1．（2023?衡陽）已知m＞n＞0，若關于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解為x1，x2（x1＜x2），關于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解為x3，x4（x3＜x4）．則下列結論正確的是（ ）
A．x3＜x1＜x2＜x4B．x1＜x3＜x4＜x2
C．x1＜x2＜x3＜x4D．x3＜x4＜x1＜x2
【分析】畫出拋物線y＝x2+2x﹣3，直線y＝m，直線y＝n，根據(jù)一元二次方程與二次函數(shù)的關系，觀察圖象可得答案．
【解答】解：關于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解為拋物線y＝x2+2x﹣3與直線y＝m的交點的橫坐標，
關于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解為拋物線y＝x2+2x﹣3與直線y＝n的交點的橫坐標，
如圖：
由圖可知，x1＜x3＜x4＜x2，
故選：B．
【點評】本題考查一元二次方程與二次函數(shù)的關系，解題的關鍵是畫出圖象，數(shù)形結合解決問題．
2．（2023?寧波）已知二次函數(shù)y＝ax2﹣（3a+1）x+3（a≠0），下列說法正確的是（ ）
A．點（1，2）在該函數(shù)的圖象上
B．當a＝1且﹣1≤x≤3時，0≤y≤8
C．該函數(shù)的圖象與x軸一定有交點
D．當a＞0時，該函數(shù)圖象的對稱軸一定在直線x=32的左側
【分析】將點（1，2）代入拋物線的解析式即可對選項A進行判斷；將a＝1代入拋物線的解析式求出頂點坐標為（2，﹣1），據(jù)此可對選項B進行判斷；令y＝0，則ax2﹣（3a+1）x+3＝0，然后判斷該方程判別式的符號即可對選項C進行判斷；求出拋物線的解析式為：x=32+12a，然后根據(jù)a＞0得32+12a＞32，據(jù)此可對選項C進行判斷．
【解答】解：①對于y＝ax2﹣（3a+1）x+3，當x＝1時，y＝a×12﹣（3a+1）×1+3＝2﹣2a
∵a≠0，
∴y＝2﹣2a≠2，
∴點A（1，2）不在該函數(shù)的圖象上，
故選項A不正確；
②當x＝1時，拋物線的解析式為：y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴拋物線的頂點坐標為（2，﹣1），
即當x＝2時，y＝﹣1＜0，
故得選項B不正確；
③令y＝0，則ax2﹣（3a+1）x+3＝0，
∵Δ＝[﹣（3a+1）]2﹣4a×3＝（3a﹣1）2≥0，
∴該函數(shù)的圖象與x軸一定有交點，
故選項C正確；
④∵該拋物線的對稱軸為：x=3a+12a=32+12a，
又∵a＞0，
∴32+12a＞32，
∴該拋物線的對稱軸一定在直線x=32的右側，
故選項D不正確．
故選：C．
【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質，解答此題的關鍵是熟練掌握求二次函數(shù)的頂點、對稱軸以及判定與x軸有無交點的方法．
3．（2023?自貢）經過A（2﹣3b，m），B（4b+c﹣1，m）兩點的拋物線y=?12x2+bx﹣b2+2c（x為自變量）與x軸有交點，則線段AB長為（ ）
A．10B．12C．13D．15
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質可知2?3b+4b+c?12=?b2×(?12)，再根據(jù)經過A（2﹣3b，m），B（4b+c﹣1，m）兩點的拋物線y=?12x2+bx﹣b2+2c（x為自變量）與x軸有交點，可知Δ＝b2﹣4×（?12）×（﹣b2+2c）≥0，然后可以得到b和c的關系，求出b和c的值，再根據(jù)點A和點B的坐標，即可計算出線段AB長．
【解答】解：∵經過A（2﹣3b，m），B（4b+c﹣1，m）兩點的拋物線y=?12x2+bx﹣b2+2c（x為自變量）與x軸有交點，
∴2?3b+4b+c?12=?b2×(?12)，Δ＝b2﹣4×（?12）×（﹣b2+2c）≥0，
∴b＝c+1，b2≤4c，
∴（c+1）2≤4c，
∴（c﹣1）2≤0，
∴c﹣1＝0，
解得c＝1，
∴b＝c+1＝2，
∴AB＝|（4b+c﹣1）﹣（2﹣3b）|
＝|4b+c﹣1﹣2+3b|
＝|7b+c﹣3|
＝|7×2+1﹣3|
|14+1﹣3|
＝12，
故選：B．
【點評】本題考查拋物線與x軸的交點、二次函數(shù)的性質，解答本題的關鍵是明確題意，求出b和c的值．
4．（2022?內蒙古）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸的一個交點坐標為（﹣1，0），拋物線的對稱軸為直線x＝1，下列結論：①abc＜0；②3a+c＝0；③當y＞0時，x的取值范圍是﹣1≤x＜3；④點（﹣2，y1），（2，y2）都在拋物線上，則有y1＜0＜y2.其中結論正確的個數(shù)是（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【分析】由拋物線的開口方向判斷a與0的關系，由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關系，然后根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結論進行判斷．
【解答】解：根據(jù)函數(shù)的對稱性，拋物線與x軸的另外一個交點的坐標為（3，0）；
①函數(shù)對稱軸在y軸右側，則ab＜0，而c＞0，故abc＜0，
故①正確，符合題意；
②∵x=?b2a=1，即b＝﹣2a，
而x＝﹣1時，y＝0，即a﹣b+c＝0，
∴a+2a+c＝0，
∴3a+c＝0．
∴②正確，符合題意；
③由圖象知，當y＞0時，x的取值范圍是﹣1＜x＜3，
∴③錯誤，不符合題意；
④從圖象看，當x＝﹣2時，y1＜0，
當x＝2時，y2＞0，
∴有y1＜0＜y2，
故④正確，符合題意；
故選：C．
【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系：對于二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0），二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大?。寒攁＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右；常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點位置：拋物線與y軸交于（0，c）；拋物線與x軸交點個數(shù)由△決定：Δ＝b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；Δ＝b2﹣4ac＝0時，拋物線與x軸有1個交點；Δ＝b2﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．
5．（2022?泰安）拋物線y＝ax2+bx+c上部分點的橫坐標x，縱坐標y的對應值如下表：
下列結論不正確的是（ ）
A．拋物線的開口向下
B．拋物線的對稱軸為直線x=12
C．拋物線與x軸的一個交點坐標為（2，0）
D．函數(shù)y＝ax2+bx+c的最大值為254
【分析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以求出拋物線的解析式，然后化為頂點式和交點式，即可判斷各個選項中的說法是否正確．
【解答】解：由表格可得，
4a?2b+c=0a?b+c=4c=6，
解得a=?1b=1c=6，
∴y＝﹣x2+x+6＝﹣（x?12）2+254=（﹣x+3）（x+2），
∴該拋物線的開口向下，故選項A正確，不符合題意；
該拋物線的對稱軸是直線x=12，故選項B正確，不符合題意，
∵當x＝﹣2時，y＝0，
∴當x=12×2﹣（﹣2）＝3時，y＝0，故選項C錯誤，符合題意；
函數(shù)y＝ax2+bx+c的最大值為254，故選項D正確，不符合題意；
故選：C．
【點評】本題考查拋物線與x軸的交點、二次函數(shù)的性質、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解答本題的關鍵是明確題意，求出拋物線的解析式．
6．（2022?銅仁市）如圖，若拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，若∠OAC＝∠OCB．則ac的值為（ ）
A．﹣1B．﹣2C．?12D．?13
【分析】設A（x1，0），B（x2，0），C（0，c），由∠OAC＝∠OCB可得△OAC∽△OCB，從而可得|x1?x2|＝c2＝﹣x1?x2，由一元二次方程根與系數(shù)的關系可得x1?x2=ca，進而求解．
【解答】解：設A（x1，0），B（x2，0），C（0，c），
∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象過點C（0，c），
∴OC＝c，
∵∠OAC＝∠OCB，OC⊥AB，
∴△OAC∽△OCB，
∴OAOC=OCOB，
∴OC2＝OA?OB，
即|x1?x2|＝c2＝﹣x1?x2，
令ax2+bx+c＝0，
根據(jù)根與系數(shù)的關系知x1?x2=ca，
∴?x1x2=?ca=c2，
故ac＝﹣1，
故選：A．
【點評】本題考查了二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）與關于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）之間的相互轉換，同時要將線段的長轉化為點的坐標之間的關系，靈活運用數(shù)形結合的思想是解題關鍵．
7．（2022?濰坊）拋物線y＝x2+x+c與x軸只有一個公共點，則c的值為（ ）
A．?14B．14C．﹣4D．4
【分析】拋物線與x軸有一個交點，y＝0的方程就有兩個相等的實數(shù)根，根的判別式就等于0．
【解答】解：∵拋物線y＝x2+x+c與x軸只有一個公共點，
∴方程x2+x+c＝0有兩個相等的實數(shù)根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×1?c＝0，
∴c=14．
故選：B．
【點評】本題考查方程與二次函數(shù)的關系，數(shù)形結合思想是解這類題的關鍵．
8．（2022?成都）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸相交于A（﹣1，0），B兩點，對稱軸是直線x＝1，下列說法正確的是（ ）
A．a＞0
B．當x＞﹣1時，y的值隨x值的增大而增大
C．點B的坐標為（4，0）
D．4a+2b+c＞0
【分析】由拋物線開口方向可判斷A，根據(jù)拋物線對稱軸可判斷B，由拋物線的軸對稱性可得點B的坐標，從而判斷C，由（2，4a+2b+c）所在象限可判斷D．
【解答】解：A、由圖可知：拋物線開口向下，a＜0，故選項A錯誤，不符合題意；
B、∵拋物線對稱軸是直線x＝1，開口向下，
∴當x＞1時y隨x的增大而減小，x＜1時y隨x的增大而增大，故選項B錯誤，不符合題意；
C、由A（﹣1，0），拋物線對稱軸是直線x＝1可知，B坐標為（3，0），故選項C錯誤，不符合題意；
D、拋物線y＝ax2+bx+c過點（2，4a+2b+c），由B（3，0）可知：拋物線上橫坐標為2的點在第一象限，
∴4a+2b+c＞0，故選項D正確，符合題意；
故選：D．
【點評】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，解題的關鍵是掌握二次函數(shù)圖象的性質，數(shù)形結合解決問題．
9．（2022?雅安）拋物線的函數(shù)表達式為y＝（x﹣2）2﹣9，則下列結論中，正確的序號為（ ）
①當x＝2時，y取得最小值﹣9；②若點（3，y1），（4，y2）在其圖象上，則y2＞y1；③將其函數(shù)圖象向左平移3個單位長度，再向上平移4個單位長度所得拋物線的函數(shù)表達式為y＝（x﹣5）2﹣5；④函數(shù)圖象與x軸有兩個交點，且兩交點的距離為6．
A．②③④B．①②④C．①③D．①②③④
【分析】由拋物線解析式可得拋物線頂點坐標，從而可判斷①②，由二次函數(shù)圖象平移的規(guī)律可判斷③，令y＝0可得拋物線與x軸交點橫坐標，從而判斷④．
【解答】解：∵y＝（x﹣2）2﹣9，
∴拋物線對稱軸為直線x＝2，拋物線開口向上，頂點坐標為（2，﹣9），
∴x＝2時，y取最小值﹣9，①正確．
∵x＞2時，y隨x增大而增大，
∴y2＞y1，②正確．
將函數(shù)圖象向左平移3個單位長度，再向上平移4個單位長度所得拋物線的函數(shù)表達式為y＝（x+1）2﹣5，③錯誤．
令（x﹣2）2﹣9＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝5，
∴5﹣（﹣1）＝6，④正確．
故選：B．
【點評】本題考查二次函數(shù)的性質，解題關鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關系．
10．（2022?臺灣）已知坐標平面上有二次函數(shù)y＝﹣（x+6）2+5的圖形，函數(shù)圖形與x軸相交于（a，0）、（b，0）兩點，其中a＜b．今將此函數(shù)圖形往上平移，平移后函數(shù)圖形與x軸相交于（c，0）、（d，0）兩點，其中c＜d，判斷下列敘述何者正確？（ ）
A．（a+b）＝（c+d），（b﹣a）＜（d﹣c）
B．（a+b）＝（c+d），（b﹣a）＞（d﹣c）
C．（a+b）＜（c+d），（b﹣a）＜（d﹣c）
D．（a+b）＜（c+d），（b﹣a）＞（d﹣c）
【分析】畫出圖形，利用拋物線的對稱性判斷出a+b＝c+d＝﹣12，可得結論．
【解答】解：如圖，
∵y＝﹣（x+6）2+5的對稱軸是直線x＝﹣6，平移后的拋物線對稱軸不變，
∴a+b2=?6，c+d2=?6，
∴a+b＝﹣12，c+d＝﹣12，
∴a+b＝c+d，且b﹣a＜d﹣c，
故選：A．
【點評】本題考查二次函數(shù)的性質，拋物線與x軸的交點，二次函數(shù)的性質等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．
11．（2021?銅仁市）已知拋物線y＝a（x﹣h）2+k與x軸有兩個交點A（﹣1，0），B（3，0），拋物線y＝a（x﹣h﹣m）2+k與x軸的一個交點是（4，0），則m的值是（ ）
A．5B．﹣1C．5或1D．﹣5或﹣1
【分析】先利用二次函數(shù)的性質得到兩拋物線的對稱軸，然后利用A點或B點向右平移得到點（4，0）得到m的值．
【解答】解：∵拋物線y＝a（x﹣h）2+k的對稱軸為直線x＝h，拋物線y＝a（x﹣h﹣m）2+k的對稱軸為直線x＝h+m，
∴當點A（﹣1，0）平移后的對應點為（4，0），則m＝4﹣（﹣1）＝5；
當點B（3，0）平移后的對應點為（4，0），則m＝4﹣3＝1，
即m的值為5或1．
故選：C．
【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標問題轉化為解關于x的一元二次方程．也考查了二次函數(shù)的性質．
12．（2021?黃石）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，且a≠0）的自變量x與函數(shù)值y的部分對應值如下表：
且當x=32時，對應的函數(shù)值y＜0．有以下結論：
①abc＞0；②m+n＜?203；③關于x的方程ax2+bx+c＝0的負實數(shù)根在?12和0之間；④P1（t﹣1，y1）和P2（t+1，y2）在該二次函數(shù)的圖象上，則當實數(shù)t＞13時，y1＞y2．
其中正確的結論是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．②③④
【分析】將（0，2），（1，2）代入y＝ax2+bx+c得b=?ac=2，可得二次函數(shù)為：y＝ax2﹣ax+2，根據(jù)當x=32時，對應的函數(shù)值y＜0，有a＜?83，b＞83，即得a＜0，b＞0，c＞0，故①不正確；由m＝2a+2，n＝2a+2，結合a＜?83，可得m+n＜?203，故②正確；由拋物線過（0，2），（1，2），得拋物線對稱軸為x=12，而當x=32時，對應的函數(shù)值y＜0，可知當x=?12時，對應的函數(shù)值y＜0，關于x的方程ax2+bx+c＝0的負實數(shù)根在?12和0之間，故③正確；由y1＝a（t﹣1）2﹣a（t﹣1）+2，y2＝a（t+1）2﹣a（t+1）+2，知a（t﹣1）2﹣a（t﹣1）+2＞a（t+1）2﹣a（t+1）+2時，t＞12，故④不正確，
【解答】解：將（0，2），（1，2）代入y＝ax2+bx+c得：
2=c2=a+b+c，解得b=?ac=2，
∴二次函數(shù)為：y＝ax2﹣ax+2，
∵當x=32時，對應的函數(shù)值y＜0，
∴94a?32a+2＜0，
∴a＜?83，
∴﹣a＞83，即b＞83，
∴a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0，故①不正確；
∵x＝﹣1時y＝m，x＝2時y＝n，
∴m＝a+a+2＝2a+2，n＝4a﹣2a+2＝2a+2，
∴m+n＝4a+4，
∵a＜?83，
∴m+n＜?203，故②正確；
∵拋物線過（0，2），（1，2），
∴拋物線對稱軸為x=12，
又∵當x=32時，對應的函數(shù)值y＜0，
∴根據(jù)對稱性：當x=?12時，對應的函數(shù)值y＜0，
而x＝0時y＝2＞0，
∴拋物線與x軸負半軸交點橫坐標在?12和0之間，
∴關于x的方程ax2+bx+c＝0的負實數(shù)根在?12和0之間，故③正確；
∵P1（t﹣1，y1）和P2（t+1，y2）在該二次函數(shù)的圖象上，
∴y1＝a（t﹣1）2﹣a（t﹣1）+2，y2＝a（t+1）2﹣a（t+1）+2，
若y1＞y2，則a（t﹣1）2﹣a（t﹣1）+2＞a（t+1）2﹣a（t+1）+2，
即a（t﹣1）2﹣a（t﹣1）＞a（t+1）2﹣a（t+1），
∵a＜0，
∴（t﹣1）2﹣（t﹣1）＜（t+1）2﹣（t+1），
解得t＞12，故④不正確，
故選：B．
【點評】本題考查二次函數(shù)的綜合應用，題目綜合性較強，解題的關鍵是熟練掌握二次函數(shù)基本性質及圖象特征，根據(jù)已知列方程或不等式．
13．（2021?赤峰）已知拋物線y＝ax2+bx+c上的部分點的橫坐標x與縱坐標y的對應值如表：
以下結論正確的是（ ）
A．拋物線y＝ax2+bx+c的開口向下
B．當x＜3時，y隨x增大而增大
C．方程ax2+bx+c＝0的根為0和2
D．當y＞0時，x的取值范圍是0＜x＜2
【分析】將表格內點坐標代入y＝ax2+bx+c中求出拋物線解析式，然后逐個判斷求解．
【解答】解：將（﹣1，3），（0，0），（1，﹣1）代入y＝ax2+bx+c得：
3=a?b+c0=c?1=a+b+c，
解得a=1b=?2c=0，
∴y＝x2﹣2x．
A．∵a＝1，
∴拋物線開口向上，
故A錯誤，不符合題意．
B．∵圖象對稱軸為直線x＝1，且開口向上，
∴x＞1時，y隨x增大而增大，
故B錯誤，不符合題意．
C．∵y＝x2﹣2x＝x（x﹣2），
∴當x＝0或x＝2時y＝0，
故C正確，符合題意．
D．∵拋物線開口向上，與x軸交點坐標為（0，0），（2，0），
∴x＜0或x＞2時，y＞0，
故D錯誤，不符合題意．
故選：C．
【點評】本題考查二次函數(shù)的性質，解題關鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質，求出二次函數(shù)解析式求解
14．（2021?黔東南州）如圖，拋物線L1：y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸只有一個公共點A（1，0），與y軸交于點B（0，2），虛線為其對稱軸，若將拋物線向下平移兩個單位長度得拋物線L2，則圖中兩個陰影部分的面積和為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根據(jù)題意可推出OB＝2，OA＝1，AD＝OC＝2，根據(jù)平移的性質及拋物線的對稱性可知陰影部分的面積等于矩形OCDA的面積，利用矩形的面積公式進行求解即可．
【解答】解：如圖所示，
過拋物線L2的頂點D作CD∥x軸，與y軸交于點C，
則四邊形OCDA是矩形，
∵拋物線L1：y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸只有一個公共點A（1，0），與y軸交于點B（0，2），
∴OB＝2，OA＝1，
將拋物線L1向下平移兩個單位長度得拋物線L2，則AD＝OC＝2，
根據(jù)平移的性質及拋物線的對稱性得到陰影部分的面積等于矩形OCDA的面積，
∴S陰影部分＝S矩形OCDA＝OA?AD＝1×2＝2．
故選：B．
【點評】本題考查拋物線與x軸的交點、二次函數(shù)的性質及二次函數(shù)圖象與幾何變換，解題的關鍵是根據(jù)平移的性質及拋物線的對稱性得到陰影部分的面積等于矩形OCDA的面積．
15．（2021?廣元）將二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+3的圖象在x軸上方的部分沿x軸翻折后，所得新函數(shù)的圖象如圖所示．當直線y＝x+b與新函數(shù)的圖象恰有3個公共點時，b的值為（ ）
A．?214或﹣3B．?134或﹣3C．214或﹣3D．134或﹣3
【分析】分兩種情形：如圖，當直線y＝x+b過點B時，直線y＝x+b與該新圖象恰好有三個公共點，當直線y＝x+b與拋物線y＝（x﹣1）2﹣4（﹣1≤x≤3）相切時，直線y＝x+b與該新圖象恰好有三個公共點，分別求解即可．
【解答】解：二次函數(shù)解析式為y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴拋物線y＝﹣x2+2x+3的頂點坐標為（1，4），
當y＝0時，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，
則拋物線y＝﹣x2+2x+3與x軸的交點為A（﹣1，0），B（3，0），
把拋物線y＝﹣x2+2x+3圖象x軸上方的部分沿x軸翻折到x軸下方，則翻折部分的拋物線解析式為y＝（x﹣1）2﹣4（﹣1≤x≤3），頂點坐標M（1，﹣4），
如圖，當直線y＝x+b過點B時，直線y＝x+b與該新圖象恰好有三個公共點，
∴3+b＝0，解得b＝﹣3；
當直線y＝x+b與拋物線y＝（x﹣1）2﹣4（﹣1≤x≤3）相切時，直線y＝x+b與該新圖象恰好有三個公共點，
即（x﹣1）2﹣4＝x+b有相等的實數(shù)解，整理得x2﹣3x﹣b﹣3＝0，△＝32﹣4（﹣b﹣3）＝0，解得b=?214，
所以b的值為﹣3或?214，
故選：A．
【點評】此題主要考查了翻折的性質，一元二次方程根的判別式，拋物線的性質，確定翻折后拋物線的關系式；利用數(shù)形結合的方法是解本題的關鍵，畫出函數(shù)圖象是解本題的難點．
16．（2021?陜西）下表中列出的是一個二次函數(shù)的自變量x與函數(shù)y的幾組對應值：
下列各選項中，正確的是（ ）
A．這個函數(shù)的圖象開口向下
B．這個函數(shù)的圖象與x軸無交點
C．這個函數(shù)的最小值小于﹣6
D．當x＞1時，y的值隨x值的增大而增大
【分析】設出二次函數(shù)的解析式，根據(jù)表中數(shù)據(jù)求出函數(shù)解析式即可判斷．
【解答】解：設二次函數(shù)的解析式為y＝ax2+bx+c，
由題知6=a×(?2)2+b×(?2)+c?4=c?6=a+b+c，
解得a=1b=?3c=?4，
∴二次函數(shù)的解析式為y＝x2﹣3x﹣4＝（x﹣4）（x+1）＝（x?32）2?254，
A．函數(shù)圖象開口向上，故A選項不符合題意；
B．與x軸的交點為（4，0）和（﹣1，0），故B選項不符合題意；
C．當x=32時，函數(shù)有最小值為?254，故C選項符合題意；
D．函數(shù)對稱軸為直線x=32，根據(jù)圖象可知當x＞32時，y的值隨x值的增大而增大，故D選項不符合題意．
故選：C．
【點評】本題主要考查二次函數(shù)的性質，熟練掌握二次函數(shù)的性質是解題的關鍵．
17．（2021?湖州）已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸的交點為A（1，0）和B（3，0），點P1（x1，y1），P2（x2，y2）是拋物線上不同于A，B的兩個點，記△P1AB的面積為S1，△P2AB的面積為S2，有下列結論：①當x1＞x2+2時，S1＞S2；②當x1＜2﹣x2時，S1＜S2；③當|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1時，S1＞S2；④當|x1﹣2|＞|x2+2|＞1時，S1＜S2．其中正確結論的個數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】不妨假設a＞0，利用圖象法一一判斷即可．
【解答】解：方法一：不妨假設a＞0．
①如圖1中，P1，P2滿足x1＞x2+2，
∵P1P2∥AB，
∴S1＝S2，故①錯誤．
②當x1＝﹣2，x2＝﹣1，滿足x1＜2﹣x2，
則S1＞S2，故②錯誤，
③∵|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1，
∴P1，P2在x軸的上方，且P1離x軸的距離比P2離x軸的距離大，
∴S1＞S2，故③正確，
④如圖2中，P1，P2滿足|x1﹣2|＞|x2+2|＞1，但是S1＝S2，故④錯誤．
故選：A．
方法二：解：∵拋物線y＝ax2+bx+c與x軸的交點為A（1，0）和B（3，0），
∴該拋物線對稱軸為x＝2，
當x1＞x2+2時與當x1＜2﹣x2時無法確定P1（x1，y1），P2（x2，y2）在拋物線上的對應位置，
故①和②都不正確；
當|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1時，P1（x1，y1）比P2（x2，y2）離對稱軸更遠，且同在x軸上方或者下方，
∴|y1|＞|y2|，
∴S1＞S2，故③正確；
當|x1﹣2|＞|x2+2|＞1時，即在x軸上x1到2的距離比x2到﹣2的距離大，且都大于1，
可知在x軸上x1到2的距離大于1，x2到﹣2的距離大于1，但x2到2的距離不能確定，
所以無法比較P1（x1，y1）比P2（x2，y2）誰離對稱軸更遠，故無法比較面積，故④錯誤；
故選：A．
【點評】本題考查拋物線與x軸的交點，二次函數(shù)圖象上的點的特征等知識，解題的關鍵是學會利用圖象法解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．
18．（2021?巴中）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的自變量x與函數(shù)y的部分對應值見表格，則下列結論：①c＝2；②b2﹣4ac＞0；③方程ax2+bx＝0的兩根為x1＝﹣2，x2＝0；④7a+c＜0．其中正確的有（ ）
A．①④B．②③C．③④D．②④
【分析】由表格可以得到二次函數(shù)圖象經過點點（﹣3，1.875）和點（1，1.875），這兩點關于對稱軸對稱，由此得到對稱軸直線，設出二次函數(shù)頂點式，代入兩點，求解出二次函數(shù)解析式，得到a，b，c的值，依次代入到①②③④中進行判斷即可解決．
【解答】解：由表格可以得到，二次函數(shù)圖象經過點（﹣3，1.875）和點（1，1.875），
∵點（﹣3，1.875）與點（1，1.875）是關于二次函數(shù)對稱軸對稱的，
∴二次函數(shù)的對稱軸為直線x=?3+12=?1，
∴設二次函數(shù)解析式為y＝a（x+1）2+h，
代入點（﹣2，3），（2，0）得，
a+?=39a+?=0，
解得a=?38?=278，
∴二次函數(shù)的解析式為：y=?38(x+1)2+278，
∵y=?38x2?34x+3，
∴c＝3，
∴①是錯誤的，
∵b2﹣4ac=916+4×38×3＞0，
∴②是正確的，
方程ax2+bx＝0為?38x2?34x=0，
即為x2+2x＝0，
∴x1＝﹣2，x2＝0，
∴③是正確的，
∵7a+c=7×(?38)+3=38＞0，
∴④是錯誤的，
∴②③是正確的，
故選：B．
【點評】本題考查了二次函數(shù)系數(shù)特征和二次函數(shù)解析式求法，利用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式是通法，由表格提煉出對稱軸的信息，是解題的突破口，此題，也可以通過二次函數(shù)系數(shù)特征來解決．
19．（2021?淄博）已知二次函數(shù)y＝2x2﹣8x+6的圖象交x軸于A，B兩點．若其圖象上有且只有P1，P2，P3三點滿足S△ABP1=S△ABP2=S△ABP3=m，則m的值是（ ）
A．1B．32C．2D．4
【分析】由已知條件可判定三點中必有一點在二次函數(shù)y＝2x2﹣8x+6的頂點上，通過求解二次函數(shù)的頂點的坐標及與x軸的交點坐標利用三角形的面積公式可求解m值．
【解答】解：∵二次函數(shù)y＝2x2﹣8x+6的圖象上有且只有P1，P2，P3三點滿足S△ABP1=S△ABP2=S△ABP3=m，
∴三點中必有一點在二次函數(shù)y＝2x2﹣8x+6的頂點上，
∵y＝2x2﹣8x+6＝2（x﹣2）2﹣2＝2（x﹣1）（x﹣3），
∴二次函數(shù)y＝2x2﹣8x+6的圖象的頂點坐標為（2，﹣2），
令y＝0，則2（x﹣1）（x﹣3）＝0，
解得x＝1或x＝3，
∴與x軸的交點為（1，0），（3，0），
∴AB＝3﹣1＝2，
∴m=12×2×2=2．
故選：C．
【點評】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質，二次函數(shù)與x軸的交點，二次函數(shù)圖象上點的坐標的特征，判定P1，P2，P3點的位置是解題的關鍵．
20．（2021?無錫）對于二次函數(shù)y＝x2﹣2mx﹣3，有下列說法：
①它的圖象與x軸有兩個公共點；
②當x≤2時，y隨x的增大而減小，則m＝2；
③若將它的圖象向右平移3個單位后過原點，則m＝1；
④當x＝3時函數(shù)值與x＝2017時函數(shù)值相同，則當x＝2021時的函數(shù)值為2018．
其中，說法正確的是（ ）
A．①②B．①③C．①④D．②④
【分析】①由根的判別式Δ＝4m2+12＞0，可得出二次函數(shù)y＝x2﹣2mx﹣3的圖象與x軸有兩個公共點，說法①正確；
②由當x≤2時，y隨x的增大而減小，可得出二次函數(shù)圖象的對稱軸大于等于2，由此可得出m≥2，說法②錯誤；
③得到y(tǒng)＝x2﹣2mx﹣3的圖象向右平移3個單位后的解析式，令常數(shù)項＝0，求出m＝﹣1即可判斷；說法③錯誤；
④根據(jù)坐標的對稱性，求出m的值，得到函數(shù)解析式，將m＝1010代入解析式即可．說法④正確．綜上即可得出結論．
【解答】解：①∵△＝（﹣2m）2﹣4×1×（﹣3）＝4m2+12＞0，
∴二次函數(shù)y＝x2﹣2mx﹣3的圖象與x軸有兩個公共點，說法①正確；
②∵當x≤2時，y隨x的增大而減小，
∴??2m2=m≥2，說法②錯誤；
③∵y＝x2﹣2mx﹣3的圖象向右平移3個單位后過原點，∴y＝（x﹣3）2﹣2m（x﹣3）﹣3＝x2﹣（6+2m）x+6m+9﹣3中6m+9﹣3＝0，
解得m＝﹣1，說法③錯誤；
④∵當x＝3時的函數(shù)值與x＝2017時的函數(shù)值相等，
∴二次函數(shù)y＝x2﹣2mx﹣3的圖象的對稱軸為直線x＝1010．
則??2m2=1010，m＝1010，原函數(shù)可化為y＝x2﹣2020x﹣3，
當x＝2021時，y＝20212﹣2020×2021﹣3＝2018，說法④正確．
綜上所述：正確的說法有①④．
故選：C．
【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質以及拋物線與x軸的交點，利用二次函數(shù)的性質逐一分析四個說法的正誤是解題的關鍵．
21．（2021?湖北）若拋物線y＝x2+bx+c與x軸兩個交點間的距離為4．對稱軸為直線x＝2，P為這條拋物線的頂點，則點P關于x軸的對稱點的坐標是（ ）
A．（2，4）B．（﹣2，4）C．（﹣2，﹣4）D．（2，﹣4）
【分析】根據(jù)拋物線y＝x2+bx+c與x軸兩個交點間的距離為4．對稱軸為直線x＝2，可以得到b、c的值，然后即可得到該拋物線的解析式，再將函數(shù)解析式化為頂點式，即可得到點P的坐標，然后根據(jù)關于x軸對稱的點的特點橫坐標不變，縱坐標互為相反數(shù)，即可得到點P關于x軸的對稱點的坐標．
【解答】解：設拋物線y＝x2+bx+c與x軸兩個交點坐標為（x1，0），（x2，0），
∵拋物線y＝x2+bx+c與x軸兩個交點間的距離為4．對稱軸為直線x＝2，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝16，?b2×1=2，
∴（?b1）2﹣4×c1=16，b＝﹣4，
解得c＝0，
∴拋物線的解析式為y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，
∴頂點P的坐標為（2，﹣4），
∴點P關于x軸的對稱點的坐標是（2，4），
故選：A．
【點評】本題考查拋物線與x軸的交點、二次函數(shù)的性質、關于x軸對稱的點的坐標特點，解答本題的關鍵是求出點P的坐標，利用二次函數(shù)的性質解答．
22．（2021?呼和浩特）已知二次項系數(shù)等于1的一個二次函數(shù)，其圖象與x軸交于兩點（m，0），（n，0），且過A（0，b），B（3，a）兩點（b，a是實數(shù)），若0＜m＜n＜2，則ab的取值范圍是（ ）
A．0＜ab＜418B．0＜ab＜198C．0＜ab＜8116D．0＜ab＜4916
【分析】方法1、由二次項系數(shù)為1的拋物線判斷出拋物線的開口向上，開口大小一定，進而判斷出ab＞0，再根據(jù)完全平方公式判斷出a＝b，且拋物線與x軸只有一個交點時，是ab的最大值的分界點，進而求出m＝n=32，進而求出a＝b=94，即可得出結論．
方法2、先表示出b＝mn，a＝（3﹣m）（3﹣n），進而得出ab＝[﹣（m?32）2+94][﹣（n?32）2+94]，再判斷出0＜﹣（m?32）2+94≤94，0＜﹣（n?32）2+94≤94，即可得出結論．
【解答】解法1、∵函數(shù)是一個二次項系數(shù)為1的二次函數(shù)，
∴此函數(shù)的開口向上，開口大小一定，
∵拋物線與x軸交于兩點（m，0），（n，0），且0＜m＜n＜2，
∴a＞0，b＞0，
∴ab＞0，
∵（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab≥0（a＝b時取等號），
即a2+b2≥2ab（當a＝b時取等號），
∴當a＝b時，ab才有可能最大，
∵二次函數(shù)過A（0，b），B（3，a）兩點，
∴當a＝b時，點A，B才關于拋物線的對稱軸對稱，即拋物線的對稱軸為直線x＝1.5，
∵拋物線與x軸交于兩點（m，0），（n，0），且0＜m＜n＜2，
∴拋物線的頂點越接近x軸，ab的值越大，
即當拋物線與x軸只有一個交點時，是ab最大值的分界點，
當拋物線與x軸只有一個交點時，此時m＝n=32，
∴拋物線的解析式為y＝（x?32）2＝x2﹣3x+94，
∴a＝b=94，
∴ab＜（94）2=8116，
∴0＜ab＜8116，
故選：C．
解法2、由已知二次項系數(shù)等于1的一個二次函數(shù)，其圖象與x軸交于兩點（m，0），（n，0），
所以可設交點式y(tǒng)＝（x﹣m）（x﹣n），
分別代入（0，b），（3，a），
∴ab＝mn（3﹣m）（3﹣n）＝（3m﹣m2）（3n﹣n2）＝[﹣（m?32）2+94][﹣（n?32）2+94]
∵0＜m＜n＜2，
∴0＜﹣（m?32）2+94≤94，0＜﹣（n?32）2+94≤94，
∵m＜n，
∴ab不能取8116，
∴0＜ab＜8116，
故選：C．
【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的性質，完全平方的非負性，判斷出a＝b以及拋物線與x軸只有一個交點時，ab最大這個分界點是解本題的關鍵．
23．（2021?遂寧）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，有下列5個結論：
①abc＞0；
②b2＜4ac；
③2c＜3b；
④a+b＞m（am+b）（m≠1）；
⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四個根，則這四個根的和為2．
其中正確的結論有（ ）
A．2個B．3個C．4個D．5個
【分析】由二次函數(shù)圖象性質知，開口向下，則a＜0．再結合對稱軸?b2a＞0，得b＞0．據(jù)二次函數(shù)圖象與y軸正半軸相交得c＞0．由于二次函數(shù)圖象與x軸交于不同兩點，則b2﹣4ac＞0．
【解答】解：①二次函數(shù)圖象性質知，開口向下，則a＜0．再結合對稱軸?b2a＞0，得b＞0．據(jù)二次函數(shù)圖象與y軸正半軸相交得c＞0．
∴abc＜0．
①錯．
②二次函數(shù)圖象與x軸交于不同兩點，則b2﹣4ac＞0．
∴b2＞4ac．
②錯．
③∵?b2a=1，
∴b＝﹣2a．
又當x＝﹣1時，y＜0．
即a﹣b+c＜0．
∴2a﹣2b+2c＜0．
∴﹣3b+2c＜0．
2c＜3b．
∴③正確．
④∵x＝1時函數(shù)有最大值，
∴當x＝1時的y值大于當x＝m（m≠1）時的y值，
即a+b+c＞m（am+b）+c
∴a+b＞m（am+b）（m≠1）成立，
∴④正確．
⑤將x軸下方二次函數(shù)圖象翻折到x軸上方，則與直線y＝1有四個交點即可．
由二次函數(shù)圖象的軸對稱性知：關于對稱軸對稱的兩個根的和為2，四個根的和為4．故⑤錯．
綜上：③④正確，故選：A．
【點評】本題考查二次函數(shù)圖象性質，較為綜合．需要對二次函數(shù)各項系數(shù)對圖象的決定作用理解透徹，同時需要理解二次函數(shù)與方程的關系．會用數(shù)形結合的思想去解題．
24．（2023?日照）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2+bx（a≠0），滿足3a+b＞0a+b＜0，已知點（﹣3，m），（2，n），（4，t）在該拋物線上，則m，n，t的大小關系為（ ）
A．t＜n＜mB．m＜t＜nC．n＜t＜mD．n＜m＜t
【分析】根據(jù)已知可得a＞0，所以拋物線開口向上，再根據(jù)﹣3a＜b＜﹣a，得12＜?b2a＜32，再由點（﹣3，m），（2，n），（4，t）在該拋物線上，即可得m，n，t的大小關系．
【解答】解：∵3a+b＞0，
∴2a+a+b＞0，
∵a+b＜0，
∴2a＞0，
∴a＞0，
∴拋物線開口向上，
∵﹣3a＜b＜﹣a，
∴12＜?b2a＜32，
∵點（﹣3，m），（2，n），（4，t）在該拋物線上，
∴m，n，t的大小關系為：n＜t＜m．
故選：C．
【點評】本題考查的是二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，熟知二次函數(shù)的性質是解題的關鍵．
25．（2023?通遼）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點（x1，0），（2，0），其中0＜x1＜1 下列四個結論：①abc＜0；②a+b+c＞0；③2b+3c＜0；④不等式ax2+bx+c＜?c2x+c的解集為0＜x＜2．其中正確結論的個數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】利用二次函數(shù)的圖象和性質依次判斷即可．
【解答】解：∵拋物線開口向上，對稱軸在y軸右邊，與y軸交于正半軸，
∴a＞0，b＜0，c＞0，
∴abc＜0，
∴①正確．
∵當x＝1時，y＜0，
∴a+b+c＜0，
∴②錯誤．
∵拋物線過點（2，0），
∴4a+2b+c＝0，
∴b＝﹣2a?c2，a=?12a?14c，
∵a+b+c＜0，
∴a﹣2a?c2+c＜0，
∴2a﹣c＞0，
∴﹣a?12c﹣c＞0，
∴﹣2a﹣3c＜0，
∴2a+3c＞0，
∴③錯誤．
如圖：
設y1＝ax2+bx+c，y2=?c2x+c，
由圖值，y1＞y2時，x＜0或x＞x1，
故④正確．
故選：B．
【點評】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質，掌握二次函數(shù)的圖象和性質是求解本題的關鍵．
26．（2023?湖北）拋物線y＝ax2+bx+c（a＜0）與x軸相交于點A（﹣3，0），B（1，0）．下列結論：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③3b+2c＝0；④若點P（m﹣2，y1），Q（m，y2）在拋物線上，且y1＜y2，則m≤﹣1．其中正確的結論有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質及數(shù)形結合思想進行判定．
【解答】解：①由題意得：y＝ax2+bx+c＝a（x+3）（x﹣1）＝ax2+2ax﹣3a，
∴b＝2a，c＝﹣3a，
∵a＜0，
∴b＜0，c＞0，
∴abc＞0，
故①是錯誤的；
②∵拋物線y＝ax2+bx+c（a＜0）與x軸相交于點A（﹣3，0），B（1，0）．
∴ax2+bx+c＝0有兩個不相等的實數(shù)根，
∴b2﹣4ac＞0，
故②是正確的；
③∵b＝2a，c＝﹣3a，
∴3b+2c＝6a﹣6a＝0，
故③是正確的；
④∵拋物線y＝ax2+bx+c（a＜0）與x軸相交于點A（﹣3，0），B（1，0）．
∴拋物線的對稱軸為：x＝﹣1，
當點P（m﹣2，y1），Q（m，y2）在拋物線上，且y1＜y2，
∴m≤﹣1或m?2＜?1＜m?1?(m?2)＞m?(?1)，
解得：m＜0，
故④是錯誤的，
故選：B．
【點評】本題考查了二次函數(shù)與系數(shù)的關系，掌握二次函數(shù)的性質及數(shù)形結合思想是解題的關鍵．
27．（2023?東營）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，對稱軸為直線x＝﹣1．若點A的坐標為（﹣4，0），則下列結論正確的是（ ）
A．2a+b＝0
B．﹣4a﹣2b+c＞0
C．x＝2是關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一個根
D．點（x1，y1），（x2，y2）在拋物線上，當x1＞x2＞﹣1時，y1＜y2＜0
【分析】根據(jù)對稱軸判斷①，根據(jù)圖象特征判斷②，根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸的交點判斷③，根據(jù)拋物線的性質判斷④．
【解答】解：∵對稱軸為直線x＝﹣1，
∴x=?b2a=?1，
∴b＝2a，
∴2a﹣b＝0，故①錯誤，
∵拋物線開口向上，
∴a＞0，
∵對稱軸在y軸左側，
∴b＞0，
∵拋物線與y軸交于負半軸，
∴c＜0，
∴﹣4a﹣（2b﹣c）＜0，
即﹣4a﹣2b+c＜0，故②錯誤，
∵拋物線與x軸交于（﹣4，0），對稱軸為直線x＝﹣1，
∴拋物線與x軸的另一個交點為（2，0），
∴x＝2是關于x的一元一次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一個根，故③正確，
∵拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝﹣1，
∴當x＞﹣1時，y隨x的增大而增大，
∴當x1＞x2＞﹣1時，y1＞y2，故④錯誤，
故選：C．
【點評】本題主要考查的是二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系、二次函數(shù)圖象上點的特征、拋物線與x軸的焦點情況，熟練掌握個知識點是解決本題的關鍵．
28．（2023?齊齊哈爾）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象的一部分與x軸的一個交點坐標為（3，0），對稱軸為直線x＝1，結合圖象給出下列結論：
①abc＞0；
②b＝2a；
③3a+c＝0；
④關于x的一元二次方程ax2+bx+c+k2＝0（a≠0）有兩個不相等的實數(shù)根；
⑤若點（m，y1）（﹣m+2，y2）均在該二次函數(shù)圖象上，則y1＝y(tǒng)2．
其中正確結論的個數(shù)是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【分析】根據(jù)圖象特征可判斷①，根據(jù)對稱軸可判斷②，根據(jù)拋物線與x軸的交點即對稱軸確定拋物線與x軸的另一個交點后可判斷③，將方程ax2+bx+c+k2＝0（a≠0）的解看做y＝ax2+bx+c（a≠0）與y＝﹣k2的交點可判斷④，由點（m，y1）（﹣m+2，y2）關于直線x＝1對稱可判斷⑤．
【解答】解：∵拋物線開口向上，
∴a＞0，
∵對稱軸在y軸右側，
∴b＜0，
∵拋物線與y軸交于負半軸，
∴c＜0，
∴abc＞0，故①正確，
∵x=?b2a=1，
∴b＝﹣2a，故②錯誤，
∵拋物線與x軸的一個交點為（3，0），對稱軸為x＝1，
∴拋物線與x軸的另一個交點為（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∵b＝﹣2a，
∴3a+c＝0，故③正確，
方程ax2+bx+c+k2＝0（a≠0）的解可看做y＝ax2+bx+c（a≠0）與y＝﹣k2的交點，
∵﹣k2≤0，
∴當y＝﹣k2過拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）頂點時，兩函數(shù)只有一個交點，即方程ax2+bx+c+k2＝0有兩個相等的實數(shù)根，故④錯誤，
∵點（m，y1）（﹣m+2，y2）關于直線x＝1對稱，
∴y1＝y(tǒng)2，故⑤正確．
故選：B．
【點評】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、根的判別式以及拋物線與x軸的交點，熟練掌握各知識點是解決本題的關鍵．
29．（2023?聊城）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，圖象經過點（0，2），其對稱軸為直線x＝﹣1．下列結論：①3a+c＞0；②若點（﹣4，y1），（3，y2）均在二次函數(shù)圖象上，則y1＞y2；③關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有兩個相等的實數(shù)根；④滿足ax2+bx+c＞2的x的取值范圍為﹣2＜x＜0．其中正確結論的個數(shù)為（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【分析】由對稱軸為直線x＝﹣1可得b＝2a，再將x＝1代入可判斷①，找出（﹣4，y1）關于直線x＝﹣1對稱的點，再根據(jù)二次函數(shù)的性質可判斷②，方程ax2+bx+c＝﹣1的解可看做拋物線y＝ax2+bx+c與直線y＝﹣1的交點，找出交點個數(shù)可判斷③，不等式ax2+bx+c＞2的解集可看做拋物線y＝ax2+bx+c的圖象在直線y＝2上方的部分，可判斷④．
【解答】解：∵對稱軸為直線x＝﹣1．
∴b＝2a，
∵當x＝1時，y＝a+b+c＜0，
∴3a+c＜0，故①錯誤，
∵拋物線開口向下，
∴在對稱軸的右側y隨x的增大而減小，
∵（﹣4，y1）關于直線x＝﹣1對稱的點為（2，y1），
又∵2＜3，
∴y1＞y2，故②正確，
方程ax2+bx+c＝﹣1的解可看做拋物線y＝ax2+bx+c與直線y＝﹣1的交點，
由圖象可知拋物線y＝ax2+bx+c與直線y＝﹣1有兩個交點，
∴關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有兩個不相等的實數(shù)根，故③錯誤，
不等式ax2+bx+c＞2的解集可看做拋物線y＝ax2+bx+c的圖象在直線y＝2上方的部分，
∵（0，2）關于直線x＝﹣1對稱的點為（﹣2，2），
∴x的取值范圍為﹣2＜x＜0，故④正確．
故選：B．
【點評】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、拋物線與x軸的交點等，熟練掌握二次函數(shù)的相關知識是解決本題的關鍵．
30．（2023?邵陽）已知P1（x1，y1）P2（x2，y2）是拋物線y＝ax2+4ax+3（a是常數(shù)，a≠0）上的點，現(xiàn)有以下四個結論：①該拋物線的對稱軸是直線x＝﹣2；②點（0，3）在拋物線上；③若x1＞x2＞﹣2，則y1＞y2；④若y1＝y(tǒng)2，則x1+x2＝﹣2，其中，正確結論的個數(shù)為（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【分析】根據(jù)題目中的二次函數(shù)的性質，可以判斷各個小題中的結論是否正確，從而可以解答本題．
【解答】解：∵拋物線y＝ax2+4ax+3的對稱軸為直線x=?4a2a=?2，
∴①正確；
當x＝0時，y＝3，則點點（0，3）在拋物線上，
∴②正確；
當a＞0時，x1＞x2＞﹣2，則y1＞y2；
當a＜0時，x1＞x2＞﹣2，則y1＜y2；
∴③錯誤；
當y1＝y(tǒng)2，則x1+x2＝﹣4，
∴④錯誤；
故正確的有2個，
故選：B．
【點評】本題考查二次函數(shù)的性質，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質解答．
二．填空題（共22小題）
31．（2023?赤峰）如圖，拋物線y＝x2﹣6x+5與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，點D（2，m）在拋物線上，點E在直線BC上，若∠DEB＝2∠DCB，則點E的坐標是 (175，85) 和 (335，?85) ．
【分析】先根據(jù)題意畫出圖形，先求出D點坐標，當E點在線段BC上時：∠DEB 是△DCE 的外角，∠DEB＝2∠DCB，而∠DEB＝∠DCE+∠CDE，所以此時∠DCE＝∠CDE，有 CE＝DE，可求出BC 所在直線的解析式y(tǒng)＝﹣x+5，設E點（a，﹣a+5）坐標，再根據(jù)兩點距離公式，CE＝DE，得到關于a的 方程，求解a的值，即可求出E點坐標；當E點在線段CB的延長線上時，根據(jù)題中條件，可以證明 BC2+BD2＝DC2 得到∠DBC為直角三角形，延長EB至E′，取BE′＝BE，此時，∠DE'E＝∠DEE'＝2∠DCB，從而證明E′是要找的點，應為 OC＝OB，△OCB 為等腰直角三角形，點 E和E′關于B點對稱，可以根據(jù)E點坐標求出E′點坐標．
【解答】解：根據(jù)D點坐標，有m＝22﹣6×2+5＝﹣3，所，以D點坐標（2，﹣3），
設BC所在直線解析式為 y＝kx+b，其過點C（0，5）、B（5，0），
b=55k+b=0，
解得k=?1b=5，
BC所在直線的解析式為：y＝﹣x+5，
當E點在線段BC上時，設E（a，﹣a+5），∠DEB＝∠DCE+∠CDE，而∠DEB＝2∠DCB，
∴∠DCE＝∠CDE，
∴CE＝DE，
因為E（a，﹣a+5），C（0，5），D（2，﹣3），
有a2+(?a+5?5)2=(a?2)2+[?a+5?(?3)]2，
解得：a=175，?a+5=85，所以E點的坐標為：(175，85)，
當E在CB的延長線上時，
在△BDC中，BD2＝（5﹣2）2+32＝18，
BC2＝52+52＝50，DC2＝（5+3）2+22＝68，
BD2+BC2＝DC2，
∴BD⊥BC 如圖延長EB至 E'，取 BE'＝BE，
則有△DEE'為等腰三角形，DE＝DE'，
∴∠DEE′＝∠DE′E，
又∵∠DEB＝2∠DCB，
∴∠DE′E＝2∠DCB，
則E′為符合題意的點，
∵OC＝OB＝5∠OBC＝45°，
E′的橫坐標：5+(5?175)=335，縱坐標為 ?85；
綜上E點的坐標為：(175，85) 和 (335，?85)．
【點評】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合應用，熟練掌握一次函數(shù)根二次函數(shù)的圖象和性質，分情況 找到E點的位置，是求解此題的關鍵．
32．（2023?郴州）已知拋物線y＝x2﹣6x+m與x軸有且只有一個交點，則m＝ 9 ．
【分析】利用判別式Δ＝b2﹣4ac＝0即可得出結論．
【解答】解：∵拋物線y＝x2﹣6x+m與x軸有且只有一個交點，
∴方程x2﹣6x+m＝0有唯一解．
即Δ＝b2﹣4ac＝36﹣4m＝0，
解得：m＝9．
故答案為：9．
【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點知識，明確Δ＝b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)是解題的關鍵．
33．（2023?巴中）規(guī)定：如果兩個函數(shù)的圖象關于y軸對稱，那么稱這兩個函數(shù)互為“Y函數(shù)”．例如：函數(shù)y＝x+3與y＝﹣x+3互為“Y函數(shù)”．若函數(shù)y=k4x2+（k﹣1）x+k﹣3的圖象與x軸只有一個交點，則它的“Y函數(shù)”圖象與x軸的交點坐標為 （3，0）或（4，0） ．
【分析】根據(jù)關于y軸對稱的圖形的對稱點的坐標特點，分情況討論求出它的“Y函數(shù)”圖象與x軸的交點坐標．
【解答】解：當k＝0時，函數(shù)解析式為y＝﹣x﹣3，
它的“Y函數(shù)”解析式為y＝x﹣3，它們的圖象與x軸都只有一個交點，
∴它的“Y函數(shù)”圖象與x軸的交點坐標為（3，0）；
當k≠0時，此函數(shù)為二次函數(shù)，
若二次函數(shù)y=k4x2+(k?1)x+k?3的圖象與x軸只有一個交點，
則二次函數(shù)的頂點在x軸上，
即4×k4(k?3)?(k?1)24×k4=0，
解得k＝﹣1，
∴二次函數(shù)的解析式為y=?14x2?2x?4=?14(x+4)2，
∴它的“Y函數(shù)”解析式為y=?14(x?4)2，
令y＝0，
則?14(x?4)2=0，
解得x＝4，
∴二次函數(shù)的“Y函數(shù)”圖象與x軸的交點坐標為（4，0），
綜上，它的“Y函數(shù)”圖象與x軸的交點坐標為（3，0）或（4，0）．
故答案為：（3，0）或（4，0）．
【點評】本題考查了新定義，二次函數(shù)與x軸的交點坐標，坐標與圖形變換﹣﹣﹣﹣軸對稱，求一次函數(shù)解析式和二次函數(shù)解析式，理解題意，采用分類討論的思想是解題的關鍵．
34．（2023?宜賓）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c經過點A（﹣3，0），頂點為M（﹣1，m），且拋物線與y軸的交點B在（0，﹣2）與（0，﹣3）之間（不含端點），則下列結論：①當﹣3≤x≤1時，y≤0；②當△ABM的面積為332時，a=32；③當△ABM為直角三角形時，在△AOB內存在唯一一點P，使得PA+PO+PB的值最小，最小值的平方為18+93．其中正確的結論是 ①② ．（填寫所有正確結論的序號）
【分析】①根據(jù)拋物線的對稱性可得：拋物線與x軸的另一個交點坐標為（1，0），再結合拋物線的性質可判斷結論①；
②將（﹣3，0），（1，0）代入y＝ax2+bx+c，可得b＝2a，c＝﹣3a，得出y＝ax2+2ax﹣3a＝a（x+1）2﹣4a，拋物線的頂點為M（﹣1，﹣4a），設拋物線對稱軸交x軸于H，利用S△ABM＝S△AMH+S梯形BMHO﹣S△AOB，建立方程求解即可判斷②；
③根據(jù)△ABM為直角三角形，利用勾股定理求得a=22，將△BPA繞點B逆時針旋轉60°得到△BP′A′，連接PP′，過點A′作A′T⊥x軸于點T，作A′Q⊥y軸于點Q，可得△BPP′和△ABA′是等邊三角形，即AA′＝A′B＝AB=272，由于PA+PO+PB＝P′A′+PO+PP′，可得當點O，點P，點P′，點A′共線時，PA+PO+PB值最小，最小值為OA′，設A′（m，n），列方程組(?3?m)2+(?n)2=272(?322?n)2+(?m)2=272，求解即可求得m、n，再利用OA′2＝m2+n2，即可判斷③．
【解答】解：①∵拋物線y＝ax2+bx+c經過點A（﹣3，0），頂點為M（﹣1，m），
∴拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1，
∴拋物線與x軸的另一個交點坐標為（1，0），
∵拋物線的開口向上，
∴當﹣3≤x≤1時，y≤0；故①正確．
②將（﹣3，0），（1，0）代入y＝ax2+bx+c，得9a?3b+c=0a+b+c=0，
解得：b=2ac=?3a，
∴y＝ax2+2ax﹣3a＝a（x+1）2﹣4a，
∴拋物線的頂點為M（﹣1，﹣4a），
設拋物線對稱軸交x軸于H，如圖，
則H（﹣1，0），
∴AH＝﹣1﹣（﹣3）＝2，MH＝4a，OH＝1，
∵B（0，﹣3a），
∴OB＝3a，
∴S△ABM＝S△AMH+S梯形BMHO﹣S△AOB=12?AH?MH+12?（MH+OB）?OH?12OA?OB=12×2×4a+12×（4a+3a）×1?12×3×3a＝3a，
∵S△ABM=332，
∴3a=332，
∴a=32；故②正確．
③∵A（﹣3，0），B（0，﹣3a），M（﹣1，﹣4a），
∴AB2＝OA2+OB2＝32+（3a）2＝9+9a2，AM2＝AH2+MH2＝4+16a2，BM2＝1+a2，
若∠AMB＝90°，則AM2+BM2＝AB2，
即4+16a2+1+a2＝9+9a2，
解得：a=22，或a=?22（舍去）；
若∠ABM＝90°，則AB2+BM2＝AM2，
即9+9a2+1+a2＝4+16a2，
解得：a＝1，或a＝﹣1（舍去）；
若∠BAM＝90°，則AB2+AM2＝BM2，
即9+9a2+4+16a2＝1+a2，
整理得：a2=?12（無解）；
∵點B在（0，﹣2）與（0，﹣3）之間（不含端點），
∴﹣3＜﹣3a＜﹣2，
∴23＜a＜1，
∴a=22，
∴OB=322，AB2=272，
如圖，將△BPA繞點B逆時針旋轉60°得到△BP′A′，連接PP′，過點A′作A′T⊥x軸于點T，作A′Q⊥y軸于點Q，
∴BP＝BP′，PA＝P′A′，∠PBP′＝∠ABA′＝60°，
∴△BPP′和△ABA′是等邊三角形，
∴BP＝PP′，AA′＝A′B＝AB=272，
∴PA+PO+PB＝P′A′+PO+PP′，
∴當點O，點P，點P′，點A′共線時，PA+PO+PB值最小，最小值為OA′，
此時∠APB＝∠APO＝∠BPO＝120°，
設A′（m，n），
則A′T＝﹣n，AT＝﹣3﹣m，A′Q＝﹣m，BQ＝﹣n?322，
在Rt△AA′T中，AT2+A′T2＝AA′2，
在Rt△BA′Q中，BQ2+A′Q2＝A′B2，
即(?3?m)2+(?n)2=272(?322?n)2+(?m)2=272，
解得：m=?6?364n=?32?634，
∴OA′2＝m2+n2＝（?6?364）2+（?32?634）2=27+962，
故③錯誤；
故答案為：①②．
【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質，待定系數(shù)法，三角形面積，勾股定理，旋轉變換的應用，等邊三角形的判定和性質等，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造特殊三角形解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．
35．（2022?大慶）已知函數(shù)y＝mx2+3mx+m﹣1的圖象與坐標軸恰有兩個公共點，則實數(shù)m的值為 1或?45 ．
【分析】函數(shù)y＝mx2+3mx+m﹣1的圖象與坐標軸恰有兩個公共點，分情況討論，①過坐標原點，m﹣1＝0，m＝1，②與x、y軸各一個交點，得出Δ＝0，m≠0．
【解答】解：當m＝0時，y＝﹣1，與坐標軸只有一個交點，不符合題意．
當m≠0時，∵函數(shù)y＝mx2+3mx+m﹣1的圖象與坐標軸恰有兩個公共點，
①過坐標原點，m﹣1＝0，m＝1，
②與x、y軸各一個交點，
∴Δ＝0，m≠0，
（3m）2﹣4m（m﹣1）＝0，
解得m＝0（舍去）或m=?45，
綜上所述：m的值為1或?45．
【點評】本題考查拋物線與x軸的交點、二次函數(shù)的性質，掌握函數(shù)的圖象與坐標軸恰有兩個公共點的情況，看清題意，分情況討論是解題關鍵．
36．（2022?無錫）把二次函數(shù)y＝x2+4x+m的圖象向上平移1個單位長度，再向右平移3個單位長度，如果平移后所得拋物線與坐標軸有且只有一個公共點，那么m應滿足條件： m＞3 ．
【分析】先求出平移后的拋物線的解析式，由平移后所得拋物線與坐標軸有且只有一個公共點，可得Δ＜0，即可求解．
【解答】解：∵把二次函數(shù)y＝x2+4x+m＝（x+2）2+m﹣4的圖象向上平移1個單位長度，再向右平移3個單位長度，
∴平移后的解析式為：y＝（x+2﹣3）2+m﹣4+1，
∴平移后的解析式為：y＝x2﹣2x+m﹣2，
∴對稱軸為直線x＝1，
∵平移后所得拋物線與坐標軸有且只有一個公共點，
∴Δ＝4﹣4（m﹣2）＜0，
∴m＞3，
故答案為：m＞3．
【點評】本題考查二次函數(shù)圖象與幾何變換以及二次函數(shù)的性質，關鍵是掌握二次函數(shù)的幾何變換．
37．（2022?福建）已知拋物線y＝x2+2x﹣n與x軸交于A，B兩點，拋物線y＝x2﹣2x﹣n與x軸交于C，D兩點，其中n＞0．若AD＝2BC，則n的值為 8 ．
【分析】方法1、先判斷出了拋物線與x軸的兩交點坐標，進而求出AD，BC，進而建立方程，求解即可求出答案．
方法2、先判斷出拋物線y＝x2﹣2x﹣n的圖象可由y＝x2+2x﹣n的圖象向右平移兩個單位得到，進而畫出圖象，再借助AD＝2BC，求出點C的坐標，即可求出答案．
【解答】方法1、解：針對于拋物線y＝x2+2x﹣n，
令y＝0，則x2+2x﹣n＝0，
∴x＝﹣1±n+1，
針對于拋物線y＝x2﹣2x﹣n，
令y＝0，則x2﹣2x﹣n＝0，
∴x＝1±n+1，
∵拋物線y＝x2+2x﹣n＝（x+1）2﹣n﹣1，
∴拋物線y＝x2+2x﹣n的頂點坐標為（﹣1，﹣n﹣1），
∵拋物線y＝x2﹣2x﹣n＝（x﹣1）2﹣n﹣1，
∴拋物線y＝x2﹣2x﹣n的頂點坐標為（1，﹣n﹣1），
∴拋物線y＝x2+2x﹣n與拋物線y＝x2﹣2x﹣n的開口大小一樣，與y軸相交于同一點，頂點到x軸的距離相等，
∴AB＝CD，
∵AD＝2BC，
∴拋物線y＝x2+2x﹣n與x軸的交點A在左側，B在右側，拋物線y＝x2﹣2x﹣n與x軸的交點C在左側，D在右側，
∴A（﹣1?n+1，0），B（﹣1+n+1，0），C（1?n+1，0），D（1+n+1，0），
∴AD＝1+n+1?（﹣1?n+1）＝2+2n+1，BC＝﹣1+n+1?（1?n+1）＝﹣2+2n+1，
∴2+2n+1=2（﹣2+2n+1），
∴n＝8，
故答案為：8．
方法2、∵y＝x2+2x﹣n＝（x+1）2﹣n﹣1，
∴拋物線y＝x2+2x﹣n的對稱軸為直線x＝﹣1，頂點坐標為（﹣1，﹣n﹣1），
∵y＝x2﹣2x﹣n＝（x﹣1）2﹣n﹣1，
∴拋物線y＝x2﹣2x﹣n的對稱軸為直線x＝1，頂點坐標為（1，﹣n﹣1），
∴拋物線y＝x2﹣2x﹣n的圖象可由y＝x2+2x﹣n的圖象向右平移兩個單位得到，
∵n＞0，
∴﹣n﹣1＜﹣1，
兩函數(shù)的圖象如圖所示：
由平移得，AC＝BD＝2，
∵AB＝CD，AD＝2BC，
∴BC＝2AC＝4，
∴CD＝BC+BD＝6，
∵點C，D關于直線x＝1對稱，
∴C（﹣2，0），
∵點C在拋物線 y＝x2﹣2x﹣n 上，
∴4+4﹣n＝0，
∴n＝8，
故答案為：8．
【點評】此題主要考查了拋物線的性質，拋物線與x軸交點的求法，表示出點A，B，C，D的坐標是解本題的關鍵．
38．（2022?棗莊）小明在學習“二次函數(shù)”內容后，進行了反思總結．如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象的一部分與x軸的一個交點坐標為（1，0），對稱軸為直線x＝﹣1，結合圖象他得出下列結論：①ab＞0且c＞0；②a+b+c＝0；③關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根分別為﹣3和1；④若點（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函數(shù)圖象上，則y1＜y2＜y3；⑤3a+c＜0，其中正確的結論有 ①②③ .（填序號，多選、少選、錯選都不得分）
【分析】由拋物線的對稱軸的位置以及與y軸的交點可判斷①；由拋物線過點（1，0），即可判斷②；由拋物線的對稱性可判斷③；根據(jù)各點與拋物線對稱軸的距離大小可判斷④；對稱軸可得b＝2a，由拋物線過點（1，0）可判斷⑤．
【解答】解：∵拋物線對稱軸在y軸的左側，
∴ab＞0，
∵拋物線與y軸交點在x軸上方，
∴c＞0，①正確；
∵拋物線經過（1，0），
∴a+b+c＝0，②正確．
∵拋物線與x軸的一個交點坐標為（1，0），對稱軸為直線x＝﹣1，
∴另一個交點為（﹣3，0），
∴關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根分別為﹣3和1，③正確；
∵﹣1﹣（﹣2）＜﹣1﹣（﹣4）＜3﹣（﹣1），拋物線開口向下，
∴y2＞y1＞y3，④錯誤．
∵拋物線與x軸的一個交點坐標為（1，0），
∴a+b+c＝0，
∵?b2a=?1，
∴b＝2a，
∴3a+c＝0，⑤錯誤．
故答案為：①②③．
【點評】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，解題關鍵是掌握二次函數(shù)的性質，掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關系．
39．（2022?赤峰）如圖，拋物線y＝﹣x2﹣6x﹣5交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，點D（m，m+1）是拋物線上的點，則點D關于直線AC的對稱點的坐標為 （﹣5，﹣4）或（0，1） ．
【分析】由拋物線解析式可得A，B，C三點的坐標，則AB＝4，將點D的坐標代入拋物線的解析式可得m的值，確定D的坐標，根據(jù)計算的D的坐標分情況畫圖可得結論．
【解答】解：把點D（m，m+1）代入拋物線y＝﹣x2﹣6x﹣5中得：
m+1＝﹣m2﹣6m﹣5，
解得：m1＝﹣1，m2＝﹣6，
∴D（﹣1，0）或（﹣6，﹣5），
當y＝0時，﹣x2﹣6x﹣5＝0，
∴x＝﹣1或﹣5，
∴A（﹣5，0），B（﹣1，0），
當x＝0時，y＝﹣5，
∴OC＝OA＝5，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠OAC＝45°，
①如圖1，D（﹣1，0），此時點D與B重合，連接AD'，
∵點D與D'關于直線AC對稱，
∴AC是BD的垂直平分線，
∴AB＝AD'＝﹣1﹣（﹣5）＝4，且∠OAC＝∠CAD'＝45°，
∴∠OAD'＝90°，
∴D'（﹣5，﹣4）；
②如圖2，D（﹣6，﹣5），
∵點D（m，m+1），
∴點D在直線y＝x+1上，此時直線y＝x+1過點B，
∴BD⊥AC，即D'在直線y＝x+1上，
∵A（﹣5，0），C（0，﹣5），
則直線AC的解析式為：y＝﹣x﹣5，
∵﹣x﹣5＝x+1，
∴x＝﹣3，
∴E（﹣3，﹣2），
∵點D與D'關于直線AC對稱，
∴E是DD'的中點，
∴D'（0，1），
綜上，點D關于直線AC的對稱點的坐標為（﹣5，﹣4）或（0，1）．
故答案為：（﹣5，﹣4）或（0，1）．
【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、等腰直角三角形的判定與性質、軸對稱的性質；熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標特征和軸對稱的性質是解決問題的關鍵．
40．（2021?成都）在平面直角坐標系xOy中，若拋物線y＝x2+2x+k與x軸只有一個交點，則k＝ 1 ．
【分析】由題意得：Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4k＝0，即可求解．
【解答】解：由題意得：Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4k＝0，
解得k＝1，
故答案為1．
【點評】本題考查的是拋物線和x軸的交點，Δ＝b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點，Δ＝b2﹣4ac＝0時，拋物線與x軸有1個交點，Δ＝b2﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．
41．（2021?淄博）對于任意實數(shù)a，拋物線y＝x2+2ax+a+b與x軸都有公共點，則b的取值范圍是 b≤?14 ．
【分析】根據(jù)題意得到4a2﹣4（a+b）≥0，求得a2﹣a的最小值，即可得到b的取值范圍．
【解答】解：∵對于任意實數(shù)a，拋物線y＝x2+2ax+a+b與x軸都有交點，
∴△≥0，則（2a）2﹣4（a+b）≥0，
整理得b≤a2﹣a，
∵a2﹣a＝（a?12）2?14，
∴a2﹣a的最小值為?14，
∴b≤?14，
故答案為b≤?14．
【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點，二次函數(shù)的最值，根據(jù)題意得到b≤a2﹣a是解題的關鍵．
42．（2021?包頭）已知拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側）與y軸交于點C，點D（4，y）在拋物線上，E是該拋物線對稱軸上一動點，當BE+DE的值最小時，△ACE的面積為 4 ．
【分析】解方程x2﹣2x﹣3＝0得A（﹣1，0），B（3，0），則拋物線的對稱軸為直線x＝1，再確定C（0，﹣3），D（4，5），連接AD交直線x＝1于E，交y軸于F點，如圖，利用兩點之間線段最短可判斷此時BE+DE的值最小，接著利用待定系數(shù)法求出直線AD的解析式為y＝x+1，則F（0，1），然后根據(jù)三角形面積公式計算．
【解答】解：當y＝0時，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，則A（﹣1，0），B（3，0），
拋物線的對稱軸為直線x＝1，
當x＝0時，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，則C（0，﹣3），
當x＝4時，y＝x2﹣2x﹣3＝5，則D（4，5），
連接AD交直線x＝1于E，交y軸于F點，如圖，
∵BE+DE＝EA+DE＝AD，
∴此時BE+DE的值最小，
設直線AD的解析式為y＝kx+b，
把A（﹣1，0），D（4，5）代入得?k+b=04k+b=5，解得k=1b=1，
∴直線AD的解析式為y＝x+1，
當x＝1時，y＝x+1＝2，則E（1，2），
當x＝0時，y＝x+1＝1，則F（0，1），
∴S△ACE＝S△ACF+S△ECF=12×4×1+12×4×1＝4．
故答案為4．
【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標問題轉化為解關于x的一元二次方程．也考查了二次函數(shù)的性質和最短路徑問題．
43．（2021?南充）關于拋物線y＝ax2﹣2x+1（a≠0），給出下列結論：
①當a＜0時，拋物線與直線y＝2x+2沒有交點；
②若拋物線與x軸有兩個交點，則其中一定有一個交點在點（0，0）與（1，0）之間；
③若拋物線的頂點在點（0，0），（2，0），（0，2）圍成的三角形區(qū)域內（包括邊界），則a≥1．
其中正確結論的序號是 ②③ ．
【分析】①構建方程組，轉化為一元二次方程，利用判別式的值判斷即可．
②首先證明a＞1，再證明x＝1時，y＜0，可得結論．
③首先證明a＞0，再根據(jù)頂點在x軸上或x軸的上方，在點（0，1）的下方，可得不等式組1＞4a?44a≥0，由此可得結論．
【解答】解：由y=2x+2y=ax2?2x+1，消去y得到，ax2﹣4x﹣1＝0，
∵Δ＝16+4a，a＜0，
∴Δ的值可能大于0，
∴拋物線與直線y＝2x+2可能有交點，故①錯誤．
∵拋物線與x軸有兩個交點，
∴Δ＝4﹣4a＞0，
∴a＜1，
∵拋物線經過（0，1），且x＝1時，y＝a﹣1＜0，
∴拋物線與x軸一定有一個交點在（0，0）與（1，0）之間．故②正確，
∵拋物線的頂點在點（0，0），（2，0），（0，2）圍成的三角形區(qū)域內（包括邊界），
∴2≥??22a＞0且?1a+2≥4a?44a≥0，
解得，a≥1，故③正確，
故答案為：②③．
【點評】本題考查拋物線與x軸的交點，一次函數(shù)的性質，二次函數(shù)的性質等知識，解題的關鍵是學會構建不等式或不等式組解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．
44．（2023?武漢）拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，c＜0）經過（1，1），（m，0），（n，0）三點，且n≥3．下列四個結論：
①b＜0；
②4ac﹣b2＜4a；
③當n＝3時，若點（2，t）在該拋物線上，則t＞1；
④若關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝x有兩個相等的實數(shù)根，則0＜m≤13．
其中正確的是 ②③④ （填寫序號）．
【分析】①根據(jù)圖象經過（1，1），c＜0，且拋物線與x軸的一個交點一定在（3，0）或（3，0）的右側，判斷出拋物線的開口向下，即a＜0，再把（1，1）代入 y＝ax2+bx+c 得a+b+c＝1，即可判斷①錯誤；
②先得出拋物線的對稱軸在直線x＝1.5的右側，得出拋物線的頂點在點（1，1）的右側，得出4ac?b24a＞1，根據(jù)4a＜0，利用不等式的性質即可得出4ac﹣b2＜4a，即可判斷②正確；
③先得出拋物線對稱軸在直線 x＝1.5 的右側，得出（1，1）到對稱軸的距離大于（2，t）到對稱軸的距離，根據(jù)a＜0，拋物線開口向下，距離拋物線越近的函數(shù)值越大，即可得出③正確；
④根據(jù)方程有兩個相等的實數(shù)解，得出Δ＝（b﹣1）2﹣4ac＝0，把（1，1）代入y＝ax2+bx+c 得a+b+c＝1，即1﹣b＝a+c，求出a＝c，根據(jù)根與系數(shù)的關系得出 mn=ca=1，即 n=1m，根據(jù) n≥3，得出 1m≥3 求出m的取值范圍，即可判斷④正確．
【解答】解：①圖象經過（1，1），c＜0，即拋物線與y軸的負半軸有交點，如果拋物線的開口向上，則拋物線與x軸的交點 都在（1，0）的左側，
∵（n，0）中n≥3，
∴拋物線與x軸的一個交點一定在（3，0）或（3，0）的右側，
∴拋物線的開口一定向下，即a＜0，
把（1，1）代入y＝ax2+bx+c 得：a+b+c＝1，
即b＝1﹣a﹣c，
∵a＜0，c＜0，
∴b＞0，
故①錯誤；
②∵a＜0，b＞0，c＜0，ca＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0的兩個根的積大于0，
即mn＞0，
∵n≥3，
∴m＞0，
∴m+n2＞1.5，
即拋物線的對稱軸在直線x＝1.5的右側，
∴拋物線的頂點在點（1，1）的右側，
∴4ac?b24a＞1，
∵4a＜0，
∴4ac﹣b2＜4a，
故②正確；
③∵m＞0，
∴當 n＝3 時，m+n2＞1.5，
∴拋物線對稱軸在直線x＝1.5的右側，
∴（1，1）到對稱軸的距離大于（2，t）到對稱軸的距離，
∵a＜0，拋物線開口向下，
∴距離拋物線越近的函數(shù)值越大，
∴t＞1，
故③正確；
④方程ax2+bx+c＝x可變?yōu)閍x2+（b﹣1）x+c＝0，
∵方程有兩個相等的實數(shù)解，
Δ＝（b﹣1）2﹣4ac＝0．
∵把（1，1）代入 y＝ax2+bx+c 得a+b+c＝1，即1﹣b＝a+c，
∴（a+c）2﹣4ac＝0，
即a2+2ac+c2﹣4ac＝0，
∴（a﹣c）2＝0，
∴a﹣c＝0，
即a＝c，
∵（m，0），（n，0）在拋物線上，
∴m，n為方程 ax2+bx+c＝0 的兩個根，
∴mn=ca=1，
∴n=1m，
∵n≥3，
∴1m≥3，
∴0＜m≤13．
故④正確．
綜上，正確的結論有：②③④．
故答案為：②③④．
【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質，拋物線上點的坐標的特征，待定系數(shù)法，數(shù)形結合法，拋物線與x軸的交點，二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系，一元二次方程的根的判別式，熟練掌握二次函數(shù)的性質和二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系是解題的關鍵．
45．（2023?福建）已知拋物線y＝ax2﹣2ax+b（a＞0）經過A（2n+3，y1），B（n﹣1，y2）兩點，若A，B分別位于拋物線對稱軸的兩側，且y1＜y2，則n的取值范圍是 ﹣1＜n＜0 ．
【分析】由題意可知：拋物線的對稱軸為x＝1，開口向上，再分點A在對稱軸x＝1的左側，點B在對稱軸x＝1的右側和點B在對稱軸x＝1的左側，點A在對稱軸x＝1的右側兩種情況求解即可．
【解答】解：拋物線的對稱軸為：x=?b2a=1，
∵a＞0，
∴拋物線開口向上，
∵y1＜y2，
∴若點A在對稱軸x＝1的左側，點B在對稱軸x＝1的右側，
由題意可得：2n+3＜1n?1＞11?(2n+3)＜n?1?1，
不等式組無解；
若點B在對稱軸x＝1的左側，點A在對稱軸x＝1的右側，
由題意可得：2n+3＞1n?1＜11?(n?1)＞2n+3?1，
解得：﹣1＜n＜0，
∴n的取值范圍為：﹣1＜n＜0．
故答案為：﹣1＜n＜0．
【點評】本題主要考查的是二次函數(shù)的性質以及二次函數(shù)圖象上點的坐標的特征，能根據(jù)題意正確列出不等式組是解決本題的關鍵．
46．（2023?紹興）在平面直角坐標系xOy中，一個圖形上的點都在一邊平行于x軸的矩形內部（包括邊界），這些矩形中面積最小的矩形稱為該圖形的關聯(lián)矩形．例如：如圖，函數(shù)y＝（x﹣2）2（0≤x≤3）的圖象（拋物線中的實線部分），它的關聯(lián)矩形為矩形OABC．若二次函數(shù)y=14x2+bx+c(0≤x≤3)圖象的關聯(lián)矩形恰好也是矩形OABC，則b＝ 712或?2512 ．
【分析】根據(jù)題意求得點A（3，0），B（3，4），C（0，4），然后分兩種情況，利用待定系數(shù)法求出解析式即可．
【解答】解：由y＝（x﹣2）2（0≤x≤3），當x＝0時，y＝4，
∴C（0，4），
∵A（3，0），四邊形ABCO是矩形，
∴B（3，4），
①當拋物線經過O、B時，將點O（0，0），B（3，4）代入y=14x2+bx+c（0≤x≤3）得
c=014×9+3b+c=4，
解得b=712；
②當拋物線經過A、C時，將點A（3，0），C（0，4）代入y=14x2+bx+c（0≤x≤3）得
c=414×9+3b+c=0，
解得b=?2512，
綜上所述，b=712或b=?2512，
故答案為：712或?2512，
【點評】本題考查了待定系數(shù)法求拋物線的解析式，能夠理解新定義，最小矩形的限制條件是解題的關鍵．
47．（2022?武漢）已知拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)）開口向下，過A（﹣1，0），B（m，0）兩點，且1＜m＜2．下列四個結論：
①b＞0；
②若m=32，則3a+2c＜0；
③若點M（x1，y1），N（x2，y2）在拋物線上，x1＜x2，且x1+x2＞1，則y1＞y2；
④當a≤﹣1時，關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1必有兩個不相等的實數(shù)根．
其中正確的是 ①③④ （填寫序號）．
【分析】①正確．根據(jù)對稱軸在y軸的右側，可得結論；
②錯誤．3a+2c＝0；
③正確．由題意，拋物線的對稱軸直線x＝h，0＜h＜0.5，由點M（x1，y1），N（x2，y2）在拋物線上，x1＜x2，且x1+x2＞1，推出點M到對稱軸的距離＜點N到對稱軸的距離，推出y1＞y2；
④正確，證明判別式＞0即可．
【解答】解：∵對稱軸x=?1+m2＞0，
∴對稱軸在y軸右側，
∴?b2a＞0，
∵a＜0，
∴b＞0，
故①正確；
當m=32時，對稱軸x=?b2a=14，
∴b=?a2，
當x＝﹣1時，a﹣b+c＝0，
∴3a2+c＝0，
∴3a+2c＝0，故②錯誤；
由題意，拋物線的對稱軸直線x＝h，0＜h＜0.5，
∵點M（x1，y1），N（x2，y2）在拋物線上，x1＜x2，且x1+x2＞1，
∴點M到對稱軸的距離＜點N到對稱軸的距離，
∴y1＞y2，故③正確；
設拋物線的解析式為y＝a（x+1）（x﹣m），
方程a（x+1）（x﹣m）＝1，
整理得，ax2+a（1﹣m）x﹣am﹣1＝0，
Δ＝[a（1﹣m）]2﹣4a（﹣am﹣1）
＝a2（m+1）2+4a，
∵1＜m＜2，a≤﹣1，
∴Δ＞0，
∴關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1必有兩個不相等的實數(shù)根．故④正確，
故答案為：①③④．
【點評】本題考查二次函數(shù)的性質，一元二次方程的根的判別式等知識，解題的關鍵是讀懂圖象信息，靈活運用所學知識解決問題．
48．（2022?貴港）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象的一部分如圖所示，該函數(shù)圖象經過點（﹣2，0），對稱軸為直線x=?12．對于下列結論：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③a+b+c＝0；④am2+bm＜14（a﹣2b）（其中m≠?12）；⑤若A（x1，y1）和B（x2，y2）均在該函數(shù)圖象上，且x1＞x2＞1，則y1＞y2．其中正確結論的個數(shù)共有 3 個．
【分析】根據(jù)拋物線與x軸的一個交點（﹣2，0）以及其對稱軸，求出拋物線與x軸的另一個交點（1，0），利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，再根據(jù)拋物線開口朝下，可得a＜0，進而可得b＜0，c＞0，再結合二次函數(shù)的圖象和性質逐條判斷即可．
【解答】解：∵拋物線的對稱軸為直線x=?12，且拋物線與x軸的一個交點坐標為（﹣2，0），
∴拋物線與x軸的另一個交點坐標為（1，0），
把（﹣2，0）（1，0）代入y＝ax2+bx+c（a≠0），可得：
4a?2b+c=0a+b+c=0，
解得b=ac=?2a，
∴a+b+c＝a+a﹣2a＝0，故③正確；
∵拋物線開口方向向下，
∴a＜0，
∴b＝a＜0，c＝﹣2a＞0，
∴abc＞0，故①錯誤；
∵拋物線與x軸兩個交點，
∴當y＝0時，方程ax2+bx+c＝0有兩個不相等的實數(shù)根，
∴b2﹣4ac＞0，故②正確；
∵am2+bm＝am2+am＝a（m+12）2?14a，
14（a﹣2b）=14（a﹣2a）=?14a，
∴am2+bm?14（a﹣2b）＝a（m+12）2，
又∵a＜0，m≠?12，
∴a（m+12）2＜0，
即am2+bm＜14（a﹣2b）（其中m≠?12），故④正確；
∵拋物線的對稱軸為直線x=?12，且拋物線開口朝下，
∴可知二次函數(shù)，在x＞?12時，y隨x的增大而減小，
∵x1＞x2＞1＞?12，
∴y1＜y2，故⑤錯誤，
正確的有②③④，共3個，
故答案為：3．
【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質、二次函數(shù)和一元二次方程的關系等知識，掌握二次函數(shù)的性質，利用數(shù)形結合思想解題是關鍵．
49．（2022?錦州）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點（﹣1，0）和點（2，0），以下結論：①abc＜0；②4a﹣2b+c＜0；③a+b＝0；④當x＜12時，y隨x的增大而減?。渲姓_的結論有 ①②③ ．（填寫代表正確結論的序號）
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸位置和拋物線與y軸交點位置確定①③，根據(jù)x＝﹣2時判定②，由拋物線圖象性質判定④．
【解答】解：①拋物線的對稱軸在y軸右側，則ab＜0，而c＞0，故abc＜0，故正確；
②x＝﹣2時，函數(shù)值小于0，則4a﹣2b+c＜0，故正確；
③與x軸交于點（﹣1，0）和點（2，0），則對稱軸x=?b2a=?1+22=12，故a+b＝0，故③正確；
④當x＜12時，圖象位于對稱軸左邊，y隨x的增大而增大．故④錯誤；
綜上所述，正確的為①②③．
故答案為：①②③．
【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質，要求熟悉掌握函數(shù)與坐標軸的交點、頂點等點坐標的求法，及這些點代表的意義及函數(shù)特征．
50．（2022?呼和浩特）在平面直角坐標系中，點C和點D的坐標分別為（﹣1，﹣1）和（4，﹣1），拋物線y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）與線段CD只有一個公共點，則m的取值范圍是 m＝3或﹣1≤m≤?38 ．
【分析】根據(jù)拋物線求出對稱軸x＝1，y軸的交點坐標為（0，2），頂點坐標為（1，2﹣m），直線CD的表達式y(tǒng)＝﹣1，分兩種情況討論：m＞0時或m＜0時，利用拋物線的性質分析求解．
【解答】解：拋物線的對稱軸為：x=??2m2m=1，
當x＝0時，y＝2，
∴拋物線與y軸的交點坐標為（0，2），頂點坐標為（1，2﹣m），直線CD的表達式y(tǒng)＝﹣1，
當m＞0時，且拋物線過點D（4，﹣1）時，
16m﹣8m+2＝﹣1，
解得：m=?38（不符合題意，舍去），
當拋物線經過點（﹣1，﹣1）時，
m+2m+2＝﹣1，
解得：m＝﹣1（不符合題意，舍去），
當m＞0且拋物線的頂點在線段CD上時，
2﹣m＝﹣1，
解得：m＝3，
當m＜0時，且拋物線過點D（4，﹣1）時，
16m﹣8m+2＝﹣1，
解得：m=?38，
當拋物線經過點（﹣1，﹣1）時，
m+2m+2＝﹣1，
解得：m＝﹣1，
綜上，m的取值范圍為m＝3或﹣1≤m≤?38，
故答案為：m＝3或﹣1≤m≤?38．
【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質，理解對稱軸的含義，熟練掌握二次函數(shù)的性質，巧妙運用分類討論思想解決問題是解題的關鍵．
51．（2022?湘西州）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+4x+5及一次函數(shù)y＝﹣x+b，將該二次函數(shù)在x軸上方的圖象沿x軸翻折到x軸下方，圖象的其余部分不變，得到一個新圖象（如圖所示），當直線y＝﹣x+b與新圖象有4個交點時，b的取值范圍是 ?294＜b＜﹣1 ．
【分析】解方程﹣x2+4x+5＝0得A（﹣1，0），B（5，0），再利用折疊的性質求出折疊部分的解析式為y＝（x+1）（x﹣5），即y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5），然后求出直線y＝﹣x+b經過點A（﹣1，0）時b的值和當直線y＝﹣x+b與拋物線y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5）有唯一公共點時b的值，從而得到當直線y＝﹣x+b與新圖象有4個交點時，b的取值范圍．
【解答】解：如圖，當y＝0時，﹣x2+4x+5＝0，解得x1＝﹣1，x2＝5，則A（﹣1，0），B（5，0），
將該二次函數(shù)在x軸上方的圖象沿x軸翻折到x軸下方的部分圖象的解析式為y＝（x+1）（x﹣5），
即y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5），
當直線y＝﹣x+b經過點A（﹣1，0）時，1+b＝0，解得b＝﹣1；
當直線y＝﹣x+b與拋物線y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5）有唯一公共點時，方程x2﹣4x﹣5＝﹣x+b有相等的實數(shù)解，解得b=?294，
所以當直線y＝﹣x+b與新圖象有4個交點時，b的取值范圍為?294＜b＜﹣1．
故答案為：?294＜b＜﹣1．
【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標問題轉化為解關于x的一元二次方程．也考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換．
52．（2022?荊門）如圖，函數(shù)y=x2?2x+3(x＜2)?34x+92(x≥2)的圖象由拋物線的一部分和一條射線組成，且與直線y＝m（m為常數(shù)）相交于三個不同的點A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3）．設t=x1y1+x2y2x3y3，則t的取值范圍是 35＜t＜1 ．
【分析】根據(jù)A、B關于對稱軸x＝1對稱，可知x1+x2＝2，由直線y＝m（m為常數(shù)）相交于三個不同的點，可以求出x3的取值范圍，進而求出t的范圍．
【解答】解：由二次函數(shù)y＝x2﹣2x+3（x＜2）可知：圖象開口向上，對稱軸為x＝1，
∴當x＝1時函數(shù)有最小值為2，x1+x2＝2，
由一次函數(shù)y=?34x+92（x≥2）可知當x＝2時有最大值3，當y＝2時x=103，
∵直線y＝m（m為常數(shù)）相交于三個不同的點A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3），
∴y1＝y(tǒng)2＝y(tǒng)3＝m，2＜m＜3，
∴2＜x3＜103，
∴t=x1+x2x3=2x3，
∴35＜t＜1．
故答案為：35＜t＜1．
【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質，函數(shù)的取值范圍，數(shù)形結合的數(shù)學思想，關鍵是利用圖象的特點表示出各個變量的取值范圍．
三．解答題（共8小題）
53．（2023?黑龍江）如圖，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A（﹣3，0），B（1，0）兩點．交y軸于點C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）拋物線上是否存在一點P，使得S△PBC=12S△ABC，若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）把A（﹣3，0），B（1，0）兩點，代入拋物線y＝ax2+bx+3，解方程組即可得到拋物線的解析式；
（2）分別求得A、B、C的坐標，與BC的解析式y(tǒng)＝﹣3x+3；作PE∥x軸交BC于E，設點P的橫坐標為t，分別求得P點坐標為（t，﹣t2﹣2t+3）與E點坐標為（t2+2t3，﹣t2﹣2t+3）；然后利用S△PBC=12S△ABC列方程解答即可．
【解答】解：（1）由拋物線與x軸交于A（﹣3，0），B（1，0）兩點，代入拋物線y＝ax2+bx+3得：
(?3)2a?3b+3=0a+b+3=0，
解得：a=?1b=?2；
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）存在，理由如下：
∵A（﹣3，0），B（1，0），
∴AB＝4，
拋物線y＝ax2+bx+3與y軸交于點C，
令x＝0，則y＝3，
∴C點坐標為（0，3），OC＝3，
∴S△ABC=12AB?OC=12×4×3＝6，
∴S△PBC=12S△ABC＝3；
作PE∥x軸交BC于E，如圖：
設BC的解析式為：y＝kx+b，將B、C代入得：
k+b=03=b，
解得：k=?3b=3，
∴BC的解析式為：y＝﹣3x+3；
設點P的橫坐標為t，則P（t，﹣t2﹣2t+3），
則E的橫坐標為：﹣3x+3＝﹣t2﹣2t+3，解得：x=t2+2t3，
∴E（t2+2t3，﹣t2﹣2t+3）；
∴PE=t2+2t3?t=t2?t3，
∴S△PBC=12×t2?t3×3＝3，
解得：t＝﹣2或3；
∴P點縱坐標為：﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3；或﹣（3）2﹣2×（3）+3＝﹣12，
∴點P的坐標為（﹣2，3）或（3，﹣12）．
【點評】本題考查二次函數(shù)綜合應用，涉及待定系數(shù)法，直角三角形的判定等，解題的關鍵是方程思想的應用．
54．（2022?杭州）設二次函數(shù)y1＝2x2+bx+c（b，c是常數(shù)）的圖象與x軸交于A，B兩點．
（1）若A，B兩點的坐標分別為（1，0），（2，0），求函數(shù)y1的表達式及其圖象的對稱軸．
（2）若函數(shù)y1的表達式可以寫成y1＝2（x﹣h）2﹣2（h是常數(shù)）的形式，求b+c的最小值．
（3）設一次函數(shù)y2＝x﹣m（m是常數(shù)），若函數(shù)y1的表達式還可以寫成y1＝2（x﹣m）（x﹣m﹣2）的形式，當函數(shù)y＝y(tǒng)1﹣y2的圖象經過點（x0，0）時，求x0﹣m的值．
【分析】（1）根據(jù)A、B兩點的坐標特征，可設函數(shù)y1的表達式為y1＝2（x﹣x1）（x﹣x2），其中x1，x2是拋物線與x軸交點的橫坐標；
（2）把函數(shù)y1＝2（x﹣h）2﹣2，化成一般式，求出對應的b、c的值，再根據(jù)b+c式子的特點求出其最小值；
（3）把y1，y2代入y＝y(tǒng)1﹣y2求出y關于x的函數(shù)表達式，再根據(jù)其圖象過點（x0，0），把（x0，0）代入其表達式，形成關于x0的一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y1＝2x2+bx+c過點A（1，0）、B（2，0），
∴y1＝2（x﹣1）（x﹣2），即y1＝2x2﹣6x+4．
∴拋物線的對稱軸為直線x=?b2a=32．
（2）把y1＝2（x﹣h）2﹣2化成一般式得，
y1＝2x2﹣4hx+2h2﹣2．
∴b＝﹣4h，c＝2h2﹣2．
∴b+c＝2h2﹣4h﹣2
＝2（h﹣1）2﹣4．
把b+c的值看作是h的二次函數(shù)，則該二次函數(shù)開口向上，有最小值，
∴當h＝1時，b+c的最小值是﹣4．
（3）由題意得，y＝y(tǒng)1﹣y2
＝2（x﹣m） （x﹣m﹣2）﹣（x﹣m）
＝ （x﹣m）[2（x﹣m）﹣5]．
∵函數(shù)y的圖象經過點 （x0，0），
∴（x0﹣m）[2（x0﹣m）﹣5]＝0．
∴x0﹣m＝0，或2（x0﹣m）﹣5＝0．
即x0﹣m＝0或x0﹣m=52．
【點評】本題考查了二次函數(shù)表達式的三種形式，即一般式：y＝ax2+bx+c，頂點式：y＝a（x﹣h）2+k，交點式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
55．（2022?青島）已知二次函數(shù)y＝x2+mx+m2﹣3（m為常數(shù)，m＞0）的圖象經過點P（2，4）．
（1）求m的值；
（2）判斷二次函數(shù)y＝x2+mx+m2﹣3的圖象與x軸交點的個數(shù)，并說明理由．
【分析】（1）將（2，4）代入解析式求解．
（2）由判別式Δ的符號可判斷拋物線與x軸交點個數(shù)．
【解答】解：（1）將（2，4）代入y＝x2+mx+m2﹣3得4＝4+2m+m2﹣3，
解得m1＝1，m2＝﹣3，
又∵m＞0，
∴m＝1．
（2）∵m＝1，
∴y＝x2+x﹣2，
∵Δ＝b2﹣4ac＝12+8＝9＞0，
∴二次函數(shù)圖象與x軸有2個交點．
【點評】本題考查二次函數(shù)的性質，解題關鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，掌握二次函數(shù)與方程的關系．
56．（2021?樂山）已知關于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0．
（1）若方程有兩個不相等的實數(shù)根，求m的取值范圍；
（2）二次函數(shù)y＝x2+x﹣m的部分圖象如圖所示，求一元二次方程x2+x﹣m＝0的解．
【分析】（1）由Δ＞0即可列不等式得到答案；
（2）根據(jù)拋物線的對稱性可得拋物線與x軸的另一個交點，即可得到答案．
【解答】解：（1）∵一元二次方程x2+x﹣m＝0有兩個不相等的實數(shù)根，
∴Δ＞0，即1+4m＞0，
∴m＞?14，
∴m的取值范圍為m＞?14；
（2）二次函數(shù)y＝x2+x﹣m圖象的對稱軸為直線x=?12，
∴拋物線與x軸兩個交點關于直線x=?12對稱，
由圖可知拋物線與x軸一個交點為（1，0），
∴另一個交點為（﹣2，0），
∴一元二次方程x2+x﹣m＝0的解為x1＝1，x2＝﹣2．
【點評】本題考查一元二次方程及二次函數(shù)與二次方程的關系，解題的關鍵是掌握拋物線的對稱性．
57．（2021?湖州）如圖，已知經過原點的拋物線y＝2x2+mx與x軸交于另一點A（2，0）．
（1）求m的值和拋物線頂點M的坐標；
（2）求直線AM的解析式．
【分析】（1）將A（2，0）代入拋物線解析式即可求出m的值，然后將關系式化為頂點式即可得出頂點坐標；
（2）設直線AM的解析式為y＝kx+b（k≠0），將點A，M的坐標代入即可．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝2x2+mx與x軸交于另一點A（2，0），
∴2×22+2m＝0，
∴m＝﹣4，
∴y＝2x2﹣4x
＝2（x﹣1）2﹣2，
∴頂點M的坐標為（1，﹣2），
（2）設直線AM的解析式為y＝kx+b（k≠0），
∵圖象過A（2，0），M（1，﹣2），
∴2k+b=0k+b=?2，
解得k=2b=?4，
∴直線AM的解析式為y＝2x﹣4．
【點評】本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的關系式，以及二次函數(shù)頂點式的轉化，屬于?？碱}型．
58．（2021?黑龍江）如圖，拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點A（1，0）和點B（﹣3，0），與y軸交于點C，連接BC，與拋物線的對稱軸交于點E，頂點為點D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求△BOC的面積．
【分析】（1）根據(jù)拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點A（1，0）和點B（﹣3，0），即可得到關于a、b的方程，從而可以求得a、b的值，然后即可寫出拋物線的解析式；
（2）根據(jù)（1）中拋物線的解析式，可以寫出點C的坐標，然后再根據(jù)點B的坐標，即可得到OC和OB的長，再根據(jù)三角形面積公式，即可求得△BOC的面積．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點A（1，0）和點B（﹣3，0），
∴a+b+3=09a?3b+3=0，
解得a=?1b=?2，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）由（1）知，y＝﹣x2﹣2x+3，
∴點C的坐標為（0，3），
∴OC＝3，
∵點B的坐標為（﹣3，0），
∴OB＝3，
∵∠BOC＝90°，
∴△BOC的面積是OB?OC2=3×32=92．
【點評】本題考查拋物線與x軸的交點、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質、三角形的面積，解答本題的關鍵是明確二次函數(shù)的性質，利用數(shù)形結合的思想解答．
59．（2021?寧波）如圖，二次函數(shù)y＝（x﹣1）（x﹣a）（a為常數(shù)）的圖象的對稱軸為直線x＝2．
（1）求a的值．
（2）向下平移該二次函數(shù)的圖象，使其經過原點，求平移后圖象所對應的二次函數(shù)的表達式．
【分析】（1）根據(jù)拋物線解析式得到拋物線與x軸的交點橫坐標，結合拋物線的軸對稱性質求得a的值即可．
（2）將a的值代入，結合拋物線解析式求平移后圖象所對應的二次函數(shù)的表達式．
【解答】解：（1）由二次函數(shù)y＝（x﹣1）（x﹣a）（a為常數(shù)）知，該拋物線與x軸的交點坐標是（1，0）和（a，0）．
∵對稱軸為直線x＝2，
∴1+a2=2．
解得a＝3；
（2）由（1）知，a＝3，則該拋物線解析式是：y＝x2﹣4x+3．
∴拋物線向下平移3個單位后經過原點．
∴平移后圖象所對應的二次函數(shù)的表達式是y＝x2﹣4x．
【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點，二次函數(shù)圖象上的點的坐標，根據(jù)對于函數(shù)圖象的描述能夠理解函數(shù)的解析式的特點，是解決本題的關鍵．
60．（2021?云南）已知拋物線y＝﹣2x2+bx+c經過點（0，﹣2），當x＜﹣4時，y隨x的增大而增大，當x＞﹣4時，y隨x的增大而減小．設r是拋物線y＝﹣2x2+bx+c與x軸的交點（交點也稱公共點）的橫坐標，m=r9+r7?2r5+r3+r?1r9+60r5?1．
（1）求b、c的值；
（2）求證：r4﹣2r2+1＝60r2；
（3）以下結論：m＜1，m＝1，m＞1，你認為哪個正確？請證明你認為正確的那個結論．
【分析】（1）當x＜﹣4時，y隨x的增大而增大，當x＞﹣4時，y隨x的增大而減小，可得對稱軸為直線x＝﹣4，且拋物線y＝﹣2x2+bx+c經過點（0，﹣2），列出方程組即可得答案；
（2）由r是拋物線y＝﹣2x2﹣16x﹣2與x軸的交點的橫坐標，可得r2+8r+1＝0，r2+1＝﹣8r，兩邊平方得（r2+1）2＝（﹣8r）2，r4+2r2+1＝64r2，即可得結果r4﹣2r2+1＝60r2；
（3）m＞1正確，可用比差法證明，由（2）可得r4﹣62r2+1＝0，即r7﹣62r5+r3＝0，而m﹣1=r9+r7?2r5+r3+r?1r9+60r5?1?1=rr9+60r5?1，再由r2+8r+1＝0，判斷r＜0，r9+60r5﹣1＜0，故rr9+60r5?1＞0，從而m＞1．
【解答】（1）解：∵y＝﹣2x2+bx+c經過點（0，﹣2），當x＜﹣4時，y隨x的增大而增大，當x＞﹣4時，y隨x的增大而減小，即對稱軸為直線x＝﹣4，
∴c=?2?b?4=?4，解得b=?16c=?2；
（2）證明：由題意，拋物線的解析式為y＝﹣2x2﹣16x﹣2，
∵r是拋物線y＝﹣2x2﹣16x﹣2與x軸的交點的橫坐標，
∴2r2+16r+2＝0，
∴r2+8r+1＝0，
∴r2+1＝﹣8r
∴（r2+1）2＝（﹣8r）2，
∴r4+2r2+1＝64r2，
∴r4﹣2r2+1＝60r2；
（3）m＞1正確，理由如下：
由（2）知：r4﹣2r2+1＝60r2；
∴r4﹣62r2+1＝0，
∴r7﹣62r5+r3＝0，
而m﹣1=r9+r7?2r5+r3+r?1r9+60r5?1?1
=r9+r7?2r5+r3+r?1?(r9+60r5?1)r9+60r5?1
=r7?62r5+r3+rr9+60r5?1
=rr9+60r5?1，
由（2）知：r2+8r+1＝0，
∴8r＝﹣r2﹣1，
∵﹣r2﹣1＜0，
∴8r＜0，即r＜0，
∴r9+60r5﹣1＜0，
∴rr9+60r5?1＞0，
即m﹣1＞0，
∴m＞1．
【點評】本題考查二次函數(shù)綜合知識，涉及二次函數(shù)圖象上的點坐標、對稱軸、增減性、與x軸交點坐標等知識，解題的關鍵是用比差法時，判斷r和r9+60r5﹣1的符號．
x
﹣2
﹣1
0
1
y
0
4
6
6
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
m
2
2
n
…
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
3
0
﹣1
m
3
…
x
…
﹣2
0
1
3
…
y
…
6
﹣4
﹣6
﹣4
…
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
…
y
…
1.875
3
m
1.875
0
…

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