1．二次函數(shù)y＝－(x＋3)2＋9的圖象的頂點坐標是( )
A．(－3，9) B．(3，9) C．(9，3) D．(9，－3)
2．下列調(diào)查適合采用普查的是( )
A．調(diào)查某綜藝節(jié)目的收視情況
B．調(diào)查神舟十六號載人飛船的零部件合格情況
C．調(diào)查一個大型池塘中現(xiàn)有魚的數(shù)量
D．調(diào)查某城市的空氣質(zhì)量
3．若A(－1，7)、B(5，7)是拋物線y＝ax2＋bx＋c上的兩點，則該拋物線的對稱軸是( )
A．直線x＝1
B．直線x＝2
C．直線x＝3
D．直線x＝4
4．如圖，C、D是⊙O上兩點，且位于直徑AB兩側(cè)，連結(jié)BC、CD、BD，若∠ABC＝25°，則∠BDC的度數(shù)為( )
A．85° B．75° C．70° D．65°
5．若A(－3，y1)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，y2))，C(2，y3)在二次函數(shù)y＝x2＋2x＋c的圖象上，則y1，y2，y3的大小關系是( )
A．y2＜y1＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y2＜y1
6．如圖，PM、PN是⊙O的切線，B、C是切點，A、D是⊙O上的兩點，若∠P＝44°，∠D＝98°，則∠MBA的度數(shù)為( )
A．38° B．28° C．30° D．40°
7．如圖，⊙O的直徑為6，PA是⊙O的切線，切點為A，PO的延長線交⊙O于點B，若∠P＝40°，則eq \(AB,\s\up8(︵))的長為( )
A.eq \f(5π,3) B.eq \f(10π,3) C.eq \f(13π,6) D.eq \f(13π,3)
8．在平面直角坐標系中，將二次函數(shù)y＝－x2＋x＋6在x軸上方的圖象沿x軸翻折到x軸下方，圖象的其余部分不變，將這個新圖象記為G(如圖所示)，當直線y＝－x＋m與圖象G有4個交點時，m的取值范圍是( )
A．－eq \f(25,4)＜m＜3
B．－eq \f(25,4)＜m＜－2
C．－2＜m＜3
D．－6＜m＜－2
二、填空題(每題3分，共18分)
9．為了解某市參加中考的32 000名學生的體重情況，隨機抽查了其中1 600名學生的體重進行統(tǒng)計分析，則該抽樣調(diào)查中樣本容量是________．
10．如圖是二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象的一部分，對稱軸為直線x＝1，與x軸的一個交點為A(3，0)，則不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是________．
11．如圖是一個古代車輪的碎片，小明為求其外圓半徑，連結(jié)外圓上的兩點A、B，并使AB與車輪內(nèi)圓相切于點D，過點D作CD⊥AB交外圓于點C，測得CD＝10 cm，AB＝60 cm，則這個車輪的外圓半徑是________cm.
12．在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝－x2＋mx＋3的圖象過點(4，3)，當0≤x≤a 時，y有最大值7，最小值3，則a的取值范圍是________．
13．2023年5月28日，C919商業(yè)首航完成——中國民航商業(yè)運營國產(chǎn)大飛機正式起步.12時31分航班抵達北京首都機場，穿過隆重的“水門禮”(寓意“接風洗塵”，是國際民航中高級別的禮儀)，如圖①.在一次“水門禮”的預演中，兩輛消防車面向飛機噴射水柱，噴射的水柱近似看作形狀相同的拋物線的一部分．如圖②，當兩輛消防車噴水口A、B的水平距離為80 m時，兩條水柱在拋物線的頂點H處相遇，此時相遇點H距地面20 m，噴水口A、B距地面均為4 m．若兩輛消防車同時后退10 m，兩條水柱的形狀及噴水口A′、B′到地面的距離均保持不變，則此時兩條水柱相遇點H′距地面________m.
14．如圖，點A，B的坐標分別為A(2，0)，B(0，2)，點C為坐標平面內(nèi)一點，BC＝1，點M為線段AC的中點，連結(jié)OM，則OM的最大值為________．
三、解答題(第15，16題每題5分，第17～19題每題6分，第20，21題每題8分，第22題10分，其余每題12分，共78分)
15．如圖，已知C、D是以AB為直徑的⊙O上的兩點，連結(jié)BC、OC、OD、AD、CD，若OD∥BC，求證：AD＝CD.
16．如圖，平面直角坐標系中有一條圓心角為90°的圓弧，且該圓弧經(jīng)過點A(0，4)，B(－4，4)，C(－6，2)．
(1)作出該圓弧所在圓的圓心M，并寫出點M的坐標；
(2)連結(jié)AM，CM，求扇形AMC的面積．
17．在平面直角坐標系xOy中，二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象過點A(1，0)和B(0，－3)．
(1)求此二次函數(shù)的表達式；
(2)求此二次函數(shù)圖象的頂點坐標；
(3)此二次函數(shù)圖象經(jīng)過平移，能得到二次函數(shù)y＝(x＋5)2－2的圖象嗎？若能，請直接寫出平移方法；若不能，請說明理由．
18．如圖，AB是⊙O的直徑，AD⊥AB于點A，點E為⊙O上一點，AD＝DE，延長DE，交AB的延長線于點C.
(1)求證：CD與⊙O相切；
(2)若AC＝6，∠C＝30°，求線段EC的長．
19．為了增強學生的安全意識，某校組織了一次全校2 500名學生都參加的“安全知識”考試．閱卷后，學校團委隨機抽取了100份考卷進行統(tǒng)計分析，發(fā)現(xiàn)考試成績x(分)的最低分為51分，最高分為滿分100分，并繪制了如下尚不完整的統(tǒng)計圖表．

請根據(jù)圖表提供的信息，解答下列問題：
(1)填空：a＝________，b＝________，n＝________；
(2)將頻數(shù)分布直方圖補充完整；
(3)該校對考試成績?yōu)?0＜x≤100的學生進行獎勵，按成績從高分到低分設一、二、三等獎，并且一、二、三等獎的人數(shù)比為1∶3∶6，請你估計全校獲得二等獎的學生有多少名．
20．如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線y＝x2－3x與x軸交于點A和點O，與y軸垂直的直線l交該拋物線于點B和點C，設點B的縱坐標為n.
(1)求線段OA的長；
(2)當函數(shù)值y隨x增大而增大時，直接寫出自變量x的取值范圍；
(3)當線段BC的長小于OA時，直接寫出n的取值范圍．
21．金秋十月，我省某農(nóng)業(yè)合作社有機水稻再獲豐收，加工成有機大米后通過實體和電商兩種渠道進行銷售．該大米成本為每千克12元，銷售價格不低于成本，且不超過22元/kg，根據(jù)各銷售渠道的反饋，發(fā)現(xiàn)該大米一天的銷售量y(kg)是該天的售價x(元/kg)的一次函數(shù)，部分數(shù)據(jù)如表：
(1)求一天的銷售量y(kg)與售價x(元/kg)之間的函數(shù)關系式，并寫出x的取值范圍．
(2)若某天銷售這種大米獲利3 250元，則這天該大米的售價為多少？
(3)該大米售價定為多少時，當天獲利最大？最大利潤為多少？
22．(1)【感悟】
如圖①，把直角三角尺的直角頂點O放在破損圓形玻璃鏡的圓周上，兩直角邊與圓弧分別交于點M、N，連結(jié)MN，則線段MN為圓形玻璃鏡的直徑．此結(jié)論體現(xiàn)的數(shù)學道理是________________________．
(2)【應用】
如圖②，A、B、C三點在⊙O上，且∠ACB＝90°，過點A作AD垂直于⊙O的切線CD，垂足為D，若AC＝4，BC＝3，求AD的長．
(3)【拓展】
如圖③，已知△ABC是等邊三角形，以AC為底邊在△ABC外作等腰直角三角形ACD，點E為BC的中點，連結(jié)DE，請直接寫出∠ADE＋∠DEC的度數(shù)．
23．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是直徑，D是AC的中點，直線OD與⊙O相交于E、F兩點，P是⊙O外一點，P在直線OD上，連結(jié)PA、PC、AF，且∠PCA＝∠ABC.
(1)求證：PA是⊙O的切線；
(2)求證：EF2＝4OD·OP；
(3)若BC＝8，tan∠AFP＝eq \f(2,3)，求DE的長．
24．在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A(－1，0)、Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(5,2)))在拋物線y＝eq \f(1,2)x2＋bx＋c上，點C為該拋物線的頂點．點P為該拋物線上一點，其橫坐標為m.
(1)求該拋物線對應的函數(shù)關系式；
(2)連結(jié)BP，當BP⊥y軸時，順次連結(jié)點A、B、C、P，求四邊形ABCP的面積；
(3)當m＞0時，設該拋物線在點B與點P之間(包含點B和點P)的部分圖象的最低點和最高點到x軸的距離分別為k、n，若k－n＝2，求m的取值范圍；
(4)當點P在第四象限時，作點P關于點O的對稱點Q，以PQ為對角線構(gòu)造矩形PMQN，該矩形的邊均與坐標軸垂直，且點A、B在該矩形的內(nèi)部．設拋物線在該矩形內(nèi)部及邊界的圖象為G，圖象G的最高點與最低點的縱坐標之差為d，最低點在該矩形邊所在的直線記為l，若點C到直線l的距離等于eq \f(1,7)d，直接寫出m的值．
答案
一、1.A 2.B 3.B 4.D 5.A 6.C 7.C
8．D 點撥：如圖，設圖象G與x軸交點為A，B，當y＝0時，－x2＋x＋6＝0，
解得x1＝－2，x2＝3，則A(－2，0)，B(3，0)．
由題意得當－2≤x≤3時，圖象G的表達式為y＝x2－x－6.
當直線y＝－x＋m經(jīng)過點A(－2，0)時，2＋m＝0，解得m＝－2；
當直線y＝－x＋m與拋物線y＝x2－x－6(－2≤x≤3)有唯一公共點時，方程x2－x－6＝－x＋m有兩個相等的實數(shù)根，則易得m＝－6，所以當直線y＝－x＋m與圖象G有4個交點時，m的取值范圍為－6＜m＜－2.
二、9.1 600 10.－1＜x＜3
11．50 12.2≤a≤4 13.19 14.eq \r(2)＋eq \f(1,2)
三、15.證明：∵OB＝OC，∴∠B＝∠OCB.
∵OD∥BC，∴∠AOD＝∠B，∠COD＝∠OCB，
∴∠AOD＝∠COD，∴AD＝CD.
16．解：(1)如圖，連結(jié)AB、BC，分別作線段AB、BC的垂直平分線，兩直線交于點M.點M的坐標為(－2，0)．
(2)如圖，圓弧所在圓的半徑為eq \r(22＋42)＝2 eq \r(5)，
∴S扇形AMC＝eq \f(90×π×（2 \r(5)）2,360)＝5π.
17．解：(1)把A(1，0)和B(0，－3)的坐標代入y＝x2＋bx＋c，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＋b＋c＝0，,c＝－3，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝2，,c＝－3，))
∴此二次函數(shù)的表達式為y＝x2＋2x－3.
(2)∵y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，
∴此二次函數(shù)圖象的頂點坐標為(－1，－4)．
(3)能．(平移方法不唯一)將此二次函數(shù)圖象先向左平移4個單位，再向上平移2個單位．
18．(1)證明：連結(jié)AE、OE.
∵AD＝DE，AO＝EO，
∴∠DAE＝∠DEA，∠OAE＝∠AEO，∴∠DAO＝∠DEO.
∵AD⊥AB，∴∠DAO＝90°，∴∠DEO＝90°，∴OE⊥CD.
又∵OE是⊙O的半徑，∴CD與⊙O相切．
(2)解：設⊙O的半徑為r，則OC＝AC－OA＝6－r，由(1)可得∠OEC＝90°.
∵∠C＝30°，∴OE＝eq \f(1,2)OC，
∴r＝eq \f(1,2)(6－r)，解得r＝2，∴OC＝6－2＝4，
∴EC＝eq \r(OC2－OE2)＝eq \r(42－22)＝2 eq \r(3).
19．解：(1)10；25；0.25
(2)補全的頻數(shù)分布直方圖如圖所示．
(3)因為2 500×0.12×eq \f(3,1＋3＋6)＝90(名)，
所以估計全校獲得二等獎的學生有90名．
20．解：(1)令y＝0，則x2－3x＝0.解得x1＝0(舍去)，x2＝3.
∴點A的坐標為(3，0)．∴OA＝3.
(2)x的取值范圍為x＞eq \f(3,2).
(3)當線段BC的長小于OA時，n的取值范圍為－eq \f(9,4)＜n＜0.
21．解：(1)設一天的銷售量y(kg)與售價x(元/kg)之間的函數(shù)關系式為y＝kx＋b，
由題意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(14k＋b＝800，,16k＋b＝700，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－50，,b＝1 500，))所以一天的銷售量y(kg)與售價x(元/kg)之間的函數(shù)關系式為y＝－50x＋1 500(12≤x≤22)．
(2)由題意，得(x－12)(－50x＋1 500)＝3 250，解得x＝17或x＝25(舍)，
所以這天該大米的售價為17元/kg.
(3)設當天獲利w元，由題意，得w＝(x－12)(－50x＋1 500)＝－50(x－21)2＋4 050，因為－50＜0，
所以當x＝21時，w有最大值4 050，即該大米售價定為21元/kg時，當天獲利最大，最大利潤為4 050元．
22．解：(1)【感悟】90°的圓周角所對的弦是圓的直徑
(2)【應用】連結(jié)AB，CO，如圖．
∵∠ACB＝90°，∴AB是⊙O的直徑，AB＝eq \r(AC2＋BC2)＝eq \r(42＋32)＝5.
∵CD是⊙O的切線，∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠DAC＝∠ACO.
∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠OAC，∴∠DAC＝∠OAC.
∵∠ADC＝90°＝∠ACB，∴△ADC∽△ACB，
∴eq \f(AD,AC)＝eq \f(AC,AB)，即eq \f(AD,4)＝eq \f(4,5)，∴AD＝eq \f(16,5).
(3)【拓展】∠ADE＋∠DEC＝105°.
23．(1)證明：∵D是AC的中點，
∴OD⊥AC，∴PD是AC的垂直平分線，
∴PA＝PC，∴∠PAC＝∠PCA.
∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB＋∠ABC＝90°.
又∵∠PCA＝∠ABC，
∴∠PCA＋∠CAB＝90°，
∴∠PAC＋∠CAB＝90°，即AB⊥PA，
∴PA是⊙O的切線．
(2)證明：由(1)知∠ODA＝∠OAP＝90°.
又∵∠AOD＝∠POA，
∴Rt△AOD∽Rt△POA，
∴eq \f(OA,OP)＝eq \f(OD,OA)，
∴OA2＝OD·OP.
又∵OA＝eq \f(1,2)AB＝eq \f(1,2)EF，
∴eq \f(1,4)EF2＝OD·OP，即EF2＝4OD·OP.
(3)解：設AD＝2a(a＞0)，在Rt△ADF中，
∵tan∠AFD＝eq \f(AD,DF)＝eq \f(2,3)，
∴DF＝3a.
∵∠ADO＝∠ACB＝90°，∠DAO＝∠CAB，
∴△ADO∽△ACB，∴eq \f(OD,BC)＝eq \f(OA,AB)＝eq \f(1,2)，∴OD＝eq \f(1,2)BC＝4，
∴AO＝OE＝OF＝3a－4.
∵OD2＋AD2＝AO2，∴42＋(2a)2＝(3a－4)2，
解得a＝eq \f(24,5)或a＝0(舍去)，
∴DE＝OE－OD＝3a－4－4＝eq \f(32,5).
24．解：(1)∵點A(－1，0)、Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(5,2)))在拋物線y＝eq \f(1,2)x2＋bx＋c上，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×（－1）2－b＋c＝0，,c＝－\f(5,2)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝－2，,c＝－\f(5,2)，))
∴該拋物線對應的函數(shù)關系式為y＝eq \f(1,2)x2－2x－eq \f(5,2).
(2)如圖，∵y＝eq \f(1,2)x2－2x－eq \f(5,2)＝eq \f(1,2)(x－2)2－eq \f(9,2)，
∴該拋物線的頂點坐標為Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－\f(9,2)))，
∵BP⊥y軸，
∴點B與點P關于直線x＝2對稱，∴BP＝4，
∴四邊形ABCP的面積為eq \f(1,2)×4×eq \f(5,2)＋eq \f(1,2)×4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,2)－\f(5,2)))＝9.
(3)①當0＜m＜2時，k＝－eq \f(1,2)m2＋2m＋eq \f(5,2)，n＝eq \f(5,2).
∵k－n＝2，
∴－eq \f(1,2)m2＋2m＋eq \f(5,2)－eq \f(5,2)＝2，
解得m1＝m2＝2(舍去)；
②當2≤m≤4時，k＝eq \f(9,2)，n＝eq \f(5,2)，
∴k－n＝2，
∴m的取值范圍為2≤m≤4；
③當4＜m＜5時，k＝eq \f(9,2)，n＝－eq \f(1,2)m2＋2m＋eq \f(5,2).
∵k－n＝2，∴eq \f(9,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)m2＋2m＋\f(5,2)))＝2，
解得m1＝0(舍去)，m2＝4(舍去)；
④當m≥5時，k＝eq \f(9,2)，n＝eq \f(1,2)m2－2m－eq \f(5,2).
∵k－n＝2，
∴eq \f(9,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)m2－2m－\f(5,2)))＝2，
解得m1＝2＋eq \r(14)，m2＝2－eq \r(14)(舍去)．
綜上所述，m的取值范圍為2≤m≤4或m＝2＋eq \r(14).
(4)eq \f(14,11)或2＋eq \r(2)或eq \f(－3＋\r(85),2). 成績x(分)
頻數(shù)(人數(shù))
頻率
50＜x≤60
a
0.1
60＜x≤70
18
0.18
70＜x≤80
b
n
80＜x≤90
35
0.35
90＜x≤100
12
0.12
合計
100
1
售價x(元/kg)
…
14
16
18
…
銷售量y(kg)
…
800
700
600
…

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