一、選擇題
1．已知集合,則與集合A的關(guān)系為( )
A.B.C.,D.
2．已知復(fù)數(shù)z滿足,其中i為虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)z的虛部是( )
A.B.-1C.1D.
3．已知平面向量,,且,則( )
A.2B.C.D.-2
4．命題“,”的否定是( )
A.,B.,
C.,D.,
5．下列函數(shù)中既是奇函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是( )
A.B.C.D.
6．如下圖,在邊長為a的正方形內(nèi)有不規(guī)則圖形,向正方形內(nèi)隨機(jī)撒豆子,若撒在圖形內(nèi)和正方形內(nèi)的豆子數(shù)分別為m,n,則圖形面積的估計(jì)值為( )
A.B.C.D.
7．某班有學(xué)生50人,現(xiàn)將所有學(xué)生按1,2,3,…,50隨機(jī)編號,若采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為5的樣本(等距抽樣),已知編號為4,a,24,b,44號學(xué)生在樣本中,則( )
A.48B.34C.14D.8
8．已知曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則( )
A.，B.，
C.，D.，
9．已知m,n為兩條直線,,為兩個(gè)平面,,,則是的( )
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件
10．已知數(shù)列滿足,,,設(shè)其前n項(xiàng)和為,則( )
A.2500B.2600C.2700D.2800
11．將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)的圖象．若在上有且僅有3個(gè)極值點(diǎn),則的取值范圍為( )
A.B.C.D.
12．定義在R上的偶函數(shù)滿足,且當(dāng) 時(shí),,若關(guān)于x的方程恰有5個(gè)實(shí)數(shù)解,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為( )
A.B.C.D.
二、填空題
13．設(shè)x,y滿足約束條件,則的最大值為______.
14．在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中,,則__________.
15．已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為、,曲線C上的點(diǎn)M滿足,,,則雙曲線的離心率為__________．
16．已知正四棱錐的底面邊長為2,高為4,它的所有頂點(diǎn)都在同一球面上,則這個(gè)球的表面積是__________.
三、解答題
17．2023年秋季,支原體肺炎在我國各地流行,該疾病的主要感染群體為青少年和老年人,某市醫(yī)院傳染病科在該市各醫(yī)院某段時(shí)間就醫(yī)且年齡在70歲以上的老年人中隨機(jī)抽查了200人的情況,并將調(diào)查結(jié)果整理如下：
（1）是否有99.5%的把握認(rèn)為70歲以上老人感染支原體肺炎與自身有慢性疾病有關(guān)？
（2）現(xiàn)從感染支原體肺炎的60位老人中按分層抽樣的方式抽出6人,再從6人中隨機(jī)抽出2人作為醫(yī)學(xué)研究對象并免費(fèi)治療,求2個(gè)人中恰有1個(gè)人患有慢性疾病的概率．
附表：
參考公式：（其中）
18．已知,,函數(shù).
(1)求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)在中,a、b、c分別是角A、B、C的對邊長,若,,的面積為,求a的值.
19．如圖,在三棱柱中,平面ABC,D,E分別為AC,的中點(diǎn),,.
(1)求證：平面；
(2)求點(diǎn)D到平面ABE的距離.
20．已知橢圓的半焦距為,且過點(diǎn).
（1）求橢圓的方程;
（2）設(shè)直線交橢圓C于A,B兩點(diǎn),且線段的中點(diǎn)M在直線上,求證：線段的中垂線恒過定點(diǎn)N.
21．設(shè)函數(shù).
（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)）
22．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為.在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線l過點(diǎn),且傾斜角為.
(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的參數(shù)方程；
(2)設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為,直線l與曲線C的交點(diǎn)為A,B,求的值.
23．已知.
(1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集；
(2)若,恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
參考答案
1．答案：B
解析：
故選：B.
2．答案：B
解析：由復(fù)數(shù),可得,
所以復(fù)數(shù)z的虛部是-1．
故選：B．
3．答案：D
解析：因?yàn)?,且,所以,
解得,所以D正確.
故選：D.
4．答案：D
解析：命題“,”,
命題否定為：,.
故選：D.
5．答案：B
解析：對于A,為偶函數(shù),不符合題意;
對于B,為奇函數(shù),且在區(qū)間上單調(diào)遞增,符合題意;
對于C,為奇函數(shù),在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,不符合題意;
對于D,為奇函數(shù),,當(dāng)時(shí),,函數(shù)在上單調(diào)遞減,不符合題意．
故選：B．
6．答案：C
解析：由題意知在正方形中隨機(jī)投擲n個(gè)點(diǎn),則n個(gè)點(diǎn)中有m個(gè)點(diǎn)落入中,
不規(guī)則圖形的面積：正方形的面積,
不規(guī)則圖形面積正方形的面積．
故選：C．
7．答案：A
解析：因?yàn)?所以組距為10,
因?yàn)榈谝粋€(gè)被抽取的編號為4,所以,,
所以.
故選：A.
8．答案：C
解析：，，
，．將代入得，．
故選：C．
9．答案：A
解析：若,因?yàn)?所以,即由可以得到,
若,如圖,在正方體中,取平面為平面,平面為平面,
取為直線m,為直線n,顯然有,,,,但m與不垂直,即由得不到,
故選：A.
10．答案：B
解析：若,,則,
若,,則,
所以數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以2為首項(xiàng),公差為2的等差數(shù)列,奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成常數(shù)數(shù)列,
.
故選：B.
11．答案：C
解析：由題可知,,當(dāng)時(shí),．
因?yàn)樵谏嫌星覂H有3個(gè)極值點(diǎn),所以,解得,
所以的取值范圍為：．
故選：C.
12．答案：A
解析：因?yàn)?所以的圖象關(guān)于直線對稱,
又是定義在R上的偶函數(shù),所以的圖象關(guān)于直線對稱,
作出函數(shù)與函數(shù)的圖象如圖所示,
若關(guān)于x的方程恰有5個(gè)實(shí)數(shù)解,
則函數(shù)與函數(shù)的圖象有5個(gè)交點(diǎn),
所以,解得.
故選：A.
13．答案：4
解析：作出可行域如下：
由可得,由圖可知當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí),
最小,則z最大,此時(shí).
故答案為：4.
14．答案：3
解析：.
故答案為：3.
15．答案：
解析：因?yàn)?,所以,
又,所以,,
所以,
則,即雙曲線的離心率為.
故答案為：.
16．答案：
解析：如圖,正四棱錐的外接球的球心O在它的高上,記外接球半徑為R,
,,,底面正方形邊長為2,
在中,,可得,解得,
球的表面積
故答案為：.
17．答案：（1）有的把握認(rèn)為70歲以上老人感染支原體肺炎與自身有慢性疾病有關(guān);
（2）
解析：（1）根據(jù)題意得：.
有的把握認(rèn)為該地區(qū)70歲以上的老人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān).
（2）從感染支原體肺炎的60位老人中按分層抽樣的方式抽出6人,其中有慢性疾病有人,
沒有慢性疾病有2人,
設(shè)有慢性疾病的4人編號為a,b,c,d,沒有慢性疾病的2人編號為e,f,
從中任取2人有：,,,,,,,,,,,,,共15種情況,
2個(gè)人中恰有1個(gè)人患有慢性疾病的有,,,,,,,共8種情況,
由古典概型的概率公式可得：2個(gè)人中恰有1個(gè)人患有慢性疾病的概率為.
18．答案：(1),遞增區(qū)間為,
(2).
解析：(1)
即.故最小正周期為.
單調(diào)遞增區(qū)間：,.
故,遞增區(qū)間為,.
(2)由得,因?yàn)?
故,故.
又,故.
故,故.
19．答案：（1）答案見解析
（2）
解析：（1）證明： ,D,E分別為AC,的中點(diǎn),
,且,又平面,∴平面,
又平面, ,
又,且,,平面,
平面.
（2）,,, ,
,,.
在中,,,邊上的高為.
.設(shè)點(diǎn)D到平面ABE的距離為d,
根據(jù),得,解得,
所以點(diǎn)D到平面ABE的距離為.
20．答案：（1）
（2）證明見解析
解析：（1）橢圓過點(diǎn),即,又,
又,則,
即橢圓方程為.
（2）由得,
,設(shè),,則,
設(shè)的中點(diǎn)M為,
得,即,得,
所以.
所以的中垂線方程為,即,
故中垂線恒過點(diǎn).
21．答案：（1）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為
（2）
解析：（1）當(dāng)時(shí)，，的定義域?yàn)椋?br>，
令，則，解得，
令，則，解得.
函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2）令，則.
令，其中，
則.
令，解得，令，解得.
的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，
.
又，，函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，
的取值范圍是.
22．答案：(1),(t為參數(shù))
(2)
解析：(1)把,展開得,
兩邊同乘得①.
將,,代入①,
即得曲線C的直角坐標(biāo)方程為,
又直線l過點(diǎn),且傾斜角為,則l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).
(2)將代入,得,
點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為,設(shè)這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為,,
則,,,
則由參數(shù)t的幾何意義即得.
23．答案：(1)
(2)或
解析：(1)當(dāng)時(shí),等價(jià)于
或或,
所以,或,或,
綜上可得：,
不等式的解集為.
(2)恒成立,恒成立,
(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立),
,解得,,
m的取值范圍是或.
有慢性疾病
沒有慢性疾病
合計(jì)
未感染支原體肺炎
60
80
140
感染支原體肺炎
40
20
60
合計(jì)
100
100
200
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

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