專題12反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)（優(yōu)選真題60道）-三年（2021-2023）中考數(shù)學(xué)真題分項(xiàng)匯編【全國(guó)通用】-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．（2023?通遼）已知點(diǎn)A（x1，y1）B（x2，y2）在反比例函數(shù)y=?2x的圖象上，且x1＜0＜x2，則下列結(jié)論一定正確的是（）
A．y1+y2＜0B．y1+y2＞0C．y1﹣y2＜0D．y1﹣y2＞0
【答案】D
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，由x1＜0＜x2，可判斷y1＞0＞y2，進(jìn)而得出答案．
【解答】解：∵反比例函數(shù)y=?2x的圖象在二、四象限，而x1＜0＜x2，
∴點(diǎn)A（x1，y1）在第二象限反比例函數(shù)y=?2x的圖象上，B（x2，y2）在第四象限反比例函數(shù)y=?2x的圖象上，
∴y1＞0＞y2，
∴y1﹣y2＞0，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查反比例函數(shù)的圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，掌握反比例函數(shù)的圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征是正確解答的前提．
2．（2023?湖北）在反比例函數(shù)y=4?kx的圖象上有兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），當(dāng)x1＜0＜x2時(shí)，有y1＜y2，則k的取值范圍是（）
A．k＜0B．k＞0C．k＜4D．k＞4
【答案】C
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案．
【解答】解：∵當(dāng)x1＜0＜x2時(shí)，有y1＜y2，
∴反比例函數(shù)y=4?kx的圖象位于一、三象限，
4﹣k＞0，
解得k＜4，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟知反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
3．（2023?武漢）關(guān)于反比例函數(shù)y=3x，下列結(jié)論正確的是（）
A．圖象位于第二、四象限
B．圖象與坐標(biāo)軸有公共點(diǎn)
C．圖象所在的每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小
D．圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（a，a+2），則a＝1
【答案】C
【分析】利用反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)而分析得出答案．
【解答】解：反比例函數(shù)y=3x，圖象在第一、三象限，與坐標(biāo)軸沒(méi)有交點(diǎn)，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
反比例函數(shù)y=3x，在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨著x的增大而減小，故C選項(xiàng)正確；
反比例函數(shù)y=3x圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（a，a+2），
∴a（a+2）＝3，
解得a＝1或a＝﹣3，
故D選項(xiàng)錯(cuò)誤，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
4．（2023?永州）已知點(diǎn)M（2，a）在反比例函數(shù)y=kx的圖象上，其中a，k為常數(shù)，且k＞0，則點(diǎn)M一定在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】A
【分析】把點(diǎn)（2，a）代入反比例函數(shù)解析式，可得a=k2，由k＞0可知a＞0，可得點(diǎn)M一定在第一象限．
【解答】解：∵點(diǎn)M（2，a）在反比例函數(shù)y=kx的圖象上，
∴a=k2，
∴k＞0，
∴a＞0，
∴點(diǎn)M一定在第一象限．
故選：A．
方法二：
∵反比例函數(shù)y=kx中，k＞0，
∴圖象的兩個(gè)分支在一、三象限，
∵點(diǎn)M（2，a）在反比例函數(shù)y=kx的圖象上，
∴點(diǎn)M一定在第一象限．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；用到的知識(shí)點(diǎn)為：反比例函數(shù)的比例系數(shù)大于0，圖象的兩個(gè)分支在一、三象限；關(guān)鍵是得到反比例函數(shù)的比例系數(shù)的符號(hào)．
5．（2023?天津）若點(diǎn)A（x1，﹣2），B（x2，1），C（x3，2）都在反比例函數(shù)y=?2x的圖象上，則x1，x2，x3的大小關(guān)系是（）
A．x3＜x2＜x1B．x2＜x1＜x3C．x1＜x3＜x2D．x2＜x3＜x1
【答案】D
【分析】分別將點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式求出x2，x3，x1，然后再比較它們的大小即可得出答案．
【解答】解：將A（x1，﹣2）代入y=?2x，得：?2=?2x1，即：x1＝1，
將B（x2，1）代入y=?2x，得：1=?2x2，即：x2＝﹣2，
將C（x3，2）代入y=?2x，得：2=?2x3，即：x3＝﹣1，
∴x2＜x3＜x1．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了反比例函數(shù)的圖象，解答此題的關(guān)鍵是理解函數(shù)圖象上的點(diǎn)滿足函數(shù)的解析式，滿足函數(shù)解析式的點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上．
6．（2023?邵陽(yáng)）如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)B和正方形ADEF的頂點(diǎn)E都在反比例函數(shù)y=kx（k≠0）的圖象上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，4），則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（）
A．（4，4）B．（2，2）C．（2，4）D．（4，2）
【答案】D
【分析】由題意，首先根據(jù)B的坐標(biāo)求出k，然后可設(shè)E（a，8a），再由正方形ADEF，建立關(guān)于a的方程，進(jìn)而得解．
【解答】解：∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，4）在反比例函數(shù)y=kx上，
∴4=k2．
∴k＝8．
∴反比例函數(shù)的解析式為y=8x．
∵點(diǎn)E在反比例函數(shù)上，
∴可設(shè)（a，8a）．
∴AD＝a﹣2＝ED=8a．
∴a1＝4，a2＝﹣2．
∵a＞0，
∴a＝4．
∴E（4，2）．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，解題時(shí)需要理解并能靈活運(yùn)用．
7．（2023?上海）下列函數(shù)中，函數(shù)值y隨x的增大而減小的是（）
A．y＝6xB．y＝﹣6xC．y=6xD．y=?6x
【答案】B
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)和正比例函數(shù)的性質(zhì)分別判斷即可．
【解答】解：A選項(xiàng)，y＝6x的函數(shù)值隨著x增大而增大，
故A不符合題意；
B選項(xiàng)，y＝﹣6x的函數(shù)值隨著x增大而減小，
故B符合題意；
C選項(xiàng)，在每一個(gè)象限內(nèi)，y=6x的函數(shù)值隨著x增大而減小，
故C不符合題意；
D選項(xiàng)，在每一個(gè)象限內(nèi)，y=?6x的函數(shù)值隨著x增大而增大，
故D不符合題意，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，正比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
8．（2023?金華）如圖，一次函數(shù)y＝ax+b的圖象與反比例函數(shù)y=kx的圖象交于點(diǎn)A（2，3），B（m，﹣2），則不等式ax+b＞kx的解是（）
A．﹣3＜x＜0或x＞2B．x＜﹣3或0＜x＜2
C．﹣2＜x＜0或x＞2D．﹣3＜x＜0或x＞3
【答案】A
【分析】依據(jù)題意，首先求出B點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再直觀得出一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值時(shí)自變量的取值范圍，即為不等式的解集．
【解答】解：∵A（2，3）在反比例函數(shù)上，
∴k＝6．
又B（m，﹣2）在反比例函數(shù)上，
∴m＝﹣3．
∴B（﹣3，﹣2）．
結(jié)合圖象，
∴當(dāng)ax+b＞kx時(shí)，﹣3＜x＜0或x＞2．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查反比例函數(shù)、一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，通過(guò)圖象直接得出一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)值時(shí)自變量x的取值范圍．
9．（2023?山西）若點(diǎn)A（﹣3，a），B（﹣1，b），C（2，c）都在反比例函數(shù)y=kx(k＜0)的圖象上，則a，b，c的大小關(guān)系用“＜”連接的結(jié)果為（）
A．b＜a＜cB．c＜b＜aC．a(chǎn)＜b＜cD．c＜a＜b
【答案】D
【分析】反比例函數(shù)y=kx（k≠0，k為常數(shù)）中，當(dāng)k＜0時(shí)，雙曲線在第二，四象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大．根據(jù)這個(gè)判定則可．
【解答】解：∵k＜0，點(diǎn)A，B同象限，y隨x的增大而增大，
∵﹣3＜﹣1，
∴0＜a＜b，
又∵C（2，c）都在反比例函數(shù)y=kx(k＜0)的圖象上，
∴c＜0，
∴c＜a＜b．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)判斷函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，同學(xué)們應(yīng)重點(diǎn)掌握．
10．（2023?株洲）下列哪個(gè)點(diǎn)在反比例函數(shù)y=4x的圖象上？（）
A．P1（1，﹣4）B．P2（4，﹣1）C．P3（2，4）D．P4(22，2)
【答案】D
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)y=4x的圖象上的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)乘積為4進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：A．∵1×（﹣4）＝﹣4≠4，∴P1（1，﹣4）不在反比例函數(shù)y=4x的圖象上，故選項(xiàng)不符合題意；
B．∵4×（﹣1）＝﹣4≠4，∴P2（4，﹣1）不在反比例函數(shù)y=4x的圖象上，故選項(xiàng)不符合題意；
C．∵2×4＝8≠4，∴P3（2，4）不在反比例函數(shù)y=4x的圖象上，故選項(xiàng)不符合題意；
D．∵22×2=4，∴P4(22，2)在反比例函數(shù)y=4x的圖象上，故選項(xiàng)符合題意．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了反比例函數(shù)，熟練掌握反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
11．（2023?臨沂）正在建設(shè)中的臨滕高速是我省“十四五”重點(diǎn)建設(shè)項(xiàng)目．一段工程施工需要運(yùn)送土石方總量為105m3，設(shè)土石方日平均運(yùn)送量為V（單位：m3/天），完成運(yùn)送任務(wù)所需要的時(shí)間為t（單位：天），則V與t滿足（）
A．反比例函數(shù)關(guān)系B．正比例函數(shù)關(guān)系
C．一次函數(shù)關(guān)系D．二次函數(shù)關(guān)系
【答案】A
【分析】列出V與t的關(guān)系式，根據(jù)反比例函數(shù)的定義可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意得：Vt＝105，
∴V=105t，V與t滿足反比例函數(shù)關(guān)系；
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查反比例函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，掌握反比例函數(shù)的定義．
12．（2023?寧波）如圖，一次函數(shù)y1＝k1x+b（k1＞0）的圖象與反比例函數(shù)y2=k2x（k2＞0）的圖象相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為﹣2，當(dāng)y1＜y2時(shí)，x的取值范圍是（）
A．x＜﹣2或x＞1B．x＜﹣2或0＜x＜1
C．﹣2＜x＜0或x＞1D．﹣2＜x＜0或0＜x＜1
【答案】B
【分析】根據(jù)圖象即可．
【解答】解：由圖象可知，當(dāng)y1＜y2時(shí)，x的取值范圍是x＜﹣2或0＜x＜1，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，不等式的解集就是其所對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象上滿足條件的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)的集合．
13．（2023?浙江）已知點(diǎn)A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）均在反比例函數(shù)y=3x的圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y3＜y2＜y1
【答案】B
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，可以判斷出y1，y2，y3的大小關(guān)系．
【解答】解：∵反比例函數(shù)y=3x，
∴該函數(shù)的圖象位于第一、三象限，在每個(gè)象限內(nèi)y隨x的增大而減小，
∵點(diǎn)A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）均在反比例函數(shù)y=3x的圖象上，
∴y2＜y1＜y3，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用反比例函數(shù)的性質(zhì)解答．
14．（2023?云南）若點(diǎn)A（1，3）是反比例函數(shù)y=kx（k≠0）圖象上一點(diǎn)，則常數(shù)k的值為（）
A．3B．﹣3C．32D．?32
【答案】A
【分析】將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的關(guān)系式即可求出k的值．
【解答】解：∵點(diǎn)A（1，3）在反比例函數(shù)y=kx（k≠0）圖象上，
∴k＝1×3＝3，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的關(guān)系式是正確解答的關(guān)鍵．
15．（2022?貴陽(yáng)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有P，Q，M，N四個(gè)點(diǎn)，其中恰有三點(diǎn)在反比例函數(shù)y=kx（k＞0）的圖象上．根據(jù)圖中四點(diǎn)的位置，判斷這四個(gè)點(diǎn)中不在函數(shù)y=kx的圖象上的點(diǎn)是（）
A．點(diǎn)PB．點(diǎn)QC．點(diǎn)MD．點(diǎn)N
【答案】C
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及反比例函數(shù)的圖象進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：如圖，反比例函數(shù)y=kx的圖象是雙曲線，若點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，則其縱橫坐標(biāo)的積為常數(shù)k，即xy＝k，
通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)P、Q、N可能在圖象上，點(diǎn)M不在圖象上，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，掌握反比例函數(shù)的圖象以及圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征是正確判斷的前提．
16．（2022?無(wú)錫）已知一次函數(shù)y＝x+2的圖象上存在兩個(gè)點(diǎn)，這兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)恰好在反比例函數(shù)y=kx（k＞0）的圖象上，則k的范圍是（）
A．0＜k＜12B．0＜k＜1C．0＜k＜2D．0＜k＜4
【答案】B
【分析】設(shè)一次函數(shù)y＝x+2的圖象上的點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x+2），可知x+2=k?x有兩個(gè)解，即x2+2x+k＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，再由一元二次方程根的判別式列不等式可解得答案．
【解答】解：設(shè)一次函數(shù)y＝x+2的圖象上的點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x+2），它關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣x，x+2），
根據(jù)題意，x+2=k?x有兩個(gè)解，即x2+2x+k＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴Δ＞0，即22﹣4k＞0，
解得k＜1，
∵k＞0，
∴0＜k＜1，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)坐標(biāo)的特征，涉及一元二次方程根的判別式，解題的關(guān)鍵是理解題意，把所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為判斷一元二次方程根的情況．
17．（2022?邵陽(yáng)）如圖是反比例函數(shù)y=1x的圖象，點(diǎn)A（x，y）是反比例函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B，連接OA，則△AOB的面積是（）
A．1B．12C．2D．32
【答案】B
【分析】由反比例函數(shù)的幾何意義可知，k＝1，也就是△AOB的面積的2倍是1，求出△AOB的面積是12．
【解答】解：∵A（x，y），
∴OB＝x，AB＝y(tǒng)，
∵A為反比例函數(shù)y=1x圖象上一點(diǎn)，
∴xy＝1，
∴S△ABO=12AB?OB=12xy=12×1=12，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】考查反比例函數(shù)的幾何意義，反比例函數(shù)的圖象，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解決本題的關(guān)鍵是掌握k的絕對(duì)值，等于△AOB的面積的2倍．
18．（2022?東營(yíng)）如圖，一次函數(shù)y1＝k1x+b與反比例函數(shù)y2=k2x的圖象相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為﹣1，則不等式k1x+b＜k2x的解集是（）
A．﹣1＜x＜0或x＞2B．x＜﹣1或0＜x＜2
C．x＜﹣1或x＞2D．﹣1＜x＜2
【答案】A
【分析】根據(jù)兩函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系結(jié)合交點(diǎn)橫坐標(biāo)，即可得出不等式k1x+b＜k2x的解集，此題得解．
【解答】解：觀察函數(shù)圖象可知，當(dāng)﹣1＜x＜0或x＞2時(shí)，一次函數(shù)y1＝k1x+b的圖象在反比例函數(shù)y2=k2x的圖象的下方，
∴不等式k1x+b＜k2x的解集為：﹣1＜x＜0或x＞2，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，根據(jù)兩函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系找出不等式的解集是解題的關(guān)鍵．
19．（2021?荊門）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝kx﹣k與y=k|x|（k≠0）的大致圖象是（）
A．①②B．②③C．②④D．③④
【答案】B
【分析】根據(jù)k的取值范圍，分別討論k＞0和k＜0時(shí)的情況，然后根據(jù)一次函數(shù)和反比例函數(shù)圖象的特點(diǎn)進(jìn)行選擇正確答案．
【解答】解：當(dāng)k＞0時(shí)，
一次函數(shù)y＝kx﹣k經(jīng)過(guò)一、三、四象限，
函數(shù)y=k|x|（k≠0）的圖象在一、二象限，
故選項(xiàng)②的圖象符合要求．
當(dāng)k＜0時(shí)，
一次函數(shù)y＝kx﹣k經(jīng)過(guò)一、二、四象限，
函數(shù)y=k|x|（k≠0）的圖象經(jīng)過(guò)三、四象限，
故選項(xiàng)③的圖象符合要求．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查一次函數(shù)的圖象和反比例函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
20．（2021?荊州）已知：如圖，直線y1＝kx+1與雙曲線y2=2x在第一象限交于點(diǎn)P（1，t），與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）
A．t＝2B．△AOB是等腰直角三角形
C．k＝1D．當(dāng)x＞1時(shí)，y2＞y1
【答案】D
【分析】利用待定系數(shù)法求得t，k，利用直線的解析式求得A，B的坐標(biāo)，可得線段OA，OB的長(zhǎng)度，利用圖象可以判斷函數(shù)值的大?。?br>【解答】解：∵點(diǎn)P（1，t）在雙曲線y2=2x上，
∴t=21=2，正確；
∴A選項(xiàng)不符合題意；
∴P（1，2）．
∵P（1，2）在直線y1＝kx+1上，
∴2＝k+1．
∴k＝1，正確；
∴C選項(xiàng)不符合題意；
∴直線AB的解析式為y＝x+1
令x＝0，則y＝1，
∴B（0，1）．
∴OB＝1．
令y＝0，則x＝﹣1，
∴A（﹣1，0）．
∴OA＝1．
∴OA＝OB．
∴△OAB為等腰直角三角形，正確；
∴B選項(xiàng)不符合題意；
由圖象可知，當(dāng)x＞1時(shí)，y1＞y2．
∴D選項(xiàng)不正確，符合題意．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，待定系數(shù)法，數(shù)形結(jié)合．利用待定系數(shù)法求得函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．
二．填空題（共20小題）
21．（2023?河北）如圖，已知點(diǎn)A（3，3），B（3，1），反比例函數(shù)y=kx(k≠0) 圖象的一支與線段AB有交點(diǎn)，寫出一個(gè)符合條件的k的整數(shù)值： k＝4（答案不唯一）．
【答案】k＝4（答案不唯一），
【分析】把點(diǎn)A（3，3），B（3，1）代入y=kx即可得到k的值，從而得結(jié)論．
【解答】解：由圖可知：k＞0，
∵反比例函數(shù)y=kx（k＞0）的圖象與線段AB有交點(diǎn)，且點(diǎn)A（3，3），B（3，1），
∴把B （3，1）代入y=kx得，k＝3，
把A（3，3）代入y=kx得，k＝3×3＝9，
∴滿足條件的k值的范圍是3≤k≤9的整數(shù)，
故k＝4（答案不唯一），
故答案為：k＝4（答案不唯一）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，反比例函數(shù)的性質(zhì)，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．
22．（2023?陜西）如圖，在矩形OABC和正方形CDEF中，點(diǎn)A在y軸正半軸上，點(diǎn)C，F(xiàn)均在x軸正半軸上，點(diǎn)D在邊BC上，BC＝2CD，AB＝3．若點(diǎn)B，E在同一個(gè)反比例函數(shù)的圖象上，則這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式是 y=18x ．
【答案】y=18x．
【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到OC＝AB＝3，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到CD＝CF＝EF，設(shè)CD＝m，BC＝2m，得到B（3，2m），E（3+m，m），設(shè)反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=kx，列方程即可得到結(jié)論．
【解答】解：∵四邊形OABC是矩形，
∴OC＝AB＝3，
∵四邊形CDEF是正方形，
∴CD＝CF＝EF，
∵BC＝2CD，
∴設(shè)CD＝m，BC＝2m，
∴B（3，2m），E（3+m，m），
設(shè)反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=kx，
∴3×2m＝（3+m）?m，
解得m＝3或m＝0（不合題意舍去），
∴B（3，6），
∴k＝3×6＝18，
∴這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式是y=18x，
故答案為：y=18x．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：反比例函數(shù)y=kx（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線，圖象上的點(diǎn)（x，y）的橫縱坐標(biāo)的積是定值k，即xy＝k．
23．（2023?荊州）如圖，點(diǎn)A（2，2）在雙曲線y=kx（x＞0）上，將直線OA向上平移若干個(gè)單位長(zhǎng)度交y軸于點(diǎn)B，交雙曲線于點(diǎn)C．若BC＝2，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（2，22）．
【答案】（2，22）．
【分析】由題意，點(diǎn)A（2，2），則∠AOx＝45°，同時(shí)可得雙曲線解析式，再作CH⊥x軸，作BG⊥CH，可得∠CBG＝45°，又BC＝2，再結(jié)合雙曲線解析式可以得解．
【解答】解：∵點(diǎn)A（2，2）在雙曲線y=kx（x＞0）上，
∴2=k2．
∴k＝4．
∴雙曲線解析式為y=4x．
如圖，作AD⊥x軸，CH⊥x軸，作BG⊥CH，垂足分別為D、H、G．
∵A（2，2），
∴AD＝OD．
∴∠AOD＝45°．
∴∠AOB＝45°．
∵OA∥BC，
∴∠CBO＝180°﹣45°＝135°．
∴∠CBG＝135°﹣90°＝45°．
∴∠CBG＝∠BCG．
∵BC＝2，
∴BG＝CG=2．
∴C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2．
又C在雙曲線y=4x上，
∴C（2，22）．
故答案為：（2，22）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，需要熟練掌握并理解．
24．（2023?鄂州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y1＝k1x+b與雙曲線y2=k2x（其中k1?k2≠0）相交于A（﹣2，3），B（m，﹣2）兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作BP∥x軸，交y軸于點(diǎn)P，則△ABP的面積是 152 ．
【答案】152．
【分析】把A（﹣2，3），B（m，﹣2）代入雙曲線函數(shù)的表達(dá)式中，可求得m的值，然后利用三角形的面積公式進(jìn)行求解即可．
【解答】解：∵直直線y1＝k1x+b與雙曲線y2=k2x（其中k1?k2≠0）相交于A（﹣2，3），B（m，﹣2）兩點(diǎn)，
∴k2＝﹣2×3＝﹣2m
∴m＝3，
∴B（3，﹣2），
∵BP∥x軸，
∴BP＝3，
∴S△ABP=12×3×(3+2)=152．
故答案為：152．
【點(diǎn)評(píng)】本題是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，考查了一次函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形的面積，數(shù)形結(jié)合是解答此題的關(guān)鍵．
25．（2023?無(wú)錫）已知曲線 C1、C2 分別是函數(shù)y=?2x（x＜0），y=kx（k＞0，x＞0）的圖象，邊長(zhǎng)為6的正△ABC的頂點(diǎn)A在y軸正半軸上，頂點(diǎn)B、C在x軸上（B在C的左側(cè)），現(xiàn)將△ABC繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)B在曲線C1上時(shí)，點(diǎn)A恰好在曲線C2上，則k的值為 6 ．
【答案】6．
【分析】作A′D⊥x軸于D，B′E⊥x軸于E，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義求得S△OA′D=12k，S△OB′E=12×|﹣2|＝1，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出OB＝3，OA＝33，易證得△A′OD∽△OB′E，從而得出S△A'ODS△B'OE=(OA'OB')2=3，即12k1=3，解得k＝6．
【解答】解：作A′D⊥x軸于D，B′E⊥x軸于E，
∵將△ABC繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)B在曲線C1上時(shí)，點(diǎn)A恰好在曲線C2上，
∴S△OA′D=12k，S△OB′E=12×|﹣2|＝1，
∵邊長(zhǎng)為6的正△ABC的頂點(diǎn)A在y軸正半軸上，頂點(diǎn)B、C在x軸上（B在C的左側(cè)），OA⊥BC，
∴OB＝3，OA＝33，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知OB′＝OB＝3，OA′＝OA＝33，
∴OA'OB=3，
∵∠A′OB′＝∠AOB＝90°，
∴∠B′OE+∠A′OD＝90°，
∵∠A′OD+∠OA′D＝90°，
∴∠B′OE＝∠OA′D，
∵∠OEB′＝∠A′DO＝90°，
∴△A′OD∽△OB′E，
∴S△A'ODS△B'OE=(OA'OB')2=3，即12k1=3，
∴k＝6．
故答案為：6．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，作出輔助線構(gòu)建相似三角形是解題的關(guān)鍵．
26．（2023?徐州）如圖，點(diǎn)P在反比例函數(shù)y=kx(k＞0)的圖象上，PA⊥x軸于點(diǎn)A，PB⊥y軸于點(diǎn)B，PA＝PB．一次函數(shù)y＝x+1的圖象與PB交于點(diǎn)D，若D為PB的中點(diǎn)，則k的值為 4 ．
【答案】4．
【分析】設(shè)一次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)為M，與y軸的交點(diǎn)為N，則M（﹣1，0），N（0，1），易證得四邊形AOBP是正方形，則PB∥x軸，PB＝OB，即可證得△DBN∽△MON，求得BD＝BN，由D為PB的中點(diǎn)，可知N為OB的中點(diǎn)，得出OB＝2ON＝2，從而得出P（2，2），利用待定系數(shù)法即可求得k．
【解答】解：設(shè)一次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)為M，與y軸的交點(diǎn)為N，則M（﹣1，0），N（0，1），
∴OM＝ON＝1，
∵PA⊥x軸于點(diǎn)A，PB⊥y軸于點(diǎn)B，PA＝PB，
∴四邊形AOBP是正方形，
∴PB∥x軸，PB＝OB，
∴△DBN∽△MON，
∴BDBN=OMON=1，
∴BD＝BN，
∵D為PB的中點(diǎn)，
∴N為OB的中點(diǎn)，
∴OB＝2ON＝2，
∴PB＝OB＝2，
∴P（2，2），
∴點(diǎn)P在反比例函數(shù)y=kx(k＞0)的圖象上，
∴k＝2×2＝4，
故答案為：4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，正方形的判定和性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，求得P點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
27．（2023?上海）函數(shù)f（x）=1x?23的定義域?yàn)? x≠23 ．
【答案】x≠23．
【分析】根據(jù)函數(shù)有意義的條件求解即可．
【解答】解：函數(shù)f（x）=1x?23有意義，則x﹣23≠0，
解得x≠23，
故答案為：x≠23．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)有意義的條件是解題的關(guān)鍵．
28．（2023?內(nèi)江）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，MN垂直于x軸，以MN為對(duì)稱軸作△ODE的軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸MN與線段DE相交于點(diǎn)F，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B恰好落在反比例函數(shù)y=kx（x＜0）的圖象上，點(diǎn)O、E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)C、A，若點(diǎn)A為OE的中點(diǎn)，且S△EAF=14，則k的值為 ﹣6 ．
【答案】﹣6．
【分析】連接BO，設(shè)AG＝EG＝a，由軸對(duì)稱的性質(zhì)得到EC＝AO＝AE＝2a，AC＝EO＝4a，利用相似三角形的判定和性質(zhì)得到S△EOD＝2，得到S△ACB＝2，根據(jù)S△OCB＝S△ACB+S△AOB以及反比例函數(shù)的幾何意義即可得到結(jié)論．
【解答】解：連接OB，設(shè)對(duì)稱軸MN與x軸交于G，
∵△ODE與△CBA關(guān)于MN對(duì)稱，
∴AG＝EG，AC＝EO，EC＝AO，
∵點(diǎn)A我OE的中點(diǎn)，
設(shè)AG＝EG＝a，則EC＝AO＝AE＝2a，
∴AC＝EO＝4a，
∵S△EAF=14，
∴S△EGF=12S△EAF=18，
∵GF∥OD，
∴△EFG∽△EDO，
∴S△EGFS△EOD=(EGEO)2，
即18S△EOD=(a4a)2，
∴S△EOD=18×16=2，
∴S△ACB＝2，
∵AC＝4a，AO＝2a，
∴S△OCB＝S△ACB+S△AOB＝2+1＝3，
∴12|k|＝3，
∵k＜0，
∴k＝﹣6，
故答案為：﹣6．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，軸對(duì)稱的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
29．（2023?安徽）如圖，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，Rt△OAB的直角頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，AB＝2，∠AOB＝30°，反比例函數(shù)y=kx（k＞0）的圖象經(jīng)過(guò)斜邊OB的中點(diǎn)C．
（1）k＝ 3 ；
（2）D為該反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，若DB∥AC，則OB2﹣BD2的值為 4 ．
【答案】（1）3．
（2）4．
【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，求出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，作出輔助線，證得△OPC≌△APC（HL），利用勾股定理及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可解答．
（2）求出AC、BD的解析式，再聯(lián)立方程組，求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，分兩種情況討論即可求解．
【解答】解：（1）在Rt△OAB中，AB＝2，∠AOB＝30°，
∴OB=4，OA=23，
∴A(23，0)，B(23，2)，
∵C是OB的中點(diǎn)，
∴OC＝BC＝AC＝2，
如圖，過(guò)點(diǎn)C作CP⊥OA于P，
∴△OPC≌△APC（HL），
∴OP=AP=12OA=3，
在Rt△OPC中，PC=OC2?OP2=4?3=1，
∴C（3，1）．
∵反比例函數(shù)y=kx（k＞0）的圖象經(jīng)過(guò)斜邊OB的中點(diǎn)C，
∴1=k3，
解得k=3．
故答案為：3．
（2）設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b（k≠0），
則23k+b=03k+b=1，
解得k=?33b=2，
∴AC的解析式為y=?33x+2，
∵AC∥BD，
∴直線BD的解析式為y=?33x+4，
∵點(diǎn)D既在反比例函數(shù)圖象上，又在直線BD上，
∴聯(lián)立得y=3xy=?33x+4，
解得x1=23+3y1=2?3，x2=23?3y2=2+3，
當(dāng)D的坐標(biāo)為（23+3，2?3）時(shí)，
BD2=(23+3?23)2+(2?3?2)2=9+3＝12，
∴OB2﹣BD2＝16﹣12＝4；
當(dāng)D的坐標(biāo)為（23?3，2+3）時(shí)，
BD2=(23?3?23)2+(2+3?2)2=9+3＝12，
∴OB2﹣BD2＝16﹣12＝4；
綜上，OB2﹣BD2＝4．
故答案為：4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握直角三角形的性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用．
30．（2023?棗莊）如圖，在反比例函數(shù)y=8x（x＞0）的圖象上有P1，P2，P3，…P2024等點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)依次為1，2，3，…，2024，分別過(guò)這些點(diǎn)作x軸與y軸的垂線，圖中所構(gòu)成的陰影部分的面積從左到右依次為S1，S2，S3，…，S2023，則S1+S2+S3+…+S2023＝ 2023253 ．
【答案】2023253．
【分析】將除第一個(gè)矩形外的所有矩形向左平移至y軸，得出所求面積為矩形ABP1D的面積，再分別求矩形ODP1C和矩形OABC的面積即可．
【解答】解：∵P1，P2，P3，…P2024的橫坐標(biāo)依次為1，2，3，…，2024，
∴陰影矩形的一邊長(zhǎng)都為1，
將除第一個(gè)矩形外的所有矩形向左平移至y軸，
∴S1+S2+S3+…+S2023=S矩形ABP1D，
把x＝2024代入關(guān)系式得，y=1253，即OA=1253，
∴S矩形OABC＝OA?OC=1253，
由幾何意義得，S矩形OCP1D=8，
∴S矩形ABP1D=8?1253=2023253．
故答案為：2023253．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，幾何意義的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．
31．（2023?樂(lè)山）定義：若x，y滿足x2＝4y+t，y2＝4x+t且x≠y（t為常數(shù)），則稱點(diǎn)M（x，y）為“和諧點(diǎn)”．
（1）若P（3，m）是“和諧點(diǎn)”，則m＝ ﹣7 ；
（2）若雙曲線y=kx（﹣3＜x＜﹣1）存在“和諧點(diǎn)”，則k的取值范圍 3＜k＜4 ．
【答案】（1）﹣7；
（2）3＜k＜4．
【分析】（1）根據(jù)題意得出4m+t=912+t=m2，消去t得到m2+4m﹣21＝0，解方程即可求得m＝﹣7；
（2）根據(jù)題意得出x2=4kx+t①k2x2=4x+t②，①﹣②得（x+kx）（x?kx）＝﹣4（x?kx），整理得（x?kx）（x+kx+4）＝0，由x≠y，得出x+kx+4＝0，理得k＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+2）2+4，由﹣3＜x＜﹣1，得出3＜k＜4．
【解答】解：（1）∵P（3，m）是“和諧點(diǎn)”，
∴4m+t=912+t=m2，
消去t得到m2+4m﹣21＝0，
解得m＝﹣7或3，
∵x≠y，
∴m＝﹣7；
故答案為：﹣7；
（2）∵雙曲線y=kx（﹣3＜x＜﹣1）存在“和諧點(diǎn)”，
∴x2=4kx+t①k2x2=4x+t②，
①﹣②得（x+kx）（x?kx）＝﹣4（x?kx），
∴（x?kx）（x+kx+4）＝0，
∵x≠y，
∴x+kx+4＝0，
整理得k＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+2）2+4，
∵﹣3＜x＜﹣1，
∴3＜k＜4．
故答案為：3＜k＜4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了新定義，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的最值等知識(shí)，本題綜合性強(qiáng)，有一定難度．
32．（2023?連云港）如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=kx（x＜0）的圖象上，頂點(diǎn)B、C在第一象限，對(duì)角線AC∥x軸，交y軸于點(diǎn)D．若矩形OABC的面積是6，cs∠OAC=23，則k＝ ?83 ．
【答案】?83．
【分析】作AE⊥x軸于E，由矩形的面積可以求得△AOC的面積是3，然后通過(guò)證得△OEA∽△AOC，求得S△OEA=43，最后通過(guò)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義即可求得k的值．
【解答】解：作AE⊥x軸于E，
∵矩形OABC的面積是6，
∴△AOC的面積是3，
∵∠AOC＝90°，cs∠OAC=23，
∴OAAC=23，
∵對(duì)角線AC∥x軸，
∴∠AOE＝∠OAC，
∵∠OEA＝∠AOC＝90°，
∴△OEA∽△AOC，
∴S△OEAS△AOC=(OAAC)2，
∴S△OEA3=49，
∴S△OEA=43，
∵S△OEA=12|k|，k＜0，
∴k=?83．
故答案為：?83．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，解直角三角形，反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，求得△AOE的面積是解題的關(guān)鍵．
33．（2022?樂(lè)山）如圖，平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)D在y=kx（k＞0）上，且AD⊥x軸，CA的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)E．若S△ABE=32，則k＝ 3 ．
【答案】3．
【分析】連接DF、OD，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AD∥BC，根據(jù)三角形的面積公式得到S△ODF＝S△EBC，S△ADF＝S△ABC，進(jìn)而求出S△OAD，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義解答即可．
【解答】解：設(shè)BC與x軸交于點(diǎn)F，連接DF、OD，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AD＝BC，
∴S△ODF＝S△EBC，S△ADF＝S△ABC，
∴S△OAD＝S△ABE=32，
∴k＝3，
故答案為：3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義、平行四邊形的性質(zhì)、三角形的面積計(jì)算，掌握三角形的面積公式是解題的關(guān)鍵．
34．（2022?北京）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若點(diǎn)A（2，y1），B（5，y2）在反比例函數(shù)y=kx（k＞0）的圖象上，則y1 ＞ y2（填“＞”“＝”或“＜”）．
【答案】＞．
【分析】先根據(jù)函數(shù)解析式中的比例系數(shù)k確定函數(shù)圖象所在的象限，再根據(jù)各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特征及函數(shù)的增減性解答．
【解答】解：∵k＞0，
∴反比例函數(shù)y=kx（k＞0）的圖象在一、三象限，
∵5＞2＞0，
∴點(diǎn)A（2，y1），B（5，y2）在第一象限，y隨x的增大而減小，
∴y1＞y2，
故答案為：＞．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)及平面直角坐標(biāo)系中各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特征，比較簡(jiǎn)單．
35．（2022?包頭）如圖，反比例函數(shù)y=kx（k＞0）在第一象限的圖象上有A（1，6），B（3，b）兩點(diǎn)，直線AB與x軸相交于點(diǎn)C，D是線段OA上一點(diǎn)．若AD?BC＝AB?DO，連接CD，記△ADC，△DOC的面積分別為S1，S2，則S1﹣S2的值為 4 ．
【答案】4．
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)k＝xy（定值）求出B點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，進(jìn)而求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，求出AB，BC的長(zhǎng)度，根據(jù)AD?BC＝AB?DO，得到AD＝2DO，根據(jù)△ADC，△DOC是等高的三角形，得到S1＝2S2，從而S1﹣S2＝S2，根據(jù)S1+S2＝S△AOC得到S2=13S△AOC，從而得出答案．
【解答】解：∵反比例函數(shù)y=kx（k＞0）在第一象限的圖象上有A（1，6），B（3，b）兩點(diǎn)，
∴1×6＝3b，
∴b＝2，
∴B（3，2），
設(shè)直線AB的解析式為y＝mx+n，
m+n=63m+n=2，
解得：m=?2n=8，
∴y＝﹣2x+8，
令y＝0，
﹣2x+8＝0，
解得：x＝4，
∴C（4，0），
∵AB=(1?3)2+(6?2)2=25，
BC=(3?4)2+(2?0)2=5，
AD?BC＝AB?DO，
∴AD?5=25?DO，
∴AD＝2DO，
∴S1＝2S2，
∴S1﹣S2＝S2，
∵S1+S2＝S△AOC，
∴S1﹣S2＝S2=13S△AOC=13×12×4×6＝4．
故答案為：4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形的面積，根據(jù)AD?BC＝AB?DO得到AD＝2DO，根據(jù)△ADC，△DOC是等高的三角形，得到S1＝2S2是解題的關(guān)鍵．
36．（2022?湖州）如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)B在y軸的負(fù)半軸上，tan∠ABO＝3，以AB為邊向上作正方形ABCD．若圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C的反比例函數(shù)的解析式是y=1x，則圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D的反比例函數(shù)的解析式是 y=?3x ．
【答案】y=?3x．
【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)C作CT⊥y軸于點(diǎn)T，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥CT交CT的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．由tan∠ABO=AOOB=3，可以假設(shè)OB＝a，OA＝3a，利用全等三角形的性質(zhì)分別求出C（a，2a），D（﹣2a，3a），可得結(jié)論．
【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CT⊥y軸于點(diǎn)T，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥CT交CT的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．
∵tan∠ABO=AOOB=3，
∴可以假設(shè)OB＝a，OA＝3a，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠AOB＝∠BTC＝90°，
∴∠ABO+∠CBT＝90°，∠CBT+∠BCT＝90°，
∴∠ABO＝∠BCT，
∴△AOB≌△BTC（AAS），
∴BT＝OA＝3a，OB＝TC＝a，
∴OT＝BT﹣OB＝2a，
∴C（a，2a），
∵點(diǎn)C在y=1x上，
∴2a2＝1，
同法可證△CHD≌△BTC，
∴DH＝CT＝a，CH＝BT＝3a，
∴D（﹣2a，3a），
設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)D的反比例函數(shù)的解析式為y=kx，則有﹣2a×3a＝k，
∴k＝﹣6a2＝﹣3，
∴經(jīng)過(guò)點(diǎn)D的反比例函數(shù)的解析式是y=?3x．
故答案為：y=?3x．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)，構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．
37．（2021?呼和浩特）正比例函數(shù)y＝k1x與反比例函數(shù)y=k2x的圖象交于A，B兩點(diǎn)，若A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，﹣23），則k1+k2＝ ﹣8 ．
【答案】﹣8．
【分析】根據(jù)待定系數(shù)法求得k1、k2，即可求得k1+k2的值．
【解答】解：∵正比例函數(shù)y＝k1x與反比例函數(shù)y=k2x的圖象交于A，B兩點(diǎn)，若A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，﹣23），
∴﹣23=3k1，﹣23=k23，
∴k1＝﹣2，k2＝﹣6，
∴k1+k2＝﹣8，
故答案為﹣8．
【點(diǎn)評(píng)】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．
38．（2021?阿壩州）如圖，點(diǎn)A，B在反比例函數(shù)y=kx（k＞0）的圖象上，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為1，OA⊥AB，則k的值為 8 ．
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【分析】過(guò)點(diǎn)A作AM⊥x軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)B作BN⊥AM于N，通過(guò)證得△AOM∽△BAN，即可得到關(guān)于k的方程，解方程即可求得．
【解答】解：過(guò)點(diǎn)A作AM⊥x軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)B作BN⊥AM于N，
∵∠OAB＝90°，
∴∠OAM+∠BAN＝90°，
∵∠AOM+∠OAM＝90°，
∴∠BAN＝∠AOM，
∴△AOM∽△BAN，
∴AMBN=OMAN，
∵點(diǎn)A，B在反比例函數(shù)y=kx（k＞0）的圖象上，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為1，
∴A（2，k2），B（k，1），
∴OM＝2，AM=k2，AN=k2?1，BN＝k﹣2，
∴k2k?2=2k2?1，
解得k1＝2（舍去），k2＝8，
∴k的值為8，
故答案為：8．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，相似三角形的判定和性質(zhì)，表示出點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
39．（2021?荊門）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△OAB斜邊上的高為1，∠AOB＝30°，將Rt△OAB繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到Rt△OCD，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C恰好在函數(shù)y=kx（k≠0）的圖象上，若在y=kx的圖象上另有一點(diǎn)M使得∠MOC＝30°，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，1）．
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【分析】作AE⊥OB于E，MF⊥x軸于F，則AE＝1，解直角三角形求得OE=3，即可求得C的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法求的反比例函數(shù)的解析式，進(jìn)一步表示出M（3n，n），代入解析式即可求得結(jié)果．
【解答】解：作AE⊥OB于E，MF⊥x軸于F，則AE＝1，
∵∠AOB＝30°，
∴OE=3AE=3，
將Rt△OAB繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到Rt△OCD，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C為（1，3），
∵點(diǎn)C在函數(shù)y=kx（k≠0）的圖象上，
∴k＝1×3=3，
∴y=3x，
∵∠COD＝∠AOB＝30°，∠MOC＝30°，
∴∠DOM＝60°，
∴∠MOF＝30°，
∴OF=3MF，
設(shè)MF＝n，則OF=3n，
∴M（3n，n），
∵點(diǎn)M在函數(shù)y=3x的圖象上，
∴n=33n，
∴n＝1（負(fù)數(shù)舍去），
∴M（3，1），
故答案為（3，1）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，求得C的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
40．（2021?通遼）如圖，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…，△An﹣1AnBn都是斜邊在x軸上的等腰直角三角形，點(diǎn)A1，A2，A3，…，An都在x軸上，點(diǎn)B1，B2，B3，…，Bn都在反比例函數(shù)y=1x（x＞0）的圖象上，則點(diǎn)Bn的坐標(biāo)為（n?1+n，?n?1+n）．（用含有正整數(shù)n的式子表示）
【答案】（n?1+n，?n?1+n）．
【分析】由于△OA1B1是等腰直角三角形，可知直線OB1的解析式為y＝x，將它與y=1x聯(lián)立，求出方程組的解，得到點(diǎn)B1的坐標(biāo)，則A1的橫坐標(biāo)是B1的橫坐標(biāo)的兩倍，從而確定點(diǎn)A1的坐標(biāo)；由于△OA1B1，△A1A2B2都是等腰直角三角形，則A1B2∥OB1，直線A1B2可看作是直線OB1向右平移OA1個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，因而得到直線A1B2的解析式，同樣，將它與y=1x聯(lián)立，求出方程組的解，得到點(diǎn)B2的坐標(biāo)，則B2的橫坐標(biāo)是線段A1A2的中點(diǎn)，從而確定點(diǎn)A2的坐標(biāo)；依此類推，從而確定點(diǎn)A3的坐標(biāo)，即可求得點(diǎn)B3的坐標(biāo)，得出規(guī)律．
【解答】解：過(guò)B1作B1M1⊥x軸于M1，
易知M1（1，0）是OA1的中點(diǎn)，
∴A1（2，0）．
可得B1的坐標(biāo)為（1，1），
∴B1O的解析式為：y＝x，
∵B1O∥A1B2，
∴A1B2的表達(dá)式一次項(xiàng)系數(shù)與B1O的一次項(xiàng)系數(shù)相等，
將A1（2，0）代入y＝x+b，
∴b＝﹣2，
∴A1B2的表達(dá)式是y＝x﹣2，
與y=1x（x＞0）聯(lián)立，解得B2（1+2，﹣1+2）．
仿上，A2（22，0）．
B3（2+3，?2+3），
以此類推，點(diǎn)Bn的坐標(biāo)為（n?1+n，?n?1+n），
故答案為（n?1+n，?n?1+n）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問(wèn)題，屬于中考填空題中的壓軸題．
三．解答題（共20小題）
41．（2023?蘭州）如圖，反比例函數(shù)y=kx(x＜0)與一次函數(shù)y＝﹣2x+m的圖象交于點(diǎn)A（﹣1，4），BC⊥y軸于點(diǎn)D，分別交反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象于點(diǎn)B，C．
（1）求反比例函數(shù)y=kx與一次函數(shù)y＝﹣2x+m的表達(dá)式；
（2）當(dāng)OD＝1時(shí)，求線段BC的長(zhǎng)．
【答案】（1）反比例函數(shù)為y=?4x，一次函數(shù)為y＝﹣2x+2；
（2）BC＝412．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求解；
（2）由題意可知B、C的縱坐標(biāo)為1，即可求得B（﹣4，1），C（12，1），從而求得BC＝412．
【解答】解：（1）∵反比例函數(shù)y=kx(x＜0)與一次函數(shù)y＝﹣2x+m的圖象交于點(diǎn)A（﹣1，4），
∴4=k?1，4＝﹣2×（﹣1）+m，
∴k＝﹣4，m＝2，
∴反比例函數(shù)為y=?4x，一次函數(shù)為y＝﹣2x+2；
（2）∵BC⊥y軸于點(diǎn)D，
∴BC∥x軸，
∵OD＝1，
∴B、C的縱坐標(biāo)為1，
∴B（﹣4，1），C（12，1），
∴BC=12+4=412．
【點(diǎn)評(píng)】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．
42．（2023?常德）如圖所示，一次函數(shù)y1＝﹣x+m與反比例函數(shù)y2=kx相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（3，﹣1）．
（1）求m的值和反比例函數(shù)解析式；
（2）當(dāng)y1＞y2時(shí)，求x的取值范圍．
【答案】（1）m＝2，反比例函數(shù)的解析式為y2=?3x；
（2）x＜﹣1或0＜x＜3．
【分析】（1）把B（3，﹣1）分別代入一次函數(shù)y1＝﹣x+m與反比例函數(shù)y2=kx，即可求出m的值和反比例函數(shù)的解析式；
（2）先求出A點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)圖象即可得到y(tǒng)1＞y2時(shí)x的取值范圍．
【解答】解：（1）∵一次函數(shù)y1＝﹣x+m與反比例函數(shù)y2=kx相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（3，﹣1），
∴﹣1＝﹣3+m，﹣1=k3，
解得m＝2，k＝﹣3，
∴反比例函數(shù)的解析式為y2=?3x；
（2）解方程組y=?x+2y=?3x，得x=?1y=3或x=3y=?1，
∴A（﹣1，3），
觀察圖象可得，當(dāng)y1＞y2時(shí)，x的取值范圍為x＜﹣1或0＜x＜3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，把兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點(diǎn)，方程組無(wú)解，則兩者無(wú)交點(diǎn)．也考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，以及利用數(shù)形結(jié)合思想解不等式．
43．（2023?貴州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是矩形，反比例函數(shù)y=kx(x＞0)的圖象分別與AB，BC交于點(diǎn)D（4，1）和點(diǎn)E，且點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)．
（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式和點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）若一次函數(shù)y＝x+m與反比例函數(shù)y=kx(x＞0)的圖象相交于點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)M在反比例函數(shù)圖象上D，E之間的部分時(shí)（點(diǎn)M可與點(diǎn)D，E重合），直接寫出m的取值范圍．
【答案】（1）反比例函數(shù)解析式為y=4x，E（2，2）；
（2）m的取值范圍是﹣3≤m≤0．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求得反比例函數(shù)的解析式，由題意可知點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為2，代入反比例函數(shù)的解析式即可求得點(diǎn)E的橫坐標(biāo)；
（2）求得直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)D和點(diǎn)E的坐標(biāo)，即可求得m的取值．
【解答】解：（1）∵四邊形OABC是矩形，點(diǎn)D（4，1），且點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，
∴B（4，2），
∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為2，
∵反比例函數(shù)y=kx(x＞0)的圖象分別與AB，BC交于點(diǎn)D（4，1）和點(diǎn)E，
∴k＝4×1＝4，
∴反比例函數(shù)解析式為y=4x，
把y＝2代入得，2=4x，
解得x＝2，
∴E（2，2）；
（2）把D（4，1）代入y＝x+m得，1＝4+m，解得m＝﹣3，
把E（2，2）代入y＝x+m得，2＝2+m，解得m＝0，
∴m的取值范圍是﹣3≤m≤0．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，矩形的性質(zhì)，求得交點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
44．（2023?湘潭）如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，4），點(diǎn)C為OB中點(diǎn)．將△ABC繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A′BC′．
（1）反比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C′，求該反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）一次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)A、A′兩點(diǎn)，求該一次函數(shù)的表達(dá)式．
【答案】（1）反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=8x；
（2）該一次函數(shù)的表達(dá)式為y=17x+37．
【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出C′的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求得反比例函數(shù)的解析式；
（2）作A′H⊥y軸于H．證明△AOB≌△BHA′（AAS），推出OA＝BH，OB＝A′H，求出點(diǎn)A′坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可求得一次函數(shù)的解析式．
【解答】解：（1）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，4），點(diǎn)C為OB中點(diǎn)，
∴OA＝3，OB＝4，
∴BC＝2，
將△ABC繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A′BC′，
∴C′（2，4），
∵反比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C′，
∴k＝2×4＝8，
∴該反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=8x；
（2）作A′H⊥y軸于H．
∵∠AOB＝∠A′HB＝∠ABA′＝90°，
∴∠ABO+∠A′BH＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠BAO＝∠A′BH，
∵BA＝BA′，
∴△AOB≌△BHA′（AAS），
∴OA＝BH，OB＝A′H，
∵OA＝3，OB＝4，
∴BH＝OA＝3，A′H＝OB＝4，
∴OH＝1，
∴A′（4，1），
設(shè)一次函數(shù)的解析式為y＝ax+b，
把A（﹣3，0），A′（4，1）代入得，?3a+b=04a+b=1，
解得a=17b=37，
∴該一次函數(shù)的表達(dá)式為y=17x+37．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，坐標(biāo)與圖形的變化﹣旋轉(zhuǎn)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題．
45．（2023?東營(yíng)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝ax+b（a＜0）與反比例函數(shù)y=kx（k≠0）交于A（﹣m，3m），B（4，﹣3）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接OA，OB．
（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）求△AOB的面積；
（3）請(qǐng)根據(jù)圖象直接寫出不等式kx＜ax+b的解集．
【答案】（1）反比例函數(shù)的表達(dá)式為 y=?12x，一次函數(shù)的表達(dá)式為y=?32x+3；（2）9；（3）x＜﹣2或0＜x＜4．
【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得反比例函數(shù)解析式，根據(jù)圖象上的點(diǎn)滿足函數(shù)解析式，可得A點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法，可得一次函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)三角形面積的和差，可得答案；
（3）根據(jù)函數(shù)圖象，即可列出不等式的關(guān)系，從而得解．
【解答】解：（1）∵點(diǎn)B（4，﹣3）在反比例函數(shù) y=kx 的圖象上，
∴?3=k4．
∴k＝﹣12．
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為 y=?12x．
∵A（﹣m，3m）在反比例函數(shù) y=?12x 的圖象上，
∴3m=?12?m．
∴m1＝2，m2＝﹣2 （舍去）．
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，6）．
∵點(diǎn)A，B在一次函數(shù)y＝ax+b的圖象上，把點(diǎn) A（﹣2，6），B（4，﹣3）分別代入，得 ?2a+b=64a+b=?3，
∴a=?32b=3．
∴一次函數(shù)的表達(dá)式為y=?32x+3．
（2）∵點(diǎn)C為直線AB與y軸的交點(diǎn)，
∴OC＝3．
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC
=12?OC?|xA|+12?OC?|xB|
=12×3×2+12×3×4
＝9．
（3）由題意得，x＜﹣2或0＜x＜4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，利用了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，利用函數(shù)圖象解不等式．
46．（2023?菏澤）如圖，已知坐標(biāo)軸上兩點(diǎn)A（0，4），B（2，0），連接AB，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥AB，交反比例函數(shù)y=kx在第一象限的圖象于點(diǎn)C（a，1）．
（1）求反比例函數(shù)y=kx和直線OC的表達(dá)式；
（2）將直線OC向上平移32個(gè)單位，得到直線l，求直線l與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)．
【答案】（1）y=4x；y=14x；
（2）(?8，?12)或（2，2）．
【分析】（1）過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，先證△CBD∽△BAO，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，即可求出反比例函數(shù)的解析式和直線OC的解析式；
（2）先求出直線l的解析式，然后與反比例函數(shù)的解析式組成方程組，求出方程組的解即得出直線l與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)．
【解答】解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，
∴∠BDC＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠BDC＝∠AOB，
∵BC⊥AB，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBD＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠CBD＝∠BAO，
∴△CBD∽△BAO，
∴CDBO=BDAO，
∵A（0，4），B（2，0），C（a，1），
∴AO＝4，BO＝2，CD＝1，
∴12=BD4，
∴BD＝2，
∴OD＝BO+BD＝4，
∴a＝4，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（4，1），
∵反比例函數(shù)y=kx過(guò)點(diǎn)C，
∴k＝4×1＝4，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=4x；
設(shè)直線OC的解析式為y＝mx，
∵其圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（4，1），
∴4m＝1，
解得m=14，
∴直線OC的解析式為y=14x；
（2）將直線OC向上平移32個(gè)單位，得到直線l，
∴直線l的解析式為y=14x+32，
由題意得，y=14x+32y=4x，
解得x1=?8y1=?12，x2=2y2=2，
∴直線l與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為(?8，?12)或（2，2）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題，熟知反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)就是兩個(gè)解析式組成的方程組的解．
47．（2023?濟(jì)寧）如圖，正比例函數(shù)y1=12x和反比例函數(shù)y2=kx(x＞0)的圖象交于點(diǎn)A（m，2）．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）將直線OA向上平移3個(gè)單位后，與y軸交于點(diǎn)B，與y2=kx(x＞0)的圖象交于點(diǎn)C，連接AB，AC，求△ABC的面積．
?
【答案】（1）y2=8x；
（2）3．
【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)平移的性質(zhì)求得平移后直線的函數(shù)解析式，確定B點(diǎn)坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求直線AB的解析式，利用三角形面積公式列式計(jì)算．
【解答】解：（1）把A（m，2）代入 y1=12x 得：
12m=2，
解得m＝4，
∴A（4，2），
把A（4，2）代入 y2=kx(x＞0)得：
k4=2，
解得k＝8，
∴反比例函數(shù)的解析式為 y2=8x；
（2）過(guò)點(diǎn)C作CM⊥x軸于M，交AB于點(diǎn)N，如圖：
將直線OA向上平移3個(gè)單位后，其函數(shù)解析式為 y=12x+3，
當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，3），
設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為y＝mx+n，
將A（4，2），B（0，3）代入可得：
4m+n=2n=3，
解得：m=?14n=3，
∴直線AB的函數(shù)解析式為y=?14x+3，
聯(lián)立解析式得：y=12x+3y=8x
解得：x=2y=8，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4），
在y=?14x+3中，當(dāng) x＝2時(shí)，y=52，
∴CN＝4?52=32，
∴S△ABC=12×32×4＝3；
∴△ABC的面積為3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題是關(guān)鍵．
48．（2023?河南）小軍借助反比例函數(shù)圖象設(shè)計(jì)“魚(yú)形”圖案，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以反比例函數(shù)y=kx圖象上的點(diǎn)A(3，1) 和點(diǎn)B為頂點(diǎn)，分別作菱形AOCD和菱形OBEF，點(diǎn)D，E在x軸上，以點(diǎn)O為圓心，OA長(zhǎng)為半徑作AC，連接BF．
?（1）求k的值；
（2）求扇形AOC的半徑及圓心角的度數(shù)；
（3）請(qǐng)直接寫出圖中陰影部分面積之和．
【答案】（1）k=3；
（2）60°；
（3）33?23π．
【分析】（1將A（3，1）代入y=kx中即可求解；
（2）利用勾股定理求邊長(zhǎng)，再根據(jù)直角三角形中30度角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半求解出角度，最后根據(jù)菱形的性質(zhì)求解；
（3）先計(jì)算出S菱形AOCD＝23，再計(jì)算出扇形的面積，根據(jù)菱形的性質(zhì)及結(jié)合k的幾何意義可求出S△FBO=3，從而問(wèn)題即可解答．
【解答】解：（1）將A（3，1）代入到y(tǒng)=kx中，
得：1=k3，
解得：k=3；
（2）過(guò)點(diǎn)A作OD 的垂線，交x軸于G，
∵A（3，1），
∴AG＝1，OG=3，
OA=(3)2+12=2，
∴半徑為2；
∵AG=12OA，
∴∠AOG＝30°，
由菱形的性質(zhì)可知，∠AOG＝∠COG＝60°，
∴∠AOC＝60°，
∴圓心角的度數(shù)為：60°；
（3）∵OD＝2OG＝23，
∴S菱形AOCD＝AG×OD＝23，
∴S扇形AOC=16×π×r2=2π3，
在菱形OBEF中，S△FHO＝S△BHO，
∵S△FHO=k2=32，
∴S△FBO＝2×32=3，
∴S陰影＝S△FBO+S菱形AOCD﹣S扇形AOC=3+23?23π＝33?23π．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查反比例函數(shù)及k的幾何意義，菱形的性質(zhì)，圓心角與弧的關(guān)系等，正確k的幾何意義是解題關(guān)鍵．
49．（2023?聊城）如圖，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=mx的圖象相交于A（﹣1，4），B（a，﹣1）兩點(diǎn)．
（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)p（n，0）在x軸負(fù)半軸上，連接AP，過(guò)點(diǎn)B作BQ∥AP，交y=mx的圖象于點(diǎn)Q，連接PQ．當(dāng)BQ＝AP時(shí)，若四邊形APQB的面積為36，求n的值．
【答案】（1）反比例函數(shù)為y=?4x，B（4，﹣1），一次函數(shù)為y＝﹣x+3；
（2）n=?215．
【分析】（1）根據(jù)反比例函數(shù)過(guò)A（﹣1，4），B（a，﹣1），求得B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求得反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）證得四邊形APQB是平行四邊形，根據(jù)平移的思想得到Q點(diǎn)的坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)解析式即可求得n的值．
【解答】解：（1）反比例函數(shù)y=mx的圖象過(guò)A（﹣1，4），B（a，﹣1）兩點(diǎn)，
∴m＝﹣1×4＝a?（﹣1），
∴m＝﹣4，a＝4，
∴反比例函數(shù)為y=?4x，B（4，﹣1），
把A、B的坐標(biāo)代入y＝kx+b得4k+b=?1?k+b=4，
解得k=?1b=3，
∴一次函數(shù)為y＝﹣x+3；
（2）∵A（﹣1，4），B（4，﹣1），P（n，0），BQ∥AP，BQ＝AP，
∴四邊形APQB是平行四邊形，
∴點(diǎn)A向左平移﹣1﹣n個(gè)單位，向下平移4個(gè)單位得到P，
∴點(diǎn)B（4，﹣1）向左平移﹣1﹣n個(gè)單位，向下平移4個(gè)單位得到Q（5+n，﹣5），
∵點(diǎn)Q在y=?4x上，
∴5+n=45，
解得n=?215，
∴Q（45，﹣5），
連接AQ，交x軸于點(diǎn)C，
設(shè)直線AQ為y＝k′x+b′，
則?k'+b'=445k'+b'=?5，解得k'=?5b'=?1，
∴直線AQ為y＝﹣5x﹣1，
令y＝0，則x=?15，
∴C（?15，0），
∴PC=?15+215=4，
∴S△APQ＝S△APC+S△QPC=12×4×（4+5）＝18，
∴四邊形APQB的面積為36，
故n=?215符合題意．
【點(diǎn)評(píng)】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，平移的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，不是出Q點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
50．（2023?岳陽(yáng)）如圖，反比例函數(shù)y=kx（k為常數(shù)，k≠0）與正比例函數(shù)y＝mx（m為常數(shù)，m≠0）的圖象交于A（1，2），B兩點(diǎn)．
（1）求反比例函數(shù)和正比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若y軸上有一點(diǎn)C（0，n），△ABC的面積為4，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．
【答案】（1）y=2x，y＝2x；（2）（0，4）或（0，﹣4）．
【分析】（1）分別將點(diǎn)A（1，2）反比例函數(shù)和正比例函數(shù)的解析式即可得出答案；
（2）先求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)A，B分別作y軸的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，然后根據(jù)點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)表示出AE，BF，OC，最后再根據(jù)S△ABC＝S△AOC+S△BOC＝4即可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）將點(diǎn)A（1，2）代入y=kx，得：k＝2，
∴反比例函數(shù)的解析式為：y=2x，
將點(diǎn)A（1，2）代入y＝mx，得：m＝2，
∴正比例函數(shù)的解析式為：y＝2x．
（2）解方程組y=2xy=2x，得：x1=1y1=2，x2=?1y2=?2，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣1，﹣2），
過(guò)點(diǎn)A，B分別作y軸的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，
∵A（1，2），B（﹣1，﹣2），C（0，n），
∴AE＝BF＝1，OC＝|n|，
∵S△ABC＝S△AOC+S△BOC＝4，
∴12OC?AE+12OC?BF=4，
即：|n|×1+|n×1＝8，
∴|n|＝4，
∴n＝±4，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4）或（0，﹣4）．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，難點(diǎn)是在解答（2）時(shí)，過(guò)點(diǎn)A，B向y軸作垂線，把△ABC的面積轉(zhuǎn)化為△AOC和△BOC的面積之和，漏解是解答此題的易錯(cuò)點(diǎn)．
51．（2023?濱州）如圖，直線y＝kx+b（k，b為常數(shù)）與雙曲線y=mx(m為常數(shù)）相交于A（2，a），B（﹣1，2）兩點(diǎn)．
（1）求直線y＝kx+b的解析式；
（2）在雙曲線y=mx上任取兩點(diǎn)M（x1，y1）和N（x2，y2），若x1＜x2，試確定y1和y2的大小關(guān)系，并寫出判斷過(guò)程；
（3）請(qǐng)直接寫出關(guān)于x的不等式kx+b＞mx的解集．
【答案】（1）y＝﹣x+1；（2）①M(fèi)、N在雙曲線的同一支上，當(dāng)x1＜x2時(shí)，y1＜y2；②M、N在雙曲線的不同的一支上，當(dāng)x1＜x2時(shí)，y1＞y2；（3）x＜﹣1或0＜x＜2．
【分析】（1）依據(jù)題意，將B點(diǎn)代入雙曲線解析式可求得m，再將A點(diǎn)代入求出a，最后由A、B兩點(diǎn)代入直線解析式可以得解；
（2）由題意，分成兩種情形：一種是M、N在雙曲線的同一支上，一種是M、N在雙曲線的兩一支上，然后根據(jù)圖象可以得解；
（3）依據(jù)圖象，由一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值可以得解．
【解答】解：（1）由題意，將B點(diǎn)代入雙曲線解析式y(tǒng)=mx，
∴2=m?1．
∴m＝﹣2．
∴雙曲線為y=?2x．
又A（2，a）在雙曲線上，
∴a＝﹣1．
∴A（2，﹣1）．
將A、B代入一次函數(shù)解析式得2k+b=?1?k+b=2，
∴k=?1b=1．
∴直線y＝kx+b的解析式為y＝﹣x+1．
（2）由題意，可分成兩種情形．
①M(fèi)、N在雙曲線的同一支上，
由雙曲線y=?2x，在同一支上時(shí)函數(shù)值隨x的增大而增大，
∴當(dāng)x1＜x2時(shí)，y1＜y2．
②M、N在雙曲線的不同的一支上，
∵x1＜x2，
∴x1＜0＜x2．
∴此時(shí)由圖象可得y1＞0＞y2，
即此時(shí)當(dāng)x1＜x2時(shí)，y1＞y2．
（3）依據(jù)圖象，kx+b＞mx即一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值，
∵A（2，﹣1），B（﹣1，2），
∴不等式kx+b＞mx的解集為：x＜﹣1或0＜x＜2．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)的性質(zhì)，解不等式．利用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．
52．（2023?十堰）函數(shù)y=kx+a的圖象可以由函數(shù)y=kx的圖象左右平移得到．
（1）將函數(shù)y=1x的圖象向右平移4個(gè)單位得到函數(shù)y=1x+a的圖象，則a＝ ﹣4 ；
（2）下列關(guān)于函數(shù)y=1x+a的性質(zhì)：①圖象關(guān)于點(diǎn)（﹣a，0）對(duì)稱；②y隨x的增大而減小；③圖象關(guān)于直線y＝﹣x+a對(duì)稱；④y的取值范圍為y≠0．其中說(shuō)法正確的是 ①④ （填寫序號(hào)）；
（3）根據(jù)（1）中a的值，寫出不等式1x+a＞1x的解集．
【答案】（1）﹣4；
（2）①④；
（3）x＞4或x＜0．
【分析】（1）利用左加右減的平移規(guī)律即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)平移的性質(zhì)結(jié)合函數(shù)y=1x的性質(zhì)判斷即可；
（3）根據(jù)圖象即可求得．
【解答】解：（1）將函數(shù)y=1x的圖象向右平移4個(gè)單位得到函數(shù)y=1x?4的圖象，則a＝﹣4；
故答案為：﹣4；
（2）函數(shù)y=1x向左平移a個(gè)單位得到函數(shù)y=1x+a的圖象，
①圖象關(guān)于點(diǎn)（﹣a，0）對(duì)稱，正確；
②y隨x的增大而減小，錯(cuò)誤；
③圖象關(guān)于直線y＝﹣x+a對(duì)稱，錯(cuò)誤；
④y的取值范圍為y≠0，正確．
其中說(shuō)法正確的是①④；
故答案為：①④；
（3）觀察圖象，不等式1x+a＞1x的解集為x＞4或x＜0．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)，反比例函數(shù)圖象與幾何變換，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
53．（2023?湖北）如圖，一次函數(shù)y1＝kx+b（k≠0）與函數(shù)為y2=mx(x＞0)的圖象交于A(4，1)，B(12，a)兩點(diǎn)．
（1）求這兩個(gè)函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)圖象，直接寫出滿足y1﹣y2＞0時(shí)x的取值范圍；
（3）點(diǎn)P在線段AB上，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為M，交函數(shù)y2的圖象于點(diǎn)Q，若△POQ面積為3，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【答案】（1）y1＝﹣2x+9，y2=4x；（2）12＜x＜4；（3）P（52，4）或（2，5）．
【分析】（1）將A點(diǎn)坐標(biāo)代入即可得出反比例函數(shù)y2=mx（x＞0），求得函數(shù)的解析式，進(jìn)而求得B的坐標(biāo)，再將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入y1＝kx+b，可用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式；
（2）由題意即求y1＞y2的x的取值范圍，由函數(shù)的圖象即可得出反比例函數(shù)的值小于一次函數(shù)值的x的取值范圍；
（3）由題意，設(shè)P（p，﹣2p+9）且12≤p≤4，則Q（p，4p），求得PQ＝﹣2p+9?4p，根據(jù)三角形面積公式得到S△POQ=12（﹣2p+9?4p）?p＝3，解得即可．
【解答】解：（1）∵反比例函數(shù)y2=mx（x＞0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（4，1），
∴1=m4．
∴m＝4．
∴反比例函數(shù)解析式為y2=4x（x＞0）．
把B（12，a）代入y2=4x（x＞0），得a＝8．
∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（12，8），
∵一次函數(shù)解析式y(tǒng)1＝kx+b，經(jīng)過(guò)A（4，1），B（12，8），
∴4k+b=112k+b=8．
∴k=?2b=9．
故一次函數(shù)解析式為：y1＝﹣2x+9．
（2）由y1﹣y2＞0，
∴y1＞y2，即反比例函數(shù)值小于一次函數(shù)值．
由圖象可得，12＜x＜4．
（3）由題意，設(shè)P（p，﹣2p+9）且12≤p≤4，
∴Q（p，4p）．
∴PQ＝﹣2p+9?4p．
∴S△POQ=12（﹣2p+9?4p）?p＝3．
解得p1=52，p2＝2．
∴P（52，4）或（2，5）．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
54．（2023?內(nèi)江）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝mx+n與反比例函數(shù)y=kx的圖象在第一象限內(nèi)交于A（a，4）和B（4，2）兩點(diǎn)，直線AB與x軸相交于點(diǎn)C，連接OA．
（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）當(dāng)x＞0時(shí)，請(qǐng)結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出關(guān)于x的不等式mx+n≥kx的解集；
（3）過(guò)點(diǎn)B作BD平行于x軸，交OA于點(diǎn)D，求梯形OCBD的面積．
【答案】（1）反比例函數(shù)為y=8x，一次函數(shù)為y＝﹣x+6；
（2）2≤x≤4；
（3）9．
【分析】（1）利用B（4，2）可得反比例函數(shù)為 y=8x，再求得A（2，4），用待定系數(shù)法可得一次函數(shù)的解析式即可；
（2）由一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)圖象的上方，結(jié)合x(chóng)＞0可得答案；
（3）求出OA的解析式y(tǒng)＝2x，由B（4，2），可得D（1，2），BD＝4﹣1＝3，由y＝﹣x+6，得C（6，0），OC＝6，再利用梯形的面積公式列式計(jì)算即可．
【解答】解：（1）∵反比例函數(shù) y=kx 過(guò)B（4，2），
∴k＝4×2＝8，
∴反比例函數(shù)為：y=8x，
把A（a，4）代入 y=8x 得：a=84=2，
∴A（2，4），
∴4m+n=22m+n=4，
解得：m=?1n=6，
∴一次函數(shù)為y＝﹣x+6；
（2）觀察函數(shù)圖象可得，當(dāng)x＞0時(shí)，﹣x+6≥8x的解集為：2≤x≤4；
（3）∵A（2，4），
∴直線OA的解析式為：y＝2x，
∵過(guò)點(diǎn)B（4，2）作BD平行于x軸，交OA于點(diǎn)D，
∴D（1，2），
∴BD＝4﹣1＝3，
在y＝﹣x+6中，令y＝0得x＝6，即
∴C（6，0），
∴OC＝6，
∵12(3+6)×2=9，
∴梯形OCBD的面積為9．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式，利用圖象解不等式，坐標(biāo)與圖形面積，熟練的利用數(shù)形結(jié)合思想解題是解題的關(guān)鍵．
55．（2023?衡陽(yáng)）如圖，正比例函數(shù)y=43x的圖象與反比例函數(shù)y=12x（x＞0）的圖象相交于點(diǎn)A．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)．
（2）分別以點(diǎn)O、A為圓心，大于OA一半的長(zhǎng)為半徑作圓弧，兩弧相交于點(diǎn)B和點(diǎn)C，作直線BC，交x軸于點(diǎn)D．求線段OD的長(zhǎng)．
【答案】（1）（3，4）；（2）256．
【分析】（1）將正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式聯(lián)立，組成方程組，解方程組即可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，0）．根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出AD＝OD，依此列出方程（x﹣3）2+42＝x2，解方程即可．
【解答】解：（1）解方程組y=43xy=12x（x＞0），
得x=3y=4，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，4）；
（2）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，0）．
由題意可知，BC是OA的垂直平分線，
∴AD＝OD，
∴（x﹣3）2+42＝x2，
∴x=256，
∴D（256，0），OD=256．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，把兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點(diǎn)，方程組無(wú)解，則兩者無(wú)交點(diǎn)．也考查了線段垂直平分線的性質(zhì)．
56．（2023?株洲）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，四邊形OABC為正方形，其中點(diǎn)A、C分別在x軸負(fù)半軸，y軸負(fù)半軸上，點(diǎn)B在第三象限內(nèi)，點(diǎn)A（t，0），點(diǎn)P（1，2）在函數(shù)y=kx(k＞0，x＞0) 的圖象上．
（1）求k的值；
（2）連接BP、CP，記△BCP的面積為S，設(shè)T＝2S﹣2t2，求T的最大值．
【答案】（1）k＝2；
（2）Tmx＝1．
【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)P（1，2）在函數(shù)y=kx(k＞0，x＞0) 的圖象上，代入即可得到k的值；
（2）根據(jù)點(diǎn)A（t，0）在x軸負(fù)半軸上得到OA＝﹣t，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到OC＝BC＝OA＝﹣t，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解答】解：（1）∵點(diǎn)P（1，2）在函數(shù)y=kx(k＞0，x＞0) 的圖象上，
∴2=k1，
∴k＝2，
即k的值為2；
（2）∵點(diǎn)A（t，0）在x軸負(fù)半軸上，
∴OA＝﹣t，
∵四邊形OABC為正方形，
∴OC＝BC＝OA＝﹣t，BC∥x軸，
∴△BCP的面積為S=12×（﹣t）×（2﹣t）=12t2﹣t，
∴T＝2S﹣2t2＝2（12t2﹣t）﹣2t2＝﹣t2﹣2t＝﹣（t+1）2+1，
∵﹣1＜0，
∴拋物線開(kāi)口向下，
∴當(dāng)t＝﹣1時(shí)，T有最大值，T的最大值是1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
57．（2022?營(yíng)口）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△OAC的邊OC在y軸上，反比例函數(shù)y=kx（x＞0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)B（2，6），且點(diǎn)B為AC的中點(diǎn)．
（1）求k的值和點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）求△OAC的周長(zhǎng)．
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【分析】（1）把點(diǎn)B（2，6）代入反比例函數(shù)的關(guān)系式可求出k的值，利用相似三角形的性質(zhì)可求出A的坐標(biāo)，進(jìn)而得出點(diǎn)C坐標(biāo)；
（2）利用勾股定理求出OA、AC的長(zhǎng)即可．
【解答】解：把點(diǎn)B（2，6）代入反比例函數(shù)y=kx得，
k＝2×6＝12；
如圖，過(guò)點(diǎn)A、B分別作y軸的垂線，垂足為D、E，則OE＝6，BE＝2，
∵BE⊥CD，AD⊥CD，
∴AD∥BE，
又∵B為AC的中點(diǎn)．
∴AD＝2BE＝4，CE＝DE，
把x＝4代入反比例函數(shù)y=12x得，
y＝12÷4＝3，
∴點(diǎn)A（4，3），即OD＝3，
∴DE＝OE﹣OD＝6﹣3＝3＝CE，
∴OC＝9，
即點(diǎn)C（0，9），
答：k＝12，C（0，9）；
（2）在Rt△AOD中，
OA=OD2+AD2=32+42=5，
在Rt△ADC中，
AC=AD2+DC2=42+62=213，
∴△AOC的周長(zhǎng)為：213+5+9＝213+14．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，直角三角形的邊角關(guān)系以及相似三角形的性質(zhì)，掌握勾股定理，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及相似三角形的性質(zhì)是正確解答的前提．
58．（2022?蘭州）如圖，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=kx（x＞0）的圖象上，AB⊥x軸，垂足為B（3，0），過(guò)C（5，0）作CD⊥x軸，交過(guò)B點(diǎn)的一次函數(shù)y=32x+b的圖象于D點(diǎn)，交反比例函數(shù)的圖象于E點(diǎn)，S△AOB＝3．
（1）求反比例函數(shù)y=kx（x＞0）和一次函數(shù)y=32x+b的表達(dá)式；
（2）求DE的長(zhǎng)．
【答案】（1）反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=6x，一次函數(shù)的表達(dá)式為y=32x?92；
（2）DE=95．
【分析】（1）利用反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義即可求得k的值，把B的坐標(biāo)代入y=32x+b即可求得b的值，從而求得反比例和一次函數(shù)的解析式；
（2）利用兩個(gè)函數(shù)的解析式求得D、E的坐標(biāo)，進(jìn)一步即可求得DE的長(zhǎng)度．
【解答】解：（1）∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=kx（x＞0）的圖象上，AB⊥x軸，
∴S△AOB=12|k|＝3，
∴k＝6，
∴反比例函數(shù)為y=6x，
∵一次函數(shù)y=32x+b的圖象過(guò)點(diǎn)B（3，0），
∴32×3+b＝0，解得b=?92，
∴一次函數(shù)為y=32x?92；
（2）∵過(guò)C（5，0）作CD⊥x軸，交過(guò)B點(diǎn)的一次函數(shù)y=32x+b的圖象于D點(diǎn)，
∴當(dāng)x＝5時(shí)y=6x=65；y=32x?92=3，
∴E（5，65），D（5，3），
∴DE＝3?65=95．
【點(diǎn)評(píng)】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，反比例函數(shù)、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，求得函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．
59．（2021?內(nèi)江）如圖，一次函數(shù)y＝k1x+b的圖象與反比例函數(shù)y=k2x的圖象相交于A（1，2）、B（﹣2，n）兩點(diǎn)．
（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)圖象，直接寫出滿足k1x+b＞k2x的x的取值范圍；
（3）若點(diǎn)P在線段AB上，且S△AOP：S△BOP＝1：4，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【分析】（1）把A的坐標(biāo)代入y=k2x即可求得k2，得到反比例函數(shù)的解析式，再把B（﹣2，n）代入反比例函數(shù)的解析式即可求得n的值，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得一次函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)圖象即可求得；
（3）設(shè)P（x，x+1），利用三角形面積公式得到AP：PB＝1：4，即PB＝4PA，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式得到（x+2）2+（x+1+1）2＝16[（x﹣1）2+（x+1﹣2）2]，然后解方程求出x即可得到P點(diǎn)坐標(biāo)．
【解答】解：（1）∵反比例函數(shù)y=k2x經(jīng)過(guò)A（1，2），
∴k2＝1×2＝2，
∴反比例函數(shù)解析式為y=2x，
∵B（﹣2，n）在反比例函數(shù)y=2x的圖象上，
∴n=2?2=?1，
∴B（﹣2，﹣1），
∵直線y＝k1x+b經(jīng)過(guò)A（1，2），B（﹣2，﹣1），
∴k1+b=2?2k1+b=?1，解得k1=1b=1，
∴一次函數(shù)的解析式為y＝x+1；
（2）觀察圖象，k1x+b＞k2x的x的取值范圍是﹣2＜x＜0或x＞1；
（3）設(shè)P（x，x+1），
∵S△AOP：S△BOP＝1：4，
∴AP：PB＝1：4，
即PB＝4PA，
∴（x+2）2+（x+1+1）2＝16[（x﹣1）2+（x+1﹣2）2]，
解得x1=25，x2＝2（舍去），
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（25，75）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，把兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點(diǎn)，方程組無(wú)解，則兩者無(wú)交點(diǎn)．也考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．
60．（2021?湖北）如圖，反比例函數(shù)y=kx的圖象與一次函數(shù)y＝mx+n的圖象相交于A（a，﹣1），B（﹣1，3）兩點(diǎn)．
（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)直線AB交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)N（t，0）是x軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N作NM⊥x軸交反比例函數(shù)y=kx的圖象于點(diǎn)M，連接CN，OM．若S四邊形COMN＞3，求t的取值范圍．
【答案】（1）反比例函數(shù)的解析式為y=?3x，一次函數(shù)解析式為y＝﹣x+2；
（2）t＞32．
【分析】（1）將點(diǎn)B，點(diǎn)A坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式，可求a和k的值，利用待定系數(shù)法可求一次函數(shù)解析式；
（2）先求出點(diǎn)C坐標(biāo)，由面積關(guān)系可求解．
【解答】解：（1）∵反比例函數(shù)y=kx的圖象與一次函數(shù)y＝mx+n的圖象相交于A（a，﹣1），B（﹣1，3）兩點(diǎn)，
∴k＝﹣1×3＝a×（﹣1），
∴k＝﹣3，a＝3，
∴點(diǎn)A（3，﹣1），反比例函數(shù)的解析式為y=?3x，
由題意可得：3=?m+n?1=3m+n，
解得：m=?1n=2，
∴一次函數(shù)解析式為y＝﹣x+2；
（2）∵直線AB交y軸于點(diǎn)C，
∴點(diǎn)C（0，2），
∴S四邊形COMN＝S△OMN+S△OCN=32+12×2×t，
∵S四邊形COMN＞3，
∴32+12×2×t＞3，
∴t＞32．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，考查了利用待定系數(shù)法求解析式，反比例函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，求出兩個(gè)解析式是解題的關(guān)鍵．

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