2、學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)形結(jié)合思想是指從幾何直觀的角度,利用幾何圖形的性質(zhì)研究數(shù)量關(guān)系，尋求代數(shù)問題的解決方法（以形助數(shù)），或利用數(shù)量關(guān)系來研究幾何圖形的性質(zhì)，解決幾何問題（以數(shù)助形）的一種數(shù)學(xué)思想。
3、要學(xué)會(huì)搶得分點(diǎn)。一道中考數(shù)學(xué)壓軸題解不出來，不等于“一點(diǎn)不懂、一點(diǎn)不會(huì)”，要將整道題目解題思路轉(zhuǎn)化為得分點(diǎn)。
4、學(xué)會(huì)運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)換思想。在研究數(shù)學(xué)問題時(shí)，我們通常是將未知問題轉(zhuǎn)化為已知的問題，將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問題，將抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的問題，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。
5、學(xué)會(huì)運(yùn)用分類討論的思想。如果不注意對(duì)各種情況分類討論，就有可能造成錯(cuò)解或漏解，縱觀近幾年的中考?jí)狠S題分類討論思想解題已成為新的熱點(diǎn)。
6、轉(zhuǎn)化思想:體現(xiàn)在數(shù)學(xué)上也就是要把難的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問題，把不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，把未知的問題轉(zhuǎn)化為已知的問題。
專題04尺規(guī)作圖
（角平分線、垂直平分線、作角等于已知角、作垂線）
類型一角平分線
1．（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）閱讀以下作圖步驟：
①在和上分別截取，使；
②分別以為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)；
③作射線，連接，如圖所示．
根據(jù)以上作圖，一定可以推得的結(jié)論是（ ）

A．且B．且
C．且D．且
【答案】A
【分析】由作圖過程可得：，再結(jié)合可得，由全等三角形的性質(zhì)可得即可解答．
【詳解】解：由作圖過程可得：，
∵，
∴．
∴．
∴A選項(xiàng)符合題意；
不能確定,則不一定成立，故B選項(xiàng)不符合題意；
不能確定,故C選項(xiàng)不符合題意，
不一定成立，則不一定成立，故D選項(xiàng)不符合題意．
故選A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的尺規(guī)作圖、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，理解尺規(guī)作圖過程是解答本題的關(guān)鍵．
2.如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，由圖中的尺規(guī)作圖得到的射線與AC交于點(diǎn)D，則以下推斷錯(cuò)誤的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)作圖過程可得BD平分∠ABC，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可解決問題．
【詳解】解：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=（180°-36°）=72°，
根據(jù)作圖過程可知：BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°，
∴∠BDC=180°-36°-72°=72°，∠ADB=∠DBC+∠ACB=36°+72°=108°，故選項(xiàng)C成立；
∵∠BDC=∠ACB=72°，
∴BD=BC，故選項(xiàng)A成立；
∵∠ABD=∠A=36°，
∴AD=BD，故選項(xiàng)B成立；
沒有條件能證明CD=AD，故選項(xiàng)D不成立；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-基本作圖，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握基本作圖方法．
3.（2022·浙江舟山·中考真題）用尺規(guī)作一個(gè)角的角平分線，下列作法中錯(cuò)誤的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)作圖軌跡及角平分線的定義判斷即可得出答案．
【詳解】A、如圖，
由作圖可知：，
又∵，
∴，
∴，
∴平分．
故A選項(xiàng)是在作角平分線，不符合題意；
B、如圖，
由作圖可知：，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵,，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴平分．
故B選項(xiàng)是在作角平分線，不符合題意；
C、如圖，
由作圖可知：，
∴,，
∴，
∴，
∴平分．
故C選項(xiàng)是在作角平分線，不符合題意；
D、如圖，
由作圖可知：，
又∵，
∴，
∴
故D選項(xiàng)不是在作角平分線，符合題意；
故選：D
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的作圖，全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
4．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)為圓心，以小于長(zhǎng)為半徑作弧，分別交于點(diǎn)，；②分別以，為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，在內(nèi)兩弧交于點(diǎn)；③作射線，交于點(diǎn)．若點(diǎn)到的距離為，則的長(zhǎng)為__________．
【答案】
【分析】根據(jù)作圖可得為的角平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可求解．
【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，依題意，
根據(jù)作圖可知為的角平分線，
∵
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了作角平分線，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握基本作圖以及角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
5．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，為的角平分線．以點(diǎn)圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，與分別交于點(diǎn)，連接．

(1)求證：；
(2)若，求的度數(shù)．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義得出，由作圖可得，即可證明；
（2）根據(jù)角平分線的定義得出，由作圖得出，則根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及等腰三角形的性質(zhì)得出，，進(jìn)而即可求解．
【詳解】（1）證明：∵為的角平分線，
∴，
由作圖可得，
在和中，
，
∴；
（2）∵，為的角平分線，
∴
由作圖可得，
∴，
∵，為的角平分線，
∴，
∴
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
6.（2022·陜西·中考真題）如圖，已知是的一個(gè)外角．請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，求作射線，使．（保留作圖痕跡，不寫作法）
【答案】見解析
【分析】作的角平分線即可．
【詳解】解：如圖，射線即為所求作．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線、三角形外角的性質(zhì)、平行線的判定，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定定理．
7．（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐
問題探究：（1）如圖1是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的《幾何原本》第1卷命題9：“平分一個(gè)已知角．”即：作一個(gè)已知角的平分線，如圖2是歐幾里得在《幾何原本》中給出的角平分線作圖法：在和上分別取點(diǎn)C和D，使得，連接，以為邊作等邊三角形，則就是的平分線．

請(qǐng)寫出平分的依據(jù)：____________；
類比遷移：
（2）小明根據(jù)以上信息研究發(fā)現(xiàn)：不一定必須是等邊三角形，只需即可．他查閱資料：我國(guó)古代已經(jīng)用角尺平分任意角．做法如下：如圖3，在的邊，上分別取，移動(dòng)角尺，使角尺兩邊相同刻度分別與點(diǎn)M，N重合，則過角尺頂點(diǎn)C的射線是的平分線，請(qǐng)說明此做法的理由；
拓展實(shí)踐：
（3）小明將研究應(yīng)用于實(shí)踐．如圖4，校園的兩條小路和，匯聚形成了一個(gè)岔路口A，現(xiàn)在學(xué)校要在兩條小路之間安裝一盞路燈E，使得路燈照亮兩條小路（兩條小路一樣亮），并且路燈E到岔路口A的距離和休息椅D到岔路口A的距離相等．試問路燈應(yīng)該安裝在哪個(gè)位置？請(qǐng)用不帶刻度的直尺和圓規(guī)在對(duì)應(yīng)的示意圖5中作出路燈E的位置．（保留作圖痕跡，不寫作法）

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）作圖見解析；
【分析】（1）先證明，可得，從而可得答案；
（2）先證明，可得，可得是的角平分線；
（3）先作的角平分線，再在角平分線上截取即可．
【詳解】解：（1）∵，，，
∴，
∴，
∴是的角平分線；
故答案為：
（2）∵，，，
∴，
∴，
∴是的角平分線；
（3）如圖，點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)；
．
【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義與角平分線的性質(zhì)，作已知角的角平分線，理解題意，熟練的作角的平分線是解本題的關(guān)鍵．
8．（2023·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)E是矩形的邊上的一點(diǎn)，且．

(1)尺規(guī)作圖（請(qǐng)用鉛筆）：作的平分線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接．（保留作圖痕跡，不寫作法）；
(2)試判斷四邊形的形狀，并說明理由．
【答案】(1)見解析；(2)四邊形是菱形，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合尺規(guī)作角平分線的方法作圖即可；
（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得出，結(jié)合角平分線的定義可得，則，然后根據(jù)平行四邊形和菱形的判定定理得出結(jié)論．
【詳解】（1）解：如圖所示：

（2）四邊形是菱形；
理由：∵矩形中，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
又∵，
∴平行四邊形是菱形．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了尺規(guī)作角平分線，矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，平行四邊形的判定以及菱形的判定等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
9.（2022·湖南永州）如圖，是平行四邊形的對(duì)角線，平分，交于點(diǎn)．
(1)請(qǐng)用尺規(guī)作的角平分線，交于點(diǎn)（要求保留作圖痕跡，不寫作法，在確認(rèn)答案后，請(qǐng)用黑色筆將作圖痕跡再填涂一次）；
(2)根據(jù)圖形猜想四邊形為平行四邊形，請(qǐng)將下面的證明過程補(bǔ)充完整．
證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴
∵_(dá)_____（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）
又∵平分，平分，
∴，
∴
∴______（______）（填推理的依據(jù)）
又∵四邊形是平行四邊形
∴
∴四邊形為平行四邊形（______）（填推理的依據(jù)）．
【答案】(1)詳見解析
(2)∠DBC；BF；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形
【分析】（1）根據(jù)作角平分線的步驟作平分即可；
（2）結(jié)合圖形和已有步驟合理填寫即可；
(1)
解：如圖，根據(jù)角平分線的作圖步驟，得到DE，即為所求；
(2)
證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴
∵．（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.
又∵平分，平分，
∴，
∴．
∴（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）（填推理的依據(jù)）
又∵四邊形是平行四邊形．
∴，
∴四邊形為平行四邊形（兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形）（填推理的依據(jù)）．
【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，掌握相關(guān)性質(zhì)并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
10.（2022·山東青島）已知：，．
求作：點(diǎn)P，使點(diǎn)P在內(nèi)部，且．
【答案】見解析
【分析】分別以點(diǎn)B、C為圓心，大于BC長(zhǎng)的一半為半徑畫弧，交于兩點(diǎn)，連接這兩點(diǎn)，然后再以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交AB、BC于點(diǎn)M、N，以點(diǎn)M、N為圓心，大于MN長(zhǎng)一半為半徑畫弧，交于一點(diǎn)Q，連接BQ，進(jìn)而問題可求解．
【詳解】解：如圖，點(diǎn)P即為所求：
【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線與垂直平分線的尺規(guī)作圖，熟練掌握角平分線與垂直平分線的尺規(guī)作圖是解題的關(guān)鍵．
11.（2022·黑龍江綏化）已知：．
(1)尺規(guī)作圖：用直尺和圓規(guī)作出內(nèi)切圓的圓心O；（只保留作圖痕跡，不寫作法和證明）
(2)如果的周長(zhǎng)為14，內(nèi)切圓的半徑為1.3，求的面積．
【答案】(1)作圖見詳解
(2)9.1
【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知角平分線的交點(diǎn)為三角形內(nèi)切圓的圓心，故只要作出兩個(gè)角的角平分線即可；
（2）利用割補(bǔ)法，連接OA，OB，OC，作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，這樣將△ABC分成三個(gè)小三角形，這三個(gè)小三角形分別以△ABC的三邊為底，高為內(nèi)切圓的半徑，利用提取公因式可將周長(zhǎng)代入，進(jìn)而求出三角形的面積．
(1)
解：如下圖所示，O為所求作點(diǎn)，
(2)
解：如圖所示，連接OA，OB，OC，作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，
∵內(nèi)切圓的半徑為1.3，
∴OD=OF=OE=1.3，
∵三角形ABC的周長(zhǎng)為14，
∴AB+BC+AC=14，
則
故三角形ABC的面積為9.1．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)切圓，角平分線的性質(zhì)，割補(bǔ)法求幾何圖形的面積，能夠?qū)⒔瞧椒志€的性質(zhì)與三角形的內(nèi)切圓相結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．
12.如圖，在鈍角△ABC中，過鈍角頂點(diǎn)B作BD⊥BC交AC于點(diǎn)D．請(qǐng)用尺規(guī)作圖在BC邊上求作一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到AC的距離等于BP的長(zhǎng)．（保留作圖痕跡，不寫作法）
【分析】：要滿足條件：在BC邊上求作一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到AC的距離等于BP的長(zhǎng)，則DP為∠BDC的角平分線．
【答案】解：如圖所示，點(diǎn)P即為所求．
13.如圖，在中．
利用尺規(guī)作圖，在BC邊上求作一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到AB的距離的長(zhǎng)等于PC的長(zhǎng)；
利用尺規(guī)作圖，作出中的線段PD．
要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡，并把作圖痕跡用黑色簽字筆描黑
【答案】作圖見解析； （2）作圖見解析.
【分析】由點(diǎn)P到AB的距離的長(zhǎng)等于PC的長(zhǎng)知點(diǎn)P在平分線上，再根據(jù)角平分線的尺規(guī)作圖即可得（以點(diǎn)A為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫弧，與AC、AB分別交于一點(diǎn)，然后分別以這兩點(diǎn)為圓心，以大于這兩點(diǎn)距離的一半長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于一點(diǎn)，過點(diǎn)A及這個(gè)交點(diǎn)作射線交BC于點(diǎn)P，P即為要求的點(diǎn)）；根據(jù)過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線的尺規(guī)作圖即可得（以點(diǎn)P為圓心，以大于點(diǎn)P到AB的距離為半徑畫弧，與AB交于兩點(diǎn)，分別以這兩點(diǎn)為圓心，以大于這兩點(diǎn)間距離一半長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在AB的一側(cè)交于一點(diǎn)，過這點(diǎn)以及點(diǎn)P作直線與AB交于點(diǎn)D，PD即為所求）．
【詳解】如圖，點(diǎn)P即為所求；
如圖，線段PD即為所求．
【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖、角平分線的性質(zhì)定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本作圖，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．
14.已知：
求作：，使它經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，并且圓心在的平分線上，
【答案】見詳解．
【分析】要作圓，即需要先確定其圓心，先作∠A的角平分線，再作線段BC的垂直平分線相交于點(diǎn)O，即O點(diǎn)為圓心．
【詳解】解：根據(jù)題意可知，先作∠A的角平分線，再作線段BC的垂直平分線相交于O，
即以O(shè)點(diǎn)為圓心，OB為半徑，作圓O，如下圖所示：
【點(diǎn)睛】此題主要考查了學(xué)生對(duì)確定圓心的作法，要求學(xué)生熟練掌握應(yīng)用．
15.如圖，在中，．
尺規(guī)作圖：作的外接圓；作的角平分線交于點(diǎn)D，連接AD．（不寫作法，保留作圖痕跡）

【答案】見解析；
【分析】根據(jù)外接圓，角平分線的作法作圖即可；
【詳解】作圖如下：
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外接圓，角平分線，以及利用圓周角與圓心角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
16.如圖，點(diǎn)O在的邊上，以為半徑作，的平分線交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作于點(diǎn)E．
尺規(guī)作圖（不寫作法，保留作圖痕跡），補(bǔ)全圖形；
【答案】見解析；
【分析】根據(jù)已知圓心和半徑作圓、作已知角的平分線、過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線的尺規(guī)作圖的步驟作圖即可；
【詳解】解：（1）如下圖，補(bǔ)全圖形：

【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作圖、圓的切線的判定是解題的關(guān)鍵.
類型二垂直平分線
17.過直線l外一點(diǎn)P作直線l的垂線PQ．下列尺規(guī)作圖錯(cuò)誤的是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)線段垂直平分線的逆定理及兩點(diǎn)確定一條直線一一判斷即可．
【詳解】A、如圖，連接AP、AQ、BP、BQ，
AP=BP，AQ=BQ，
點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，點(diǎn)Q在線段AB的垂直平分線上，
直線PQ垂直平分線線段AB，即直線l垂直平分線線段PQ，本選項(xiàng)不符合題意；
B、如圖，連接AP、AQ、BP、BQ，
AP= AQ，BP =BQ，點(diǎn)A在線段PQ的垂直平分線上，點(diǎn)B在線段PQ的垂直平分線上，
直線AB垂直平分線線段PQ，即直線l垂直平分線線段PQ，本選項(xiàng)不符合題意；
C、C項(xiàng)無法判定直線PQ垂直直線l，本選項(xiàng)符合題意；
D、如圖，連接AP、AQ、BP、BQ，
AP= AQ，BP =BQ，
點(diǎn)A在線段PQ的垂直平分線上，點(diǎn)B在線段PQ的垂直平分線上，
直線AB垂直平分線線段PQ，即直線l垂直平分線線段PQ，
本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，線段垂直平分線的逆定理及兩點(diǎn)確定一條直線等知識(shí)，讀懂圖像信息是解題的關(guān)鍵，屬于中考常考題型．
18.（2022·湖南湘潭·中考真題）如圖，小明在學(xué)了尺規(guī)作圖后，作了一個(gè)圖形，其作圖步驟是：①作線段，分別以點(diǎn)、為圓心，以長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)、；②連接、，作直線，且與相交于點(diǎn)．則下列說法不正確的是（ ）
A．是等邊三角形 B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)一一判斷即可．
【詳解】解：由作圖可知：AB=BC=AC，
∴△ABC是等邊三角形，故A選項(xiàng)正確
∵等邊三角形三線合一，
由作圖知，CD是線段AB的垂直平分線，
∴，故B選項(xiàng)正確，
∴，，故C選項(xiàng)正確，D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：D．
【點(diǎn)睛】此題考查了作圖-基本作圖，等邊三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．
19.在中，用尺規(guī)作圖，分別以點(diǎn)A和C為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M和N．作直線交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，連接．則下列結(jié)論不一定正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)作圖可知AM=CM，AN=CN，所以MN是AC的垂直平分線，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等，且平分此點(diǎn)到線段兩端構(gòu)成的夾角，分別對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．
【詳解】由題意得，MN垂直平分線段AC，
∴，，
所以B、C、D正確，
因?yàn)辄c(diǎn)B的位置不確定，
所以不能確定AB=AE，故選 A
【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線，熟練掌握線段垂直平分線的作圖方法和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
20.如圖，在中，，分別以點(diǎn)A，B為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于D，E，經(jīng)過D，E作直線分別交于點(diǎn)M，N，連接，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．C．D．平分
【答案】B
【分析】
根據(jù)線段垂直平分線的尺規(guī)作圖、以及性質(zhì)即可得．
【詳解】
解：由題意得：是線段的垂直平分線，
則，
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查了線段垂直平分線的尺規(guī)作圖、以及性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的尺規(guī)作圖是解題關(guān)鍵．
21.（2022·吉林長(zhǎng)春）如圖，在中，根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，下列說法不一定正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分線，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)和角平分線的定義，直角三角形兩銳角互余，等邊對(duì)等角的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．
【詳解】根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分線，
，
，
，
綜上，正確的是A、C、D選項(xiàng)，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線和角平分線的作圖，垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的定義，直角三角形兩銳角互余，等邊對(duì)等角的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
22.如圖，在中，，分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M和點(diǎn)N，作直線分別交?于點(diǎn)D和點(diǎn)E，若，則的度數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
由尺規(guī)作圖痕跡可知，MN是線段AB的垂直平分線，進(jìn)而得到DB=DA，∠B=∠BAD，再由AB=AC得到∠B=∠C=50°，進(jìn)而得到∠BAC=80°，∠CAD=∠BAC-∠BAD=30°即可求解．
【詳解】
解：由題意可知：MN是線段AB的垂直平分線，
∴DB=DA，
∴∠B=∠BAD=50°，
又AB=AC，
∴∠B=∠C=50°，
∴∠BAC=80°，
∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=30°，
故選：A．
【點(diǎn)睛】
本題考查等腰三角形的兩底角相等，線段垂直平分線的尺規(guī)作圖等，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．
23.如圖，斑馬線的作用是為了引導(dǎo)行人安全地通過馬路．小麗覺得行人沿垂直馬路的方向走過斑馬線更為合理，這一想法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)依據(jù)是（ ）
A．垂線段最短 B．兩點(diǎn)確定一條直線
C．過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直 D．過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行
【答案】A
【分析】根據(jù)垂線段最短解答即可．
【詳解】解：行人沿垂直馬路的方向走過斑馬線，體現(xiàn)的數(shù)學(xué)依據(jù)是垂線段最短，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查垂線段最短，熟知垂線段最短是解答的關(guān)鍵．
24.如圖，已知線段，其垂直平分線的作法如下：①分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于，兩點(diǎn)；②作直線．上述作法中滿足的條作為___1.（填“”，“”或“”）
【答案】＞
【分析】
作圖方法為：以，為圓心，大于長(zhǎng)度畫弧交于，兩點(diǎn)，由此得出答案．
【詳解】
解：∵，
∴半徑長(zhǎng)度，
即．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題考查線段的垂直平分線尺規(guī)作圖法，解題關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線的作圖方法．
25.（2022·內(nèi)蒙古通遼）如圖，依據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，求的度數(shù)_________°．
【答案】60
【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，故可得出∠ABD的度數(shù)，由角平分線的定義求出∠EBF的度數(shù)，再由EF是線段BD的垂直平分線得出∠EFB、∠BEF的度數(shù)，進(jìn)而可得出結(jié)論．
【詳解】解：如圖，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴，
∴，
由尺規(guī)作圖可知，BE平分∠ABD，
∴，
由尺規(guī)作圖可知EF垂直平分BD，
∴∠EFB=90°，
∴，
∴∠α=∠BEF=60°．
故答案為：60°．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖-基本作圖、角平分線以及垂直平分線的知識(shí)，解題關(guān)鍵是熟練掌握5種基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個(gè)角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點(diǎn)作已知直線的垂線）．
26.如圖，在中，分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作圓弧，兩弧相交于點(diǎn)和點(diǎn)，作直線交于點(diǎn)，連接．若，，則的周長(zhǎng)為_________．
【答案】23
【分析】由作圖可得：是的垂直平分線，可得再利用三角形的周長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：由作圖可得：是的垂直平分線，
，， 故答案為：23
【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的垂直平分線的作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握“線段的垂直平分線的性質(zhì)”是解本題的關(guān)鍵．
27．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形是平行四邊形．

(1)尺規(guī)作圖；作對(duì)角線的垂直平分線（保留作圖痕跡）；
(2)若直線分別交，于，兩點(diǎn)，求證：四邊形是菱形
【答案】(1)見解析；(2)見解析
【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的作圖方法進(jìn)行作圖即可；
（2）設(shè)與交于點(diǎn)，證明，得到，得到四邊形為平行四邊形，根據(jù)，即可得證．
【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；

（2）∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
如圖：設(shè)與交于點(diǎn)，

∵是的垂直平分線，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四邊形為平行四邊形，
∵，
∴四邊形為菱形．
【點(diǎn)睛】本題考查基本作圖—作垂線，平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定．熟練掌握菱形的判定定理，是解題的關(guān)鍵．
28．（2023·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形中，，，為對(duì)角線．

(1)證明：四邊形是平行四邊形．
(2)已知，請(qǐng)用無刻度的直尺和圓規(guī)作菱形，頂點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊，上（保留作圖痕跡，不要求寫作法）．
【答案】(1)見解析；(2)見解析
【分析】（1）先證明，再證明，即，從而可得結(jié)論；
（2）作對(duì)角線的垂直平分線交于，交于，從而可得菱形．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∵，
∴，
即．
∴．
∴四邊形是平行四邊形．
（2）如圖，

四邊形就是所求作的菱形．
【點(diǎn)睛】本題考查的是平行四邊形的判定與性質(zhì)，作線段的垂直平分線，菱形的判定，熟練的利用菱形的判定進(jìn)行作圖是解本題的關(guān)鍵．
29..如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝8．
（1）用直尺和圓規(guī)作AB的垂直平分線；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）
（2）若（1）中所作的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，求BD的長(zhǎng)．
【分析】（1）分別以A，B為圓心，大于AB為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)M，N，作直線MN即可．
（2）設(shè)AD＝BD＝x，在Rt△ACD中，利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題．
【解答】解：（1）如圖直線MN即為所求．
（2）∵M(jìn)N垂直平分線段AB，
∴DA＝DB，設(shè)DA＝DB＝x，
在Rt△ACD中，∵AD2＝AC2+CD2，
∴x2＝42+（8﹣x）2，
解得x＝5，
∴BD＝5．
30.如圖，△ABC為銳角三角形．
(1)請(qǐng)?jiān)趫D1中用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：在AC右上方確定點(diǎn)D，使∠DAC＝∠ACB，且；（不寫作法，保留作圖痕跡）
(2)在（1）的條件下，若，，，則四邊形ABCD的面積為 ．（如需畫草圖，請(qǐng)使用試卷中的圖2）
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）先作∠DAC＝∠ACB，再利用垂直平分線的性質(zhì)作，即可找出點(diǎn)D；
（2）由題意可知四邊形ABCD是梯形，利用直角三角形的性質(zhì)求出AE、BE、CE、AD的長(zhǎng)，求出梯形的面積即可．
(1)
解：如圖，
∴點(diǎn)D為所求點(diǎn)．
(2)
解：過點(diǎn)A作AE垂直于BC，垂足為E，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵∠DAC＝∠ACB，
∴，四邊形ABCD是梯形，
∴，
∴四邊形AECD是矩形，
∴，
∴四邊形ABCD的面積為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查作圖，作相等的角，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)做垂線，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)及勾股定理求線段的長(zhǎng)，正確作出圖形是解答本題的關(guān)鍵．
31.（2019·陜西）（5分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的高．請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，求作△ABC的外接圓．（保留作圖痕跡，不寫作法）
【分析】作線段AB的垂直平分線，交AD于點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，OB為半徑作⊙O，⊙O即為所求．
【解答】解：如圖所示：⊙O即為所求．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外接圓與外心等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．
32.如圖，點(diǎn)是正方形，的中心．
用直尺和圓規(guī)在正方形內(nèi)部作一點(diǎn)（異于點(diǎn)），使得（保留作圖痕跡，不寫作法）
【答案】見解析；
【分析】作BC的垂直平分線即可求解；
【詳解】如圖所示，點(diǎn)即為所求．
33.如圖，在△ABC中，點(diǎn)P是AC上一點(diǎn)，連接BP，求作一點(diǎn)M，使得點(diǎn)M到AB和AC兩邊的距離相等，并且到點(diǎn)B和點(diǎn)P的距離相等．（不寫作法，保留作圖痕跡）
【答案】見解析.
【分析】根據(jù)角平分線的作法、線段垂直平分線的作法作圖即可．
【詳解】解：如圖，點(diǎn)M即為所求，
作法：如解圖，以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交、于、兩點(diǎn)，再分別以、為圓心，以大于長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，連接；以、為圓心，以大于長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧分別交于、，連接，則的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn).
【點(diǎn)睛】本題考查的是復(fù)雜作圖、角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握基本尺規(guī)作圖的一般步驟是解題的關(guān)鍵．
34.（2022·內(nèi)蒙古赤峰）如圖，已知中，，，．
(1)作的垂直平分線，分別交、于點(diǎn)、；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）
(2)在（1）的條件下，連接，求的周長(zhǎng)．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）利用基本作圖，作BC的垂直平分線分別交、于點(diǎn)、；
（2）根據(jù)平行線分線段成比例計(jì)算即可．
(1)
如圖所示，點(diǎn)D、H即為所求
(2)
在（1）的條件下，,
∵，
∴DH∥AC，
∴
∴，解得
∴
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作圖中的作垂直平分線、平行線分段成比例、垂直平分線的性質(zhì)，解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．
35.如圖，中，．
（1）作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）在（1）所作的圖中，連接，，連接，交于點(diǎn)．
①求證：四邊形是菱形；
②取的中點(diǎn)，連接，若，，求點(diǎn)到的距離．
【答案】（1）見解析；（2）①見解析：②．
【解析】
【分析】
（1）過點(diǎn)做的垂線交于點(diǎn)，在的延長(zhǎng)線上截取，即可求出所作的點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)；
（2）①利用，得出，利用，以及得出四邊形是菱形；
②利用為中位線求出的長(zhǎng)度，利用菱形對(duì)角線垂直平分得出的長(zhǎng)度，進(jìn)而利用求出的長(zhǎng)度，得出對(duì)角線的長(zhǎng)度，然后利用面積法求出點(diǎn)到的距離即可．
【詳解】
（1）解：如圖：點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)；
（2）①證明：
∵，，
又∵，
∴；
∴，
又∵，
∴四邊形是菱形；
②解：∵四邊形是菱形，
∴，，
又∵，
∴，
∵為的中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴為的中位線，
∵，
∴，
∴菱形的邊長(zhǎng)為13，
∵，
在中，由勾股定理得：，即：，
∴,
設(shè)點(diǎn)到的距離為，利用面積相等得：
，
解得：，
即到的距離為．
【點(diǎn)睛】
本題考查了對(duì)稱點(diǎn)的作法、菱形的判定以及菱形的面積公式的靈活應(yīng)用，牢記菱形的判定定理，以及對(duì)角線乘積的一半等于菱形的面積是解決本題的關(guān)鍵．
類型三作角等于已知角
36.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是AB邊上的一點(diǎn)．
（1）請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在△ABC內(nèi)，求作∠ADE，使∠ADE=∠B，DE交AC于E；（不要求寫作法，保留作圖痕跡）
（2）在（1）的條件下，若=2，求的值．
【解析】（1）如圖，∠ADE為所作．
（2）∵∠ADE=∠B，
∴DE∥BC，
∴=2．
【總結(jié)】本題考查了作圖﹣基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個(gè)角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點(diǎn)作已知直線的垂線）．
類型四作垂線
37.如圖，已知線段，利用尺規(guī)作的垂直平分線，步驟如下：①分別以點(diǎn)為圓心，以的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)和．②作直線．直線就是線段的垂直平分線．則的長(zhǎng)可能是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】
利用基本作圖得到b＞AB，從而可對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．
【詳解】
解：根據(jù)題意得：b＞AB，
即b＞3，
故選：D．
【點(diǎn)睛】
本題考查了作圖?基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個(gè)角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點(diǎn)作已知直線的垂線）．
38.（2022·湖南長(zhǎng)沙）如圖，在中，按以下步驟作圖：
①分別過點(diǎn)A、B為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于P、Q兩點(diǎn)；
②作直線PQ交AB于點(diǎn)D；
③以點(diǎn)D為圓心，AD長(zhǎng)為半徑畫弧交PQ于點(diǎn)M、連接AM、BM．
若，則AM的長(zhǎng)為（ ）
A．4B．2C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)作圖可知垂直平分，，是等腰直角三角形，據(jù)此即可求解．
【詳解】解：由作圖可得垂直平分，
則是等腰直角三角形
∴由勾股定理得：故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了作垂線，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，掌握基本作圖理解題意是解題的關(guān)鍵．
39.尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不要求寫出作法）：
如圖，已知線段m，n．求作，使．
【答案】見解析
【分析】作直線l及l(fā)上一點(diǎn)A；過點(diǎn)A作l的垂線；在l上截??；作；即可得到．
【詳解】解：如圖所示：為所求．
注：（1）作直線l及l(fā)上一點(diǎn)A；
（2）過點(diǎn)A作l的垂線；
（3）在l上截?。?br>（4）作．
【點(diǎn)睛】本題考查作圖——復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是熟練掌握五種基本作圖，屬于中考?？碱}型．
40.已知△ABC（如圖），根據(jù)要求作圖．
（ 1 ）用直尺和圓規(guī)作BC邊上的中線；
（ 2 ）用直尺和圓規(guī)作∠ACB的平分線；
（ 3 ）作BC邊上的高線
【答案】解：如圖，

（1）如圖，作出BC的垂直平分線，交BC于點(diǎn)D，連接AD；
（2）如圖，AD就是所求作的圖形；
（3）AH就是所求作的圖形.
【知識(shí)點(diǎn)】作圖-垂線；作圖-角的平分線；作圖-線段垂直平分線
【解析】
【分析】
（1）作出作出BC的垂直平分線，交BC于點(diǎn)D，連接AD，可得到AD是BC邊上的中線.
（2）利用作角平分線的方法，作出∠ACB的角平分線.
（3）利用作垂線的方法，作出BC邊上的高.

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