1、多加總結(jié)。當(dāng)三年所有的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)加在一起，可能會(huì)使有些基礎(chǔ)不牢固的學(xué)生犯迷糊。
2、做題經(jīng)驗(yàn)。哪怕同一題只改變數(shù)字，也能成為一道新的題目。
3、多刷錯(cuò)題。多刷錯(cuò)題能夠進(jìn)一步地掃清知識(shí)盲區(qū)，多加鞏固之后自然也就掌握了知識(shí)點(diǎn)。
對(duì)于學(xué)生來說，三輪復(fù)習(xí)就相當(dāng)于是最后的“救命稻草”，家長們同樣是這樣，不要老是去責(zé)怪孩子考試成績不佳，相反，更多的來說，如果能夠陪同孩子去反思成績不佳的原因，找到問題的癥結(jié)所在，更加重要。
【一專三練】 專題04 概率統(tǒng)計(jì)與期望方差分布列大題拔高練-新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)分層訓(xùn)練（新高考通用）
1．（2023·廣東廣州·高三廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）為了檢測某種抗病毒疫苗的免疫效果，需要進(jìn)行動(dòng)物與人體試驗(yàn)．研究人員將疫苗注射到200只小白鼠體內(nèi)，一段時(shí)間后測量小白鼠的某項(xiàng)指標(biāo)值，按分組，繪制頻率分布直方圖如圖所示，實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)小白鼠體內(nèi)產(chǎn)生抗體的共有160只，其中該項(xiàng)指標(biāo)值不小于60的有110只，假設(shè)小白鼠注射疫苗后是否產(chǎn)生抗體相互獨(dú)立．
(1)填寫下面的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表及的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷能否認(rèn)為注射疫苗后小白鼠產(chǎn)生抗體與指標(biāo)值不小于60有關(guān)．（單位：只）
(2)為檢驗(yàn)疫苗二次接種的免疫抗體性，對(duì)第一次注射疫苗后沒有產(chǎn)生抗體的40只小白鼠進(jìn)行第二次注射疫苗，結(jié)果又有20只小自鼠產(chǎn)生抗體．
（i）用頻率估計(jì)概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的概率p；
（ii）以（i）中確定的概率p作為人體注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的概率，進(jìn)行人體接種試驗(yàn)，記n個(gè)人注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的數(shù)量為隨機(jī)變量X．試驗(yàn)后統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，當(dāng)X =99時(shí)，P（X）取最大值，求參加人體接種試驗(yàn)的人數(shù)n．
參考公式：（其中為樣本容量）
【答案】(1)表格見解析，可以認(rèn)為
(2)（i）；（ii）109或110．
【分析】(1)根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法求解即可；
(2)根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式列出不等式即可求解.
【詳解】（1）由頻率分布直方圖，知200只小白鼠按指標(biāo)值分布為：
在內(nèi)有（只）；
在內(nèi)有（只）；
在內(nèi)有（只）；
在內(nèi)有（只），
在內(nèi)有（只）．
由題意，有抗體且指標(biāo)值小于60的有50只；
而指標(biāo)值小于60的小白鼠共有只，
所以指標(biāo)值小于60且沒有抗體的小白鼠有20只，
同理，指標(biāo)值不小于60且沒有抗體的小白鼠有20只，
故列聯(lián)表如下：單位：只
零假設(shè)為:注射疫苗后小白鼠產(chǎn)生抗體與指標(biāo)值不小于60無關(guān)聯(lián)．
根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，得，
根據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，
即認(rèn)為注射疫苗后小白鼠產(chǎn)生抗體與指標(biāo)值不小于60有關(guān)，
此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05.
（2）（i）令事件A=“小白鼠第一次注射疫苗產(chǎn)生抗體”，
事件B=“小白鼠第二次注射疫苗產(chǎn)生抗體’’，
事件C=“小白鼠注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體”，
記事件A，B，C發(fā)生的概率分別為，
則，，
，
所以一只小白鼠注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的概率，
（ii）由題意，知隨機(jī)變量，
，
因?yàn)樽畲螅?br>所以，
解得
是整數(shù)，所以或，
接受接種試驗(yàn)的人數(shù)為109或110．
2．（2023春·廣東惠州·高三?？茧A段練習(xí)）北京冬奧會(huì)的舉辦使得人們對(duì)冰雪運(yùn)動(dòng)的關(guān)注度和參與度持續(xù)提高，某地很多中小學(xué)開展了模擬冬奧會(huì)賽事的活動(dòng)，為了深入了解學(xué)生在“自由式滑雪”和“單板滑雪”兩項(xiàng)活動(dòng)的參與情況，在該地隨機(jī)選取了10所學(xué)校進(jìn)行研究，得到如圖數(shù)據(jù)：
(1)從這10所學(xué)校中隨機(jī)抽取2所，在抽取的2所學(xué)校參與“單板滑雪”的人數(shù)超過30人的條件下，求這2所學(xué)校參與“自由式滑雪”的人數(shù)超過30人的概率；
(2)“自由式滑雪”參與人數(shù)超過40人的學(xué)校可以作為“基地學(xué)?！?，現(xiàn)在從這10所學(xué)校中隨機(jī)抽取3所，記為選出“基地學(xué)?！钡膫€(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【答案】(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）利用組合數(shù)，計(jì)算情況數(shù)，根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式，可得答案；
（2）根據(jù)離散性分布列的計(jì)算方法，結(jié)合數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式，可得答案.
【詳解】（1）由圖可知，參與“單板滑雪”的人數(shù)超過30人的學(xué)校有6所，能抽取的情況數(shù)有，
這6所學(xué)校中參與“自由式滑雪”的人數(shù)超過30人有4所，能抽到的情況數(shù)為，
則在抽取的2所學(xué)校參與“單板滑雪”的人數(shù)超過30人的條件下，這2所學(xué)校參與“自由式滑雪”的人數(shù)超過30人的概率為.
（2）“自由式滑雪”參與人數(shù)超過40人的學(xué)校有所，所以可能的取值為，
，，，，
的分布列為：
.
3．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）為了拓展學(xué)生的知識(shí)面，提高學(xué)生對(duì)航空航天科技的興趣，培養(yǎng)學(xué)生良好的科學(xué)素養(yǎng)，某校組織學(xué)生參加航空航天科普知識(shí)答題競賽，每位參賽學(xué)生答題若干次，答題賦分方法如下：第1次答題，答對(duì)得20分，答錯(cuò)得10分：從第2次答題開始，答對(duì)則獲得上一次答題得分的兩倍，答錯(cuò)得10分.學(xué)生甲參加答題競賽，每次答對(duì)的概率為，各次答題結(jié)果互不影響.
(1)求甲前3次答題得分之和為40分的概率；
(2)記甲第i次答題所得分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望為.
①寫出與滿足的等量關(guān)系式（直接寫出結(jié)果，不必證明）：
②若，求i的最小值.
【答案】(1)；
(2)①，，且；②5.
【分析】（1）甲甲前3次答題得分之和為40分的事件是甲前3次答題中恰答對(duì)一次的事件，再利用相互獨(dú)立事件概率的乘法公式計(jì)算作答.
（2）①求出，再分析、寫出與滿足的等量關(guān)系式作答；②利用構(gòu)造法求出的通項(xiàng)，列出不等式并結(jié)合單調(diào)性作答.
【詳解】（1）甲前3次答題得分之和為40分的事件是：甲前3次答題中僅只答對(duì)一次的事件，
所以甲前3次答題得分之和為40分的概率.
（2）①甲第1次答題得20分、10分的概率分別為，則，
甲第2次答題得40分、20分、10分的概率分別為，
則，顯然，
，甲第次答題所得分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望為，
因此第次答對(duì)題所得分?jǐn)?shù)為，答錯(cuò)題所得分?jǐn)?shù)為10分，其概率分別為，
于是甲第i次答題所得分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望為，
所以與滿足的等量關(guān)系式是：，，且；
②由①知，，當(dāng)時(shí)，，而，
因此數(shù)列以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，
于是，由得：，顯然數(shù)列是遞增數(shù)列，
而，則有正整數(shù)，
所以i的最小值是5.
4．（2023·廣東湛江·統(tǒng)考一模）某工廠一臺(tái)設(shè)備生產(chǎn)一種特定零件，工廠為了解該設(shè)備的生產(chǎn)情況，隨機(jī)抽檢了該設(shè)備在一個(gè)生產(chǎn)周期中的100件產(chǎn)品的關(guān)鍵指標(biāo)（單位：），經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到下面的頻率分布直方圖：
(1)由頻率分布直方圖估計(jì)抽檢樣本關(guān)鍵指標(biāo)的平均數(shù)和方差．（用每組的中點(diǎn)代表該組的均值）
(2)已知這臺(tái)設(shè)備正常狀態(tài)下生產(chǎn)零件的關(guān)鍵指標(biāo)服從正態(tài)分布，用直方圖的平均數(shù)估計(jì)值作為的估計(jì)值，用直方圖的標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)值s作為估計(jì)值．
（i）為了監(jiān)控該設(shè)備的生產(chǎn)過程，每個(gè)生產(chǎn)周期中都要隨機(jī)抽測10個(gè)零件的關(guān)鍵指標(biāo)，如果關(guān)鍵指標(biāo)出現(xiàn)了之外的零件，就認(rèn)為生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常，需停止生產(chǎn)并檢查設(shè)備．下面是某個(gè)生產(chǎn)周期中抽測的10個(gè)零件的關(guān)鍵指標(biāo)：
利用和判斷該生產(chǎn)周期是否需停止生產(chǎn)并檢查設(shè)備．
（ii）若設(shè)備狀態(tài)正常，記X表示一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)抽取的10個(gè)零件關(guān)鍵指標(biāo)在之外的零件個(gè)數(shù)，求及X的數(shù)學(xué)期望．
參考公式：直方圖的方差，其中為各區(qū)間的中點(diǎn)，為各組的頻率．
參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則，，，，．
【答案】(1)
(2)（i）需停止生產(chǎn)并檢查設(shè)備；（ii），
【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖結(jié)合平均數(shù)的計(jì)算公式，即可求得，繼而結(jié)合方差的計(jì)算公式求得；
（2）（i）根據(jù)，，確定，，判斷抽查的零件關(guān)鍵指標(biāo)有無在之外的情況，即可得結(jié)論；（ii）求出抽測一個(gè)零件關(guān)鍵指標(biāo)在之外的概率，確定，根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式以及期望公式，即可求得答案.
【詳解】（1）由頻率分布直方圖，得．
．
（2）（i）由（1）可知，，
所以，，
顯然抽查中的零件指標(biāo)，故需停止生產(chǎn)并檢查設(shè)備．
（ii）抽測一個(gè)零件關(guān)鍵指標(biāo)在之內(nèi)的概率為，
所以抽測一個(gè)零件關(guān)鍵指標(biāo)在之外的概率為，
故，所以，
X的數(shù)學(xué)期望．
5．（2023·江蘇·統(tǒng)考一模）某小區(qū)有居民2000人，想通過驗(yàn)血的方法篩查出乙肝病毒攜帶者，為此需對(duì)小區(qū)全體居民進(jìn)行血液化驗(yàn)，假設(shè)攜帶病毒的居民占a%，若逐個(gè)化驗(yàn)需化驗(yàn)2000次.為減輕化驗(yàn)工作量，隨機(jī)按n人一組進(jìn)行分組，將各組n個(gè)人的血液混合在一起化驗(yàn)，若混合血樣呈陰性，則這n個(gè)人的血樣全部陰性；若混合血樣呈陽性，說明其中至少有一人的血樣呈陽性，就需對(duì)每個(gè)人再分別單獨(dú)化驗(yàn)一次.假設(shè)每位居民的化驗(yàn)結(jié)果呈陰性還是陽性相互獨(dú)立.
(1)若，，試估算該小區(qū)化驗(yàn)的總次數(shù)；
(2)若，每人單獨(dú)化驗(yàn)一次花費(fèi)10元，n個(gè)人混合化驗(yàn)一次花費(fèi)元.求n為何值時(shí)，每位居民化驗(yàn)費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望最小.
（注：當(dāng)時(shí)，）
【答案】(1)180次；
(2)10.
【分析】（1）設(shè)每位居民需化驗(yàn)的次數(shù)為，則可取，，分別求概率，進(jìn)而可得期望，即得；
（2）設(shè)每組n人總費(fèi)用為Y元，結(jié)合條件計(jì)算，然后表示出結(jié)合基本不等式即得.
【詳解】（1）設(shè)每位居民需化驗(yàn)的次數(shù)為X，
若混合血樣為陰性，則，若混合血樣呈陽性，則，
所以，，
，
所以2000名居民總化驗(yàn)次數(shù)約為次；
（2）設(shè)每組n人總費(fèi)用為Y元，若混合血樣呈陰性則，若混合血樣為陽性，則，
所以，，
所以，
每位居民的化驗(yàn)費(fèi)用為：
元，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
故時(shí)，每位居民化驗(yàn)費(fèi)用的期望最小.
6．（2023·江蘇·統(tǒng)考一模）人工智能是研究用于模擬和延伸人類智能的技術(shù)科學(xué)，被認(rèn)為是21世紀(jì)最重要的尖端科技之一，其理論和技術(shù)正在日益成熟，應(yīng)用領(lǐng)域也在不斷擴(kuò)大.人工智能背后的一個(gè)基本原理：首先確定先驗(yàn)概率，然后通過計(jì)算得到后驗(yàn)概率，使先驗(yàn)概率得到修正和校對(duì)，再根據(jù)后驗(yàn)概率做出推理和決策.基于這一基本原理，我們可以設(shè)計(jì)如下試驗(yàn)?zāi)Ｐ?；有完全相同的甲、乙兩個(gè)袋子，袋子有形狀和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9個(gè)紅球和1個(gè)白球乙袋中有2個(gè)紅球和8個(gè)白球.從這兩個(gè)袋子中選擇一個(gè)袋子，再從該袋子中等可能摸出一個(gè)球，稱為一次試驗(yàn).若多次試驗(yàn)直到摸出紅球，則試驗(yàn)結(jié)束.假設(shè)首次試驗(yàn)選到甲袋或乙袋的概率均為（先驗(yàn)概率）.
(1)求首次試驗(yàn)結(jié)束的概率；
(2)在首次試驗(yàn)摸出白球的條件下，我們對(duì)選到甲袋或乙袋的概率（先驗(yàn)概率）進(jìn)行調(diào)整.
①求選到的袋子為甲袋的概率，
②將首次試驗(yàn)摸出的白球放回原來袋子，繼續(xù)進(jìn)行第二次試驗(yàn)時(shí)有如下兩種方案；方案一，從原來袋子中摸球；方案二，從另外一個(gè)袋子中摸球.請(qǐng)通過計(jì)算，說明選擇哪個(gè)方案第二次試驗(yàn)結(jié)束的概率更大.
【答案】(1)
(2)①；②方案二中取到紅球的概率更大.
【分析】（1）根據(jù)全概率公式，解決抽簽問題；
（2）利用條件概率公式計(jì)算，根據(jù)數(shù)據(jù)下結(jié)論.
【詳解】（1）設(shè)試驗(yàn)一次，“取到甲袋”為事件，“取到乙袋”為事件，“試驗(yàn)結(jié)果為紅球”為事件，“試驗(yàn)結(jié)果為白球”為事件，
（1）.
所以試驗(yàn)一次結(jié)果為紅球的概率為.
（2）①因?yàn)?，是?duì)立事件，，
所以，
所以選到的袋子為甲袋的概率為.
②由①得，
所以方案一中取到紅球的概率為：
，
方案二中取到紅球的概率為：
，
因?yàn)?，所以方案二中取到紅球的概率更大.
7．（2023·遼寧沈陽·統(tǒng)考一模）2022年12月初某省青少年乒乓球培訓(xùn)基地舉行了混雙選拔賽，其決賽在韓菲/陳宇和黃政/孫藝兩對(duì)組合間進(jìn)行，每場比賽均能分出勝負(fù)．已知本次比賽的贊助商提供了10000元獎(jiǎng)金，并規(guī)定：①若其中一對(duì)贏的場數(shù)先達(dá)到4場，則比賽終止，同時(shí)這對(duì)組合獲得全部獎(jiǎng)金；②若比賽意外終止時(shí)無組合先贏4場，則按照比賽繼續(xù)進(jìn)行各自贏得全部獎(jiǎng)金的概率之比給兩對(duì)組合分配獎(jiǎng)金．已知每場比賽韓菲/陳宇組合贏的概率為，黃政/孫藝贏的概率為，且每場比賽相互獨(dú)立．
(1)若在已進(jìn)行的5場比賽中韓菲/陳宇組合贏3場、黃政/孫藝組合贏2場，求比賽繼續(xù)進(jìn)行且韓菲/陳宇組合贏得全部獎(jiǎng)金的概率；
(2)若比賽進(jìn)行了5場時(shí)終止（含自然終止與意外終止），則這5場比賽中兩對(duì)組合之間的比賽結(jié)果共有多少不同的情況？
(3)若比賽進(jìn)行了5場時(shí)終止（含自然終止與意外終止），設(shè)，若贊助商按規(guī)定頒發(fā)獎(jiǎng)金，求韓菲/陳宇組合獲得獎(jiǎng)金數(shù)X的分布列．
【答案】(1)
(2)28
(3)分布列見詳解
【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合對(duì)立事件的概率求法運(yùn)算；
（2）根據(jù)題意可得有四則可能，再結(jié)合組合數(shù)運(yùn)算求解；
（3）根據(jù)題意分析可得獎(jiǎng)金數(shù)X的可能取值，結(jié)合（2）求相應(yīng)的概率，即可得結(jié)果.
【詳解】（1）“比賽繼續(xù)進(jìn)行且韓菲/陳宇組合贏得全部獎(jiǎng)金”的對(duì)立事件為“黃政/孫藝組合再連贏2場”，
故比賽繼續(xù)進(jìn)行且韓菲/陳宇組合贏得全部獎(jiǎng)金的概率.
（2）設(shè)5場比賽中韓菲/陳宇組合贏場、黃政/孫藝組合贏場，用表示比賽結(jié)果，
若比賽進(jìn)行了5場時(shí)終止（含自然終止與意外終止），則有：，
故共有種不同的情況.
（3）若韓菲/陳宇組合贏1場、黃政/孫藝組合贏4場，則韓菲/陳宇組合獲得獎(jiǎng)金數(shù)為0元；
若韓菲/陳宇組合贏2場、黃政/孫藝組合贏3場，則韓菲/陳宇組合需再連贏2場，其概率為，故韓菲/陳宇組合獲得獎(jiǎng)金數(shù)為元；
若韓菲/陳宇組合贏3場、黃政/孫藝組合贏2場，則韓菲/陳宇組合需再贏1場，其概率為，故韓菲/陳宇組合獲得獎(jiǎng)金數(shù)為元；
若韓菲/陳宇組合贏4場、黃政/孫藝組合贏1場，則韓菲/陳宇組合獲得獎(jiǎng)金數(shù)為10000元；
即獎(jiǎng)金數(shù)X的可能取值有，則有
，
故獎(jiǎng)金數(shù)X的分布列為：
8．（2023·江蘇·二模）為促進(jìn)經(jīng)濟(jì)發(fā)展，某地要求各商場采取多種舉措鼓勵(lì)消費(fèi)商場在春節(jié)期間推出“你摸球，我打折”促銷活動(dòng)，門口設(shè)置兩個(gè)盒子，甲盒內(nèi)有大小相同的個(gè)紅球和個(gè)黑球，乙盒內(nèi)有大小相同的個(gè)紅球和個(gè)黑球，購物滿一定金額的顧客可以從甲、乙兩個(gè)盒內(nèi)各任取個(gè)球．具體規(guī)則如下：摸出個(gè)紅球記為一等獎(jiǎng)，沒有紅球記為二等獎(jiǎng)，個(gè)紅球記為三等獎(jiǎng)，個(gè)紅球記為鼓勵(lì)獎(jiǎng).
(1)獲得一、二、三等獎(jiǎng)和鼓勵(lì)獎(jiǎng)的折扣率分別為折、折、折和折．記隨機(jī)變量為獲得各獎(jiǎng)次的折扣率，求隨機(jī)變量的分布列及期望；
(2)某一時(shí)段內(nèi)有人參加該促銷活動(dòng)，記隨機(jī)變量為獲得折及以下資格的人數(shù)，求．
【答案】(1)分布列見解析，
(2)
【分析】（1）根據(jù)古典概型和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式可求得分布列，進(jìn)而求出離散型隨機(jī)變量的期望；
（2）根據(jù)隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，利用二項(xiàng)分布概率公式即可得解．
【詳解】（1）設(shè)事件為“從甲盒中取出i個(gè)紅球”，事件為“從乙盒中取出個(gè)紅球”，
則，,
記為取出的個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)，
則，
，
，
，
由題意得的分布列為
則；
（2）由（1）可知，獲得折及以下資格的概率為．
由題意得，則.
9．（2023·遼寧·哈爾濱三中校聯(lián)考一模）某學(xué)校號(hào)召學(xué)生參加“每天鍛煉1小時(shí)”活動(dòng)，為了了解學(xué)生參與活動(dòng)的情況，隨機(jī)調(diào)查了100名學(xué)生一個(gè)月（30天）完成鍛煉活動(dòng)的天數(shù)，制成如下頻數(shù)分布表：
(1)由頻數(shù)分布表可以認(rèn)為，學(xué)生參加體育鍛煉天數(shù)X近似服從正態(tài)分布，其中μ近似為樣本的平均數(shù)（每組數(shù)據(jù)取區(qū)間的中間值），且，若全校有3000名學(xué)生，求參加“每天鍛煉1小時(shí)”活動(dòng)超過21天的人數(shù)（精確到1）；
(2)調(diào)查數(shù)據(jù)表明，參加“每天鍛煉1小時(shí)”活動(dòng)的天數(shù)在（15，30]的學(xué)生中有30名男生，天數(shù)在[0，15]的學(xué)生中有20名男生，學(xué)校對(duì)當(dāng)月參加“每天鍛煉1小時(shí)”活動(dòng)超過15天的學(xué)生授予“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”稱號(hào).請(qǐng)?zhí)顚懴旅媪新?lián)表：
并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為學(xué)生性別與獲得“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”稱號(hào)有關(guān)聯(lián).如果結(jié)論是有關(guān)聯(lián)，請(qǐng)解釋它們之間如何相互影響.
附：參考數(shù)據(jù)：；；.
【答案】(1)476人
(2)答案見解析
【分析】（1）利用頻數(shù)分布表，求得樣本的平均數(shù)，從而寫出X近似服從正態(tài)分布，利用參考數(shù)據(jù)求得參加“每天鍛煉1小時(shí)”活動(dòng)超過21天的人數(shù)；
（2）根據(jù)頻數(shù)分布表和已知條件，完善列聯(lián)表，根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的公式，求出學(xué)生性別與獲得“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”稱號(hào)是否有關(guān)聯(lián)和它們之間如何相互影響.
【詳解】（1）由頻數(shù)分布表知
，則，，
，
，
參加“每天鍛煉1小時(shí)”活動(dòng)超過21天的人數(shù)約為476人.
（2）由頻數(shù)分布表知，鍛煉活動(dòng)的天數(shù)在的人數(shù)為：，
參加“每天鍛煉1小時(shí)”活動(dòng)的天數(shù)在[0，15]的學(xué)生中有20名男生，
參加“每天鍛煉1小時(shí)”活動(dòng)的天數(shù)在[0，15]的學(xué)生中有女生人數(shù)：
由頻數(shù)分布表知，鍛煉活動(dòng)的天數(shù)在的人數(shù)為，
參加“每天鍛煉1小時(shí)”活動(dòng)的天數(shù)在（15，30]的學(xué)生中有30名男生，
參加“每天鍛煉1小時(shí)”活動(dòng)的天數(shù)在[0，15]的學(xué)生中有女生人數(shù)：
列聯(lián)表如下：
零假設(shè)為：學(xué)生性別與獲得“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”稱號(hào)無關(guān)
依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即：可以認(rèn)為學(xué)生性別與獲得“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”稱號(hào)有關(guān)；
而且此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)得到，男生、女生中活動(dòng)天數(shù)超過15天的頻率分別為：和，可見男生中獲得“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”稱號(hào)的頻率是女生中獲得“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”的稱號(hào)頻率的倍，于是依據(jù)頻率穩(wěn)定與概率的原理，我們可以認(rèn)為男生獲得“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”的概率大于女生，即男生更容易獲得運(yùn)動(dòng)達(dá)人稱號(hào).
10．（2023·河北邢臺(tái)·校聯(lián)考模擬預(yù)測）為弘揚(yáng)體育精神，營造校園體育氛圍，某校組織“青春杯”3V3籃球比賽，甲、乙兩隊(duì)進(jìn)入決賽．規(guī)定：先累計(jì)勝兩場者為冠軍，一場比賽中犯規(guī)4次以上的球員在該場比賽結(jié)束后，將不能參加后面場次的比賽．在規(guī)則允許的情況下，甲隊(duì)中球員都會(huì)參賽，他上場與不上場甲隊(duì)一場比賽獲勝的概率分別為和，且每場比賽中犯規(guī)4次以上的概率為．
(1)求甲隊(duì)第二場比賽獲勝的概率；
(2)用表示比賽結(jié)束時(shí)比賽場數(shù)，求的期望；
(3)已知球員在第一場比賽中犯規(guī)4次以上，求甲隊(duì)比賽獲勝的概率．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）設(shè)“第i場甲隊(duì)獲勝”，“球員第i場上場比賽”，，2，3．
根據(jù)對(duì)立事件的概率公式即可求解；
（2）由題意知的可能取值為2，3，結(jié)合對(duì)立事件和獨(dú)立事件的概率公式和數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式即可求解；
（3）根據(jù)對(duì)立事件、獨(dú)立事件的概率公式和條件概率公式計(jì)算即可求解.
【詳解】（1）設(shè)“第i場甲隊(duì)獲勝”，“球員第i場上場比賽”，，2，3．
由全概率公式．
（2）的可能取值為2，3．
由題意知，由（1）知，
則，，
，
，．
（3），此時(shí)，
．
11．（2023·河北衡水·河北衡水中學(xué)?？既＃┠成鐓^(qū)對(duì)55位居民是否患有新冠肺炎疾病進(jìn)行篩查，已知隨機(jī)一人其口拭子核酸檢測結(jié)果呈陽性的概率為2%，且每個(gè)人的口拭子核酸是否呈陽性相互獨(dú)立.
(1)假設(shè)該疾病患病的概率是0.3%，且患病者口拭子核酸呈陽性的概率為98%，設(shè)這55位居民中有一位的口拭子核酸檢測呈陽性，求該居民可以確診為新冠肺炎患者的概率；
(2)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，口拭子核酸檢測采用分組檢測法可有效減少工作量，具體操作如下：將55位居民分成若干組，先取每組居民的口拭子核酸混在一起進(jìn)行檢測，若結(jié)果顯示陰性，則可斷定本組居民沒有患病，不必再檢測；若結(jié)果顯示陽性，則說明本組中至少有一位居民患病，需再逐個(gè)進(jìn)行檢測，現(xiàn)有兩個(gè)分組方案：
方案一：將55位居民分成11組，每組5人；方案二：將55位居民分成5組，每組11人，試分析哪一個(gè)方案的工作量更少？
參考數(shù)據(jù)：，.
【答案】(1)14.7%
(2)方案二的工作量更少
【分析】（1）設(shè)事件為“核酸檢測呈陽性”，事件為“患疾病”，利用條件概率公式求解即可；
（2）設(shè)方案一和方案二中每組的檢測次數(shù)為，分別求出兩種方案檢測次數(shù)的分布列，進(jìn)而得出期望，通過比較期望的大小即可得出結(jié)論.
【詳解】（1）設(shè)事件為“核酸檢測呈陽性”，事件為“患疾病”.
由題意可得，，，
由條件概率公式得：，
即，
故該居民可以確診為新冠肺炎患者的概率為14.7%.
（2）設(shè)方案一中每組的檢測次數(shù)為，則的取值為1，6，
，，
所以的分布列為
所以，
即方案一檢測的總次數(shù)的期望為.
設(shè)方案二中每組的檢測次數(shù)為，則的取值為1，12，
，，
所以的分布列為
所以，
即方案二檢測的總次數(shù)的期望為.
由，則方案二的工作量更少.
12．（2023·福建福州·統(tǒng)考二模）脂肪含量（單位：%）指的是脂肪重量占人體總重量的比例．某運(yùn)動(dòng)生理學(xué)家在對(duì)某項(xiàng)健身活動(dòng)參與人群的脂肪含量調(diào)查中，采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣，如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道抽取了男性120位，其平均數(shù)和方差分別為14和6，抽取了女性90位，其平均數(shù)和方差分別為21和17．
(1)試由這些數(shù)據(jù)計(jì)算出總樣本的均值與方差，并對(duì)該項(xiàng)健身活動(dòng)的全體參與者的脂肪含量的均值與方差作出估計(jì)．（結(jié)果保留整數(shù)）
(2)假設(shè)全體參與者的脂肪含量為隨機(jī)變量X，且X~N（17，2），其中2近似為（1）中計(jì)算的總樣本方差．現(xiàn)從全體參與者中隨機(jī)抽取3位，求3位參與者的脂肪含量均小于12.2%的概率．
附：若隨機(jī)變量×服從正態(tài)分布N（μ，2），則P（μ-≤X≤μ+≈0.6827，P（μ-2≤X≤μ+2）≈0.9545，≈4.7，≈4.8，0.158653≈0.004．
【答案】(1)總樣本的均值為17，方差為23；據(jù)此估計(jì)該項(xiàng)健身活動(dòng)全體參與者的脂肪含量的總體均值為17，方差為23
(2)
【分析】（1）根據(jù)均值方差的計(jì)算公式代入計(jì)算即可求解；
（2）利用正態(tài)分布的性質(zhì)和所給數(shù)據(jù)即可求解計(jì)算.
【詳解】（1）把男性樣本記為，其平均數(shù)記為，方差記為；
把女性樣本記為，其平均數(shù)記為，方差記為．則．
記總樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為．
由，根據(jù)按比例分配的分層隨機(jī)抽樣總樣本平均數(shù)與各層樣本平均數(shù)的關(guān)系，
可得總樣本平均數(shù)為．
根據(jù)方差的定義，總樣本方差為
由可得
同理，，
因此，
所以，
所以總樣本的均值為17，方差為23，
并據(jù)此估計(jì)該項(xiàng)健身活動(dòng)全體參與者的脂肪含量的總體均值為17，方差為23．
（2）由（1）知，所以，又因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)椋?br>所以．
所以3位參與者的脂肪含量均小于的概率為．
13．（2023·山東青島·統(tǒng)考一模）今天，中國航天仍然邁著大步向浩瀚宇宙不斷探索，取得了舉世矚目的非凡成就．某學(xué)校為了解學(xué)生對(duì)航天知識(shí)的知曉情況，在全校學(xué)生中開展了航天知識(shí)測試（滿分100分），隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的測試成績，按照，，，分組，得到如下所示的樣本頻率分布直方圖：
(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)該校學(xué)生測試成績的中位數(shù)；
(2)用樣本的頻率估計(jì)概率，從該校所有學(xué)生中隨機(jī)抽取10名學(xué)生的成績，用表示這10名學(xué)生中恰有k名學(xué)生的成績?cè)谏系母怕剩笕∽畲笾禃r(shí)對(duì)應(yīng)的k的值；
(3)從測試成績?cè)诘耐瑢W(xué)中再次選拔進(jìn)入復(fù)賽的選手，一共有6道題，從中隨機(jī)挑選出4道題進(jìn)行測試，至少答對(duì)3道題者才可以進(jìn)入復(fù)賽．現(xiàn)有甲、乙兩人參加選拔，在這6道題中甲能答對(duì)4道，乙能答對(duì)3道，且甲、乙兩人各題是否答對(duì)相互獨(dú)立．記甲、乙兩人中進(jìn)入復(fù)賽的人數(shù)為，求的分布列及期望．
【答案】(1)
(2)
(3)分布列見解析；
【分析】（1）根據(jù)題意，由中位數(shù)的意義列出方程，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意可得，當(dāng)取最大值時(shí)，則，
然后求解，即可得到結(jié)果；
（3）由題意可得，甲乙分別進(jìn)入復(fù)賽的概率，然后求得的概率，即可得到分布列與期望.
【詳解】（1）因?yàn)榍皟蓚€(gè)矩形的面積之和為，前三個(gè)矩形面積為，
所以中位數(shù)在之間，設(shè)中位數(shù)為，
則，解得，故中位數(shù)為.
（2）由題意可得，成績?cè)谏系母怕蕿?，則不在的概率為，
所以，即有，，
當(dāng)取最大值時(shí)，則，
即，
解得，即，
且，所以.
（3）由題意可知，從6道題中選4題共有，
因?yàn)榧啄艽饘?duì)6道題中的4道題，故甲能進(jìn)復(fù)賽的情況共有，
所以甲能進(jìn)復(fù)賽的概率為，則甲不能進(jìn)復(fù)賽的概率為；
因?yàn)橐夷艽饘?duì)6道題中的3道題，故乙能進(jìn)復(fù)賽的情況共有,
所以乙能進(jìn)復(fù)賽的概率為，則乙不能進(jìn)復(fù)賽的概率為；
依題可得，的可能取值為，
所以，，，
則分布列為:
則.
14．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）某校舉行“強(qiáng)基計(jì)劃”數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)測評(píng)，要求以班級(jí)為單位參賽，最終高三一班（45人）和高三二班（30人）進(jìn)入決賽．決賽規(guī)則如下：現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)紙箱，甲箱中有4個(gè)選擇題和2個(gè)填空題，乙箱中有3個(gè)選擇題和3個(gè)填空題，決賽由兩個(gè)環(huán)節(jié)組成，環(huán)節(jié)一：要求兩班級(jí)每位同學(xué)在甲或乙兩個(gè)紙箱中隨機(jī)抽取兩題作答，作答后放回原箱．并分別統(tǒng)計(jì)兩班級(jí)學(xué)生測評(píng)成績的相關(guān)數(shù)據(jù)；環(huán)節(jié)二：由一班班長王剛和二班班長李明進(jìn)行比賽，并分別統(tǒng)計(jì)兩人的測評(píng)成績的相關(guān)數(shù)據(jù)，兩個(gè)環(huán)節(jié)按照相關(guān)比賽規(guī)則分別累計(jì)得分，以累計(jì)得分的高低決定班級(jí)的名次．
(1)環(huán)節(jié)一結(jié)束后，按照分層抽樣的方法從兩個(gè)班級(jí)抽取20名同學(xué)，并統(tǒng)計(jì)每位同學(xué)答對(duì)題目的數(shù)量，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)為：一班抽取同學(xué)答對(duì)題目的平均數(shù)為1，方差為1；二班抽取同學(xué)答對(duì)題目的平均數(shù)為1.5，方差為0.25，求這20人答對(duì)題目的均值與方差；
(2)環(huán)節(jié)二，王剛先從甲箱中依次抽取了兩道題目，答題結(jié)束后將題目一起放入乙箱中，然后李明再抽取題目，已知李明從乙箱中抽取的第一題是選擇題，求王剛從甲箱中取出的是兩道選擇題的概率．
【答案】(1)樣本均值為1.2，樣本方差為0.76
(2)
【分析】（1）首先求分層抽取的兩個(gè)班的人數(shù)，再根據(jù)兩個(gè)班抽取人數(shù)的平均數(shù)和方差，結(jié)合總體平均數(shù)和方差公式，代入求值；
（2）根據(jù)全概率公式和條件概率公式，即可求解.
【詳解】（1）一班抽取人，二班抽取人，
一班樣本平均數(shù)為，樣本方差為；二班樣本的平均數(shù)為，樣本方差為；總樣本的平均數(shù)為．
記總樣本的樣本方差為，
則．
所以，這20人答對(duì)題目的樣本均值為1.2，樣本方差為0.76．
（2）設(shè)事件A為“李明同學(xué)從乙箱中抽出的第1個(gè)題是選擇題”，
事件為“王剛同學(xué)從甲箱中取出2個(gè)題都是選擇題”，
事件為“王剛同學(xué)從甲箱中取出1個(gè)選擇題1個(gè)填空題"，
事件為“王剛同學(xué)從甲箱中取出2個(gè)題都是填空題”，
則、、，彼此互斥，且，
，，，
，，，
所求概率即是A發(fā)生的條件下發(fā)生的概率：
．
15．（2023·山東聊城·統(tǒng)考一模）某中學(xué)在高一學(xué)生選科時(shí)，要求每位學(xué)生先從物理和和歷史這兩個(gè)科目中選定一個(gè)科目，再從思想政治、地理、化學(xué)、生物這四個(gè)科目中任選兩個(gè)科目．選科工作完成后，為了解該校高一學(xué)生的選科情況，隨機(jī)抽取了部分學(xué)生作為樣本，對(duì)他們的選科情況統(tǒng)計(jì)后得到下表：
(1)利用上述樣本數(shù)據(jù)填寫以下列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析以上兩類學(xué)生對(duì)生物學(xué)科的選法是否存在差異．
(2)假設(shè)該校高一所有學(xué)生中有的學(xué)生選擇了物理類，其余的學(xué)生都選擇了歷史類，且在物理類的學(xué)生中其余兩科選擇的是地理和化學(xué)的概率為，而在歷史類的學(xué)生中其余兩科選擇的是地理和化學(xué)的概率為．若從該校高一所有學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生，用表示這100名學(xué)生中同時(shí)選擇了地理和化學(xué)的人數(shù)，求隨機(jī)變量的均值．
附：
【答案】(1)存在
(2)16
【分析】（1）根據(jù)題意完善列聯(lián)表，根據(jù)表中數(shù)據(jù)求，并與臨界值對(duì)比分析；
（2）根據(jù)全概率公式求，可得，再根據(jù)二項(xiàng)分布求.
【詳解】（1）由題意可得：選擇物理類的總?cè)藬?shù)有600，其中選擇生物學(xué)科的人數(shù)為180，不選擇生物學(xué)科的人數(shù)為420；選擇歷史類的總?cè)藬?shù)有400，其中選擇生物學(xué)科的人數(shù)為80，不選擇生物學(xué)科的人數(shù)為320；據(jù)此完善列聯(lián)表
零假設(shè)：兩類學(xué)生對(duì)生物學(xué)科的選法沒有差異，
可得，
由于，根據(jù)小概率值可知假設(shè)不成立，
故可以認(rèn)為兩類學(xué)生對(duì)生物學(xué)科的選法存在差異，且犯錯(cuò)誤的概率不大于.
（2）記“學(xué)生選擇物理類”為事件M，“學(xué)生選擇歷史類”為事件N，“同時(shí)選擇的地理和化學(xué)”為事件C，
則，
故，
由題意可得，則，
故隨機(jī)變量的均值.
16．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）口袋中共有7個(gè)質(zhì)地和大小均相同的小球，其中4個(gè)是黑球，現(xiàn)采用不放回抽取方式每次從口袋中隨機(jī)抽取一個(gè)小球，直到將4個(gè)黑球全部取出時(shí)停止.
(1)記總的抽取次數(shù)為X，求E（X）；
(2)現(xiàn)對(duì)方案進(jìn)行調(diào)整：將這7個(gè)球分裝在甲乙兩個(gè)口袋中，甲袋裝3個(gè)小球，其中2個(gè)是黑球；乙袋裝4個(gè)小球，其中2個(gè)是黑球.采用不放回抽取方式先從甲袋每次隨機(jī)抽取一個(gè)小球，當(dāng)甲袋的2個(gè)黑球被全部取出后再用同樣方式在乙袋中進(jìn)行抽取，直到將乙袋的2個(gè)黑球也全部取出后停止.記這種方案的總抽取次數(shù)為Y，求E（Y）并從實(shí)際意義解釋E（Y）與（1）中的E（X）的大小關(guān)系.
【答案】(1)
(2)6，答案見解析
【分析】（1）確定X可能取值為4，5，6，7，分別求出概率后，由期望公式計(jì)算出期望；
（2）Y可能取值為4，5，6，7，設(shè)甲袋和乙袋抽取次數(shù)分別為和，利用獨(dú)立事件概率公式求得的概率，再由期望公式計(jì)算出期望，根據(jù)白球?qū)θ〉近\球的影響說明期望的大小關(guān)系．
【詳解】（1）X可能取值為4，5，6，7，
，
；
（2）Y可能取值為4，5，6，7，設(shè)甲袋和乙袋抽取次數(shù)分別為和 ，
，
，
，
，
.
在將球分裝時(shí)，甲袋中的黑球取完后直接取乙袋，若此時(shí)甲袋中還有其它球，則該球的干擾作用已經(jīng)消失，所以同樣是要取出4個(gè)黑球，調(diào)整后的方案總抽取次數(shù)的期望更低.
17．（2023·湖北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）某市舉行招聘考試，共有4000人參加，分為初試和復(fù)試，初試通過后參加復(fù)試．為了解考生的考試情況，隨機(jī)抽取了100名考生的初試成績，并以此為樣本繪制了樣本頻率分布直方圖，如圖所示．
(1)根據(jù)頻率分布直方圖，試求樣本平均數(shù)的估計(jì)值；
(2)若所有考生的初試成績X近似服從正態(tài)分布，其中為樣本平均數(shù)的估計(jì)值，，試估計(jì)初試成績不低于88分的人數(shù)；
(3)復(fù)試共三道題，第一題考生答對(duì)得5分，答錯(cuò)得0分，后兩題考生每答對(duì)一道題得10分，答錯(cuò)得0分，答完三道題后的得分之和為考生的復(fù)試成績．已知某考生進(jìn)入復(fù)試，他在復(fù)試中第一題答對(duì)的概率為，后兩題答對(duì)的概率均為，且每道題回答正確與否互不影響．記該考生的復(fù)試成績?yōu)閅，求Y的分布列及均值．
附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則：，，．
【答案】(1)
(2)人
(3)分布列見解析，均值為
【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖的平均數(shù)的估算公式即可求解；
(2)由可知即可求解；
(3)根據(jù)題意確定Y的取值分別為0，5，10，15，20，25，利用獨(dú)立性可求得分布列，進(jìn)而求得均值.
【詳解】（1）樣本平均數(shù)的估計(jì)值為．
（2）因?yàn)閷W(xué)生初試成績X服從正態(tài)分布，其中，，
則，
所以，
所以估計(jì)初試成績不低于88分的人數(shù)為人．
（3）Y的取值分別為0，5，10，15，20，25，
則，
，
，
，
，
，
故Y的分布列為：
所以數(shù)學(xué)期望為．
18．（2023·湖北武漢·華中師大一附中校聯(lián)考模擬預(yù)測）某地區(qū)區(qū)域發(fā)展指數(shù)評(píng)價(jià)指標(biāo)體系基于五大發(fā)展理念構(gòu)建，包括創(chuàng)新發(fā)展、協(xié)調(diào)發(fā)展、綠色發(fā)展、開放發(fā)展和共享發(fā)展5個(gè)一級(jí)指標(biāo)．該地區(qū)區(qū)域發(fā)展指數(shù)測算方法以2015年作為基期并設(shè)指數(shù)值為100，通過時(shí)序變化，觀察創(chuàng)新發(fā)展、協(xié)調(diào)發(fā)展、綠色發(fā)展、開放發(fā)展和共享發(fā)展5個(gè)分領(lǐng)域指數(shù)值的變動(dòng)趨勢．分別計(jì)算創(chuàng)新發(fā)展、協(xié)調(diào)發(fā)展、綠色發(fā)展、開放發(fā)展和共享發(fā)展5個(gè)分指數(shù)，然后合成為該地區(qū)區(qū)域發(fā)展總指數(shù)，如下圖所示．
若年份x（2015年記為，2016年記為，以此類推）與發(fā)展總指數(shù)y存在線性關(guān)系．
(1)求年份x與發(fā)展總指數(shù)y的回歸方程；
(2)若規(guī)定發(fā)展總指數(shù)大于115的年份為和諧發(fā)展年，和諧發(fā)展年中發(fā)展總指數(shù)低于130的視為良好，記1分，發(fā)展總指數(shù)大于130的視為優(yōu)秀，記2分，從和諧發(fā)展年中任取三年，用X表示賦分之和，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
參考公式：回歸方程，其中，，，．
【答案】(1)
(2)分布列見解析，
【分析】（1）利用已知數(shù)據(jù)求，，利用公式和參考數(shù)據(jù)求，，由此可得回歸方程；
（2）由條件確定隨機(jī)變量的可能取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列，再由均值公式求均值.
【詳解】（1）由已知，
所以
又
所以，
因?yàn)椋?br>所以，
∴．
（2）由題可知，和諧發(fā)展年有5個(gè)，其中計(jì)分為1分的年份有3個(gè)，計(jì)分為2分的年份有2個(gè)．
∴，，．
所以X的分布列為
數(shù)學(xué)期望為．
19．（2023春·江蘇南京·高三南京師范大學(xué)附屬中學(xué)江寧分校校聯(lián)考階段練習(xí)）某學(xué)校為了了解高一學(xué)生安全知識(shí)水平，對(duì)高一年級(jí)學(xué)生進(jìn)行“消防安全知識(shí)測試”，并且規(guī)定“體能達(dá)標(biāo)”預(yù)測成績小于60分的為“不合格”，否則為“合格”．若該?！安缓细瘛钡娜藬?shù)不超過總?cè)藬?shù)的，則該年級(jí)知識(shí)達(dá)標(biāo)為“合格”；否則該年級(jí)知識(shí)達(dá)標(biāo)為“不合格”，需要重新對(duì)該年級(jí)學(xué)生進(jìn)行消防安全培訓(xùn)．現(xiàn)從全體高一學(xué)生中隨機(jī)抽取10名，并將這10名學(xué)生隨機(jī)分為甲、乙兩個(gè)組，其中甲組有6名學(xué)生，乙組有4名學(xué)生．甲組的平均成績?yōu)?0，標(biāo)準(zhǔn)差為4；乙組的平均成績?yōu)?0，標(biāo)準(zhǔn)差為6（題中所有數(shù)據(jù)的最后結(jié)果都精確到整數(shù)）．
(1)求這10名學(xué)生測試成績的平均分和標(biāo)準(zhǔn)差；
(2)假設(shè)高一學(xué)生的知識(shí)測試成績服從正態(tài)分布．將上述10名學(xué)生的成績作為樣品，用樣本平均數(shù)作為的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值．利用估計(jì)值估計(jì)：高一學(xué)生知識(shí)達(dá)標(biāo)是否“合格”？
(3)已知知識(shí)測試中的多項(xiàng)選擇題中，有4個(gè)選項(xiàng)．小明知道每道多項(xiàng)選擇題均有兩個(gè)或三個(gè)正確選項(xiàng)．但根據(jù)得分規(guī)則：全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．這樣，小明在做多項(xiàng)選擇題時(shí)，可能選擇一個(gè)選項(xiàng)，也可能選擇兩個(gè)或三個(gè)選項(xiàng)，但不會(huì)選擇四個(gè)選項(xiàng)．假設(shè)小明在做該道多項(xiàng)選擇題時(shí)，基于已有的解題經(jīng)驗(yàn)，他選擇一個(gè)選項(xiàng)的概率為，選擇兩個(gè)選項(xiàng)的概率為，選擇三個(gè)選項(xiàng)的概率為．已知該道多項(xiàng)選擇題只有兩個(gè)正確選項(xiàng)，小明完全不知道四個(gè)選項(xiàng)的正誤，只好根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)隨機(jī)選擇．記表示小明做完該道多項(xiàng)選擇題后所得的分?jǐn)?shù)．求的分布列及數(shù)學(xué)期望．
附：①個(gè)數(shù)的方差；
②若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．
【答案】(1)；；
(2)能；
(3)分布列見解析；．
【分析】（1）計(jì)算出，以及與的值，再利用標(biāo)準(zhǔn)差公式即可；
（2）首先由題得，，再根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性計(jì)算出，最后得到不合格人數(shù)，得到合格率.
（3）的可能取值為0，2，5，分別計(jì)算出其概率，得到分布列，最后得到期望.
【詳解】（1），
，解得，
，解得，
這40名學(xué)生的方差為
，
．
（2）由，，得的估計(jì)值，的估計(jì)值，
，
，
從而高三年級(jí)1000名學(xué)生中，不合格的有（人），
又，所以高三年級(jí)學(xué)生體能達(dá)標(biāo)為“合格”．
（3）由題意得，的可能取值為0，2，5，
，
，
，
的分布列為
．
20．（2023春·湖南長沙·高三長沙一中?？茧A段練習(xí)）某學(xué)校為了弘揚(yáng)中華傳統(tǒng)文化，組織開展中華傳統(tǒng)文化活動(dòng)周，活動(dòng)周期間舉辦中華傳統(tǒng)文化知識(shí)競賽活動(dòng)，以班級(jí)為單位參加比賽，每班通過中華傳統(tǒng)文化知識(shí)競答活動(dòng)，擇優(yōu)選拔5人代表班級(jí)參加年級(jí)比賽.年級(jí)比賽分為預(yù)賽與決賽二階段進(jìn)行，預(yù)賽階段的賽制為：將兩組中華傳統(tǒng)文化的們答題放在甲、乙兩個(gè)紙箱中，甲箱有5個(gè)選擇題和3個(gè)填空題，乙箱中有4個(gè)選擇題和3個(gè)填空題，比賽中要求每個(gè)班級(jí)代表隊(duì)在甲或乙兩個(gè)紙箱中隨機(jī)抽取兩題作答.每個(gè)班級(jí)代表隊(duì)先抽取一題作答，答完后試題不放回紙箱中，再抽取第二題作答，兩題答題結(jié)束后，再將這兩個(gè)試題放回原紙箱中.
(1)若1班代表隊(duì)從甲箱中抽取了2個(gè)試題，答題結(jié)束后錯(cuò)將題目放入了乙箱中，接著2班代表隊(duì)答題，2班代表隊(duì)抽取第一題時(shí)，從乙箱中抽取試題.已知2班代表隊(duì)從乙箱中取出的是選擇題，求1班代表隊(duì)從甲箱中取出的是2個(gè)選擇題的概率；
(2)經(jīng)過預(yù)賽，成績最好的6班代表隊(duì)和18班代表隊(duì)進(jìn)入決賽，決賽采用成語接龍的形式進(jìn)行，采用五局三勝制，即兩班代表隊(duì)中先勝三局的代表隊(duì)贏得這場比賽，比賽結(jié)束.已知第一局比賽6班代表隊(duì)獲勝的概率為，18班代表隊(duì)勝的概率為，且每一局的勝者在接下來一局獲勝的概率為，每局必分勝負(fù).記比賽結(jié)束時(shí)比賽局?jǐn)?shù)為隨機(jī)變量X，求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）根據(jù)古典概型概率公式、全概率公式可得2班代表隊(duì)從乙箱中取出1個(gè)選擇題的概率，然后根據(jù)條件概率公式計(jì)算即可；
（2）由題意知：X的可能取值為3，4，5，分別計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率，利用數(shù)學(xué)期望的公式計(jì)算.
【詳解】（1）設(shè)事件A為“2班代表隊(duì)從乙箱中取出1個(gè)選擇題”，事件為“1班代表隊(duì)從甲箱中取出2個(gè)都是選擇題”，事件為“1班代表隊(duì)從甲箱中取出1個(gè)選擇題1個(gè)填空題”，事件為“I班代表隊(duì)從甲箱中取出2個(gè)題都是填空題”
則、、彼此互斥，且，
因?yàn)?，，
所以 ，，，
，
所求概率即是A發(fā)生的條件下發(fā)生的概率：
.
（2）由題意知：X的可能取值為3、4、5，
兩班代表隊(duì)打完三局恰好結(jié)束比賽的基本事件有{三局6班勝}，{三局18班勝}，
而第一局比賽6班獲勝的概率為，則第一局比賽18班獲勝的概率為，又勝者在接下來一局獲勝的概率為，
所以，
當(dāng)時(shí)，前三局{兩局6班勝，一局18班勝，最后6班勝}，{兩局18班勝，一局6班勝，最后18班勝}，
最后6班勝概率為，

最后18班勝概率為 ，
所以，
則有，
綜上，.
21．（2023春·湖南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）某學(xué)校食堂中午和晩上都會(huì)提供兩種套餐（每人每次只能選擇其中一種），經(jīng)過統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn)：學(xué)生中午選擇類套餐的概率為，選擇類套餐的概率為；在中午選擇類套餐的前提下，晩上還選擇類套餐的概率為，選擇類套餐的概率為；在中午選擇類套餐的前提下，晩上選擇類套餐的概率為，選擇類套餐的概率為.
(1)若同學(xué)甲晩上選擇類套餐，求同學(xué)甲中午也選擇類套餐的概率；
(2)記某宿舍的4名同學(xué)在晩上選擇類套餐的人數(shù)為，假設(shè)每名同學(xué)選擇何種套餐是相互獨(dú)立的，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
【答案】(1)
(2)分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：
【分析】（1）根據(jù)條件概率和全概率公式計(jì)算即可；
（2）分別求出,1,2,3,4時(shí)的概率，得到分布列，然后求期望即可.
【詳解】（1）設(shè)事件為同學(xué)甲晩上選擇類套餐，事件為同學(xué)甲中午選擇類套餐，事件為同學(xué)甲中午選擇類套餐，則，
，
所以，即同學(xué)甲晩上選擇類套餐，中午也選擇類套餐的概率為.
（2）晩上選擇類套餐的概率；
晩上選擇類套餐的概率.
所以4名同學(xué)在晩上有個(gè)人選擇類套餐，的所有可能取值為，
則，
所以，，，，，
所以的分布列為
故.
22．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點(diǎn)，也稱強(qiáng)基計(jì)劃，強(qiáng)基計(jì)劃是教育部開展的招生改革工作，主要是為了選拔培養(yǎng)有志于服務(wù)國家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎(chǔ)學(xué)科拔尖的學(xué)生.聚焦高端芯片與軟件?智能科技?新材料?先進(jìn)制造和國家安全等關(guān)鍵領(lǐng)域以及國家人才緊缺的人文社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域.某校在一次強(qiáng)基計(jì)劃模擬考試后，從全體考生中隨機(jī)抽取52名，獲取他們本次考試的數(shù)學(xué)成績（x）和物理成績（y），繪制成如圖散點(diǎn)圖：
根據(jù)散點(diǎn)圖可以看出y與x之間有線性相關(guān)關(guān)系，但圖中有兩個(gè)異常點(diǎn)A，B.經(jīng)調(diào)查得知，A考生由于重感冒導(dǎo)致物理考試發(fā)揮失常，B考生因故未能參加物理考試.為了使分析結(jié)果更科學(xué)準(zhǔn)確，剔除這兩組數(shù)據(jù)后，對(duì)剩下的數(shù)據(jù)作處理，得到一些統(tǒng)計(jì)的值：，，，，，其中分別表示這50名考生的數(shù)學(xué)成績?物理成績，，2，…，50，y與x的相關(guān)系數(shù).
(1)若不剔除A，B兩名考生的數(shù)據(jù)，用52組數(shù)據(jù)作回歸分析，設(shè)此時(shí)y與x的相關(guān)系數(shù)為.試判斷與r的大小關(guān)系（不必說明理由）；
(2)求y關(guān)于x的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01），并估計(jì)如果B考生加了這次物理考試（已知B考生的數(shù)學(xué)成績?yōu)?25分），物理成績是多少？（精確到0.1）
附：線性回歸方程中：.
【答案】(1)
(2)，估計(jì)B考生的物理成績約為81.2分
【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合散點(diǎn)圖，即可求解．
（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合最小二乘法，以及線性回歸方程的公式，求出線性回歸方程，再將代入，即可求解．
【詳解】（1）
理由如下：由圖可知，與成正相關(guān)關(guān)系，
①異常點(diǎn)，會(huì)降低變量之間的線性相關(guān)程度，
②52個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)與其回歸直線的總偏差更大，回歸效果更差，所以相關(guān)系數(shù)更小，
③50個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)與其回歸直線的總偏差更小，回歸效果更好，所以相關(guān)系數(shù)更大，
④50個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)更貼近其回歸直線，
⑤52個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)與其回歸直線更離散．
（2）由題中數(shù)據(jù)可得：，
所以，所以，
，
所以，
將代入，得，
所以估計(jì)B考生的物理成績約為81.2分.
23．（2023·湖南常德·統(tǒng)考一模）某水表制造有限公司，是一家十分優(yōu)質(zhì)的水表制造公司，該公司有3條水表表盤生產(chǎn)線.
(1)某檢驗(yàn)員每天從其中的一條水表表盤生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取100個(gè)表盤進(jìn)行檢測，根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為該條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的水表表盤尺寸服從正態(tài)分布N（μ，）.記X表示一天內(nèi)抽取的100個(gè)表盤中其尺寸在之外的個(gè)數(shù)，求P及X的數(shù)學(xué)期望；
(2)該公司的3條水表表盤生產(chǎn)線其次品率和生產(chǎn)的表盤所占比例如下表：
現(xiàn)從所生產(chǎn)的表盤中隨機(jī)抽取一只，若已知取到的是次品，試求該次品分別由三條生產(chǎn)線所生產(chǎn)的概率，并分析該次品來自哪條生產(chǎn)線的可能性最大（用頻率代替概率）.
附：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N（），則，
【答案】(1)，；
(2)答案見解析
【分析】（1）根據(jù)題意得到抽取的一個(gè)表盤的尺寸在之內(nèi)的概率為0.9973，從而零件的尺寸在之外的概率為0.0027，判斷服從二項(xiàng)分布，結(jié)合參考數(shù)據(jù)，即可求解；
（2）設(shè)A表示“取到的是一只次品”，表示“所取到的產(chǎn)品是由第i條生產(chǎn)線生產(chǎn)”，根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)結(jié)合全概率公式得到，再分別求出次品分別由三條生產(chǎn)線所生產(chǎn)的概率，比較大小即可.
【詳解】（1）抽取的一個(gè)表盤的尺寸在之內(nèi)的概率為0.9973，從而零件的尺寸在之外的概率為0.0027，
由題可知，
所以，
且X的數(shù)學(xué)期望為，
（2）設(shè)A表示“取到的是一只次品”，表示“所取到的產(chǎn)品是由第i條生產(chǎn)線生產(chǎn)”，
由題意得：，，，
，
，
所以，
，
，
故該次品來自第1條生產(chǎn)線的可能性最大.
24．（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考二模）為響應(yīng)習(xí)近平總書記“全民健身”的號(hào)召，促進(jìn)學(xué)生德智體美勞全面發(fā)展，某校舉行校園足球比賽．根據(jù)比賽規(guī)則，淘汰賽階段，參賽雙方有時(shí)需要通過“點(diǎn)球大戰(zhàn)”的方式?jīng)Q定勝負(fù)．“點(diǎn)球大戰(zhàn)”的規(guī)則如下：
①兩隊(duì)各派5名隊(duì)員，雙方輪流踢點(diǎn)球，累計(jì)進(jìn)球個(gè)數(shù)多者勝；
②如果在踢滿5輪前，一隊(duì)的進(jìn)球數(shù)已多于另一隊(duì)踢滿5輪最多可能射中的球數(shù)，則不需要再踢（例如：第4輪結(jié)束時(shí)，雙方“點(diǎn)球大戰(zhàn)”的進(jìn)球數(shù)比為，則不需要再踢第5輪）；
③若前5輪“點(diǎn)球大戰(zhàn)”中雙方進(jìn)球數(shù)持平，則從第6輪起，雙方每輪各派1人踢點(diǎn)球，若均進(jìn)球或均不進(jìn)球，則繼續(xù)下一輪，直到出現(xiàn)一方進(jìn)球另一方不進(jìn)球的情況，進(jìn)球方勝出．
假設(shè)每輪點(diǎn)球中進(jìn)球與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響．
(1)假設(shè)踢點(diǎn)球的球員等可能地隨機(jī)選擇球門的左、中、右三個(gè)方向射門，門將也會(huì)等可能地選擇球門的左、中、右三個(gè)方向來撲點(diǎn)球，而且門將即使方向判斷正確，左右兩邊將球撲出的可能性為，中間方向撲出的可能性為．若球員射門均在門內(nèi)，在一次“點(diǎn)球大戰(zhàn)”中，求門將在前4次撲出點(diǎn)球的個(gè)數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．
(2)現(xiàn)有甲、乙兩隊(duì)在淘汰賽中相遇，需要通過“點(diǎn)球大戰(zhàn)”來決定勝負(fù)．設(shè)甲隊(duì)每名隊(duì)員射進(jìn)點(diǎn)球的概率均為，乙隊(duì)每名隊(duì)員射進(jìn)點(diǎn)球的概率均為，若甲隊(duì)先踢，求甲隊(duì)恰在第4輪取得勝利的概率．
【答案】(1)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為；
(2)
【分析】（1）根據(jù)二項(xiàng)分布的概率計(jì)算公式即可求解
（2）根據(jù)前3輪比分為，，，，時(shí)，結(jié)合相互獨(dú)立事件的概率乘法計(jì)算公式即可逐一求解.
【詳解】（1）（每次撲出點(diǎn)球）．
的所有可能取值為0，1，2，3，4．∴．
．
．
．
．
∴的分布列
∴．
（2）若甲隊(duì)恰在第4輪取得勝利，則前3輪結(jié)束時(shí)比分可能為，，，，．分別記前3輪比分為，，，，且甲隊(duì)恰在第4輪取得勝利，事件分別為A，B，C，D，E．
．
．
．
．
．
故（甲隊(duì)恰在第4輪取得勝利）．
∴甲隊(duì)恰在第4輪取得勝利的概率為．
25．（2023秋·浙江寧波·高三期末）甲、乙兩位棋手，與同一臺(tái)智能機(jī)器人進(jìn)行國際象棋比賽，相互獨(dú)立，互不影響，記分規(guī)則如下：在一輪比賽中，如果甲贏而乙輸，則甲得1分；如果甲輸而乙贏，則甲得分；如果甲和乙同時(shí)贏或同時(shí)輸，則甲得0分.設(shè)甲贏機(jī)器人的概率為0.6，乙贏機(jī)器人的概率0.5.記甲在一輪比賽中的得分記為X，在兩輪比賽中的得分為Y.
(1)若甲單獨(dú)與機(jī)器人進(jìn)行三次比賽，求甲恰有兩次贏的概率；
(2)求X的分布列；
(3)求Y的均值.
【答案】(1)0.432
(2)分布列見解析
(3)
【分析】（1）利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)求概率公式進(jìn)行求解；
（2）寫出X的可能取值及相應(yīng)的概率，得到分布列；
（3）在第二問的基礎(chǔ)上，寫出Y的可能取值及相應(yīng)的概率，得到分布列，得到均值.
【詳解】（1）設(shè)甲恰有兩次贏的概率為，
；
（2）X的可能取值為，0，1.
根據(jù)記分規(guī)則，得，
，
，
所以X的分布列為
（3）兩輪比賽甲的得分Y的可能取值為.
由于兩輪比賽的結(jié)果是獨(dú)立的，所以
，
，
，
所以Y的分布列為
故.
26．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考模擬預(yù)測）糟蛋是新鮮鴨蛋（或雞蛋）用優(yōu)質(zhì)糯米糟制而成，是中國別具一格的特色傳統(tǒng)美食，以浙江平湖糟蛋、陜州糟蛋和四川宜賓糟蛋最為著名.平湖糟蛋采用優(yōu)質(zhì)鴨蛋、上等糯米和酒糟糟漬而成，經(jīng)過糟漬蛋殼脫落，只有一層薄膜包住蛋體，其蛋白呈乳白色，蛋黃為橘紅色，味道鮮美.糟蛋營養(yǎng)豐富，每百克中約含蛋白質(zhì)15.8克、鈣24.8克、磷11.1克、鐵0.31克，并含有維持人體新陳代謝必須的18種氨基酸.現(xiàn)有平湖糟蛋的兩家生產(chǎn)工廠，產(chǎn)品按質(zhì)量分為特級(jí)品、一級(jí)品和二級(jí)品，其中特級(jí)品和一級(jí)品都是優(yōu)等品，二級(jí)品為合格品.為了比較兩家工廠的糟蛋質(zhì)量，分別從這兩家工廠的產(chǎn)品中各選取了200個(gè)糟蛋，產(chǎn)品質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)如下表：
(1)從400個(gè)糟蛋中任取一個(gè)，記事件表示取到的糟蛋是優(yōu)等品，事件表示取到的糟蛋來自于工廠甲.求；
(2)依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，從優(yōu)等品與合格品的角度能否據(jù)此判斷兩家工廠生產(chǎn)的糟蛋質(zhì)量有差異？
附：參考公式：，其中.
獨(dú)立性檢驗(yàn)臨界值表：
【答案】(1)
(2)認(rèn)為兩家工廠生產(chǎn)的糟蛋質(zhì)量有差異
【分析】（1）根據(jù)條件概率的知識(shí)求得.
（2）先繪制列聯(lián)表，然后計(jì)算的值，從而作出判斷.
【詳解】（1）.
（2）列聯(lián)表：
零假設(shè)為：兩家工廠生產(chǎn)的糟蛋質(zhì)量沒有差異.
，
依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為兩家工廠生產(chǎn)的糟蛋質(zhì)量有差異.
27．（2023春·浙江寧波·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）據(jù)第19屆亞運(yùn)會(huì)組委會(huì)消息，杭州亞運(yùn)會(huì)將于2023年9月23日至10月8日舉行，為此，某校開展了青少年亞運(yùn)會(huì)知識(shí)問答競賽，有400名學(xué)生參賽，競賽成績所得分?jǐn)?shù)的分組區(qū)間為，由此得到如下的頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表：
(1)若某學(xué)生得分不低于80分則認(rèn)為他亞運(yùn)會(huì)知識(shí)掌握良好，若某學(xué)生得分低于80分則認(rèn)為他亞運(yùn)會(huì)知識(shí)掌握一般，那么是否有95%的把握認(rèn)為該校學(xué)生對(duì)亞運(yùn)會(huì)知識(shí)的掌握情況與性別有關(guān)？
(2)利用對(duì)不同分?jǐn)?shù)段進(jìn)行分層抽樣的方式從參賽學(xué)生中隨機(jī)抽取20名學(xué)生作進(jìn)一步調(diào)研.
（i）從這20名學(xué)生中依次再抽取3名進(jìn)行調(diào)查分析，求在第一次抽出的1名學(xué)生分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)的條件下，后兩次抽出的2名學(xué)生分?jǐn)?shù)都在內(nèi)的概率；
（ii）從這20名學(xué)生中再任取3名進(jìn)行調(diào)查分析，記取出的3人中分?jǐn)?shù)在[90,100]內(nèi)的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
附：
【答案】(1)有95%的把握認(rèn)為該校學(xué)生對(duì)亞運(yùn)會(huì)知識(shí)的掌握情況與性別有關(guān)；
(2)（i）；（ii）分布列見解析，.
【分析】（1）由題設(shè)完善列聯(lián)表，應(yīng)用卡方公式求卡方值，根據(jù)獨(dú)立檢驗(yàn)的基本思想得結(jié)論；
（2）（i）分層抽樣性質(zhì)求、抽取的人數(shù)，應(yīng)用排列、組合及古典概率求法求第一次抽出1名學(xué)生分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)、同時(shí)后兩次抽出的2名學(xué)生分?jǐn)?shù)在同一分組區(qū)間內(nèi)的概率，應(yīng)用條件概率公式求概率；
（ii）由題意的可能取值有，進(jìn)而求其分布列并求期望值.
【詳解】（1）根據(jù)題意得如下2×2列聯(lián)表
因此，有95%的把握認(rèn)為該校學(xué)生對(duì)亞運(yùn)會(huì)知識(shí)的掌握情況與性別有關(guān).
（2）
分層抽樣得分位于的共有6人，得分位于的有5人，
（i）記事件：第一次抽出1名學(xué)生分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)，
記事件：后兩次抽出的2名學(xué)生分?jǐn)?shù)在同一分組區(qū)間內(nèi)，
則，
由條件概率公式得；
（ii）由題意知，的可能取值有，
故，
故的分布列如下，
.
28．（2023·浙江·校聯(lián)考三模）大壩是一座具有灌溉、防洪、發(fā)電、航運(yùn)、養(yǎng)殖和游覽等綜合效益的大型水利樞紐工程．為預(yù)測滲壓值和控制庫水位，工程師在水庫選取一支編號(hào)為的滲壓計(jì)，隨機(jī)收集個(gè)該滲壓計(jì)管內(nèi)水位和水庫水位監(jiān)測數(shù)據(jù)：
并計(jì)算得，，．
(1)估計(jì)該水庫中號(hào)滲壓計(jì)管內(nèi)平均水位與水庫的平均水位；
(2)求該水庫號(hào)滲壓計(jì)管內(nèi)水位與水庫水位的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到）；
(3)某天雨后工程師測量了水庫水位，并得到水庫的水位為．利用以上數(shù)據(jù)給出此時(shí)號(hào)滲壓計(jì)管內(nèi)水位的估計(jì)值．
附：相關(guān)系數(shù)，，，．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算方法直接求解即可；
（2）根據(jù)表格數(shù)據(jù)計(jì)算得到相關(guān)系數(shù)公式中的各個(gè)數(shù)據(jù)，代入公式即可；
（3）由最小二乘法可求得經(jīng)驗(yàn)回歸方程，代入即可求得預(yù)估值.
【詳解】（1）水庫的平均水位，
號(hào)滲壓計(jì)管內(nèi)平均水位.
（2），
同理可得：，
，
（3），，
號(hào)滲壓計(jì)管內(nèi)水位關(guān)于水庫水位的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，
當(dāng)時(shí)，預(yù)測值，
即水庫的水位為時(shí)，號(hào)滲壓計(jì)管內(nèi)水位的估計(jì)值為.
29．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考二模）在一次全市的聯(lián)考中，某校高三有100位學(xué)生選擇“物化生”組合，100位學(xué)生選擇“物化地”組合，現(xiàn)從上述的學(xué)生中分層抽取100人，將他們此次聯(lián)考的化學(xué)原始成績作為樣本，分為6組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)求直方圖中的值；
(2)在抽取的100位學(xué)生中，規(guī)定原始成績不低于80分為“優(yōu)秀”，低于80分為“不夠優(yōu)秀"，請(qǐng)將下面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有的把握認(rèn)為成績是否優(yōu)秀與所選的組合有關(guān)？
(3)浙江省高考的選考科目采用等級(jí)賦分制，等級(jí)賦分的分差為1分，具體操作步驟如下：
第一步：將原始成績從高到低排列，按人數(shù)比例劃分為20個(gè)賦分區(qū)間．
第二步：對(duì)每個(gè)區(qū)間的原始成績進(jìn)行等比例轉(zhuǎn)換，公式為：
其中分別是該區(qū)間原始成績的最低分?最高分；分別是該區(qū)間等級(jí)分的最低分?最高分；為某考生原始成績，為轉(zhuǎn)換結(jié)果．
第三步：將轉(zhuǎn)換結(jié)果四舍五入，確定為該考生的最終等級(jí)分．
本次聯(lián)考采用浙江選考等級(jí)賦分制，已知全市所有的考生原始成績從高到低前的考生被劃分至的賦分區(qū)間，甲?乙兩位考生的化學(xué)原始成績分別為，最終的等級(jí)分為98?99．試問：本次聯(lián)考全市化學(xué)原始成績的最高分是否可能是91分？請(qǐng)說明理由．
附：，其中．
【答案】(1)；
(2)填表見解析；沒有的把握認(rèn)為成績是否優(yōu)秀與所選的組合有關(guān)；
(3)最高分不可能是91分，理由見解析.
【分析】（1）利用頻率分布直方圖所有小矩形面積和為1，列式計(jì)算作答.
（2）利用頻率分布直方圖求出“優(yōu)秀”人數(shù)，完善列聯(lián)表，再求出的預(yù)測值并作答.
（3）假定最高分是91分，求出甲乙的等級(jí)分成績即可判斷作答.
【詳解】（1）由頻率分布直方圖得：，解得，
所以直方圖中的值是.
（2）由頻率分布直方圖“優(yōu)秀”人數(shù)為人，則不夠優(yōu)秀的為85人，
所以列聯(lián)表為：
零假設(shè)：成績是否優(yōu)秀與所選的組合無關(guān)，
因此，
所以沒有的把握認(rèn)為成績是否優(yōu)秀與所選的組合有關(guān)．
（3）假設(shè)本次聯(lián)考全市化學(xué)原始成績的最高分是91分，
則有，
此時(shí)99.73四舍五入后變?yōu)?00分，與99分矛盾，因此假設(shè)不成立，
所以本次聯(lián)考全市化學(xué)原始成績的最高分不可能是91分.
30．（2023·江蘇南通·二模）我國風(fēng)云系列衛(wèi)星可以監(jiān)測氣象和國土資源情況．某地區(qū)水文研究人員為了了解汛期人工測雨量x（單位：dm）與遙測雨量y（單位：dm）的關(guān)系，統(tǒng)計(jì)得到該地區(qū)10組雨量數(shù)據(jù)如下：
并計(jì)算得
(1)求該地區(qū)汛期遙測雨量y與人工測雨量x的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01），并判斷它們是否具有線性相關(guān)關(guān)系；
(2)規(guī)定：數(shù)組（xi ，yi）滿足| xi ??yi | < 0.1為“Ⅰ類誤差”；滿足0.1≤| xi ??yi | < 0.3為“Ⅱ類誤差”；滿足| xi ??yi |≥0.3為“Ⅲ類誤差”．為進(jìn)一步研究，該地區(qū)水文研究人員從“Ⅰ類誤差”、“Ⅱ類誤差”中隨機(jī)抽取3組數(shù)據(jù)與“Ⅲ類誤差”數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，記抽到“Ⅰ類誤差”的數(shù)據(jù)的組數(shù)為X，求X的概率分布與數(shù)學(xué)期望．
附：相關(guān)系數(shù)
【答案】(1)0.98，汛期遙測雨量y與人工測雨量x有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系
(2)分布列見解析，
【分析】（1）根據(jù)公式求出樣本相關(guān)系數(shù)，由數(shù)據(jù)判斷線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱；
（2）由的所有可能取值，計(jì)算相應(yīng)的概率，得到分布列，再求數(shù)學(xué)期望.
【詳解】（1）因?yàn)?，?br>代入已知數(shù)據(jù)，
得．
所以汛期遙測雨量y與人工測雨量x有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.
（2）依題意，“I類誤差”有5組，“II類誤差”有3組，“III類誤差”有2組．
若從“I類誤差”和“II類誤差”數(shù)據(jù)中抽取3組，抽到“I類誤差”的組數(shù)
的所有可能取值為.
則，
，
，
.
所以的概率分布為
所以X的數(shù)學(xué)期望.
另解：因?yàn)椋?
抗體
指標(biāo)值
合計(jì)
小于60
不小于60
有抗體
沒有抗體
合計(jì)
0.50
0.40
0.25
0.15
0.100
0.050
0.025
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
抗體
指標(biāo)值
合計(jì)
小于60
不小于60
有抗體
50
110
160
沒有抗體
20
20
40
合計(jì)
70
130
200
0.8
1.2
0.95
1.01
1.23
1.12
1.33
0.97
1.21
0.83
0
2500
7500
10000
折
折
折
折
天數(shù)
[0，5]
（5，10]
（10，15]
（15，20]
（20，25]
（25，30]
人數(shù)
4
15
33
31
11
6
性別
活動(dòng)天數(shù)
合計(jì)
[0，15]
（15，30]
男生
女生
合計(jì)
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
性別
活動(dòng)天數(shù)
合計(jì)
男生
20
30
50
女生
32
18
50
合計(jì)
52
48
100
1
6
0.904
0.096
1
12
0.801
0.199
思想政治
地理
化學(xué)
生物
物理類
100
120
200
180
歷史類
120
140
60
80
科類
生物學(xué)科選法
選
不選
合計(jì)
物理類
歷史類
合計(jì)
0.1
0.05
0.001
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
科類
生物學(xué)科選法
選
不選
合計(jì)
物理類
180
120
300
歷史類
80
120
200
合計(jì)
260
240
500
Y
0
5
10
15
20
25
P
X
3
4
5
P
0
2
5
0
1
2
3
4
生產(chǎn)線編號(hào)
次品率
所占比例
1
0.02
35%
2
0.01
50%
3
0.04
15%
0
1
2
3
4
X
0
1
P
0.2
0.5
0.3
Y
0
1
2
P
0.04
0.2
0.37
0.3
0.09
優(yōu)等品
合格品
合計(jì)
特級(jí)品
一級(jí)品
二級(jí)品
工廠甲
100
75
25
200
工廠乙
120
30
50
200
合計(jì)
220
105
75
400
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
優(yōu)等品
合格品
合計(jì)
工廠甲
175
25
200
工廠乙
150
50
200
合計(jì)
325
75
400
分?jǐn)?shù)區(qū)間
性別
男生/名
10
70
75
45
女生/名
10
90
45
55
0.10
0.05
0.010
2.706
3.841
6.635
男生
女生
合計(jì)
掌握良好
120
100
220
掌握一般
80
100
180
合計(jì)
200
200
400
分?jǐn)?shù)區(qū)間
頻率
0.05
0.4
0.3
0.25
0
1
2
3
樣本號(hào)
總和
水庫水位
滲壓計(jì)管內(nèi)水位
優(yōu)秀
不夠優(yōu)秀
總計(jì)
“物化生”組合
40
“物化地”組合
總計(jì)
0.10
0.05
0.01
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
優(yōu)秀
不夠優(yōu)秀
總計(jì)
“合物化生”組
10
40
50
“物化地”組
5
45
50
合總計(jì)
15
85
100
樣本號(hào)i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
人工測雨量xi
5.38
7.99
6.37
6.71
7.53
5.53
4.18
4.04
6.02
4.23
遙測雨量yi
5.43
8.07
6.57
6.14
7.95
5.56
4.27
4.15
6.04
4.49
| xi ??yi |
0.05
0.08
0.2
0.57
0.42
0.03
0.09
0.11
0.02
0.26
0
1
2
3
P

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