注意事項(xiàng)：
1．本試卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷兩部分，共4頁．滿分150分；考試時間：120分鐘．
2．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考試科目、試卷類型用2B鉛筆涂在答題卡上．
3．用鉛筆把第Ⅰ卷的答案涂在答題卡上，用鋼筆或圓珠筆把第Ⅱ卷的答案寫在答題紙的相應(yīng)位置上．
4．考試結(jié)束，將答題卡和答題紙一并交回．
第Ⅰ卷（選擇題，共60分）
一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）
1．從某班所有同學(xué)中隨機(jī)抽取10人，獲得他們某學(xué)年參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)的數(shù)據(jù)如下：4，4，4，7，7，8，8，9，9，10，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是（ ）
A．9B．8C．7D．4
2．已知向量，滿足，，則的值為（ ）
A．4B．3C．2D．0
3．已知，，，則（ ）
A．B．C．D．
4．已知橢圓，，為的短軸端點(diǎn)，為上異于，的一點(diǎn)，則直線，的斜率之積為（ ）
A．B．C．D．
5．標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)視力表（如圖）采用的“五分記錄法”是我國獨(dú)創(chuàng)的視力記錄方式．標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)視力表各行“”字視標(biāo)約為正方形，每一行“”的邊長都是上一行“”的邊長的，若視力的視標(biāo)邊長約為，則視力的視標(biāo)邊長約為（ ）
A．B．C．D．
6．的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，，的面積為，則（ ）
A．B．4C．2D．
7．設(shè)，為復(fù)數(shù)，則下列命題正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則且
C．若，則
D．若，且，則在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)在一條直線上
8．已知為圓上動點(diǎn)，直線和直線（，，）的交點(diǎn)為，則的最大值是（ ）
A．B．C．D．
二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分．）
9．若展開式中常數(shù)項(xiàng)為28，則實(shí)數(shù)的值可能為（ ）
A．B．1C．2D．3
10．已知（）在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值可能在（ ）
A．B．C．D．
11．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，滿足，且，，則（ ）
A．B．圖像關(guān)于對稱
C．D．
第Ⅱ卷（非選擇題，共92分）
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分．）
12．已知集合，．若，則實(shí)數(shù)的取值集合為______．
13．《九章算術(shù)》中記錄的“羨除”是算學(xué)和建筑學(xué)術(shù)語，指的是一段類似隧道形狀的幾何體，如圖，羨除中，底面是正方形，平面，和均為等邊三角形，且．則這個幾何體的外接球的體積為______
14．某機(jī)器有四種核心部件，，，，四個部件至少有三個正常工作時，機(jī)器才能正常運(yùn)行，四個核心部件能夠正常工作的概率滿足為，，且各部件是否正常工作相互獨(dú)立，已知，設(shè)為在次實(shí)驗(yàn)中成功運(yùn)行的次數(shù)，若，則至少需要進(jìn)行的試驗(yàn)次數(shù)為______．
四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）
15．（本小題滿分13分）
2024年初，OpenAI公司發(fā)布了新的文生視頻大模型：“Sra”，Sra模型可以生成最長60秒的高清視頻．Sra一經(jīng)發(fā)布在全世界又一次掀起了人工智能的熱潮．為了培養(yǎng)具有創(chuàng)新潛質(zhì)的學(xué)生，某高校決定選拔優(yōu)秀的中學(xué)生參加人工智能冬令營．選拔考試分為“Pythn編程語言”和“數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)算法”兩個科目，考生兩個科目考試的順序自選．若第一科考試不合格，則淘汰：若第一科考試合格則進(jìn)行第二科考試，無論第二科是否合格，考試都結(jié)束．“Pythn編程語言”考試合格得4分，否則得0分；“數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)算法”考試合格得6分，否則得0分．
已知甲同學(xué)參加“Pythn編程語言”考試合格的概率為，參加“數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)算法”考試合格的概率為．
（1）若甲同學(xué)先進(jìn)行“Pythn編程語言”考試，記為甲同學(xué)的累計(jì)得分，求的分布列；
（2）為使累計(jì)得分的期望最大，甲同學(xué)應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由．
16．（本小題滿分15分）
如圖，為圓錐頂點(diǎn)，是圓錐底面圓的圓心，，是長度為2的底面圓的兩條直徑，，且，為母線上一點(diǎn)．
（1）求證：當(dāng)為中點(diǎn)時，平面；
（2）若，二面角的余弦值為，試確定點(diǎn)的位置．
17．（本小題滿分15分）
已知函數(shù)（）在處的切線與直線平行．
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)時，恒有成立，求的取值范圍．
18．（本小題滿分17分）
已知雙曲線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為，左、右頂點(diǎn)分別為，
（1）求的方程；
（2）過右焦點(diǎn)的直線與的右支交于，兩點(diǎn)，若直線與交于點(diǎn)．
（?。┳C明：點(diǎn)在定直線上；
（ⅱ）若直線與交于點(diǎn)，求證：．
19．（本小題滿分17分）
大數(shù)據(jù)環(huán)境下數(shù)據(jù)量積累巨大并且結(jié)構(gòu)復(fù)雜，要想分析出海量數(shù)據(jù)所蘊(yùn)含的價(jià)值，數(shù)據(jù)篩選在整個數(shù)據(jù)處理流程中處于至關(guān)重要的地位，合適的算法就會起到事半功倍的效果.現(xiàn)有一個“數(shù)據(jù)漏斗”軟件，其功能為：通過操作刪去一個無窮非減正整數(shù)數(shù)列中除以余數(shù)為的項(xiàng)，并將剩下的項(xiàng)按原來的位置排好形成一個新的無窮非減正整數(shù)數(shù)列．設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，，通過“數(shù)據(jù)漏斗”軟件對數(shù)列進(jìn)行操作后得到，設(shè)前項(xiàng)和為．
（1）求；
（2）是否存在不同的實(shí)數(shù)，，，使得，，成等差數(shù)列？若存在，求出所有的；若不存在，說明理由；
（3）若，，對數(shù)列進(jìn)行操作得到，將數(shù)列中下標(biāo)除以4余數(shù)為0，1的項(xiàng)刪掉，剩下的項(xiàng)按從小到大排列后得到，再將的每一項(xiàng)都加上自身項(xiàng)數(shù)，最終得到，證明：每個大于1的奇平方數(shù)都是中相鄰兩項(xiàng)的和．
2024年葫蘆島市普通高中高三第一次模擬考試
數(shù)學(xué)
參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)
一、單項(xiàng)選擇題
1-4：DCBC 5-8：ACDA
二、多選選擇題
9．AB 10．AC 11．ACD
三、填空題
12． 13． 14．27
四、解答題
15．（本小題滿分13分）
（1）由題意可得，的可能取值為0，4，10，則……………………1
，……………………2
，……………………3
，……………………4
∴的分布列為：
……………………6
（2）由（1）可知甲先進(jìn)行“Pythn編程語言”考核，累計(jì)得分的期望為，
若甲先進(jìn)行“數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)算法”考試，記為甲的累計(jì)得分，
則的所有可能取值為0，6，10，……………………7
，……………………8
，……………………9
，……………………10
則的期望為，……………………11
∵，……………………12
∴甲應(yīng)選擇先進(jìn)行“Pythn編程語言”考試．……………………13
16．（本小題滿分15分）
（1）連結(jié)，如圖，
∵，分別為，的中點(diǎn)，
∴，……………………2
又平面，平面，
∴平面．……………………5
（2）由題意，，于是可以以為軸，為軸，建立直角坐標(biāo)系．
，
，，……………………7
于是，，
又……………………9
設(shè)平面的法向量，于是，
解得，
令，所以，……………………11
易知平面的法向量，
所以，解得或……………………13
所以，，
即P點(diǎn)的坐標(biāo)；……………………15
或給出……………………15
或給出……………………15
或表述為為的靠進(jìn)點(diǎn)的四等分點(diǎn)；……………………15
（若考生給出其他正確解法，同樣賦分）
17．（本小題滿分15分）
（1）由已知可得的定義域?yàn)椋?br>所以，即，……………………2
所以，，
令，得，令，得，……………………4
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，単調(diào)遞減區(qū)間為．……………………6
（2）將不等式整理得：可化為，
問題轉(zhuǎn)化為在上，恒有成立，
即，……………………8
于是，令，
則，……………………10
令，
則，（）
所以在單調(diào)遞減，……………………12
，即，
所以在單調(diào)遞減，
，……………………14
所以的取值范圍是．……………………15
18．（本小題滿分17分）
（1）由點(diǎn)，的坐標(biāo)可知，
離心率為，故，所以，……………………2
所以雙曲線方程為，……………………4
（2）（?。┰O(shè)直線為：，聯(lián)立雙曲線得，
，消去得：……………………5
根據(jù)題意得：，
設(shè)，，
，
，……………………7
，，故……………………9
直線：，因?yàn)樵谏希?br>直線：----------①
直線：，----------②……………………11
由①，②消去得：，
解得
故，點(diǎn)在直線上……………………13
（ⅱ）由（?。┩砜汕蟮命c(diǎn)也在直線上，
設(shè)，，點(diǎn)在直線上，所以
點(diǎn)在直線上，所以……………………15
所以．……………………17
19．（本小題滿分17分）
（1）由，知：
當(dāng)時，；
當(dāng)時，故，．……………………2
則，．……………………4
（2）假設(shè)存在，由單調(diào)遞增，不妨設(shè)，，，，
化簡得，……………………6
∵，∴，
∴，……………………8
∴，
與“，且，”矛盾，故不行在．……………………10
（3）由題意，易知，，，
所以保留，，則，，．……………………12
又，，，，，
將，刪去，得到，則，，
，，，
即：，，，
即：，．……………………14
記，下面證明：．
由，，，，
時，，，
；
時，，，
；
時，，，
；
時，，，
．
綜上，對任意的，都有，原命題得證．……………………17
0
4
10

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