2023屆寧夏回族自治區(qū)石嘴山市平羅中學(xué)高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)（理）試題 一、單選題1．已知集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出集合后可求.【詳解】因?yàn)?/span>，，所以.故選：C.2．若，是方程的兩個(gè)根，則（    ）A．-1 B．1 C．-2 D．2【答案】A【分析】結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、兩角和的正切公式計(jì)算即可.【詳解】由于，是方程的兩個(gè)根，所以，所以.故選：A3．函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得而且，利用零點(diǎn)存在定理可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增且連續(xù)，而，，即，所以，函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用，屬于中檔題.應(yīng)用零點(diǎn)存在定理解題時(shí)，要注意兩點(diǎn)：（1）函數(shù)是否為單調(diào)函數(shù)；（2）函數(shù)是否連續(xù).4． “” 是“ ”的（    ）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】判斷“” 和“ ”之間的邏輯推理關(guān)系，可得答案.【詳解】由可得，則，即“” 是“ ”的充分條件，當(dāng)時(shí)，成立，但推不出，故“” 是“ ”充分不必要條件，故選:B5．已知，，則（    ）A． B．C．? D．【答案】B【分析】根據(jù)正弦的二倍角公式即可求解.【詳解】??，即?，?，?，?，即?，則?，故選：B6．函數(shù)的圖象大致是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】判斷函數(shù)的奇偶性，可判斷C,D的正誤；利用在之間的函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可判斷A,B的正誤.【詳解】設(shè)，則，故為奇函數(shù)，故C,D錯(cuò)誤；而令時(shí)，在之間的函數(shù)零點(diǎn)有兩個(gè)，故B錯(cuò)誤，故選：A7．在中，，是其中線，且，，則（    ）A． B．8 C． D．4【答案】B【分析】由題意，根據(jù)三角形的性質(zhì)，結(jié)合向量的加法幾何意義以及數(shù)量積的運(yùn)算律，可得答案.【詳解】由題意，，．故選：B．8．函數(shù)（且）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，將函數(shù)圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則（    ）A． B．1 C．－1 D．【答案】A【分析】由圖象得的解析式，再由三角函數(shù)的圖象變換可得函數(shù)的解析式，即可求.【詳解】解：由圖象可知，則．由，得．則．∵點(diǎn)在函數(shù)圖象上，∴，∴，．∵，∴.∴函數(shù)解析式為．將函數(shù)圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得．故．故選:A．9．已知函數(shù)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】依題意根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得到，即可得到，代入函數(shù)解析求出，最后根據(jù)計(jì)算可得；【詳解】解：依題意得，，由，即，得，所以當(dāng)時(shí)，所以.故選：D10．在中，E為上一點(diǎn)，，P為上任一點(diǎn)，若，則的最小值是（    ）A． B． C．6 D．12【答案】D【分析】利用向量共線定理可得，再根據(jù)結(jié)合基本不等式即可得出答案．【詳解】解：，，三點(diǎn)共線，，，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)，所以的最小值是12.故選：D．11．已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，且的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，則的值為（    ）A． B． C． D．2【答案】C【分析】由函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱得到，結(jié)合是偶函數(shù)得到，進(jìn)一步得到的周期是4，再利用周期性計(jì)算即可得到答案.【詳解】因?yàn)?/span>是上的偶函數(shù)，所以，又的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則，所以，則，得，即，所以是周期函數(shù)，且周期，由時(shí)，，則，，，，則，則.故選：C12．設(shè)函數(shù)，已知在上單調(diào)遞增，則在上的零點(diǎn)最多有（    ）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】A【分析】先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)題意得出參數(shù)的范圍，設(shè)，則，由，得出函數(shù)在上的零點(diǎn)情況出答案.【詳解】由，，得，，取，可得.若在上單詞遞增，則，解得.若，則.設(shè)，則，因?yàn)?/span>所以函數(shù)在上的零點(diǎn)最多有2個(gè).所以在上的零點(diǎn)最多有2個(gè).故選：A 二、填空題13．設(shè)為單位向量，且，則              .【答案】【分析】整理已知可得：，再利用為單位向量即可求得，對(duì)變形可得：，問題得解.【詳解】因?yàn)?/span>為單位向量，所以所以解得：所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量模的計(jì)算公式及轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.14．已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則m的最小值為           .【答案】1【分析】根據(jù)題意，由在R上恒成立求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在R上單調(diào)遞增，所以在R上恒成立，即在R上恒成立，所以.故答案為：115．已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是           【答案】【分析】先得到函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，從而得到不等式，求出解集.【詳解】定義域?yàn)?/span>R，且，故為奇函數(shù)，所以，又在R上單調(diào)遞減，所以，即，解得，故答案為：16．在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知，若S為的面積，則的最小值為      .【答案】【分析】應(yīng)用正弦定理邊角關(guān)系、和角正弦公式可得，根據(jù)三角形性質(zhì)有，再應(yīng)用余弦定理、三角形面積公式以及基本不等式求目標(biāo)式的最小值，注意取最小值的條件.【詳解】由題設(shè)及正弦定理邊角關(guān)系，，即，而，故，又，則，故，而，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為.故答案為： 三、解答題17．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．【答案】(1)最小正周期為，；(2)， 【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換可得，然后根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)即得；（2）根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，∴最小正周期為，由，得，的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）因?yàn)?/span>，，，當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，．18．在銳角中，，_________.(1)求角；(2)求的周長(zhǎng)的取值范圍.在①，且；②；③，.在這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的問題中并對(duì)其進(jìn)行求解.【答案】(1)條件選擇見解析，.(2). 【分析】（1）選①條件直接使用向量的數(shù)量積公式，計(jì)算即可. 選②條件利用正弦定理“邊化角”得到和差公式，計(jì)算即可.選③條件利用和差公式拆開后合并，再使用輔助角公式得到，代入，得到答案.（2）由（1）可知，再利用正弦定理和三角恒等變換求出周長(zhǎng)的取值范圍；【詳解】（1）①因?yàn)?/span>，，所以，所以，.②因?yàn)?/span>則所以所以所以，.③因?yàn)?/span>，，所以，所以，由，得，所以或，因?yàn)?/span>是銳角三角形，所以.（2）由正弦定理，，即，因?yàn)?/span>，所以,利用誘導(dǎo)公式得 ，得，所以，所以，所以，因?yàn)?/span>是銳角三角形，，所以,得,故，所以.綜上所述的周長(zhǎng)為.19．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖象各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象．已知的部分圖象如圖所示，且．（1）求的解析式；（2）設(shè)函數(shù)，求在上的值域．【答案】（1）；（2）．【分析】(1）根據(jù)三角函數(shù)的變換可得，分別求出A，，，可得函數(shù)的解析式;(2）求出函數(shù)h (x）的解析式，根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求出值域.【詳解】（1）由題可知，．由圖可知，．因?yàn)?/span>，所以．則因?yàn)?/span>，，所以．故．（2）由（1）知，則．因?yàn)?/span>，所以，所以，故，則的值域?yàn)?/span>．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形函數(shù)的圖象的變換和三角恒等變換和三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.20．已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)設(shè)，證明：當(dāng)時(shí)，．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析 【分析】（1）先求定義域，再求導(dǎo)可得，分和兩種情況討論和的解集即可；（2）先將問題轉(zhuǎn)化為證明，又因?yàn)?/span>，所以，所以．構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)求其最值即可求解【詳解】（1）的定義域?yàn)?/span>，．當(dāng)時(shí)，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，得，令，得，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）當(dāng)時(shí)，要證，只需證，即證，即證．因?yàn)?/span>，所以，所以．設(shè)，則．易得在上單調(diào)遞增，又，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，所以當(dāng)時(shí)，．21．的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，．(1)若 ，求的面積(2)試問能否成立若能成立，求此時(shí)的周長(zhǎng)若不能成立，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)；(2)不成立，理由見解析 【分析】(1)根據(jù)條件先算出 ，再運(yùn)用正弦定理和三角形面積公式即可算出 的面積；(2)運(yùn)用反證法，先假設(shè) 能成立，再運(yùn)用余弦定理和基本不等式推出悖論即可.【詳解】（1）由，可得，所以 ，即 ，又因?yàn)?/span> ，所以 ，因?yàn)?/span> ，所以，所以 ；（2）假設(shè)能成立，所以，由余弦定理，得 ，所以，所以，故，解得或舍，此時(shí)，不滿足，所以假設(shè)不成立，故不成立；綜上， ，不成立.22．已知．(1)求曲線在處的切線方程；(2)判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(3)證明：當(dāng)時(shí)，．【答案】(1)(2)1個(gè)(3)證明見解析 【分析】（1）由函數(shù)在某點(diǎn)處的切線方程求解，先求導(dǎo)求斜率，再求切點(diǎn)，可得答案；（2）由（1）可得導(dǎo)數(shù)，再次求導(dǎo)，研究導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)的得到函數(shù)的單調(diào)性，可得答案；（3）將所正的問題轉(zhuǎn)化為，分和討論，分別利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值，進(jìn)而得出證明即可.【詳解】（1）由，則，即切線方程的斜率，，則切線方程為.（2）由（1）可知，令，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，由（1）可知，，則當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增.故，則函數(shù)存在唯一零點(diǎn)，零點(diǎn)為.（3）要證，即證：，①當(dāng)時(shí)，，而，所以不等式成立；②當(dāng)時(shí)，，由（1）知時(shí)，，所以，則，所以只需證，令，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，故只需證，即證：，令，則，，單調(diào)遞增，故，故單調(diào)遞增，即，故，綜上所述，在時(shí)成立.【點(diǎn)睛】用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，需要明確函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，在每一個(gè)單調(diào)區(qū)間上利用零點(diǎn)存在性定理可得解決零點(diǎn)的問題；在利用導(dǎo)數(shù)證明不等式時(shí)，面對(duì)含有三角函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的，利用放縮法簡(jiǎn)化不等式是解決問題的常用方法. 

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