一、選擇題
1．若復(fù)數(shù)z滿足，則( )
A.B.C.D.
2．已知集合，，則=( )
A.B.C.D.
3．已知為銳角，且，則等于( )
A.B.C.D.
4．同位素測(cè)年法最早由美國(guó)學(xué)者WillardFrankLibby在1940年提出并試驗(yàn)成功，它是利用宇宙射線在大氣中產(chǎn)生的的放射性和衰變?cè)韥?lái)檢測(cè)埋在地下的動(dòng)植物的死亡年代，當(dāng)動(dòng)植物被埋地下后，體內(nèi)的碳循環(huán)就會(huì)停止，只進(jìn)行放射性衰變.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，動(dòng)植物死亡后的時(shí)間n（單位：年）與滿足關(guān)系式，且（動(dòng)植物體內(nèi)初始的含量為，死亡n年后的含量為）.現(xiàn)在某古代祭祀坑中檢測(cè)出一樣本中的含量為原來(lái)的，可以推測(cè)該樣本距今約（參考數(shù)據(jù)：，）( )
A.2750年B.2865年C.3050年D.3125年
5．某圓錐的軸截面是斜邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，則該圓錐的側(cè)面積為( )
A.πB.C.D.
6．已知非零向量，滿足，且，則與夾角的余弦值為( )
A.B.C.D.
7．2023世界科幻大會(huì)在成都舉辦，主題場(chǎng)館以自由?擴(kuò)散?無(wú)界的未來(lái)建筑形象詮釋科學(xué)與科幻主題，提取古蜀文化中神秘“古蜀之眼（黃金面具）”融入“星云”屋頂造型，建筑首層圍繞共享中庭設(shè)置了劇場(chǎng)?主題展區(qū)及博物館三大主題空間.現(xiàn)將4名志愿者安排到這三個(gè)主題空間進(jìn)行志愿服務(wù)，則每個(gè)主題空間都有志愿者的不同的安排方式有( )
A.6種B.18種C.24種D.36種
8．從直角三角形頂點(diǎn)中任取兩個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成向量，在這些向量中任取兩個(gè)不同的向量進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算，則數(shù)量積為0的概率為( )
A.B.C.D.
9．如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為平行四邊形，且，E為的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角的余弦值為( )
A.B.C.D.
10．若函數(shù)是偶函數(shù)，則( )
A.B.C.1D.
11．已知，是雙曲線（，）的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)（）是雙曲線E上的點(diǎn)，點(diǎn)C是內(nèi)切圓的圓心，若，則雙曲線E的漸近線為( )
A.B.C.D.
12．已知函數(shù)，則，，的大小關(guān)系為( )
A.B.
C.D.
二、填空題
13．已知中，角A，B，C所對(duì)的邊，，，則_________.
14．函數(shù)圖象在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)________.
15．已知圓C的圓心與拋物線的焦點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，直線與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且，則圓C的方程為_(kāi)________.
16．已知側(cè)棱長(zhǎng)為的正四棱錐各頂點(diǎn)都在同一球面上，若該球的表面積為36π，則該四棱錐的體積為_(kāi)________.
三、解答題
17．在某果園的苗圃進(jìn)行果苗病蟲(chóng)害調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了200棵受到某病蟲(chóng)害的果苗，并測(cè)量其高度h（單位：），得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖.
（1）估計(jì)該苗圃受到這種病蟲(chóng)害的果苗的平均高度（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；
（2）估計(jì)該苗圃一棵受到這種病蟲(chóng)害的果苗高度位于區(qū)間的概率；
（3）已知該苗圃的果苗受到這種病蟲(chóng)害的概率為，果苗高度位于區(qū)間的棵數(shù)占該果苗總棵數(shù)的.從該苗圃中任選一棵高度位于區(qū)間的果苗，求該棵果苗受到這種病蟲(chóng)害的概率（以樣本數(shù)據(jù)中受到病蟲(chóng)害果苗的高度位于各區(qū)間的頻率作為受到病蟲(chóng)害果苗的高度位于該區(qū)間的概率）.
18．如圖，四棱錐的底面是矩形，底面ABCD，，M為BC的中點(diǎn)，且.
(1)求BC；
(2)求二面角的正弦值.
19．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若，，求證：.
20．已知點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)，A，B為橢圓E短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，且的面積為，.
（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知過(guò)點(diǎn)的直線l與橢圓E交于M，N兩點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)P，使得直線的斜率之和為定值？若存在，求出定點(diǎn)P的坐標(biāo)及該定值.若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
21．已知函數(shù)，.
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，令，若為的極大值點(diǎn)，證明：.
22．在平面直角坐標(biāo)系中，直線的普通方程為；曲線C的參數(shù)方程是（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系.
（1）求直線l與曲線C的極坐標(biāo)方程；
（2）直線與直線l與曲線C分別交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)B與點(diǎn)O不重合），若，求的值.
23．已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；
（2）若，求a的取值范圍.
參考答案
1．答案：B
解析：.
故選：B.
2．答案：C
解析：由題意得，，，則.故選C.
3．答案：C
解析：因?yàn)?，，所以?br>所以.
故選：C.
4．答案：B
解析：依題意，經(jīng)過(guò)n年后含量為，則有，即，
解得，所以.
故選：B.
5．答案：B
解析：設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，母線長(zhǎng)為l，
因?yàn)閳A錐的軸截面是斜邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，可得，，
所以該圓錐的側(cè)面積為.
故選：B.
6．答案：B
解析：因?yàn)椋?br>所以.
設(shè)與的夾角為，則.
故選：B.
7．答案：D
解析：首先根據(jù)題意將志愿者分成三組有種分法，
安排到三個(gè)主題空間有種，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，
不同的安排方式有種.
故選：D.
8．答案：B
解析：設(shè)A，B，C是直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，其中，
從從直角三角形頂點(diǎn)中任取兩個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成向量有：，，，，，，一共有6個(gè)，
因?yàn)閮蓚€(gè)向量數(shù)量積為零，
所以它們互相垂直，即有，，，，符合題意，
所以數(shù)量積為0的概率為，
故選：B.
9．答案：B
解析：如圖所示：
分別取，，的中點(diǎn)F，G，H，連接，，，，，.
由且可得是等邊三角形，
則且，且，故且，
所以四邊形為平行四邊形，故，
因?yàn)椋詾楫惷嬷本€SC與DE所成的角（或其補(bǔ)角），
因?yàn)槠矫?，，平面，，?br>故和均為直角三角形，
所以，，
，
由余弦定理得.
則異面直線與所成的角的余弦值為.
故選：B.
10．答案：D
解析：由題意可知：函數(shù)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
且，
若函數(shù)是偶函數(shù)，則，即，
所以，即.
故選：D.
11．答案：A
解析：設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，則有，
所以，由雙曲線的定義可知，繼而，
E的漸近線為，化簡(jiǎn)為，
故選：A.
12．答案：C
解析：函數(shù)的定義域?yàn)镽，，即是偶函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，求導(dǎo)得，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，
令函數(shù)，，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，
因此，而，因此，
所以.
故選：C.
13．答案：
解析：在中，，，，由余弦定理得，
所以.
故答案為：.
14．答案：
解析：函數(shù)，求導(dǎo)得，則，
所以函數(shù)圖象在點(diǎn)處的切線方程為.
故答案為：.
15．答案：
解析：由的焦點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，
所以圓C的圓心為，設(shè)半徑為r，
點(diǎn)C到直線的距離為d，則，
所以，
所以圓C的方程為：，
故答案是：.
16．答案：/
解析：設(shè)四棱錐為，底面的中心為O，
設(shè)外接球的半徑為R，底面正方形的邊長(zhǎng)為，四棱錐的高為，則，
由，得，顯然，
四棱錐的外接球球心到平面的距離，
由，得，解得，，
所以四棱錐的體積.
故答案為：.
17．答案：（1）33cm
（2）0.6
（3）0.0225
解析：（1）由頻率分布直方圖得該苗圃受到這種病蟲(chóng)害的果苗的平均高度為：.
（2）該苗圃一棵受到這種病蟲(chóng)害的果苗高度位于區(qū)間的頻率為：.
所以，估計(jì)該苗圃一顆受到這種病蟲(chóng)害的果苗高度位于區(qū)間的概率為0.6.
（3）設(shè)從苗圃中任選一棵高度位于區(qū)間的果苗為事件A，該棵果苗受到這種病蟲(chóng)害為事件B，
則.
18．答案：(1)
(2)二面角的正弦值為
解析：(1)方法一：平面ABCD，四邊形ABCD為矩形，
不妨以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、DP所在直線分別為x、y、z軸建立如圖，
所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則、、、、，
則，，
，則，解得，
故.
方法二：如圖，連接BD.
因?yàn)榈酌鍭BCD，且底面ABCD，所以.
又因?yàn)?，，所?
又平面PBD，所以.
從而.
因?yàn)?，所?
所以，于是.
所以.所以.
(2)設(shè)平面PAM的法向量為，
則，，
由，取，可得，
設(shè)平面PBM的法向量為，
，，
由，取，可得，
，
所以，，
因此，二面角的正弦值為.
19．答案：（1）
（2）證明見(jiàn)解析
解析：（1）由①，
當(dāng)時(shí)，解得，
當(dāng)時(shí)，②，
①-②，得，
數(shù)列是以首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，
.
經(jīng)驗(yàn)證符合上式，所以.
（2）由（1）知，
，.
則，
故
，
所以，，，
故.
20．答案：（1）
（2）存在，定點(diǎn)，定值0
解析：（1）依題意，的面積，而，
所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程是.
（2）顯然直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為，，，
由在直線l上，得，
由消去y并整理得，
顯然，即，則，
直線，的斜率分別為，，
因此
，
要使為定值，當(dāng)且僅當(dāng)，即點(diǎn)，
所以存在定點(diǎn)P，使得直線，的斜率之和為定值0，點(diǎn).
21．答案：（1）答案見(jiàn)解析
（2）證明見(jiàn)解析
解析：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，?br>①當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
②當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2）當(dāng)時(shí)，，，
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，
又，，
所以存在，使得，
且當(dāng)，，，；
又當(dāng)，，，；
故當(dāng)，；當(dāng)，；當(dāng)，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，故，
且，所以，，
，
又在單調(diào)遞減，所以.
22．答案：（1），
（2）
解析：（1）由，，得直線l的極坐標(biāo)方程為.
由，得曲線C的普通方程為，
即，
由，，得曲線C的極坐標(biāo)方程為.
（2）把代入，得，
把代入，得，
，，
即，
，解得，
又，.
23．答案：（1）
（2）
解析：（1）當(dāng)時(shí)，.
若，則當(dāng)時(shí)，，故，
當(dāng)時(shí)，，故，
又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，
所以不等式的解集為.
（2）由題設(shè)可得，
所以或.
當(dāng)時(shí)，，故.
當(dāng)時(shí)，，故.
綜上，a的取值范圍是.

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