1、多加總結(jié)。當(dāng)三年所有的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)加在一起，可能會(huì)使有些基礎(chǔ)不牢固的學(xué)生犯迷糊。
2、做題經(jīng)驗(yàn)。哪怕同一題只改變數(shù)字，也能成為一道新的題目。
3、多刷錯(cuò)題。多刷錯(cuò)題能夠進(jìn)一步地掃清知識(shí)盲區(qū)，多加鞏固之后自然也就掌握了知識(shí)點(diǎn)。
對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，三輪復(fù)習(xí)就相當(dāng)于是最后的“救命稻草”，家長(zhǎng)們同樣是這樣，不要老是去責(zé)怪孩子考試成績(jī)不佳，相反，更多的來(lái)說(shuō)，如果能夠陪同孩子去反思成績(jī)不佳的原因，找到問題的癥結(jié)所在，更加重要。
【一專三練】 專題04 概率統(tǒng)計(jì)與期望方差分布列大題壓軸練-新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)分層訓(xùn)練（新高考通用）
1．（2023秋·浙江·高三校聯(lián)考期末）抽屜中裝有5雙規(guī)格相同的筷子，其中2雙是一次性筷子，3雙是非一次性筷子，每次使用筷子時(shí)，從抽屜中隨機(jī)取出1雙，若取出的是一次性筷子，則使用后直接丟棄，若取出的是非一次性筷子，則使用后經(jīng)過清洗再次放入抽屜中，求：
(1)在第2次取出的是非一次性筷子的條件下，第1次取出的是一次性筷子的概率；
(2)取了3次后，取出的一次性筷子的個(gè)數(shù)（雙）的分布列及數(shù)學(xué)期望；
(3)取了，…）次后，所有一次性筷子剛好全部取出的概率．
【答案】(1)
(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為
(3)答案見解析
【分析】（1）運(yùn)用條件概率公式計(jì)算；
（2）按照獨(dú)立事件計(jì)算；
（3）運(yùn)用獨(dú)立事件的概率乘法公式結(jié)合等比數(shù)列求和計(jì)算即可.
【詳解】（1）設(shè)取出的是第一次是一次性筷子為事件A，取出的是第二次非一次性筷子為事件B，
則 ， ，
所以在第二次是非一次性筷子的前提下，第一次是一次性筷子的概率 ；
（2）對(duì)于 ，表示三次都是非一次性筷子，非一次性筷子是由放回的， ；
對(duì)于，表示三次中有一次筷子，對(duì)應(yīng)的情況有第一次，第二次，第三次是一次性筷子，
；
對(duì)于 ，表示三次中有一次是非一次性筷子，同樣有第一次第二次第三次之分，
；

數(shù)學(xué)期望 ；
（3）n次取完表示最后一次是一次性筷子,則前次中有一次取得一次性筷子，
所以

2．（2022·江蘇南京·南京市江寧高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）2022年2月6日，中國(guó)女足在兩球落后的情況下，以3比2逆轉(zhuǎn)擊敗韓國(guó)女足，成功奪得亞洲杯冠軍，在之前的半決賽中，中國(guó)女足通過點(diǎn)球大戰(zhàn)驚險(xiǎn)戰(zhàn)勝日本女足，其中門將朱鈺兩度撲出日本隊(duì)員的點(diǎn)球，表現(xiàn)神勇．
(1)撲點(diǎn)球的難度一般比較大，假設(shè)罰點(diǎn)球的球員會(huì)等可能地隨機(jī)選擇球門的左、中、右三個(gè)方向射門，門將也會(huì)等可能地隨機(jī)選擇球門的左、中、右三個(gè)方向來(lái)?yè)潼c(diǎn)球，而且門將即使方向判斷正確也有的可能性撲不到球．不考慮其它因素，在一次點(diǎn)球大戰(zhàn)中，求門將在前三次撲出點(diǎn)球的個(gè)數(shù)X的分布列和期望；
(2)好成績(jī)的取得離不開平時(shí)的努力訓(xùn)練，甲、乙、丙、丁4名女足隊(duì)員在某次傳接球的訓(xùn)練中，球從甲腳下開始，等可能地隨機(jī)傳向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機(jī)傳向另外3人中的1人，如此不停地傳下去，假設(shè)傳出的球都能接?。浀趎次傳球之前球在甲腳下的概率為，易知．
①試證明為等比數(shù)列；
②設(shè)第n次傳球之前球在乙腳下的概率為，比較與的大小．
【答案】(1)分布列見解析，
(2)①證明見解析；②
【分析】（1）先計(jì)算門將每次可以撲出點(diǎn)球的概率，再列出其分布列，進(jìn)而求得數(shù)學(xué)期望；
（2）遞推求解，記第n次傳球之前球在甲腳下的概率為，則當(dāng)時(shí)，第次傳球之前球在甲腳下的概率為，滿足.
【詳解】（1）解析1：分布列與期望
依題意可得，門將每次可以撲出點(diǎn)球的概率為，
門將在前三次撲出點(diǎn)球的個(gè)數(shù)X可能的取值為0，1，2，3，
，，
，，X的分布列為：
期望．
（1）解析2：二項(xiàng)分布
依題意可得，門將每次可以撲出點(diǎn)球的概率為，門將在前三次撲出點(diǎn)球的個(gè)數(shù)X可能的取值為0，1，2，3，易知，，．X的分布列為：
期望．
（2）解析：遞推求解
①第n次傳球之前球在甲腳下的概率為，則當(dāng)時(shí)，第次傳球之前球在甲腳下的概率為，
第次傳球之前球不在甲腳下的概率為，則，
從而，又，∴是以為首項(xiàng)．公比為的等比數(shù)列．
②由①可知，，，故．
3．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中學(xué)?？奸_學(xué)考試）中國(guó)在第75屆聯(lián)合國(guó)大會(huì)上承諾，將采取更加有力的政策和措施，力爭(zhēng)于2030年之前使二氧化碳的排放達(dá)到峰值，努力爭(zhēng)取2060年之前實(shí)現(xiàn)碳中和（簡(jiǎn)稱“雙碳目標(biāo)”），此舉展現(xiàn)了我國(guó)應(yīng)對(duì)氣候變化的堅(jiān)定決心，預(yù)示著中國(guó)經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)和經(jīng)濟(jì)社會(huì)運(yùn)轉(zhuǎn)方式將產(chǎn)生深刻變革，極大促進(jìn)我國(guó)產(chǎn)業(yè)鏈的清潔化和綠色化.新能源汽車?電動(dòng)汽車是重要的戰(zhàn)略新興產(chǎn)業(yè)，對(duì)于實(shí)現(xiàn)“雙碳目標(biāo)”具有重要的作用.為了解某一地區(qū)電動(dòng)汽車銷售情況，一機(jī)構(gòu)根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，用最小二乘法得到電動(dòng)汽車銷量（單位：萬(wàn)臺(tái)）關(guān)于（年份）的線性回歸方程為，且銷量的方差為，年份的方差為.
(1)求與的相關(guān)系數(shù)，并據(jù)此判斷電動(dòng)汽車銷量與年份的相關(guān)性強(qiáng)弱；
(2)該機(jī)構(gòu)還調(diào)查了該地區(qū)90位購(gòu)車車主的性別與購(gòu)車種類情況，得到的數(shù)據(jù)如下表：
依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為購(gòu)買電動(dòng)汽車與車主性別有關(guān)；
(3)在購(gòu)買電動(dòng)汽車的車主中按照性別進(jìn)行分層抽樣抽取7人，再?gòu)倪@7人中隨機(jī)抽取3人，記這3人中，男性的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
①參考數(shù)據(jù)：；
②參考公式：（i）線性回歸方程：，其中；
（ii）相關(guān)系數(shù)：，若，則可判斷與線性相關(guān)較強(qiáng).
（iii），其中.附表：
【答案】(1)，與線性相關(guān)較強(qiáng)
(2)認(rèn)為購(gòu)買電動(dòng)汽車與車主性別有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于
(3)分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：
【分析】(1)利用相關(guān)系數(shù)的求解公式，并轉(zhuǎn)化為和方差之間的關(guān)系，代入計(jì)算即可；
（2）直接利用獨(dú)立性檢驗(yàn)公式求出，根據(jù)零點(diǎn)假設(shè)定理判斷購(gòu)買電動(dòng)汽車與車主性別是否有關(guān)；
(3)采用分層抽樣先得出男性車主和女性車主的選取人數(shù)，得出可能取值0,1,2，分別求出對(duì)應(yīng)概率，即可得的分布列，再結(jié)合期望公式，即可求解.
【詳解】（1）（1）相關(guān)系數(shù)為
故與線性相關(guān)較強(qiáng).
（2）零假設(shè)為：購(gòu)買電動(dòng)汽車與車主性別相互獨(dú)立，
即購(gòu)買電動(dòng)汽車與車主性別無(wú)關(guān).
所以依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，
即認(rèn)為購(gòu)買電動(dòng)汽車與車主性別有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于.
（3）抽樣比，男性車主選取2人，女性車主選取5人，則的可能取值為故
,,
故的分布列為：
4．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）2022年卡塔爾世界杯決賽圈共有32隊(duì)參加，其中歐洲球隊(duì)有13支，分別是德國(guó)、丹麥、法國(guó)、西班牙、英格蘭、克羅地亞、比利時(shí)、荷蘭、塞爾維亞、瑞士、葡萄牙、波蘭、威爾士．世界杯決賽圈賽程分為小組賽和淘汰賽，當(dāng)進(jìn)入淘汰賽階段時(shí)，比賽必須要分出勝負(fù)．淘汰賽規(guī)則如下：在比賽常規(guī)時(shí)間90分鐘內(nèi)分出勝負(fù)，比賽結(jié)束，若比分相同，則進(jìn)入30分鐘的加時(shí)賽．在加時(shí)賽分出勝負(fù)，比賽結(jié)束，若加時(shí)賽比分依然相同，就要通過點(diǎn)球大戰(zhàn)來(lái)分出最后的勝負(fù)．點(diǎn)球大戰(zhàn)分為2個(gè)階段．第一階段：前5輪雙方各派5名球員，依次踢點(diǎn)球，以5輪的總進(jìn)球數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn)（非必要無(wú)需踢滿5輪），前5輪合計(jì)踢進(jìn)點(diǎn)球數(shù)更多的球隊(duì)獲得比賽的勝利．第二階段：如果前5輪還是平局，進(jìn)入“突然死亡”階段，雙方依次輪流踢點(diǎn)球，如果在該階段一輪里，雙方都進(jìn)球或者雙方都不進(jìn)球，則繼續(xù)下一輪，直到某一輪里，一方罰進(jìn)點(diǎn)球，另一方?jīng)]罰進(jìn)，比賽結(jié)束，罰進(jìn)點(diǎn)球的一方獲得最終的勝利．
下表是2022年卡塔爾世界杯淘汰賽階段的比賽結(jié)果：
注：“阿根廷法國(guó)”表示阿根廷與法國(guó)在常規(guī)比賽及加時(shí)賽的比分為，在點(diǎn)球大戰(zhàn)中阿根廷戰(zhàn)勝法國(guó)．
(1)請(qǐng)根據(jù)上表估計(jì)在世界杯淘汰賽階段通過點(diǎn)球大戰(zhàn)分出勝負(fù)的概率．
(2)根據(jù)題意填寫下面的列聯(lián)表，并通過計(jì)算判斷是否能在犯錯(cuò)的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為“32支決賽圈球隊(duì)闖入8強(qiáng)”與是否為歐洲球隊(duì)有關(guān)．
(3)若甲、乙兩隊(duì)在淘汰賽相遇，經(jīng)過120分鐘比賽未分出勝負(fù)，雙方進(jìn)入點(diǎn)球大戰(zhàn)．已知甲隊(duì)球員每輪踢進(jìn)點(diǎn)球的概率為p，乙隊(duì)球員每輪踢進(jìn)點(diǎn)球的概率為，求在點(diǎn)球大戰(zhàn)中，兩隊(duì)前2輪比分為的條件下，甲隊(duì)在第一階段獲得比賽勝利的概率（用p表示）．
參考公式：
【答案】(1)
(2)分布列見解析，不能
(3)
【分析】(1)根據(jù)古典概型概率公式求解；
(2)由條件數(shù)據(jù)填寫列聯(lián)表，提出零假設(shè)，計(jì)算，比較其與臨界值的大小，確定是否接受假設(shè)；
(3)根據(jù)實(shí)際比賽進(jìn)程，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式，獨(dú)立事件概率公式和互斥事件概率公式求概率.
【詳解】（1）由題意知卡塔爾世界杯淘汰賽共有16場(chǎng)比賽，其中有5場(chǎng)比賽通過點(diǎn)球大戰(zhàn)決出勝負(fù)，
所以估計(jì)在世界杯淘汰賽階段通過點(diǎn)球大戰(zhàn)分出勝負(fù)的概率；
（2）下面為列聯(lián)表：
零假設(shè)支決賽圈球隊(duì)闖入8強(qiáng)與是否為歐洲球隊(duì)無(wú)關(guān)．
．
根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷不成立，
即不能在犯錯(cuò)的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為“決賽圈球隊(duì)闖入8強(qiáng)”與是否為歐洲球隊(duì)有關(guān)．
（3）根據(jù)實(shí)際比賽進(jìn)程，假定點(diǎn)球大戰(zhàn)中由甲隊(duì)先踢．兩隊(duì)前2輪比分為的條件下，甲在第一階段獲得比賽勝利，則后3輪有5種可能的比分，．
當(dāng)后3輪比分為時(shí)，甲乙兩隊(duì)均需踢滿5輪，．
當(dāng)后3輪比分為時(shí)，有如下3種情況：
則．
當(dāng)后3輪比分為時(shí)，有如下6種情況：
則．
當(dāng)后3輪比分為時(shí)，有如下2種情況：
則
當(dāng)后3輪比分為時(shí)，有如下1種情況：
則．
綜上，在點(diǎn)球大戰(zhàn)中兩隊(duì)前2輪比分為的條件下，甲在第一階段獲得比賽勝利的概率.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：有關(guān)古典概型的概率問題，關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)．
（1）基本事件總數(shù)較少時(shí)，用列舉法把所有基本事件一一列出時(shí)，要做到不重復(fù)、不遺漏，可借助“樹狀圖”列舉；
（2）注意區(qū)分排列與組合，以及計(jì)數(shù)原理的正確使用.
5．（2022秋·江蘇常州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）汽車尾氣排放超標(biāo)是全球變暖、海平面上升的重要因素．我國(guó)近幾年著重強(qiáng)調(diào)可持續(xù)發(fā)展，加大在新能源項(xiàng)目的支持力度，積極推動(dòng)新能源汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展，某汽車制造企業(yè)對(duì)某地區(qū)新能源汽車的銷售情況進(jìn)行調(diào)查，得到下面的統(tǒng)計(jì)表：
(1)統(tǒng)計(jì)表明銷量與年份代碼有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，求關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)該地區(qū)新能源汽車的銷量最早在哪一年能突破50萬(wàn)輛；
(2)為了解購(gòu)車車主的性別與購(gòu)車種類（分為新能源汽車與傳統(tǒng)燃油汽車）的情況，該企業(yè)心隨機(jī)調(diào)查了該地區(qū)200位購(gòu)車車主的購(gòu)車情況作為樣本其中男性車主中購(gòu)置傳統(tǒng)燃油汽車的有名，購(gòu)置新能源汽車的有45名，女性車主中有20名購(gòu)置傳統(tǒng)燃油汽車．
①若，將樣本中購(gòu)置新能源汽車的性別占比作為概率，以樣本估計(jì)總體，試用（1）中的線性回歸方程預(yù)測(cè)該地區(qū)2023年購(gòu)置新能源汽車的女性車主的人數(shù)（假設(shè)每位車主只購(gòu)買一輛汽車，結(jié)果精確到千人）；
②設(shè)男性車主中購(gòu)置新能源汽車的概率為，將樣本中的頻率視為概率，從被調(diào)查的所有男性車主中隨機(jī)抽取5人，記恰有3人購(gòu)置新能源汽車的概率為，求當(dāng)為何值時(shí)，最大．
附： 為回歸方程，，．
【答案】(1)，2028年
(2)①萬(wàn)人；②
【分析】（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，結(jié)合線性回歸的公式求解方程，再令求解即可；
（2）①計(jì)算該地區(qū)購(gòu)置新能源汽車的車主中女性車主的頻數(shù)與總?cè)藬?shù)求解即可；
②根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式可得，再求導(dǎo)分析的最大值即可.
【詳解】（1）解：由題意得 ，，
，．
所以，．
所以關(guān)于的線性回歸方程為，令，得，
所以最小的整數(shù)為12，，
所以該地區(qū)新能源汽車的銷量最早在2028年能突破50萬(wàn)輛．
（2）解：①由題意知，該地區(qū)200名購(gòu)車者中女性有名，
故其中購(gòu)置新能源汽車的女性車主的有名．
所購(gòu)置新能源汽車的車主中，女性車主所占的比例為．
所以該地區(qū)購(gòu)置新能源汽車的車主中女性車主的概率為．
預(yù)測(cè)該地區(qū)2023年購(gòu)置新能源汽車的銷量為33萬(wàn)輛，
因此預(yù)測(cè)該地區(qū)2020年購(gòu)置新能源汽車的女性車主的人數(shù)為萬(wàn)人
②由題意知，，則
當(dāng)時(shí)，知所以函數(shù)單調(diào)遞增
當(dāng)時(shí)，知所以函數(shù)單調(diào)遞減
所以當(dāng)取得最大值．
此時(shí)，解得，所以當(dāng)時(shí)取得最大值．
6．（2022秋·江蘇南通·高三校考期中）核酸檢測(cè)也就是病毒DNA和RNA的檢測(cè)，是目前病毒檢測(cè)最先進(jìn)的檢驗(yàn)方法，在臨床上主要用于新型冠狀乙肝、丙肝和艾滋病的病毒檢測(cè).通過核酸檢測(cè)，可以檢測(cè)血液中是否存在病毒核酸，以診斷機(jī)體有無(wú)病原體感染.某研究機(jī)構(gòu)為了提高檢測(cè)效率降低檢測(cè)成本，設(shè)計(jì)了如下試驗(yàn)，預(yù)備12份試驗(yàn)用血液標(biāo)本，其中2份陽(yáng)性，10份陰性，從標(biāo)本中隨機(jī)取出n份分為一組，將樣本分成若干組，從每一組的標(biāo)本中各取部分，混合后檢測(cè)，若結(jié)果為陰性，則判定該組標(biāo)本均為陰性，不再逐一檢測(cè)；若結(jié)果為陽(yáng)性，需對(duì)該組標(biāo)本逐一檢測(cè).以此類推，直到確定所有樣本的結(jié)果.若每次檢測(cè)費(fèi)用為a元，記檢測(cè)的總費(fèi)用為X元.
(1)當(dāng)n=3時(shí)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
(2)比較n=3與n=4兩種方案哪一個(gè)更好，說(shuō)明理由.
【答案】(1)分布列見解析，
(2)效果好，理由見解析
【分析】(1)2分陽(yáng)性在一組，檢測(cè)7次，各一組，檢測(cè)10次，寫出的所有可能值，求出對(duì)應(yīng)的概率即可求解；
(2)由(1)的思路求出檢測(cè)總費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望并比較大小即可得解.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，共分4組，
當(dāng)2份陽(yáng)性在一組，第一輪檢測(cè)4次，第二輪檢測(cè)3次，共檢測(cè)7次，
若2分陽(yáng)性各在一組，第一輪檢測(cè)4次，第二輪檢測(cè)6次，共檢測(cè)10次，
所以檢測(cè)的總費(fèi)用的所有可能值為，任意檢測(cè)有種等可能結(jié)果，2分陽(yáng)性在一組有種等可能結(jié)果，
，，
所以檢測(cè)的總費(fèi)用的分布列為：
的數(shù)學(xué)期望，
（2）當(dāng)時(shí)，共分3組，當(dāng)2份陽(yáng)性在一組，共檢測(cè)7次，若2分陽(yáng)性各在一組，共檢測(cè)11次，檢測(cè)的總費(fèi)用的所有可能值為，任意檢測(cè)有種等可能結(jié)果，2份陽(yáng)性在一組有種等可能結(jié)果，
所以，，
所以檢測(cè)的總費(fèi)用的分布列為：
的數(shù)學(xué)期望,
所以時(shí)的方案更好一些.
7．（2023秋·遼寧·高三校聯(lián)考期末）2022年冬奧會(huì)由北京和張家口聯(lián)合舉辦，其中冰壺比賽在改造一新的水立方進(jìn)行.女子冰壺比賽由來(lái)自全球的十支最優(yōu)秀的隊(duì)伍參加，中國(guó)女子冰壺隊(duì)作為東道主對(duì)奧運(yùn)冠軍發(fā)起沖擊.奧運(yùn)會(huì)冰壺比賽將分為循環(huán)賽?淘汰賽和決賽三部分，其中循環(huán)賽前三名晉級(jí)淘汰賽.在淘汰賽中，循環(huán)賽第一和第二的兩支隊(duì)伍先進(jìn)行一場(chǎng)比賽，勝者晉級(jí)最后的決賽，負(fù)者與循環(huán)賽第三名再進(jìn)行一場(chǎng)比賽，勝者晉級(jí)決賽，敗者即為本屆比賽的第三名.決賽決出比賽的第一名與第二名.
(1)循環(huán)賽進(jìn)行九輪比賽，每支隊(duì)伍都需要與其余九支隊(duì)伍各進(jìn)行一場(chǎng)比賽.中國(guó)隊(duì)的主要對(duì)手包括加拿大隊(duì)?瑞士隊(duì)?瑞典隊(duì)?英國(guó)隊(duì).若循環(huán)賽的賽程完全隨機(jī)排列，則中國(guó)隊(duì)在前六輪之內(nèi)完成與主要對(duì)手交鋒的概率是多少？
(2)若中國(guó)隊(duì)以循環(huán)賽第二名的成績(jī)進(jìn)入淘汰賽，同時(shí)進(jìn)入淘汰賽的還有排名第一的加拿大隊(duì)和排名第三的瑞士隊(duì).過往戰(zhàn)績(jī)表明，中國(guó)隊(duì)與加拿大隊(duì)對(duì)戰(zhàn)獲勝的概率為40%，與瑞士隊(duì)對(duì)戰(zhàn)獲勝的概率為60%，加拿大隊(duì)?wèi)?zhàn)勝瑞士隊(duì)的概率為70%.假定每場(chǎng)比賽勝負(fù)的概率獨(dú)立.若以隨機(jī)變量X表示中國(guó)隊(duì)最終獲得的名次，求其分布列和數(shù)學(xué)期望.
【答案】(1)
(2)分布列見解析，期望為名
【分析】（1）利用排列組合的計(jì)數(shù)法，分別求出中國(guó)隊(duì)的九個(gè)對(duì)手在前六輪的排布情況數(shù)與主要對(duì)手出在前六輪的排布情況數(shù)，從而利用古典概型的概率求法求解即可；
（2）先根據(jù)題意得到的可能取值，再分析中國(guó)隊(duì)取得對(duì)應(yīng)名次所經(jīng)歷的比賽場(chǎng)次，從而得到對(duì)應(yīng)的概率，進(jìn)而得到的分布列，由此求得的數(shù)學(xué)期望.
【詳解】（1）依題意，中國(guó)隊(duì)的九個(gè)對(duì)手在前六輪的排布情況總數(shù)為，若四個(gè)主要對(duì)手都出現(xiàn)在前六輪交鋒，則前六輪的排布情況為，
所以中國(guó)隊(duì)在前六輪之內(nèi)完成與主要對(duì)手交鋒的概率為.
（2）依題意，的可能取值為，
則，
，
，
所以的分布列如下：
所以的數(shù)學(xué)期望為（名）.
8．（2023·江蘇宿遷·江蘇省沭陽(yáng)高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）為豐富學(xué)生課外生活，某市組織了高中生鋼筆書法比賽，比賽分兩個(gè)階段進(jìn)行：第一階段由評(píng)委給出所有參賽作品評(píng)分，并確定優(yōu)勝者；第二階段為附加賽，參賽人員由組委會(huì)按規(guī)則另行確定.數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)員對(duì)第一階段的分?jǐn)?shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析，這些分?jǐn)?shù)都在內(nèi)，在以組距為5畫分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖（設(shè)“”)時(shí)，發(fā)現(xiàn)滿足.
（1）試確定的所有取值，并求；
（2）組委會(huì)確定：在第一階段比賽中低于85分的參賽者無(wú)緣獲獎(jiǎng)也不能參加附加賽；分?jǐn)?shù)在的參賽者評(píng)為一等獎(jiǎng)；分?jǐn)?shù)在的同學(xué)評(píng)為二等獎(jiǎng)，但通過附加賽有的概率提升為一等獎(jiǎng)；分?jǐn)?shù)在的同學(xué)評(píng)為三等獎(jiǎng)，但通過附加賽有的概率提升為二等獎(jiǎng)（所有參加附加賽的獲獎(jiǎng)人員均不降低獲獎(jiǎng)等級(jí)）.已知學(xué)生和均參加了本次比賽，且學(xué)生在第一階段評(píng)為二等獎(jiǎng).
（）求學(xué)生最終獲獎(jiǎng)等級(jí)不低于學(xué)生的最終獲獎(jiǎng)等級(jí)的概率；
（）已知學(xué)生和都獲獎(jiǎng)，記兩位同學(xué)最終獲得一等獎(jiǎng)的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【答案】（1）；（2）（）；（）分布列見解析，.
【分析】（1）在內(nèi)，按組距為5可分成6個(gè)小區(qū)間，分別是,,，，，.由，，能求出的所有取值和；
（2）（）由于參賽學(xué)生很多，可以把頻率視為概率.學(xué)生的分?jǐn)?shù)屬于區(qū)間，，，，，的概率分別是，，，，，.用符號(hào)或（）表示學(xué)生 （或）在第一輪獲獎(jiǎng)等級(jí)為，通過附加賽最終獲獎(jiǎng)等級(jí)為，其中，記“學(xué)生最終獲獎(jiǎng)等級(jí)不低于學(xué)生的最終獲獎(jiǎng)等級(jí)”為事件，由此能求出學(xué)生最終獲獎(jiǎng)等級(jí)不低于學(xué)生的最終獲獎(jiǎng)等級(jí)的概率；
（）學(xué)生最終獲得一等獎(jiǎng)的概率是，學(xué)生最終獲得一等獎(jiǎng)的概率是，的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，求出的分布列和.
【詳解】（1）根據(jù)題意，在內(nèi)，按組距為5可分成6個(gè)小區(qū)間，
分別是，
，
由，.
每個(gè)小區(qū)間的頻率值分別是.
由，解得.
的所有取值為，.
（2）（）由于參賽學(xué)生很多，可以把頻率視為概率.
由（1）知，學(xué)生的分?jǐn)?shù)屬于區(qū)間的概率分別是：，，，，，.
我們用符號(hào)（或)表示學(xué)生（或）在第一輪獲獎(jiǎng)等級(jí)為，通過附加賽最終獲獎(jiǎng)等級(jí)為，其中.
記“學(xué)生最終獲獎(jiǎng)等級(jí)不低于學(xué)生的最終獲獎(jiǎng)等級(jí)”為事件，
則
.
（）學(xué)生最終獲得一等獎(jiǎng)的概率是，
學(xué)生最終獲得一等獎(jiǎng)的概率是，
，
，
，
的分布列為：
.
【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖、條件概率、離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望，考查學(xué)生的邏輯思維能力和運(yùn)算能力，屬于難題.
9．（2023·河北衡水·衡水市第二中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）某游戲中的角色“突擊者”的攻擊有一段冷卻時(shí)間（即發(fā)動(dòng)一次攻擊后需經(jīng)過一段時(shí)間才能再次發(fā)動(dòng)攻擊）.其擁有兩個(gè)技能，技能一是每次發(fā)動(dòng)攻擊后有的概率使自己的下一次攻擊立即冷卻完畢并直接發(fā)動(dòng)，該技能可以連續(xù)觸發(fā)，從而可能連續(xù)多次跳過冷卻時(shí)間持續(xù)發(fā)動(dòng)攻擊；技能二是每次發(fā)動(dòng)攻擊時(shí)有的概率使得本次攻擊以及接下來(lái)的攻擊的傷害全部變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，但是多次觸發(fā)時(shí)效果不可疊加（相當(dāng)于多次觸發(fā)技能二時(shí)僅得到第一次觸發(fā)帶來(lái)的2倍傷害加成）.每次攻擊發(fā)動(dòng)時(shí)先判定技能二是否觸發(fā)，再判定技能一是否觸發(fā).發(fā)動(dòng)一次攻擊并連續(xù)多次觸發(fā)技能一而帶來(lái)的連續(xù)攻擊稱為一輪攻擊，造成的總傷害稱為一輪攻擊的傷害.假設(shè)“突擊者”單次攻擊的傷害為1，技能一和技能二的各次觸發(fā)均彼此獨(dú)立：
(1)當(dāng)“突擊者”發(fā)動(dòng)一輪攻擊時(shí)，記事件A為“技能一和技能二的觸發(fā)次數(shù)之和為2”，事件B為“技能一和技能二各觸發(fā)1次”，求條件概率
(2)設(shè)n是正整數(shù)，“突擊者”一輪攻擊造成的傷害為的概率記為，求.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）分析試驗(yàn)過程，分別求出和，利用條件概率的公式直接計(jì)算；
（2）分析 “突擊者”一輪攻擊造成的傷害為,分為：i.進(jìn)行次，均不觸發(fā)技能二；前面的次觸發(fā)技能一，最后一次不觸發(fā)技能一；ii.第一次觸發(fā)技能二，然后的次觸發(fā)技能一，第次未觸發(fā)技能一；iii. 前面的次未觸發(fā)技能二，然后接著的第次觸發(fā)技能二；前面的觸發(fā)技能一，第次未觸發(fā)技能一. 分別求概率.即可求出.
【詳解】（1）兩次攻擊，分成下列情況：i.第一次攻擊，技能一和技能二均觸發(fā)，第二次攻擊，技能一和技能二均未觸發(fā)；ii .第一次攻擊，技能一觸發(fā)，技能二未觸發(fā)，第二次攻擊，技能二觸發(fā)，技能一未觸發(fā)；iii. 第一、二次攻擊，技能一觸發(fā)，技能二未觸發(fā)，第三次攻擊，技能一、二未觸發(fā)；
所以.
.
所以.
（2）“突擊者”一輪攻擊造成的傷害為,分為：
i. 記事件D：進(jìn)行次，均不觸發(fā)技能二；前面的次觸發(fā)技能一，最后一次不觸發(fā)技能一.其概率為：
ii. 記事件E：第一次觸發(fā)技能二，然后的次觸發(fā)技能一，第次未觸發(fā)技能一.其概率為：
iii. 記事件：前面的次未觸發(fā)技能二，然后接著的第次觸發(fā)技能二；前面的觸發(fā)技能一，第次未觸發(fā)技能一. 其概率為：
，
則事件彼此互斥，記，
所以
.
所以
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：這道題關(guān)鍵的地方是題意的理解，文字較多，要明白一輪攻擊中含多次攻擊，每次攻擊判斷技能的觸發(fā)，在第二問中需要分多種情況進(jìn)行討論，然后用互斥事件的概率計(jì)算公式進(jìn)行求解
10．（2023春·福建南平·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在上海舉辦的第五屆中國(guó)國(guó)際進(jìn)口博覽會(huì)中，硬幣大小的無(wú)導(dǎo)線心臟起搏器引起廣大參會(huì)者的關(guān)注．這種起搏器體積只有傳統(tǒng)起搏器的，其無(wú)線充電器的使用更是避免了傳統(tǒng)起搏器囊袋及導(dǎo)線引發(fā)的相關(guān)并發(fā)癥．在起搏器研發(fā)后期，某企業(yè)快速啟動(dòng)無(wú)線充電器主控芯片試生產(chǎn)，試產(chǎn)期同步進(jìn)行產(chǎn)品檢測(cè)，檢測(cè)包括智能檢測(cè)與人工抽檢．智能檢測(cè)在生產(chǎn)線上自動(dòng)完成，包含安全檢測(cè)、電池檢測(cè)、性能檢測(cè)等三項(xiàng)指標(biāo)，人工抽檢僅對(duì)智能檢測(cè)三項(xiàng)指標(biāo)均達(dá)標(biāo)的產(chǎn)品進(jìn)行抽樣檢測(cè)，且僅設(shè)置一個(gè)綜合指標(biāo)，四項(xiàng)指標(biāo)均達(dá)標(biāo)的產(chǎn)品才能視為合格品．已知試產(chǎn)期的產(chǎn)品，智能檢測(cè)三項(xiàng)指標(biāo)的達(dá)標(biāo)率約為，，，設(shè)人工抽檢的綜合指標(biāo)不達(dá)標(biāo)率為（）．
(1)求每個(gè)芯片智能檢測(cè)不達(dá)標(biāo)的概率；
(2)人工抽檢30個(gè)芯片，記恰有1個(gè)不達(dá)標(biāo)的概率為，求的極大值點(diǎn)；
(3)若芯片的合格率不超過，則需對(duì)生產(chǎn)工序進(jìn)行改良．以（2）中確定的作為p的值，判斷該企業(yè)是否需對(duì)生產(chǎn)工序進(jìn)行改良．
【答案】(1)
(2)
(3)該企業(yè)需對(duì)生產(chǎn)工序進(jìn)行改良，理由見解析
【分析】（1）設(shè)每個(gè)芯片智能檢測(cè)中安全檢測(cè)、電池檢測(cè)、性能檢測(cè)三項(xiàng)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率分別記為，，，并記芯片智能檢測(cè)不達(dá)標(biāo)為事件，視指標(biāo)的達(dá)標(biāo)率為任取一件新產(chǎn)品，該項(xiàng)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率，根據(jù)對(duì)立事件的性質(zhì)及事件獨(dú)立性的定義即可求解；
（2）根據(jù)條件得到（），利用導(dǎo)數(shù)對(duì)進(jìn)行討論即可；
（3）設(shè)芯片人工抽檢達(dá)標(biāo)為事件，工人在流水線進(jìn)行人工抽檢時(shí)，抽檢一個(gè)芯片恰為合格品為事件，根據(jù)條件概率得到，再由乘法公式得到，即可判斷.
【詳解】（1）每個(gè)芯片智能檢測(cè)中安全檢測(cè)、電池檢測(cè)、性能檢測(cè)三項(xiàng)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率分別記為，，，并記芯片智能檢測(cè)不達(dá)標(biāo)為事件.
視指標(biāo)的達(dá)標(biāo)率為任取一件新產(chǎn)品，該項(xiàng)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率，
則有，，，
由對(duì)立事件的性質(zhì)及事件獨(dú)立性的定義得：，
所以每個(gè)芯片智能檢測(cè)不達(dá)標(biāo)的概率為.
（2）人工抽檢30個(gè)芯片恰有1個(gè)不合格品的概率為（），
因此
令，得.
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以有唯一的極大值點(diǎn).
（3）設(shè)芯片人工抽檢達(dá)標(biāo)為事件，工人在流水線進(jìn)行人工抽檢時(shí)，抽檢一個(gè)芯片恰為合格品為事件，
由（2）得：，
由（1）得：，
所以，
因此，該企業(yè)需對(duì)生產(chǎn)工序進(jìn)行改良.
11．（2023·福建莆田·統(tǒng)考二模）互花米草是禾本科草本植物，其根系發(fā)達(dá)，具有極高的繁殖系數(shù)，對(duì)近海生態(tài)具有較大的危害．為盡快消除互花米草危害，2022年10月24日，市政府印發(fā)了《莆田市互花米草除治攻堅(jiān)實(shí)施方案》，對(duì)全市除治攻堅(jiān)行動(dòng)做了具體部署．某研究小組為了解甲、乙兩鎮(zhèn)的互花米草根系分布深度情況，采用按比例分層抽樣的方法抽取樣本．已知甲鎮(zhèn)的樣本容量，樣本平均數(shù)，樣本方差；乙鎮(zhèn)的樣本容量，樣本平均數(shù)，樣本方差．
(1)求由兩鎮(zhèn)樣本組成的總樣本的平均數(shù)及其方差；
(2)為營(yíng)造“廣泛發(fā)動(dòng)、全民參與”的濃厚氛圍，甲、乙兩鎮(zhèn)決定進(jìn)行一次“互花米草除治大練兵”比賽，兩鎮(zhèn)各派一支代表隊(duì)參加，經(jīng)抽簽確定第一場(chǎng)在甲鎮(zhèn)舉行．比賽規(guī)則：
每場(chǎng)比賽直至分出勝負(fù)為止，勝方得1分，負(fù)方得0分，下一場(chǎng)在負(fù)方舉行，先得2分的代表隊(duì)獲勝，比賽結(jié)束．
當(dāng)比賽在甲鎮(zhèn)舉行時(shí)，甲鎮(zhèn)代表隊(duì)獲勝的概率為，當(dāng)比賽在乙鎮(zhèn)舉行時(shí)，甲鎮(zhèn)代表隊(duì)獲勝的概率為．假設(shè)每場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立.甲鎮(zhèn)代表隊(duì)的最終得分記為X，求．
參考數(shù)據(jù)：．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用平均數(shù)的計(jì)算公式求得，再利用方差的計(jì)算公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可得解；
（2）先根據(jù)題意得到的所有可能取值，再利用獨(dú)立事件的概率公式分別求得各個(gè)取值的概率，從而利用數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式即可得解.
【詳解】（1）根據(jù)題意，得，
因?yàn)椋?br>同理，
所以
，
所以總樣本的平均數(shù)為，方差.
（2）依題意可知，的所有可能取值為，
設(shè)“第場(chǎng)比賽在甲鎮(zhèn)舉行，甲鎮(zhèn)代表隊(duì)獲勝”為事件，“第場(chǎng)比賽在乙鎮(zhèn)舉行，甲鎮(zhèn)代表隊(duì)獲勝”為事件，
則，
所以，
，
，
所以.
12．（2023·福建廈門·統(tǒng)考二模）移動(dòng)物聯(lián)網(wǎng)廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)制造、公共服務(wù)、個(gè)人消費(fèi)等領(lǐng)域．截至2022年底，我國(guó)移動(dòng)物聯(lián)網(wǎng)連接數(shù)達(dá)18.45億戶，成為全球主要經(jīng)濟(jì)體中首個(gè)實(shí)現(xiàn)“物超人”的國(guó)家．右圖是2018-2022年移動(dòng)物聯(lián)網(wǎng)連接數(shù)W與年份代碼t的散點(diǎn)圖，其中年份2018-2022對(duì)應(yīng)的t分別為1~5．
(1)根據(jù)散點(diǎn)圖推斷兩個(gè)變量是否線性相關(guān)．計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01），并推斷它們的相關(guān)程度；
(2)(i)假設(shè)變量x與變量Y的n對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，兩個(gè)變量滿足一元線性回歸模型 （隨機(jī)誤差）．請(qǐng)推導(dǎo)：當(dāng)隨機(jī)誤差平方和Q＝取得最小值時(shí)，參數(shù)b的最小二乘估計(jì)．
(ii)令變量，則變量x與變量Y滿足一元線性回歸模型利用(i)中結(jié)論求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并預(yù)測(cè)2024年移動(dòng)物聯(lián)網(wǎng)連接數(shù)．
附：樣本相關(guān)系數(shù)，，，，
【答案】(1),這兩個(gè)變量正線性相關(guān)，且相關(guān)程度很強(qiáng).
(2)（i）；（ii）經(jīng)驗(yàn)回歸方程;預(yù)測(cè)2024年移動(dòng)物聯(lián)網(wǎng)連接數(shù)23.04億戶.
【分析】（1）根據(jù)相關(guān)系數(shù)計(jì)算，若兩個(gè)變量正相關(guān)，若兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)，越接近于1說(shuō)明線性相關(guān)越強(qiáng).
（2）(i)整理得，根據(jù)二次函數(shù)求最小值時(shí)的取值；
(ii) 根據(jù)計(jì)算公式求得經(jīng)驗(yàn)回歸方程， 并代入可預(yù)測(cè)2024年移動(dòng)物聯(lián)網(wǎng)連接數(shù).
【詳解】（1）由散點(diǎn)圖可以看出樣本點(diǎn)都集中在一條直線附近，由此推斷兩個(gè)變量線性相關(guān).
因?yàn)?
所以 ,
所以 ,
所以這兩個(gè)變量正線性相關(guān)，且相關(guān)程度很強(qiáng).
（2）(i)
，
要使取得最小值，當(dāng)且僅當(dāng).
(ii) 由(i)知 ，
所以y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，又，
所以當(dāng) 時(shí)，則，
所以預(yù)測(cè)2024年移動(dòng)物聯(lián)網(wǎng)連接數(shù)23.04億戶.
13．（2022秋·山東濰坊·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）學(xué)?；@球隊(duì)30名同學(xué)按照1，2，…，30號(hào)站成一列做傳球投籃練習(xí)，籃球首先由1號(hào)傳出，訓(xùn)練規(guī)則要求：第號(hào)同學(xué)得到球后傳給號(hào)同學(xué)的概率為，傳給號(hào)同學(xué)的概率為，直到傳到第29號(hào)（投籃練習(xí)）或第30號(hào)（投籃練習(xí)）時(shí)，認(rèn)定一輪訓(xùn)練結(jié)束，已知29號(hào)同學(xué)投籃命中的概率為，30號(hào)同學(xué)投籃命中的概率為，設(shè)傳球傳到第號(hào)的概率為．
(1)求的值；
(2)證明：是等比數(shù)列；
(3)比較29號(hào)和30號(hào)投籃命中的概率大?。?br>【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)29號(hào)投籃命中概率大于30號(hào)投籃命中概率．
【分析】（1）依題意籃球傳到4號(hào)有以下三種途徑：1號(hào)傳2號(hào)傳3號(hào)傳4號(hào)，1號(hào)傳2號(hào)傳4號(hào)，1號(hào)傳3號(hào)傳4號(hào)按照相互獨(dú)立事件與互斥事件的概率公式計(jì)算可得；
（2）依題意可得，即可得到，從而得證；
（3）由（2）利用累加法求出，即可求出、，從而求出號(hào)、號(hào)命題的概率，即可比較大小.
【詳解】（1）解：依題意，籃球傳到4號(hào)有以下三種途徑：1號(hào)傳2號(hào)傳3號(hào)傳4號(hào)其概率為；
1號(hào)傳2號(hào)傳4號(hào)其概率為；1號(hào)傳3號(hào)傳4號(hào)其概率為，
因此．
（2）解：依題意籃球傳到第號(hào)，再傳給號(hào)其概率為；
籃球傳到第號(hào)，再傳給號(hào)其概率為，因此有，
可得，且，
所以是首先為，公比為的等比數(shù)列．
（3）解：，，，，
，，
由累加法，可得
，
所以，，
所以號(hào)投籃命中的概率為
號(hào)投籃命中的概率為，
因?yàn)?，所?9號(hào)投籃命中概率大于30號(hào)投籃命中概率．
14．（2022秋·山東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）某公司在一種傳染病毒的檢測(cè)試劑品上加大了研發(fā)投入，其研發(fā)的檢驗(yàn)試劑品分為兩類不同劑型和．現(xiàn)對(duì)其進(jìn)行兩次檢測(cè)，第一次檢測(cè)時(shí)兩類試劑和合格的概率分別為和，第二次檢測(cè)時(shí)兩類試劑和合格的概率分別為和．已知兩次檢測(cè)過程相互獨(dú)立，兩次檢測(cè)均合格，試劑品才算合格．
(1)設(shè)經(jīng)過兩次檢測(cè)后兩類試劑和合格的種類數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(2)若地區(qū)排查期間，一戶4口之家被確認(rèn)為“與確診患者的密切接觸者”，這種情況下醫(yī)護(hù)人員要對(duì)其家庭成員逐一使用試劑品進(jìn)行檢測(cè)，如果有一人檢測(cè)呈陽(yáng)性，則檢測(cè)結(jié)束，并確定該家庭為“感染高危戶”．設(shè)該家庭每個(gè)成員檢測(cè)呈陽(yáng)性的概率均為且相互獨(dú)立，該家庭至少檢測(cè)了3個(gè)人才確定為“感染高危戶”的概率為，若當(dāng)時(shí)，最大，求的值．
【答案】(1)分布列見解析，1
(2)．
【分析】（1）先得到劑型與合格的概率，求出X的所有可能取值及相應(yīng)的概率，得到分布列，求出期望值；
（2）求出，令，得到，利用基本不等式求出最值，得到答案.
【詳解】（1）劑型合格的概率為：；
劑型合格的概率為：．
由題意知X的所有可能取值為0，1，2．
則，
，
，
則X的分布列為
數(shù)學(xué)期望．
（2）檢測(cè)3人確定“感染高危戶”的概率為，
檢測(cè)4人確定“感染高危戶”的概率為，
則．
令，因?yàn)?，所以?br>原函數(shù)可化為．
因?yàn)椋?br>當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．
此時(shí)，所以．
15．（2022秋·山東青島·高三統(tǒng)考期末）由個(gè)小正方形構(gòu)成長(zhǎng)方形網(wǎng)格有行和列.每次將一個(gè)小球放到一個(gè)小正方形內(nèi)，放滿為止，記為一輪.每次放白球的頻率為，放紅球的概率為q，.
(1)若，，記表示100輪放球試驗(yàn)中“每一列至少一個(gè)紅球”的輪數(shù)，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表：
求y關(guān)于n的回歸方程，并預(yù)測(cè)時(shí)，y的值；（精確到1）
(2)若，，，，記在每列都有白球的條件下，含紅球的行數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(3)求事件“不是每一列都至少一個(gè)紅球”發(fā)生的概率，并證明：.
附：經(jīng)驗(yàn)回歸方程系數(shù)：，，，.
【答案】(1)；3.
(2)分布列見解析；.
(3)；證明見解析.
【分析】（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，結(jié)合經(jīng)驗(yàn)回歸方程系數(shù)公式，即可求得回歸方程，繼而求得預(yù)測(cè)值；
（2）確定X的取值可能為，根據(jù)條件概率的概率公式求得每一個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，即可得分布列，繼而求得期望;
（3）求得每一列都至少一個(gè)紅球的概率，根據(jù)對(duì)立事件的概率公式可得事件“不是每一列都至少一個(gè)紅球”發(fā)生的概率，再求得“每一行都至少一個(gè)白球”的概率，結(jié)合兩事件的關(guān)系可得其概率大小關(guān)系，即可證明結(jié)論.
【詳解】（1）由題意知 ,
故，
所以 ，
所以線性回歸方程為： ，
所以，估計(jì)時(shí)，.
（2）由題意知：，，，，
則X的取值可能為，
記“含紅球的行數(shù)為k”為事件，記“每列都有白球”為事件B，
所以 ，
，
，
所以X的分布列為：
所以數(shù)學(xué)期望為.
（3）證明：因?yàn)槊恳涣兄辽僖粋€(gè)紅球的概率為 ,
記“不是每一列都至少一個(gè)紅球”為事件A，所以，
記“每一行都至少一個(gè)白球”為事件B，所以，
顯然， ，所以 ，
即，所以.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答要首先能正確的理解題意，弄清楚題目的要求是什么，比如第二文中的條件概率的計(jì)算，要弄清每種情況的含義，第三問難點(diǎn)在于正確計(jì)算出“不是每一列都至少一個(gè)紅球”以及“每一行都至少一個(gè)白球”的概率，并能進(jìn)行判斷二者之間的關(guān)系，從而比較概率大小，證明結(jié)論.
16．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考二模）某市正在創(chuàng)建全國(guó)文明城市，學(xué)校號(hào)召師生利用周末從事創(chuàng)城志愿活動(dòng)．高三（1）班一組有男生4人，女生2人，現(xiàn)隨機(jī)選取2人作為志愿者參加活動(dòng)，志愿活動(dòng)共有交通協(xié)管員、創(chuàng)建宜傳員、文明監(jiān)督員三項(xiàng)可供選擇．每名女生至多從中選擇參加2項(xiàng)活動(dòng)，且選擇參加1項(xiàng)或2項(xiàng)的可能性均為；每名男生至少?gòu)闹羞x擇參加2項(xiàng)活動(dòng)，且選擇參加2項(xiàng)或3項(xiàng)的可能性也均為．每人每參加1項(xiàng)活動(dòng)可獲得綜合評(píng)價(jià)10分，選擇參加幾項(xiàng)活動(dòng)彼此互不彩響，求
(1)在有女生參加活動(dòng)的條件下，恰有一名女生的概率；
(2)記隨機(jī)選取的兩人得分之和為X，求X的期望．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)條件概率的計(jì)算公式即可求得答案；
（2）方法一：根據(jù)女生參加活動(dòng)的人數(shù)確定變量的可能取值，計(jì)算每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率，可得變量的分布列，即可求得期望；
方法二：分別計(jì)算出一名女生和一名男生參加活動(dòng)可獲得分?jǐn)?shù)的期望，設(shè)恰有Y名女生參加活動(dòng)，則男生有名參加活動(dòng)，，計(jì)算出變量Y的期望，即可求X的期望.
【詳解】（1）設(shè)“有女生參加活動(dòng)”為事件A，“恰有一名女生參加活動(dòng)”為事件B．
則，，
所以．
（2）方法一: “選取的兩人中女生人數(shù)為i”記為事件，，
則，，．
由題意知X的可能值為，“得分為分”分別記為事件，，，，，則
，，；
，，；
，，．
；
；
；
；
，
所以X的分布列為
所以．
方法二：
根據(jù)題意，一名女生參加活動(dòng)可獲得分?jǐn)?shù)的期望為，
一名男生參加活動(dòng)可獲得分?jǐn)?shù)的期望為．
設(shè)恰有Y名女生參加活動(dòng)，則男生有名參加活動(dòng)，
，
則，，．
所以Y的分布列為
則有，
所以．
【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了條件概率的計(jì)算，比較基礎(chǔ)，第二問考查隨機(jī)變量的期望的求解，求解的思路并不困難，但難點(diǎn)在于要根據(jù)變量的取值的可能情況，計(jì)算每種情況相應(yīng)的概率，計(jì)算較復(fù)雜，計(jì)算量較大，需要思維縝密，計(jì)算仔細(xì)。
17．（2022·湖北省直轄縣級(jí)單位·湖北省仙桃中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）治療慢性乙肝在醫(yī)學(xué)上一直都是一個(gè)難題，因?yàn)榛静荒苤斡皇强梢宰尭喂δ苷?，不可以清除病毒，而且發(fā)展嚴(yán)重后還具有傳染性，所以在各種體檢中肝功能的檢查是必不可少的.在對(duì)某學(xué)校初中一個(gè)班上64名學(xué)生進(jìn)行體檢后，不小心將2份攜帶乙肝的血液樣本和62份正常樣本（都用試管獨(dú)立裝好的）混在了一起，現(xiàn)在要將它們找出來(lái)，試管上都有標(biāo)簽，采用將共64份樣品采用混檢的方式，先將其平均分成兩組，每組32份，將每組的32份進(jìn)行混檢，若攜帶病毒的在同一組，則將這一組繼續(xù)取兩份平均分組的混合樣本進(jìn)行檢驗(yàn)，若攜帶病毒的樣本不在同一組，則將兩組都繼續(xù)平均分組混檢下去，直到最后將兩份攜帶病毒的樣本找出為止（樣品檢驗(yàn)時(shí)可以很快出結(jié)果，每次含病毒的那一組進(jìn)行平均分組時(shí)，每個(gè)含病毒的樣本被分到任意一組的概率都是，且互不影響），設(shè)共需檢驗(yàn)的次數(shù)為.
(1)求隨機(jī)變量的分布列和期望；
(2)若5歲以上的乙肝患者急性和慢性的比例約為 ，急性乙肝炎癥治愈率可達(dá) ，沒有治愈的會(huì)轉(zhuǎn)為慢性乙肝，慢性乙肝炎癥治愈率只有 ，在找出兩個(gè)乙肝樣本后通知其進(jìn)行治療，求兩人最后至少有一人痊愈的概率 .（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）
【答案】(1)分布列見解析，期望為20；
(2)0.97
【分析】（1）先求出病毒被分在同一組和不在同一組的概率，再求出隨機(jī)變量的可能取值計(jì)算出對(duì)應(yīng)概率，列出分布列計(jì)算期望即可；
（2）先求出乙肝患者被治愈的概率，再由對(duì)立事件計(jì)算求出至少有一人痊愈的概率即可.
【詳解】（1）病毒被分在同一組的概率為，不被分在同一組的概率為；
若病毒被分在同一組，則下次需要進(jìn)行2次檢驗(yàn)，若病毒不被分在同一組，則下次需要進(jìn)行4次檢驗(yàn)；
若每次病毒均在同一組，則需要進(jìn)行5次分組，最后一次每組有2份樣品，即進(jìn)行10次檢驗(yàn)，；
若前4次病毒均在同一組，第5次病毒不在同一組，此時(shí)每組有2份樣品，還需要再進(jìn)行1次分組，再進(jìn)行4次檢驗(yàn)，即進(jìn)行14次檢驗(yàn)，；
若前3次病毒均在同一組，第4次病毒不在同一組，此時(shí)每組有4份樣品，還需要再進(jìn)行2次分組，再進(jìn)行8次檢驗(yàn)，即進(jìn)行16次檢驗(yàn)，；
若前2次病毒均在同一組，第3次病毒不在同一組，此時(shí)每組有8份樣品，還需要再進(jìn)行3次分組，再進(jìn)行12次檢驗(yàn)，即進(jìn)行18次檢驗(yàn)，；
若第1次病毒在同一組，第2次病毒不在同一組，此時(shí)每組有16份樣品，還需要再進(jìn)行4次分組，再進(jìn)行16次檢驗(yàn)，即進(jìn)行20次檢驗(yàn)，；
若第1次病毒不在同一組，此時(shí)每組有32份樣品，還需要再進(jìn)行5次分組，再進(jìn)行20次檢驗(yàn)，即進(jìn)行22次檢驗(yàn)，；故隨機(jī)變量的分布列為：
則；
（2）由題意知是急性乙肝的概率為，慢性乙肝的概率為，則乙肝患者治愈的概率為，
沒有治愈的概率為，則兩人最后至少有一人痊愈的概率.
18．（2023春·江蘇南京·高三南京市第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）為了有針對(duì)性地提高學(xué)生體育鍛煉的積極性，某中學(xué)需要了解性別因素是否對(duì)學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，為此隨機(jī)抽查了男女生各100名，得到如下數(shù)據(jù)：
(1)依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系；
(2)從這200人中隨機(jī)選擇1人，已知選到的學(xué)生經(jīng)常參加體育鍛煉，求他是男生的概率；
(3)為了提高學(xué)生體育鍛煉的積極性，集團(tuán)設(shè)置了“學(xué)習(xí)女排精神，塑造健康體魄”的主題活動(dòng)，在該活動(dòng)的某次排球訓(xùn)練課上，甲乙丙三人相互做傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人.求第次傳球后球在甲手中的概率.
附：
【答案】(1)可以認(rèn)為性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系，理由見解析
(2)
(3)
【分析】（1）計(jì)算卡方，與6.635比較后得到結(jié)論；
（2）利用事件，利用條件概率求出答案；
（3）設(shè)n次傳球后球在甲手中的概率為，，得到，利用構(gòu)造法得到，即數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，從而求出通項(xiàng)公式，得到答案.
【詳解】（1），
故依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系；
（2）設(shè)從這200人中隨機(jī)選擇1人，設(shè)選到經(jīng)常鍛煉的學(xué)生為事件A，選到的學(xué)生為男生為事件B，
則，
則已知選到的學(xué)生經(jīng)常參加體育鍛煉，他是男生的概率；
（3）設(shè)n次傳球后球在甲手中的概率為，，
則有，，
設(shè)，則，
所以，解得：，
所以，其中，
故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以，
故，
故第次傳球后球在甲手中的概率為.
19．（2022秋·湖北·高三黃岡中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）隨機(jī)變量的概念是俄國(guó)數(shù)學(xué)家切比雪夫在十九世紀(jì)中葉建立和提倡使用的.切比雪夫在數(shù)論?概率論?函數(shù)逼近論?積分學(xué)等方面均有所建樹，他證明了如下以他名字命名的離散型切比雪夫不等式：設(shè)為離散型隨機(jī)變量，則，其中為任意大于0的實(shí)數(shù).切比雪夫不等式可以使人們?cè)陔S機(jī)變量的分布未知的情況下，對(duì)事件的概率作出估計(jì).
(1)證明離散型切比雪夫不等式；
(2)應(yīng)用以上結(jié)論，回答下面問題：已知正整數(shù).在一次抽獎(jiǎng)游戲中，有個(gè)不透明的箱子依次編號(hào)為，編號(hào)為的箱子中裝有編號(hào)為的個(gè)大小?質(zhì)地均相同的小球.主持人邀請(qǐng)位嘉賓從每個(gè)箱子中隨機(jī)抽取一個(gè)球，記從編號(hào)為的箱子中抽取的小球號(hào)碼為，并記.對(duì)任意的，是否總能保證（假設(shè)嘉賓和箱子數(shù)能任意多）？并證明你的結(jié)論.
附：可能用到的公式（數(shù)學(xué)期望的線性性質(zhì)）：對(duì)于離散型隨機(jī)變量滿足，則有.
【答案】(1)證明見解析
(2)不能保證，證明見解析
【分析】通過方差的計(jì)算公式，結(jié)合變形即可證明.
結(jié)合所給公式，再變形式子來(lái)解出，再利用第（1）證明的離散型切比雪夫不等式即可得到矛盾.
【詳解】（1）設(shè)的所有可能取值為取的概率為.
則 ，

（2）（2）由參考公式，.
，用到
而，故.
當(dāng)時(shí)，，
因此，不能保證.
20．（2022秋·湖北十堰·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）為了豐富孩子們的校園生活，某校團(tuán)委牽頭，發(fā)起同一年級(jí)兩個(gè)級(jí)部A、B進(jìn)行體育運(yùn)動(dòng)和文化項(xiàng)目比賽，由A部、B部爭(zhēng)奪最后的綜合冠軍．決賽先進(jìn)行兩天，每天實(shí)行三局兩勝制，即先贏兩局的級(jí)部獲得該天勝利，此時(shí)該天比賽結(jié)束．若A部、B部中的一方能連續(xù)兩天勝利，則其為最終冠軍；若前兩天A部、B部各贏一天，則第三天只進(jìn)行一局附加賽，該附加賽的獲勝方為最終冠軍．設(shè)每局比賽A部獲勝的概率為，每局比賽的結(jié)果沒有平局且結(jié)果互相獨(dú)立．
(1)記第一天需要進(jìn)行的比賽局?jǐn)?shù)為X，求，并求當(dāng)取最大值時(shí)p的值；
(2)當(dāng)時(shí)，記一共進(jìn)行的比賽局?jǐn)?shù)為Y，求．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）求出X可能取值，并求出對(duì)應(yīng)的概率，得到期望，配方后得到期望最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的p的值；
（2）先得到雙方前兩天的比分為2∶0或0∶2的概率均為，比分為2∶1或1∶2的概率均為，考慮和兩種情況，分別求出概率，相加即可.
【詳解】（1）X可能取值為2，3．
；
．
故，
即，則當(dāng)時(shí)，取得最大值．
（2）當(dāng)時(shí)，雙方前兩天的比分為2∶0或0∶2的概率均為；
比分為2∶1或1∶2的概率均為．
，則或．
即獲勝方兩天均為2∶0獲勝，不妨設(shè)A部勝，
概率為，同理B部勝，概率為，
故；
即獲勝方前兩天的比分為2∶0和2∶1或者2∶0和0∶2再加附加賽，
不妨設(shè)最終A部獲勝，
當(dāng)前兩天的比分為2∶0和2∶1時(shí)，
先從兩天中選出一天，比賽比分為2∶1，三場(chǎng)比賽前兩場(chǎng)，A部一勝一負(fù)，第三場(chǎng)比賽A獲勝，另外一天比賽比分為2：0，故概率為，
當(dāng)前兩天比分為2∶0和0∶2，附加賽A獲勝時(shí)，兩天中選出一天，比賽比分為2：0，
概率為，
故最終A部獲勝的概率為，
同理B部勝，概率為，
故．
所以．
21．（2022秋·廣東廣州·高三廣州市真光中學(xué)?？奸_學(xué)考試）某企業(yè)研發(fā)了一種新藥，為評(píng)估藥物對(duì)目標(biāo)適應(yīng)癥患者的治療作用和安全性，需要開展臨床用藥試驗(yàn)，檢測(cè)顯示臨床療效評(píng)價(jià)指標(biāo)A的數(shù)量y與連續(xù)用藥天數(shù)x具有相關(guān)關(guān)系.隨機(jī)征集了一部分志愿者作為樣本參加臨床用藥試驗(yàn)，并得到了一組數(shù)據(jù)，，其中表示連續(xù)用藥i天，表示相應(yīng)的臨床療效評(píng)價(jià)指標(biāo)A的數(shù)值.根據(jù)臨床經(jīng)驗(yàn)，剛開始用藥時(shí)，指標(biāo)A的數(shù)量y變化明顯，隨著天數(shù)增加，y的變化趨緩.經(jīng)計(jì)算得到如下一些統(tǒng)計(jì)量的值：，，，，，其中.
(1)試判斷與哪一個(gè)適宜作為y關(guān)于x的回歸方程類型？并建立y關(guān)于x的回歸方程；
(2)新藥經(jīng)過臨床試驗(yàn)后，企業(yè)決定通過兩條不同的生產(chǎn)線每天8小時(shí)批量生產(chǎn)該商品，其中第1條生產(chǎn)線的生產(chǎn)效率是第2條生產(chǎn)線的兩倍.若第1條生產(chǎn)線出現(xiàn)不合格藥品的概率為0.012，第2條生產(chǎn)線出現(xiàn)不合格藥品約概率為0.009，兩條生產(chǎn)線是否出現(xiàn)不合格藥品相互獨(dú)立.
（i）隨機(jī)抽取一件該企業(yè)生產(chǎn)的藥品，求該藥品不合格的概率；
（ii）若在抽查中發(fā)現(xiàn)不合格藥品，求該藥品來(lái)自第1條生產(chǎn)線的概率.
參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，.
【答案】(1)適宜，
(2)（i）；（ii）
【分析】（1）判斷出適宜作為y關(guān)于x的回歸方程類型，利用公式求出y關(guān)于x的回歸方程；（2）（i）設(shè)出事件，利用全概率公式進(jìn)行求解，（ii）在第一問的基礎(chǔ)上，利用條件概率進(jìn)行求解.
【詳解】（1）剛開始用藥時(shí)，指標(biāo)A的數(shù)量y變化明顯，隨著天數(shù)增加，y的變化趨緩，故適宜作為y關(guān)于x的回歸方程類型.
令，得，于是，
因?yàn)?，，所以，?br>所以，，即；
（2）（i）設(shè)“隨機(jī)抽取一件該企業(yè)生產(chǎn)的藥品為不合格”，
“隨機(jī)抽取一件藥品為第1條生生產(chǎn)線生產(chǎn)”，
“隨機(jī)抽取一件藥品為第2條生生產(chǎn)線生產(chǎn)”，
則，，
又，，于是
.
（ii）.
22．（2022·廣東深圳·統(tǒng)考二模）2022年北京冬奧會(huì)后，由一名高山滑雪運(yùn)動(dòng)員甲組成的專業(yè)隊(duì)，與兩名高山滑雪愛好者乙、丙組成的業(yè)余隊(duì)進(jìn)行友誼賽．約定賽制如下：業(yè)余隊(duì)中的兩名隊(duì)員輪流與甲進(jìn)行比賽，若甲連續(xù)贏兩場(chǎng)則專業(yè)隊(duì)獲勝；若甲連續(xù)輸兩場(chǎng)則業(yè)余隊(duì)獲勝：若比賽三場(chǎng)還沒有決出勝負(fù)，則視為平局，比賽結(jié)束．已知各場(chǎng)比賽相互獨(dú)立，每場(chǎng)比賽都分出勝負(fù)，且甲與乙比賽，乙贏概率為；甲與丙比賽，丙贏的概率為p，其中．
(1)若第一場(chǎng)比賽，業(yè)余隊(duì)可以安排乙與甲進(jìn)行比賽，也可以安排丙與甲進(jìn)行比賽．請(qǐng)分別計(jì)算兩種安排下業(yè)余隊(duì)獲勝的概率；若以獲勝概率大為最優(yōu)決策，問：業(yè)余隊(duì)第一場(chǎng)應(yīng)該安排乙還是丙與甲進(jìn)行比賽？
(2)為了激勵(lì)專業(yè)隊(duì)和業(yè)余隊(duì)，賽事組織規(guī)定：比賽結(jié)束時(shí)，勝隊(duì)獲獎(jiǎng)金3萬(wàn)元，負(fù)隊(duì)獲獎(jiǎng)金1.5萬(wàn)元；若平局，兩隊(duì)各獲獎(jiǎng)金1.8萬(wàn)元．在比賽前，已知業(yè)余隊(duì)采用了（1）中的最優(yōu)決策與甲進(jìn)行比賽，設(shè)賽事組織預(yù)備支付的獎(jiǎng)金金額共計(jì)X萬(wàn)元，求X的數(shù)學(xué)期望的取值范圍．
【答案】(1)業(yè)余隊(duì)第一場(chǎng)應(yīng)該安排乙與甲進(jìn)行比賽
(2)的取值范圍為：（單位：萬(wàn)元）.
【分析】（1）分別求出第一場(chǎng)比賽，業(yè)余隊(duì)安排乙與甲或丙與甲進(jìn)行比賽業(yè)余隊(duì)獲勝的概率，比較兩者的大小即可得出答案.
（2）由已知萬(wàn)元或萬(wàn)元，分別求其對(duì)應(yīng)的概率，得到分布列，求出，由，求出的取值范圍.
【詳解】（1）第一場(chǎng)比賽，業(yè)余隊(duì)安排乙與甲進(jìn)行比賽，業(yè)余隊(duì)獲勝的概率為：
;
第一場(chǎng)比賽，業(yè)余隊(duì)安排丙與甲進(jìn)行比賽，業(yè)余隊(duì)獲勝的概率為：
，
因?yàn)?，所以，所?
所以，業(yè)余隊(duì)第一場(chǎng)應(yīng)該安排乙與甲進(jìn)行比賽.
（2）由已知萬(wàn)元或萬(wàn)元.
由（1）知，業(yè)余隊(duì)最優(yōu)決策是第一場(chǎng)應(yīng)該安排乙與甲進(jìn)行比賽.
此時(shí)，業(yè)余隊(duì)獲勝的概率為，
專業(yè)隊(duì)獲勝的概率為，
所以，非平局的概率為，
平局的概率為.
的分布列為：
的數(shù)學(xué)期望為（萬(wàn)元）
而，所以的取值范圍為：（單位：萬(wàn)元）.
23．（2022秋·廣東惠州·高三校考期末）在2022年卡塔爾世界杯亞洲區(qū)預(yù)選賽十二強(qiáng)賽中，中國(guó)男足以1勝3平6負(fù)進(jìn)9球失19球的成績(jī)慘敗出局．甲、乙足球愛好者決定加強(qiáng)訓(xùn)練提高球技，兩人輪流進(jìn)行定位球訓(xùn)練（每人各踢一次為一輪），在相同的條件下，每輪甲、乙兩人在同一位置，一人踢球另一人撲球，甲先踢，每人踢一次球，兩人有1人進(jìn)球另一人不進(jìn)球，進(jìn)球者得1分，不進(jìn)球者得分；兩人都進(jìn)球或都不進(jìn)球，兩人均得0分，設(shè)甲每次踢球命中的概率為，乙每次踢球命中的概率為，甲撲到乙踢出球的概率為，乙撲到甲踢出球的概率，且各次踢球互不影響．
(1)經(jīng)過1輪踢球，記甲的得分為X，求X的數(shù)學(xué)期望；
(2)若經(jīng)過n輪踢球，用表示經(jīng)過第輪踢球累計(jì)得分后甲得分高于乙得分的概率，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）記一輪踢球，甲進(jìn)球?yàn)槭录嗀，乙進(jìn)球?yàn)槭录﨎，求出，，求出X的可能取值及相應(yīng)的概率，求出分布列及數(shù)學(xué)期望；
（2）可直接在第一問的基礎(chǔ)上直接得到，分三種情況，進(jìn)行求解，分析得到經(jīng)過三輪踢球，甲累計(jì)得分高于乙有四種情況，進(jìn)行求解.
【詳解】（1）記一輪踢球，甲進(jìn)球?yàn)槭录嗀，乙進(jìn)球?yàn)槭录﨎，A，B相互獨(dú)立，
由題意得：，，
甲的得分X的可能取值為-1,0,1
，
，
所以X的分布列為：
.
（2）由（1）得：，
經(jīng)過三輪踢球，甲累計(jì)得分高于乙有四種情況：甲3輪各得1分；甲3輪中有2輪各得1分，1輪得0分；甲3輪中有1輪得1分，2輪各得0分；甲3輪中有2輪各得1分，1輪得-1分.
所以
24．（2022秋·廣東廣州·高三仲元中學(xué)?？茧A段練習(xí)）隨著時(shí)代的不斷發(fā)展，社會(huì)對(duì)高素質(zhì)人才的需求不斷擴(kuò)大，我國(guó)本科畢業(yè)生中考研人數(shù)也不斷攀升，2020年的考研人數(shù)是341萬(wàn)人，2021年考研人數(shù)是377萬(wàn)人．某省統(tǒng)計(jì)了該省其中四所大學(xué)2022年的畢業(yè)生人數(shù)及考研人數(shù)（單位：千人），得到如下表格：
(1)已知y與x具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，求：y關(guān)于x的線性回歸方程；
(2)假設(shè)該省對(duì)選擇考研的大學(xué)生每人發(fā)放0.5萬(wàn)元的補(bǔ)貼．
①若該省大學(xué)2022年畢業(yè)生人數(shù)為8千人，估計(jì)該省要發(fā)放補(bǔ)貼的總?cè)~：
②若大學(xué)的畢業(yè)生中小浙、小江選擇考研的概率分別為，，該省對(duì)小浙、小江兩人的考研補(bǔ)貼總金額的期望不超過0.75萬(wàn)元，求的取值范圍．
參考公式：，．
【答案】(1)
(2)① 300（萬(wàn)元）；②
【分析】（1）利用參考公式分別求出與，代入即可求得；
（2）對(duì)于①，利用（1）中的代入估計(jì)得選擇考研的人數(shù)，即可求得結(jié)果；
對(duì)于②，先設(shè)小浙與小江兩人中選擇考研的的人數(shù)為X，求出其數(shù)學(xué)期望，進(jìn)而求得考研補(bǔ)貼的數(shù)學(xué)期望，計(jì)算，結(jié)合即可求得結(jié)果.
【詳解】（1）由題意得，，
又，∴
∵，∴，
∴，所以，
故得y關(guān)于x的線性回歸方程為．
（2）①將代入，
估計(jì)該省要發(fā)放補(bǔ)貼的總金額為（萬(wàn)元）
②設(shè)小浙、小江兩人中選擇考研的的人數(shù)為X，則X的所有可能值為0，1，2；
，
，
，
∴，
∴，解得，
又，∴，∴，
故p的取值范圍為．
25．（2022·湖南長(zhǎng)沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）某工廠為了提高生產(chǎn)效率，對(duì)生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行了技術(shù)改造，為了對(duì)比技術(shù)改造后的效果，采集了技術(shù)改造前后各次連續(xù)正常運(yùn)行的時(shí)間長(zhǎng)度（單位：天）數(shù)據(jù)，整理如下：
改造前：；
改造后：.
(1)完成下面的列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析判斷技術(shù)改造前后的連續(xù)正常運(yùn)行時(shí)間是否有差異？
(2)工廠的生產(chǎn)設(shè)備的運(yùn)行需要進(jìn)行維護(hù)，工廠對(duì)生產(chǎn)設(shè)備的生產(chǎn)維護(hù)費(fèi)用包括正常維護(hù)費(fèi)和保障維護(hù)費(fèi)兩種，對(duì)生產(chǎn)設(shè)備設(shè)定維護(hù)周期為天（即從開工運(yùn)行到第天，）進(jìn)行維護(hù)，生產(chǎn)設(shè)備在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)設(shè)置幾個(gè)維護(hù)周期，每個(gè)維護(hù)周期相互獨(dú)立.在一個(gè)維護(hù)周期內(nèi)，若生產(chǎn)設(shè)備能連續(xù)運(yùn)行，則只產(chǎn)生一次正常維護(hù)費(fèi)，而不會(huì)產(chǎn)生保障維護(hù)費(fèi)；若生產(chǎn)設(shè)備不能連續(xù)運(yùn)行，則除產(chǎn)生一次正常維護(hù)費(fèi)外，還產(chǎn)生保障維護(hù)費(fèi)，經(jīng)測(cè)算，正常維護(hù)費(fèi)為萬(wàn)元/次，保障維護(hù)費(fèi)第一次為萬(wàn)元/周期，此后每增加一次則保障維護(hù)費(fèi)增加萬(wàn)元.現(xiàn)制定生產(chǎn)設(shè)備一個(gè)生產(chǎn)周期（以天計(jì)）內(nèi)的維護(hù)方案：，.以生產(chǎn)設(shè)備在技術(shù)改造后一個(gè)維護(hù)周期內(nèi)能連續(xù)正常運(yùn)行的頻率作為概率，求一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)維護(hù)費(fèi)的分布列及均值.
（其中）
【答案】(1)列聯(lián)表答案見解析，技術(shù)改造前后的連續(xù)正常運(yùn)行時(shí)間有差異
(2)分布列答案見解析，均值為萬(wàn)元
【分析】（1）根據(jù)題意，補(bǔ)全列聯(lián)表，代入公式計(jì)算結(jié)果，對(duì)照表格，判斷得答案；
（2）首先判斷一個(gè)維護(hù)周期內(nèi)，生產(chǎn)線需保障維護(hù)的概率為，設(shè)一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)需保障維護(hù)的次數(shù)為，則服從二項(xiàng)分布，再根據(jù)題意找到與生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)維護(hù)費(fèi)的關(guān)系，計(jì)算的可能取值，依次計(jì)算其概率得分布列，計(jì)算分布列的期望，得答案.
【詳解】（1）列聯(lián)表為：
零假設(shè)：技術(shù)改造前后的連續(xù)正常運(yùn)行時(shí)間無(wú)差異.
，
依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)分析判斷不成立，
即技術(shù)改造前后的連續(xù)正常運(yùn)行時(shí)間有差異；
（2）由題知，生產(chǎn)周期內(nèi)有4個(gè)維護(hù)周期，一個(gè)維護(hù)周期為30天，
一個(gè)維護(hù)周期內(nèi)，生產(chǎn)線需保障維護(hù)的概率為，
設(shè)一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)需保障維護(hù)的次數(shù)為，則，
一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)的正常維護(hù)費(fèi)為萬(wàn)元，保障維護(hù)費(fèi)為萬(wàn)元，
一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)需保障維護(hù)次時(shí)的生產(chǎn)維護(hù)費(fèi)為萬(wàn)元，
設(shè)一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)的生產(chǎn)維護(hù)費(fèi)為，則的所有可能取值為，
所以，的分布列為
一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)維護(hù)費(fèi)的均值為萬(wàn)元.
26．（2022秋·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙一中校考階段練習(xí)）某中學(xué)2022年10月舉行了2022“翱翔杯”秋季運(yùn)動(dòng)會(huì)，其中有“夾球跑”和“定點(diǎn)投籃”兩個(gè)項(xiàng)目，某班代表隊(duì)共派出1男（甲同學(xué)）2女（乙同學(xué)和丙同學(xué)）三人參加這兩個(gè)項(xiàng)目，其中男生單獨(dú)完成“夾球跑”的概率為0.6，女生單獨(dú)完成“夾球跑”的概率為（）．假設(shè)每個(gè)同學(xué)能否完成“夾球跑”互不影響，記這三名同學(xué)能完成“夾球跑”的人數(shù)為．
(1)證明：在的概率分布中，最大．
(2)對(duì)于“定點(diǎn)投籃”項(xiàng)目，比賽規(guī)則如下：該代表隊(duì)先指派一人上場(chǎng)投籃，如果投中，則比賽終止，如果沒有投中，則重新指派下一名同學(xué)繼續(xù)投籃，如果三名同學(xué)均未投中，比賽也終止．該班代表隊(duì)的領(lǐng)隊(duì)了解后發(fā)現(xiàn)，甲、乙、丙三名同學(xué)投籃命中的概率依次為（，2，3），每位同學(xué)能否命中相互獨(dú)立．請(qǐng)幫領(lǐng)隊(duì)分析如何安排三名同學(xué)的出場(chǎng)順序，才能使得該代表隊(duì)出場(chǎng)投籃人數(shù)的均值最小？并給出證明．
【答案】(1)證明見解析
(2)應(yīng)當(dāng)以甲、乙、丙的順序安排出場(chǎng)順序，才能使得該代表隊(duì)出場(chǎng)投籃人數(shù)的均值最小，證明見解析
【分析】（1）分別求出（，1，2，3）的值，作差法比較大小得證；
（2）由（1）知，設(shè)三人任意順序出場(chǎng)時(shí)三場(chǎng)投中的概率分別為，，，計(jì)算比賽時(shí)所需派出的人數(shù)的期望，證明成立，說(shuō)明按排列時(shí)最小， 應(yīng)當(dāng)以甲、乙、丙的順序安排出場(chǎng).
【詳解】（1）由已知，的所有可能取值為0，1，2，3，
，
，
∵，∴，
所以概率最大．
（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，有的值最大，
且，，
所以應(yīng)當(dāng)以甲、乙、丙的順序安排出場(chǎng)順序，才能使得該代表隊(duì)出場(chǎng)投籃人數(shù)的均值最?。?br>證明如下：
假設(shè)，，為，，的任意一個(gè)排列，即若甲、乙、丙按照某順序派出，
該順序下三人能完成項(xiàng)目的概率為，，，記在比賽時(shí)所需派出的人數(shù)為，則，2，3，且的分布列為：
數(shù)學(xué)期望，
∵，∴，
要使盡可能小，則需要盡可能大， 故當(dāng)取時(shí)最小，所以，
∴，
所以應(yīng)當(dāng)以甲、乙、丙的順序安排出場(chǎng)順序，才能使得該代表隊(duì)出場(chǎng)投籃人數(shù)的均值最小．
27．（2023秋·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙一中?？茧A段練習(xí)）“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”學(xué)習(xí)平臺(tái)的答題競(jìng)賽包括三項(xiàng)活動(dòng)，分別為“四人賽”“雙人對(duì)戰(zhàn)”和“挑戰(zhàn)答題”.在一天內(nèi)參與“四人賽”活動(dòng)，每局第一名積3分，第二、三名各積2分，第四名積1分，每局比賽相互獨(dú)立. 在一天內(nèi)參與“雙人對(duì)戰(zhàn)”活動(dòng)，每局比賽有積分，獲勝者得2分，失敗者得1分，每局比賽相互獨(dú)立. 已知甲參加“四人賽”活動(dòng)，每局比賽獲得第一名、第二名的概率均為，獲得第四名的概率為；甲參加“雙人對(duì)戰(zhàn)”活動(dòng)，每局比賽獲勝的概率為.
(1)記甲在一天中參加“四人賽”和“雙人對(duì)戰(zhàn)”兩項(xiàng)活動(dòng)（兩項(xiàng)活動(dòng)均只參加一局）的總得分為 ，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；
(2)“挑戰(zhàn)答題”比賽規(guī)則如下：每位參賽者每次連續(xù)回答5道題，在答對(duì)的情況下可以持續(xù)答題，若第一次答錯(cuò)時(shí)，答題結(jié)束，積分為0分，只有全部答對(duì)5道題可以獲得5個(gè)積分.某市某部門為了吸引更多職工參與答題，設(shè)置了一個(gè)“得積分進(jìn)階”活動(dòng)，從1階到階，規(guī)定每輪答題獲得5個(gè)積分進(jìn)2階，沒有獲得積分進(jìn)1階，按照獲得的階級(jí)給予相應(yīng)的獎(jiǎng)品，記乙每次獲得5個(gè)積分的概率互不影響，均為，記乙進(jìn)到階的概率為，求.
【答案】(1)分布列見解析，
(2)
【分析】(1)根據(jù)題意列出X所有可能取值，針對(duì)每一取值做具體分析，寫出分布列；
(2)根據(jù)題意找出 ， ， 之間的關(guān)系，求數(shù)列通項(xiàng)即可.
【詳解】（1）甲參加“四人賽”時(shí)，每局比賽獲得第三名的概率為，
依題意，所有可能的取值為
，


所以 的分布列如表所示
所以 ；
（2）依題意， ， ，
“進(jìn)到階”的情況包括：第一種情況是進(jìn)到階后下一輪未獲得5個(gè)積分，其概率為；第二種情況是進(jìn)到階后下一輪獲得5個(gè)積分，其概率為，兩種情況互斥，所以 ，
則
所以
又 ，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，
故

即 ；
綜上，為E(X)= ，.
28．（2023秋·江蘇·高三統(tǒng)考期末）第22屆世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔爾舉辦．在決賽中，阿根廷隊(duì)通過點(diǎn)球戰(zhàn)勝法國(guó)隊(duì)獲得冠軍．
(1)撲點(diǎn)球的難度一般比較大，假設(shè)罰點(diǎn)球的球員會(huì)等可能地隨機(jī)選擇球門的左?中?右三個(gè)方向射門，門將也會(huì)等可能地隨機(jī)選擇球門的左?中?右三個(gè)方向來(lái)?yè)潼c(diǎn)球，而且門將即使方向判斷正確也有的可能性撲不到球．不考慮其它因素，在一次點(diǎn)球大戰(zhàn)中，求門將在前三次撲到點(diǎn)球的個(gè)數(shù)X的分布列和期望；
(2)好成績(jī)的取得離不開平時(shí)的努力訓(xùn)練，甲?乙?丙三名前鋒隊(duì)員在某次傳接球的訓(xùn)練中，球從甲腳下開始，等可能地隨機(jī)傳向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機(jī)傳向另外2人中的1人，如此不停地傳下去，假設(shè)傳出的球都能接住．記第n次傳球之前球在甲腳下的概率為pn，易知．
①試證明：為等比數(shù)列；
②設(shè)第n次傳球之前球在乙腳下的概率為qn，比較p10與q10的大?。?br>【答案】(1)分布列見解析；期望為
(2)①證明見解析 ；②
【分析】（1）方法一：先計(jì)算門將每次可以撲出點(diǎn)球的概率，再列出其分布列，進(jìn)而求得數(shù)學(xué)期望；
方法二：判斷，結(jié)合二項(xiàng)分布的分布列和期望公式確定結(jié)論；
（2）①記第n次傳球之前球在甲腳下的概率為，則當(dāng)時(shí)，第次傳球之前球在甲腳下的概率為，由條件確定的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列定義完成證明；
②由①求出，比較其大小即可.
【詳解】（1）方法一：的所有可能取值為，
在一次撲球中，撲到點(diǎn)球的概率，
所以，
，
所以的分布列如下：
方法二：依題意可得，門將每次可以撲到點(diǎn)球的概率為，
門將在前三次撲到點(diǎn)球的個(gè)數(shù)可能的取值為，易知，
所以，
故的分布列為：
所以的期望．
（2）①第次傳球之前球在甲腳下的概率為，
則當(dāng)時(shí)，第次傳球之前球在甲腳下的概率為，
第次傳球之前球不在甲腳下的概率為，
則，
即，又，
所以是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列．
②由①可知，所以，
所以，
故．
29．（2023·河北·高三河北衡水中學(xué)?？茧A段練習(xí)）2021年9月15日至17日，世界新能源汽車大會(huì)在海南?？谡匍_，大會(huì)著眼于全球汽車產(chǎn)業(yè)的轉(zhuǎn)型升級(jí)和生態(tài)環(huán)境的持續(xù)改善.某汽車公司順應(yīng)時(shí)代潮流，最新研發(fā)了一款新能源汽車.為了推廣該款新能源汽車，購(gòu)買新能源汽車將會(huì)得到相應(yīng)的補(bǔ)貼，標(biāo)準(zhǔn)如下：
(1)本月在A市購(gòu)買新能源汽車的4000人中隨機(jī)抽取300人，統(tǒng)計(jì)了他們購(gòu)買的新能源汽車的價(jià)格并制成了如下表格（這4000人購(gòu)買的新能源汽車價(jià)格都在60-100萬(wàn)元之間）利用樣本估計(jì)總體，試估計(jì)本月A市的補(bǔ)貼預(yù)算（單位：億元，保留兩位小數(shù)）
(2)該公司對(duì)這款新能源汽車的單次最大續(xù)航里程進(jìn)行了測(cè)試，得到了單次最大續(xù)航里程與售價(jià)的關(guān)系如下表.根據(jù)數(shù)據(jù)可知與具有線性相關(guān)關(guān)系，請(qǐng)建立與的回歸方程（系數(shù)精確到）.周小姐想要購(gòu)買一輛單次最大續(xù)航為的該款新能源汽車，請(qǐng)根據(jù)回歸方程計(jì)算周小姐至少要準(zhǔn)備多少錢（單位：萬(wàn)元，保留兩位小數(shù)）
(3)某汽車銷售公司為促進(jìn)消費(fèi)者購(gòu)買該新款新能源汽車，現(xiàn)面向意向客戶推出“玩游戲，送大獎(jiǎng)”活動(dòng)，活動(dòng)規(guī)則如下：箱子里有2個(gè)紅球，1個(gè)黃球，1個(gè)藍(lán)球，客戶從箱子里隨機(jī)取出一個(gè)球（每一個(gè)球被取出的概率相同），確定顏色后放回，連續(xù)抽到兩個(gè)紅球時(shí)游戲結(jié)束，取球次數(shù)越少獎(jiǎng)勵(lì)越好，記取次球游戲結(jié)束的概率為.周小姐參與了此次活動(dòng)，請(qǐng)求周小姐取球次數(shù)的數(shù)學(xué)期望.
【答案】(1)本月A市的補(bǔ)貼預(yù)算億元
(2)周小姐至少要準(zhǔn)備萬(wàn)元.
(3)周小姐取球次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為6
【分析】（1）根據(jù)題意整理數(shù)據(jù)，結(jié)合平均數(shù)運(yùn)算求解；
（2）根據(jù)題意先求線性回歸方程，再根據(jù)回歸方程運(yùn)算求解；
（3）根據(jù)題意分析可得，，利用構(gòu)造法結(jié)合等邊數(shù)列求得，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)和極限求期望.
【詳解】（1）由題意可得：
本月A市的補(bǔ)貼預(yù)算萬(wàn)元，
故本月A市的補(bǔ)貼預(yù)算億元.
（2）由題意可得：，
，
則，，
故與的回歸方程，
令，即，解得，
故周小姐至少要準(zhǔn)備萬(wàn)元.
（3）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，周小姐取球次數(shù)為，
由題意可得：每次抽到紅球的概率為，抽到非紅球的概率為，
可得，
對(duì)到第次還未結(jié)束游戲的概率為，則第次為非紅球，第次為紅球，第次為紅球即結(jié)束，故第次結(jié)束游戲的概率，
則，
若第次還未結(jié)束游戲，則第次為非紅球，第次為紅球，第次為紅球即結(jié)束，故第次結(jié)束游戲的概率，即第次還未結(jié)束游戲的概率為，則有：
當(dāng)?shù)诖螢榉羌t球時(shí)，則第次為非紅球或紅球均可，之后連續(xù)三次依次為非紅球、紅球和紅球，則第次結(jié)束游戲，此時(shí)有，
當(dāng)?shù)诖螢榧t球時(shí)（游戲未結(jié)束），則第次為非紅球，之后連續(xù)三次依次為非紅球、紅球和紅球，則第次結(jié)束游戲，此時(shí)有，
綜上所述：，
可得：，且，
故數(shù)列是以首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，
則，可得，且，
故數(shù)列是以首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，
則，即，
則，
檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)均符合上式，故，
則，
設(shè)，則，
令，可得，令，可得，
∵，且當(dāng)時(shí)，則，
∴
，
故周小姐取球次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為6.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：
（1）對(duì)于的求和，可以借助于導(dǎo)數(shù)運(yùn)算處理；
（2）常見極限：當(dāng)時(shí)，則.
30．（2022秋·廣東東莞·高三統(tǒng)考期末）現(xiàn)有一種射擊訓(xùn)練，每次訓(xùn)練都是由高射炮向目標(biāo)飛行物連續(xù)發(fā)射三發(fā)炮彈，每發(fā)炮彈擊中目標(biāo)飛行物與否相互獨(dú)立．已知射擊訓(xùn)練有A，B兩種型號(hào)的炮彈，對(duì)于A型號(hào)炮彈，每發(fā)炮彈擊中目標(biāo)飛行物的概率均為p（），且擊中一彈目標(biāo)飛行物墜毀的概率為0.6，擊中兩彈目標(biāo)飛行物必墜段；對(duì)子B型號(hào)炮彈，每發(fā)炮彈擊中目標(biāo)飛行物的概率均為q（），且擊中一彈目標(biāo)飛行物墜毀的概率為0.4，擊中兩彈目標(biāo)飛行物墜毀的概率為0.8，擊中三彈目標(biāo)飛行物必墜毀．
(1)在一次訓(xùn)練中，使用B型號(hào)炮彈，求q滿足什么條件時(shí)，才能使得至少有一發(fā)炮彈命中目標(biāo)飛行物的概率不低于；
(2)若，試判斷在一次訓(xùn)練中選用A型號(hào)炮彈還是B型號(hào)炮彈使得目標(biāo)飛行物墜毀的概率更大？并說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)使用B型號(hào)炮彈，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)題意，利用間接法與二項(xiàng)分布的概率公式得到關(guān)于的不等式，解之即可；
（2）先利用二項(xiàng)分布的概率公式求得兩種類型的炮彈擊毀目標(biāo)飛行物的概率，再利用作差法與構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)比較得兩概率的大小，從而得到結(jié)論.
【詳解】（1）因?yàn)槊看斡?xùn)練都是由高射炮向目標(biāo)飛行物連續(xù)發(fā)射三發(fā)炮彈，每發(fā)炮彈擊中目標(biāo)飛行物與否相互獨(dú)立，
所以在一次訓(xùn)練中，連發(fā)三發(fā)B型號(hào)炮彈，用表示命中目標(biāo)飛行物的炮彈數(shù)，則（服從二項(xiàng)分布），
則，
即，則，即，則，
又，故，
所以當(dāng)時(shí)，才能使得至少有一發(fā)炮彈命中目標(biāo)飛行物的概率不低于.
（2）在一次訓(xùn)練中，連發(fā)三發(fā)A型號(hào)炮彈，用表示命中目標(biāo)飛行物的炮彈數(shù)，則（服從二項(xiàng)分布），，
記事件為“使用A型號(hào)炮彈使得目標(biāo)飛行物墜毀”，事件為“使用B型號(hào)炮彈使得目標(biāo)飛行物墜毀”，
則
，
，
因?yàn)?，所以?br>則
，
令，則，
令，即，則，得，
又，所以恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，
又，則，
故，即，
所以使用B型號(hào)炮彈使得目標(biāo)飛行物墜毀的概率更大.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵點(diǎn)有兩次，一次是理解A、B型炮彈擊中飛行物的次數(shù)服從二項(xiàng)分布，進(jìn)而利用二項(xiàng)分布的概率公式求得兩種類型的炮彈擊毀目標(biāo)飛行物的概率；二次是利用導(dǎo)數(shù)比較兩者概率的大小.
X
0
1
2
P



X
0
1
2
3
P
X
0
1
2
3
P
性別
購(gòu)買非電動(dòng)汽車
購(gòu)買電動(dòng)汽車
總計(jì)
男性
39
6
45
女性
30
15
45
總計(jì)
69
21
90
0
1
2
淘汰賽
比賽結(jié)果
淘汰賽
比賽結(jié)果
1/8決賽
荷蘭美國(guó)
1/4決賽
克羅地亞巴西
阿根廷澳大利亞
荷蘭阿根廷
法國(guó)波蘭
摩洛哥葡萄牙
英格蘭塞內(nèi)加爾
英格蘭法國(guó)
日本克羅地亞
半決賽
阿根廷克羅地亞
巴西韓國(guó)
法國(guó)摩洛哥
摩洛哥西班牙
季軍賽
克羅地亞摩洛哥
葡萄牙瑞士
決賽
阿根廷法國(guó)
歐洲球隊(duì)
其他球隊(duì)
合計(jì)
闖入8強(qiáng)
未闖入8強(qiáng)
合計(jì)
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
歐洲球隊(duì)
其他球隊(duì)
合計(jì)
進(jìn)入8強(qiáng)
5
3
8
未進(jìn)入8強(qiáng)
8
16
24
合計(jì)
13
19
32
3
4
5
3
4
5
3
4
5
甲
√
√
甲
√
×
√
甲
×
√
√
乙
×
×
乙
×
×
乙
×
×
3
4
5
3
4
5
3
4
5
甲
√
√
×
甲
√
√
×
甲
√
×
√
乙
√
×
×
乙
×
√
×
乙
√
×
×
3
4
5
3
4
5
3
4
5
甲
√
×
√
甲
×
√
√
甲
×
√
√
乙
×
√
×
乙
√
×
×
乙
×
√
×
3
4
5
3
4
5
甲
√
√
√
甲
√
√
√
乙
√
×
乙
×
√
3
4
5
甲
√
√
√
乙
√
√
×
年份
2017
2018
2019
2020
2021
年份代碼
1
2
3
4
5
銷量萬(wàn)輛
10
12
17
20
26
1
2
3
X
0
1
2
P
n
1
2
3
4
5
y
76
56
42
30
26

0
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20
30
40
50
60
P
Y
0
1
2
P
10
14
16
18
20
22
性別
鍛煉
不經(jīng)常
經(jīng)常
女生
40
60
男生
20
80
0.010
0.005
0.001
6.635
7.879
10.828
X
-1
0
1
P
大學(xué)
A大學(xué)
B大學(xué)
C大學(xué)
D大學(xué)
2022年畢業(yè)人數(shù)x（千人）
7
6
5
4
2022年考研人數(shù)y（千人）
0.5
0.4
0.3
0.2
技術(shù)改造
設(shè)備連續(xù)正常運(yùn)行天數(shù)
合計(jì)
超過
不超過
改造前
改造后
合計(jì)
技術(shù)改造
設(shè)備連續(xù)正常運(yùn)行天數(shù)
合計(jì)
超過
不超過
改造前
改造后
合計(jì)
1
2
3
0
1
2
3
0
1
2
3
購(gòu)買的新能源汽車價(jià)格（萬(wàn)元）
補(bǔ)貼（萬(wàn)元）
5
7
10
15
售價(jià)x（萬(wàn)元）
66
70
73
81
90
單次最大續(xù)航里程
200
230
260
325
405
購(gòu)買的新能源汽車價(jià)格（萬(wàn)元）
頻率
補(bǔ)貼（萬(wàn)元）
5
7
10
15

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