一輪分層練案(四十一)　利用空間向量求空間角、距離 A級——基礎(chǔ)達標1．如圖，組合體由半個圓錐SO和一個三棱錐S-ACD構(gòu)成，其中O是圓錐SO底面圓心，B是圓弧AC上一點，滿足∠BOC是銳角，AC＝CD＝DA＝2.(1)在平面SAB內(nèi)過點B作BP∥平面SCD交SA于點P，并寫出作圖步驟，但不要求證明；(2)在(1)中，若P是SA中點，且SO＝，求直線BP與平面SAD所成角的正弦值．解：(1)(ⅰ)延長AB交DC的延長線于點Q；(ⅱ)連接SQ；(ⅲ)過點B作BP∥QS交SA于點P，如圖①所示．(2)由(1)知，若P是SA中點，則B是AQ中點，又因為CB⊥AQ，所以CA＝CQ，所以∠QAD＝90°，從而∠BAC＝30°.依題意，OS，OC，OD兩兩垂直，如圖②所示，分別以OC，OD，OS所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則A(－1,0,0)，D(0，，0)，S(0,0，)，P，B，所以＝(1，，0)，＝(1,0，)，＝，設(shè)平面SAD的法向量為n＝(x，y，z)，則即取x＝，則y＝－1，z＝－1，所以n＝(，－1，－1)是平面SAD的一個法向量．則cos〈n，〉＝＝＝＝－，所以直線BP與平面SAD所成角的正弦值為.  2．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠DAB＝60°，AD⊥PD，點F為棱PD的中點．(1)在棱BC上是否存在一點E，使得CF∥平面PAE，并說明理由；(2)若AC⊥PB，二面角D-FC-B的余弦值為時，求直線AF與平面BCF所成的角的正弦值．解：(1)在棱BC上存在點E，使得CF∥平面PAE，點E為棱BC的中點．證明：取PA的中點Q，連接EQ，FQ，如圖所示，由題意，FQ∥AD且FQ＝AD，CE∥AD且CE＝AD，故CE∥FQ且CE＝FQ.∴四邊形CEQF為平行四邊形．∴CF∥EQ，又CF?平面PAE，EQ?平面PAE，∴CF∥平面PAE.(2)取AB中點M，以D為坐標原點，分別以DM，DC，DP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示．設(shè)FD＝a，則D(0,0,0)，F(0,0，a)，C(0,2,0)，B(，1,0)，A(，－1,0)．＝(0,2，－a)，＝(，－1,0)．設(shè)平面FBC的一個法向量為m＝(x，y，z)．由取x＝1，得m＝；取平面DFC的一個法向量為n＝(1,0,0)．由題意，＝|cos〈m，n〉|＝，解得a＝.∴＝(，－1，－)．設(shè)直線AF與平面BCF所成的角為θ，則sin θ＝|cos〈m，〉|＝＝＝.即直線AF與平面BCF所成的角的正弦值為.3．在Rt△ABC中，∠ABC＝，AB＝2，BC＝4，已知E，F分別是BC，AC的中點，將△CEF沿EF折起，使C到C1的位置如圖所示，且∠BEC1＝，連接C1B，C1A.(1)求證：平面AFC1⊥平面ABC1；(2)求平面AFC1與平面BEC1所成銳二面角的大小．    解：(1)證明：取AC1，BC1的中點分別為G，H，連接GH，GF，HE.如圖所示，則GH∥AB∥EF，GH＝EF＝AB，EF⊥BE，EF⊥C1E，BE∩C1E＝E，所以EF⊥平面BEC1，EH?平面BEC1，EF⊥EH，所以GH⊥EH，因為∠BEC1＝，E是BC的中點，所以△EBC1為等邊三角形，所以EH⊥BC1，又因為GH?平面ABC1，BC1?平面ABC1，GH∩BC1＝H，所以EH⊥平面ABC1.又因為GH∥EF，GH＝EF，所以四邊形EHGF為平行四邊形，所以FG∥EH，所以FG⊥平面ABC1，又因為FG?平面AFC1，所以平面AFC1⊥平面ABC1.(2)以B為坐標原點，在平面BC1E內(nèi)與BE垂直的直線為x軸，BE，BA所在的直線為y軸，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則A(0,0,2)，F(0,2,1)，C1(，1,0)，平面BEC1的一個法向量m＝(0,0,1)，設(shè)平面AFC1的法向量為n＝(x，y，z)，＝(，1，－2)，＝(0,2，－1)，所以令y＝1，則z＝2，x＝，所以n＝(，1,2)是平面AFG的一個法向量，所以cos〈m，n〉＝＝＝，所以平面AFC1與平面BEC1所成銳二面角的大小為.4.已知在四棱錐P-ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD，AD⊥DC，AB∥CD，AB＝2，DC＝4，E為PC的中點，PD＝PC，BC＝2.(1)求證：BE∥平面PAD；(2)若PB與平面ABCD所成角為45°，點P在平面ABCD上的射影為O，問：BC上是否存在一點F，使平面POF與平面PAB所成的角為60°？若存在，試求點F的位置；若不存在，請說明理由．解：(1)證明：如圖，取PD的中點H，連接AH，EH，則EH∥CD，EH＝CD，又AB∥CD，AB＝CD＝2，∴EH∥AB，且EH＝AB，∴四邊形ABEH為平行四邊形，故BE∥HA.又BE?平面PAD，HA?平面PAD，∴BE∥平面PAD.(2)存在，點F為BC的中點．理由如下：∵平面PDC⊥平面ABCD，PD＝PC，作PO⊥DC，交DC于點O，連接OB，可知O為點P在平面ABCD上的射影，則∠PBO＝45°.由題可知OB，OC，OP兩兩垂直，以O為坐標原點，分別以OB，OC，OP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系如圖所示，由題知OC＝2，BC＝2，∴OB＝2，由∠PBO＝45°，可知OP＝OB＝2，∴P(0,0,2)，A(2，－2,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)．設(shè)F(x，y，z)，＝λ，則(x－2，y，z)＝λ(－2,2,0)，解得x＝2－2λ，y＝2λ，z＝0，可知F(2－2λ，2λ，0)，設(shè)平面PAB的一個法向量為m＝(x1，y1，z1)，∵＝(2，－2，－2)，＝(0,2,0)，∴得令z1＝1，得m＝(1,0,1)．設(shè)平面POF的一個法向量為n＝(x2，y2，z2)，∵＝(0,0,2)，＝(2－2λ，2λ，0)，∴得令y2＝1，得n＝.∴cos 60°＝＝，解得λ＝，可知當F為BC的中點時，平面POF與平面PAB所成的角為60°.B級——綜合應(yīng)用5.如圖所示，圓錐的底面半徑為1，其側(cè)面積是底面積的2倍，線段AB為圓錐底面⊙O的直徑，在底面內(nèi)以線段AO為直徑作⊙M，點P為⊙M上異于點A，O的動點．(1)證明：平面SAP⊥平面SOP；(2)當三棱錐S-APO的體積最大時，求二面角A-SP-B的余弦值．解：(1)證明：∵SO垂直于圓錐的底面，∴SO⊥AP.又∵AO為⊙M的直徑，∴PO⊥AP.又SO∩PO＝O，∴AP⊥平面SOP.又AP?平面SAP，∴平面SAP⊥平面SOP.(2)設(shè)圓錐的母線長為l，底面半徑為r.圓錐的側(cè)面積為S側(cè)＝πrl，底面積為S底＝πr2，依題意得2πr2＝πrl，∴l(xiāng)＝2r.∵r＝1，∴l(xiāng)＝2，∴在△ABS中，AB＝AS＝BS＝2，∴SO＝＝，在底面作⊙O的半徑OC，使得OA⊥OC.又∵SO垂直于圓錐的底面，∴SO⊥OA，SO⊥OC.以O為坐標原點，分別以OA，OC，OS所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示．則A(1,0,0)，B(－1,0,0)，S(0,0，)．在三棱錐S-APO中，SO＝，SO⊥平面APO，∴△AOP面積最大時，三棱錐S-APO的體積最大，此時MP⊥OA.又∵⊙M的半徑為，∴此時點P坐標為.∴＝，＝，＝.設(shè)平面SAP的法向量為n1＝(a，b，c)，則即令a＝1，則b＝1，c＝，∴n1＝.同理可求平面SBP的一個法向量n2＝.設(shè)二面角A-SP-B的平面角為θ，則|cos θ|＝＝＝.又∵θ為鈍角，∴二面角A-SP-B的余弦值為－.6．試在①PC⊥BD，②PC⊥AB，③PA＝PC三個條件中選兩個條件補充在下面的橫線處，使得PO⊥平面ABCD成立，請說明理由，并在此條件下進一步解答該題：如圖，在四棱錐P-ABCD中，AC∩BD＝O，底面四邊形ABCD為菱形，若________，且∠ABC＝60°，異面直線PB與CD所成的角為60°，求二面角A-PB-C的余弦值．解：若選②：由PO⊥平面ABCD，PC⊥AB，PO∩PC＝P，所以AB⊥平面PAC，所以AB⊥AC，所以∠BAC＝90°，BC>BA，這與底面四邊形ABCD為菱形矛盾，所以②必不選，故選①③.下面證明：PO⊥平面ABCD，因為四邊形ABCD為菱形，所以AC⊥BD.因為PC⊥BD，PC∩AC＝C，所以BD⊥平面APC.又因為PO?平面APC，所以BD⊥PO.因為PA＝PC，O為AC中點，所以PO⊥AC.又AC∩BD＝O，所以PO⊥平面ABCD，因為PO⊥平面ABCD，以O為坐標原點，以，，的方向分別作為x軸，y軸，z軸的正方向，建立如圖空間直角坐標系，因為AB∥CD，所以∠PBA為異面直線PB與CD所成的角，所以∠PBA＝60°.在菱形ABCD中，設(shè)AB＝2，因為∠ABC＝60°，所以OA＝1，OB＝，設(shè)PO＝a，則PA＝，PB＝.在△PBA中，由余弦定理得PA2＝BA2＋BP2－2BA·BP·cos∠PBA，所以a2＋1＝4＋a2＋3－2×2×，解得a＝，所以A(0，－1,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，P(0,0，)．設(shè)n1＝(x1，y1，z1)為平面ABP的法向量，＝(，1,0)，＝(0,1，)，由可得令z1＝1得n1＝(，－，1)．設(shè)n2＝(x2，y2，z2)為平面CBP的法向量，＝(，－1,0)，＝(0，－1，)，由可得令z2＝1得n2＝(，，1)．設(shè)二面角A-PB-C的平面角為θ，所以cos θ＝＝，所以二面角A-PB-C的余弦值為. 

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