命題：高三數(shù)學(xué)組 審核：高三數(shù)學(xué)組 校對：高三數(shù)學(xué)組
一、單項選擇題：本題共8小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由解出不等式，得到集合B，再由交集的定義即可得到結(jié)果.
【詳解】由得，
又因為，
所以
故選：C.
2. 設(shè)，則復(fù)數(shù)的模為（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】可設(shè)，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的概念列方程求出復(fù)數(shù)，再求它的模.
【詳解】設(shè)，則，所以，.
由，所以.
故選：D
3. 已知，為單位向量，當向量，的夾角等于時，向量在向量上的投影向量為（ ）
A 3B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合向量的投影公式，即可求解
【詳解】，為單位向量，當向量，的夾角等于時，
則在上的投影向量為．
故選：．
4. 若一個圓錐的母線長為，且其側(cè)面積與其軸截面面積的比為，則該圓錐的高為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)出圓錐底面圓半徑，利用圓錐側(cè)面積公式及三角形面積公式列式計算即得.
【詳解】設(shè)圓錐底面圓半徑為，圓錐高為，依題意，，解得，
所以該圓錐的高為.
故選：A
5. 在形狀、大小完全相同的4個小球上分別寫上4位學(xué)生的名字，放入袋子中，現(xiàn)在4位學(xué)生從袋子中依次抽取球，每次不放回隨機取出一個，則恰有1位學(xué)生摸到寫有自己名字的小球的概率為（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用計數(shù)方法結(jié)合古典概型求解.
【詳解】4位學(xué)生從袋子中依次抽取球，每次不放回隨機取出一個的方法總數(shù)為種，
恰有1位學(xué)生摸到寫有自己名字的小球，可以先從4人中選出1人摸到寫有自己名字的小球，另外三人摸到的都不是寫有自己名字的小球共種，
所以恰有1位學(xué)生摸到寫有自己名字的小球的概率為.
故選：B
6. 將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)平移變換原則可得，采用整體代換的方式，結(jié)合正弦函數(shù)單調(diào)性可構(gòu)造不等式組求得的范圍，結(jié)合和進行討論即可求得結(jié)果．
【詳解】由題意知：，
當，時，，
在，上單調(diào)遞增，，；
若，則，，此時，
又，
，
；
若，則，，此時，
與矛盾，不合題意；
綜上所述：實數(shù)的取值范圍為．
故選：．
7. 已知，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)給定的信息構(gòu)造函數(shù)確定與2的大小關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)確定與2的大小即得.
【詳解】由，得，令函數(shù)，求導(dǎo)得，
則函數(shù)在上單調(diào)遞減，，因此，
由，得，有，令函數(shù)，
求導(dǎo)得，當且僅當時取等號，即函數(shù)在單調(diào)遞增，
，即，因此，
所以.
故選：A
【點睛】思路點睛：某些數(shù)或式大小關(guān)系問題，看似與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，細心挖掘問題的內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，構(gòu)造函數(shù)，分析并運用函數(shù)的單調(diào)性解題，它能起到化難為易、化繁為簡的作用.
8. 在正三棱臺中，，，，則正三棱臺的外接球體積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】畫出圖形，由正三棱臺的對稱性可得，正三棱臺的外接球的球心落在上底面中心與下底面中心的連線上，先求出三棱臺的高，再由外切球的性質(zhì)得到外接球的半徑.
【詳解】分別取、的中心，連結(jié)，過作,
因為，由正弦定理得，得，同理可得，所以，
所以設(shè)正三棱臺的外接球球心O，O在EF上，
設(shè)外接球O的半徑為R，所以
，
即，又因為
解得
所以正三棱臺的外接球體積.
故選：C.
二、多項選擇題：本題共4小題，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．
9. 如圖，在棱長為1的正方體中，點滿足，其中，，則（ ）
A. 當時，
B. 當時，
C. 當，且、均非零時，
D. 當時，四棱錐的體積恒為定值
【答案】ACD
【解析】
【分析】對于A,根據(jù)條件可知點與點重合，即可判定；對于B，根據(jù)條件可知三點共線，繼而可判定；對于C，根據(jù)條件可知三點共線，繼而可判定；對于D,根據(jù)條件可知為的中點，三點共線，則，則可判定.
【詳解】對于A,當時，,
即點與點重合，則,A正確；
對于B，時，，
，即三點共線，,易知,
所以,故B錯誤；
對于C，當，且、均非零時，
則三點共線，易得,
所以，故C正確；
對于D,當時，由C知結(jié)合下圖可知，
為的中點，三點共線，
易知定值，
則也為定值，
故D正確，
故選：ACD.
10. 等差數(shù)列與的前項和分別為與，且，則（ ）
A. 當時，B. 當時，
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】由和兩個式子，結(jié)合下標和性質(zhì)進行推導(dǎo)判斷.
【詳解】對于A：因為所以，
代入得，所以，故A正確.
對于B：由A知，由得，故B不正確.
對于C：由，
所以，所以，故C正確.
對于D：由C知，
所以，故D不正確
故選：AC
11. 已知拋物線的焦點為，準線為，點在上，于，直線與交于，兩點，若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】不妨設(shè)點在軸上方，設(shè)出點根據(jù)已知推導(dǎo)出，，，然后根據(jù)斜率公式和圖形的幾何性質(zhì)判斷A，
用兩點間距離公式求判斷B和C，用平面向量求夾角余弦再轉(zhuǎn)化為正弦判斷D.
【詳解】不妨設(shè)點在軸上方，設(shè)點，
則點，若則點.
將點代入可得，
將代入可得，
所以，，，
所以，所以直線的傾斜角為，
所以，故A正確.
，故B不正確.
易得直線的方程為，
由解得
所以，所以，所以，
故C正確；
因為，
所以且兩個向量夾角為銳角，
根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系得，故D不正確.
故選：AC
12. 已知，，則（ ）
A. 當時，為奇函數(shù)
B. 當時，存直線與有6個交點
C. 當時，在上單調(diào)遞減
D. 當時，在上有且僅有一個零點
【答案】ACD
【解析】
【分析】AB兩個選項比較好判斷；對C，可以利用函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為恒成立問題求參數(shù)的取值范圍；對D，分析函數(shù)的單調(diào)性和一些特殊點的函數(shù)值符號，判斷零點個數(shù).
【詳解】當時，，可以說是奇函數(shù)，故A正確；
當時，在上單調(diào)遞增，與最多一個交點，故B錯誤；
因為，所以.
對C：在上遞減，需有（）恒成立.
當時，，又，且當時，，所以.
當時，.
設(shè)，則，由，所以在上遞減，在上遞增，
所以的最小值為，所以.
所以且，即.故C正確；
對D：設(shè)，則.因為，所以當時，；當時，.
所以在上遞增，在上遞減，所以的最大值為，
又，所以只在有一解，設(shè)為即，
所以在上遞增，在上遞減.
且，且當時，，所以在上有且僅有一個零點.故D正確.
故選：ACD
【點睛】關(guān)鍵點點睛：已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求參數(shù)的取值范圍問題，常常要分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為恒成立或存在性問題，進而求函數(shù)的最大或最小值來解決.
三、填空題：本題共4小題．
13. 設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)的方差為0.01，則數(shù)據(jù)，，，的方差為_________．
【答案】1
【解析】
【分析】根據(jù)新數(shù)據(jù)和原數(shù)據(jù)的關(guān)系確定方差關(guān)系，即得結(jié)果.
【詳解】因為數(shù)據(jù)的方差是數(shù)據(jù)的方差的倍，
所以所求數(shù)據(jù)的方差為，
故答案為：1.
14. 過點的直線將圓分割成弧長比值為的兩段圓弧，則的斜率為_________．
【答案】
【解析】
【分析】由已知得到劣弧所對的圓心角為，然后推導(dǎo)出弦心距，然后設(shè)出過點的點斜式方程，根據(jù)點到直線距離公式列方程求出斜率.
【詳解】由已知得到劣弧所對的圓心角為，
圓的圓心為，半徑為，所以弦心距為.
由題意可得直線的斜率存在，設(shè)直線為：，即，
所以圓心到直線的距離，
整理得，解得.
故答案為：.
15. 若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則_________．
【答案】
【解析】
【分析】先根據(jù)與相切，確定的值，再根據(jù)直線與相切，確定的值.
【詳解】因為與相切.
，設(shè)切點坐標為，則切線方程為.
因為切線過原點，所以：，故切點為，所以.
對函數(shù)，，由，
根據(jù)得切點縱坐標為：，
根據(jù)得切點縱坐標為：，
由，又由題可知.
故答案為：
【點睛】關(guān)鍵點點睛：先根據(jù)的切線過原點，求出的值；求時，要注意切點即在曲線上，也在切線上，根據(jù)縱坐標相等列方程求解.
16. 設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為，，為的左頂點，，為雙曲線一條漸近線上的兩點，四邊形為矩形，且，則雙曲線的離心率為_________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，求出點的坐標，再借助誘導(dǎo)公式、同角公式求出的關(guān)系即可得解.
【詳解】令雙曲線的半焦距為c，顯然，
由雙曲線的對稱性，不妨令點在雙曲線的漸近線上，且點在第一象限，
由四邊形為矩形，得，令，則，，，
于是，則，，
，即直線的斜率，因此，即，
所以雙曲線的離心率為.
故答案為：
【點睛】方法點睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的三種方法：
①定義法：通過已知條件列出方程組，求得得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率；
②齊次式法：由已知條件得出關(guān)于的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程求解；
③特殊值法：通過取特殊值或特殊位置，求出離心率.
四、解答題：本題共6小題，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 已知等差數(shù)列的首項，公差為，為的前項和，為等差數(shù)列．
（1）求與的關(guān)系；
（2）若，為數(shù)列的前項和，求使得成立的的最大值．
【答案】（1）或
（2）的最大值為3.
【解析】
【分析】（1）由為等差數(shù)列可得，即可得到與的關(guān)系；
（2）由裂項相消法得到，再解不等式即可求得的最大值.
【小問1詳解】
因為為等差數(shù)列，所以，即
從而得到，化簡得
所以或
【小問2詳解】
當，時，，，所以，又因為，所以不存在；
當，時，，，
所以，解得，又因為，
所以的最大值3.
18. 已知，，分別為三個內(nèi)角，，的對邊，且．
（1）求；
（2）若，點在邊上，，且，求．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，結(jié)合恒等變換可求角B的大小.
（2）根據(jù)給定條件，結(jié)合三角形面積公式求出，再利用余弦定理、三角形面積公式計算即得.
【小問1詳解】
在中，由正弦定理及，
得，
即，
則，而，于是，
即，又，即有，則，
所以.
【小問2詳解】
依題意，，則，而，
于是，，
解得，又，解得，
由余弦定理得，解得，
所以.
19. 如圖，在三棱錐中，平面平面，為等腰直角三角形，其中，為中點．
（1）證明：平面平面；
（2）已知，二面角的大小為，求三棱錐的體積．
【答案】（1）證明見詳解
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理得平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明；
（2）建立空間直角坐標系，求得點的坐標，進一步計算即可.
【小問1詳解】
由題知，平面平面，
且平面平面,
又為等腰直角三角形，其中，
所以,又平面,
則平面，
又平面，
則平面平面.
【小問2詳解】
作,交于點,
由平面平面，平面平面,
知平面,
因為，所以，
設(shè)，則，
以點為坐標原點，建立所在直線為軸，
建立如圖所示空間直角坐標系，
則，
因為為中點，所以，
則,
設(shè)平面的法向量為，
則，
令，則，
則，
又由得，平面的一個法向量，
所以，
解得或（舍），
故，
則三棱錐的體積.
20. 2023年高考分數(shù)公布后，經(jīng)過相關(guān)部門的計算，本次高考總分不低于680的同學(xué)可以獲得高校的“強基計劃”入圍資格．經(jīng)統(tǒng)計甲班和乙班分別有3名和4名學(xué)生獲得高校的“強基計劃”入圍資格，而且甲班和乙班高考分數(shù)高于690分的學(xué)生分別有1名和2名．高校的“強基計劃”?？挤譃閮奢啠谝惠啚楣P試，所有入圍同學(xué)都要參加，考試科目為數(shù)學(xué)和物理，每科的筆試成績從高到低依次有，，三個等級，兩科中至少有一科得到，且兩科均不低于，才能進入第二輪．已知入圍的同學(xué)參加第一輪筆試時，總分高于690分的同學(xué)在每科筆試中取得，，的概率分別為，，；總分不高于690分的同學(xué)在每科筆試中取得，，的概率分別為，，；進入第二輪的同學(xué)，若兩科筆試成績均為，則免面試，并被高校提前錄??；若兩科筆試成績只有一個，則要參加面試，總分高于690分的同學(xué)面試“通過”的概率為，總分不高于690分的同學(xué)面試“通過”的概率為，面試“通過”的同學(xué)也將被高校提前錄?。艏?、乙兩個班本次高考總分不低于680的同學(xué)都報考了高校的“強基計劃”．
（1）分別求出總分高于690分的某位學(xué)生進入第二輪的概率以及該生被高校提前錄取的概率；
（2）從甲、乙兩班隨機抽取一個班，再從該班獲得高效的“強基計劃”入圍資格的學(xué)生中隨機抽取2位學(xué)生，求這兩位同學(xué)都通過“強基計劃”被高校提前錄取的概率．
【答案】（1）總分高于690分的某位學(xué)生進入第二輪的概率為；該生被高校提前錄取的概率為
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用相互獨立事件概率乘法公式和互斥事件概率計算公式即可求得結(jié)果；
（2）分別求出總分不高于690分和總分高于690分的學(xué)生被高校提前錄取的概率，再分別求出甲班和乙班各隨機抽取2名學(xué)生被高校提前錄取的概率，從而利用互斥事件概率公式即可求得結(jié)果.
【小問1詳解】
總分高于690分的某位學(xué)生進入第二輪,記為事件A，
所以，
總分高于690分的某位學(xué)生被高校提前錄取，記為事件B，
所以.
【小問2詳解】
總分不高于690分的某位學(xué)生被高校提前錄取，記為事件C，
所以，
從甲班獲得高效的“強基計劃”入圍資格的學(xué)生中隨機抽取2位學(xué)生，且這兩位同學(xué)都通過“強基計劃”被高校提前錄取，記為事件E，
，
從乙班獲得高效的“強基計劃”入圍資格的學(xué)生中隨機抽取2位學(xué)生，且這兩位同學(xué)都通過“強基計劃”被高校提前錄取，記為事件F，
，
故所求概率.
21. 已知斜率為1的直線與橢圓：交于，兩點，線段的中點為．
（1）求的離心率；
（2）設(shè)的左焦點為，若，求過，，三點的圓的方程．
【答案】21.
22.
【解析】
【分析】（1）中點弦的問題可以考慮“點差法”解決.
（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系列出，的值，再利用求出，，的值.確定點，，的坐標，再利用待定系數(shù)法求三角形的外接圓.
【小問1詳解】
設(shè)，，則
又，，所以，又.
【小問2詳解】
直線方程為，橢圓的方程可寫為：.
聯(lián)立方程，消去得：
則：，，.
又
所以：
解得：
故可令得，.
所以，，.
設(shè)過這三點的圓的方程為：
由：解得：.
故所求圓的方程為：.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：解析幾何的題目，關(guān)于字母的有關(guān)運算非常的麻煩，一定要認真、仔細的計算.
22. 已知函數(shù)．
（1）證明：當時，；當時，．
（2）正項數(shù)列滿足：，，證明：
（i）數(shù)列遞減；
（ii）．
【答案】（1）證明見詳解
（2）證明見詳解
【解析】
【分析】（1）先證明，繼而可得結(jié)論.
（2）（i）要證數(shù)列遞減，只證，即證，換元后，利用導(dǎo)數(shù)證明即可；（ii）先證，繼而得，則，根據(jù)條件，求和即可.
【小問1詳解】
設(shè)，
則，
令得，
令得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則，
即，
則當時，即；
時，即.
【小問2詳解】
（i）因為數(shù)列各項為正，
要證數(shù)列遞減，只需證明，
即證，又，
所以即證，
令，
不等式化為，
設(shè)，
則，恒成立，
故在上單調(diào)遞增，
則恒成立，
即在上恒成立，
則原命題得證.
（ii）先證明：，
即證，
設(shè)，
則
，
所以在上單調(diào)遞增，
則，則所證不等式成立.
又，，
所以，，
所以，，
則當時，
，
又當時，
，
故成立.
【點睛】本題第一問的關(guān)鍵點是：先證明，繼而分和，變化不等式，可得到結(jié)論；本題第二問的關(guān)鍵是（i）：構(gòu)造不等式，不等式化為，
利用換元法，設(shè)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明；（ii）先證明，繼而得到，，再結(jié)合等比數(shù)列的前和求解.

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