期末模擬試卷02（平面向量+三角恒等變換+解三角形+復(fù)數(shù)+立體幾何+統(tǒng)計概率）-2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中期末?？伎键c精講精練（蘇教版必修第二冊）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

第I卷選擇題部分（共60分）
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．若為實數(shù)，且，則（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則計算即可得答案.
【詳解】由題意可得，，
解得.
故選：D.
2．為了解“雙減”政策實施后學(xué)生每天的體育活動時間，研究人員隨機(jī)調(diào)查了該地區(qū)1000名學(xué)生每天進(jìn)行體育運(yùn)動的時間，按照時長（單位：分鐘）分成6組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，第六組，經(jīng)整理得到如圖的頻率分布直方圖，則可以估計該地區(qū)學(xué)生每天體育活動時間的第25百分位數(shù)約為（）
A．42.5分鐘B．45.5分鐘
C．47.5分鐘D．50分鐘
【答案】C
【分析】由頻率之和為1求出，利用求百分位數(shù)的公式進(jìn)行求解.
【詳解】由頻率之和為1得：，
解得：，
由，，
故第25百分位數(shù)位于內(nèi)，
則第25百分位數(shù)為，
可以估計該地區(qū)學(xué)生每天體育活動時的第25百分位數(shù)約為47.5
故選：C
3．定慧禪寺位于江蘇省如皋市，是國家AAA級旅游景區(qū)．地處如皋古城東南隅，寺門正對玉帶河，東臨放生池，西南傍玉蓮池，寺院平面布置呈"回"字形，樓堂環(huán)繞四周，寶殿坐落中央，形成"水環(huán)寺，樓抱殿"獨(dú)特格局．某同學(xué)為測量寺內(nèi)觀音塔的高度，在觀音塔的正北方向找到一座建筑物，高約為22.5，在地面上點處（，，三點共線）測得建筑物頂部A，觀音塔頂部的仰角分別為30°和45°，在A處測得觀音塔頂部的仰角為15°，觀音塔的高度約為（）
A．32B．39C．45D．55
【答案】C
【分析】先在中求出的長度，然后再求出中，，利用正弦定理求出，最后利用三角函數(shù)定義求出的長度.
【詳解】由題意得，在中，，
在中，，，
.
由正弦定理得，，得，
在中，.
故選：C.
4．已知正方體中，點M?N分別是的中點，那么以下4個結(jié)論中，不正確的是（）
A．B．
C．平面D．與異面
【答案】D
【分析】連接，易得是的中點，從而可得，即可判斷BCD，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可判斷A.
【詳解】解：連接，
則互相平分，
因為是的中點，
所以是的中點，
又因是的中點，
所以，故B正確，D錯誤；
又平面，平面，
所以平面，故C正確；
因為平面，平面，
所以，
又，
所以，故A正確.
故選：D.
5．蹴鞠（如圖所示），又名蹴球、蹴圓、筑球、踢圓等，蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)實米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動，類似今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠已作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國務(wù)院批準(zhǔn)列入第一批國家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄，已知某鞠的表面上有四個點A，B，C，D，四面體ABCD的體積為，BD經(jīng)過該鞠的中心，且，，則該鞠的表面積為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】取AC中點，連接、，易得AC為圓面ABC的直徑，平面ABC，進(jìn)而得到平面ABC，然后根據(jù)四面體ABCD的體積為，可求外接球半徑并求表面積.
【詳解】如圖，取AC的中點M，連接BM與球O交于另一點N，連接OM，DN，
易知AC為圓面ABC的直徑，平面ABC，
因為O，M分別為BD，BN的中點，所以，
所以平面ABC，
∵，∴，
即，在中，，
∴，∴，∴球O的表面積為．
故選：D．
6．已知都是銳角，若，，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先由已知條件求出，再由兩邊取余弦函數(shù)化簡可求得結(jié)果
【詳解】因為為銳角，，
所以，
因為都是銳角，所以，
因為，
所以，
所以
，
故選：B
7．如圖，在中，，，為上一點，且滿足，若，，則的值為（）.

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由P、C、D三點共線及，可求m的值，再用、作基底表示，進(jìn)而求即可.
【詳解】∵，，
即且，
∴，
又C、P、D共線，有，即，
即，而，
∴
∴=.
故選：C
8．凸四邊形就是沒有角度數(shù)大于180°的四邊形，把四邊形任何一邊向兩方延長，其他各邊都在延長所得直線的同一旁，這樣的四邊形叫做凸四邊形，如圖，在凸四邊形ABCD中，，，，，當(dāng)變化時，對角線BD的最大值為（）
A．4B．C．D．
【答案】C
【分析】設(shè)，，在△ABC中，根據(jù)余弦定理表示，根據(jù)正弦定理表示，在△BCD中，由余弦定理表示，化簡求得最值.
【詳解】設(shè)，，，，
在△ABC中，由余弦定理，得，
由正弦定理，得，∴.
∵，，，
在△BCD中，由余弦定理，得,
∴
，
當(dāng)，即時，取得最大值，為，
即BD的最大值為.
故選：C.
二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得3分，有選錯的得0分.
9．已知函數(shù)，，則（）
A．
B．在區(qū)間上只有2個零點
C．的最小正周期為
D．為圖象的一條對稱軸
【答案】ABD
【分析】首先利用輔助角公式化簡，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)分別判斷四個選項的正誤，即可得正確選項.
【詳解】因為，
對于選項A：因為，所以，故選項A正確；
對于選項B：當(dāng)時，，
當(dāng)或時即或時，
所以在區(qū)間上有個零點，故選項B正確；
對于選項C：的最小正周期，故選項C不正確；
對于選項D：此時，
所以是函數(shù)的一條對稱軸，故選項D正確，
故選：ABD.
10．一個袋子中有大小和質(zhì)地均相同的3個小球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，現(xiàn)分別用三種方案進(jìn)行摸球游戲.方案一：任意摸出一個球并選擇該球；方案二：先后不放回的摸出兩個球，若第二次摸出的球號碼比第一次大，則選擇第二次摸出的球，否則選擇未被摸出的球；方案三：同時摸出兩個球，選擇其中號碼較大的球.記三種方案選到3號球的概率分別為，，，則（）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】根據(jù)題意分別求，，，方案一：直接求解即可；方案二：選到3號球有兩種可能：第二次摸出的為3號球，或第一次2號球，第二次1號球；方案三：根據(jù)古典概型利用列舉法理解運(yùn)算．
【詳解】方案一：“選到3號球”的概率
方案二：“選到3號球”的概率
方案三：同時摸出兩個球共有：共3個基本事件，“選到3號球”包含共2個基本事件，“選到3號球”的概率
∴，，，，ABD正確，C錯誤
故選：ABD．
11．設(shè)，則下列命題為真命題的是（）
A．若，則B．若與都是實數(shù)，則
C．若，則的最大值為D．若為純虛數(shù)，則
【答案】BC
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算、復(fù)數(shù)為純虛數(shù)和實數(shù)的條件、共軛復(fù)數(shù)的定義及復(fù)數(shù)模的運(yùn)算公式和幾何意義逐一判斷即可得出答案.
【詳解】對于選項A：因為，所以，
所以，所以.故A選項錯.
對于選項B：因為為實數(shù)，所以，所以.
因為為實數(shù)，
所以，又因為，所以.
所以，所以.故B選項正確.
對于選項C：若，則，表示以原點為圓心，半徑為1的圓，表示圓上的動點與點之間的距離，故的最大值為：，故C正確.
對于選項D：因為，所以.
因為為純虛數(shù)，所以且，解得：或.故D選項錯誤.
故選：BC.
12．如圖，正方體的棱長為，且，分別為，的中點，則下列說法正確的是（）

A．平面
B．
C．直線與平面所成角為
D．點到平面的距離為
【答案】ABD
【分析】取棱中點，利用線面平行的判定推理判斷A；利用線面垂直的性質(zhì)推理判斷B；求出EF與平面ABCD所成的線面角判斷C；使用等積法求點到平面的距離.
【詳解】在正方體中，取棱中點，連接，

因為M，N分別為AC，的中點，則，
因此四邊形為平行四邊形，則平面，
平面，所以平面，A正確；
因為平面，平面，則，所以，B正確；
顯然平面，則是與平面所成的角，又，
有，由于，所以直線MN與平面ABCD所成的角為，C錯誤；
等邊三角形的面積為，設(shè)到平面的距離為，
由得，解得，D正確.
故選：ABD
第II卷非選擇題部分（共90分）
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13．若一個圓柱和一個圓錐的底面周長之比為，圓柱的體積是圓錐體積的2倍，則圓柱的高與圓錐的高的比為______.
【答案】/
【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，圓錐的底面半徑為，高為，結(jié)合題意得到，結(jié)合圓柱和圓錐的體積公式，求得的值，即可求解.
【詳解】設(shè)圓柱的底面圓的半徑為，高為，圓錐的底面圓的半徑為，高為，
因為圓柱和圓錐的底面周長之比為，可得，所以，
又因為圓柱的體積是圓錐體積的2倍，可得，
解得，即圓柱的高與圓錐的高的比為.
故答案為：.
14．某一部件由三個電子元件按下圖方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則部件正常工作.設(shè)三個電子元件的使用壽命（單位：小時）超過1000小時的概率都是0.5，且各個元件能否正常工作相互獨(dú)立，那么該部件的使用壽命超過1000小時的概率為____________.
【答案】/
【分析】根據(jù)題意，求出超過1000小時時，元件1、元件2至少有一個正常和元件3正常的概率，再利用獨(dú)立事件的概率公式求解即可.
【詳解】因為三個電子元件的使用壽命（單位：小時）超過1000小時的概率都是0.5，即，
記事件超過1000小時時，元件1、元件2至少有一個正常，事件超過1000小時時，元件3正常，事件該部件的使用壽命超過1000小時，
則，，
因為事件為相互獨(dú)立事件，事件為同時發(fā)生的事件，
所以．
故答案為：．
15．在中，角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，且滿足．若A，B，C，D四點共圓，且點D與點A位于直線BC的兩側(cè)．，，則AD=______．
【答案】
【分析】根據(jù)余弦定理，結(jié)合不等式以及三角函數(shù)的有界性可得，進(jìn)而可得，進(jìn)而由余弦定理即可求解.
【詳解】由，與相加可得，
由于，所以,
所以,由于,故，
如圖可知：,，,
在中，由余弦定理可得 ,
解得或（舍去），
故答案為：
16．如圖，在Rt△AOC中，，圓O為單位圓．
（1）若點P在圓O上，，則______________
（2）若點P在△AOC與圓O的公共部分的圓弧上運(yùn)動，則的取值范圍為__________
【答案】
【分析】（1）根據(jù)結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律即可求出；
（2）法一：根據(jù)，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解.
法二：以O(shè)為原點，OA所在直線為y軸，OC所在直線為x軸建立坐標(biāo)系，設(shè)，再根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得解.
【詳解】（1）在△AOP中，，，，
，
則，
即
（2）法一：
，
因為，所以，
故的取值范圍為．
法二：
以O(shè)為原點，OA所在直線為y軸，OC所在直線為x軸建立坐標(biāo)系，
設(shè)，，，
所以，，
則
，
∵，則，∴，
，
即．
故答案為：（1）；（2）.
【點睛】方法點睛：求向量模的常見思路與方法：
（1）求模問題一般轉(zhuǎn)化為求模的平方，與向量數(shù)量積聯(lián)系，并靈活應(yīng)用，勿忘記開方；
（2）或，此性質(zhì)可用來求向量的模，可實現(xiàn)實數(shù)運(yùn)算與向量運(yùn)算的相互轉(zhuǎn)化；
（3）一些常見的等式應(yīng)熟記：如，等.
四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．設(shè)向量，．
(1)求在上的投影向量；
(2)若向量與向量的夾角為鈍角，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)投影向量的定義直接求解即可；
（2）因為向量與向量的夾角為鈍角可得數(shù)量積小于0，列式計算可得取值范圍.
【詳解】（1）求在上的投影向量.
（2）由已知，，，
所以，
因為向量與向量的夾角為鈍角，
所以，，解得，
又因為向量不與向量反向共線，
若共線，設(shè)，則，
可得或（舍去），
所以解得.
18．全國愛衛(wèi)辦組織開展“地級市創(chuàng)衛(wèi)工作”滿意度調(diào)查工作,2023年2月14日24日在網(wǎng)上進(jìn)行問卷調(diào)查,該調(diào)查是國家衛(wèi)生城市評審的重要依據(jù),居民可根據(jù)自身實際感受,對所在市創(chuàng)衛(wèi)工作作出客觀、公正的評價.現(xiàn)隨機(jī)抽取了100名居民的問卷進(jìn)行評分統(tǒng)計,評分的頻率分布直方圖如圖所示,數(shù)據(jù)分組依次為:
(1)求的值以及這100名居民問卷評分的中位數(shù)；
(2)若根據(jù)各組的頻率的比例采用分層隨機(jī)抽樣的方法,從評分在[65,70)和[70,75)內(nèi)的居民中共抽取6人,查閱他們的答卷情況,再從這6人中選取2人進(jìn)行專項調(diào)查,求這2人中恰有1人的評分在內(nèi)的概率.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）由各組數(shù)據(jù)頻率之和為1可得a,由頻率分布直方圖計算中位數(shù)公式可得答案；
（2）由（1）結(jié)合頻率分布直方圖可知6人中,[65,70)中的有2人,[70,75)中的有4人,后利用列舉法可知總情況數(shù)與2人中恰有1人的評分在[70,75)內(nèi)的情況數(shù),即可得答案.
【詳解】（1）由頻率分布直方圖,
；
注意到前3個矩形對應(yīng)頻率之和為：,
前4個矩形對應(yīng)頻率之和為：,
則中位數(shù)在之間,設(shè)為x,則,即中位數(shù)為.
（2）評分在[65,70),[70,75)對應(yīng)頻率為：,則抽取6人中,[65,70)中的有2人,設(shè)為,[70,75)中的有4人,設(shè)為.
則從6人中選取2人的情況為：
,共15種,恰有1人在[70,75)中的有8種情況,
故相應(yīng)概率為：.
19．已知函數(shù).
(1)若函數(shù)的圖象過點，且，求的值；
(2)若，且，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角恒等變換整理化簡，根據(jù)題意代入整理得，結(jié)合角的范圍求解；
（2）根據(jù)題意代入整理，以為整體運(yùn)算求解，注意根據(jù)角的范圍判斷三角函數(shù)值的符號．
【詳解】（1）因為.
所以.
因為函數(shù)的圖象過點，
所以.
因為，所以，所以，解得.
（2）因為，所以.
因為，所以.
所以，
又，所以.
因為，所以，所以.
20．如圖，正三棱柱的所有棱長都等于2，E，F(xiàn)，G分別為，，AB的中點．

(1)求證：平面平面BEF；
(2)求與平面所成角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析；
(2)
【分析】（1）利用面面平行判定定理即可證得平面平面BEF；
（2）先依據(jù)線面角定義作出與平面所成角，進(jìn)而求得其正弦值.
【詳解】（1），F(xiàn)分別為，的中點，，
平面，平面，平面，
又F，G分別為，AB的中點，，
又，四邊形為平行四邊形，則，
平面，平面，
平面，
又，EF，平面BEF，
平面平面BEF．
（2）在平面ABC內(nèi)，過點G作，垂足為H，連接．
正三棱柱，
平面ABC．又平面ABC，．
又，BC，平面，平面．
即為與平面所成的角．
正三棱柱的所有棱長為2，G為AB中點，
，，
又，，．
又，，
．
又，
，
，
故與平面所成角的正弦值為．

21．△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，，．
(1)求△ABC面積的最大值；
(2)若，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意利用正弦定理整理可得，結(jié)合基本不等式分析運(yùn)算即可；
（2）根據(jù)題意設(shè)，整理可得，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求值域.
【詳解】（1）由題意可得：，
整理得，
由正弦定理可得：，所以為直角三角形且，
又因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
則，則，
所以△ABC面積，即△ABC面積的最大值為．
（2）由題意可知，所以，
因為，設(shè)，
則，
令，
因為，則，
可得，故，
又因為，可得，
所以，
構(gòu)建，
則在上單調(diào)遞增，且，
可得在上單調(diào)遞減，所以，
故的取值范圍為．
22．如圖，四面體中，，，，為的中點.
(1)證明：平面平面；
(2)設(shè)，，點在上；
①點為中點，求與所成的角的大?。?br>②當(dāng)?shù)拿娣e最小時，求與平面所成的角的正弦值.
【答案】(1)詳見解析；
(2)①與所成的角的大??；
②與平面所成的角的正弦值為.
【分析】（1）根據(jù)已知關(guān)系有得到，結(jié)合等腰三角形性質(zhì)得到垂直關(guān)系，結(jié)合線面垂直的判定即可證明面面垂直；
（2）①取的中點，的中點，則（或其補(bǔ)角）為與所成的角，在中求解.
②先證平面平面，可得（或其補(bǔ)角）為與平面所成的角，在中求解.
【詳解】（1）因為，E為的中點，所以，
在和中，
所以，所以，又E為的中點，
所以，又平面，，
所以平面.
又因為平面，
所以平面平面；
（2）
①取的中點，的中點，連接，則，，
所以（或其補(bǔ)角）為與所成的角，
由且，所以是等邊三角形，則，
由且，E為的中點，
所以，在等腰直角中，，
在中，，由勾股定理知為直角三角形，所以，
在中，由余弦定理得，
，所以，
在中，，由余弦定理得，
在中，，
，所以，故，
在中，，，故，
所以與所成的角的大小.
②
連接，由（1）知，平面，平面，
所以，則，
當(dāng)時最小，即的面積最小.
因為平面，平面，所以，
又因為平面，平面，，
所以平面，
又因為平面，所以平面平面，
作于（或交延長線），因為平面平面，平面，
所以平面，所以（或其補(bǔ)角）為與平面所成的角，
由知，所以，
在直角中，，
在直角中，，所以，
在等腰中，，
所以，
所以，
所以與平面所成的角的正弦值為.
【點睛】線面角的幾何作法：
直接法：即定義法，作出斜線、垂線、斜線在平面上的射影組成的直角三角形,根據(jù)條件求出斜線與射影所成的角即為所求.
垂面法：找一個過斜線且與平面垂直的面，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)知這兩個面的交線即為斜線在平面內(nèi)的射影，根據(jù)直角三角形或余弦定理求解.

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