滿分：150分 考試時(shí)長：120分
一、選擇題(每小題5分，滿分60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1. 已知集合，則與集合的關(guān)系為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把集合A用列舉法表示出來，利用元素和集合是屬于或不屬于的關(guān)系，就能判斷選項(xiàng).
【詳解】
故選：B
2. 已知，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】由建立的等量關(guān)系，求解，從而判斷選項(xiàng).
【詳解】因?yàn)?，化簡得，解得或，故“”是“”的必要不充分條件.
故選：B．
3. 命題“,”的否定是
A. ,B. ,
C. ,D. ,
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用特稱命題的否定為全稱命題的定義，即可得答案.
【詳解】∵命題“,”，
∴命題的否定為：,.
故選：D.
【點(diǎn)睛】本題考查特稱命題的否定，考查對概念的理解與應(yīng)用，求解時(shí)注意將存在改成任意，同時(shí)對結(jié)論進(jìn)行否定.
4. 一百零八塔是中國現(xiàn)存的大型古塔群之一，位于銀川市南60公里的青銅峽水庫西岸崖壁下，佛塔依山勢自上而下，按1、3、3、5、5、7、9、11、13、15、17、19的奇數(shù)排列成十二行，塔體分為4種類型：第1層塔身覆缽式，2~4層為八角鼓腹錐頂狀，5~6層呈葫蘆狀，7~12層呈寶瓶狀，現(xiàn)將一百零八塔按從上到下，從左到右的順序依次編號1，2，3，4，…，108．則編號為26的佛塔所在層數(shù)和塔體形狀分別為（ ）
一百零八塔全景
A. 第5行，呈葫蘆狀B. 第6行，呈葫蘆狀
C. 第7行，呈寶瓶狀D. 第8行，呈寶瓶狀
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意算出佛塔依山勢自上而下前6行的總數(shù)，然后確定編號為26的佛塔所在層數(shù)和塔體形狀即可.
【詳解】因?yàn)?，故編號?6的佛塔在第7行，呈寶瓶狀．
故選：C
5. 已知向量，若，則（ ）
A. －1B. 0C. 1D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】先根據(jù)向量的坐標(biāo)表示出,然后根據(jù)坐標(biāo)形式下向量的平行關(guān)系列出對應(yīng)的等式，求解出的值即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
又因?yàn)椋裕?br>所以解得：，
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)坐標(biāo)形式下向量的平行關(guān)系求解參數(shù)，難度較易.已知，則有.
6. 已知，，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用平方關(guān)系求出，然后由余弦的兩角差公式可得.
【詳解】因?yàn)椋?，，?br>所以，
所以.
故選：A
7. 某班有學(xué)生人，現(xiàn)將所有學(xué)生按，，，，隨機(jī)編號，若采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為的樣本（等距抽樣），已知編號為，，，，號學(xué)生在樣本中，則（ ）
A. B. C. 14D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出組距，然后根據(jù)第一個(gè)被取編號即可確定a、b，即可得答案.
【詳解】因?yàn)?，所以組距為10，
因?yàn)榈谝粋€(gè)被抽取的編號為4，所以，
所以.
故選：A
8. 某咖啡店門前有一個(gè)臨時(shí)停車位，小轎車在此停車時(shí)長超過10分鐘就會被貼罰單．某顧客將小轎車停在該車位后，來到該咖啡店消費(fèi)，忽略該顧客從車內(nèi)到咖啡店以及以從咖啡店回到車內(nèi)的時(shí)間，若該顧客上午10：02到達(dá)咖啡店內(nèi)，他將在當(dāng)天上午10：08至上午10：15的任意時(shí)刻離開咖啡店回到車內(nèi)，則他的車不會被貼罰單的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用幾何概型的概率計(jì)算公式直接求解.
【詳解】他在當(dāng)天上午10：08至上午10：15的任意時(shí)刻離開咖啡店回到車內(nèi)，
其中在10：08至上午10：12的任意時(shí)刻離開咖啡店回到車內(nèi)，他的車不會被貼罰單，
故由幾何概型可知他的車不會被貼罰單的概率為．
故選：C
9. 下列說法中正確的是（ ）
A. 沒有公共點(diǎn)的兩條直線是異面直線
B. 若兩條直線a，b與平面α所成的角相等，則
C. 若平面α，β，γ滿足，，則
D. 已知a，b是不同的直線，α，β是不同的平面.若，，，則
【答案】D
【解析】
【分析】利用空間位置關(guān)系的定義及判定來判斷選項(xiàng)即可.
【詳解】對A，沒有公共點(diǎn)的兩條直線是異面直線或平行直線，故A錯誤；
對B，若兩條直線a，b與平面α所成的角相等，
則a，b可以平行、相交或異面，故B錯誤；
對C，若平面α，β，γ滿足，，則α，γ不一定垂直，故C錯誤；
對D，兩個(gè)平面垂直等價(jià)于這兩個(gè)平面的垂線垂直，故D正確.
故選：D.
10. 直線（）截圓所得弦長的最小值是（ ）
A. 2B. C. 4D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】求出直線過的定點(diǎn)、圓的圓心坐標(biāo)及半徑，再利用圓的性質(zhì)及弦長公式計(jì)算即得.
【詳解】依題意，直線過定點(diǎn)，圓的圓心，半徑，
，即點(diǎn)在圓內(nèi)，當(dāng)且僅當(dāng)直線與直線垂直時(shí)，直線截圓所得弦長最短，
所以所求最短弦長為.
故選：C
11. 已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，焦距為，在第一象限存在點(diǎn)，且點(diǎn)在雙曲線上，滿足，且，則雙曲線的漸近線方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)三角形面積公式可得，然后求出，根據(jù)余弦定理構(gòu)造齊次式，結(jié)合求出即可得解.
【詳解】由得，
因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，所以為銳角，所以，
因?yàn)?，所以?br>由雙曲線定義得，
在中，由余弦定理有，
整理得，
又，所以，即，
解得，所以雙曲線的漸近線方程為，即.
故選：B
12. 定義在上的偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，若關(guān)于x的方程恰有5個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意，得到是以為周期的周期函數(shù)，作出的圖象，轉(zhuǎn)化為與直線的圖象有5個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象及對稱性，列出不等式組，即可求解.
【詳解】因?yàn)?，可得函?shù)的圖象關(guān)于對稱，且，
又因?yàn)楹瘮?shù)為定義在上的偶函數(shù)，可得，
則，即，所以是以為周期的周期函數(shù)，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，作出函數(shù)的圖象，如圖所示，
由關(guān)于x的方程恰有5個(gè)實(shí)數(shù)解，
即函數(shù)與直線的圖象有5個(gè)交點(diǎn)，
結(jié)合圖象，及其圖象的對稱性，則滿足或，
解得或，
即實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：A.

二、填空題（每小題5分，共20分）
13. 設(shè)x，y滿足約束條件，則的最大值為______．
【答案】4
【解析】
【分析】由題意畫出可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義結(jié)合圖象即可求解.
【詳解】作出可行域如下：

由可得，由圖可知當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，
最小，則z最大，此時(shí)．
故答案：4．
14. 在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是___________.（用數(shù)字作答）
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，即可求得答案.
【詳解】的展開式的通項(xiàng)公式為
，
令 ，
故常數(shù)項(xiàng)為 ，
故答案為：
15. 數(shù)列的通項(xiàng)，前項(xiàng)和為，則____________．
【答案】7
【解析】
【分析】根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式，求得數(shù)列的周期為4，利用規(guī)律計(jì)算，即可求解．
【詳解】由題意，數(shù)列的通項(xiàng)，
可得，
，得到數(shù)列是以4項(xiàng)為周期的形式，
所以
=．
故答案為7.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列的求和問題，其中解答中根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式求得數(shù)列的周期，以及各項(xiàng)的變化規(guī)律是解答的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題，著重考查了．
16. 如圖，在中，是的中點(diǎn)，以為折痕把折疊，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，則當(dāng)平面平面時(shí)，其外接球的體積為__________.

【答案】##
【解析】
【分析】由題意可得兩兩垂直，則三棱錐的外接球即是長方體的外接球，補(bǔ)成長方體后計(jì)算體對角線即可得其外接球的半徑，即可得外接球的體積.
【詳解】如圖，由題意，當(dāng)平面平面，
是的中點(diǎn)，，即兩兩垂直，
又，
如圖，作長方體，則三棱錐的外接球，
即是長方體的外接球，
設(shè)長方體的外接球的半徑為，
則，
.
當(dāng)平面平面時(shí)，
其外接球的體積為.
故答案為：.
三、解答題（解答應(yīng)寫出文字說明．證明過程或演算步驟）
17. 已知，，函數(shù).
（1）求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）在中，、、分別是角、、的對邊長，若，，的面積為，求的值.
【答案】（1），遞增區(qū)間為，；（2）.
【解析】
【分析】(1)利用向量的數(shù)量積公式與降冪公式和差角公式化簡即可.
(2)根據(jù)可得,再根據(jù)的面積為可得,再利用余弦定理求即可.
【詳解】(1)
即.故最小正周期為.
單調(diào)遞增區(qū)間：.
故,遞增區(qū)間為,.
(2)由得,因?yàn)?
故,故.
又,故.
故,故
【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量與三角函數(shù)降冪公式與輔助角公式的應(yīng)用,同時(shí)也考查了利用正余弦定義與面積公式解三角形的方法等.屬于中等題型.
18. 刷臉時(shí)代來了，人們?yōu)椤八⒛樦Ц丁苯o生活帶來的便捷感到高興，但“刷臉支付”的安全性也引起了人們的擔(dān)憂.某調(diào)查機(jī)構(gòu)為了解人們對“刷臉支付”的接受程度，通過安全感問卷進(jìn)行調(diào)查（問卷得分在分之間），并從參與者中隨機(jī)抽取人.根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制出如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）據(jù)此估計(jì)這人滿意度的平均數(shù)同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表；
（2）某大型超市引入“刷臉支付”后，在推廣“刷臉支付”期間，推出兩種付款方案：方案一：不采用“刷臉支付”，無任何優(yōu)惠，但可參加超市的抽獎返現(xiàn)金活動.活動方案為：從裝有個(gè)形狀、大小完全相同的小球其中紅球個(gè)，黑球個(gè)的抽獎盒中，一次性摸出個(gè)球，若摸到個(gè)紅球，返消費(fèi)金額的；若摸到個(gè)紅球，返消費(fèi)金額的，除此之外不返現(xiàn)金．
方案二：采用“刷臉支付”，此時(shí)對購物的顧客隨機(jī)優(yōu)惠，但不參加超市的抽獎返現(xiàn)金活動，根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果得知，使用“刷臉支付”時(shí)有的概率享受折優(yōu)惠，有的概率享受折優(yōu)惠，有的概率享受折優(yōu)惠.現(xiàn)小張?jiān)谠摮匈徺I了總價(jià)為元的商品．
①求小張選擇方案一付款時(shí)實(shí)際付款額的分布列與數(shù)學(xué)期望；
②試從期望角度，比較小張選擇方案一與方案二付款，哪個(gè)方案更劃算？（注：結(jié)果精確到）
【答案】（1）68 （2）①分布列見詳解，；②選擇方案二更劃算.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)直方圖估算平均數(shù)的方法直接計(jì)算即可；
（2）①先確定X的取值，然后根據(jù)超幾何分布概率公式求概率，即可的分布列，再由期望公式求出期望；②確定實(shí)際付款金額Y的值，然后根據(jù)所給概率寫出分布列，即可計(jì)算出期望，通過比較期望大小即可作出判斷.
【小問1詳解】
由直方圖可知，滿意度的平均數(shù)為：
.
【小問2詳解】
①摸到個(gè)紅球，返消費(fèi)金額的，實(shí)際付款為；
摸到個(gè)紅球，返消費(fèi)金額的，實(shí)際付款為，
所以的可能取值為，
因?yàn)椋?br>所以，
的分布列為：
所以（元）.
②若選擇方案二，記實(shí)際付款金額為Y，依題意，Y的可能取值為，
因?yàn)椋?br>所以，Y的分布列為：
所以，（元）
因?yàn)椋赃x擇方案二付款更劃算.
19. 在直三棱柱中，，，分別是，的中點(diǎn)，，為棱上的點(diǎn)．

（1）證明：；
（2）是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面夾角的余弦值為？若存在，說明點(diǎn)的位置，若不存在，說明理由．
【答案】（1）證明見解析
（2）存在一點(diǎn)，且為中點(diǎn)，理由見解析
【解析】
【分析】（1）利用線面垂直判定與性質(zhì)定理推得，從而建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法證明即可；
（2）利用空間向量法分別將平面與平面的法向量表示出來，再由夾角的余弦值即可求出的位置，進(jìn)而得解.
【小問1詳解】
因?yàn)?，，所以?br>又因?yàn)橹比庵校?br>又平面，所以平面，
又平面，所以，
所以、、兩兩垂直，
故以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

由題知，，
所以，，，，，
設(shè)，且且，
即，則，
所以，又，
所以，所以.
【小問2詳解】
存在一點(diǎn)，且中點(diǎn)，理由如下：
由（1）易知，平面的一個(gè)法向量，
設(shè)平面的法向量為，，，
則，即，
令，則，，所以，
因?yàn)槠矫媾c平面的夾角的余弦值為，
所以，即，
解得或（舍去），
所以當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，符合題意.
20. 已知拋物線，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，過的直線與E相交于A，B兩點(diǎn)，滿足．
（1）求拋物線E的方程；
（2）若在拋物線E上，過的直線交拋物線E于M，N兩點(diǎn)，直線，的斜率都存在，分別記為，，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）設(shè)的直線方程為：，，， 聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求出，再根據(jù)，可得，求出，即可得解；
（2）先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)的直線為，，，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求出，，再利用斜率公式化簡整理即可得解.
【小問1詳解】
當(dāng)直線的斜率為0時(shí)不成立，
設(shè)的直線方程為：，，，
聯(lián)立，消去x得，
則恒成立，
故，
又，，故，
又，則，
故，解得，
故拋物線E的方程是；
【小問2詳解】
因?yàn)?，在拋物線上，故，則，
當(dāng)直線的斜率為0時(shí)不成立，
設(shè)的直線為，，，
聯(lián)立，消去x得：，
則，，
因?yàn)椋?br>則，
故的值為．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問題常見的方法有兩種：
（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；
（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．
21. 已知.
（1）證明：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
（2）當(dāng)時(shí)，關(guān)于不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求導(dǎo)，得到導(dǎo)函數(shù)大于0恒成立，證明出結(jié)論；
（2）變形得到在上恒成立，令，二次求導(dǎo)，求出導(dǎo)函數(shù)單調(diào)遞增，結(jié)合，分與兩種情況，討論得到的取值范圍.
【小問1詳解】
證明：因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)?，所以，又，所以?br>所以上單調(diào)遞增.
【小問2詳解】
當(dāng)時(shí)，，
即
所以，即在上恒成立.
令，則，
令，
則.
因?yàn)?，所以，所以?br>所以在上單調(diào)遞增，所以.
①當(dāng)，即時(shí)，在上，，即，所以在上單調(diào)遞增，
所以對，即在上恒成立，符合題意；
②當(dāng)，即時(shí)，，
又，若，則在上，，即，所以在上單調(diào)遞減，所以，不合題意；
若，則存在，使得，
所以在上，，即，
所以在上，單調(diào)遞減，所以對不合題意.
綜上所述，關(guān)于的不等式在上恒成立，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于求不等式成立時(shí)的參數(shù)范圍問題，一般有三個(gè)方法，一是分離參數(shù)法, 使不等式一端是含有參數(shù)的式子，另一端是一個(gè)區(qū)間上具體的函數(shù)，通過對具體函數(shù)的研究確定含參式子滿足的條件.二是討論分析法，根據(jù)參數(shù)取值情況分類討論，三是數(shù)形結(jié)合法，將不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)，通過兩個(gè)函數(shù)圖像確定條件.
請考生在（22）、（23）二題中任選一題作答.注意：只能做所選定的題目.如果多做，則按所做的第一個(gè)題目計(jì)分，做答時(shí)請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑.
選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
22. 以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線過點(diǎn)，且傾斜角為．
（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的參數(shù)方程；
（2）設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，直線與曲線的交點(diǎn)為，求的值．
【答案】（1）；（t為參數(shù)）；（2）．
【解析】
【分析】（1）先展開曲線的極坐標(biāo)方程，再由公式替換轉(zhuǎn)化即可，由直線的參數(shù)方程直接寫出參數(shù)即可；
（2）將直線的參數(shù)方程代入圓的方程，利用直線參數(shù)方程的幾何意義求解即可
【詳解】（1）把，展開得，
兩邊同乘得①．
將，代入①，
即得曲線的直角坐標(biāo)方程為，
又直線過點(diǎn)，且傾斜角為，則的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．
（2）將代入，得，
點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，設(shè)這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，
則，，
則由參數(shù)t的幾何意義即得
（選修4-5：不等式選講）
23. 已知．
（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；
（2）若，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）分類討論即可求解；
（2）根據(jù)三角絕對值不等式可得，即可求解.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，等價(jià)于
或或，
所以，或，或，
綜上可得：，
不等式的解集為.
【小問2詳解】
恒成立，恒成立，
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立），
,解得，
的取值范圍是或.
X
800
900
1000
P
Y
800
900
950
P

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