高一下學(xué)期期末復(fù)習(xí)模擬試卷2 (時間：120分鐘，分值：150分，范圍：必修二：向量+復(fù)數(shù)+立體幾何+統(tǒng)計+概率)一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個小題紿岀的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知復(fù)數(shù) ，且，其中a，b為實數(shù)，則（    ）A．， B．， C．， D．，【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)加減法運算規(guī)則和復(fù)數(shù)相等的定義求解.【詳解】因為 ，所以，由，得 ，即 ；故選：B.2．已知向量，滿足，，，則（    ）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】根據(jù)數(shù)量積的運算律計算可得.【詳解】因為，，，所以，即，即，所以，解得.故選：C3．已知三個不同的平面α，β，γ和兩條不重合的直線m，n，則下列四個命題中正確的是（    ）A．若m//α，α∩β=n，則m//n B．若α∩β=m，m⊥γ，則α⊥γC．若α⊥β，γ⊥β，則α//γ D．若α∩β=n，mα，m⊥n，則α⊥β【答案】B【分析】由線面平行的性質(zhì)定理可知A的正誤；利用面面垂直的判定定理可知判斷B,有反例可判斷BD．【詳解】對于A，，，則，錯誤，原因是不一定是經(jīng)過直線的平面；故A錯誤；對于B,因為，，由面面垂直的判定定理得：，故B正確．對于C，若，，不一定得到，例如長方體中，同一頂點出發(fā)的三個平面，故C錯誤，  對于D,若，，，則錯誤，如下圖所示，原因是由題設(shè)條件無法推出一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，故無法判定是否與一定垂直，故D錯誤；  故選：B4．甲、乙兩校各有3名教師報名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女，若從甲校和乙校報名的教師中各任選1名，則選出的2名教師性別相同的概率是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】從甲校和乙校報名的教師中各任選名，列出基本事件的總數(shù)，利用古典概型求解即可.【詳解】設(shè)甲校2男1女的編號分別為1，2，A，乙校1男2女編號分別為B，3，4，若從甲校和乙校報名的教師中各任選1名，寫出所有可能的結(jié)果有：，，，，，，，，共計9個，選出的2名教師性別相同的結(jié)果有，，，共計4個，故選出的2名教師性別相同的概率為．故選：B.5．已知向量，，，若，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先求出的坐標(biāo)，依題意可得，則，即可得到方程，解之即可.【詳解】因為，，，則，所以，，，，，因為，所以，所以，即，解得.故選：C6．如圖1，在高為的直三棱柱容器中，現(xiàn)往該容器內(nèi)灌進一些水，水深為2，然后固定容器底面的一邊于地面上，再將容器傾斜，當(dāng)傾斜到某一位置時，水面恰好為（如圖2），則容器的高為（    ）      A． B．3 C．4 D．6【答案】B【分析】利用兩個幾何體中的裝水的體積相等，列出方程，即可求解.【詳解】解：在圖（1）中的幾何體中，水的體積為,在圖（2）的幾何體中，水的體積為：，因為，可得，解得.故選：B. 7．在中，，，且BC邊上的高為，則滿足條件的的個數(shù)為（    ）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【分析】利用等面積法求得，再利用正弦定理求得，利用內(nèi)角和的關(guān)系及兩角和差化積公式，二倍角公式轉(zhuǎn)化為，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求滿足條的的個數(shù)，即可求解.【詳解】由三角形的面積公式知，即由正弦定理知所以，即，即，即利用兩角和的正弦公式結(jié)合二倍角公式化簡得又，則，，且由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，滿足的有2個，即滿足條件的的個數(shù)為2.故選：B8．在三棱錐中，和都是等邊三角形，，平面平面，M是棱AC上一點，且，則過M的平面截三棱錐外接球所得截面面積的最大值與最小值之和為（    ）A．24π B．25π C．26π D．27π【答案】D【分析】根據(jù)題設(shè)找到三棱錐外接球球心位置，由已知及球體截面的性質(zhì)求過M平面截球體的最大截面積，根據(jù)外接球球心、面面垂直以及比例關(guān)系易知共線，且過M平面截球體的最小截面積時該平面，且，即可求最大、最小面積和.【詳解】由題設(shè)，若為中點，分別是等邊和等邊的中心，連接，則分別在上，且，，，，面，故面，又面，所以，面面，  又面面，過作面的垂線與過作面的垂線交于，即面，面，則為外接球球心，面，且，，則面，所以面面，綜上，結(jié)合面面，面面，則面、面為同一平面，所以面，由面面，，面，面面，所以面，面，即，且知：為正方形，如圖，，，若外接球半徑為，所以，由球體的性質(zhì)，要使過M平面截三棱錐外接球所得截面面積的最大，則平面必過球心，所以，最大截面圓面積為，要使過M平面截三棱錐外接球所得截面面積的最小，則該平面，因為，而都在面上，故，而，故，顯然共線，故，此時截面圓的半徑為，則，所以，最小截面圓面積為，綜上，最大值與最小值之和為.故選:D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)球的性質(zhì)判斷過M平面截棱錐外接球截面面積最大、最小時截面與的位置關(guān)系，利用幾何關(guān)系求截面圓半徑，最后求面積和.  二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9．袋子中裝有紅球、黃球各個，現(xiàn)從中隨機抽取3個，記事件A為“三個球都是紅球”，事件B為“三個球都是黃球”，事件C為“三個球至少有一個是黃球”，事件D為“三個球不都是紅球”，則（    ）A．事件A與事件B互斥且對立 B．C． D．事件B與事件D可能同時發(fā)生【答案】BCD【分析】袋子中裝有紅球、黃球各個，現(xiàn)從中隨機抽取3個，則根據(jù)互斥與對立事件的關(guān)系，對選項逐一判斷即可.【詳解】因為袋子中裝有紅球、黃球各個，現(xiàn)從中隨機抽取3個，則會有{三紅球，三黃球，一黃球二紅球，兩黃球一紅球}，所以事件A與事件B互斥但不對立，故A選項錯誤；事件C的對立事件即為事件A，則，故B選項正確；事件A與事件D互為對立事件，則，故C選項正確；因為事件B與事件D不是互斥事件，故有可能同時發(fā)生，故D選項正確;故選：BCD10．已知復(fù)數(shù)，則（    ）A．是純虛數(shù)B．若，則的模為3C．的共軛復(fù)數(shù)為D．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限【答案】AC【分析】利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運算化簡，結(jié)合復(fù)數(shù)的有關(guān)概念和幾何意義依次分析選項即可.【詳解】，，是純虛數(shù)，故A正確；若，故B錯誤；的共軛復(fù)數(shù)為，故C正確；，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的坐標(biāo)為，在第三象限，故D錯誤.故選：AC.11．已知平面向量，，則下列說法正確的是（   ）A．B．在方向上的投影向量為C．與垂直的單位向量的坐標(biāo)為D．若向量與非零向量共線，則【答案】AD【分析】本題考查了平面向量的坐標(biāo)運算，主要考查了兩向量的夾角、投影向量、向量的平行與垂直的基本知識，一一驗證即可.【詳解】由題意知，，，則，因此A正確；在方向上的投影向量為，因此B錯誤；與垂直的單位向量的坐標(biāo)為或，因此C錯誤；因為，，若向量與向量共線，則，解得，因此D正確.故選：AD.12．如圖，已知正方體的棱長為1，為底面的中心，交平面于點，點為棱的中點，則（    ）  A．，，三點共線 B．異面直線與所成的角為C．點到平面的距離為 D．過點，，的平面截該正方體所得截面的面積為【答案】ACD【分析】通過證明，，三點都是平面與平面的公共點，可知A正確；利用線面垂直的判定與性質(zhì)可證異面直線與所成的角為，可知B不正確；通過證明平面，得的長度就是點到平面的距離，計算的長度可知C正確；取的中點，可得等腰梯形就是過點，，的平面截該正方體所得截面，計算等腰梯形的面積可知，D正確.【詳解】因為為底面的中心，所以為和的中點，則，，因為平面，平面，所以平面，平面，所以點是平面與平面的公共點；顯然是平面與平面的公共點；因為交平面于點，平面，所以也是平面與平面的公共點，所以，，三點都在平面與平面的交線上，即，，三點共線，故A正確；因為平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，即異面直線與所成的角為，故B不正確；根據(jù)證明的方法，同理可得，因為，平面，所以平面，則的長度就是點到平面的距離，顯然為正三角形的中心，因為正方體的棱長為1，所以正三角形的邊長為，所以，又，所以，即點到平面的距離為，故C正確；取的中點，連，，，，因為，所以等腰梯形就是過點，，的平面截該正方體所得截面，如圖：  因為，，，所以等腰梯形的高為，所以等腰梯形的面積為，即過點，，的平面截該正方體所得截面的面積為，故D正確.故選：ACD   三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共計20分. 13．若一組數(shù)據(jù)，，…，的方差為2，則數(shù)據(jù)，，…，的方差為______．【答案】18【分析】利用方差的性質(zhì)求解即可.【詳解】因為一組數(shù)據(jù)，，…，的方差為2，所以數(shù)據(jù)，，…，的方差為，故答案為：18.14．在中，點滿足:，，若，則=_________.【答案】3【分析】根據(jù)條件，利用向量的線性運算得到，再利用平面向量基本定理求出，即可求出結(jié)果.【詳解】因為，，所以，故由平面向量基本定理得到，，所以.  故答案為：3.15．如圖，用A、B、C、D表示四類不同的元件連接成系統(tǒng)M．當(dāng)元件A、B至少有一個正常工作且元件C、D至少有一個正常工作時，系統(tǒng)M正常工作．已知元件A、B、C、D正常工作的概率依次為0.5、0.6、0.7、0.8，元件連接成的系統(tǒng)M正常工作的概率_________．【答案】/【分析】根據(jù)事件的獨立性以及對立事件，分別求出元件A、B至少有一個正常工作的概率以及元件C、D至少有一個正常工作的概率，即可得出答案.【詳解】由已知可得，元件A、B都不正常工作的概率為，所以，元件A、B至少有一個正常工作的概率為；元件C、D都不正常工作的概率為，所以，元件C、D至少有一個正常工作的概率為.所以，元件連接成的系統(tǒng)M正常工作的概率.故答案為：.16．已知正方體的棱長為2，點為線段的中點，若平面滿足，且，則截正方體所得的截面周長為__________.【答案】【分析】在正方向體中，取的中點，通過線面垂直，得到，，從而得出截面為梯形，進而求出結(jié)果.【詳解】如圖，分別取的中點，連接，相交于點，由條件易知，，所以，，又，所以，得到，故，又面，面，所以，又，面，所以平面，又平面，所以，因為，面，面，所以，又，，面，所以面，又面，所以，又，則，又，平面，故平面，又，所以，所以平面截正方體所得的截面即為梯形.由題意得，，則，，，故截面周長為.  故答案為：.   四、解答題：本題共6小題，共計70分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 17．設(shè)復(fù)數(shù)（其中），，i為虛數(shù)單位.(1)若是實數(shù)，求的值，并計算的值；(2)若是純虛數(shù)，求的值.【答案】(1)3，(2) 【分析】（1）是實數(shù)，說明虛部為0，可求出的值，再計算即可；（2）先將進行化簡，因為是純虛數(shù)，說明實部為0，且虛部不為0，從而求出.【詳解】（1）∵（其中），，∴，由是實數(shù)，所以，解得.∴，，則；（2）因為是純虛數(shù)，所以，解得，故.18．平面內(nèi)給定三個向量(1)求滿足的實數(shù)的值；(2)若，求實數(shù)的值；(3)求向量在向量上的投影向量的坐標(biāo).【答案】(1)(2)1(3) 【分析】（1）由，根據(jù)向量的坐標(biāo)表示列出方程組，即可求解；（2）由，根據(jù)共線向量的坐標(biāo)表示，列出方程，即可求解；（3）分別求得且，進而求得量在向量上的投影向量的坐標(biāo).【詳解】（1）解：由向量，因為，可得，所以，解得.（2）解：由題意可得，因為，可得，解得.（3）解：由且則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為.19．4月23日是世界讀書日，樹人中學(xué)為了解本校學(xué)生課外閱讀情況，按性別進行分層，用分層隨機抽樣的方法從全校學(xué)生中抽出一個容量為100的樣本，其中男生40名，女生60名經(jīng)調(diào)查統(tǒng)計，分別得到40名男生一周課外閱讀時間（單位，小時）的頻數(shù)分布表和60名女生一周課外閱讀時間（單位：小時）的頻率分布直方圖：（以各組的區(qū)間中點值代表該組的各個值）女生一周自讀時間頻率分布直方圖男生一周閱讀時間頻數(shù)分布表小時頻數(shù)92533  (1)從一周課外閱讀時間為的學(xué)生中按比例分配抽取6人，則男生，女生各抽出多少人?(2)分別估計男生和女生一周課外閱讀時間的平均數(shù)；(3)估計總樣本的平均數(shù)和方差．參考數(shù)據(jù)和公式;男生和女生一周課外閱讀時間方差的估計值分別為和．，和分別表示男生和女生一周閱讀時間的樣本，其中．【答案】(1)男生人，女生人(2)，(3)， 【分析】（1）首先求出中女生的人數(shù)，再利用分層抽樣計算規(guī)則計算可得；（2）根據(jù)平均數(shù)公式計算可得；（3）首先求出總體的平均數(shù)，再根據(jù)所給公式及數(shù)據(jù)求出總體的方差.【詳解】（1）一周課外閱讀時間為的學(xué)生中男生有人，女生有人，若從中按比例分配抽取人，則男生有人，女生有人（2）估計男生一周課外閱讀時間平均數(shù)；估計女生一周課外閱讀時間的平均數(shù).（3）估計總樣本的平均數(shù)，∵，∴，，，，∴，所以估計總樣本的平均數(shù)，方差.20．如圖，在正三棱臺中，，，過棱的截面與棱，分別交于、.  (1)記幾何體和正三棱臺的體積分別為，，若，求的長度；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)2(2) 【分析】（1）根據(jù)題意，先由條件證得是三棱臺，再結(jié)合棱臺的體積計算公式即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，延長，，交于點，作中點，連接，，可得∴即直線與平面所成的角，再結(jié)合余弦定理即可得到結(jié)果.【詳解】（1）∵三棱臺是正三棱臺，∴平面，∵平面，平面平面，∴，若,則,幾何體是三棱柱，記，，此時,不滿足題意，舍去；因此，設(shè)與交于點,與交于點,則因為,即交于同一點,∴幾何體是三棱臺∵，∴，∴.（2）如圖，延長，，交于點，作中點，連接，，  ∵，,平面∴平面，過作交于，則,∵平面∴平面，∴即直線與平面所成的角，∵，，，∴在中，由余弦定理可得，∴直線與平面所成角的正弦值為.21．在①，②這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中，并作答.問題：記的內(nèi)角的對邊分別為，且__________.(1)證明：；(2)若，求的取值范圍.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】(1)證明見解析；(2) 【分析】（1）選①：由正弦定理化為得；選②：由條件知化為得；（2）由得，求出的范圍，由條件結(jié)合正弦定理得化為的函數(shù)求范圍【詳解】（1）選①：，由正弦定理得，，，，，或，若，則，不成立，.選②： ， ，，，，，，，或舍去，.（2），，，，,,由正弦定理得22．甲，乙兩人進行圍棋比賽，采取積分制，規(guī)則如下：每勝1局得1分，負(fù)1局或平局都不得分，積分先達到2分者獲勝；若第四局結(jié)束，沒有人積分達到2分，則積分多的一方獲勝；若第四周結(jié)束，沒有人積分達到2分，且積分相等，則比賽最終打平．假設(shè)在每局比賽中，甲勝的概率為，負(fù)的概率為，且每局比賽之間的勝負(fù)相互獨立．(1)求第三局結(jié)束時乙獲勝的概率；(2)求甲獲勝的概率．【答案】(1)(2) 【分析】（1）對乙來說共有兩種情況：（勝，不勝，勝），（不勝，勝，勝）,根據(jù)獨立事件的乘法公式即可求解.（2）以比賽結(jié)束時的場數(shù)進行分類，在每一類中根據(jù)相互獨立事件的乘法公式即可求解.【詳解】（1）設(shè)事件A為“第三局結(jié)束乙獲勝”由題意知，乙每局獲勝的概率為，不獲勝的概率為．           若第三局結(jié)束乙獲勝，則乙第三局必定獲勝，總共有2種情況：（勝，不勝，勝），（不勝，勝，勝）．  故（2）設(shè)事件B為“甲獲勝”．若第二局結(jié)束甲獲勝，則甲兩局連勝，此時的概率．   若第三局結(jié)束甲獲勝，則甲第三局必定獲勝，總共有2種情況：（勝，不勝，勝），（不勝，勝，勝）．    此時的概率．            若第四局結(jié)束甲以積分獲勝，則甲第四局必定獲勝，前三局為1勝2平或1勝1平1負(fù)，總共有9種情況：（勝，平，平，勝），（平，勝，平，勝），（平，平，勝，勝），（勝，平，負(fù)，勝），（勝，負(fù)，平，勝），（平，勝，負(fù)，勝），（負(fù)，勝，平，勝），（平，負(fù)，勝，勝），（負(fù)，平，勝，勝）．           此時的概率          若第四局結(jié)束甲以積分獲勝，則乙的積分為0分，總共有4種情況：（勝，平，平，平），（平，勝，平，平），（平，平，勝，平），（平，平，平，勝）．          此時的概率            故 

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