一、選擇題
1．已知全集，集合，則圖中陰影部分表示的集合為( )
A.B.C.D.
2．若，則( )
A.B.C.D.
3．甲、乙兩人獨立地破解同一個謎題，破解出謎題的概率分別為，，則謎題沒被破解出的概率為( )
A.B.C.D.
4．已知等差數(shù)列的首項為1，若，，成等比數(shù)列，則( )
A.-2B.4C.8D.-2或4
5．已知直線與圓相交于M，N兩點，則的最小值為( )
A.B.2C.4D.
6．設(shè)，是定義在R上的兩個函數(shù)，若對，，，恒成立，下列四個命題中正確的是( )
A.和可以為有相同最小正周期的周期函數(shù)
B.和可以均為偶函數(shù)
C.若和均為奇函數(shù)，則當(dāng)時，
D.和可以均為增函數(shù)
7．已知，為單位向量，且，向量滿足，則的最小值為( )
A.B.C.D.
8．已知正實數(shù)x，y滿足，則的最大值為( )
A.5B.2C.9D.8
二、多項選擇題
9．已知復(fù)數(shù)，，則下列結(jié)論正確的是( )
A.若z為純虛數(shù)，則
B.若z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限，則
C.若，則
D.若，則
10．已知拋物線的焦點為F，過F的直線l與C交于A，B兩點，過點A作C的切線，交準(zhǔn)線于點P，交x軸于點Q，下列說法正確的有( )
A.
B.直線QB與C也相切
C.
D.若，則
11．記函數(shù)的圖像為曲線C，點不在曲線C上，過點P作曲線C的切線，則下列說法正確的是( )
A.若，，可作1條切線
B.若，，可作0條切線
C.若，，可作3條切線
D.若，，可作2條切線
三、填空題
12．計算：____________.
13．雙曲線的左、右焦點分別為、，P是雙曲線左支上一點，滿足且直線的斜率為2，則雙曲線的離心率為____________.
14．?dāng)?shù)學(xué)家斐波那契有段時間癡迷于研究有趣的數(shù)列問題，意外發(fā)現(xiàn)了一個特殊的數(shù)列：1，1，2，3，5，8，…，從第3項起，每一項都等于它前面兩項之和，即，，后人把這樣的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”若，則____________.
四、解答題
15．小李和小張關(guān)注到習(xí)近平總書記今年4月在重慶考察時強(qiáng)調(diào)：“奮力打造新時代西部大開發(fā)重要戰(zhàn)略支點、內(nèi)陸開放綜合樞紐”，于是決定大學(xué)畢業(yè)后回家鄉(xiāng)重慶創(chuàng)業(yè)他們投入5萬元（包括購買設(shè)備、房租、生活費等）建立了一個直播間，幫助山區(qū)人民售賣農(nóng)產(chǎn)品在直播間里，他們利用所學(xué)知識談天說地，跟粉絲互動，集聚了一定的人氣，試播一段時間之后，正式帶貨他們統(tǒng)計了第一周的帶貨數(shù)據(jù)如下：
(1)求樣本的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；
(2)用最小二乘法求出y關(guān)于x的回歸方程（系數(shù)精確到0.01，并用精確后的b的值計算a的值），并預(yù)測第8天的銷售額（預(yù)測結(jié)果精確到0.01）.
附：①相關(guān)系數(shù)；
②回歸方程中的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，；
③，，.
16．已知數(shù)列的首項，且滿足.
(1)證明：為等比數(shù)列；
(2)已知，為的前n項和，求.
17．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.
(1)求A的值；
(2)若為銳角三角形，且其面積為，求邊a的取值范圍
18．已知，求證：
(1)；
(2)；
(3).
19．已知橢圓，兩焦點和短軸一個端點構(gòu)成邊長為2的正三角形
(1)求橢圓方程；
(2)設(shè)直線與橢圓E相切于第一象限內(nèi)的點P，不過原點O且平行于的直線與橢圓E交于不同的兩點A，B，點A關(guān)于原點O的對稱點為C記直線的斜率為，直線的斜率為.
①求的值；
②若O，P，B，C四點圍成的四邊形為平行四邊形，求的值
參考答案
1．答案：D
解析：由可得，
解得，所以，
因為，所以，
圖中陰影部分表示的集合為.
故選：D.
2．答案：B
解析：因為，
所以，
所以，
故選：B
3．答案：C
解析：設(shè)“甲獨立地破解出謎題”為事件A，“乙獨立地破解出謎題”為事件B，
，
故，，
所以，
即謎題沒被破解的概率為.
故選：C.
4．答案：B
解析：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，
由可得，解得，
當(dāng)時，，不符合題意，故舍去；
所以，則.
故選：B
5．答案：C
解析：圓的圓心為，半徑，
直線，
即，
令，解得，
所以直線恒過點，
又，
所以當(dāng)時，弦的長度取得最小值，
即，
設(shè)的中點為D，則，
所以.
故選：C
6．答案：D
解析：令，
因為對，，，
恒成立，
即，
所以在R上單調(diào)遞減，
對于A，若和為有相同最小正周期的周期函數(shù)，
則也為周期函數(shù)，
與在R上單調(diào)遞減矛盾，故A錯誤；
對于B，若和均為偶函數(shù)，
則，
即為偶函數(shù)，與在R上單調(diào)遞減矛盾，故B錯誤；
對于C，若和均為奇函數(shù)，
則，
即為奇函數(shù)，且，在R上單調(diào)遞減，
則當(dāng)時，，
即，故C錯誤；
對于D，取，，
滿足在R上單調(diào)遞減，
且，為R上增函數(shù)，故D正確；
故選：D
7．答案：A
解析：因為，為單位向量，
且，
所以，
則，
所以，
因為，
則，
則不妨設(shè)，，
因為，
所以，
即點的軌跡為圓，
且圓心為，半徑為，
又，
設(shè)點，
則，
根據(jù)點與圓的位置關(guān)系可得，
故的最小值為.
故選：A.
8．答案：C
解析：因為正實數(shù)x，y滿足，
所以，
即，
因為，
當(dāng)且僅當(dāng)，
即，或，時，等號成立，
所以，
解得，
所以的最大值為9，
故選：C
9．答案：BC
解析：若z為純虛數(shù)，則且，解得，故A錯誤；
若z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限，
則且，解得，
即，故B正確；
若，則，得，故C正確；
若，則，得，故D錯誤
故選：BC.
10．答案：ACD
解析：依題意，拋物線的焦點為，準(zhǔn)線方程為，
不妨設(shè)點A在第一象限，且，如圖，
因為，
所以，
則有點A處的切線方程為：，即，
令，于是，則，選項A正確；
同理有點B處的切線方程為：，交x軸于，
當(dāng)時直線才是拋物線C的切線，
否則直線不是拋物線C的切線，故B錯誤；
設(shè)直線的方程為：，
由
可得，
所以，，
所以，故C正確；
由A可知，為等腰三角形，
且，于是，
則，
又，解得，則，選項D正確，
故選：ACD
11．答案：BCD
解析：曲線C如圖實線部分，不妨補(bǔ)全下方圖像，
顯然，曲線的切線必在其“凸面”，
即單獨對而言，在時不可作切線，
在時不可作切線，而在其“凹面”能作2條切線，
因此在區(qū)域1內(nèi)和都不可作切線，
因為在外切線為，
所以又可分為三個區(qū)域，在上方，
作兩條切線的切點橫坐標(biāo)，，一個在，一個在，
而若在下方，上方，
若，則兩切點都在上，
若，則兩切點都在上，
對，根據(jù)對稱性也有類似結(jié)論，
回到題目中，可分為如圖的8個區(qū)域，區(qū)域1不可作切線，
由于區(qū)域2和3在的“凹面”，故在段必不可作切線，
由于區(qū)域3在上方，區(qū)域2在下方，
所以在上區(qū)域2可作2條切線，區(qū)域3可作1條切線，
根據(jù)對稱性，區(qū)域7和區(qū)域8在的“凹面”，
所以在必不可做切線，
區(qū)域7在下方，區(qū)域8在上方，
所以在上，區(qū)域7可作1條切線，區(qū)域8不可作切線，
同理，區(qū)域4在，的“凸面”，
又在上側(cè)，上側(cè)，
所以在可作2條切線，在可作1條切線，
所以區(qū)域4可作3條切線，由對稱性知區(qū)域6僅在作1條切線，
最后，區(qū)域5在可作1條切線，在可作1條切線，
對于A選項，因為，，
所以區(qū)域3內(nèi)可作一條切線，而區(qū)域2可作2條切線，故A錯誤；
對于B選項，因為，，
所以在區(qū)域1，可作0條切線，故B正確；
對于C選項，因為，，
所以在區(qū)域3上，可作3條切線，故C正確；
對于D選項，因為，，
所以在區(qū)域2上，可作2條切線，故D正確
故選：BCD.
12．答案：
解析：
故答案為：
13．答案：
解析：設(shè)，
則，，
兩式相減并化簡得①，
由于且直線的斜率為2，
所以，②，
由①②得，
所以，
所以.
故答案為：
14．答案：2024
解析：由從第三項起，每個數(shù)等于它前面兩個數(shù)的和，，
由,
得,
所以，，
，...，
將這n個式子左右兩邊分別相加可得:
所以.
所以
,
所以.
故答案為：2024.
15．答案：(1)0.96
(2)，5.16萬元
解析：(1)由題意，得，
，
所以，
所以樣本的相關(guān)系數(shù)約為0.96.
(2)因為，，
所以，
又，，
所以，
所以回歸方程為，
當(dāng)時，，
所以預(yù)測第8天的銷售額為5.16萬元
16．答案：(1)證明見解析
(2)
解析：(1)證明：由，
得，
又，
所以是以-2為公比，1為首項的等比數(shù)列
(2)由(1)可得，
即，
當(dāng)n為奇數(shù)時，；
當(dāng)n為偶數(shù)時，，
所以，
，
.
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)因為，
由A，B，C為的內(nèi)角知，，，
由正弦定理可得：，
即，
即，
所以，可得.
(2)，
由正弦定理知：，
，，
為銳角三角形，
則，
令，
，
因為，
所以，，
.
18．答案：(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)證明見解析
解析：(1)令，則，
所以在單調(diào)遞減，
故，即；
(2)令，
則
由(1)知，
，
則在單調(diào)遞增，
故，
即；
(3)令，
則，
由(2)知：，
所以，
則，
所以在單調(diào)遞增，
故，
即.
19．答案：(1)
(2)①；②或1
解析：(1)由題意，
從而，，
所以橢圓方程為.
(2)
①由
消y得（*），
由，
得，
此時方程（*）可化為：，
解得：（由條件可知：k，m異號），
設(shè)，則，
，
即，
所以，
因為，
所以可設(shè)直線，
由
消y得，
當(dāng)時，方程有兩個不相等的實根，
設(shè)，，
則，，
因為A，C兩點關(guān)于原點對稱，所以，
所以，，
所以.
②設(shè)直線與y軸交于點Q，直線與y軸交于點N，
則，于是，
由①可知：，若O，P，B，C四點圍成的四邊形為平行四邊形，
則還需，即，
由①可知：，
所以.
又，，
所以，
由可得：，
又，
所以，即，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，.
第x天
1
2
3
4
5
6
7
銷售額y（萬元）
1.4
1.6
2.2
2.4
3
3.9
5.1

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