一、單選題
1.已知集合,且,則集合B可以是( )
A.B.C.D.
2.已知,(i為虛數(shù)單位),則( )
A.,B.,
C.,D.,
3.已知.則“且”是“”的( )
A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件
C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件
4.已知雙曲線的下焦點(diǎn)和上焦點(diǎn)分別為,直線與C交于A,B兩點(diǎn),若面積是面積的4倍,則( )
A.3B.C.D.
5.猜燈謎是中國元宵節(jié)特色活動之一.已知甲、乙、丙三人每人寫一個(gè)燈謎,分別放入三個(gè)完全相同的小球,三人約定每人隨機(jī)選一個(gè)球(不放回),猜出自己所選球內(nèi)的燈謎者獲勝.若他們每人必能猜對自己寫的燈謎,并有的概率猜對其他人寫的燈謎,則甲獨(dú)自獲勝的概率為( )
A.B.C.D.
6.若函數(shù)使得數(shù)列,為遞減數(shù)列,則稱函數(shù)為“數(shù)列保減函數(shù)”,已知函數(shù)為“數(shù)列保減函數(shù)”,則a的取值范圍( )
A.B.C.D.
7.若,則( )
A.或2B.或C.2D.
8.已知函數(shù),若成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( )
A.B.
C.D.
二、多選題
9.下圖是樣本甲與樣本乙的頻率分布直方圖,下列說法判斷正確的是( )

A.樣本乙的極差一定大于樣本甲的極差
B.樣本乙的眾數(shù)一定大于樣本甲的眾數(shù)
C.樣本甲的方差一定大于樣本乙的方差
D.樣本甲的中位數(shù)一定小于樣本乙的中位數(shù)
10.已知函數(shù),則在區(qū)間上為減函數(shù)的充分條件是( )
A.B.的圖象關(guān)于直線對稱
C.是奇函數(shù)D.的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱
11.已知不相等的實(shí)數(shù),滿足,則下列四個(gè)數(shù),,,經(jīng)過適當(dāng)排序后( )
A.可能是等差數(shù)列B.不可能是等差數(shù)列
C.可能是等比數(shù)列D.不可能是等比數(shù)列
12.設(shè)直線系(其中0,m,n均為參數(shù),,),則下列命題中是真命題的是( )
A.當(dāng),時(shí),存在一個(gè)圓與直線系M中所有直線都相切
B.存在m,n,使直線系M中所有直線恒過定點(diǎn),且不過第三象限
C.當(dāng)時(shí),坐標(biāo)原點(diǎn)到直線系M中所有直線的距離最大值為1,最小值為
D.當(dāng),時(shí),若存在一點(diǎn),使其到直線系M中所有直線的距離不小于1,則
三、填空題
13.拋物線上的一點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為 .
14.已知函數(shù)在處有極值8,則等于 .
15.杭州第19屆亞運(yùn)會是繼1990年北京亞運(yùn)會、2010年廣州亞運(yùn)會之后,中國第三次舉辦亞洲最高規(guī)格的國際綜合性體育賽事.本屆亞運(yùn)會徽寶由上下兩方玉璽組成(如圖一),上方以杭州城市文化代表(錢塘潮和杭州奧體中心體育場)為主體元素(如圖二),,若將徽寶上方看成一個(gè)圓臺與兩個(gè)圓柱的組合體,其軸截面如圖三所示,其中兩個(gè)圓柱的底面直徑均為10,高分別為2和6;圓臺的上、下底面直徑分別為8和10,高為2.則該組合體的體積為 .
圖1 圖2 圖3
16.已知是空間單位向量,,若空間向量滿足,,且對于任意,都有(其中),則 .
四、解答題
17.在中,內(nèi)角所對的邊分別為,滿足.
(1)求證:;
(2)若為銳角三角形,求的最大值.
18.已知為數(shù)列的前n項(xiàng)和,滿足,且成等比數(shù)列,當(dāng)時(shí),.
(1)求證:當(dāng)時(shí),成等差數(shù)列;
(2)求的前n項(xiàng)和.
19.某教育教研機(jī)構(gòu)為了研究學(xué)生理科思維和文科思維的差異情況,對某班級35名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績和語文成績進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)并整理成如下2×2列聯(lián)表(單位:人):
(1)能否有95%的把握認(rèn)為該班數(shù)學(xué)成績與語文成績有關(guān)?(計(jì)算結(jié)果精確到0.001)
(2)從該班的學(xué)生中任選一人,A表示事件“選到的學(xué)生數(shù)學(xué)成績良好”,B表示事件“選到的學(xué)生語文成績良好”,與的比值是文、理科思維差異化的一項(xiàng)度量指標(biāo),記該指標(biāo)為R.
(i)證明:;
(ii)利用該表中數(shù)據(jù),給出,的估計(jì)值,并利用(i)的結(jié)果給出R的估計(jì)值.
附:,
20.如圖,在四棱錐中,底面是正方形,側(cè)面?zhèn)让?,為中點(diǎn),是上的點(diǎn),,.
(1)求證:平面平面;
(2)若二面角的余弦值為,求到平面的距離
21.已知圓和橢圓,橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)為,如圖.

(1)圓與平行四邊形內(nèi)切,求的最小值;
(2)已知橢圓的內(nèi)接平行四邊形的中心與橢圓的中心重合.當(dāng)a,b滿足什么條件時(shí),對上任意一點(diǎn)P,均存在以P為頂點(diǎn)與外切,與內(nèi)接的平行四邊形?并證明你的結(jié)論.
22.已知函數(shù),(其中a,b為實(shí)數(shù),且)
(1)當(dāng)時(shí),恒成立,求b;
(2)當(dāng)時(shí),函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),求a的最大整數(shù)值.(參考數(shù)據(jù):)
數(shù)學(xué)成績良好
數(shù)學(xué)成績不夠良好
語文成績良好
12
10
語文成績不夠良好
8
5
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
參考答案:
1.D
【分析】
根據(jù)可得出,顯然錯(cuò)誤,并且可求出的集合,然后即可得出正確的選項(xiàng).
【詳解】
,,且,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;
或,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤;
,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;
,故選項(xiàng)D正確.
故選:D.
2.A
【分析】
根據(jù)復(fù)數(shù)相等與復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算可解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以.
故選:A
3.A
【分析】根據(jù)條件,利用充分條件和必要條件的判斷方法,即可求出結(jié)果.
【詳解】當(dāng)且時(shí),,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號,
所以由且可以得出,
顯然,當(dāng),有成立,但得不出且,
所以“且”是“”的充分而不必要條件,
故選:A.
4.D
【分析】
根據(jù)三角形面積比轉(zhuǎn)化為焦點(diǎn)到直線的距離之比即可得解.
【詳解】由可知,,
聯(lián)立,消元得:,
則,即,
由面積是面積的4倍可知,到直線的距離是到直線距離的4倍,即,
化簡可得,即,
解得或(舍去),
故選:D
5.C
【分析】根據(jù)條件,利用古典概率、互斥事件和相互獨(dú)立事件的概率公式,即可求出結(jié)果.
【詳解】記事件:甲獨(dú)自獲勝,
因?yàn)槊咳穗S機(jī)選一個(gè)球(不放回),用表示甲、乙、丙選到誰寫的燈謎,有(甲,乙,丙),(甲,丙,乙),
(乙,丙,甲),(乙,甲,丙),(丙,乙,甲),(丙,甲,乙),共有6種選法,
又因?yàn)槊咳吮啬懿聦ψ约簩懙臒糁i,并有的概率猜對其他人寫的燈謎,
當(dāng)甲選到自己寫的燈謎,乙、丙選到對方寫的燈謎時(shí),甲獨(dú)自獲勝的概率為,
當(dāng)甲選到乙寫的燈謎,乙選到丙寫的燈謎,丙選到甲寫的燈謎時(shí),甲獨(dú)自獲勝的概率為,
當(dāng)甲選到丙寫的燈謎,乙選到甲寫的燈謎,丙選到乙寫的燈謎時(shí),甲獨(dú)自獲勝的概率為,
所以,
故選:C.
6.B
【分析】
易知對任意的恒成立,參變分離即可求解.
【詳解】由題可知對任意的恒成立,
即對任意的恒成立,
因?yàn)樵跁r(shí)單調(diào)遞減,在時(shí)單調(diào)遞增,
在時(shí)單調(diào)遞減,
在n=1時(shí)取最大值,且最大值為,
.
故選:B.
7.C
【分析】
根據(jù)已知條件,利用正切的二倍角公式求出tanα,再利用正余弦二倍角公式和同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系化簡要求值的式子,帶值計(jì)算即可得到答案.
【詳解】或,
代入tanα求得值均為:2.
故選:C.
8.C
【分析】
構(gòu)造函數(shù),判斷的奇偶性,再利用導(dǎo)數(shù)討論其單調(diào)性,然后根據(jù)單調(diào)性將不等式去掉函數(shù)符號即可求解.
【詳解】記,
令,解得,
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減.
因?yàn)?br>,
所以為偶函數(shù).
所以,
又在上單調(diào)遞增,
所以,即,解得.
故選:C
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:抽象函數(shù)不等式問題主要利用單調(diào)性求解,本題需結(jié)合奇偶性,并利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性進(jìn)行求解.
9.BD
【分析】
根據(jù)數(shù)據(jù)分布的最小值和最大值可判斷極差,從而判斷A;根據(jù)眾數(shù)、方差、中位數(shù)的概念,并結(jié)合圖象可判斷BCD.
【詳解】對于選項(xiàng)A:
甲的數(shù)據(jù)介于[1.5,7.5]之間,極差小于或等于6;乙的數(shù)據(jù)分布于[2.5,8.5],極差小于或等于6;從而甲和乙的極差可能相等,故A錯(cuò)誤;
對于選項(xiàng)B:
根據(jù)頻率分布直方圖可知,甲的眾數(shù)介于[2.5,5.5)之間,乙的眾數(shù)介于(5.5,6.5],故乙的眾數(shù)大于甲的眾數(shù),B正確;
對于選項(xiàng)C:
甲的數(shù)據(jù)平局分布,乙的數(shù)據(jù)分布波動較大,故甲的方差小于乙的方差,故C錯(cuò)誤;
對于選項(xiàng)D:
對于甲,各組頻率依次為:,因?yàn)榍皟山M頻率之和,前三組頻率之和,故中位數(shù)位于[3.5,4.5)之間;
同理,對于乙,各組頻率依次為:,前三組頻率之和,前四組頻率之和,故中位數(shù)位于[5.5,6.5)之間,所以乙的中位數(shù)大于甲的中位數(shù).故D正確.
故選:BD.
10.BD
【分析】根據(jù)條件,利用正弦函數(shù)的性質(zhì)得到函數(shù),再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性判斷.
【詳解】A. 當(dāng)時(shí),,由,得,因?yàn)樵谏线f增,故錯(cuò)誤;
B. 若的圖象關(guān)于直線對稱,則,解得,取,則,
由,得,因?yàn)樵谏线f減,故正確;
C. 若是奇函數(shù),則,取,則,由,得,因?yàn)樵诓粏握{(diào),故錯(cuò)誤;
D. 若的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱,則,解得,取,則,
由,得,因?yàn)樵谏线f減,故正確;
故選:BD
11.AD
【分析】根據(jù)基本不等式的性質(zhì),結(jié)合等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.
【詳解】不相等的實(shí)數(shù),滿足,不妨設(shè),
當(dāng)時(shí),顯然有,要想構(gòu)成等差數(shù)列,則有:
,這與矛盾,因此不能構(gòu)成等差數(shù)列,
若能構(gòu)成等比數(shù)列,則有,這與矛盾,因此不能構(gòu)成等比數(shù)列,
當(dāng)時(shí),,
要想構(gòu)成等差數(shù)列,則有:或(舍去),
要想成等比數(shù)列,則有:因?yàn)檫@是不可能的,因此不能構(gòu)成等比數(shù)列,
故選:AD
12.ABD
【分析】A選項(xiàng),設(shè),圓心到直線的距離等于1,故滿足要求;B選項(xiàng),直線恒過,結(jié)合直線的斜率存在和不存在兩種情況,得到直線不過第三象限;C選項(xiàng),得到和,得到原點(diǎn)到直線距離的范圍;D選項(xiàng),由題意得到不等式,得到,分,和三種情況,得到不等式,求出答案.
【詳解】A選項(xiàng),當(dāng),時(shí),,
設(shè)圓為,則圓心到直線的距離,故與總相切,A正確;
B選項(xiàng),當(dāng)時(shí),,
由于,故直線恒過,
若時(shí),直線為,
若時(shí),直線的斜率為,
故直線不過第三象限,
所以存在m,n,使直線系M中所有直線恒過定點(diǎn),且不過第三象限,B正確;
C選項(xiàng),當(dāng)時(shí),,
坐標(biāo)原點(diǎn)到直線系M的距離為,
當(dāng)當(dāng)時(shí),,
坐標(biāo)原點(diǎn)到直線系M的距離為
其中,
故,C錯(cuò)誤.
D選項(xiàng),當(dāng),時(shí),,
點(diǎn)到直線系M中所有直線的距離,
化簡得恒成立,
由于,
若,解得,
當(dāng)時(shí),,不合要求,舍去,
當(dāng)時(shí),,滿足要求,
若,即或,此時(shí)的最小值為0,
則,解得,故此時(shí),
若,即,此時(shí)的最小值為,
則,解得或,故此時(shí),
綜上,,D正確.
故選:ABD
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:對于求不等式成立時(shí)的參數(shù)范圍問題,一般有三個(gè)方法,一是分離參數(shù)法, 使不等式一端是含有參數(shù)的式子,另一端是一個(gè)區(qū)間上具體的函數(shù),通過對具體函數(shù)的研究確定含參式子滿足的條件.二是討論分析法,根據(jù)參數(shù)取值情況分類討論,三是數(shù)形結(jié)合法,將不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù),通過兩個(gè)函數(shù)圖像確定條件.
13.5
【分析】
根據(jù)點(diǎn)P在拋物線上求出a,再根據(jù)拋物線的性質(zhì)求出其準(zhǔn)線方程,從而可求P到準(zhǔn)線的距離.
【詳解】∵在上,
∴,即,
∴拋物線為,其準(zhǔn)線為,
則到準(zhǔn)線的距離為.
故答案為:5.
14.4
【分析】
求導(dǎo),即可由且求解,進(jìn)而代入驗(yàn)證是否滿足極值點(diǎn)即可.
【詳解】
若函數(shù)在處有極值8,則即
解得:或,
當(dāng)時(shí),,此時(shí)不是極值點(diǎn),故舍去;當(dāng)時(shí),,
當(dāng)或時(shí),,當(dāng),故是極值點(diǎn),
故符合題意,
故,
故.
故答案為:4.
15.
【分析】根據(jù)條件,利用柱體和錐體的體積公式,即可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)閮蓚€(gè)圓柱的底面直徑均為10,高分別為2和6,
所以兩個(gè)圓柱的體積分別為,,
又圓臺的上、下底面直徑分別為8和10,高為2,
所以圓臺的體積為,
所以該組合體的體積為,
故答案為:.
16.
【分析】首先分析題意,由結(jié)合空間向量的數(shù)量積定義求解的值,進(jìn)行下一步化簡得出則當(dāng)時(shí),取得最小值,得到,多次求解二次函數(shù)最值可得答案.
【詳解】因?yàn)榍覂烧呔鶠閱挝幌蛄?,所?br>,
又因?yàn)閷τ谌我獾亩加校?br>則當(dāng)時(shí),取得最小值,
則當(dāng)
,
令,
由二次函數(shù)性質(zhì)得當(dāng),
令,同理,即,
故,
故答案為:
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題考查求空間向量,解題關(guān)鍵是找到方程,然后用主元法視為二次函數(shù),多次求最值即可.
17.(1)證明見解析
(2)
【分析】(1)根據(jù)條件及余弦定理得到,再利用正弦定理邊轉(zhuǎn)角得到,借助三角恒等變換公式化簡即可得出結(jié)果;
(2)利用為銳角三角形,得到,再令,將問題轉(zhuǎn)化成求在上的最值,即可求出結(jié)果.
【詳解】(1)因?yàn)?,即,由余弦定理?br>得到,即,
所以,
又,
所以,
又,得到或(舍),所以,命題得證.
(2)由(1)知,所以,
令,
又因?yàn)闉殇J角三角形,所以,得到,
所以,又,
所以,又,
所以,
所以當(dāng)時(shí),取到最大值為.
18.(1)證明見解析;
(2).
【分析】
(1)利用得到和的關(guān)系即可證明;
(2)結(jié)合(1)中結(jié)論得,求出和公比,得到通項(xiàng)公式,從而根據(jù)等差和等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式即可求解.
【詳解】(1)∵,
∴,,
兩式相減,得,
即.
當(dāng)時(shí),,∴,
∴當(dāng)時(shí),成等差數(shù)列.
(2)由,解得或,
又成等比數(shù)列,
∴由(1)得,進(jìn)而,
而,∴,從而,
∴,
∴.
19.(1),否;
(2)(i)證明見解析;(ii),.
【分析】
(1)根據(jù)公式求出,查表即可判斷;
(2)(i)根據(jù)條件概率計(jì)算公式即可證明;(ii)根據(jù)條件概率計(jì)算公式即可計(jì)算.
【詳解】(1)由已知,又,而,
∴沒有的把握認(rèn)為該班數(shù)學(xué)成績與語文成績有關(guān).
(2)
(i)∵.
∴,
∴,
(ii)由已知,
又,
∴.
20.(1)證明見解析
(2)
【分析】
(1)由面面垂直和線面垂直性質(zhì)可得,結(jié)合,由線面垂直和面面垂直的判定方法可證得結(jié)論;
(2)取中點(diǎn),結(jié)合面面垂直性質(zhì)可知兩兩互相垂直,則以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),根據(jù)二面角的向量求法可構(gòu)造方程求得的值,進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)面距離的向量求法求得結(jié)果.
【詳解】(1)平面平面,平面平面,,平面,
平面,又平面,;
四邊形為正方形,,
,平面,平面,
平面,平面平面.
(2)取中點(diǎn),連接,
,為中點(diǎn),,
平面平面,平面平面,平面,
平面,
分別為中點(diǎn),,又,;
以為坐標(biāo)原點(diǎn),正方向?yàn)檩S正方向,可建立如圖空間直角坐標(biāo)系,
,,,,
,,,,,,
,,,,,
設(shè),則,

設(shè)平面的法向量,
則,令,解得:,,;
軸平面,平面的一個(gè)法向量,
,解得:(舍)或,
,;
設(shè)平面的法向量,
則,令,解得:,,,
點(diǎn)到平面的距離.
21.(1)9;
(2)存在,證明見詳解.
【分析】
(1)由圓與直線相切可得,代入,利用基本不等式即可求解;
(2)根據(jù)對稱性和切線性質(zhì)可得,設(shè),則直線的方程為,代入橢圓方程得,整理成關(guān)于的方程,利用韋達(dá)定理結(jié)合可證.
【詳解】(1)由題知,,
所以直線的方程為,即,
因?yàn)閳A與平行四邊形內(nèi)切,
所以,圓心到直線的距離等于1,即,
整理得,
所以,
由題意可知,,
所以,
當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號成立,
所以,的最小值為9.
(2)當(dāng)時(shí),對上任意一點(diǎn)P,均存在以P為頂點(diǎn)與外切,與內(nèi)接的平行四邊形,證明如下:
如圖,設(shè),

當(dāng)或時(shí),由(1)可知存在滿足題意的平行四邊形.
當(dāng)時(shí),因?yàn)槠叫兴倪呅蔚闹行臑镺,
所以,點(diǎn)M,N關(guān)于原點(diǎn)對稱,
記直線與圓O的切點(diǎn)分別為S,T,
由對稱性和切線性質(zhì)可知,,所以,
又為的中點(diǎn),所以,即,
設(shè),則直線的方程為,
代入橢圓方程得,
整理得,
由韋達(dá)定理可得,即,
又點(diǎn)在圓上,所以,
所以,即.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題解題關(guān)鍵在于根據(jù)對稱性和切線性質(zhì)分析的關(guān)系,然后設(shè)切線方程聯(lián)立橢圓方程,將方程轉(zhuǎn)化為的一元二次方程,利用韋達(dá)定理證明可得.
22.(1)
(2)
【分析】(1)設(shè),利用導(dǎo)數(shù)分類討論的最大值;
(2)分離常數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的解,設(shè),利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值,則,
當(dāng)時(shí),設(shè),驗(yàn)證有兩解即可.
【詳解】(1)設(shè),則其定義域?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí),,
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,
所以,對于恒成立,
即恒成立,所以合理.
當(dāng)時(shí),令,即,
解得(舍),
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;
又有,所以當(dāng)時(shí),,不合題意.
當(dāng)時(shí),令,即,
解得(舍),
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;
又有,所以當(dāng)時(shí),,不合題意.
綜上所述,.
(2)由題意,方程有兩個(gè)不同的解,
即關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的解,
設(shè),則,
設(shè),由可知,
所以在上單調(diào)遞減,
又,,
所以存在使得,即,所以,
所以當(dāng)時(shí),,即,進(jìn)而函數(shù)單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),,即,進(jìn)而函數(shù)單調(diào)遞減,
所以函數(shù)的極大值為
要使得關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的解,則,
當(dāng)時(shí),設(shè),
則,可知在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
又,,,
所以有兩個(gè)不同的零點(diǎn),符合題意,
所以的最大整數(shù)值為.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略:
(1)通常要構(gòu)造新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求出最值,從而求出參數(shù)的取值范圍;
(2)利用可分離變量,構(gòu)造新函數(shù),直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.
(3)根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí),一般涉及分離參數(shù)法,但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況,進(jìn)行求解,若參變分離不易求解問題,就要考慮利用分類討論法和放縮法,注意恒成立與存在性問題的區(qū)別.

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