一、選擇題
1．已知集合，，則( )
A.B.C.D.
2．復數(shù)（其中i為虛數(shù)單位）的虛部為( )
A.2B.1C.D.
3．已知向量，，若與垂直，則( )
A.1B.C.2D.4
4．已知，分別是橢圓的左、右焦點，P為M上的一點，若，則( )
A.1B.2C.4D.8
5．設(shè)，則( )
A.B.C.D.
6．已知數(shù)列為等比數(shù)列且，，設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，若，則( )
A.B.C.18D.2
7．我國明朝數(shù)學家程大位著的《算法統(tǒng)宗》里有一道聞名世界的題目：“一百饅頭一百僧，大僧三個更無爭，小僧三人分一個，大小和尚各幾??？”如圖所示的程序框圖反映了對此題的一個求解算法，則輸出的m的值為( )
A.25B.45C.55D.75
8．圓及圍成的平面陰影部分區(qū)域如圖所示，向正方形中隨機投入一個質(zhì)點，則質(zhì)點落在陰影部分區(qū)域的概率為( )
A.B.C.D.
9．已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系是( )
A.B.C.D.
10．已知底面半徑為2的圓錐的側(cè)面積為，則該圓錐的外接球的表面積為( )
A.B.C.D.
11．已知函數(shù)的圖象在點處的切線的斜率為，則數(shù)列的前n項和( )
A.B.C.D.
12．關(guān)于函數(shù)有下述四個結(jié)論：
①的圖象關(guān)于直線對稱
②在區(qū)間單調(diào)遞減
③的極大值為0
④有3個零點
其中所有正確結(jié)論的編號為( )
A.①③B.①④C.②③④D.①③④
二、填空題
13．已知等比數(shù)列的前n項和為，且，，則_______.
14．直線是雙曲線的一條漸近線，雙曲線的離心率是_______.
15．已知正數(shù)x,y滿足，若恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為_______.
16．設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱,它的周期是π,有下列說法:
①的函數(shù)圖象過點;
②在上是減函數(shù);
③的一個對稱中心是;
④將的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象.
其中正確的序號是_______.（正確的序號全填上）
三、解答題
17．已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，設(shè)向量，，且.
（1）求角C；
（2）若，的面積為，求的周長.
18．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，且.
（1）若平面，，求三棱錐的體積；
（2）求證：.
19．我國老齡化時代已經(jīng)到來，老齡人口比例越來越大，出現(xiàn)很多社會問題.2015年10月，中國共產(chǎn)黨第十八屆中央委員會第五次全體會議公報指出：堅持計劃生育基本國策，積極開展應對人口老齡化行動，實施全面二孩政策.隨著國家二孩政策的全面放開，為了調(diào)查一線城市和非一線城市的二孩生育意愿，某機構(gòu)用簡單隨機抽樣方法從不同地區(qū)調(diào)查了100位育齡婦女，結(jié)果如下表.
（1）求x和y的值.
（2）分析調(diào)查數(shù)據(jù)，是否有以上的把握認為“生育意愿與城市級別有關(guān)”？
（3）在以上二孩生育意愿中按分層抽樣的方法，抽取6名育齡婦女，再選取兩名參加育兒知識講座，求至少有一名來自一線城市的概率.
參考公式：，
20．已知拋物線C：上一點M到其焦點的距離為3，到y(tǒng)軸的距離為2.
（1）求拋物線C的方程；
（2）若不過原點O的直線l：與拋物線C交于A，B兩點，且，求實數(shù)m的值.
21．已知函數(shù).
（1）當時，求曲線在點處的切線方程；
（2）若既存在極大值，又存在極小值，求實數(shù)a的取值范圍.
22．在平面直角坐標系中，直線l的普通方程為；曲線C的參數(shù)方程是（為參數(shù)），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系.
（1）求直線l與曲線C的極坐標方程；
（2）直線與直線l與曲線C分別交于點A，B（點B與點O不重合），若，求的值.
23．已知函數(shù).
（1）當時，求不等式的解集；
（2）若，求a的取值范圍.
參考答案
1．答案：B
解析：因為，，
所以.
故選：B.
2．答案：A
解析：，
所以復數(shù)（其中i為虛數(shù)單位）的虛部為2.
故選：A.
3．答案：C
解析：由題可知，
因為與垂直，所以，解得，
所以，
故選：C.
4．答案：B
解析：因為，則，
由橢圓的定義可知：，
又因為，解得：.
故選：B.
5．答案：A
解析：由，
平方可得，
解得.
故選：A.
6．答案：C
解析：設(shè)數(shù)列的公比為q，則，所以，
所以，
所以.
故選：C.
7．答案：D
解析：執(zhí)行程序框圖：，，，
，，，繼續(xù)執(zhí)行；
，，，繼續(xù)執(zhí)行；
，，，繼續(xù)執(zhí)行；
，，，繼續(xù)執(zhí)行；
，，，繼續(xù)執(zhí)行；
，，，退出循環(huán)，輸出.
故選：D.
8．答案：B
解析：圓及分別以和為圓心，
半徑都是1.連接，可知陰影部分由分別以A，B為圓心，
1為半徑的兩個四分之一弓形組成，
陰影部分的面積為，
正方形的面積為，
所以質(zhì)點落在陰影部分區(qū)域的概率為，
故選：B.
9．答案：B
解析：由題意可得：，
，且，則，
因為，則，
故選：B
10．答案：D
解析：如圖，設(shè)圓錐的母線長為，由圓錐的側(cè)面積公式，得，
解得，所以圓錐的高為.
設(shè)圓錐的外接球半徑為R，則在中，由勾股定理，，解得，
所以該圓錐的外接球的表面積為.
故選：D.
11．答案：A
解析：由，所以函數(shù)在點處的切線斜率，
，
所以.
故選：A.
12．答案：D
解析：函數(shù)的定義域為，
對于①，，則，
，的圖象關(guān)于直線對稱，①正確；
對于②，當時，，在單調(diào)遞增，②不正確；
對于③，當時，，在單調(diào)遞減，
當時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又在單調(diào)遞增，因此在處取極大值，③正確；
對于④，由得：，即或，解得或，
于是得有3個零點，④正確，
所以所有正確結(jié)論的編號為①③④.
故選：D
13．答案：121
解析：設(shè)公比為q，故，解得，
所以，
故.
故答案為：121.
14．答案：2
解析：雙曲線的一條漸近線方程為，可得，即
解得.故答案為2.
15．答案：
解析：因為，且，所以，
當且僅當時取等號.
因為不等式恒成立，
所以，解得.
故答案為：.
16．答案：①③
解析：依題意，，解得，因的函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，
則，，而，于是得，，因此，
因，即的函數(shù)圖象過點，①正確；
當時，，而正弦函數(shù)在上不單調(diào)，②不正確；
因，的一個對稱中心是，③正確；
，則將的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)為，
顯然不是函數(shù)，④不正確，
所以正確的序號是①③.
故答案為：①③.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）由向量平行的坐標公式，得，
由正弦定理，得，即，
由余弦定理，得，又，故.
（2）由三角形面積公式，得，故，
所以為等腰三角形，所以.
將代入（1）中所求，則，
解得（舍去）或，
所以的周長為.
18．答案：（1）
（2）證明見解析
解析：（1），，
.
（2）如圖，連接，交于點O，連接，
四邊形為正方形，，
又，O為的中點，，
，且、平面，
平面，
又平面，.
19．答案：（1）,
（2）有以上的把握認為“生育意愿與城市級別有關(guān)”
（3）
解析：（1）由題意得，.
（2）由，得，
有以上的把握認為“生育意愿與城市級別有關(guān)”.
（3）抽取6名育齡婦女，來自一線城市的人數(shù)為，記為1，2，
來自非一線城市的人數(shù)為，記為a，b，c，d，
選設(shè)事件A為“取兩名參加育兒知識講座，求至少有一名來自一線城市”，
基本事件為：，,,,,,,,,,,，,,,
事件,,,,,,,,共有9個，
或.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）由題意知，點M到準線的距離為3，
所以，解得.
故C的方程為.
（2）設(shè)，，由得，
所以，，
，.
因為，所以，
即，解得或0.
又直線l不過原點O，所以.
又滿足要求，所以.
21．答案：（1）
（2）
解析：（1）當時，函數(shù)，求導得，則，而，
所以曲線在點處的切線方程為，即.
（2）函數(shù)的定義域為，
求導得，
當時，，由，得，由，得，
則函數(shù)在上遞增，在上遞減，函數(shù)只有極大值，不合題意；
當時，由，得或，
①若，即，由，得或，由，得，
則函數(shù)在,上遞增，在上遞減，
因此函數(shù)的極大值為，極小值為，符合題意；
②若，即，由，得或，由，得，
則函數(shù)在,上遞增，在上遞減，
因此函數(shù)的極大值為，極小值為，符合題意；
③若，即，由在上恒成立，得在上遞增，
函數(shù)無極值，不合題意，
所以a的取值范圍為.
22．答案：（1），
（2）
解析：（1）由，，得直線l的極坐標方程為.
由，得曲線C的普通方程為，
即，
由，，得曲線C的極坐標方程為.
（2）把代入，得，
把代入，得，
，，
即，
，解得，
又，.
23．答案：（1）
（2）
解析：（1）當時，.
若，則當時，，故，
當時，，故，
又因為當時，，
所以不等式的解集為.
（2）由題設(shè)可得，
所以或.
當時，，故.
當時，，故.
綜上，a的取值范圍是.
非一線
一線
總計
愿生
40
y
60
不愿生
x
22
40
總計
58
42
100
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828

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