一、單選題
1．從某班所有同學(xué)中隨機抽取10人，獲得他們某學(xué)年參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)的數(shù)據(jù)如下：4，4，4，7，7，8，8，9，9，10，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是（ ）
A．9B．8C．7D．4
2．已知向量，滿足，，則的值為（ ）
A．4B．3C．2D．0
3．已知，，，則（ ）
A．B．C．D．
4．已知橢圓，A，B為G的短軸端點，P為G上異于A，B的一點，則直線，的斜率之積為（ ）
A．B．C．D．
5．標準對數(shù)視力表（如圖）采用的“五分記錄法”是我國獨創(chuàng)的視力記錄方式．標準對數(shù)視力表各行“E”字視標約為正方形，每一行“E”的邊長都是上一行“E”的邊長的，若視力4.0的視標邊長約為10cm，則視力4.9的視標邊長約為（ ）
A．B．C．D．
6．的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，的面積為，則（ ）
A．B．4C．2D．
7．設(shè)，為復(fù)數(shù)，則下列命題正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則且
C．若，則
D．若，且，則在復(fù)平面對應(yīng)的點在一條直線上
8．已知為圓上動點，直線和直線（，）的交點為，則的最大值是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
9．若展開式中常數(shù)項為28，則實數(shù)m的值可能為（ ）
A．B．1C．2D．3
10．已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值可能在（ ）
A．B．C．D．
11．已知定義域為R的函數(shù)，滿足，且，，則（ ）
A．B．圖像關(guān)于對稱
C．D．
三、填空題
12．已知集合，．若，則實數(shù)的取值集合為 ．
13．《九章算術(shù)》中記錄的“羨除”是算學(xué)和建筑學(xué)術(shù)語，指的是一段類似隧道形狀的幾何體，如圖，羨除中，底面是正方形，平面，和均為等邊三角形，且．則這個幾何體的外接球的體積為 ．
14．某機器有四種核心部件A，B，C，D，四個部件至少有三個正常工作時，機器才能正常運行，四個核心部件能夠正常工作的概率滿足為，，且各部件是否正常工作相互獨立，已知，設(shè)為在次實驗中成功運行的次數(shù)，若，則至少需要進行的試驗次數(shù)為 ．
四、解答題
15．2024年初，OpenAI公司發(fā)布了新的文生視頻大模型：“Sra”，Sra模型可以生成最長60秒的高清視頻．Sra一經(jīng)發(fā)布在全世界又一次掀起了人工智能的熱潮．為了培養(yǎng)具有創(chuàng)新潛質(zhì)的學(xué)生，某高校決定選拔優(yōu)秀的中學(xué)生參加人工智能冬令營．選拔考試分為“Pythn編程語言”和“數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)算法”兩個科目，考生兩個科目考試的順序自選，若第一科考試不合格，則淘汰；若第一科考試合格則進行第二科考試，無論第二科是否合格，考試都結(jié)束．“Pythn編程語言”考試合格得4分，否則得0分；“數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)算法”考試合格得6分，否則得0分．
已知甲同學(xué)參加“Pythn編程語言”考試合格的概率為0.8，參加“數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)算法”考試合格的概率為0.7．
(1)若甲同學(xué)先進行“Pythn編程語言”考試，記為甲同學(xué)的累計得分，求的分布列；
(2)為使累計得分的期望最大，甲同學(xué)應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由．
16．如圖，為圓錐頂點，是圓錐底面圓的圓心，，是長度為的底面圓的兩條直徑，，且，為母線上一點．
(1)求證：當(dāng)為中點時，平面；
(2)若，二面角的余弦值為，試確定P點的位置．
17．已知函數(shù)在處的切線與直線平行．
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)當(dāng)時，恒有成立，求k的取值范圍．
18．已知雙曲線G的中心為坐標原點，離心率為，左、右頂點分別為，.
(1)求的方程；
(2)過右焦點的直線l與G的右支交于M，N兩點，若直線與交于點．
（i）證明：點在定直線上：
（ii）若直線與交于點，求證：．
19．大數(shù)據(jù)環(huán)境下數(shù)據(jù)量積累巨大并且結(jié)構(gòu)復(fù)雜，要想分析出海量數(shù)據(jù)所蘊含的價值，數(shù)據(jù)篩選在整個數(shù)據(jù)處理流程中處于至關(guān)重要的地位，合適的算法就會起到事半功倍的效果．現(xiàn)有一個“數(shù)據(jù)漏斗”軟件，其功能為；通過操作刪去一個無窮非減正整數(shù)數(shù)列中除以M余數(shù)為N的項，并將剩下的項按原來的位置排好形成一個新的無窮非減正整數(shù)數(shù)列．設(shè)數(shù)列的通項公式，，通過“數(shù)據(jù)漏斗”軟件對數(shù)列進行操作后得到，設(shè)前n項和為．
(1)求；
(2)是否存在不同的實數(shù)，使得，，成等差數(shù)列？若存在，求出所有的；若不存在，說明理由；
(3)若，，對數(shù)列進行操作得到，將數(shù)列中下標除以4余數(shù)為0，1的項刪掉，剩下的項按從小到大排列后得到，再將的每一項都加上自身項數(shù)，最終得到，證明：每個大于1的奇平方數(shù)都是中相鄰兩項的和．
參考答案：
1．D
【分析】
借助眾數(shù)定義即可得.
【詳解】由數(shù)據(jù)可知，其中服務(wù)次數(shù)為4的個數(shù)最多，故眾數(shù)為4.
故選：D.
2．C
【分析】
借助向量數(shù)量積的運算計算即可得.
【詳解】.
故選：C.
3．B
【分析】
借助不等式的性質(zhì)與基本不等式逐項判斷即可得.
【詳解】對A：由，故，即，故A錯誤；
對B：由，，則，且，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故，故B正確；
對C：由，故，即有，
又由B可得，即，故C錯誤；
對D：由，故，即，故D錯誤.
故選：B.
4．C
【分析】
設(shè)，可得，代入中即可得.
【詳解】設(shè)，則有，即有，
由橢圓方程可得其短軸端點坐標分別為、，
則.
故選：C.
5．A
【分析】
由題意結(jié)合指數(shù)冪的運算法則計算即可得.
【詳解】由題意可得，視力4.9的視標邊長約為：
cm.
故選：A.
6．C
【分析】
借助三角形面積公式及余弦定理計算即可得.
【詳解】，由，故，又，
故，，由余弦定理可得：
，
即.
故選：C.
7．D
【分析】
設(shè)出、，對A，借助復(fù)數(shù)性質(zhì)計算即可得；對B、C，舉出反例即可得；對D：設(shè)，由題意可計算出、之間的關(guān)系，即可得解.
【詳解】設(shè)、，、、、，
對A：若，則有，
即且，故A錯誤；
對B：取、，亦有，故B錯誤；
對C：取，，則有，，故C錯誤；
對D：設(shè)，、，若，
則有，
即有，
整理得，
由，故與不能同時成立，
故在復(fù)平面對應(yīng)的點在直線上，
故D正確.
故選：D.
8．A
【分析】
由、可得，且過定點，過定點，則可得點在以為直徑的圓上，則的最大值為.
【詳解】由、，
有，故，
對有，故過定點，
對有，故過定點，
則中點為，即，
，則，
故點在以為直徑的圓上，該圓圓心為，半徑為，
又在原，該圓圓心為，半徑為，
又，則.
故選：A.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵點在于由直線、的方程得到，且過定點，過定點，從而確定點的軌跡為以為直徑的圓，進而將問題轉(zhuǎn)化為圓上兩點的距離最值問題.
9．AB
【分析】
求出展開式的通項公式，利用的冪指數(shù)為0求出值.
【詳解】二項式展開式的通項公式，
由，解得，則，于是，解得，
所以實數(shù)m的值為或.
故選：AB
10．AC
【分析】
借助輔助角公式可將函數(shù)化為正弦型函數(shù)，借助正弦型函數(shù)的單調(diào)性即可得的范圍.
【詳解】，
當(dāng)，由，則，
則有，，
解得，，
即，，
有，，即，即或，
當(dāng)時，有，時，有，
故的取值可能在或.
故選：AC.
11．ACD
【分析】
對A：借助賦值法，令，計算即可得；對B：借助賦值法，令，再令令，可得，故不可能關(guān)于對稱，對C：借助賦值法，令，再令，再，計算即可得；對D：由C選項中所得可推導(dǎo)出函數(shù)的周期性，計算出一個周期內(nèi)所有的函數(shù)值即可得.
【詳解】對A：令，，則有，
即，故A正確；
對B：令，則有，
即有，故或，又，故，
令，則有，即，
故不可能關(guān)于對稱，故B錯誤；
對C：令，則有，
即，故關(guān)于對稱，
令，則有，
即，即，
即，由定義域為，故為偶函數(shù)，
令，則有，
即，即，
又，，
故，即，故C正確；
對D：由，，
則有，即，
則，即，
即有，故周期為，
由，，故，，
又，，故，故D正確.
故選：ACD.
【點睛】結(jié)論點睛：解決抽象函數(shù)的求值、性質(zhì)判斷等問題，常見結(jié)論：
（1）關(guān)于對稱：若函數(shù)關(guān)于直線軸對稱，則，若函數(shù)關(guān)于點中心對稱，則，反之也成立；
（2）關(guān)于周期：若，或，或，可知函數(shù)的周期為.
12．
【分析】
根據(jù)，得到集合的元素都是集合的元素，即可求得的值.
【詳解】由題意，所以或，則或，
所以實數(shù)的取值集合為.
故答案為：.
13．
【分析】
結(jié)合題意，找出垂直底面且過底面外接圓圓心的直線，則球心必在該直線上，設(shè)出球心，借助球心到各頂點距離相等，結(jié)合勾股定理計算即可得半徑，運用球的體積公式即可得球的體積.
【詳解】連接，分別取、、中點、、，連接、、，
由底面是正方形，平面，和均為等邊三角形，
故，底面，又，故，
則，故，
由為底面正方形中心，，故可在直線上取一點，
使為羨除外接球球心，連接、、，
設(shè)半徑為，，則,
由底面，平面，故，
又，、平面，故平面，
又平面，故，故，
又，故有，即，
又，
故有，解得，
故，即，
則這個幾何體的外接球的體積為.
故答案為：.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查幾何體外接球問題，關(guān)鍵在于借助題目條件，找出垂直底面且過底面外接圓圓心的直線，則該幾何體的外接球球心必在該直線上，設(shè)出該點位置，從而可結(jié)合勾股定理計算出該球半徑，即可得解.
14．
【分析】
設(shè)，則，借助相互獨立事件的乘法公式可表示出一次實驗中成功運行的概率，則當(dāng)該概率取的最大值時，需要最少的試驗次數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性即可得該概率的最大值，結(jié)合二項分布期望公式即可得解.
【詳解】設(shè)，則，
設(shè)一次實驗中成功運行的概率為，
則
，
令，，
則，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故，
故，
由服從二項分布，故有，則.
故答案為：.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵點在于借助導(dǎo)數(shù)求取一次實驗中成功運行的概率的最大值，結(jié)合二項分布期望公式得到最少需要進行的試驗次數(shù).
15．(1)分布列見詳解
(2)先回答“Pythn編程語言”考試這類問題，理由見詳解.
【分析】
（1）由已知可得的所有可能取值，分別計算概率即可求解；
（2）設(shè)甲同學(xué)先進行“數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)算法”考試，記為甲同學(xué)的累計得分，求解的分布列，分別計算，的期望，比較大小，即可求解.
【詳解】（1）由題意的所有可能取值為，，，
所以，，
，
所以的分布列為
（2）甲同學(xué)選擇先回答“Pythn編程語言”考試這類問題，理由如下：
由（1）可知，
甲同學(xué)先進行“數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)算法”考試，記為甲同學(xué)的累計得分，
則的所有可能取值為，，，
，，
，
所以的分布列為
，
所以，
所以甲同學(xué)選擇先回答“Pythn編程語言”考試這類問題.
16．(1)證明見詳解
(2)是線段靠近點的四等分點
【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理即可證明；
（2）建立空間直角坐標系，設(shè)，，求解平面和平面的法向量，根據(jù)二面角的余弦值為求，即可得P點的位置.
【詳解】（1）連接，因為，分別為，的中點，
所以為的中位線，所以，
又平面，平面，所以平面；
（2）如圖：過點作交圓與，
以為坐標原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，
則，，，，，
所以，，
設(shè)，，則，所以，
設(shè)平面的法向量為，
則，所以，令，則，，
即，
易知平面的一個法向量為，
則，
解得（負值舍去），所以是線段靠近點的四等分點.
17．(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為
(2)
【分析】
（1）借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計算可得，借助導(dǎo)數(shù)的正負即可得函數(shù)的單調(diào)性；
（2）通過變形，可將原問題轉(zhuǎn)化為在上，恒成立，從而構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)求取在上的最小值即可得.
【詳解】（1）
由已知可得的定義域為，，
所以，即，
所以，，
令，得，令，得，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；
（2）
將不等式整理得：，可化為，
問題轉(zhuǎn)化為在上，恒成立，
即，
令，，
則，
令，
則，，
所以在單調(diào)遞減，
，即，
所以在單調(diào)遞減，
，
所以的取值范圍是．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：最后一問關(guān)鍵點在于將原問題通過變形參變分離，轉(zhuǎn)化為在上，恒成立，從而構(gòu)造對應(yīng)函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)求取在上的最小值即可得.
18．(1)
(2)證明見解析
【分析】
（1）由點，的坐標可知，結(jié)合離心率可得，即可得，即可得雙曲線方程；
（2）設(shè)出，，可表示出直線與的方程，借助聯(lián)立直線l與G所得韋達定理計算即可得證點在定直線上；由雙曲線的對稱性可得點亦在該直線上，借助韋達定理，通過計算的值從而得證.
【詳解】（1）
由點，的坐標可知，
離心率為，故，所以，
所以雙曲線方程為；
（2）
（ⅰ）設(shè)直線為：，聯(lián)立雙曲線得，
消去得：，
根據(jù)題意得：，
設(shè)，，則，，
，，故，
直線：，因為在上，所以，
直線：，直線：，
令，
可得
，
解得，故點在直線上；
（ⅱ）由雙曲線對稱性可知，點也在直線上，
設(shè)，，點在直線上，所以，
點在直線上，所以，
，所以.
【點睛】
方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標為，；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；
（3）列出韋達定理；
（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；
（5）代入韋達定理求解.
19．(1)
(2)不存在，理由見解析
(3)證明見解析
【分析】
（1）結(jié)合題意可得，借助等比數(shù)列前項和公式計算即可得；
（2）借助反證法，假設(shè)存在，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)得到與假設(shè)矛盾之處即可得；
（3）借助題意，計算出后，可得，，即可得，，再得到，，
即可得，設(shè)出，從而證明，分、、、逐個證明即可得.
【詳解】（1）
由，知：當(dāng)時，；
當(dāng)時，故，，
則，；
（2）
假設(shè)存在，由單調(diào)遞增，不妨設(shè)，，，，，
化簡得，∵，∴，
∴，∴，
與“，且，”矛盾，故不存在；
（3）
由題意，，則，，，
所以保留，，則，，，
又，，，，，
將，刪去，得到，則，，
，，，
即：，，，
即：，，
記，下面證明：，
由，，，，
時，，，
；
時，，，
；
時，，，
；
時，，，
，
綜上，對任意的，都有，原命題得證．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題最后一問關(guān)鍵點在于由題意得到的通項公式后，設(shè)出，從而證明，此時需分、、、逐個證明.




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