專題32圖形的相似（優(yōu)選真題60道）-三年（2021-2023）中考數(shù)學(xué)真題分項(xiàng)匯編【全國(guó)通用】-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．（2023?恩施州）如圖，在△ABC中，DE∥BC分別交AC，AB于點(diǎn)D，E，EF∥AC交BC于點(diǎn)F，AEBE=25，BF＝8，則DE的長(zhǎng)為（）
A．165B．167C．2D．3
2．（2023?泰安）如圖，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠A＝36°．以點(diǎn)B為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，交AB于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G，分別以點(diǎn)F和點(diǎn)G為圓心，大于12FG的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)H，作射線BH交AC于點(diǎn)D；分別以點(diǎn)B和點(diǎn)D為圓心，大于12BD的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于M、N兩點(diǎn)，作直線MN交AB于點(diǎn)E，連接DE．下列四個(gè)結(jié)論：①∠AED＝∠ABC；②BC＝AE；③ED=12BC；④當(dāng)AC＝2時(shí)，AD=5?1．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）
A．1B．2C．3D．4
3．（2023?威海）如圖，四邊形ABCD是一張矩形紙片．將其按如圖所示的方式折疊：使DA邊落在DC邊上，點(diǎn)A落在點(diǎn)H處，折痕為DE；使CB邊落在CD邊上，點(diǎn)B落在點(diǎn)G處，折痕為CF．若矩形HEFG與原矩形ABCD相似，AD＝1，則CD的長(zhǎng)為（）
A．2?1B．5?1C．2+1D．5+1
4．（2023?吉林）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC，交AC點(diǎn)E．若AD＝2，BD＝3，則AEAC的值是（）
A．25B．12C．35D．23
5．（2023?徐州）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，D為AB的中點(diǎn)．若點(diǎn)E在邊AC上，且ADAB=DEBC，則AE的長(zhǎng)為（）
A．1B．2C．1或32D．1或2
6．（2015?銅仁市）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在邊DC上，DE：EC＝3：1，連接AE交BD于點(diǎn)F，則△DEF的面積與△BAF的面積之比為（）
A．3：4B．9：16C．9：1D．3：1
7．（2023?東營(yíng)）如圖，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AB上，∠ADE＝60°．若BD＝4DC，DE＝2.4，則AD的長(zhǎng)為（）
A．1.8B．2.4C．3D．3.2
8．（2023?東營(yíng)）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊DC，BC上，且BF＝CE，AE平分∠CAD，連接DF，分別交AE，AC于點(diǎn)G，M．P是線段AG上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥AC，垂足為N，連接PM．有下列四個(gè)結(jié)論：
①AE垂直平分DM；
②PM+PN的最小值為32；
③CF2＝GE?AE；
④S△ADM＝62．
其中正確的是（）
A．①②B．②③④C．①③④D．①③
9．（2023?綏化）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為邊CD的中點(diǎn)，連接AE，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AE于點(diǎn)F，連接BD交AE于點(diǎn)G，F(xiàn)H平分∠BFG交BD于點(diǎn)H．則下列結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)為（）
①AB2＝BF?AE
②S△BGF：S△BAF＝2：3
③當(dāng)AB＝a時(shí)，BD2﹣BD?HD＝a2
A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)
10．（2023?紹興）如圖，在△ABC中，D是邊BC上的點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合）．過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB交AC于點(diǎn)E；過(guò)點(diǎn)D作DF∥AC交AB于點(diǎn)F、N是線段BF上的點(diǎn)，BN＝2NF：M是線段DE上的點(diǎn)，DM＝2ME．若已知△CMN的面積，則一定能求出（）
A．△AFE的面積B．△BDF的面積C．△BCN的面積D．△DCE的面積
11．（2023?煙臺(tái)）如圖，在直角坐標(biāo)系中，每個(gè)網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度，以點(diǎn)P為位似中心作正方形PA1A2A3，正方形PA4A5A6，…，按此規(guī)律作下去，所作正方形的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，其中正方形PA1A2A3的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為P（﹣3，0），A1（﹣2，1），A2（﹣1，0），A3（﹣2，﹣1），則頂點(diǎn)A100的坐標(biāo)為（）
A．（31，34）B．（31，﹣34）C．（32，35）D．（32，0）
12．（2023?南充）如圖，數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，為測(cè)量學(xué)校旗桿高度，小菲同學(xué)在腳下水平放置一平面鏡，然后向后退（保持腳、鏡和旗桿底端在同一直線上），直到她剛好在鏡子中看到旗桿的頂端．已知小菲的眼睛離地面高度為1.6m，同時(shí)量得小菲與鏡子的水平距離為2m，鏡子與旗桿的水平距離為10m，則旗桿高度為（）
A．6.4mB．8mC．9.6mD．12.5m
13．（2022?衡陽(yáng)）在設(shè)計(jì)人體雕像時(shí)，使雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，可以增加視覺(jué)美感．如圖，按此比例設(shè)計(jì)一座高度為2m的雷鋒雕像，那么該雕像的下部設(shè)計(jì)高度約是（結(jié)果精確到0.01m．參考數(shù)據(jù)：2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236）（）
A．0.73mB．1.24mC．1.37mD．1.42m
14．（2022?攀枝花）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，點(diǎn)E、F分別為BC、CD的中點(diǎn)，BF、DE相交于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)E作EH∥CD，交BF于點(diǎn)H，則線段GH的長(zhǎng)度是（）
A．56B．1C．54D．53
15．（2022?揚(yáng)州）如圖，在△ABC中，AB＜AC，將△ABC以點(diǎn)A為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，點(diǎn)D在BC邊上，DE交AC于點(diǎn)F．下列結(jié)論：①△AFE∽△DFC；②DA平分∠BDE；③∠CDF＝∠BAD，其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
16．（2022?連云港）如圖，將矩形ABCD沿著GE、EC、GF翻折，使得點(diǎn)A、B、D恰好都落在點(diǎn)O處，且點(diǎn)G、O、C在同一條直線上，同時(shí)點(diǎn)E、O、F在另一條直線上．小煒同學(xué)得出以下結(jié)論：①GF∥EC；②AB=435AD；③GE=6DF；④OC＝22OF；⑤△COF∽△CEG．其中正確的是（）
A．①②③B．①③④C．①④⑤D．②③④
17．（2022?威海）由12個(gè)有公共頂點(diǎn)O的直角三角形拼成如圖所示的圖形，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°．若S△AOB＝1，則圖中與△AOB位似的三角形的面積為（）
A．（43）3B．（43）7C．（43）6D．（34）6
18．（2022?眉山）如圖，四邊形ABCD為正方形，將△EDC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△HBC，點(diǎn)D，B，H在同一直線上，HE與AB交于點(diǎn)G，延長(zhǎng)HE與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，HB＝2，HG＝3．以下結(jié)論：①∠EDC＝135°；②EC2＝CD?CF；③HG＝EF；④sin∠CED=23．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
19．（2022?濰坊）秦兵馬俑的發(fā)現(xiàn)被譽(yù)為“世界第八大奇跡”，兵馬俑的眼睛到下巴的距離與頭頂?shù)较掳偷木嚯x之比約為5?12，下列估算正確的是（）
A．0＜5?12＜25B．25＜5?12＜12C．12＜5?12＜1D．5?12＞1
20．（2022?黑龍江）如圖，正方形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)F是CD上一點(diǎn)，OE⊥OF交BC于點(diǎn)E，連接AE，BF交于點(diǎn)P，連接OP．則下列結(jié)論：①AE⊥BF；②∠OPA＝45°；③AP﹣BP=2OP；④若BE：CE＝2：3，則tan∠CAE=47；⑤四邊形OECF的面積是正方形ABCD面積的14．其中正確的結(jié)論是（）
A．①②④⑤B．①②③⑤C．①②③④D．①③④⑤
二．填空題（共20小題）
21．（2023?大慶）在綜合與實(shí)踐課上，老師組織同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)．有一張矩形紙片ABCD如圖所示，點(diǎn)N在邊AD上，現(xiàn)將矩形折疊，折痕為BN，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的點(diǎn)記為點(diǎn)M，若點(diǎn)M恰好落在邊DC上，則圖中與△NDM一定相似的三角形是．
22．（2023?牡丹江）如圖，在正方形ABCD中，E在邊CD上，BE交對(duì)角線AC于點(diǎn)F，CM⊥BE于M，∠CME的平分線所在直線分別交CD，AC于點(diǎn)N，P，連接FN．
下列結(jié)論：①S△NPF：S△NPC＝FM：MC；②CM＝PN；③EN?CD＝EC?CF；④若EM＝1，MB＝4，則PM=2．其中正確的是．
23．（2023?北京）如圖，直線AD，BC交于點(diǎn)O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，F(xiàn)D＝2，則BEEC的值為．
24．（2023?日照）如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，點(diǎn)P在對(duì)角線BD上，過(guò)點(diǎn)P作MN⊥BD，交邊AD，BC于點(diǎn)M，N，過(guò)點(diǎn)M作ME⊥AD交BD于點(diǎn)E，連接EN，BM，DN．下列結(jié)論：
①EM＝EN；
②四邊形MBND的面積不變；
③當(dāng)AM：MD＝1：2時(shí)，S△MPE=9625；
④BM+MN+ND的最小值是20．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．
25．（2023?鄂州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC與△A1B1C1位似，原點(diǎn)O是位似中心，且ABA1B1=3．若A（9，3），則A1點(diǎn)的坐標(biāo)是．
26．（2023?鄂州）2002年的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)在中國(guó)北京舉行，這是21世紀(jì)全世界數(shù)學(xué)家的第一次大聚會(huì)．這次大會(huì)的會(huì)徽選定了我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽用來(lái)證明勾股定理的弦圖，世人稱之為“趙爽弦圖”．如圖，用四個(gè)全等的直角三角形（Rt△AHB≌Rt△BEC≌Rt△CFD≌Rt△DGA）拼成“趙爽弦圖”，得到正方形ABCD與正方形EFGH，連接AC和EG，AC與DF、EG、BH分別相交于點(diǎn)P、O、Q，若BE：EQ＝3：2，則OPOE的值是．
27．（2023?遼寧）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是O（0，0），A（1，0），B（2，3），C（﹣1，2），若四邊形OA′B′C′與四邊形OABC關(guān)于原點(diǎn)O位似，且四邊形OA′B′C′的面積是四邊形OABC面積的4倍，則第一象限內(nèi)點(diǎn)B′的坐標(biāo)為．
28．如圖1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一點(diǎn)，且AD＝2，過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC交AC于E，將△ADE繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置．則圖2中BDCE的值為．
29．（2023?綏化）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC與△AB′C′的相似比為1：2，點(diǎn)A是位似中心，已知點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)C（a，b），∠C＝90°．則點(diǎn)C′的坐標(biāo)為 .（結(jié)果用含a，b的式子表示）
30．（2023?杭州）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊AB，BC，CA上，連接DE，EF，F(xiàn)D，已知點(diǎn)B和點(diǎn)F關(guān)于直線DE對(duì)稱．設(shè)BCAB=k，若AD＝DF，則CFFA= （結(jié)果用含k的代數(shù)式表示）．
31．（2023?達(dá)州）如圖，樂(lè)器上的一根弦AB＝80cm，兩個(gè)端點(diǎn)A，B固定在樂(lè)器面板上，支撐點(diǎn)C是靠近點(diǎn)B的黃金分割點(diǎn)，支撐點(diǎn)D是靠近點(diǎn)A的黃金分割點(diǎn)，則支撐點(diǎn)C，D之間的距離為 cm．（結(jié)果保留根號(hào)）
?
32．（2022?阜新）如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊上一點(diǎn)，且AE＝2DE，BD與CE相交于點(diǎn)F，若△DEF的面積是3，則△BCF的面積是．
33．（2022?陜西）在20世紀(jì)70年代，我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授將黃金分割法作為一種“優(yōu)選法”，在全國(guó)大規(guī)模推廣，取得了很大成果．如圖，利用黃金分割法，所作EF將矩形窗框ABCD分為上下兩部分，其中E為邊AB的黃金分割點(diǎn)，即BE2＝AE?AB．已知AB為2米，則線段BE的長(zhǎng)為米．
34．（2022?東營(yíng)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)F、G在BC上，點(diǎn)E、H分別在AB、AC上，四邊形EFGH是矩形，EH＝2EF，AD是△ABC的高，BC＝8，AD＝6，那么EH的長(zhǎng)為．
35．（2022?濰坊）《墨子?天文志》記載：“執(zhí)規(guī)矩，以度天下之方圓．”度方知圓，感悟數(shù)學(xué)之美．如圖，正方形ABCD的面積為4，以它的對(duì)角線的交點(diǎn)為位似中心，作它的位似圖形A'B'C'D'，若A'B'：AB＝2：1，則四邊形A'B'C'D'的外接圓的周長(zhǎng)為．
36．（2022?黔西南州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△OAB與△OCD位似，位似中心是坐標(biāo)原點(diǎn)O．若點(diǎn)A（4，0），點(diǎn)C（2，0），則△OAB與△OCD周長(zhǎng)的比值是．
37．（2022?鞍山）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，CE，BD交于點(diǎn)H，DF⊥CE于點(diǎn)F，F(xiàn)M平分∠DFE，分別交AD，BD于點(diǎn)M，G，延長(zhǎng)MF交BC于點(diǎn)N，連接BF．下列結(jié)論：①tan∠CDF=12；②S△EBH：S△DHF＝3：4；③MG：GF：FN＝5：3：2；④△BEF∽△HCD．其中正確的是 .（填序號(hào)即可）．
38．（2022?丹東）如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為6的菱形，∠ABC＝60°，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段AB，AC上的動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），且BE＝AF，BF與CE交于點(diǎn)P，延長(zhǎng)BF交邊AD（或邊CD）于點(diǎn)G，連接OP，OG，則下列結(jié)論：①△ABF≌△BCE；②當(dāng)BE＝2時(shí)，△BOG的面積與四邊形OCDG面積之比為1：3；③當(dāng)BE＝4時(shí)，BE：CG＝2：1；④線段OP的最小值為25?23．其中正確的是．（請(qǐng)?zhí)顚?xiě)序號(hào)）
39．（2022?呼和浩特）已知AB為⊙O的直徑且AB＝2，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)（不與A、B重合），點(diǎn)D在半徑OB上，且AD＝AC，AE與過(guò)點(diǎn)C的⊙O的切線垂直，垂足為E．若∠EAC＝36°，則CD＝，OD＝．
40．（2021?包頭）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥CB，垂足為B，且BD＝3，連接CD，與AB相交于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥CB，垂足為N．若AC＝2，則MN的長(zhǎng)為．
三．解答題（共20小題）
41．（2023?營(yíng)口）在?ABCD中，∠ADB＝90°，點(diǎn)E在CD上，點(diǎn)G在AB上，點(diǎn)F在BD的延長(zhǎng)線上，連接EF，DG，∠FED＝∠ADG，ADBD=DGEF=k．
（1）如圖1，當(dāng)k＝1時(shí)，請(qǐng)用等式表示線段AG與線段DF的數(shù)量關(guān)系；
（2）如圖2，當(dāng)k=3時(shí)，寫(xiě)出線段AD，DE和DF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)G是AB的中點(diǎn)時(shí)，連接BE，求tan∠EBF的值．
42．（2023?赤峰）數(shù)學(xué)興趣小組探究了以下幾何圖形．如圖①，把一個(gè)含有45°角的三角尺放在正方形ABCD中，使45°角的頂點(diǎn)始終與正方形的頂點(diǎn)C重合，繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)三角尺時(shí)，45°角的兩邊CM，CN始終與正方形的邊AD，AB所在直線分別相交于點(diǎn)M，N，連接MN，可得△CMN．
【探究一】如圖②，把△CDM繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBH，同時(shí)得到點(diǎn)H在直線AB上．求證：∠CNM＝∠CNH；
【探究二】在圖②中，連接BD，分別交CM，CN于點(diǎn)E，F(xiàn)．求證：△CEF∽△CNM；
【探究三】把三角尺旋轉(zhuǎn)到如圖③所示位置，直線BD與三角尺45°角兩邊CM，CN分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接AC交BD于點(diǎn)O，求EFNM的值．
43．（2023?菏澤）（1）如圖1，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊DC，BC上，AE⊥DF，垂足為點(diǎn)G．求證：△ADE∽△DCF．
【問(wèn)題解決】
（2）如圖2，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊DC，BC上，AE＝DF，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)H，使CH＝DE，連接DH．求證：∠ADF＝∠H．
【類比遷移】
（3）如圖3，在菱形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的長(zhǎng)．
44．（2023?武漢）問(wèn)題提出如圖（1），E是菱形ABCD邊BC上一點(diǎn)，△AEF是等腰三角形，AE＝EF，∠AEF＝∠ABC＝α （α≥90°），AF交CD于點(diǎn)G，探究∠GCF與α的數(shù)量關(guān)系．
問(wèn)題探究（1）先將問(wèn)題特殊化，如圖（2），當(dāng)α＝90°時(shí)，直接寫(xiě)出∠GCF的大?。?br>（2）再探究一般情形，如圖（1），求∠GCF與α的數(shù)量關(guān)系．
問(wèn)題拓展將圖（1）特殊化，如圖（3），當(dāng)α＝120°時(shí)，若DGCG=12，求BECE的值．
45．如圖①，△ABC和△ADE是等邊三角形，連接DC，點(diǎn)F，G，H分別是DE，DC和BC的中點(diǎn)，連接FG，F(xiàn)H．易證：FH=3FG．
若△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，如圖②；若△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE＝120°，如圖③；其他條件不變，判斷FH和FG之間的數(shù)量關(guān)系，寫(xiě)出你的猜想，并利用圖②或圖③進(jìn)行證明．
46．（2023?福建）如圖1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AB邊上不與A，B重合的一個(gè)定點(diǎn)．AO⊥BC于點(diǎn)O，交CD于點(diǎn)E．DF是由線段DC繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的，F(xiàn)D，CA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)M．
?
（1）求證：△ADE∽△FMC；
（2）求∠ABF的度數(shù)；
（3）若N是AF的中點(diǎn)，如圖2，求證：ND＝NO．
47．（2023?上海）如圖，在梯形ABCD中AD∥BC，點(diǎn)F，E分別在線段BC，AC上，且∠FAC＝∠ADE，AC＝AD．
（1）求證：DE＝AF；
（2）若∠ABC＝∠CDE，求證：AF2＝BF?CE．
48．（2023?江西）課本再現(xiàn)
定理證明
（1）為了證明該定理，小明同學(xué)畫(huà)出了圖形（如圖1），并寫(xiě)出了“已知”和“求證”，請(qǐng)你完成證明過(guò)程．
已知：在?ABCD中，對(duì)角線BD⊥AC，垂足為O．
求證：?ABCD是菱形．
知識(shí)應(yīng)用
（2）如圖2，在?ABCD中，對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，AD＝5，AC＝8，BD＝6．
①求證：?ABCD是菱形；
②延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E，連接OE交CD于點(diǎn)F，若∠E=12∠ACD，求OFEF的值．
49．（2023?宜昌）如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AD，AB上的點(diǎn)，連接CE，EF，CF．
（1）若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E是AD的中點(diǎn)．
①如圖1，當(dāng)∠FEC＝90°時(shí)，求證：△AEF∽△DCE；
②如圖2，當(dāng)tan∠FCE=23時(shí)，求AF的長(zhǎng)；
（2）如圖3，延長(zhǎng)CF，DA交于點(diǎn)G，當(dāng)GE＝DE，sin∠FCE=13時(shí)，求證：AE＝AF．
50．（2023?蘇州）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB是⊙O的直徑，AC=5，BC＝25，點(diǎn)F在AB上，連接CF并延長(zhǎng)，交⊙O于點(diǎn)D，連接BD，作BE⊥CD，垂足為E．
（1）求證：△DBE∽△ABC；
（2）若AF＝2，求ED的長(zhǎng)．
51．（2023?云南）如圖，BC是⊙O的直徑，A是⊙O上異于B、C的點(diǎn)．⊙O外的點(diǎn)E在射線CB上，直線EA與CD垂直，垂足為D，且DA?AC＝DC?AB．設(shè)△ABE的面積為S1，△ACD的面積為S2．
（1）判斷直線EA與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）若BC＝BE，S2＝mS1，求常數(shù)m的值．
52．（2023?達(dá)州）（1）如圖①，在矩形ABCD的AB邊上取一點(diǎn)E，將△ADE沿DE翻折，使點(diǎn)A落在BC上A'處，若AB＝6，BC＝10，求AEEB的值；
（2）如圖②，在矩形ABCD的BC邊上取一點(diǎn)E，將四邊形ABED沿DE翻折，使點(diǎn)B落在DC的延長(zhǎng)線上B'處，若BC?CE＝24，AB＝6，求BE的值；
（3）如圖③，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，AD＝10，AE＝6，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AD交AC于點(diǎn)F，連接DF，且滿足∠DFE＝2∠DAC，直接寫(xiě)出BD+53EF的值．
?
53．（2023?重慶）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，點(diǎn)D為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接CD．
（1）如圖1，若AC＝9，BD=3，求線段AD的長(zhǎng)；
（2）如圖2，以CD為邊在CD上方作等邊△CDE，點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，連接BF并延長(zhǎng)，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．若∠G＝∠BCE，求證：GF＝BF+BE；
（3）在CD取得最小值的條件下，以CD為邊在CD右側(cè)作等邊△CDE．點(diǎn)M為CD所在直線上一點(diǎn)，將△BEM沿BM所在直線翻折至△ABC所在平面內(nèi)得到△BNM．連接AN，點(diǎn)P為AN的中點(diǎn)，連接CP，當(dāng)CP取最大值時(shí)，連接BP，將△BCP沿BC所在直線翻折至△ABC所在平面內(nèi)得到△BCQ，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)NQCP的值．
54．如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E在DC上，DE＝BE，AC與BD相交于點(diǎn)O，BE與AC相交于點(diǎn)F．
（1）若BE平分∠CBD，求證：BF⊥AC；
（2）找出圖中與△OBF相似的三角形，并說(shuō)明理由；
（3）若OF＝3，EF＝2，求DE的長(zhǎng)度．
55．（2022?遂寧）如圖⊙O是△ABC的外接圓，點(diǎn)O在BC上，∠BAC的角平分線交⊙O于點(diǎn)D，連接BD，CD，過(guò)點(diǎn)D作BC的平行線與AC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P．
（1）求證：PD是⊙O的切線；
（2）求證：△ABD∽△DCP；
（3）若AB＝6，AC＝8，求點(diǎn)O到AD的距離．
56．（2022?寧波）【基礎(chǔ)鞏固】
（1）如圖1，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別為AB，AC，BC上的點(diǎn)，DE∥BC，BF＝CF，AF交DE于點(diǎn)G，求證：DG＝EG．
【嘗試應(yīng)用】
（2）如圖2，在（1）的條件下，連結(jié)CD，CG．若CG⊥DE，CD＝6，AE＝3，求DEBC的值．
【拓展提高】
（3）如圖3，在?ABCD中，∠ADC＝45°，AC與BD交于點(diǎn)O，E為AO上一點(diǎn)，EG∥BD交AD于點(diǎn)G，EF⊥EG交BC于點(diǎn)F．若∠EGF＝40°，F(xiàn)G平分∠EFC，F(xiàn)G＝10，求BF的長(zhǎng)．
57．（2022?營(yíng)口）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑作⊙O與AC交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)A作⊙O的切線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．
（1）求證：∠D＝∠EBC；
（2）若CD＝2BC，AE＝3，求⊙O的半徑．
58．（2022?郴州）如圖1，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6．點(diǎn)E是線段AD上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A，D重合），連接CE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥CE，交AB于點(diǎn)F．
（1）求證：△AEF∽△DCE；
（2）如圖2，連接CF，過(guò)點(diǎn)B作BG⊥CF，垂足為G，連接AG．點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)，連接GM．
①求AG+GM的最小值；
②當(dāng)AG+GM取最小值時(shí)，求線段DE的長(zhǎng)．
59．（2022?宜賓）如圖，點(diǎn)C是以AB為直徑的⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)D是AB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，在OA上取一點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作AB的垂線交AC于點(diǎn)G，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，且EG＝EC．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若點(diǎn)F是OA的中點(diǎn)，BD＝4，sin∠D=13，求EC的長(zhǎng)．
60．（2022?煙臺(tái)）【問(wèn)題呈現(xiàn)】
如圖1，△ABC和△ADE都是等邊三角形，連接BD，CE．求證：BD＝CE．
【類比探究】
如圖2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．連接BD，CE．請(qǐng)直接寫(xiě)出BDCE的值．
【拓展提升】
如圖3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且ABBC=ADDE=34．連接BD，CE．
（1）求BDCE的值；
（2）延長(zhǎng)CE交BD于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)G．求sin∠BFC的值．
思考
我們知道，菱形的對(duì)角線互相垂直．反過(guò)來(lái)，對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形嗎？
可以發(fā)現(xiàn)并證明菱形的一個(gè)判定定理；
對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形．

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