專題29圓的有關(guān)計(jì)算（優(yōu)選真題60道）-三年（2021-2023）中考數(shù)學(xué)真題分項(xiàng)匯編【全國(guó)通用】-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．（2023?大連）圓心角為90°，半徑為3的扇形弧長(zhǎng)為（）
A．2πB．3πC．32πD．12π
【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．
【解答】解：l=nπr180=90?π×3180=32π，
∴該扇形的弧長(zhǎng)為32π．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查弧長(zhǎng)的計(jì)算，關(guān)鍵是掌握弧長(zhǎng)的計(jì)算公式．
2．（2023?湘潭）如圖，圓錐底面圓的半徑為4，則這個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖中AA'的長(zhǎng)為（）
A．4πB．6πC．8πD．16π
【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖中弧的長(zhǎng)等于圓錐底面周長(zhǎng)即可得出答案．
【解答】解：這個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖中AA'的長(zhǎng)為2π×4＝8π．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓錐的計(jì)算．圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為扇形，計(jì)算要體現(xiàn)兩個(gè)轉(zhuǎn)化：1．圓錐的母線長(zhǎng)為扇形的半徑，2．圓錐的底面圓周長(zhǎng)為扇形的弧長(zhǎng)．
3．（2023?鄂州）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝4，點(diǎn)O為BC的中點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OB長(zhǎng)為半徑作半圓，交AC于點(diǎn)D，則圖中陰影部分的面積是（）
A．53?33πB．53?4πC．53?2πD．103?2π
【分析】連接OD．解直角三角形求出∠DOB＝60°，BC＝43，再根據(jù)S陰＝S△ACB﹣S△COD﹣S扇形ODB，求解即可．
【解答】解：連接OD．
在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝4，
∴BC=3AB＝43，
∴OC＝OD＝OB＝23，
∴∠DOB＝2∠C＝60°，
∴S陰＝S△ACB﹣S△COD﹣S扇形ODB=12×4×43?12×23×23×32?60π?(23)2360
＝83?33?2π
＝53?2π．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查扇形的面積，解直角三角形，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用分割法求陰影部分的面積．
4．（2023?通遼）如圖，在扇形AOB中，∠AOB＝60°，OD平分∠AOB交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)C是半徑OB上一動(dòng)點(diǎn)，若OA＝1，則陰影部分周長(zhǎng)的最小值為（）
A．2+π6B．2+π3C．22+π6D．22+π3
【分析】作D點(diǎn)關(guān)于直線OB的對(duì)稱點(diǎn)E，連接AE，與OB的交點(diǎn)為C點(diǎn)，此時(shí)陰影部分周長(zhǎng)最小，最小值為AE的長(zhǎng)與弧AD的和．
【解答】解：作D點(diǎn)關(guān)于直線OB的對(duì)稱點(diǎn)E，連接AE，與OB的交點(diǎn)為C點(diǎn)，此時(shí)陰影部分周長(zhǎng)最小，
在扇形AOB中，∠AOB＝60°，OD平分∠AOB交AB于點(diǎn)D，
∴∠AOD＝∠BOD＝30°，
由軸對(duì)稱的性質(zhì)，∠EOB＝∠BOD＝30°，OE＝OD，
∴∠AOE＝90°，
∴△AOE是等腰直角三角形，
∵OA＝1，
∴AE=2，AD的長(zhǎng)=30π×1180=π6，
∴陰影部分周長(zhǎng)的最小值為2+π6，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算，勾股定理，軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問(wèn)題，證得△AOE為等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．
5．（2023?張家界）“萊洛三角形”也稱為圓弧三角形，它是工業(yè)生產(chǎn)中廣泛使用的一種圖形．如圖，分別以等邊△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑畫弧，三段圓弧圍成的封閉圖形是“萊洛三角形”．若等邊△ABC的邊長(zhǎng)為3，則該“萊洛三角形”的周長(zhǎng)等于（）
A．πB．3πC．2πD．2π?3
【分析】由等邊三角形的性質(zhì)得到AB=BC=AC，由弧長(zhǎng)公式求出AB的長(zhǎng)＝π，即可求出“萊洛三角形”的周長(zhǎng)．
【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝BC＝AC＝3，∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∴AB=BC=AC，
∵AB的長(zhǎng)=60π×3180=π，
∴該“萊洛三角形”的周長(zhǎng)是3π．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查弧長(zhǎng)的計(jì)算，等邊三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是由弧長(zhǎng)公式求出AB的長(zhǎng)．
6．（2023?濱州）如圖，某玩具品牌的標(biāo)志由半徑為1cm的三個(gè)等圓構(gòu)成，且三個(gè)等圓⊙O1，⊙O2，⊙O3相互經(jīng)過(guò)彼此的圓心，則圖中三個(gè)陰影部分的面積之和為（）
A．14πcm2B．13πcm2C．12πcm2D．πcm2
【分析】根據(jù)扇形面積的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：如圖，連接O1A，O2A，O1B，O3B，O2C，O3C，O1O2，O1O3，O2O3，則△O1AO2，△O1BO3，△O2CO3，△O1O2O3是邊長(zhǎng)為1的正三角形，
所以，S陰影部分＝3S扇形O1O2A
＝3×60π×12360
=π2（cm2），
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查扇形面積的計(jì)算，掌握扇形面積的計(jì)算方法是正確解答的前提．
7．（2023?廣元）如圖，半徑為5的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C是AB上一點(diǎn)，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分別為D，E，若CD＝CE，則圖中陰影部分面積為（）
A．25π16B．25π8C．25π6D．25π4
【分析】先連接OC，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)和圖形，可以得到陰影部分的面積等于扇形BOC的面積，然后代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可．
【解答】解：連接OC，如圖所示，
∵∠AOB＝90°，CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠AOB＝∠ODC＝∠OEC＝90°，
∴四邊形OECD是矩形，
∵CD＝CE，
∴四邊形OECD是正方形，
∴∠COE＝90°，△DCE和△OEC全等，
∴S陰影＝S△DCE+S半弓形DCE
＝S△OCE+S半弓形DCE
＝S扇形COB
=45π×52360
=25π8，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查扇形面積的計(jì)算、正方形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
8．（2023?宜賓）《夢(mèng)溪筆談》是我國(guó)古代科技著作，其中它記錄了計(jì)算圓弧長(zhǎng)度的“會(huì)圓術(shù)”．如圖，AB是以點(diǎn)O為圓心、OA為半徑的圓弧，N是AB的中點(diǎn)．MN⊥AB．“會(huì)圓術(shù)”給出AB的弧長(zhǎng)l的近似值計(jì)算公式：l＝AB+MN2OA．當(dāng)OA＝4，∠AOB＝60°時(shí)，則l的值為（）
A．11﹣23B．11﹣43C．8﹣23D．8﹣43
【分析】連接ON，根據(jù)AB是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧，N是AB的中點(diǎn)，MN⊥AB，知ON⊥AB，M，N，O共線，由OA＝4，∠AOB＝60°，知△AOB是等邊三角形，得ON＝OA?sin60°＝23，即得MN＝OM﹣ON＝4﹣23，故l＝AB+MN2OA=4+(4?23)24=11﹣43．
【解答】解：連接ON，如圖：
∵AB是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧，N是AB的中點(diǎn)，MN⊥AB，
∴ON⊥AB，
∴M，N，O共線，
∵OA＝4，∠AOB＝60°，
∴△AOB是等邊三角形，
∴OA＝AB＝4，∠OAN＝60°，
∴ON＝OA?sin60°＝23，
∴MN＝OM﹣ON＝4﹣23，
∴l(xiāng)＝AB+MN2OA=4+(4?23)24=11﹣43；
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查弧長(zhǎng)的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，作出輔助線求ON的長(zhǎng)度．
9．（2023?連云港）如圖，矩形ABCD內(nèi)接于⊙O，分別以AB、BC、CD、AD為直徑向外作半圓．若AB＝4，BC＝5，則陰影部分的面積是（）
A．414π﹣20B．412π﹣20C．20πD．20
【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可求出BD，再根據(jù)圖形中各個(gè)部分面積之間的關(guān)系，即S陰影部分＝S以AD為直徑的圓+S以AB為直徑的圓+S矩形ABCD﹣S以BD為直徑的圓進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：如圖，連接BD，則BD過(guò)點(diǎn)O，
在Rt△ABD中，AB＝4，BC＝5，
∴BD2＝AB2+AD2＝41，
S陰影部分＝S以AD為直徑的圓+S以AB為直徑的圓+S矩形ABCD﹣S以BD為直徑的圓
＝π×（42）2+π×（52）2+4×5﹣π×（BD2）2
=41π4+20?41π4
＝20，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理，矩形的性質(zhì)以及扇形面積的計(jì)算，掌握矩形的性質(zhì)、勾股定理以及扇形面積的計(jì)算方法是正確解答的前提．
10．（2023?山西）蜂巢結(jié)構(gòu)精巧，其巢房橫截面的形狀均為正六邊形．如圖是部分巢房的橫截面圖，圖中7個(gè)全等的正六邊形不重疊且無(wú)縫隙，將其放在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P，Q，M均為正六邊形的頂點(diǎn)．若點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)分別為(?23，3)，（0，﹣3），則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（）
A．（33，﹣2）B．（33，2）C．（2，﹣33）D．（﹣2，﹣33）
【分析】設(shè)中間正六邊形的中心為D，連接DB．判斷出OC，CM的長(zhǎng)，可得結(jié)論．
【解答】解：設(shè)中間正六邊形的中心為D，連接DB．
∵點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)分別為(?23，3)，（0，﹣3），圖中是7個(gè)全等的正六邊形，
∴AB＝BC＝23，OQ＝3，
∴OA＝OB=3，
∴OC＝33，
∵DQ＝DB＝2OD，
∴OD＝1，QD＝DB＝CM＝2，
∴M（33，﹣2），
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查正多邊形與圓，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．
11．（2023?河北）如圖，點(diǎn)P1～P8是⊙O的八等分點(diǎn)．若△P1P3P7，四邊形P3P4P6P7的周長(zhǎng)分別為a，b，則下列正確的是（）
A．a(chǎn)＜bB．a(chǎn)＝b
C．a(chǎn)＞bD．a(chǎn)，b大小無(wú)法比較
【分析】利用三角形的三邊關(guān)系，正多邊形的性質(zhì)證明即可．
【解答】解：連接P4P5，P5P6．
∵點(diǎn)P1～P8是⊙O的八等分點(diǎn)，
∴P3P4＝P4P5＝P5P6＝P6P7，P1P7＝P1P3＝P4P6，
∴b﹣a＝P3P4+P7P6﹣P1P3，
∵P5P4+P5P6＞P4P6，
∴P3P4+P7P6＞P1P3，
∴b﹣a＞0，
∴a＜b，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查正多邊形于圓，三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．
12．（2023?內(nèi)江）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)Q是DE的中點(diǎn)，則∠CPQ的度數(shù)為（）
A．30°B．45°C．36°D．60°
【分析】先計(jì)算正六邊形的中心角，再利用同圓或等圓中，等弧對(duì)的圓心角相等，圓周角定理計(jì)算即可．
【解答】解：如圖，連接OC，OD，OQ，OE，
∵正六邊形ABCDEF，Q是DE的中點(diǎn)，
∴∠COD＝∠DOE=360°6=60°，∠DOQ＝∠EOQ=12∠DOE＝30°，
∴∠COQ＝∠COD+∠DOQ＝90°，
∴∠CPQ=12∠COQ＝45°，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正多邊形與圓，圓周角定理，熟練掌握正多邊形中心角計(jì)算，圓周角定理是解題的關(guān)鍵．
13．（2022?綿陽(yáng)）在2022年北京冬奧會(huì)開(kāi)幕式和閉幕式中，一片“雪花”的故事展現(xiàn)了“世界大同、天下一家”的主題，讓世界觀眾感受了中國(guó)人的浪漫．如圖，將“雪花”圖案（邊長(zhǎng)為4的正六邊形ABCDEF）放在平面直角坐標(biāo)系中，若AB與x軸垂直，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，﹣3），則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）
A．（2﹣23，3）B．（0，1+23）C．（2?3，3）D．（2﹣23，2+3）
【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)以及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：如圖，連接BD交CF于點(diǎn)M，則點(diǎn)B（2，1），
在Rt△BCM中，BC＝4，∠BCM=12×120°＝60°，
∴CM=12BC＝2，BM=32BC＝23，
∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為﹣（23?2）＝2﹣23，縱坐標(biāo)為1+2＝3，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2﹣23，3），
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查正多邊形與圓，勾股定理，掌握正六邊形的性質(zhì)以及勾股定理是正確計(jì)算的前提，理解坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
14．（2022?泰安）如圖，四邊形ABCD中，∠A＝60°，AB∥CD，DE⊥AD交AB于點(diǎn)E，以點(diǎn)E為圓心，DE為半徑，且DE＝6的圓交CD于點(diǎn)F，則陰影部分的面積為（）
A．6π﹣93B．12π﹣93C．6π?932D．12π?932
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，扇形的面積公式，三角形面積公式解答即可．
【解答】解：過(guò)點(diǎn)E作EG⊥DF交DF于點(diǎn)G，
∵∠A＝60°，AB∥CD，DE⊥AD交AB于點(diǎn)E，
∴∠GDE＝∠DEA＝30°，
∵DE＝EF，
∴∠EDF＝∠EFD＝30°，
∴∠DEF＝120°，
∵∠GDE＝30°，DE＝6，
∴GE＝3，DG＝33，
∴DF＝63，
陰影部分的面積=120π×36360?12×63×3＝12π﹣93，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了扇形面積和平行線的性質(zhì)，熟練掌握扇形面積公式是解決本題的關(guān)鍵．
15．（2022?山西）如圖，扇形紙片AOB的半徑為3，沿AB折疊扇形紙片，點(diǎn)O恰好落在AB上的點(diǎn)C處，圖中陰影部分的面積為（）
A．3π﹣33B．3π?932C．2π﹣33D．6π?932
【分析】根據(jù)折疊的想找得到AC＝AO，BC＝BO，推出四邊形AOBC是菱形，連接OC交AB于D，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠CAO＝∠AOC＝60°，求得∠AOB＝120°，根據(jù)菱形和扇形的面積公式即可得到結(jié)論．
【解答】解：沿AB折疊扇形紙片，點(diǎn)O恰好落在AB上的點(diǎn)C處，
∴AC＝AO，BC＝BO，
∵AO＝BO，
∴四邊形AOBC是菱形，
連接OC交AB于D，
∵OC＝OA，
∴△AOC是等邊三角形，
∴∠CAO＝∠AOC＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∵AC＝3，
∴OC＝3，AD=32AC=332，
∴AB＝2AD＝33，
∴圖中陰影部分的面積＝S扇形AOB﹣S菱形AOBC=120π×32360?12×3×33=3π?932，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了扇形面積的計(jì)算，菱形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
16．（2022?廣西）如圖，在△ABC中，CA＝CB＝4，∠BAC＝α，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)2α，得到△AB′C′，連接B′C并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)D，當(dāng)B′D⊥AB時(shí)，BB'的長(zhǎng)是（）
A．233πB．433πC．839πD．1039π
【分析】證明α＝30°，根據(jù)已知可算出AD的長(zhǎng)度，根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可得出答案．
【解答】解：∵CA＝CB，CD⊥AB，
∴AD＝DB=12AB′．
∴∠AB′D＝30°，
∴α＝30°，
∵AC＝4，
∴AD＝AC?cs30°＝4×32=23，
∴AB=2AD=43，
∴BB'的長(zhǎng)度l=nπr180=60×π×43180=433π．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握弧長(zhǎng)的計(jì)算及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．
17．（2022?綿陽(yáng)）如圖，錨標(biāo)浮筒是打撈作業(yè)中用來(lái)標(biāo)記錨或沉船位置的，它的上下兩部分是圓錐，中間是圓柱（單位：mm）．電鍍時(shí)，如果每平方米用鋅0.1千克，電鍍1000個(gè)這樣的錨標(biāo)浮筒，需要多少千克鋅？（π的值取3.14）（）
A．282.6B．282600000C．357.96D．357960000
【分析】由圖形可知，浮筒的表面積＝2S圓錐側(cè)面積+S圓柱側(cè)面積，由題給圖形的數(shù)據(jù)可分別求出圓錐的側(cè)面積和圓柱的側(cè)面積，即可求得浮筒表面積，又已知每平方米用鋅0.1kg，可求出一個(gè)浮筒需用鋅量，即可求出1000個(gè)這樣的錨標(biāo)浮筒需用鋅量．
【解答】解：由圖形可知圓錐的底面圓的半徑為0.3m，
圓錐的高為0.4m，
則圓錐的母線長(zhǎng)為：0.32+0.42=0.5m．
∴圓錐的側(cè)面積S1＝π×0.3×0.5＝0.15π（m2），
∵圓柱的高為1m．
圓柱的側(cè)面積S2＝2π×0.3×1＝0.6π（m2），
∴浮筒的表面積＝2S1+S2＝0.9π（m2），
∵每平方米用鋅0.1kg，
∴一個(gè)浮筒需用鋅：0.9π×0.1kg，
∴1000個(gè)這樣的錨標(biāo)浮筒需用鋅：1000×0.9π×0.1＝90π≈282.6（kg）．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓錐表面積的計(jì)算和圓柱表面積的計(jì)算在實(shí)際問(wèn)題中的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是了解幾何體的構(gòu)成，難度中等．
18．（2022?遵義）如圖，在正方形ABCD中，AC和BD交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O的直線EF交AB于點(diǎn)E（E不與A，B重合），交CD于點(diǎn)F．以點(diǎn)O為圓心，OC為半徑的圓交直線EF于點(diǎn)M，N．若AB＝1，則圖中陰影部分的面積為（）
A．π8?18B．π8?14C．π2?18D．π2?14
【分析】圖中陰影部分的面積等于扇形DOC的面積減去△DOC的面積．
【解答】解：以O(shè)D為半徑作弧DN，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴OB＝OD＝OC，∠DOC＝90°，
∵∠EOB＝∠FOD，
∴S扇形BOM＝S扇形DON，
∴S陰影＝S扇形DOC﹣S△DOC=90π×(22)2360?14×1×1=π8?14，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，扇形的面積，關(guān)鍵是求出陰影部分的面積等于扇形DOC的面積減去△DOC的面積．
19．（2022?連云港）如圖，有一個(gè)半徑為2的圓形時(shí)鐘，其中每個(gè)相鄰刻度間的弧長(zhǎng)均相等，過(guò)9點(diǎn)和11點(diǎn)的位置作一條線段，則鐘面中陰影部分的面積為（）
A．23π?32B．23π?3C．43π﹣23D．43π?3
【分析】連接OA、OB，過(guò)點(diǎn)O作OC⊥AB，根據(jù)等邊三角形的判定得出△AOB為等邊三角形，再根據(jù)扇形面積公式求出S扇形AOB=23π，再根據(jù)三角形面積公式求出S△AOB=3，進(jìn)而求出陰影部分的面積．
【解答】解：連接OA、OB，過(guò)點(diǎn)O作OC⊥AB，
由題意可知：∠AOB＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB為等邊三角形，
∴AB＝AO＝BO＝2
∴S扇形AOB=60π×22360=23π，
∵OC⊥AB，
∴∠OCA＝90°，AC＝1，
∴OC=3，
∴S△AOB=12×2×3=3，
∴陰影部分的面積為：23π?3；
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查有關(guān)扇形面積、弧長(zhǎng)的計(jì)算，熟練應(yīng)用面積公式，其中作出輔助線是解題關(guān)鍵．
20．（2021?包頭）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB=5，BC＝2，以點(diǎn)A為圓心，AC的長(zhǎng)為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)C，以點(diǎn)B為圓心，AC的長(zhǎng)為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，則圖中陰影部分的面積為（）
A．8﹣πB．4﹣πC．2?π4D．1?π4
【分析】先根據(jù)直角三角形中的勾股定理求得AC＝1，再將求不規(guī)則的陰影部分面積轉(zhuǎn)化為求規(guī)則圖形的面積：S陰影部分＝S△ABC﹣（S扇形EBF+S扇形DAC），將相關(guān)量代入求解即可．
【解答】解：根據(jù)題意可知AC=AB2?BC2=52?22=1，則BE＝BF＝AD＝AC＝1，
設(shè)∠B＝n°，∠A＝m°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B+∠A＝90°，即n+m＝90，
∴S陰影部分＝S△ABC﹣（S扇形EBF+S扇形DAC）=12×2×1?（nπ×12360+mπ×12360）＝1?(n+m)π360=1?π4，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查扇形面積的計(jì)算及勾股定理，通常需要將不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積來(lái)進(jìn)行求解．
二．填空題（共20小題）
21．（2023?吉林）如圖①，A，B表示某游樂(lè)場(chǎng)摩天輪上的兩個(gè)轎廂．圖②是其示意圖，點(diǎn)O是圓心，半徑r為15m，點(diǎn)A，B是圓上的兩點(diǎn)，圓心角∠AOB＝120°，則AB的長(zhǎng)為 10π m．（結(jié)果保留π）
?
【分析】由弧長(zhǎng)公式：l=nπr180（l是弧長(zhǎng)，n是扇形圓心角的度數(shù)，r是扇形的半徑長(zhǎng)），由此即可計(jì)算．
【解答】解：∵∠AOB＝120°，⊙O半徑r為15m，
∴AB的長(zhǎng)=120π×15180=10π（m）．
故答案為：10π．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查弧長(zhǎng)的計(jì)算，關(guān)鍵是掌握弧長(zhǎng)公式．
22．（2023?徐州）如圖，沿一條母線將圓錐側(cè)面剪開(kāi)并展平，得到一個(gè)扇形．若母線長(zhǎng)l為6cm，扇形的圓心角θ為120°，則圓錐的底面圓的半徑r為 2 cm．
【分析】首先求得展開(kāi)之后扇形的弧長(zhǎng)也就是圓錐的底面周長(zhǎng)，進(jìn)一步利用弧長(zhǎng)計(jì)算公式求得圓錐的底面圓的半徑r．
【解答】解：由題意得：母線l＝6，θ＝120°，
2πr=120π×6180，
∴r＝2（cm）．
故答案為：2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓錐的計(jì)算及其應(yīng)用問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用有關(guān)定理來(lái)分析、判斷、推理或解答．
23．（2023?內(nèi)蒙古）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，以點(diǎn)B為圓心，對(duì)角線BD的長(zhǎng)為半徑畫弧，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則圖中陰影部分的面積為 π ．
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得出陰影部分的面積為扇形BED的面積，然后由勾股定理得出BD＝22，再由扇形面積公式求解即可．
【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AD＝CD，∠DBE＝45°，
∴△AOD≌△COB（SSS），
∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，
∴BD=22+22=22，
∴陰影部分的面積為扇形BED的面積，即45π?(22)2360=π，
故答案為：π．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正方形的性質(zhì)以及扇形的面積，能夠理解題意，將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形BED的面積是解題的關(guān)鍵．
24．（2023?齊齊哈爾）若圓錐的底面半徑長(zhǎng)2cm，母線長(zhǎng)3cm，則該圓錐的側(cè)面積為 6 π cm2．（結(jié)果保留π）
【分析】解析圓錐的側(cè)面積＝底面周長(zhǎng)×母線長(zhǎng)÷2，把相應(yīng)數(shù)值代入即可求解．
【解答】解：圓錐的側(cè)面積＝2π×2×3÷2＝6π （cm2）
故答案為：6π．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓錐的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是弄清圓錐的側(cè)面積的計(jì)算方法，特別是圓錐的底面周長(zhǎng)等于圓錐的側(cè)面扇形的弧長(zhǎng)．
25．（2023?邵陽(yáng)）如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組用一張半徑為30cm的扇形紙板做成一個(gè)圓錐形帽子（接縫忽略不計(jì)），如果做成的圓錐形帽子的底面半徑為8cm，那么這張扇形紙板的面積為 240π cm2．（結(jié)果保留π）
【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)和扇形的面積公式計(jì)算．
【解答】解：這張扇形紙板的面積=12?2π?8?30＝240π（cm2）．
故答案為：240π．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)．
26．（2023?揚(yáng)州）用半徑為24cm，面積為120πcm2的扇形紙片，圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的底面圓的半徑為 5 cm．
【分析】根據(jù)扇形面積公式計(jì)算即可．
【解答】解：設(shè)圓錐的底面圓的半徑為rcm，
則12×2πr×24＝120π，
解得：r＝5，
故答案為：5．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓錐的計(jì)算，正確理解圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖與原來(lái)的扇形之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．
27．（2023?金華）如圖，在△ABC 中，AB＝AC＝6cm，∠BAC＝50°，以AB為直徑作半圓，交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，則弧DE的長(zhǎng)為 56π cm．
【分析】連接OE，OD，由等腰三角形的性質(zhì)推出∠C＝∠ODB，得到OD∥AC，推出∠EOD＝∠AEO，由OE＝OA，∠OEA＝∠BAC＝50°，因此∠∠EOD＝∠BAC＝50°，由弧長(zhǎng)公式即可求出DE的長(zhǎng)．
【解答】解：連接OE，OD，
∵OD＝OB，
∴∠B＝∠ODB，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠C＝∠ODB，
∴OD∥AC，
∴∠EOD＝∠AEO，
∵OE＝OA，
∴∠OEA＝∠BAC＝50°，
∴∠EOD＝∠BAC＝50°，
∵OD=12AB=12×6＝3（cm），
∴DE的長(zhǎng)=50π×3180=56π（cm）．
故答案為：56π．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查弧長(zhǎng)的計(jì)算，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是由等腰三角形的性質(zhì)推出OD∥AC，從而求出∠EOD的度數(shù)．
28．（2023?蘇州）如圖，在?ABCD中，AB=3+1，BC＝2，AH⊥CD，垂足為H，AH=3．以點(diǎn)A為圓心，AH長(zhǎng)為半徑畫弧，與AB，AC，AD分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，G．若用扇形AEF圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，記這個(gè)圓錐底面圓的半徑為r1；用扇形AHG圍成另一個(gè)圓錐的側(cè)面，記這個(gè)圓錐底面圓的半徑為r2，則r1﹣r2＝ 324 ．（結(jié)果保留根號(hào)）
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及正弦函數(shù)的定義求出∠D＝60°，∠BAC＝45°，利用弧長(zhǎng)公式以及圓的周長(zhǎng)公式求出r1，r2即可．
【解答】解：在?ABCD中，AB=3+1，BC＝2，
∴AD＝BC＝2，CD＝AB=3+1，AB∥CD．
∵AH⊥CD，垂足為H，AH=3，
∴sinD=AHAD=32，
∴∠D＝60°，
∴∠DAH＝90°﹣∠D＝30°，
∴DH=12AD＝1，
∴CH＝CD﹣DH=3+1﹣1=3，
∴CH＝AH，
∵AH⊥CD，
∴△ACH是等腰直角三角形，
∴∠ACH＝∠CAH＝45°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACH＝45°，
∴45π×3180=2πr1，解得r1=38，
30π×3180=2πr2，解得r2=312，
∴r1﹣r2=38?312=324．
故答案為：324．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓錐的計(jì)算，平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形，弧長(zhǎng)公式，求出∠D＝60°，∠BAC＝45°是解決本題的關(guān)鍵．
29．（2023?云南）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，某同學(xué)制作了一頂圓錐形紙帽．若圓錐的底面圓的半徑為1分米，母線長(zhǎng)為4分米，則該圓錐的高為 15 分米．
【分析】根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．
【解答】解：由勾股定理得：圓錐的高為：42?12=15（分米），
故答案為：15．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓錐的計(jì)算，熟記勾股定理是解題的關(guān)鍵．
30．（2023?浙江）一副三角板ABC和DEF中，∠C＝∠D＝90°，∠B＝30°，∠E＝45°，BC＝EF＝12．將它們疊合在一起，邊BC與EF重合，CD與AB相交于點(diǎn)G（如圖1），此時(shí)線段CG的長(zhǎng)是 66?62 ．現(xiàn)將△DEF繞點(diǎn)C（F）按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（如圖2），邊EF與AB相交于點(diǎn)H，連結(jié)DH，在旋轉(zhuǎn)0°到60°的過(guò)程中，線段DH掃過(guò)的面積是 18+12π﹣183 ．
【分析】如圖1，過(guò)點(diǎn)G作GK⊥BC于K，則∠CKG＝∠BKG＝90°，由等腰直角三角形性質(zhì)可得CK＝GK=22CG，進(jìn)而得出BK＝BC﹣CK＝12?22CG，利用解直角三角形可得BK=3GK，建立方程求解即可得出答案；如圖2，以C為圓心，CD為半徑作圓，當(dāng)△CDE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)60°時(shí)，CE′交AB于H′，連接DD′，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AB于M，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥DD′于N，則∠BCE′＝∠DCD′＝60°，點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡為DD'，點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段BH′，因此在旋轉(zhuǎn)0°到60°的過(guò)程中，線段DH掃過(guò)的面積為S△BDD′+S扇形CDD′﹣S△CDD′，再利用等腰直角三角形性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、扇形面積公式即可求得答案．
【解答】解：如圖1，過(guò)點(diǎn)G作GK⊥BC于K，則∠CKG＝∠BKG＝90°，
∵∠BCD＝45°，
∴△CGK是等腰直角三角形，
∴CK＝GK=22CG，
∵BC＝12，
∴BK＝BC﹣CK＝12?22CG，
在Rt△BGK中，∠GBK＝30°，
∴GKBK=tan∠GBK＝tan30°=33，
∴BK=3GK，
即12?22CG=3×22CG，
∴CG＝66?62；
如圖2，以C為圓心，CD為半徑作圓，當(dāng)△CDE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)60°時(shí)，CE′交AB于H′，連接DD′，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AB于M，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥DD′于N，
則∠BCE′＝∠DCD′＝60°，點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡為DD'，點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段BH′，
∴在旋轉(zhuǎn)0°到60°的過(guò)程中，線段DH掃過(guò)的面積為S△BDD′+S扇形CDD′﹣S△CDD′，
∵CD＝BC?csCBD＝12cs45°＝62，
∴DG＝CD﹣CG＝62?（66?62）＝122?66，
∵∠BCD+∠ABC＝60°+30°＝90°，
∴∠BH′C＝90°，
在Rt△BCH′中，CH′＝BC?sin30°＝12×12=6，BH′＝BC?cs30°＝12×32=63，
∵△CD′E′是等腰直角三角形，∠CD′E′＝90°，D′H′⊥CE′，
∴D′H′=12CE′＝6，
∴BD′＝63+6，
∵DM⊥AB，
∴∠DMG＝90°，
∴∠DMG＝∠CH′G，
∵∠DGM＝∠CGH′，
∴△DGM∽△CGH′，
∴DMCH'=DGCG，即DM6=122?6666?62，
∴DM＝33?3，
∵CD′＝CD＝62，∠DCD′＝60°，
∴△CDD′是等邊三角形，
∴∠CDD′＝60°，
∵CN⊥DD′，
∴CN＝CD?sin∠CDD′＝62sin60°＝36，
∴S△BDD′+S扇形CDD′﹣S△CDD′=12×（63+6）×（33?3）+60π?(62)2360?12×62×36=18+12π﹣183；
故答案為：66?62；18+12π﹣183．
【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題，考查了直角三角形性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)等，得出DH掃過(guò)的面積為S△BDD′+S扇形CDD′﹣S△CDD′是解題關(guān)鍵．
31．（2023?重慶）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E為BC的中點(diǎn)，連接AE．DE．以E為圓心，EB長(zhǎng)為半徑畫弧，分別與AE，DE交于點(diǎn)M，N．則圖中陰影部分的面積為 4﹣π （結(jié)果保留π）．
【分析】用三角形ADE的面積減去2個(gè)扇形的面積即可．
【解答】解：∵AD＝2AB＝4，E為BC的中點(diǎn)，
∴BE＝CE＝2，
∴∠BAE＝∠AEB＝∠CDE＝∠DEC＝45°，
∴陰影部分的面積為12×4×2?2×45π×22360=4﹣π．
故答案為：4﹣π．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了扇形面積求法以及等腰直角三角形的性質(zhì)，應(yīng)用扇形面積的計(jì)算方法進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．
32．（2023?重慶）如圖，⊙O是矩形ABCD的外接圓，若AB＝4，AD＝3，則圖中陰影部分的面積為 254π﹣12 ．（結(jié)果保留π）
【分析】連接BD，根據(jù)圓周角定理證得BD是⊙O的直徑，利用勾股定理求得直徑，然后利用圓的面積減去矩形的面積即可求得陰影部分的面積．
【解答】解：連接BD，
∵∠BAD＝90°，
∴BD是⊙O的直徑，
∵AB＝4，AD＝3，
∴BD=AD2+AB2=32+42=5，
∴S陰影＝S⊙O﹣S矩形ABCD=π×(52)2?3×4=254π﹣12．
故答案為：254π﹣12．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的面積和矩形的面積，解題的關(guān)鍵是明確陰影部分的面積是圓的面積減去矩形的面積，屬于中考常考題型．
33．（2022?重慶）如圖，菱形ABCD中，分別以點(diǎn)A，C為圓心，AD，CB長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交對(duì)角線AC于點(diǎn)E，F(xiàn)．若AB＝2，∠BAD＝60°，則圖中陰影部分的面積為 63?2π3 ．（結(jié)果不取近似值）
【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)求出對(duì)角線的長(zhǎng)，進(jìn)而求出菱形的面積，再根據(jù)扇形面積的計(jì)算方法求出扇形ADE的面積，由S陰影部分＝S菱形ABCD﹣2S扇形ADE可得答案．
【解答】解：如圖，連接BD交AC于點(diǎn)O，則AC⊥BD，
∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，
∴∠BAC＝∠ACD＝30°，AB＝BC＝CD＝DA＝2，
在Rt△AOB中，AB＝2，∠BAO＝30°，
∴BO=12AB＝1，AO=32AB=3，
∴AC＝2OA＝23，BD＝2BO＝2，
∴S菱形ABCD=12AC?BD＝23，
∴S陰影部分＝S菱形ABCD﹣2S扇形ADE
＝23?60π×22360
=63?2π3，
故答案為：63?2π3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查扇形面積的計(jì)算，菱形的性質(zhì)，掌握扇形面積的計(jì)算方法以及菱形的性質(zhì)是正確解答的前提．
34．（2022?廣州）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)O在邊AC上，以O(shè)為圓心，4為半徑的圓恰好過(guò)點(diǎn)C，且與邊AB相切于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，則劣弧DE的長(zhǎng)是 2π ．（結(jié)果保留π）
【分析】連接OD，OE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可得∠A＝∠COE，再根據(jù)切線的性質(zhì)和平角的定義可得∠DOE＝90°，然后利用弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：如圖，連接OD，OE，
∵OC＝OE，
∴∠OCE＝∠OEC，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠OEC，
∴AB∥OE，
∴∠BDO+∠DOE＝180°，
∵AB是切線，
∴∠BDO＝90°，
∴∠DOE＝180°﹣∠DOE＝90°，
∴劣弧DE的長(zhǎng)是90×π×4180=2π．
故答案為：2π．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
35．（2022?重慶）如圖，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，以B為圓心，BC的長(zhǎng)為半徑畫弧，交AD于點(diǎn)E．則圖中陰影部分的面積為 13π ．（結(jié)果保留π）
【分析】先根據(jù)銳角三角函數(shù)求出∠AEB＝30°，再根據(jù)扇形面積公式求出陰影部分的面積．
【解答】解：∵以B為圓心，BC的長(zhǎng)為半徑畫弧，交AD于點(diǎn)E，
∴BE＝BC＝2，
在矩形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，
∴sin∠AEB=ABBE=12，
∴∠AEB＝30°，
∴∠EBA＝60°，
∴∠EBC＝30°，
∴陰影部分的面積：S=30π×22360=13π，
故答案為：13π．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查有關(guān)扇形面積的相關(guān)計(jì)算、矩形的性質(zhì)，掌握扇形面積公式和矩形的性質(zhì)的應(yīng)用，其中根據(jù)銳角三角函數(shù)求出角的度數(shù)是解題關(guān)鍵．
36．（2023?陜西）如圖，正八邊形的邊長(zhǎng)為2，對(duì)角線AB、CD相交于點(diǎn)E．則線段BE的長(zhǎng)為 2+2 ．
【分析】根據(jù)正八邊形的性質(zhì)得出四邊形CEGF是矩形，△ACE、△BFG是等腰直角三角形，AC＝CF＝FB＝EG＝2，再根據(jù)矩形的性質(zhì)以及直角三角形的邊角關(guān)系求出AE，GE，BG即可．
【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AB于G，由題意可知，四邊形CEGF是矩形，△ACE、△BFG是等腰直角三角形，AC＝CF＝FB＝EG＝2，
在Rt△ACE中，AC＝2，AE＝CE，
∴AE＝CE=22AC=2，
同理BG=2，
∴AB＝EG+BG＝2+2，
故答案為：2+2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查正多邊形和圓，掌握正八邊形的性質(zhì)以及直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的前提．
37．（2023?河北）將三個(gè)相同的六角形螺母并排擺放在桌面上，其俯視圖如圖1，正六邊形邊長(zhǎng)為2且各有一個(gè)頂點(diǎn)在直線l上．兩側(cè)螺母不動(dòng)，把中間螺母抽出并重新擺放后，其俯視圖如圖2，其中，中間正六邊形的一邊與直線l平行，有兩邊分別經(jīng)過(guò)兩側(cè)正六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)．則圖2中：
（1）∠α＝ 30 度；
（2）中間正六邊形的中心到直線l的距離為 23 （結(jié)果保留根號(hào)）．
?
【分析】（1）作圖后，結(jié)合正多邊形的外角的求法即可得到結(jié)論；
（2）把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形問(wèn)題，首先作出圖形，標(biāo)出相應(yīng)的字母，把正六邊形的中心到直線l的距離轉(zhuǎn)化為求ON＝OM+BE，再根據(jù)正六邊形的性質(zhì)以及三角函數(shù)的定義，分別求出OM，BE即可．
【解答】解：（1）作圖如圖所示，
∵多邊形是正六邊形，
∴∠ACB＝60°，
∵BC∥直線l，
∴∠ABC＝90°，
∴α＝30°；
故答案為：30°；
（2）取中間正六邊形的中心為O，
作圖如圖所示，由題意得，AG∥BF，AB∥GF，BF⊥AB，
∴四邊形ABFG為矩形，
∴AB＝GF，
∵∠BAC＝∠FGH，∠ABC＝∠GFH＝90°，
∴△ABC≌△GFH（SAS），
∴BC＝FH，
在Rt△PDE中，DE＝1，PE=3，
由圖1知AG＝BF＝2PE＝23，OM＝PE=3，
∵BC=12(BF?CH)=3?1，
∴AB=BCtan∠BAC=3?133=3?3，
∴BD=2?AB=3?1，
∵DE=12×2=1，
∴BE=BD+DE=3，
∴ON=OM+BE=23．
∴中間正六邊形的中心到直線l的距離為23，
故答案為：23．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正多邊形與圓，正六邊形的性質(zhì)，解直角三角形，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
38．（2023?衡陽(yáng)）如圖，用若干個(gè)全等的正五邊形排成圓環(huán)狀，圖中所示的是其中3個(gè)正五邊形的位置．要完成這一圓環(huán)排列，共需要正五邊形的個(gè)數(shù)是 10 ．
【分析】先求出多邊形的每一個(gè)內(nèi)角為108°，可得到∠O＝36°，即可求解．
【解答】解：∵多邊形是正五邊形，
∴正五邊形的每一個(gè)內(nèi)角為：15×180°×（5﹣2）＝108°，
∴∠O＝180°﹣（180°﹣108°）×2＝36°，
∴正五邊形的個(gè)數(shù)是360°÷36°＝10．
故答案為：10．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正多邊形與圓，多邊形內(nèi)角和問(wèn)題，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．
39．（2023?杭州）如圖，六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形，設(shè)正六邊形ABCDEF的面積為S1，△ACE的面積為S2，則S1S2= 2 ．
【分析】連接OA，OC，OE，首先證明出△ACE 是⊙O的內(nèi)接正三角形，然后證明出△BAC≌△OAC（ASA），得到 S△ABC＝S△AEE＝S△CDES△AOC＝S△OAE＝S△OCE，進(jìn)而求解即可．
【解答】解：如圖所示，連接OA，OC，OE．
∵六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形，
∴AC＝AE＝CE，
∴△ACE是⊙O的內(nèi)接正三角形，
∵∠B＝120°，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA=12（180°﹣∠B）＝30°，
∵∠CAE＝60°，
∴∠OAC＝∠OAE＝30°，
∴∠BAC＝∠OAC＝30°，
同理可得，∠BCA＝∠OCA＝30°，
又∵AC＝AC，
∴△BAC≌△OAC（ASA），
∴S△BAC＝S△AOC，
圓和正六邊形的性質(zhì)可得，S△BAC＝S△AFE＝S△CDE，
由圓和正三角形的性質(zhì)可得，S△OAC＝S△OAE＝S△OCE，
∵S1＝S△BAC+S△AEF+S△CDE+S△OAC+S△OAE+S△OCE＝2（S△OAC+S△OAE+S△OCE）＝2S2，
∴S1S2=2，
故答案為：2
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)，正六邊形和正三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．
40．（2023?連云港）以正六邊形ABCDEF的頂點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心，按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使得新正六邊形A′B′CD′E′F′的頂點(diǎn)D′落在直線BC上，則正六邊形ABCDEF至少旋轉(zhuǎn) 60 °．
【分析】以正六邊形ABCDEF的頂點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心，按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，即∠DCD'是旋轉(zhuǎn)角，∠BCD＝120°，要使新正六邊形A′B′CD′E′F′的頂點(diǎn)D′落在直線BC上，則∠DCD'至少要旋轉(zhuǎn)60°．
【解答】解：∵多邊形ABCDEF是正六邊形，
∴∠BCD＝120°，
要使新正六邊形A′B′CD′E′F′的頂點(diǎn)D′落在直線BC上，
則∠DCD'至少為60°，則正六邊形ABCDEF至少旋轉(zhuǎn)60°．
故答案為：60°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查多邊形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟悉性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
三．解答題（共20小題）
41．（2022?福建）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD∥BC交⊙O于點(diǎn)D，DF∥AB交BC于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F，連接AF，CF．
（1）求證：AC＝AF；
（2）若⊙O的半徑為3，∠CAF＝30°，求AC的長(zhǎng)（結(jié)果保留π）．
【分析】（1）根據(jù)已知條件可證明四邊形ABED是平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)可得∠B＝∠D，等量代換可得∠AFC＝∠ACF，即可得出答案；
（2）連接AO，CO，由（1）中結(jié)論可計(jì)算出∠AFC的度數(shù)，根據(jù)圓周角定理可計(jì)算出∠AOC的度數(shù)，再根據(jù)弧長(zhǎng)計(jì)算公式計(jì)算即可得出答案．
【解答】證明：（1）∵AD∥BC，DF∥AB，
∴四邊形ABED為平行四邊形，
∴∠B＝∠D，
∵∠AFC＝∠B，∠ACF＝∠D，
∴∠AFC＝∠ACF，
∴AC＝AF．
（2）連接AO，CO，如圖，
由（1）得∠AFC＝∠ACF，
∵∠AFC=180°?30°2=75°，
∴∠AOC＝2∠AFC＝150°，
∴AC的長(zhǎng)l=150×π×3180=5π2．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，圓的性質(zhì)與弧長(zhǎng)公式，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，推理能力，幾何直觀等數(shù)學(xué)素養(yǎng)．
42．（2022?泰州）如圖①，矩形ABCD與以EF為直徑的半圓O在直線l的上方，線段AB與點(diǎn)E、F都在直線l上，且AB＝7，EF＝10，BC＞5．點(diǎn)B以1個(gè)單位/秒的速度從點(diǎn)E處出發(fā)，沿射線EF方向運(yùn)動(dòng)，矩形ABCD隨之運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）如圖②，當(dāng)t＝2.5時(shí)，求半圓O在矩形ABCD內(nèi)的弧的長(zhǎng)度；
（2）在點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)AD、BC都與半圓O相交時(shí)，設(shè)這兩個(gè)交點(diǎn)為G、H．連接OG、OH，若∠GOH為直角，求此時(shí)t的值．
【分析】（1）通過(guò)判定△MEO為等邊三角形，然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式求解；
（2）通過(guò)判定△GAO≌△HBO，然后利用全等三角形的性質(zhì)分析求解．
【解答】解：（1）設(shè)BC與⊙O交于點(diǎn)M，
當(dāng)t＝2.5時(shí)，BE＝2.5，
∵EF＝10，
∴OE=12EF＝5，
∴OB＝2.5，
∴EB＝OB，
在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，
∴ME＝MO，
又∵M(jìn)O＝EO，
∴ME＝EO＝MO，
∴△MOE是等邊三角形，
∴∠EOM＝60°，
∴l(xiāng)ME=60π×5180=5π3，
即半圓O在矩形ABCD內(nèi)的弧的長(zhǎng)度為5π3；
（2）連接GO，HO，
∵∠GOH＝90°，
∴∠AOG+∠BOH＝90°，
∵∠AGO+∠AOG＝90°，
∴∠AGO＝∠BOH，
在△AGO和△OBH中，
∠AGO=∠BOH∠GAO=∠HBOOG=OH，
∴△AGO≌△BOH（AAS），
∴OB＝AG＝t﹣5，
∵AB＝7，
∴AE＝t﹣7，
∴AO＝5﹣（t﹣7）＝12﹣t，
在Rt△AGO中，AG2+AO2＝OG2，
∴（t﹣5）2+（12﹣t）2＝52，
解得：t1＝8，t2＝9，
即t的值為8或9．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式的計(jì)算，勾股定理的應(yīng)用，掌握全等三角形的判定（一線三垂直模型），結(jié)合勾股定理列方程是解題關(guān)鍵．
43．（2022?濰坊）在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課上，小瑩將含30°角的直角三角尺分別以兩個(gè)直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，得到甲、乙兩個(gè)圓錐，并用作圖軟件Gegebra畫出如下示意圖．
小亮觀察后說(shuō)：“甲、乙圓錐的側(cè)面都是由三角尺的斜邊AB旋轉(zhuǎn)得到，所以它們的側(cè)面積相等．”
你認(rèn)同小亮的說(shuō)法嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．
【分析】根據(jù)圓錐側(cè)面積公式S＝πrl計(jì)算即可．
【解答】解：小亮的說(shuō)法不正確．
設(shè)直角三角尺三邊長(zhǎng)分別為BC＝a，AC=3a，AB＝2a，
∴甲圓錐的側(cè)面積：S甲＝π?BC?AB＝π×a×2a＝2πa2．
乙圓錐的側(cè)面積：S乙＝π?AC?AB＝π×3a×2a＝23πa2，
∴S甲≠S乙，
∴小亮的說(shuō)法不正確．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓錐的計(jì)算，熟練運(yùn)用圓錐的側(cè)面積公式S側(cè)＝πrl是解題的關(guān)鍵．
44．（2022?益陽(yáng)）如圖，C是圓O被直徑AB分成的半圓上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C的圓O的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，連接CA，CO，CB．
（1）求證：∠ACO＝∠BCP；
（2）若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度數(shù)；
（3）在（2）的條件下，若AB＝4，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留π和根號(hào)）．
【分析】（1）由AB是半圓O的直徑，CP是半圓O的切線，可得∠ACB＝∠OCP，即得∠ACO＝∠BCP；
（2）由∠ABC＝2∠BCP，可得∠ABC＝2∠A，從而∠A＝30°，∠ABC＝60°，可得∠P的度數(shù)是30°；
（3）∠A＝30°，可得BC=12AB＝2，AC=3BC＝23，即得S△ABC=12BC?AC＝23，故陰影部分的面積是12π×（AB2）2﹣23=2π﹣23．
【解答】（1）證明：∵AB是半圓O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵CP是半圓O的切線，
∴∠OCP＝90°，
∴∠ACB＝∠OCP，
∴∠ACO＝∠BCP；
（2）解：由（1）知∠ACO＝∠BCP，
∵∠ABC＝2∠BCP，
∴∠ABC＝2∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠A，
∴∠ABC＝2∠A，
∵∠ABC+∠A＝90°，
∴∠A＝30°，∠ABC＝60°，
∴∠ACO＝∠BCP＝30°，
∴∠P＝∠ABC﹣∠BCP＝60°﹣30°＝30°，
答：∠P的度數(shù)是30°；
（3）解：由（2）知∠A＝30°，
∵∠ACB＝90°，
∴BC=12AB＝2，AC=3BC＝23，
∴S△ABC=12BC?AC=12×2×23=23，
∴陰影部分的面積是12π×（AB2）2﹣23=2π﹣23，
答：陰影部分的面積是2π﹣23．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的綜合應(yīng)用，涉及圓的切線性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)及應(yīng)用等知識(shí)，題目難度不大．
45．（2022?衢州）如圖，C，D是以AB為直徑的半圓上的兩點(diǎn)，∠CAB＝∠DBA，連結(jié)BC，CD．
（1）求證：CD∥AB．
（2）若AB＝4，∠ACD＝30°，求陰影部分的面積．
【分析】（1）根據(jù)圓周角定理可得，∠ACD＝∠DBA，由已知條件可得∠CAB＝∠ACD，再根據(jù)平行線的判定方法即可得出答案；
（2）連結(jié)OD，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E．由∠ACD＝30°，可得∠ACD＝∠CAB＝30°，根據(jù)圓周角定理可得∠AOD＝∠COB＝60°，即可得出∠COD＝180°﹣∠AOD﹣∠COB＝60°，∠BOD＝180°﹣∠AOD＝120°，即可算出S扇形BOD=nπr2360的面積，在Rt△ODE中，根據(jù)三角函數(shù)可算出DE＝cs30°OD的長(zhǎng)度，即可算出S△BOD=12OB?DE的面積，根據(jù)S陰影＝S扇形BOD﹣S△BOD代入計(jì)算即可得出答案．
【解答】（1）證明：∵AD=AD，
∴∠ACD＝∠DBA，
又∵∠CAB＝∠DBA，
∴∠CAB＝∠ACD，
∴CD∥AB．
（2）如圖，連結(jié)OD，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E．
∵∠ACD＝30°，
∴∠AOD＝60°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝120°，
∴S扇形BOD=nπr2360=120×π×22360=43π．
在Rt△ODE中，
∵DE＝sin60°?OD=32×2=3，
∴S△BOD=12OB?DE=12×2×3=3，
∴S陰影＝S扇形BOD﹣S△BOD=43π?3．
∴S陰影=43π?3．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了扇形面積的計(jì)算，平行線的性質(zhì)與判定及圓周角定理，熟練掌握扇形面積的計(jì)算，平行線的性質(zhì)與判定及圓周角定理進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．
46．（2022?湘潭）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣1，1），B（﹣4，0），C（﹣2，2）．將△ABC繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A1B1C1．
（1）請(qǐng)寫出A1、B1、C1三點(diǎn)的坐標(biāo)：
A1 （1，1），B1 （0，4），C1 （2，2）；
（2）求點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)B1的弧長(zhǎng)．
【分析】（1）根據(jù)圖直接得出各點(diǎn)的坐標(biāo)即可；
（2）根據(jù)弧長(zhǎng)公式直接求值即可．
【解答】解：（1）由圖知，A1（1，1），B1（0，4），C1（2，2），
故答案為：（1，1），（0，4），（2，2）；
（2）由題意知，點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)B1的弧所在的圓的半徑為4，弧所對(duì)的圓心角為90°，
∴弧長(zhǎng)為：90π×4180=2π．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查弧長(zhǎng)的計(jì)算，熟練掌握弧長(zhǎng)的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．
47．（2022?荊門）如圖，已知扇形AOB中，∠AOB＝60°，半徑R＝3．
（1）求扇形AOB的面積S及圖中陰影部分的面積S陰；
（2）在扇形AOB的內(nèi)部，⊙O1與OA，OB都相切，且與AB只有一個(gè)交點(diǎn)C，此時(shí)我們稱⊙O1為扇形AOB的內(nèi)切圓，試求⊙O1的面積S1．
【分析】（1）根據(jù)扇形的面積公式就可以求出，陰影的面積用扇形的面積減去三角形的面積；
（2）設(shè)⊙O1與OA相切于點(diǎn)E，連接O1O，O1E，通過(guò)解三角形就可以求出半徑，再利用圓的面積進(jìn)行計(jì)算．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝60°，半徑R＝3，
∴S=60π×32360=3π2，
∵OA＝OB，∠AOB＝60°，
∴△OAB是等邊三角形，
∴S△OAB=934，
∴陰影部分的面積S陰=3π2?934．
（2）設(shè)⊙O1與OA相切于點(diǎn)E，連接O1O，O1E，
∵相切兩圓的連心線必過(guò)切點(diǎn)，
∴O、O1、C三點(diǎn)共線，
∴∠EOO1=12∠AOB＝30°，∠OEO1＝90°，
在Rt△OO1E中，
∵∠EOO1＝30°，
∴OO1＝2O1E，
∴O1E＝1，
∴⊙O1的半徑O1E＝1．
∴S1＝πr2＝π．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相切兩圓的性質(zhì)．構(gòu)造直角三角形是常用的方法，本題的關(guān)鍵是求得圓的半徑．
48．（2021?揚(yáng)州）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，CB＝CD，連接BD，以點(diǎn)B為圓心，BA長(zhǎng)為半徑作⊙B，交BD于點(diǎn)E．
（1）試判斷CD與⊙B的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）若AB＝23，∠BCD＝60°，求圖中陰影部分的面積．
【分析】（1）過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CD，證明△ABD≌△FBD，得到BF＝BA，即可證明CD與圓B相切；
（2）先證明△BCD是等邊三角形，根據(jù)三線合一得到∠ABD＝30°，求出AD，再利用S△ABD﹣S扇形ABE求出陰影部分面積．
【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CD，垂足為F，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵CB＝CD，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴∠ADB＝∠CDB．
在△ABD和△FBD中，
∠ADB=∠FDB∠BAD=∠BFDBD=BD，
∴△ABD≌△FBD（AAS），
∴BF＝BA，則點(diǎn)F在圓B上，
∴CD與⊙B相切；
（2）∵∠BCD＝60°，CB＝CD，
∴△BCD是等邊三角形，
∴∠CBD＝60°
∵BF⊥CD，
∴∠ABD＝∠DBF＝∠CBF＝30°，
∴∠ABF＝60°，
∵AB＝BF=23，
∴AD＝DF＝AB·tan30°＝2，
∴陰影部分的面積＝S△ABD﹣S扇形ABE
=12×23×2?30×π×(23)2360
=23?π．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，扇形面積，三角函數(shù)的定義，題目的綜合性較強(qiáng)，難度不小，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線．
49．（2021?貴陽(yáng)）如圖，在⊙O中，AC為⊙O的直徑，AB為⊙O的弦，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作AB的垂線，交AB于點(diǎn)M，交⊙O于點(diǎn)N，分別連接EB，CN．
（1）EM與BE的數(shù)量關(guān)系是 BE=2EM ；
（2）求證：EB=CN；
（3）若AM=3，MB＝1，求陰影部分圖形的面積．
【分析】（1）證得△BME是等腰直角三角形即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，得出∠AOE＝90°，由∠EMB＝90°，證得∠ABE＝∠BEN＝45°，得到AE=BN，根據(jù)題意得到EC=BN，進(jìn)一步得到EB=CN；
（3）先解直角三角形得到∠EAB＝30°，從而得到∠EOB＝60°，證得△EOB是等邊三角形，則OE＝BE=2，然后證得△OEB≌△OCN，然后根據(jù)扇形的面積公式和三角形面積公式求得即可．
【解答】解：（1）∵AC為⊙O的直徑，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，
∴∠ABE＝45°，
∵AB⊥EN，
∴△BME是等腰直角三角形，
∴BE=2EM，
故答案為BE=2EM；
（2）連接EO，
∵AC是⊙O的直徑，E是AC的中點(diǎn)，
∴∠AOE＝90°，
∴∠ABE=12∠AOE＝45°，
∵EN⊥AB，垂足為點(diǎn)M，
∴∠EMB＝90°
∴∠ABE＝∠BEN＝45°，
∴AE=BN，
∵點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，
∴AE=EC，
∴EC=BN，
∴EC?BC=BN?BC，
∴EB=CN；
（3）連接AE，OB，ON，
∵EN⊥AB，垂足為點(diǎn)M，
∴∠AME＝∠EMB＝90°，
∵BM＝1，由（2）得∠ABE＝∠BEN＝45°，
∴EM＝BM＝1，
又∵BE=2EM，
∴BE=2，
∵在Rt△AEM中，EM＝1，AM=3，
∴tan∠EAB=13=33，
∴∠EAB＝30°，
∵∠EAB=12∠EOB，
∴∠EOB＝60°，
又∵OE＝OB，
∴△EOB是等邊三角形，
∴OE＝BE=2，
又∵EB=CN，
∴BE＝CN，
∴△OEB≌△OCN（SSS），
∴CN＝BE=2
又∵S扇形OCN=60π×(2)2360=13π，S△OCN=12CN×32CN=12×2×32×2=32，
∴S陰影＝S扇形OCN﹣S△OCN=13π?32．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了扇形的面積，全等三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，解直角三角形以及等邊三角形的判定和性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)建等腰三角形是解題的關(guān)鍵．
50．（2021?邵陽(yáng)）某種冰激凌的外包裝可以視為圓錐，它的底面圓直徑ED與母線AD長(zhǎng)之比為1：2．制作這種外包裝需要用如圖所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC．將扇形AEF圍成圓錐時(shí)，AE，AF恰好重合．
（1）求這種加工材料的頂角∠BAC的大?。?br>（2）若圓錐底面圓的直徑ED為5cm，求加工材料剩余部分（圖中陰影部分）的面積．（結(jié)果保留π）
【分析】（1）設(shè)∠BAC＝n°．根據(jù)弧EF的兩種求法，構(gòu)建方程，可得結(jié)論．
（2）根據(jù)S陰=12?BC?AD﹣S扇形AEF求解即可．
【解答】解：（1）設(shè)∠BAC＝n°．
由題意得π?DE=nπ?AD180，AD＝2DE，
∴n＝90，
∴∠BAC＝90°．
（2）∵AD＝2DE＝10（cm），
∴S陰=12?BC?AD﹣S扇形AEF=12×10×20?90π?102360=（100﹣25π）cm2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓錐的計(jì)算，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．
51．（2023?齊齊哈爾）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是斜邊AC上一點(diǎn)，以AE為直徑的⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)F，連接DF．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）若BD＝5，tan∠ADB=3，求圖中陰影部分的面積．（結(jié)果保留π）
?
【分析】（1）連接OD，由OA＝OD，得到∠OAD＝∠ODA，由角平分線定義得到∠OAD＝∠BAD，因此∠ODA＝∠BAD推出OD∥AB，得到半徑OD⊥BC，即可證明問(wèn)題；
（2）連接OF，DE，由tan∠ADB=3，得到∠ADB＝60°，由直角三角形的性質(zhì)求出AD長(zhǎng)，由銳角的余弦求出AE長(zhǎng)，得到圓的半徑長(zhǎng)，由OD∥AB，推出陰影的面積＝扇形OAF的面積，由扇形面積公式即可解決問(wèn)題．
【解答】（1）證明：連接OD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD＝∠BAD，
∴∠ODA＝∠BAD，
∴OD∥AB，
∴∠ODC＝∠B＝90°，
∴半徑OD⊥BC于點(diǎn)D，
∴BC是⊙O的切線；
（2）解：連接 OF，DE，
∵∠B＝90°，tan∠ADB=3，
∴∠ADB＝60°，∠BAD＝30°，
∵BD＝5，
∴AD＝2BD＝10，
∵AE是⊙O的直徑，
∴∠ADE＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠BAD＝30°，
在 Rt△ADE 中，AD＝10，
∵cs∠DAE=ADAE=32，
∴AE=2033，
∴OA=12AE=1033，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAD＝60°，
∵OA＝OF，
∴△AOF 是等邊三角形，
∴∠AOF＝60°，
∵OD∥AB，
∴S△ADF＝S△AOF，
∴S陰影＝S扇形OAF=60π×(1033)2360=50π9．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查切線的判定，扇形面積的計(jì)算，解直角三角形，圓周角定理，角平分線定義，關(guān)鍵是證明OD∥AB；推出S陰影＝S扇形OAF．
52．（2023?郴州）如圖，在⊙O中，AB是直徑，點(diǎn)C是圓上一點(diǎn)．在AB的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)D，連接CD，使∠BCD＝∠A．
（1）求證：直線CD是⊙O的切線；
（2）若∠ACD＝120°，CD＝23，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果用含π的式子表示）．
【分析】（1）連接OC，由AB是直徑，可得∠ACB＝∠OCA+∠OCB＝90°，再證∠OCA＝∠A＝∠BCD，從而有∠BCD+∠OCB＝∠OCD＝90°，即可證明．
（2）由圓周角定理求得∠AOC＝2∠A＝60°，在Rt△OCD中，解直角三角形得OC＝2，然后利用三角形的面積公式和扇形的面積公式即可解答．
【解答】（1）證明：連接OC，
∵AB是直徑，
∴∠ACB＝∠OCA+∠OCB＝90°，
∵OA＝OC，∠BCD＝∠A，
∴∠OCA＝∠A＝∠BCD，
∴∠BCD+∠OCB＝∠OCD＝90°，
∴OC⊥CD，
∵OC是⊙O的半徑，
∴直線CD是⊙O的切線．
（2）解：∵∠ACD＝120°，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠BCD＝∠120°﹣90°＝30°，
∴∠AOC＝2∠A＝60°，
在Rt△OCD中，tan∠AOC=CDOC=tan60°，CD＝23，
∴23OC=3，解得OC＝2，
∴陰影部分的面積＝S△ACD﹣S扇形BOC=12×23×2?60×π×2360=23?2π3．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓周角定理，切線的判定，扇形的面積公式及解直角三角形，熟練掌握性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
53．（2023?十堰）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，點(diǎn)O在AB上，以O(shè)為圓心，OA為半徑的半圓分別交AC，BC，AB于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，且點(diǎn)E是弧DF的中點(diǎn)．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）若CE=2，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留π）．
【分析】（1）連接OE、OD，證出OE⊥BC，即可得出結(jié)論，
（2）根據(jù)S陰影＝S△OEB﹣S扇形OEF，分別求出△OEB和扇形OEF的面積即可．
【解答】（1）證明：連接OE、OD，如圖：
∵∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠OAD＝∠B＝45°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADO＝45°，
∴∠AOD＝90°，
∵點(diǎn)E是弧DF的中點(diǎn)．
∴∠DOE＝∠EDF=12∠DOF＝45°，
∴∠OEB＝180°﹣∠EOF﹣∠B＝90°
∴OE⊥BC，
∵OE是半徑，
∴BC是⊙O的切線，
（2）解：∵OE⊥BC，∠B＝45°，
∴△OEB是等腰三角形，
設(shè)BE＝OE＝x，則OB=2x，
∴AB＝x+2x，
∵AB=2BC，
∴x+2x=2（2+x），
解得x＝2，
∴S陰影＝S△OEB﹣S扇形OEF=12×2×2?45×π×22360=2?π2．
【點(diǎn)評(píng)】本題是圓的綜合題，考查了切線的判定定理，扇形的面積，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握定理是解題關(guān)鍵．
54．（2023?巴中）如圖，已知等腰△ABC，AB＝AC，以AB為直徑作⊙O交BC于點(diǎn)D，過(guò)D作DF⊥AC于點(diǎn)E，交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
（1）求證：DF是⊙O的切線．
（2）若CE=3，CD＝2，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果用π表示）．
【分析】（1）連接OD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證明AC∥OD，進(jìn)而可以得到結(jié)論；
（2）連接AD，根據(jù)勾股定理求出ED＝1，根據(jù)銳角三角函數(shù)可得∠AOD＝60°，然后證明OD是△ABC的中位線，求出r=233，根據(jù)陰影部分的面積＝四邊形AODE的面積﹣扇形AOD的面積，代入值即可．
【解答】（1）證明：如圖，連接OD，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠C，
∴AC∥OD，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∵OD是⊙O的半徑，
∴DF是⊙O的切線；
（2）解：如圖，連接AD，
設(shè)⊙O的半徑為r，
在Rt△CED中，CE=3，CD＝2，
∴ED2＝CD2﹣CE2＝4﹣3＝1，
∴ED＝1，
∵cs∠C=CECD=32，
∴∠C＝30°，
∴∠B＝30°，
∴∠AOD＝60°，
∵AC∥OD，O為AB的中點(diǎn)，
∴OD是△ABC的中位線，
∴D是BC中點(diǎn)，
∴CD＝BD＝2，
∵AB是⊙O的的直徑，
∴∠ADB＝90°，
∴AD=12AB＝r，
∴BD=3AD=3r＝2，
∴r=233，
∴AB＝2r=433，
∴AE＝AC﹣CE＝AB?3=433?3=33，
∴陰影部分的面積＝四邊形AODE的面積﹣扇形AOD的面積
=12（33+233）×1?60360π×（233）2
=32?2π9．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形中位線定理，圓周角定理，扇形面積計(jì)算等知識(shí)點(diǎn)，能綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．
55．（2022?日照）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)O在邊BC上，以點(diǎn)O為圓心的圓過(guò)頂點(diǎn)C，與邊AB交于點(diǎn)D．
（1）求證：直線AB是⊙O的切線；
（2）若AC=3，求圖中陰影部分的面積．
【分析】（1）連接OD，CD，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出AC=12AB，求出∠A＝90°﹣∠B＝60°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出BD＝AD=12AB，求出AD＝AC，根據(jù)等邊三角形的判定得出△ADC是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠ADC＝∠ACD＝60°，求出∠ODC＝∠DCO＝30°，求出OD⊥AB，再根據(jù)切線的判定得出即可；
（2）求出BD＝AC=3，BO＝2DO，根據(jù)勾股定理得出BO2＝OD2+BD2，求出OD，再分別求出△BDO和扇形DOE的面積即可．
【解答】（1）證明：連接OD，CD，
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴AC=12AB，∠A＝90°﹣∠B＝60°，
∵D為AB的中點(diǎn)，
∴BD＝AD=12AB，
∴AD＝AC，
∴△ADC是等邊三角形，
∴∠ADC＝∠ACD＝60°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DCO＝90°﹣60°＝30°，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠DCO＝30°，
∴∠ADO＝∠ADC+∠ODC＝60°+30°＝90°，
即OD⊥AB，
∵OD過(guò)圓心O，
∴直線AB是⊙O的切線；
（2）解：由（1）可知：AC＝AD＝BD=12AB，
又∵AC=3，
∴BD＝AC=3，
∵∠B＝30°，∠BDO＝∠ADO＝90°，
∴∠BOD＝60°，BO＝2DO，
由勾股定理得：BO2＝OD2+BD2，
即（2OD）2＝OD2+（3）2，
解得：OD＝1（負(fù)數(shù)舍去），
所以陰影部分的面積S＝S△BDO﹣S扇形DOE=12×1×3?60π×12360=32?π6．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定，直角三角形的性質(zhì)，圓周角定理，扇形的面積計(jì)算等知識(shí)點(diǎn)，能熟記直角三角形的性質(zhì)、切線的判定和扇形的面積公式是解此題的關(guān)鍵．
56．（2022?東營(yíng)）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn)，BD⊥CE于點(diǎn)D，BC平分∠ABD．
（1）求證：直線CE是⊙O的切線；
（2）若∠ABC＝30°，⊙O的半徑為2，求圖中陰影部分的面積．
【分析】（1）連接OC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的定義得到∠DBC＝∠OCB，證明OC∥BD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到OC⊥CE，根據(jù)切線的判定定理證明結(jié)論；
（2）過(guò)點(diǎn)O作OH⊥BC于H，根據(jù)垂徑定理得到BH＝HC，根據(jù)余弦的定義求出BH，進(jìn)而求出BC，根據(jù)正弦的定義求出OH，根據(jù)扇形面積公式、三角形的面積公式計(jì)算，得到答案．
【解答】（1）證明：連接OC，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵BC平分∠ABD，
∴∠OBC＝∠DBC，
∴∠DBC＝∠OCB，
∴OC∥BD，
∵BD⊥CE，
∴OC⊥CE，
∵OC為⊙O的半徑，
∴CE是⊙O的切線；
（2）解：過(guò)點(diǎn)O作OH⊥BC于H，
則BH＝HC，
在Rt△OHB中，∠OBH＝30°，OB＝2，
∴BH＝OB?cs∠OBH＝2×32=3，OH=12OB＝1，
∴BC＝23，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝30°，
∴∠BOC＝120°，
∴S陰影部分＝S扇形BOC﹣S△BOC
=120π×22360?12×23×1
=4π3?3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是切線的判定、扇形面積計(jì)算，掌握經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線是解題的關(guān)鍵．
57．（2022?阜新）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是BC邊上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓與AB相交于點(diǎn)D，連接CD，且CD＝AC．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若∠A＝60°，AC＝23，求BD的長(zhǎng)．
【分析】（1）連接OD．由等腰三角形的性質(zhì)及圓的性質(zhì)可得∠A＝∠ADC，∠B＝∠BDO．再根據(jù)余角性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理可得∠ODC＝180°﹣（∠ADC+∠BDO）＝90°．最后由切線的判定定理可得結(jié)論；
（2）根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)可得∠DCO＝∠ACB﹣∠ACD＝30°．再由解直角三角形及三角形內(nèi)角和定理可得∠BOD的度數(shù)，最后根據(jù)弧長(zhǎng)公式可得答案．
【解答】（1）證明：連接OD．
∵AC＝CD，
∴∠A＝∠ADC．
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠BDO．
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°．
∴∠ADC+∠BDO＝90°．
∴∠ODC＝180°﹣（∠ADC+∠BDO）＝90°．
又∵OD是⊙O的半徑，
∴CD是⊙O的切線．
（2）解：∵AC＝CD=23，∠A＝60°，
∴△ACD是等邊三角形．
∴∠ACD＝60°．
∴∠DCO＝∠ACB﹣∠ACD＝30°．
在Rt△OCD中，OD＝CDtan∠DCO=23?tan30°＝2．
∵∠B＝90°﹣∠A＝30°，OB＝OD，
∴∠ODB＝∠B＝30°．
∴∠BOD＝180°﹣（∠B+∠BDO）＝120°．
∴BD的長(zhǎng)=120π×2180=43π．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是切線的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、弧長(zhǎng)公式，正確作出輔助線是解決此題的關(guān)鍵．
58．（2022?齊齊哈爾）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑作⊙O，AC與⊙O交于點(diǎn)D，BC與⊙O交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB，且CF＝CD，連接BF．
（1）求證：BF是⊙O的切線；
（2）若∠BAC＝45°，AD＝4，求圖中陰影部分的面積．
【分析】（1）連接BD，由圓周角定理得出∠ADB＝∠BDC＝90°，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠ABC＝∠ACB，由平行線的性質(zhì)得出∠ABC＝∠FCB，進(jìn)而得出∠ACB＝∠FCB，得出△DCB≌△FCB，得出∠F＝∠CDB＝90°，由平行線的性質(zhì)得出∠ABF+∠F＝180°，繼而得出AB⊥BF，即可證明BF是⊙O的切線；
（2）連接BD、OE交于點(diǎn)M，連接AE，由圓周角定理得出AE⊥BC，AD⊥BD，由∠BAC＝45°，AD＝4，得出△ABD是等腰直角三角形，BD＝AD＝4，AB＝42，
進(jìn)而得出OA＝OB＝22，由三角形中位線的性質(zhì)得出OE∥AD，繼而得出∠BOE＝∠BAC＝45°，OE⊥BD，BMBD=OBAB=12，求出BM＝2，利用S陰影部分＝S扇形BOE﹣S△BOE，將有關(guān)數(shù)據(jù)代入計(jì)算，即可得出答案．
【解答】（1）證明：如圖1，連接BD，
∵AB是直徑，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵AB∥CF，
∴∠ABC＝∠FCB，
∴∠ACB＝∠FCB，
在△DCB和△FCB中，
CD=CF∠DCB=∠FCBCB=CB，
∴△DCB≌△FCB（SAS），
∴∠F＝∠CDB＝90°，
∵AB∥CF，
∴∠ABF+∠F＝180°，
∴∠ABF＝90°，即AB⊥BF，
∵AB為直徑，
∴BF是⊙O的切線；
（2）解：如圖2，連接BD、OE交于點(diǎn)M，連接AE，
∵AB是直徑，
∴AE⊥BC，AD⊥BD，
∵∠BAC＝45°，AD＝4，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴BD＝AD＝4，AB=AD2+BD2=42+42=42，
∴OA＝OB＝22，
∴OE是△ADB的中位線，
∴OE∥AD，
∴∠BOE＝∠BAC＝45°，OE⊥BD，BMBD=OBAB=12，
∴BM=12BD=12×4＝2，
∴S陰影部分＝S扇形BOE﹣S△BOE
=45×π×(22)2360?12×22×2
=π?22．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，扇形面積的計(jì)算，掌握平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，切線的判定與性質(zhì)，圓周角定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，扇形的面積公式，三角形面積公式等知識(shí)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
59．（2021?孝感）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O與BC，AC分別相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，BO平分∠ABC，連接OA．
（1）求證：AB是⊙O的切線；
（2）若BE＝AC＝3，⊙O的半徑是1，求圖中陰影部分的面積．
【分析】（1）有切點(diǎn)則連圓心，證明垂直關(guān)系；無(wú)切點(diǎn)則作垂線，證明等于半徑；
（2）將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形間的換算．
【解答】（1）證明：
連接OE，OF，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，
∵BC與⊙O相切于點(diǎn)E，
∴OE⊥BC，
∵BO是∠ABC的平分線，
∴OD＝OE，OD是圓的一條半徑，
∴AB是⊙O的切線，
故：AB是⊙O的切線．
（2）∵BC、AC與圓分別相切于點(diǎn)E、點(diǎn)F，
∴OE⊥BC，OF⊥AC，
∴四邊形OECF是正方形，
∴OE＝OF＝EC＝FC＝1，
∴BC＝BE+EC＝4，又AC＝3，
∴S陰影=12（S△ABC﹣S正方形OECF﹣優(yōu)弧所對(duì)的S扇形EOF）
=12×（12×4×3﹣1×1?270×π×12360）
=52?3π8．
故圖中陰影部分的面積是：52?3π8．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓切線的判定以及圖形面積之間的轉(zhuǎn)化，不規(guī)則圖形面積的算法一般將它轉(zhuǎn)化為若干個(gè)基本規(guī)則圖形的組合，分析整體與部分的和差關(guān)系．
60．（2021?襄陽(yáng)）如圖，直線AB經(jīng)過(guò)⊙O上的點(diǎn)C，直線BO與⊙O交于點(diǎn)F和點(diǎn)D，OA與⊙O交于點(diǎn)E，與DC交于點(diǎn)G，OA＝OB，CA＝CB．
（1）求證：AB是⊙O的切線；
（2）若FC∥OA，CD＝6，求圖中陰影部分面積．
【分析】（1）連接OC，由等腰三角形的性質(zhì)證得OC⊥AB，根據(jù)切線的判定得到AB是⊙O的切線；
（2）由圓周角定理結(jié)合平行線的性質(zhì)得到∠DGO＝90°，由垂徑定理求得DG＝3，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合平角的定義求得∠DOE＝60°，在Rt△ODG中，根據(jù)三角函數(shù)的定義求得OD＝23，OG=3，根據(jù)S陰影＝S扇形ODE﹣S△DOG即可求出陰影部分面積．
【解答】（1）證明：連接OC，
∵OA＝OB，CA＝CB，
∴OC⊥AB，
∵OC是⊙O的半徑，
∴AB是⊙O的切線；
（2）解：∵DF是圓O 的直徑，
∴∠DCF＝90°，
∵FC∥OA，
∴∠DGO＝∠DCF＝90°，
∴DC⊥OE，
∴DG=12CD=12×6＝3，
∵OD＝OC，
∴∠DOG＝∠COG，
∵OA＝OB，AC＝CB，
∴∠AOC＝∠BOC，
∴∠DOE＝∠AOC＝∠BOC=13×180°＝60°，
在Rt△ODG中，
∵sin∠DOG=DGOD，cs∠DOG=OGOD，
∴OD=DGsin∠DOG=332=23，
OG＝OD?cs∠DOG＝23×12=3，
∴S陰影＝S扇形ODE﹣S△DOG=60π?(23)2360?12×3×3＝2π?332．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了切線的性質(zhì)和判定，扇形和三角形的面積公式，三角函數(shù)的定義，圓周角定理，垂徑定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)由垂徑定理和等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合平角的定義求出DG＝3，∠DOE＝60°是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多