 不等式證明17：條件不等式證明9
\l "_Tc30563" 【題型十四】 綜合證明：x1與x2綜合9
\l "_Tc21895" 二、最新?？碱}組練10
【題型一】 不等式證明6:凹凸翻轉(zhuǎn)型
【典例分析】
已知，.
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）對(duì)一切，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）證明：對(duì)一切，都有成立.
【提分秘籍】
基本規(guī)律
類(lèi)型特征：
特殊技巧；
分開(kāi)為兩個(gè)函數(shù)，各自研究，甚至用上放縮法。
【變式演練】
1.已知．
（1）求函數(shù)的極值；
（2）證明：對(duì)一切，都有成立．
2.已知函數(shù).
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）證明：.
【題型二】 不等式證明7：三角函數(shù)與導(dǎo)數(shù)不等式
【典例分析】
已知函數(shù)，，．
（1）若在上單調(diào)遞增，求a的最大值；
（2）當(dāng)a?。?）中所求的最大值時(shí)，討論在R上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明．
【提分秘籍】
基本規(guī)律
1.證明思路和普通不等式一樣。
2.充分利用正余弦的有界性
【變式演練】
1.設(shè)函數(shù).
（1）求的極值點(diǎn)；
（2）設(shè)函數(shù).證明：.
2.已知函數(shù)
（1）若，成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍;
（2）證明：有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且．
【題型三】 不等式證明8：極值點(diǎn)偏移之不含參型
【典例分析】
.已知函數(shù)．
（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）設(shè)，為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：．
【提分秘籍】
基本規(guī)律
1.求出函數(shù)的極值點(diǎn)；
2.構(gòu)造一元差函數(shù)；
3.確定函數(shù)的單調(diào)性；
4.結(jié)合，判斷的符號(hào)，從而確定、的大小關(guān)系
【變式演練】
1.已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，判斷在區(qū)間上的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，若，且的極值在處取得，證明：.
2.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為，，試證明：.
【題型四】 不等式證明9：極值點(diǎn)偏移之含參型
【典例分析】
已知函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為．（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
求證：．
【提分秘籍】
基本規(guī)律
1.消去參數(shù)，從而轉(zhuǎn)化成不含參數(shù)的問(wèn)題去解決；
2.以參數(shù)為媒介，構(gòu)造出一個(gè)變?cè)男碌暮瘮?shù).
【變式演練】
1..已知函數(shù).
（1）設(shè)函數(shù)，且恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）求證：；
（3）設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)、，求證：.
2.已知函數(shù).（1）若f（1）=2，求a的值；
（2）若存在兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，證明：
①；②.
【題型五】 不等式證明10：三個(gè)“極值點(diǎn)（零點(diǎn)）”不等式
【典例分析】
已知函數(shù)在處的切線方程為．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)的3個(gè)極值點(diǎn)分別為，，，求證：．
【提分秘籍】
基本規(guī)律
1.可以通過(guò)代換消去一個(gè)極值點(diǎn)。
2.一些函數(shù)也可以求出具體的極值點(diǎn)
3.通過(guò)分類(lèi)討論可以“鎖定”一個(gè)的取值范圍，適當(dāng)放縮。
【變式演練】
1.已知函數(shù).
（1）若曲線在處的切線斜率為，求實(shí)數(shù)的值；
（2）若函數(shù)有3個(gè)不同的零點(diǎn)，，，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并證明：.
2.已知函數(shù)f(x)=ex?ax21+x．
（1）若a=0，討論f(x)的單調(diào)性．
（2）若f(x)有三個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，x3．
①求a的取值范圍；
②求證：x1+x2+x3>?2．
【題型六】 不等式證明11：比值代換（整體代換等）
【典例分析】
已知函數(shù)（為常數(shù)，且）.
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)時(shí)，若有兩個(gè)極值點(diǎn)，，證明：.
【提分秘籍】
基本規(guī)律
1.兩個(gè)極值點(diǎn)（或者零點(diǎn)），可代入得到兩個(gè)“對(duì)稱(chēng)”方程
2.適當(dāng)?shù)暮愕茸冃?，可?gòu)造出“比值”型整體變量。
【變式演練】
1.已知函數(shù)，.
（1）若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，.
（i）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（ii）當(dāng)時(shí)，證明：.
2.和是關(guān)于的方程的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.
（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若，求證：.
【題型七】 不等式證明11：非對(duì)稱(chēng)型（零點(diǎn)x1與x2系數(shù)不一致）
【典例分析】
已知，.
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，是的極值點(diǎn)，求證：.
【提分秘籍】
基本規(guī)律
1.可以借助“比值”等代換方式引入?yún)?shù)，轉(zhuǎn)化為一個(gè)變量。
2.可以利用“極值點(diǎn)”偏移構(gòu)造新函數(shù)證明。
【變式演練】
1.已知函數(shù)．
（1）討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（2）若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，證明．
2.已知函數(shù)既有極大值，又有極小值.
（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）記為函數(shù)的極小值點(diǎn)，實(shí)數(shù)且，證明：.
【題型八】 不等式證明12：韋達(dá)定理型
【典例分析】
已知函數(shù)．
（1）若是定義域上的單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；
（2）若在定義域上有兩個(gè)極值點(diǎn)，，證明：．
【提分秘籍】
基本規(guī)律
1.題干條件大多數(shù)是與函數(shù)額極值x1，x2有關(guān)。
2.利用韋達(dá)定理代換：可以消去x1，x2留下參數(shù)
【變式演練】
1.已知函數(shù)，在定義域上有兩個(gè)極值點(diǎn)．
（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）求證:
2.已知函數(shù)，．
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，證明：當(dāng)，，，．
【題型九】 不等式證明13：利用第一問(wèn)
【典例分析】
已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若正數(shù)m，n滿(mǎn)足，求證．
【提分秘籍】
基本規(guī)律
1.可以利用第一問(wèn)單調(diào)性提煉出不等式
2.可以利用第一問(wèn)極值或者最值提煉出常數(shù)不等式
3.可以利用題干和第一問(wèn)結(jié)論構(gòu)造新函數(shù)（新不等式）
【變式演練】
1.設(shè)函數(shù).
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，證明：.
2..已知函數(shù).
（1）若，討論的單調(diào)性；
（2）證明：.
【題型十】 不等式證明14：含ex和lnx型
【典例分析】
已知函數(shù)．
（1）若是的極值點(diǎn)，求，并討論的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，證明：．
【提分秘籍】
基本規(guī)律
1.因?yàn)楹衑x和lnx這類(lèi)超越函數(shù)，，可以借助“不確定根”（隱零點(diǎn)）代換放縮證明
2.利用lnx求導(dǎo)為1/x，ex求導(dǎo)無(wú)限循環(huán)特性，把lnx獨(dú)立分離出，降低導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)尋找的計(jì)算難度。
3.可以利用“同構(gòu)”技巧
【變式演練】
1.已知函數(shù)，.
（1）討論的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，證明：，.
2.已知函數(shù)，，其中.
（1）試討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若，證明：.
【題型十一】 不等式證明15：先放縮再證明
【典例分析】
設(shè)函數(shù)．
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)時(shí)，證明：．
【提分秘籍】
基本規(guī)律
放縮構(gòu)造法：
1.根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；
2.利用常見(jiàn)放縮結(jié)論；
【變式演練】
1.已知函數(shù).
（1）若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求a的值；
（2）若，證明：.
2.已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的極值；
（2）求證：．
【題型十二】 不等式證明16.：切線放縮證明兩根差型（剪刀模型）
【典例分析】
已知函數(shù)，．
（1）求函數(shù)的極值；
（2）設(shè)曲線與軸正半軸的交點(diǎn)為，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（3）若方程為實(shí)數(shù)）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，求證：．
【提分秘籍】
基本規(guī)律
本專(zhuān)題又稱(chēng)之為“剪刀模型”，可以如下圖理解（其中一種思維）
【變式演練】
1.已知函數(shù)，其中.
(I)討論的單調(diào)性；
(II)設(shè)曲線與軸正半軸的交點(diǎn)為P，曲線在點(diǎn)P處的切線方程為,求證：對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)，都有；
(III)若關(guān)于的方程有兩個(gè)正實(shí)根，求證： .
2.已知函數(shù).
（1）設(shè)曲線在處的切線為，求證：；
（2）若關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，求證：.
【題型十三】 不等式證明17：條件不等式證明
【典例分析】
已知函數(shù)．
（1）設(shè)函數(shù)，討論在區(qū)間上的單調(diào)性；
（2）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，（極值點(diǎn)是指函數(shù)取極值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的值），且，證明：．
【提分秘籍】
基本規(guī)律
1.可以利用“對(duì)稱(chēng)性”構(gòu)造方程同解變形
2.一些題型的證法，實(shí)質(zhì)是類(lèi)似于“極值點(diǎn)偏移”
【變式演練】
1.已知.
（1）證明：是上的增函數(shù)，
（2）若，且，證明：.
2.已知函數(shù).
（1）討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（2）設(shè)m，n為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：.
【題型十四】 綜合證明：x1與x2型
【典例分析】
已知函數(shù)．
（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）若，求證：．
【變式演練】
1.已知函數(shù)，，，是兩個(gè)任意實(shí)數(shù)且．
（1）求函數(shù)的圖象在處的切線方程；
（2）若函數(shù)在上是增函數(shù)，求的取值范圍；
（3）求證：．
2..已知函數(shù)．
（1）若函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為，求的值．
（2）若函數(shù)存在減區(qū)間，求的取值范圍．
（3）求證：若，，都有．
1.（2020廣東省高考?jí)狠S卷）已知函數(shù)（為常數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），曲線 在點(diǎn)處的切線與軸平行．
（1）求的值；（2）求的單調(diào)區(qū)間；
（3）設(shè)，其中是的導(dǎo)函數(shù)．證明：對(duì)任意，．
2.（中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力診斷性測(cè)試2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期11月測(cè)試數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù).
（1）設(shè)且，求函數(shù)的最小值；
（2）當(dāng)，證明：.
3.（江蘇省常州市2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的極大值；
（2）設(shè)實(shí)數(shù)a，b互不相等，且，證明：.
4.（山東省泰安市新泰市第一中學(xué)東校2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）若．
（1）當(dāng)，時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若，且有兩個(gè)極值點(diǎn)，，證明．
5.（河南省新鄉(xiāng)市2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù).
（1）求的極值.
（2）若，，證明：.
6.（廣東省揭陽(yáng)市揭東區(qū)2022屆高三上學(xué)期數(shù)學(xué)試題）已知，
（1）求在處的切線方程以及的單調(diào)性；
（2）令，若有兩個(gè)零點(diǎn)分別為，且為唯一極值點(diǎn)，求證：.
7.（山東省臨沂市2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù).
（1）函數(shù)的圖象能否與軸相切？若能與軸相切，求實(shí)數(shù)的值；否則請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）若函數(shù)恰好有兩個(gè)零點(diǎn)、，求證：.
8.（遼寧省葫蘆島市協(xié)作校2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期第一次考試數(shù)學(xué)試題）已知是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn).
（1）求的值；
（2）證明：.
9.（內(nèi)蒙古赤峰市2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期考試數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)．
（1）設(shè)是的極值點(diǎn)，求，并求的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明：當(dāng)時(shí)，．
10.（河南省南陽(yáng)市2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期期中質(zhì)量評(píng)估理科數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，.
（1）若恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）求證：當(dāng)時(shí)，.
11.已知函數(shù)，.
（1）若，求函數(shù)的最大值；
（2）若，
（i）求過(guò)原點(diǎn)且與曲線相切的直線方程；
（ii）設(shè)，為方程()的解，求證：.

12.（安徽省合肥市第一中學(xué)2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期11月數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，
（1）求的極值；
（2）若在上恒成立，求的取值范圍；
（3）已知，，且，求證：．
13.已知函數(shù)，
（1）不等式對(duì)于任意的恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值集合；
（2）若函數(shù)與函數(shù)的圖象有且僅有一條公切線，求實(shí)數(shù)a的取值集合
（3）設(shè)，，若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求證：.

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專(zhuān)題3-4 超難壓軸小題：導(dǎo)數(shù)和函數(shù)歸類(lèi)（1）-2022年高考數(shù)學(xué)畢業(yè)班二輪熱點(diǎn)題型歸納與變式演練（全國(guó)通用）（原卷版）
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