精選練習
基礎(chǔ)篇
一、單選題
1．（2022·山東煙臺·七年級期中）下列說法正確的是（ ）
A．口袋中有3個白球，2個黑球，1個紅球，它們除顏色外都相同，因為袋中共有3種顏色的球，所以摸到紅球的概率是
B．擲一枚硬幣兩次，可能的結(jié)果為兩次都是正面，一次正面一次反面，兩次都是反面，所以擲出兩次都是反面的概率為
C．天氣預(yù)報“明天降水概率為10%”，是指“明天有10%的時間會下雨”
D．隨意擲一枚均勻的骰子，偶數(shù)點朝上的概率是
2．（2022·山東煙臺·七年級期中）張華的哥哥在香港工作，今年“五·一”期間，她想讓哥哥買幾本科技書帶回家，于是發(fā)短信給哥哥，可一時記不清哥哥手機號碼后三位數(shù)的順序，只記得是0，2，8三個數(shù)字，則張華一次發(fā)短信成功的概率是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·四川成都·七年級期末）假定按同一種方式擲兩枚均勻硬幣，如果第一枚出現(xiàn)正面朝上，第二枚出現(xiàn)反面朝上，就記為（正，反），如此類推，出現(xiàn)（反，反）的概率是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·山東青島·七年級期末）如圖是用七巧板拼成的正方形桌面，一個小球在桌面上自由地滾動，它最終停在黑色區(qū)域的概率是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·遼寧朝陽·中考真題）如圖所示的是由8個全等的小正方形組成的圖案，假設(shè)可以隨意在圖中取一點，那么這個點取在陰影部分的概率是（ ）
A．B．C．D．1
6．（2022·陜西咸陽·七年級期末）如圖是一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤停止后，指針落在C區(qū)域的概率是（ ）
A．B．C．D．
二、填空題
7．（2022·重慶南開中學八年級期末）學校食堂晚餐有四葷三素，葷菜有紅燒肉、酸菜魚、姜爆鴨和辣子雞，素菜有干煸四季豆、青椒土豆絲和香干炒蒜苔，小南讓食堂阿姨任打一道葷菜一道素菜，則剛好選到她愛吃的紅燒肉和青椒土豆絲的概率為 __．
8．（2022·山東煙臺·七年級期中）小蘭和小華兩人做游戲，她們準備了一個質(zhì)地均勻的正六面體骰子，骰子的六個面分別標有1，2，3，4，5，6，若擲出的骰子的點數(shù)為偶數(shù)，則小蘭贏；若擲出的骰子的點數(shù)是3的倍數(shù)，則小華贏，游戲規(guī)則對______（填“小蘭”或“小華”）有利．
9．（2022·陜西·紫陽縣師訓(xùn)教研中心九年級期末）看了《田忌賽馬》故事后，小青用數(shù)學模型來分析：齊王與田忌的上、中、下三個等級的三匹馬記分如下表，每匹馬只賽一場，兩數(shù)相比，大數(shù)為勝，三場兩勝則贏．已知齊王的三匹馬出場順序為8，10，6，田忌的三匹馬隨機出場，則齊王贏得比賽的概率是田忌贏得比賽概率的_________倍．
10．（2022·黑龍江大慶·八年級期中）如圖，四條直徑把兩個同心圓分成八等份，若往圓面投擲飛鏢，則飛鏢落在白色區(qū)域的概率是____．
三、解答題
11．（2022·遼寧朝陽·中考真題）某社區(qū)組織A，B，C，D四個小區(qū)的居民進行核酸檢測，有很多志愿者參與此項檢測工作，志愿者王明和李麗分別被隨機安排到這四個小區(qū)中的一個小區(qū)組織居民排隊等候．
(1)王明被安排到A小區(qū)進行服務(wù)的概率是 ．
(2)請用列表法或畫樹狀圖法求出王明和李麗被安排到同一個小區(qū)工作的概率．
12．（2022·福建三明·九年級期末）2022年冬奧會將在我國北京和張家口舉行，如圖所示為冬奧會和冬殘奧會的會徽“冬夢”“飛躍”，吉祥物“冰墩墩”“雪容融”，將四張正面分別印有以下4個圖案的卡片（卡片的形狀、大小、質(zhì)地都相同）背面朝上洗勻．
(1)若從中隨機抽取一張卡片，則抽取的卡片上的圖案恰好為吉祥物“冰墩墩”的概率是 ；
(2)若從中一次同時隨機抽取兩張卡片，請用畫樹狀圖或列表的方法，求抽取的兩張卡片上的圖案正好一張是會徽另一張是吉祥物的概率．
提升篇
一、填空題
1．（2022·浙江·九年級專題練習）有兩枚均勻的正方體骰子，骰子各個面上的點數(shù)分別為1，2，3，4，5，6，同時投擲兩枚骰子，它們點數(shù)之和大于5的概率是 ___．
2．（2022·山東淄博·七年級期末）在一個不透明的盒子里裝有5個分別寫有數(shù)，，0，1，2的小球，它們除數(shù)字不同外其余全部相同．現(xiàn)從盒子里隨機取出一個小球，將該小球上的數(shù)字作為a的值，再從剩余球中取出一個球，將小球上的數(shù)字作為b的值，則a和b恰好使得關(guān)于x、y的二元一次方程組有整數(shù)解的概率是______．
3．（2022·山東煙臺·七年級期中）如圖，在邊長為1的小正方形組成的3×3網(wǎng)格中，A，B兩點均在格點上，若在格點上任意放置點C，恰好使得△ABC的面積為的概率為_________．
4．（2022·河南·九年級專題練習）小強、小亮、小文三位同學玩投硬幣游戲．三人同時各投出一枚均勻硬幣，若出現(xiàn)三個正面向上或三個反面向上，則小強贏；若出現(xiàn)兩個正面向上和一個反面向上，則小亮贏；若出現(xiàn)一個正面向上和兩個反面向上，則小文贏．有下列說法：①小強贏的概率最??；②小文和小亮贏的概率相等；③小文贏的概率是；④這是一個公平的游戲．其中，正確的是__________（填序號）．
5．（2022·浙江·九年級專題練習）如圖，有8張標記數(shù)字1-8的卡片．甲、乙兩人玩一個游戲，規(guī)則是：甲、乙兩人輪流從中取走卡片；每次可以取1張，也可以取2張，還可以取3張卡片（取2張或3張卡片時，卡片上標記的數(shù)字必須連續(xù)）；最后一個將卡片取完的人獲勝．
若甲先取走標記2，3的卡片，乙又取走標記7，8的卡片，接著甲取走兩張卡片，則________（填“甲”或“乙”）一定獲勝；若甲首次取走標記數(shù)字1，2，3的卡片，乙要保證一定獲勝，則乙首次取卡片的方案是________．（只填一種方案即可）
二、解答題
6．（2022·四川巴中·九年級階段練習）為了倡導(dǎo)“節(jié)約用水，從我做起”，巴中市政府決定對該市直屬機關(guān)300戶家庭用水情況進行調(diào)查．市政府調(diào)查小組隨機抽查了其中部分家庭一年的月平均用水量（單位：噸），調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，每戶家庭月平均用水量在3～7噸范圍內(nèi)，并將調(diào)查結(jié)果制成了如下尚不完整的統(tǒng)計表：
請根據(jù)統(tǒng)計表中提供的信息解答下列問題：
(1)填空：______，______，______．
(2)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，估計該市直屬機關(guān)300戶家庭中月平均用水量不超過5噸的約有多少戶？
(3)市政府決定從月平均用水量最省的甲、乙、丙、丁四戶家庭中，選取兩戶進行“節(jié)水”經(jīng)驗分享．請用列表或畫樹狀圖的方法，求出恰好選到甲、丙兩戶的概率，并列出所有等可能的結(jié)果．
7．（2022·廣西玉林·二模）我市為加快推進生活垃圾分類工作，對分類垃圾桶實行統(tǒng)一的外型、型號、顏色等，其中，可回收物用藍色收集桶，有害垃圾用紅色收集桶，廚余垃圾用綠色收集桶，其他垃圾用灰色收集桶．為了解學生對垃圾分類知識的掌握情況，某校宣傳小組就“用過的餐巾紙應(yīng)投放到哪種顏色的收集桶”在全校隨機采訪了部分學生，根據(jù)調(diào)查結(jié)果，繪制了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖．根據(jù)圖中信息，解答下列問題：
用過的餐巾紙投放情況統(tǒng)計圖：

(1)此次調(diào)查一共隨機采訪了______名學生，在扇形統(tǒng)計圖中，“灰”所在扇形的圓心角的度數(shù)為_____；
(2)補全條形統(tǒng)計圖（要求在條形圖上方注明人數(shù)）；
(3)若該校有4000名學生，估計該校學生將用過的餐巾紙投放到紅色收集桶的人數(shù)；
(4)李老師計劃從，，，四位學生中隨機抽取兩人參加學校的垃圾分類知識搶答賽，請用樹狀圖法或列表法求出恰好抽中，兩人的概率．
8．（2022·山東濟寧·中考真題）6月5日是世界環(huán)境日．某校舉行了環(huán)保知識競賽，從全校學生中隨機抽取了n名學生的成績進行分析，并依據(jù)分析結(jié)果繪制了不完整的統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖（如下圖所示）．
學生成績分布統(tǒng)計表
請根據(jù)以上圖表信息，解答下列問題：
(1)填空：n＝ ，a＝ ；
(2)請補全頻數(shù)分布直方圖；
(3)求這n名學生成績的平均分；
(4)從成績在75.5≤x＜80.5和95.5≤x＜100.5的學生中任選兩名學生．請用列表法或畫樹狀圖的方法，求選取的學生成績在75.5≤x＜80.5和95.5≤x＜100.5中各一名的概率．
下等馬
中等馬
上等馬
齊王
6
8
10
田忌
5
7
9
月平均用水量（噸）
3
4
5
6
7
頻數(shù)（戶數(shù)）
4
9
10
7
頻率
0.08
0.40
0.14
成績/分
組中值
頻率
75.5≤x＜80.5
78
0.05
80.5≤x＜85.5
83
a
85.5≤x＜90.5
88
0.375
90.5≤x＜95.5
93
0.275
95.5≤x＜100.5
98
0.05
第三章 概率的進一步認識
3.1 用樹狀圖或表格求概率
精選練習
基礎(chǔ)篇
一、單選題
1．（2022·山東煙臺·七年級期中）下列說法正確的是（ ）
A．口袋中有3個白球，2個黑球，1個紅球，它們除顏色外都相同，因為袋中共有3種顏色的球，所以摸到紅球的概率是
B．擲一枚硬幣兩次，可能的結(jié)果為兩次都是正面，一次正面一次反面，兩次都是反面，所以擲出兩次都是反面的概率為
C．天氣預(yù)報“明天降水概率為10%”，是指“明天有10%的時間會下雨”
D．隨意擲一枚均勻的骰子，偶數(shù)點朝上的概率是
【答案】D
【分析】根據(jù)概率公式可對A、D進行判斷；利用畫樹狀圖法求概率可對B進行判斷，根據(jù)概率的意義可對C進行判斷．
【詳解】解：A、摸到紅球的概率＝，所以A選項錯誤；
B、畫樹狀圖為：
共有4種等可能的結(jié)果數(shù)，其中擲出兩次都是反面的結(jié)果數(shù)為1，所以擲出兩次都是反面的概率＝，故B選項錯誤；
C、天氣預(yù)報“明天降水概率為10%”，是指有10%的可能性下雨，所以C選項錯誤；
D、隨意擲一枚均勻的骰子，偶數(shù)點朝上的結(jié)果數(shù)為2、4、6，所以偶數(shù)點朝上的概率＝，故D選項正確．
故選：D．
【點睛】本題考查了概率的意義，概率公式，列表法與樹狀圖法求概率：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后利用概率公式計算事件A或事件B的概率．
2．（2022·山東煙臺·七年級期中）張華的哥哥在香港工作，今年“五·一”期間，她想讓哥哥買幾本科技書帶回家，于是發(fā)短信給哥哥，可一時記不清哥哥手機號碼后三位數(shù)的順序，只記得是0，2，8三個數(shù)字，則張華一次發(fā)短信成功的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】列舉出所有情況，看摸一次發(fā)短信成功的情況數(shù)占總情況數(shù)的多少即可．
【詳解】解：所有的可能性為：028，082，208，280，802，820，一共有6種情況，而正確的只有一種，
∴張華一次發(fā)短信成功的概率是，
故選A．
【點睛】此題可以采用列舉法，解題的關(guān)鍵是找到所有存在的情況．用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
3．（2022·四川成都·七年級期末）假定按同一種方式擲兩枚均勻硬幣，如果第一枚出現(xiàn)正面朝上，第二枚出現(xiàn)反面朝上，就記為（正，反），如此類推，出現(xiàn)（反，反）的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由列舉法可得：擲兩枚硬幣，所有等可能的結(jié)果有：正正，正反，反正，反反，其中出現(xiàn)（反，反）的情況有1種，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【詳解】解：∵擲兩枚硬幣，所有等可能的結(jié)果有：正正，正反，反正，反反，其中出現(xiàn)（反，反）的情況有1種，
∴（反，反）的概率．
故選：D
【點睛】本題考查了列舉法求概率，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握概率公式．概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
4．（2022·山東青島·七年級期末）如圖是用七巧板拼成的正方形桌面，一個小球在桌面上自由地滾動，它最終停在黑色區(qū)域的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求出黑色區(qū)域的面積是正方形桌面的分率，再根據(jù)概率公式即可得出答案．
【詳解】解：觀察圖形可知，黑色區(qū)域的面積是正方形桌面的，
∴最終停在黑色區(qū)域的概率是，
故選：C．
【點睛】本題考查幾何概率，熟練掌握幾何概率的計算方法是解題的關(guān)鍵．
5．（2022·遼寧朝陽·中考真題）如圖所示的是由8個全等的小正方形組成的圖案，假設(shè)可以隨意在圖中取一點，那么這個點取在陰影部分的概率是（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】根據(jù)陰影部分的面積所占比例得出概率即可．
【詳解】解：由圖知，陰影部分的面積占圖案面積的，
即這個點取在陰影部分的概率是，
故選：A．
【點睛】本題主要考查幾何概率的知識，熟練根據(jù)幾何圖形的面積得出概率是解題的關(guān)鍵．
6．（2022·陜西咸陽·七年級期末）如圖是一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤停止后，指針落在C區(qū)域的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)概率公式所占部分除以總數(shù)即可求得．
【詳解】指針落在C區(qū)域的概率是，
故選D
【點睛】此題考查了概率問題，解題的關(guān)鍵是用概率公式求解．
二、填空題
7．（2022·重慶南開中學八年級期末）學校食堂晚餐有四葷三素，葷菜有紅燒肉、酸菜魚、姜爆鴨和辣子雞，素菜有干煸四季豆、青椒土豆絲和香干炒蒜苔，小南讓食堂阿姨任打一道葷菜一道素菜，則剛好選到她愛吃的紅燒肉和青椒土豆絲的概率為 __．
【答案】
【分析】根據(jù)題意畫出樹狀圖得出所有等可能的情況數(shù)，找出符合條件的情況數(shù)，然后根據(jù)概率公式即可得出答案．
【詳解】紅燒肉、酸菜魚、姜爆鴨、辣子雞分別用A、B、C、D表示，干煸四季豆、青椒土豆絲、香干炒蒜苔用a、b、c表示，
根據(jù)題意畫樹狀圖如下：
共有12種等可能的情況數(shù)，其中她選到紅燒肉和青椒土豆絲的有1種，
則剛好選到她愛吃的紅燒肉和青椒土豆絲的概率為 ．
故答案為：．
【點睛】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
8．（2022·山東煙臺·七年級期中）小蘭和小華兩人做游戲，她們準備了一個質(zhì)地均勻的正六面體骰子，骰子的六個面分別標有1，2，3，4，5，6，若擲出的骰子的點數(shù)為偶數(shù)，則小蘭贏；若擲出的骰子的點數(shù)是3的倍數(shù)，則小華贏，游戲規(guī)則對______（填“小蘭”或“小華”）有利．
【答案】小蘭
【分析】根據(jù)所出現(xiàn)的情況，分別計算兩人能贏的概率，即可解答．
【詳解】解：骰子的點數(shù)是偶數(shù)的有2，4，6，其概率為，
骰子的點數(shù)是3的倍數(shù)的有3，6，其概率為，
而，
∴游戲規(guī)則對小蘭有利，
故答案為：小蘭．
【點睛】本題考查的是游戲公平性的判斷．判斷游戲公平性就要計算每個事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平．用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
9．（2022·陜西·紫陽縣師訓(xùn)教研中心九年級期末）看了《田忌賽馬》故事后，小青用數(shù)學模型來分析：齊王與田忌的上、中、下三個等級的三匹馬記分如下表，每匹馬只賽一場，兩數(shù)相比，大數(shù)為勝，三場兩勝則贏．已知齊王的三匹馬出場順序為8，10，6，田忌的三匹馬隨機出場，則齊王贏得比賽的概率是田忌贏得比賽概率的_________倍．
【答案】5
【分析】利用列舉法列舉出田忌的匹馬出場順序，求出所求情況占總情況的多少即可求解．
【詳解】解：根據(jù)題意，齊王的三匹馬出場順序為8，10，6；
田忌的三匹馬出場順序為5，7，9；5，9，7；7，5，9；7，9，5；9，5，7；9，7，5；一共有6中等可能的結(jié)果，其中田忌贏得比賽的有9，5，7一種，齊王贏得比賽的有5種，
∴齊王贏得比賽的概率為，田忌贏得比賽的概率為，
則齊王贏得比賽的概率是田忌贏得比賽概率的5倍，
故答案為：5．
【點睛】本題考查列舉法求概率，解答的關(guān)鍵是列舉法需要做到不重不漏，還要熟知求概率公式：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
10．（2022·黑龍江大慶·八年級期中）如圖，四條直徑把兩個同心圓分成八等份，若往圓面投擲飛鏢，則飛鏢落在白色區(qū)域的概率是____．
【答案】
【分析】根據(jù)題意可知白色區(qū)域與灰色區(qū)域的面積相等，據(jù)此求解概率即可．
【詳解】解：∵兩個同心圓被等分成八等份，飛鏢落在每一個區(qū)域的機會是均等的，其中白色區(qū)域的面積占了其中的四等份，
∴P（飛鏢落在白色區(qū)域）=
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了幾何概率，正確理解題意得到白色區(qū)域占總面積的二分之一是解題的關(guān)鍵．
三、解答題
11．（2022·遼寧朝陽·中考真題）某社區(qū)組織A，B，C，D四個小區(qū)的居民進行核酸檢測，有很多志愿者參與此項檢測工作，志愿者王明和李麗分別被隨機安排到這四個小區(qū)中的一個小區(qū)組織居民排隊等候．
(1)王明被安排到A小區(qū)進行服務(wù)的概率是 ．
(2)請用列表法或畫樹狀圖法求出王明和李麗被安排到同一個小區(qū)工作的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．
（1）
解：王明被安排到A小區(qū)進行服務(wù)的概率是，
故答案為：；
（2）
列表如下：A，B，C，D表示四個小區(qū)，
由表知，共有16種等可能結(jié)果，其中王明和李麗被安排到同一個小區(qū)工作的有4種結(jié)果，
所以王明和李麗被安排到同一個小區(qū)工作的概率為．
【點睛】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
12．（2022·福建三明·九年級期末）2022年冬奧會將在我國北京和張家口舉行，如圖所示為冬奧會和冬殘奧會的會徽“冬夢”“飛躍”，吉祥物“冰墩墩”“雪容融”，將四張正面分別印有以下4個圖案的卡片（卡片的形狀、大小、質(zhì)地都相同）背面朝上洗勻．
(1)若從中隨機抽取一張卡片，則抽取的卡片上的圖案恰好為吉祥物“冰墩墩”的概率是 ；
(2)若從中一次同時隨機抽取兩張卡片，請用畫樹狀圖或列表的方法，求抽取的兩張卡片上的圖案正好一張是會徽另一張是吉祥物的概率．
【答案】(1)
(2)列表見解析，
【分析】（1）根據(jù)題意得到任意抽取1張和抽得卡片上的圖案恰好為“冰墩墩”的可能性，即可求出概率；
（2）通過列表列出所有的可能性，找出其中兩張卡片上的圖案一張是會徽另一張是吉祥物的可能性，即可求出概率．
（1）
解：∵從中任意抽取1張有4種可能，抽得卡片上的圖案恰好為“冰墩墩”有1種可能
∴抽取的卡片上的圖案恰好為吉祥物“冰墩墩”的概率是．
（2）
解：列表如下：
由表可知，從中任意抽取兩張，一共有12種可能，抽得兩張卡片上的圖案一張是會徽另一張是吉祥物的有8種可能，所以抽得兩張卡片上的圖案都是會徽的概率=．
【點睛】本題考查概率．根據(jù)題意分析出事件的可能性是本題解題的關(guān)鍵．
提升篇
一、填空題
1．（2022·浙江·九年級專題練習）有兩枚均勻的正方體骰子，骰子各個面上的點數(shù)分別為1，2，3，4，5，6，同時投擲兩枚骰子，它們點數(shù)之和大于5的概率是 ___．
【答案】
【分析】用列表法列舉出所有的可能性，根據(jù)概率公式即可得出所有符合“點數(shù)之和大于5”的概率．
【詳解】解：由題意得：同時投擲兩枚骰子，兩次點數(shù)之和所有可能的結(jié)果如下：
共36種結(jié)果，符合“點數(shù)之和大于5”的共26種，
∴點數(shù)之和不大于5的概率為，
故答案為：．
【點睛】此題考查了概率公式的應(yīng)用，用到的知識點為概率等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比，熟悉概率公式是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·山東淄博·七年級期末）在一個不透明的盒子里裝有5個分別寫有數(shù)，，0，1，2的小球，它們除數(shù)字不同外其余全部相同．現(xiàn)從盒子里隨機取出一個小球，將該小球上的數(shù)字作為a的值，再從剩余球中取出一個球，將小球上的數(shù)字作為b的值，則a和b恰好使得關(guān)于x、y的二元一次方程組有整數(shù)解的概率是______．
【答案】##0.4
【分析】畫樹狀圖展示所有20種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出a和b恰好使得關(guān)于x、y的二元一次方程組有整數(shù)解的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．
【詳解】解：畫樹狀圖為：
共有20種等可能的結(jié)果數(shù)，其中a和b恰好使得關(guān)于x、y的二元一次方程組有整數(shù)解的結(jié)果數(shù)為8，
所以a和b恰好使得關(guān)于x、y的二元一次方程組有整數(shù)解的概率=．
故答案為．
【點睛】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．
3．（2022·山東煙臺·七年級期中）如圖，在邊長為1的小正方形組成的3×3網(wǎng)格中，A，B兩點均在格點上，若在格點上任意放置點C，恰好使得△ABC的面積為的概率為_________．
【答案】##0.375
【分析】按照題意分別找出點C所在的位置，根據(jù)概率公式求出概率即可．
【詳解】解：可以找到6個恰好能使△ABC的面積為的三角形，
則概率為：6÷16=，
故答案為：．
【點睛】此題主要考查了概率公式，解決此題的關(guān)鍵是正確找出恰好能使△ABC的面積為1的點．
4．（2022·河南·九年級專題練習）小強、小亮、小文三位同學玩投硬幣游戲．三人同時各投出一枚均勻硬幣，若出現(xiàn)三個正面向上或三個反面向上，則小強贏；若出現(xiàn)兩個正面向上和一個反面向上，則小亮贏；若出現(xiàn)一個正面向上和兩個反面向上，則小文贏．有下列說法：①小強贏的概率最??；②小文和小亮贏的概率相等；③小文贏的概率是；④這是一個公平的游戲．其中，正確的是__________（填序號）．
【答案】①②③
【分析】利用樹狀圖得出三人分別贏得概率，然后依次判斷即可．
【詳解】解：畫樹狀圖得：
所以共有8種可能的情況.
三個正面向上或三個反面向上的情況有2種，所以P（小強贏）==；
出現(xiàn)2個正面向上一個反面向上的情況有3種，所以P（小亮贏）=；
出現(xiàn)一個正面向上2個反面向上的情況有3種，，所以P（小文贏）=，
∵，
∴小強贏的概率最小，①正確；
小亮和小文贏的概率均為，②正確；
小文贏的概率為，③正確；
三個人贏的概率不一樣，這個游戲不公平，④錯誤；
故答案為：①②③．
【點睛】題目主要考查利用樹狀圖求概率，熟練掌握運用樹狀圖求概率的方法是解題關(guān)鍵．
5．（2022·浙江·九年級專題練習）如圖，有8張標記數(shù)字1-8的卡片．甲、乙兩人玩一個游戲，規(guī)則是：甲、乙兩人輪流從中取走卡片；每次可以取1張，也可以取2張，還可以取3張卡片（取2張或3張卡片時，卡片上標記的數(shù)字必須連續(xù)）；最后一個將卡片取完的人獲勝．
若甲先取走標記2，3的卡片，乙又取走標記7，8的卡片，接著甲取走兩張卡片，則________（填“甲”或“乙”）一定獲勝；若甲首次取走標記數(shù)字1，2，3的卡片，乙要保證一定獲勝，則乙首次取卡片的方案是________．（只填一種方案即可）
【答案】 甲 取走標記5，6，7的卡片（答案不唯一）
【分析】由游戲規(guī)則分析判斷即可作出結(jié)論．
【詳解】解：若甲先取走標記2，3的卡片，乙又取走標記7，8的卡片，接著甲取走兩張卡片，為4，5或5，6，則剩余的卡片為1，6或1，4，然后乙只能取走一張卡片，最后甲將一張卡片取完，則甲一定獲勝；
若甲首次取走標記數(shù)字1，2，3的卡片，乙要保證一定獲勝，則乙首次取卡片的方案5，6，7，理由如下：
乙取走5，6，7，則甲再取走4和8中的一個，最后乙取走剩下的一個，則乙一定獲勝，
故答案為：甲；5，6，7（答案不唯一）．
【點睛】本題考查游戲公平性，理解游戲規(guī)則是解答的關(guān)鍵．
二、解答題
6．（2022·四川巴中·九年級階段練習）為了倡導(dǎo)“節(jié)約用水，從我做起”，巴中市政府決定對該市直屬機關(guān)300戶家庭用水情況進行調(diào)查．市政府調(diào)查小組隨機抽查了其中部分家庭一年的月平均用水量（單位：噸），調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，每戶家庭月平均用水量在3～7噸范圍內(nèi)，并將調(diào)查結(jié)果制成了如下尚不完整的統(tǒng)計表：
請根據(jù)統(tǒng)計表中提供的信息解答下列問題：
(1)填空：______，______，______．
(2)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，估計該市直屬機關(guān)300戶家庭中月平均用水量不超過5噸的約有多少戶？
(3)市政府決定從月平均用水量最省的甲、乙、丙、丁四戶家庭中，選取兩戶進行“節(jié)水”經(jīng)驗分享．請用列表或畫樹狀圖的方法，求出恰好選到甲、丙兩戶的概率，并列出所有等可能的結(jié)果．
【答案】(1)20；0.18；0.20
(2)約有198戶
(3)
【分析】（1）求出抽查的戶數(shù)，即可解決問題；
（2）用300乘以月平均用水量不超過5噸的家庭的頻率即可求解；
（3）畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，列舉出來，恰好選到甲、丙兩戶的結(jié)果有2種，再由概率公式求解即可．
（1）
解：抽查的戶數(shù)為：4÷0.08=50(戶)，
∴a=50×0.40=20，b=9÷50=0.18，c=10÷50=0.20，
故答案為：20，0.18，0.20；
（2）
解：300×（0.08+0.40+0.18）=198(戶)，
答：計該市直屬機關(guān)300戶家庭中月平均用水量不超過5噸的約有198戶
（3）
解：畫樹狀圖如圖：
共有12種等可能的結(jié)果，恰好選到甲、丙兩戶的結(jié)果有2種，
∴恰好選到甲、丙兩戶的概率為．
【點睛】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回實驗還是不放回實驗．用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
7．（2022·廣西玉林·二模）我市為加快推進生活垃圾分類工作，對分類垃圾桶實行統(tǒng)一的外型、型號、顏色等，其中，可回收物用藍色收集桶，有害垃圾用紅色收集桶，廚余垃圾用綠色收集桶，其他垃圾用灰色收集桶．為了解學生對垃圾分類知識的掌握情況，某校宣傳小組就“用過的餐巾紙應(yīng)投放到哪種顏色的收集桶”在全校隨機采訪了部分學生，根據(jù)調(diào)查結(jié)果，繪制了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖．根據(jù)圖中信息，解答下列問題：
用過的餐巾紙投放情況統(tǒng)計圖：

(1)此次調(diào)查一共隨機采訪了______名學生，在扇形統(tǒng)計圖中，“灰”所在扇形的圓心角的度數(shù)為_____；
(2)補全條形統(tǒng)計圖（要求在條形圖上方注明人數(shù)）；
(3)若該校有4000名學生，估計該校學生將用過的餐巾紙投放到紅色收集桶的人數(shù)；
(4)李老師計劃從，，，四位學生中隨機抽取兩人參加學校的垃圾分類知識搶答賽，請用樹狀圖法或列表法求出恰好抽中，兩人的概率．
【答案】(1)200，198
(2)見解析
(3)320人
(4)
【分析】（1）由投放藍色垃圾桶的人數(shù)及其所占百分比可得總?cè)藬?shù)，用360°乘以投放灰色垃圾桶的人數(shù)所占比例；
（2）根據(jù)投放四種垃圾桶的人數(shù)之和等于總?cè)藬?shù)求出綠色部分的人數(shù)，從而補全圖形；
（3）用總?cè)藬?shù)乘以樣本中將用過的餐巾紙投放到紅色收集桶的人數(shù)占被調(diào)查人數(shù)的比例即可；
（4）列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到恰好抽中A，B兩人的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．
（1）
解：此次調(diào)查一共隨機采訪學生44÷22%=200（名），
在扇形統(tǒng)計圖中，“灰”所在扇形的圓心角的度數(shù)為，
故答案為：200，198；
（2）
解：綠色部分的人數(shù)為200-（16+44+110）=30（人），補全圖形如下：
（3）
解：估計該校學生將用過的餐巾紙投放到紅色收集桶的人數(shù)（人）；
（4）
解：列表如下：
由表格可知，共有12種等可能結(jié)果，其中恰好抽中A，B兩人的有2種結(jié)果，
所以恰好抽中A，B兩人的概率為．
【點睛】本題考查了列表法或樹狀圖法求概率以及條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖，用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比，讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵．
8．（2022·山東濟寧·中考真題）6月5日是世界環(huán)境日．某校舉行了環(huán)保知識競賽，從全校學生中隨機抽取了n名學生的成績進行分析，并依據(jù)分析結(jié)果繪制了不完整的統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖（如下圖所示）．
學生成績分布統(tǒng)計表
請根據(jù)以上圖表信息，解答下列問題：
(1)填空：n＝ ，a＝ ；
(2)請補全頻數(shù)分布直方圖；
(3)求這n名學生成績的平均分；
(4)從成績在75.5≤x＜80.5和95.5≤x＜100.5的學生中任選兩名學生．請用列表法或畫樹狀圖的方法，求選取的學生成績在75.5≤x＜80.5和95.5≤x＜100.5中各一名的概率．
【答案】(1)40，0.25
(2)見解析
(3)88.125分
(4)圖表見解析，
【分析】（1）根據(jù)“頻率=頻數(shù)÷總數(shù)”和頻率之和為1可得答案；
（2）用總?cè)藬?shù)減去其他組的人數(shù)即為到組人數(shù)，即可補全頻數(shù)分布直方圖；
（3）利用平均數(shù)的計算公式計算即可；
（4）列出樹狀圖即可求出概率
（1）
解：由圖表可知：，
（2）
解：由（1）可知，到組人數(shù)為（人），
頻數(shù)分布圖為：
（3）
解： （分）
（4）
解：用A1，A2表示75.5≤x＜80.5中的兩名學生，用B1，B2表示95.5≤x＜100.5中的兩名學生，畫樹狀圖，得
由上圖可知，所有結(jié)果可能性共12種，而每一種結(jié)果的可能性是一樣的，其中每一組各有一名學生被選到有8種．
∴每一組各有一名學生被選到的概率為．
【點睛】本題主要考查本題考查讀頻數(shù)分布直方圖，求平均數(shù)，利用樹狀圖求概率，掌握相關(guān)的概念以及方法是解題的關(guān)鍵．
下等馬
中等馬
上等馬
齊王
6
8
10
田忌
5
7
9
A
B
C
D
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
（D，D）
月平均用水量（噸）
3
4
5
6
7
頻數(shù)（戶數(shù)）
4
9
10
7
頻率
0.08
0.40
0.14
A
B
C
D
A
(B，A)
(C，A)
(D，A)
B
(A，B)
(C，B)
(D，B)
C
(A，C)
(B，C)
(D，C)
D
(A，D)
(B，D)
(C，D)
成績/分
組中值
頻率
75.5≤x＜80.5
78
0.05
80.5≤x＜85.5
83
a
85.5≤x＜90.5
88
0.375
90.5≤x＜95.5
93
0.275
95.5≤x＜100.5
98
0.05

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