一、選擇題
1．已知集合，，則( )
A.B.C.D.
2．設(shè)，則復(fù)數(shù)z的模為( )
A.B.C.1D.
3．已知，為單位向量，當(dāng)向量，的夾角等于時，向量在向量上的投影向量為( )
A.3B.C.D.
4．若一個圓錐的母線長為l，且其側(cè)面積與其軸截面面積的比為，則該圓錐的高為( )
A.B.C.D.
5．在形狀、大小完全相同的4個小球上分別寫上4位學(xué)生的名字，放入袋子中，現(xiàn)在4位學(xué)生從袋子中依次抽取球，每次不放回隨機(jī)取出一個，則恰有1位學(xué)生摸到寫有自己名字的小球的概率為( )
A.B.C.D.
6．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)m的取值范圍是( )
A.B.C.D.
7．已知，，則( )
A.B.C.D.
8．在正三棱臺中，，，，則正三棱臺的外接球體積為( )
A.B.C.D.
二、多項選擇題
9．如圖，在棱長為1的正方體中，點P滿足，其中，，則( )
A.當(dāng)時，
B.當(dāng)時，
C.當(dāng)，且、均非零時，
D.當(dāng)時，四棱錐的體積恒為定值
10．等差數(shù)列與的前n項和分別為與，且，則( )
A.當(dāng)時，B.當(dāng)時，
C.D.
11．已知拋物線的焦點為F，準(zhǔn)線為l，點M在C上，于N，直線與C交于A，B兩點，若，則( )
A.B.
C.D.
12．已知，，則( )
A.當(dāng)時，為奇函數(shù)
B.當(dāng)時，存在直線與有6個交點
C.當(dāng)時，在上單調(diào)遞減
D.當(dāng)時，在上有且僅有一個零點
三、填空題
13．設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)，，…，的方差為0.01，則數(shù)據(jù)，，，的方差為_________.
14．過點的直線l將圓分割成弧長比值為的兩段圓弧，則l的斜率為_________.
15．若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則_________.
16．設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為，，A為C的左頂點，P，Q為雙曲線一條漸近線上的兩點，四邊形為矩形，且，則雙曲線的離心率為_________.
四、解答題
17．已知等差數(shù)列的首項，公差為d，為的前n項和，為等差數(shù)列.
（1）求與d的關(guān)系；
（2）若，為數(shù)列的前n項和，求使得成立的n的最大值.
18．已知a，b，c分別為三個內(nèi)角A，B，C的對邊，且.
（1）求B；
（2）若，點D在邊上，，且，求b.
19．如圖，在三棱錐中，平面平面，為等腰直角三角形，其中，E為中點.
（1）證明：平面平面；
（2）已知，二面角的大小為，求三棱錐的體積.
20．2023年高考分?jǐn)?shù)公布后，經(jīng)過相關(guān)部門的計算，本次高考總分不低于680的同學(xué)可以獲得高校T的“強(qiáng)基計劃”入圍資格.經(jīng)統(tǒng)計甲班和乙班分別有3名和4名學(xué)生獲得高校T的“強(qiáng)基計劃”入圍資格，而且甲班和乙班高考分?jǐn)?shù)高于690分的學(xué)生分別有1名和2名.高校T的“強(qiáng)基計劃”?？挤譃閮奢?第一輪為筆試，所有入圍同學(xué)都要參加，考試科目為數(shù)學(xué)和物理，每科的筆試成績從高到低依次有，A，B三個等級，兩科中至少有一科得到，且兩科均不低于A，才能進(jìn)入第二輪.已知入圍的同學(xué)參加第一輪筆試時，總分高于690分的同學(xué)在每科筆試中取得，A，B的概率分別為，，；總分不高于690分的同學(xué)在每科筆試中取得，A，B的概率分別為，，；進(jìn)入第二輪的同學(xué)，若兩科筆試成績均為，則免面試，并被高校T提前錄??；若兩科筆試成績只有一個，則要參加面試，總分高于690分的同學(xué)面試“通過”的概率為，總分不高于690分的同學(xué)面試“通過”的概率為，面試“通過”的同學(xué)也將被高校T提前錄取.若甲、乙兩個班本次高考總分不低于680的同學(xué)都報考了高校T的“強(qiáng)基計劃”.
（1）分別求出總分高于690分的某位學(xué)生進(jìn)入第二輪的概率以及該生被高校T提前錄取的概率；
（2）從甲、乙兩班隨機(jī)抽取一個班，再從該班獲得高效T的“強(qiáng)基計劃”入圍資格的學(xué)生中隨機(jī)抽取2位學(xué)生，求這兩位同學(xué)都通過“強(qiáng)基計劃”被高校T提前錄取的概率.
21．已知斜率為1的直線l與橢圓C：交于A，B兩點，線段的中點為.
（1）求C的離心率；
（2）設(shè)C的左焦點為F，若，求過A，B，F(xiàn)三點的圓的方程.
22．已知函數(shù).
（1）證明：當(dāng)時，；當(dāng)時，.
（2）正項數(shù)列滿足：，，證明：
（i）數(shù)列遞減；
（ii）.
參考答案
1．答案：C
解析：由得，
又因為，
所以
故選：C.
2．答案：D
解析：設(shè)，則，所以，.
由，所以.
故選：D.
3．答案：C
解析：，為單位向量，當(dāng)向量，的夾角等于時，
則在上的投影向量為.
故選：C.
4．答案：A
解析：設(shè)圓錐底面圓半徑為r，圓錐高為h，依題意，，解得，
所以該圓錐的高為.
故選：A.
5．答案：B
解析：4位學(xué)生從袋子中依次抽取球，每次不放回隨機(jī)取出一個的方法總數(shù)為種，
恰有1位學(xué)生摸到寫有自己名字的小球，可以先從4人中選出1人摸到寫有自己名字的小球，另外三人摸到的都不是寫有自己名字的小球共種，
所以恰有1位學(xué)生摸到寫有自己名字的小球的概率為.
故選：B.
6．答案：B
解析：由題意知：，
當(dāng)時，，
在上單調(diào)遞增，，；
若，則，，此時，
又，
，
；
若，則，，，此時，
與矛盾，不合題意；
綜上所述：實數(shù)m的取值范圍為.
故選：B.
7．答案：A
解析：由，得，令函數(shù)，，求導(dǎo)得，
則函數(shù)在上單調(diào)遞減，，因此，
由，得，有，令函數(shù)，，
求導(dǎo)得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即函數(shù)在單調(diào)遞增，
，即，因此，
所以.
故選：A.
8．答案：C
解析：分別取、的中心E，F(xiàn)，連結(jié)，過A作，
因為，由正弦定理得，得，同理可得，所以，，
所以設(shè)正三棱臺的外接球球心O，O在EF上，
設(shè)外接球O的半徑為R，所以，
，，
即，又因為，
解得，，
所以正三棱臺的外接球體積.
故選：C.
9．答案：ACD
解析：對于A，當(dāng)時，，
即點P與點重合，則，A正確；
對于B，時，，
，即A，P，三點共線，易知，
所以，故B錯誤；
對于C，當(dāng)，且、均非零時，
則B，P，三點共線，易得，
所以，故C正確；
對于D，當(dāng)時，由C知結(jié)合下圖可知，
P為的中點，B，H，三點共線，
易知為定值，
則也為定值，
故D正確，
故選：ACD.
10．答案：AC
解析：對于A：因為所以，，
代入得，所以，故A正確.
對于B：由A知，由得，故B不正確.
對于C：由，
所以，所以，故C正確.
對于D：由C知，
所以，故D不正確.
故選：AC
11．答案：AC
解析：不妨設(shè)點M在x軸上方，設(shè)點，
則點，，若則點.
將點代入可得，
將代入可得，
所以，，，
所以，所以直線的傾斜角為，
所以，故A正確.
，故B不正確.
易得直線的方程為，
由解得，，
所以，所以，，所以，
故C正確；
因為，
所以且兩個向量夾角為銳角，
根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系得，故D不正確.
故選：AC.
12．答案：ACD
解析：當(dāng)時，，可以說是奇函數(shù)，故A正確；
當(dāng)時，在R上單調(diào)遞增，與最多一個交點，故B錯誤；
因為，所以.
對C：在上遞減，需有（）恒成立.
當(dāng)時，，又，且當(dāng)時，，所以.
當(dāng)時，.
設(shè)，則，由，所以在上遞減，在上遞增，
所以的最小值為，所以.
所以且，即.故C正確；
對D：設(shè)，則.因為，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，.
所以在上遞增，在上遞減，所以的最大值為，
又，所以只在有一解，設(shè)為即，
所以在上遞增，在上遞減.
且，且當(dāng)時，，所以在上有且僅有一個零點.故D正確.
故選：ACD.
13．答案：1
解析：因為數(shù)據(jù)的方差是數(shù)據(jù)的方差的倍，
所以所求數(shù)據(jù)的方差為，
故答案為：1.
14．答案：
解析：由已知得到劣弧所對的圓心角為，
圓的圓心為，半徑為，所以弦心距為.
由題意可得直線l的斜率存在，設(shè)直線l為：，即，
所以圓心到直線的距離，
整理得，解得.
故答案為：.
15．答案：
解析：因為與相切.
，設(shè)切點坐標(biāo)為，則切線方程為.
因為切線過原點，所以：，故切點為，所以.
對函數(shù)，，由，
根據(jù)得切點縱坐標(biāo)為：，
根據(jù)得切點縱坐標(biāo)為：，
由，又由題可知.
故答案為：.
16．答案：
解析：令雙曲線的半焦距為c，顯然，
由雙曲線的對稱性，不妨令點P，Q在雙曲線C的漸近線上，且點P在第一象限，
由四邊形為矩形，得，令，則，，，
于是，則，，
，即直線的斜率，因此，即，
所以雙曲線C的離心率為.
故答案為：.
17．答案：（1）或
（2）見解析.
解析：（1）因為為等差數(shù)列，所以，即，
從而得到，化簡得，
所以或.
（2）當(dāng)，時，，，所以，又因為，所以n不存在；
當(dāng)，時，，，
所以，解得，又因為，
所以n的最大值3.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）在中，由正弦定理及，
得，
即，
則，而，于是，
即，又，即有，則，
所以.
（2）依題意，，則，而，
于是，，
解得，又，解得，
由余弦定理得，解得，
所以.
19．答案：（1）證明見詳解
（2）
解析：（1）由題知，平面平面，
且平面平面，
又為等腰直角三角形，其中，
所以，又平面，
則平面，
又平面，
則平面平面.
（2）作，交于點F，
由平面平面，平面平面，
知平面，
因為，所以，
設(shè)，則，，
以點B為坐標(biāo)原點，建立，所在直線為x，y軸，
建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
因為E為中點，所以，
則，，
設(shè)平面的法向量為，
則，
令，則，，
則，
又由（1）得，平面的一個法向量，
所以，
解得或（舍），
故，
則三棱錐的體積.
20．答案：（1）總分高于690分的某位學(xué)生進(jìn)入第二輪的概率為；該生被高校T提前錄取的概率為
（2）
解析：（1）總分高于690分的某位學(xué)生進(jìn)入第二輪，記為事件A，
所以，
總分高于690分的某位學(xué)生被高校T提前錄取，記為事件B，
所以.
（2）總分不高于690分的某位學(xué)生被高校T提前錄取，記為事件C，
所以，
從甲班獲得高效T的“強(qiáng)基計劃”入圍資格的學(xué)生中隨機(jī)抽取2位學(xué)生，且這兩位同學(xué)都通過“強(qiáng)基計劃”被高校T提前錄取，記為事件E，
，
從乙班獲得高效T的“強(qiáng)基計劃”入圍資格的學(xué)生中隨機(jī)抽取2位學(xué)生，且這兩位同學(xué)都通過“強(qiáng)基計劃”被高校T提前錄取，記為事件F，
，
故所求概率.
21．答案：（1）
（2）
解析：（1）設(shè)，，則，
又，，所以，又.
（2）直線l方程為，橢圓C的方程可寫為：.
聯(lián)立方程，消去y得：，
則：，，.
又，
所以：
.
解得：，
故可令得，.
所以，，.
設(shè)過這三點的圓的方程為：，
由：解得：.
故所求圓的方程為：.
22．答案：（1）證明見詳解
（2）證明見詳解
解析：（1）設(shè)，
則，
令得，
令得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則，
即，
則當(dāng)時，即；
時，即.
（2）（i）因為數(shù)列各項為正，
要證數(shù)列遞減，只需證明，
即證，又，
所以即證，
令，
不等式化為，
設(shè)，
則，恒成立，
故在上單調(diào)遞增，
則恒成立，
即在上恒成立，
則原命題得證.
（ii）先證明：，，
即證，
設(shè)，，
則，，
所以在上單調(diào)遞增，
則，則所證不等式，成立.
又，，
所以，，
所以，，
則當(dāng)時，
，
又當(dāng)時，
，
故成立.

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