姓名：_________ 班級(jí)：_________ 學(xué)號(hào)：_________
注意事項(xiàng)：
本試卷滿分100分，考試時(shí)間120分鐘，試題共28題。答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫在試卷規(guī)定的位置。
一、選擇題（10小題，每小題2分，共20分）
1．（2023春·江蘇淮安·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若a，b，b，c是成比例的線段，其中a=3，c=12，則線段b的長(zhǎng)為（ ）
A．2B．4C．6D．15
2．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在比例尺為1:1000000的交通地圖上，寶應(yīng)到揚(yáng)州的長(zhǎng)度約為11.7cm，則它的實(shí)際長(zhǎng)度約為（ ）
A．1.17kmB．11.7kmC．117kmD．1170km
3．（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）小明按照以下步驟畫線段AB的三等分點(diǎn)：
這一畫圖過程體現(xiàn)的數(shù)學(xué)依據(jù)是（ ）
A．兩直線平行，同位角相等
B．兩條平行線之間的距離處處相等
C．垂直于同一條直線的兩條直線平行
D．兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例
4．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考二模）如圖，直線，它們依次交直線m、n于點(diǎn)A、B、C和D、E、F，已知，，，那么等于（ ）

A．8B．7C．6D．5
5．（2023春·江蘇無錫·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，D在邊上，，O是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，若，則的長(zhǎng)為（ ）

A．2B．2.5C．3D．4
6．（2023春·江蘇蘇州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，D、E分別是的邊上的點(diǎn)，，若，則的值為（ ）

A．B．C．D．
7．（2023·江蘇無錫·江蘇省天一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）《墨子·天文志》記載：“執(zhí)規(guī)矩，以度天下之方圓.”度方知圓，感悟數(shù)學(xué)之美.如圖，正方形的面積為4，以它的對(duì)角線的交點(diǎn)為位似中心，作它的位似圖形，若，則四邊形的外接圓的半徑為（ ）

A．B．2C．D．4
8．（2023·江蘇南通·?？家荒＃┤鐖D1，在矩形中，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)E作，交于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路程為x，，如圖2所表示的是y與x的函數(shù)關(guān)系的大致圖象，當(dāng)點(diǎn)E在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的最大長(zhǎng)度是，則矩形的面積是（ ）
A．20B．16C．D．
9．（2023秋·江蘇無錫·九年級(jí)無錫市東林中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖已知平面直角坐標(biāo)系中，的直角頂點(diǎn)在軸的正半軸上，點(diǎn)在第一象限，反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，若，的面積是4，則的值為（ ）

A．B．C．D．
10．（2023春·江蘇宿遷·九年級(jí)沭陽(yáng)縣懷文中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，矩形中，點(diǎn)在邊上，，，，點(diǎn)是矩形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，滿足，連接繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至，連接，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．1
二、填空題（8小題，每小題2分，共16分）
11．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)揚(yáng)州市竹西中學(xué)?？茧A段練習(xí)）兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比為，那么這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)比為．
12．（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·八年級(jí)丹陽(yáng)市第八中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，四邊形四邊形，則的度數(shù)是．
?
13．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)揚(yáng)州市竹西中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，，若，則．

14．（2023秋·江蘇蘇州·八年級(jí)蘇州高新區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在直角中，，，，、分別為、上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若使是等腰三角形且，則．

15．（2023秋·江蘇無錫·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在正方形網(wǎng)格中：、的頂點(diǎn)都在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，，則的度數(shù)為

16．（2023春·江蘇蘇州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，和是兩等高的路燈，相距，身高的小明站在兩路燈之間（D、B、F共線），被兩路燈同時(shí)照射留在地面的影長(zhǎng)，則路燈高度為．

17．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，，，，，，則的長(zhǎng)為．

18．（2023秋·江蘇無錫·九年級(jí)無錫市太湖格致中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，中，，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線于，若，，，則.
三、解答題（10小題，共64分）
19．（2023秋·江蘇無錫·九年級(jí)文林中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知線段a、b、c，且．
（1）求的值；
（2）若線段a、b、c滿足，求a、b、c的值．
20．（2023春·江蘇蘇州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在和中，，．
（1）求證：；
（2）若，，求的長(zhǎng)．
21．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖為平行四邊形的邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，分別交、于、.
（1）求證：；
（2）若，，求.
22．（2023秋·江蘇泰州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在如圖的方格紙中，的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為、、，與是關(guān)于點(diǎn)P為位似中心的位似圖形．

（1）在圖中標(biāo)出位似中心P的位置，并寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）以原點(diǎn)O為位似中心，在位似中心的同側(cè)畫出的一個(gè)位似，使它與的位似比為，并寫出點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）的內(nèi)部一點(diǎn)M的坐標(biāo)為，寫出M在中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)．
23．（2023·江蘇鹽城·校考一模）《海島算經(jīng)》是我國(guó)魏晉時(shí)期的著名數(shù)學(xué)家劉徽所撰，該書研究的對(duì)象全是有關(guān)高與距離的測(cè)量，因首題測(cè)算海島的高、遠(yuǎn)，故而書名由此而來，它是中國(guó)最早的一部測(cè)量數(shù)學(xué)著作，亦為地圖學(xué)提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)．書中第四題為：今有望深谷，偃距岸上，令勾高六尺，從勺端望谷底，入下股九尺一寸，又設(shè)重矩于上，其矩間相去三丈（30尺），更從勺端望谷底，入上股八尺五寸，問谷深幾何？大致譯文如下:現(xiàn)在要測(cè)量谷的深度，拿一個(gè)高為6尺的“矩尺”（）仰放在岸上，從G處望向谷底（H在上），下股為9.1尺，在的延長(zhǎng)線上重新放置“矩尺”（），其中尺，尺，從E處望向谷底（C在上），下股為8.5尺，求谷的深度．（已知 、）

24．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在中，以為直徑的交于點(diǎn)D，邊與相切于點(diǎn)C，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，連結(jié)．

（1）求證：是的切線；
（2）若，，求的半徑．
25．（2023春·江蘇無錫·八年級(jí)校考階段練習(xí)）已知：如圖，在中，，，．直線從點(diǎn)出發(fā)，以的速度向點(diǎn)方向運(yùn)動(dòng)，并始終與平行，與線段交于點(diǎn)．同時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．

（1）當(dāng)為何值時(shí)，四邊形是矩形？
（2）當(dāng)面積是的面積的倍時(shí)，求出的值．
26．（2023秋·江蘇·九年級(jí)泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)?？贾軠y(cè)）如圖，點(diǎn)A在的邊上，以為直徑作，交于點(diǎn)D，連接，，給出下列信息：①切于點(diǎn)D；②；③直線與相切．

（1）請(qǐng)?jiān)谏鲜?條信息中選擇其中兩條作為條件，其余的一條信息作為結(jié)論，組成一個(gè)真命題．你選擇的條件是 、 ，結(jié)論是 （只要填寫序號(hào)），并說明理由；
（2）若，，求的長(zhǎng)．
27．（2023春·江蘇無錫·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知，，點(diǎn)在軸上方，且的面積為，點(diǎn)在射線上，且．
（1）求的值；
（2）不論在何處，過點(diǎn)且經(jīng)過垂直于的直線必經(jīng)過某一定點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）利用（2）中的結(jié)論，求的最大值．
28．（2023·江蘇宿遷·沭陽(yáng)縣懷文中學(xué)校聯(lián)考一模）如圖（1），在矩形中，，點(diǎn)，分別在邊，上（均不與端點(diǎn)重合），且，以和為鄰邊作矩形，連接，．
（1）如圖（2），當(dāng)時(shí)，與的數(shù)量關(guān)系為______，與的數(shù)量關(guān)系為______．
【類比探究】
（2）如圖（3），當(dāng)時(shí)，矩形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接，則與之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)就圖（3）給出證明；若變化，請(qǐng)寫出數(shù)量關(guān)系，并就圖說明理由．
【拓展延伸】
（3）在（2）的條件下，已知，，當(dāng)矩形旋轉(zhuǎn)至，，三點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)寫出線段的長(zhǎng)并說明理由．畫法
圖形
1．以A為端點(diǎn)畫一條射線；
2．用圓規(guī)在射線上依次截取3條等長(zhǎng)線段AC、CD、DE，連接BE；
3．過點(diǎn)C、D分別畫BE的平行線，交線段AB于點(diǎn)M、N，M、N就是線段AB的三等分點(diǎn)．

參考答案
一、選擇題（10小題，每小題2分，共20分）
1．C
【分析】根據(jù)線段成比例，可以列出方程a:b=b:c，代入數(shù)值求解即可。
【詳解】解：∵a，b，b，c是成比例線段，∴a:b=b:c，
∵a=3，c=12，∴3:b=b:12，解得b=6．故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查線段成比例的問題．關(guān)鍵是根據(jù)線段成比例的性質(zhì)，列方程求解。
2．C
【分析】由比例尺的定義，由圖上距離與實(shí)際距離的比叫做比例尺建立等量關(guān)系，解這個(gè)一元一次方程就可以求出實(shí)際距離。
【詳解】解：設(shè)這兩城市的實(shí)際距離是xcm，由題意，得
，解得：，．故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了比例線段，解題的關(guān)鍵是掌握比例尺的應(yīng)用．
3．D
【分析】根據(jù)兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，即可求解．
【詳解】解：由步驟２可得：C、D為線段AE的三等分點(diǎn)
步驟３中過點(diǎn)C、D分別畫BE的平行線，由兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例得：
M、N就是線段AB的三等分點(diǎn)
故選：D
【點(diǎn)睛】本題考查兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．掌握相關(guān)結(jié)論即可．
4．D
【分析】由題意根據(jù)平行線分線段成比例定理得出比例式，再代入求解即可．
【詳解】∵，
∴，即
∴解得，
∴．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理，能正確根據(jù)平行線分線段成比例定理得出比例式是解答此題的關(guān)鍵．
5．C
【分析】過點(diǎn)D作交于F，根據(jù)平行線分線段成比例定理可得，，，再根據(jù)O是的中點(diǎn)，可得，進(jìn)而解答即可．
【詳解】解：如圖，作交于F，

∵，O是的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．過分點(diǎn)作平行線構(gòu)建平行線分線段成比例定理的基本圖形是解決問題的關(guān)鍵．
6．D
【分析】由已知條件易求得，由可證，，可得的值，再利用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了等高的兩個(gè)三角形的面積之間的關(guān)系和相似三角形的判定和性質(zhì)，屬于基本題型，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是關(guān)鍵．
7．C
【分析】如圖，連接，利用相似多邊形的性質(zhì)求出正方形的面積，求出可得結(jié)論．
【詳解】解：如圖，連接．

∵正方形與四邊形是位似圖形，，正方形的面積為4，
∴四邊形是正方形，面積為，
∴，，
∴，
∴四邊形的外接圓的半徑為．
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查位似變換，相似多邊形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握位似圖形的概念．
8．A
【分析】由題意可知，易證，可得，根據(jù)二次函數(shù)圖象對(duì)稱性可得在中點(diǎn)時(shí)，有最大值，列出方程式即可解題．
【詳解】解：若點(diǎn)在上時(shí)，如圖，
，，
，
在和中，，，
∴，
由二次函數(shù)圖象對(duì)稱性可得在中點(diǎn)時(shí)，有最大值，此時(shí)，
，
即，
，
當(dāng)時(shí)，代入方程式
解得：（舍去），，
，
，，
矩形的面積為；
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，考查了矩形面積的計(jì)算，本題中由圖象得出為中點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
9．B
【分析】過點(diǎn)C作軸于點(diǎn)E，連接，利用反比例函數(shù)k的幾何意義得到，根據(jù)以及可得，，可得結(jié)論．
【詳解】解：過點(diǎn)C作軸于點(diǎn)E，連接，則，

∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，即，
∵的面積是4，
∴，
∵反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，
解得：．
故選：B
【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．
10．C
【分析】取的中點(diǎn)O，再把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至,連接，則有，即可求出，然后過點(diǎn)作于點(diǎn)G，連接，利用勾股定理可以得到再根據(jù)求出結(jié)果．
【詳解】解：如圖，取的中點(diǎn)O，再把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至,連接，
∵，
∴，
根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得：，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上移動(dòng)，

過點(diǎn)作于點(diǎn)G，連接，

則是矩形，
∴，，
∴，
∴
∴，
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，作輔助線構(gòu)造相似三角形確定點(diǎn)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路線是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（8小題，每小題2分，共16分）
11．/
【分析】根據(jù)相似三角形周長(zhǎng)的比、兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的高的比等于相似比解答即可．
【詳解】解：兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的高的比為，
這兩個(gè)三角形的相似比為，
兩個(gè)相似三角形的周長(zhǎng)比為；
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比是解題的關(guān)鍵．
12．
【分析】利用相似多邊形對(duì)應(yīng)角相等即可求解．
【詳解】解：∵四邊形四邊形，
∴，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等形的性質(zhì)及四邊形的內(nèi)角和定理，熟練掌握全等形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
13．
【分析】由已知線段得出，根據(jù)平行線分線段成比例定理即可得解．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理，正確運(yùn)用定理找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
14．
【分析】先利用勾股定理求得，根據(jù)題意得到，再證明，利用相似三角形的性質(zhì)列方程即可求解．
【詳解】解：∵由題意得是等腰三角形且，
∴，設(shè)，
∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，即．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．
15．/45度
【分析】延長(zhǎng)交與點(diǎn)，得，利用相似三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理可得結(jié)論．
【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)交與點(diǎn)，

，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，熟練利用正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
16．/6米
【分析】證得，那么可得，同理可得，根據(jù)，可求出，再代入相關(guān)數(shù)值，計(jì)算可得路燈高度．
【詳解】解：設(shè)，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
即,
由得，
∴，
即路燈高．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的應(yīng)用；利用線段相等得到相關(guān)比例式是解決本題的突破點(diǎn)．
17．
【分析】連接，過點(diǎn)D作邊上的高，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．先證明為直角三角形，再證明，求出，，即可得解．
【詳解】連接，過點(diǎn)D作邊上的高，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．

在中，，，
∴，，
又∵，，
∴，
∴為直角三角形，且，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，，
∴，，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形判定及性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，構(gòu)造合理的輔助線，證明是解答本題的關(guān)鍵．
18．
【分析】過點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，作于點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接，則垂直平分，可知，，設(shè)，則，故，由平行線的性質(zhì)可得，可知，進(jìn)而確定，，再證明，可得；設(shè)，則，，，，證明，由相似三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得，在中，由勾股定理可得，代入并整理可得，解得的值，即可求得，的值，然后在中由勾股定理計(jì)算的值，即可獲得答案．
【詳解】解：過點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，作于點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接，如下圖，

則垂直平分，
∴，
∴，
設(shè)，則，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
設(shè)，則，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理可得，
即，
整理可得，
∴，
∴，（舍去），
∴，，
∴在中，
．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及一元二次方程的應(yīng)用等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，難度大，正確作出輔助線，綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題關(guān)鍵．
三、解答題（10小題，共64分）
19．（1）；（2）
【分析】（1）設(shè)代入計(jì)算即可；
（2）由（1）中的結(jié)論構(gòu)建方程求出k即可．
【詳解】（1）解：設(shè)
則：
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了比例的性質(zhì)，根據(jù)已知得出進(jìn)而得出k的值是解題關(guān)鍵．
20．（1）見解析；（2）
【分析】（1）證明，即可證明；
（2）根據(jù)面積比等于相似比的平方，即可得，問題隨之得解．
【詳解】（1）∵，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
∵，
∴.
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握面積比等于相似比的平方，是解答本題的關(guān)鍵．
21．（1）詳見解析；（2）16.
【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可得：，，根據(jù)平行線分線段成比例定理，列出比例式，即可證出；
（2）將，代入（1）中結(jié)論即可.
【詳解】（1）證明：平行四邊形
∴，
∴，
∴
（2）：由（1）中證明得：
∵，代入后得
∴
【點(diǎn)睛】此題考查的是成比例的線段的證法，掌握平行線分線段成比例定理是解決此題的關(guān)鍵.
22．（1）畫圖見解析，點(diǎn)P的坐標(biāo)為
（2）畫圖見解析，點(diǎn)的坐標(biāo)為
（3）
【分析】（1）連接兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)，并延長(zhǎng)，延長(zhǎng)線的交點(diǎn)即為位似中心，根據(jù)圖形寫出坐標(biāo)即可；
（2）連接、并延長(zhǎng)，使、，連接即可；
（3）根據(jù)位似比，求出點(diǎn)的坐標(biāo)即可．
【詳解】（1）解：如圖，點(diǎn)P為所作；

點(diǎn)P的坐標(biāo)為；
（2）如圖，為所作，點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（3）點(diǎn)M在中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查作圖—位似變換，解題的關(guān)鍵是掌握位似變換的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或．
23．谷的深度為419尺
【分析】先證明A字模型相似，再利用相似三角形的性質(zhì)可得，從而可得，進(jìn)而可得，然后證明A字模型相似，再利用相似三角形的性質(zhì)可得，從而可得，進(jìn)而可得，最后可得，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【詳解】解：，
，
，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴谷的深度為419尺．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，數(shù)學(xué)常識(shí)，熟練掌握A字模型相似三角形是解題的關(guān)鍵．
24．（1）見解析；（2）的半徑為
【分析】（1）連接，，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，可得，根據(jù)半徑相等可得，根據(jù)已知條件可得，然后可得，即可得證；
（2）證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得的長(zhǎng)，勾股定理求得的長(zhǎng)，進(jìn)而即可求解．
【詳解】（1）證明：連接，，如圖，

∵邊與相切于點(diǎn)C，
∴，即，是直角三角形，
∵是的直徑，
∴，
∵在中，點(diǎn)為上的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，即，
∴，
即，
∵為的半徑，
∴是的切線；
（2）∵是的直徑，
∴，
∵，，
∴，
，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
∴的半徑為．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
25．（1）；（2）
【分析】（1）根據(jù)勾股定理可得的長(zhǎng)，由，可得可求的長(zhǎng)，當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形，列出方程即可解決問題；
（2）表示出的長(zhǎng)，求出的面積，根據(jù)計(jì)算即可．
【詳解】（1）解：在中，，，，
，
，
，
，
，，
當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形，
，
解得：；
（2），
，
，
，
，
解得：．
【點(diǎn)睛】本題考查矩形的判定和性質(zhì)、一元一次方程的應(yīng)用，平行線分線段成比例定理、三角形的面積、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)構(gòu)建參數(shù)解決問題．
26．（1）②③，①，理由見詳解（其他情況也可以）；（2）6
【分析】（1）選擇的條件是②③，結(jié)論是①時(shí)，連接，先證明，即有，可得半徑，問題得證；選擇的條件是①②，結(jié)論是③，證明方法同上；選擇的條件是①③，結(jié)論是②時(shí)，連接，，先證明，即有，根據(jù)，可得，即有；
（2）連接，，先證明，再證明，即有，即可得，則有．
【詳解】（1）選擇的條件是②③，結(jié)論是①，
理由：連接，如圖，

∵，
∴，
∵直線與相切，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴半徑，
∴切于點(diǎn)D；
選擇的條件是①②，結(jié)論是③，證明方法同上；
選擇的條件是①③，結(jié)論是②，
理由：連接，，如圖，

∵直線與相切，切于點(diǎn)D，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）連接，，如圖，

∵直線與相切，，
∴，
∴，
∴，
∵為直徑，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理等知識(shí)，掌握切線的判定與性質(zhì)，是解答本題的關(guān)鍵．
27．（1）；（2）定點(diǎn)；（3）
【分析】（1）通過證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求解．
（2）通過證明，由相似三角形的性質(zhì)可求解；
（3）由相似三角形的性質(zhì)可得，則當(dāng)取最小值時(shí)有最大值，確定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，即可求解．
【詳解】（1）解：，
，
，，
，
，
；
（2）解：如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
的面積為，
，
，
，
，
，
，
，
過點(diǎn)且經(jīng)過垂直于的直線必經(jīng)過定點(diǎn)；
（3）解：，
，
當(dāng)取最小值時(shí)有最大值，
，
點(diǎn)在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，
，
，
的最小值為，
的最大值為．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，直角所對(duì)的弦是直徑，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
28．（1），；
（2）與之間的數(shù)量關(guān)系發(fā)生變化，，理由見解析；
（3）或，見解析
【分析】（1）根據(jù)題意得出，，即可推出，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，，，則，，即可得出；
（2）根據(jù)題意得出，，進(jìn)而得出，，則，連接，通過證明，即可得出結(jié)論；
（3）當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，根據(jù)勾股定理求出，則，即可得出；當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，同理可求，則．
【詳解】解：（1），，
理由如下：
當(dāng)，則，，
，
，
四邊形是矩形，四邊形是矩形，
，，，
，，
，
，
故答案為：，；
（2）與之間的數(shù)量關(guān)系發(fā)生變化，，
理由如下：如圖（1）在矩形和矩形中，
當(dāng)時(shí)，，，
，，
，
如圖（3）連接，
矩形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，
，
，
，
；
（3）如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，
，，
，
，
，，
，
，
；
如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，
同理可求，
；
綜上所述：線段的長(zhǎng)為或．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、數(shù)形結(jié)合與分類討論數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用等知識(shí)與方法，此題綜合性強(qiáng)，難度較大，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵。

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