一、選擇題
1．已知集合,,記全集,則( )
A.B.C.D.
2．若復數(shù)是純虛數(shù),則實數(shù)( )
A.1B.CD.0
3．函數(shù)的零點有( )
A.4個B.2個C.1個D.0個
4．設集合,那么集合A滿足條件“”的元素個數(shù)為( )
A.4B.6C.9D.12
5．已知函數(shù)在R上為減函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.B.C.D.
6．已知a,b為正實數(shù),且a,b,這三個數(shù)可適當排序后成等差數(shù)列,也可適當排序后成等比數(shù)列,則的值等于( )
A.6B.8C.10D.12
7．已知球O的直徑為,A,B是球面上兩點,且,,則三棱錐的體積( )
A.B.C.D.
8．設P為拋物線的焦點,P為C上一點且在第一象限,C在點P處的切線交x軸于N,交y軸于T,若,則直線NF的斜率為( )
A.B.C.D.
二、多項選擇題
9．已知,分別為隨機事件A,B的對立事件,滿足,,則下列敘述可以說明事件A,B為相互獨立事件的是( )
A.B.
C.D.
10．已知函數(shù),則下列關于函數(shù)的說法,正確的是( )
A.的一個周期為B.的圖象關于對稱
C.在上單調遞增D.的值域為
11．已知正四棱柱的底面邊長為1,,點P在底面ABCD內運動(含邊界),點Q滿足,,則( )
A.當時,的最小值為
B.當時,存在點P,使為直角
C.當時,滿足的點P的軌跡平行平面
D.當時,滿足的點P的軌跡圍成的區(qū)域的面積為
三、填空題
12．設向量,,若,則______.
13．雙曲線的左,右焦點分別為,,O為原點,M,N為C上關于原點對稱的兩點,若,則______.
14．已知定義在R上的偶函數(shù)滿足,且當時,.若,則在點處的切線方程為______.(結果用含的表達式表示)
四、解答題
15．從某企業(yè)生產的某種產品中隨機抽取1000件,測量這些產品的一項質量指標值,由測量結果得如下頻率分布直方圖:
（1）求這1000件產品質量指標值的樣本平均數(shù)和樣本方差（同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作為代表）;
（2）由直方圖可以認為,這種產品的質量指標值服從正態(tài)分布,其中近似為樣本平均數(shù)近似為樣本方差,為監(jiān)控該產品的生產質量,每天抽取10個產品進行檢測,若出現(xiàn)了質量指標值在之外的產品,就認為這一天的生產過程中可能出現(xiàn)了異常情況,需對當天的生產過程進行檢查.
①）假設生產狀態(tài)正常,記X表示一天內抽取的10個產品中尺寸在之外的產品數(shù),求
②請說明上述監(jiān)控生產過程方法的合理性.
附:
16．已知四邊形ABCD的外接圓面積為,且,,為鈍角,
（1）求和BC;
（2）若,求四邊形ABCD的面積.
17．在圓上任取一點P.過點P作x軸的菙線PD,垂足為D,點M滿足.
（1）求M的軌跡的方程;
（2）設,,延長MD交于另一點N,過作的垂線交BN于點E,判斷與的面積之比是否為定值?若是,求出定值;若不是,說明理由.
18．在如圖所示的幾何體中,平面ABC,平面ABC,,記M為DC中點,平面DAC與平面EBC的交線為l.
（1）求證:平面ABC;
（2）若三棱錐的體積與幾何體ABCDE的體積滿足關系,P為l上一點,求當最大時,直線CD與平面PAB所成角的正弦值的最大值.
19．如果函數(shù)的導數(shù),可記為.若,則表示曲線,直線以及軸圍成的“曲邊梯形”的面積.
（1）若,且,求;
（2）已知,證明:,并解釋其幾何意義;
（3）證明:,.
參考答案
1．答案：C
解析：因為,所以.選C.
2．答案：B
解析：是純虛數(shù),則,解得故選B
3．答案：B
解析：畫出函數(shù)和的圖象,有兩個公共點,所以有2個零點.故選B.
4．答案：D
解析：由于,,只能取0或1,且,因此3個數(shù)值中只有一個為0,其余兩個從1和1中選取.因此共有.故選:D.
5．答案：D
解析：函數(shù)在:R上為減函數(shù)所以滿足解不等式組可得.故選:D.
6．答案：C
解析：由題意可得:,,
又a,b,這三個數(shù)可適當排序后成等差數(shù)列,也可適當排序后后成等比數(shù)列,可得①或②.解①得:;解②得:.故.故選:C.
7．答案：C
解析：由,知,為正三角形,設的外接圓圈心為,半徑為r,則,
由球半徑,,故C到平面PAB的距離,故,故選C.
8．答案：D
解析：設,又l的斜率為,則l的方程為,則,于是N為PT的中點,又,則為等腰三角形,于是,又,則l的傾斜角為,所以l的斜率為,于是NF的斜率為,故選D.
9．答案：ABD
解析：根據(jù)題意,依次分析選項:
對于A,由,則有,,故選項A可以說明事件A,B為相互獨立事件;
對于B,結合獨立的定義易知事件A與相互獨立,再結合性質易知事件A,B為相互
獨立,故選項B可行:
對于C,由易知,故事件A,B不獨立;
對于D,由全概率公式可得:,
,又因為,故,所以D可行.
故選:ABD.
10．答案：ABD
解析：法一:對于A項:
,
所以的一個周期為,故A項正確;
對于B項:,
所以的圖象關于對稱,故B項正確;
對于CD項:
由A項知,需要研究一個周期的值域,又由B項知,只需研究半個周期的值域,故當,在區(qū)間上單調遞增,,
對稱性知,當時,在區(qū)間.上單調遞減,,所以的值域為,故D項正確:由周期性知當時,在區(qū)間上:單調遞減,當時,在區(qū)間上單調遞增,故C錯.故選:ABD.法二:分類討論取絕對值寫出解析式,;,,,;,,
作出的函數(shù)圖像即可.
11．答案：ACD
解析：由題意知AB,AD,兩兩垂直,以A為坐標原點,AB,AD,所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.
,,,設.
當時,,設點關于平面ABCD的對稱點為,,則,連接,,則,所以,當P為與平面ABCD的交點時取等號,所以A正確.
當時,,,
則,所以,則恒為銳角,B錯誤.選項C:當時,,,,由,得,即,所以點P的軌跡為中平行于邊BD的中位線,故平行平面,C正確.
選項D:當時,,,,由,得:,整理得,所以點P的軌跡為正方形ABCD的內切圓,其圍成的區(qū)域的面積為正確.故選:ACD.
12．答案：
解析：,,,,,可得,即,,則,.
13．答案：
解析：連接,,由于M,N關于原點對稱,則四邊形為平行四邊形,于是,又,故,,又,又由,所以,解得:.
14．答案：
解析：令得,當時,.令,得,則,
對兩側求導得,令可得,為偶函數(shù),.從而在點處的切線方程為,即.
15．答案：（1）見解析
（2）見解析
解析：（1）由題意得,,
,
（2）①如果生產狀態(tài)正常,一個產品尺寸之內的概率為0.9974,
則.
②如果生產狀態(tài)正常,一個產品尺寸在之外們概率只有0.0026,一天內抽取的10個零件中,發(fā)現(xiàn)尺寸在之外的概率只有,發(fā)生的概率很小,因此一旦發(fā)生這種情況,就有棵由認為這條生產線在這一天的生產過程中可能出現(xiàn)了異常情況,需對當天的生產過程進行檢查,可見上述監(jiān)管過程方法合理.
16．答案：（1）見解析
（2）見解析
解析：（1）,.
由正弦定理:,
得:,.
或.
為鈍角,故為銳角,.
當時,由題設及余弦定理得:
在中,,得:.
綜上:,.
（2）,,為銳角,
,.
在中,,
.在中,由正弦定理:,得:.
.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）設,則,則,于是M的軌跡為;
（2）設,則,,
則古線AM的斜率,則直線DE的斜率,
所以直線DE的方程:,即①,
又直線BN的方程,即②
聯(lián)立①②得:③,又,
代入③得:,故E的縱坐標為,
又與的面積之比為N與E的縱坐標絕對值之比,即為.
18．答案：（1）見解析
（2）見解析
解析：（1）因為平面ABC,平面ABC,故,又平面BEC,平面BEC,故平面BEC,又l為平面DAC與平面EBC的交線,故,因為平面ABC,所以平面ABC;
（2）因為M為DC中點,所以,由題可知,
而,故,又,故.設,,當且僅當時取等,此時,則有,故,由（1）知平面ABC,可以C為原點,,方向分別為x,y軸正方向,建立空間直角坐標系,則,,,,,,,平面PAB的法向量為,則有,可取,設直線CD與平面PAB所成角為,則,令,,當時,,故,當時取等.
19．答案：（1）見解析
（2）見解析
（3）見解析
解析：（1）,滿足,
當時,,;當時,,,符合題意.
（2）因為(C為常數(shù)),
所以,
設.則,所以在上單調遞減,從而,故.
設,,則,所以在上單調遞增,從而,故.
綜上,.
該不等式表示:當時,曲線與直線(y軸),以及x軸
用成的“曲邊梯形”面積,大于直線(y軸),以及x軸,直線圍成的矩形面積,小于直線(y軸),以及x軸,直線圍成的矩形面積.
（3）因為,,2,…,n.
所以
,
設,則,
所以,
故.

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