?8.8 幾何法求線面角、二面角及距離

知識點(diǎn)總結(jié)
利用幾何法求線面角、二面角、距離的難點(diǎn)在于找到所求的角或距離，相對于向量法，幾何法運(yùn)算簡單、不易出錯(cuò).知識點(diǎn)1：線與線的夾角
（1）位置關(guān)系的分類：
（2）異面直線所成的角
①定義：設(shè)是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點(diǎn)作直線，把與所成的銳角（或直角）叫做異面直線與所成的角（或夾角）．
②范圍：
③求法：平移法：將異面直線平移到同一平面內(nèi)，放在同一三角形內(nèi)解三角形．
知識點(diǎn)2：線與面的夾角
①定義：平面上的一條斜線與它在平面的射影所成的銳角即為斜線與平面的線面角．
②范圍：
③求法：
常規(guī)法：過平面外一點(diǎn)做平面，交平面于點(diǎn)；連接，則即為直線與平面的夾角．接下來在中解三角形．即（其中即點(diǎn)到面的距離，可以采用等體積法求，斜線長即為線段的長度）；
知識點(diǎn)3：二面角
（1）二面角定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形稱為二面角，這條直線稱為二面角的棱，這兩個(gè)平面稱為二面角的面．（二面角或者是二面角）

（2）二面角的平面角的概念
：平面角是指以二面角的棱上一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別做垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角就叫做該二面角的平面角；范圍．
（3）二面角的求法
法一：定義法
在棱上取點(diǎn)，分別在兩面內(nèi)引兩條射線與棱垂直，這兩條垂線所成的角的大小就是二面角的平面角，如圖在二面角的棱上任取一點(diǎn)，以為垂足，分別在半平面和內(nèi)作垂直于棱的射線和，則射線和所成的角稱為二面角的平面角（當(dāng)然兩條垂線的垂足點(diǎn)可以不相同，那求二面角就相當(dāng)于求兩條異面直線的夾角即可）．

法二：三垂線法
在面或面內(nèi)找一合適的點(diǎn)，作于，過作于，則為斜線在面內(nèi)的射影，為二面角的平面角．如圖1，具體步驟：
①找點(diǎn)做面的垂線；即過點(diǎn)，作于；
②過點(diǎn)（與①中是同一個(gè)點(diǎn)）做交線的垂線；即過作于，連接；
③計(jì)算：為二面角的平面角，在中解三角形．

圖1 圖2 圖3
法三：射影面積法
凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個(gè)半平面上的射影圖形面積的都可利用射影面積公式（，如圖2）求出二面角的大小；
法四：補(bǔ)棱法
當(dāng)構(gòu)成二面角的兩個(gè)半平面沒有明確交線時(shí)，要將兩平面的圖形補(bǔ)充完整，使之有明確的交線（稱為補(bǔ)棱），然后借助前述的定義法與三垂線法解題．當(dāng)二平面沒有明確的交線時(shí)，也可直接用法三的攝影面積法解題．
法五：垂面法
由二面角的平面角的定義可知兩個(gè)面的公垂面與棱垂直，因此公垂面與兩個(gè)面的交線所成的角，就是二面角的平面角．
例如：過二面角內(nèi)一點(diǎn)作于，作于，面交棱于點(diǎn)，則就是二面角的平面角．如圖3．此法實(shí)際應(yīng)用中的比較少，此處就不一一舉例分析了．
知識點(diǎn)4：空間中的距離
求點(diǎn)到面的距離轉(zhuǎn)化為三棱錐等體積法求解．


典型例題分析
考向一 　幾何法求線面角
例1 (2023·杭州質(zhì)檢)在三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱長都相等，側(cè)棱垂直于底面，點(diǎn)D是BC1與B1C的交點(diǎn)，則AD與平面BB1C1C所成角的正弦值是(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　取BC的中點(diǎn)E，
連接DE，AE，如圖.

依題意三棱柱ABC－A1B1C1為正三棱柱，
設(shè)棱長為2，則AE＝，DE＝1，
因?yàn)镈，E分別是BC1和BC的中點(diǎn)，
所以DE∥CC1，所以DE⊥平面ABC，
所以DE⊥AE，
所以AD＝＝＝2.
因?yàn)锳E⊥BC，AE⊥DE，BC∩DE＝E，
所以AE⊥平面BB1C1C，
所以∠ADE是AD與平面BB1C1C所成的角，
所以sin∠ADE＝＝，
所以AD與平面BB1C1C所成角的正弦值是.
感悟提升　求線面角的三個(gè)步驟：
一作(找)角，二證明，三計(jì)算，其中作(找)角是關(guān)鍵，先找出斜線在平面上的射影，關(guān)鍵是作垂線，找垂足，然后把線面角轉(zhuǎn)化到三角形中求解.
訓(xùn)練1 (2023·湖州模擬)如圖，已知正四棱錐P－ABCD底面邊長為2，側(cè)棱長為4，M為側(cè)棱PC的中點(diǎn)，則直線BM與底面ABCD所成角的正弦值為(　　)

A. B.
C. D.
答案　D
解析　作PO⊥底面ABCD于O，連接OC，

因?yàn)檎睦忮FP－ABCD底面邊長為2，故OC＝，
又側(cè)棱長為4，故PO＝＝.
又M為側(cè)棱PC中點(diǎn)，取OC的中點(diǎn)F，連接MF，BM，
則MF綉PO，且MF⊥平面ABCD，
故∠MBF是BM與平面ABC所成角，
且MF＝PO＝.
又cos∠BCM＝＝.
在△BCM中，由余弦定理有BM＝＝.
在△BFM中，sin∠MBF＝＝＝.
故直線BM與底面ABCD所成角的正弦值為.
考向二 幾何法求二面角
例2 如圖所示，在三棱錐S－ABC中，△SBC，△ABC都是等邊三角形，且BC＝2，SA＝，則二面角S－BC－A的大小為(　　)

A.30° B.45°
C.60° D.75°
答案　C
解析　如圖所示，取BC的中點(diǎn)D，連接AD，SD，

∵△ABC，△SBC都是等邊三角形，
∴SB＝SC，AB＝AC，
因此有AD⊥BC，SD⊥BC.
∴∠ADS為側(cè)面SBC與底面ABC所成的二面角的平面角.
因?yàn)锽C＝2，AD⊥BC，SD⊥BC，△SBC，△ABC都是等邊三角形，
所以SD＝＝＝，AD＝＝＝，
而SA＝，所以△SDA是正三角形，
∴∠ADS＝60°，
即二面角S－BC－A的大小為60°.
感悟提升　作二面角的平面角的方法：
作二面角的平面角可以用定義法，也可以用垂面法，即在一個(gè)半平面內(nèi)找一點(diǎn)作另一個(gè)半平面的垂線，再過垂足作二面角的棱的垂線，兩條垂線確定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.
訓(xùn)練2 我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”.在如圖所示的“塹堵”中，AC＝CB＝CC1，則二面角C1－AB－C的正切值為(　　)

A.1 B.2
C. D.
答案　D
解析　由AC＝CB知，AC⊥CB，取AB的中點(diǎn)M，連接C1M，CM，

由條件，可知∠C1MC即為二面角C1－AB－C的平面角，
設(shè)AC＝CB＝CC1＝a，則CM＝a，
∴tan∠C1MC＝＝.


考向三 幾何法求距離
角度1　點(diǎn)線距
例3 如圖，在四棱錐P－ABCD中，PB⊥平面ABCD，PB＝AB＝2BC＝4，AB⊥BC，則點(diǎn)C到直線PA的距離為(　　)

A.2 B.2
C. D.4
答案　A
解析　如圖，取PA的中點(diǎn)M，連接BM，CM，

因?yàn)镻B⊥平面ABCD，
又BC?平面ABCD，
所以PB⊥BC，
又因?yàn)锳B⊥BC，PB∩AB＝B，PB，AB?平面PAB，
所以BC⊥平面PAB，又PA?平面PAB，
所以BC⊥PA，BC⊥PB，
因?yàn)镸是PA的中點(diǎn)，PB＝AB，
所以BM⊥PA，
又BC⊥PA，BM∩BC＝B，BM，BC?平面BCM，
所以PA⊥平面BCM，又CM?平面BCM，
所以CM⊥PA，
即CM為點(diǎn)C到直線PA的距離.
在等腰Rt△PAB中，BM＝PB＝2，
在Rt△BCM中，CM＝＝＝2，
故點(diǎn)C到直線PA的距離為2.
角度2　點(diǎn)面距
例4 如圖所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝4，點(diǎn)E是棱AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)E到平面ACD1的距離為(　　)

A.1 B.
C. D.
答案　B
解析　設(shè)點(diǎn)E到平面ACD1的距離為h，
因?yàn)辄c(diǎn)E是棱AB的中點(diǎn)，
所以點(diǎn)E到平面ACD1的距離等于點(diǎn)B到平面ACD1的距離的一半，
又平面ACD1過BD的中點(diǎn)，
所以點(diǎn)B到平面ACD1的距離等于點(diǎn)D到平面ACD1的距離，
由等體積法VD－ACD1＝VD1－ACD，
所以S△ACD1·2h＝S△ACD·DD1，
S△ACD＝×2×4＝4，DD1＝2，
在△ACD1中，AD1＝2，AC＝CD1＝2，
所以S△ACD1＝×2×＝6，
則×6×2h＝×4×2，解得h＝，
即點(diǎn)E到平面ACD1的距離為.
感悟提升　
1.求點(diǎn)線距一般要作出這個(gè)距離，然后利用直角三角形求解，或利用等面積法求解.
2.求點(diǎn)面距時(shí)，若能夠確定過點(diǎn)與平面垂直的直線，即作出這個(gè)距離，可根據(jù)條件求解，若不易作出點(diǎn)面距，可借助于等體積法求解.

基礎(chǔ)題型訓(xùn)練

一、單選題
1．在中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該幾何體的上、下底面平行，且均為扇環(huán)形（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截的部分），現(xiàn)有一個(gè)如圖所示的曲池，它的高為2，，，，均與曲池的底面垂直，底面扇環(huán)對應(yīng)的兩個(gè)圓的半徑分別為1和2，對應(yīng)的圓心角為90°，則圖中異面直線與所成角的余弦值為（????）
??
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)異面直線的夾角運(yùn)算求解.
【詳解】設(shè)，分別延長到E，E1，使得，
連接，
可得//，//，則異面直線與所成角（或其補(bǔ)角），
則，
在中，由余弦定理可得，
即異面直線與所成角的余弦值為.
故選：A.
??
2．一個(gè)正六棱錐，其側(cè)面和底面的夾角大小為，則該正六棱錐的高和底面邊長之比為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】如圖正六棱錐中，取的中點(diǎn)，則為側(cè)面和底面的夾角，根據(jù)的值可求得的值.
【詳解】??????
如圖正六棱錐中，底面中心為，取的中點(diǎn)，連接，

則，所以為側(cè)面和底面的夾角，即
因?yàn)榈酌妫?底面，
所以，所以，
又，所以，
所以.
故選：A
3．在正方體中，是的中點(diǎn)，則異面直線與的夾角為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先利用線線平行推得是異面直線與的夾角，再利用勾股定理依次求得，從而得解.
【詳解】連接，
??
因?yàn)檎襟w中，，
所以四邊形是平行四邊形，則，
所以是異面直線與的夾角，
不妨設(shè)正方體的棱長為，則，，，
故，即，則，
所以，則.
故選：A.
4．如圖，在長方體中，.則直線與平面所成角的余弦值是（????）
??
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)線面角的定義，可知即為直線與平面所成角，解三角形即可求得結(jié)果.
【詳解】如圖，連接直線，顯然，在長方體中，平面，故
即為直線與平面所成角，
在中，，，，
，
故選：C.
??
5．在正四面體中，點(diǎn)，，分別為棱，，的中點(diǎn)，則異面直線，所成角的余弦值為（????）
??
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)異面直線夾角的定義結(jié)合余弦定理運(yùn)算求解.
【詳解】連接，設(shè)正四面體的棱長為2，
因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，則//，
所以異面直線，所成角為（或其補(bǔ)角），
在中，則，
由余弦定理可得，
所以異面直線，所成角的余弦值為.
故選：A.
??
6．如圖，在三棱柱中，底面是正三角形，側(cè)棱與底面垂直，且分別是的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角的余弦值為（????）
??
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)異面直線夾角的定義分析求解.
【詳解】如圖，取的中點(diǎn)D，連接，則，且，
所以為異面直線與所成的角（或其補(bǔ)角），
又因?yàn)镕是的中點(diǎn)，則，
又因?yàn)槿庵膫?cè)棱與底面垂直，
則平面，且平面，所以，
在中，，所以.
故選：D．
??
7．在直三棱柱中，，，過點(diǎn)作直線與和所成的角均為，則的最小值為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】計(jì)算異面直線和所成的角，則的最小值為異面直線和所成角的一半．
【詳解】依題意，直三棱柱是正方體的一半，如圖所示，
??
，為異面直線和所成角，
又，是等邊三角形，，
過C作直線的平行線，則當(dāng)與的角平分線重合時(shí)，取得最小值．
故選：C

二、填空題
8．已知正三棱柱，O為的外心，則異面直線與OB所成角的大小為________．
【答案】
【分析】根據(jù)異面直線夾角的定義結(jié)合線面垂直分析求解.
【詳解】延長交于點(diǎn)，
因?yàn)闉檎切?，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，可得，
又因?yàn)槠矫妫矫?，可得?br /> 且，平面，可得平面，
由于平面，所以，即，
所以異面直線與OB所成角的大小為.
故答案為：.
??
9．如圖，在三棱錐中，底面，，且，是的中點(diǎn)，則與平面所成角的正弦值是________．
??
【答案】/
【分析】根據(jù)圖形特征，取中點(diǎn)，連接，通過線面垂直的性質(zhì)與判定得到面，因而是與平面所成角，再通過相關(guān)計(jì)算，在直角三角形中計(jì)算其正弦值即可.
【詳解】如圖，取中點(diǎn)，連接，
因?yàn)槊?，面?br /> 所以，
又因?yàn)椋?br /> 所以，
因?yàn)槊妫妫?br /> 所以，
又因?yàn)?，所以?br /> 因?yàn)槊?，?br /> 所以面，
因?yàn)槊妫?br /> 所以，
因?yàn)槊妫?br /> 所以面，
所以是與平面所成角，
因?yàn)?，?br /> 所以,
由已證知，面，因?yàn)槊妫?br /> 所以，
所以，
因?yàn)槊?，面?br /> 所以，
所以，
所以，
由已證知，面，
又因?yàn)槊妫?br /> 所以，
即與平面所成角的正弦值是.
??
故答案為：
10．長度為的線段兩個(gè)端點(diǎn)到平面的距離分別為和，且這兩個(gè)端點(diǎn)都在平面的同一側(cè)，則這條線段所在直線與平面所成角的正弦值為______．
【答案】/
【分析】根據(jù)線面夾角的定義分析運(yùn)算.
【詳解】如圖所示，設(shè)線段兩個(gè)端點(diǎn)在平面的投影分別為，連接，
則，
在線段上取點(diǎn)，使得，連接，
因?yàn)?/，，則為平行四邊形，可得//，
則線段所在直線與平面所成角的即為線段所在直線與平面所成角，
所以這條線段所在直線與平面所成角的正弦值.
故答案為：.


三、解答題
11．如圖，在三棱柱中，面為正方形，面為菱形，，側(cè)面面.

(1)求證：面；
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)

【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理和線面垂直的判定定理即可得證.
（2）過作于，過作于，連接，利用線面垂直的性質(zhì)定理得出為二面角的平面角，在中直接求解即可.
【詳解】（1）由菱形可得，
面面，面面，
又正方形中，
面，又平面，，
，平面，面.
（2）過作于，則面.
過作于，連接，
因平面，則，
又平面，，故平面，
又平面，所以，
故為二面角的平面角，
在中，設(shè)，，，
，，，
.
即二面角的余弦值為.

12．如圖，是圓的直徑，點(diǎn)在圓所在平面上的射影恰是圓上的點(diǎn)，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，點(diǎn)是上的一個(gè)動點(diǎn).
??
(1)求證：；
(2)求二面角平面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)

【分析】（1）通過證明平面來證得；
（2）判斷出二面角平面角，解直角三角形求得其余弦值；
【詳解】（1）證明：點(diǎn)在圓所在平面上的射影恰是圓上的點(diǎn)，平面，
平面，，
又是圓的直徑，有，且，平面，
所以平面，又平面，所以．
（2）平面，平面，所以，，
為二面角的平面角．
設(shè)，則，，有，為銳角，
在直角中可得，故，
故二面角平面角的余弦值為．
13．如圖，正三棱柱中，分別是棱上的點(diǎn)，.
??
(1)證明：平面平面；
(2)若，求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)

【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求解兩個(gè)平面的法向量，利用法向量證明面面垂直；
（2）求出兩個(gè)平面的法向量，利用法向量的夾角求出二面角的余弦值.
【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn),連接，
在正三棱柱中，不妨設(shè);
以為原點(diǎn)，分別為軸和軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
則,，
；
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則, ，
取，則，即；
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則,
即，取得.
因?yàn)?，所以平面平面?br /> ??
（2）因?yàn)椋桑?）可得，即，
易知平面的一個(gè)法向量為,
；
二面角的余弦值為.
14．如圖所示，平面平面，四邊形為矩形，，，，．
??
(1)求多面體的體積；
(2)求二面角的余弦值．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）通過割補(bǔ)法，結(jié)合錐體體積計(jì)算公式求得正確答案.
（2）作出二面角的平面角，進(jìn)而計(jì)算出其余弦值.
【詳解】（1）如圖，連接BD，
??
∵四邊形AEFB為矩形，
∴，，
∵平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面，
平面ABEF，平面ABEF，
∴AE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，
∵平面ABCD，
∴，
又，AB∩AE＝A，平面，
∴AD⊥平面AEFB，
∴，
∵，，
∴．
∴，
∴多面體ABCDEF的體積為
．
（2）如圖，過B作交DC的延長線于點(diǎn)G，連接FG，
??
∵FB⊥平面ABCD，平面，
∴DG⊥FB，
又DG⊥BG，BG∩FB＝B，平面，
∴DG⊥平面FBG，
∵平面，
∴DG⊥FG，
∴∠FGB為二面角F-CD-A的平面角，由題意得，
∵，
∴，
在Rt△FBG中，，，
∴，
∴，
∴二面角F-CD-A的余弦值為．
15．如圖，已知點(diǎn)P是正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)．
??
(1)求證：平面PAD；
(2)若PB中點(diǎn)為Q，求證：平面平面PAD．
(3)若PA⊥平面ABCD，AB＝PA＝2，求直線PB與面PAD所成的角．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)45°

【分析】（1）利用三角形的中位線可得線線平行，進(jìn)而由線面平行的判斷即可求證，
（2）由線面平行即可求證，
（3）利用線面垂直得線線垂直，進(jìn)而可由幾何法求解線面角，即可由三角形的邊角關(guān)系求角大小.
【詳解】（1）取PD的中點(diǎn)E，連接AE，NE，
因?yàn)镹是PC的中點(diǎn)，所以且，
又M是AB的中點(diǎn)，ABCD是正方形，所以且，
所以且 ，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
又平面PAD，平面PAD，所以平面PAD．
（2）因?yàn)镼為PB的中點(diǎn)，M是AB的中點(diǎn)
所以，又平面PAD，平面PAD，所以平面PAD，
又平面PAD，，MQ，平面MNQ，
所以平面平面PAD．
（3）因?yàn)镻A⊥平面ABCD，平面PAD，
所以平面PAD⊥平面ABCD，
又ABCD為正方形，所以AB⊥AD，平面ABCD，平面平面ABCD＝AD，
所以AB⊥平面PAD，
所以∠BPA即為直線PB與面PAD所成的角，又AB＝PA＝2，所以△BPA為等腰直角三角形，所以∠BPA＝45°，即直線PB與面PAD所成的角為45°．
??
16．如圖，在四棱錐中，四邊形是邊長為2的正方形，與交于點(diǎn)，面，且.
??
(1)求證平面.；
(2)求與平面所成角的大?。?br /> 【答案】(1)證明見解析
(2)

【分析】（1）由，因?yàn)槠矫?，得到，結(jié)合直線與平面垂直的判定定理，即可證得平面；
（2）連接，得到為與平面所成的角，在直角中，即可求得與平面所成的角.
【詳解】（1）解：因?yàn)槭钦叫?，所以?br /> 又因?yàn)槠矫?，平面，所以?br /> 因?yàn)?，平面，平面?br /> 所以平面.
（2）解：連接，因?yàn)槠矫?，所以為與平面所成的角，
因?yàn)椋裕?br /> 在直角中，，
所以，即與平面所成的角為.
??




提升題型訓(xùn)練
一、多選題
1．已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，，，點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角為45°，則（????）．
A．該圓錐的體積為 B．該圓錐的側(cè)面積為
C． D．的面積為
【答案】AC
【分析】根據(jù)圓錐的體積、側(cè)面積判斷A、B選項(xiàng)的正確性，利用二面角的知識判斷C、D選項(xiàng)的正確性.
【詳解】依題意，，，所以，
A選項(xiàng)，圓錐的體積為，A選項(xiàng)正確；
B選項(xiàng)，圓錐的側(cè)面積為，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，設(shè)是的中點(diǎn)，連接，
則，所以是二面角的平面角，
則，所以，
故，則，C選項(xiàng)正確；
D選項(xiàng)，，所以，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：AC.
??

2．已知點(diǎn)P是空間中的一個(gè)動點(diǎn)，正方體棱長為2，下列結(jié)論正確的是（????）
??
A．若動點(diǎn)P在棱AB上，則直線與始終保持垂直
B．若動點(diǎn)P在棱AB上，則三棱錐的體積是定值
C．若動點(diǎn)P在對角線AC上，當(dāng)點(diǎn)P為AC中點(diǎn)時(shí)，直線與平面ABCD所成的角最小
D．若動點(diǎn)P在四面體內(nèi)部時(shí)，點(diǎn)P與該四面體四個(gè)面的距離之和為定值
【答案】ABD
【分析】根據(jù)立體幾何相關(guān)定理逐項(xiàng)分析.
【詳解】對于A，連接，如圖：
??
則平面平面，平面，
平面，平面，，正確；
對于B，如圖：
??
連接PC，，，則三棱錐的體積等于三棱錐的體積，
平面，點(diǎn)P到平面的距離為定值，即三棱錐的高為定值，底面三角形的面積為定值，
所以三棱錐的體積為定值，正確；
對于C，連接DP，如圖：
??
設(shè)直線與平面ABCD的夾角為，在中，，當(dāng)P為AC的中點(diǎn)時(shí)，DP最小，最大，即最大，錯(cuò)誤；
對于D，因?yàn)?，四面體是正四面體，
本問題等價(jià)于當(dāng)P點(diǎn)在四面體內(nèi)部時(shí)到各個(gè)面的距離之和為定值，如圖：
??
顯然，，其中是點(diǎn)P到四個(gè)面的距離，
，為定值，正確；
故選：ABD.
3．如圖，在正四棱柱中，底面邊長，側(cè)棱長，為底面內(nèi)的動點(diǎn)，且與所成角為，則下列命題正確的是（????）
??
A．動點(diǎn)的軌跡長度為
B．當(dāng)//平面時(shí)，與平面的距離為
C．直線與底面所成角的最大值為
D．二面角的范圍是
【答案】AC
【分析】選項(xiàng)A根據(jù)與所成角為求出，從而確定動點(diǎn)的軌跡并求出長度；選項(xiàng)B利用等體積法即可求得；選項(xiàng)C根據(jù)直線與平面所成角的定義找到直線與底面所成角，再計(jì)算最大值即可；選項(xiàng)D通過點(diǎn)在特殊位置時(shí)求出二面角的平面角超出選項(xiàng)范圍進(jìn)行排除.
【詳解】正四棱柱中，底面是正方形，側(cè)棱垂直于底面.
對于A選項(xiàng)，因?yàn)榍遗c所成角為，所以與所成角也為.又，.
又在底面內(nèi)，的軌跡為以A為圓心，1為半徑的圓周的四分之一，長度為.故選項(xiàng)A正確；
對于B選項(xiàng)，當(dāng)//平面時(shí)，到平面的距離即為與平面的距離..
，
在中，，邊上的高為2，
設(shè)到平面的距離為，則，
解得.故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
對于C選項(xiàng)，連接，則線段為線段在底面的投影，故直線與底面所成角為，且,
由選項(xiàng)A可知，當(dāng)為正方形中心時(shí)，最短為1，此時(shí)最大為,即.故選項(xiàng)C正確；
??
對于D選項(xiàng)，當(dāng)在線段上時(shí)，，，
因?yàn)槭堑妊切危匀≈悬c(diǎn)，連接，則.
過作交于點(diǎn)，分別連接，則，故四邊形是等腰梯形，取中點(diǎn)，則，所以是二面角的平面角.
在四邊形中，，，故.又
，故.
由選項(xiàng)B知，.
在中，由余弦定理得，
所以，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
故選：AC.
??
4．兩個(gè)相交平面構(gòu)成四個(gè)二面角，其中較小的二面角稱為這兩個(gè)相交平面所成角；在正方體中，不在同一表面上的兩條平行的棱所確定的平面稱為該正方體的對角面.則在某正方體中，兩個(gè)不重合的對角面所成角的大小可能為（????）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】結(jié)合圖象，根據(jù)兩個(gè)相交平面所成角的定義確定兩個(gè)不重合的對角面所成角的可能大小即可.
【詳解】如圖：
??
平面與平面的交線為，
因?yàn)椋?br /> 所以四邊形為矩形，故，同理，
所以為二面角的平面角，
又，所以二面角的平面角為，
由相交平面所成角的定義可得平面與平面所成的角的大小為，
如圖（2）
??
平面與平面的交線為，
因?yàn)?，，平面，?br /> 所以平面，設(shè)，
則平面，過點(diǎn)作，
則為二面角的平面角，
設(shè)正方體的邊長為，則，
因?yàn)椋?br /> 所以，所以，
所以，
所以，又，
所以，
所以平面與平面所成的角的大小為，
故選：CD.
5．如圖，在正方體中，分別為
的中點(diǎn)，則以下結(jié)論正確的是（????）
??
A．
B．平面平面
C．平面
D．異面直線與所成角的余弦值是
【答案】BCD
【分析】由題意可得出，可判斷A；因?yàn)樗狞c(diǎn)共面，所以平面平面可判斷B；由線面平行的判定定理可判斷C；由異面直線所成角可判斷D.
【詳解】對于A，連接，易證，因?yàn)槠矫妫?br /> 而平面，所以，
所以在中，與不垂直，所以不垂直，故A不正確；
??
對于B，連接，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，
所以，所以四點(diǎn)共面，
所以平面平面，故B正確；
??
對于C，連接，易證，所以四邊形是平行四邊形，
所以，所以平面，平面，
所以平面，故C正確；
??
對于D，連接，易知，異面直線與所成角即直線與所成角，
即，設(shè)正方體的邊長為，
所以，
所以，
所以異面直線與所成角的余弦值是，故D正確.
故選：BCD.
????

二、單選題
6．如圖，在圓臺OO1中，，點(diǎn)C是底面圓周上異于A、B的一點(diǎn)，，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，l為平面與平面的交線，則交線l與平面所成角的大小為（????）
??
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由線面平行的性質(zhì)定理可證得，所以直線l與平面所成角即直線與平面所成角，由線面垂直的判定定理可證得平面，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，易證得平面，所以為交線l與平面所成角，求解即可.
【詳解】因?yàn)?，因?yàn)椋珼分別是，BC的中點(diǎn)，所以，
所以平面，平面，所以平面，
平面，平面平面，
所以，，所以，
所以直線l與平面所成角即直線與平面所成角，
因?yàn)闉橹睆剑?，因?yàn)?，即?br /> 又因?yàn)槠矫妫?br /> 平面，所以，平面，
所以平面，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，
因?yàn)槠矫妫?，?br /> ，平面，所以平面，
所以為交線l與平面所成角，
因?yàn)?，?br /> .
所以，結(jié)合圖知.
故選：B.
??
7．已知正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)P，PA⊥平面ABCD，若PA=AB，則平面PAB與平面PCD所成的銳二面角的平面角為（　　）
A．30° B．45°
C．60° D．90°
【答案】B
【分析】構(gòu)造正方體將所求解的二面角轉(zhuǎn)化為平面與平面所成二面角，利用二面角的平面角的定義，找到對應(yīng)的角，求解即可.
【詳解】構(gòu)造正方體如圖所示，
??
因?yàn)槠矫媾c平面所成二面角就是平面與平面所成二面角，
又平面,平面,
所以又所以
又所以
所以就是面與平面所成二面角的平面角，
因?yàn)闃?gòu)造幾何體為正方體，故
故選：B.

8．坡屋頂是我國傳統(tǒng)建筑造型之一，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)元素．安裝燈帶可以勾勒出建筑輪廓，展現(xiàn)造型之美．如圖，某坡屋頂可視為一個(gè)五面體，其中兩個(gè)面是全等的等腰梯形，兩個(gè)面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面與平面的夾角的正切值均為，則該五面體的所有棱長之和為（????）
??
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先根據(jù)線面角的定義求得，從而依次求，，，，再把所有棱長相加即可得解.
【詳解】如圖，過做平面，垂足為，過分別做，，垂足分別為，，連接，
??
由題意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面與底面夾角分別為和，
所以.
因?yàn)槠矫妫矫?，所以?br /> 因?yàn)?，平面，?br /> 所以平面，因?yàn)槠矫?，所以?
同理：，又，故四邊形是矩形，
所以由得，所以，所以，
所以在直角三角形中，
在直角三角形中，，，
又因?yàn)椋?br /> 所有棱長之和為.
故選：C

9．如圖，在正方體中，E，F(xiàn)，Q，H分別為所在棱的中點(diǎn)，則直線HC與平面EFQ所成角的正弦值為（????）
??
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】延長FE交的延長線于M，取ME的中點(diǎn)N，證明，再利用幾何法求出線面角的正弦作答.
【詳解】在正方體中，延長FE交的延長線于M，取ME的中點(diǎn)N，連接，QN，，
????
因?yàn)镋，F(xiàn)分別為棱的中點(diǎn)，則，有，因此，
又為的中點(diǎn)，則，而平面，于是平面，又平面，
因此，又，平面，則平面，
又H為的中點(diǎn)，而，，從而，
四邊形是平行四邊形，即有，則直線HC與平面EFQ所成的角等于直線與平面EFQ
所成的角，
令，則，，因此，
所以直線HC與平面EFQ所成角的正弦值為．
故選：B
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求直線與平面所成的角的一般步驟：①找直線與平面所成的角，即通過找直線在平面上的射影來完成；②計(jì)算，要把直線與平面所成的角轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中求解．
10．在正四棱錐中，的中點(diǎn)為，給出以下三個(gè)結(jié)論：
①平面；
②側(cè)棱與底面所成角的大小為時(shí)，則側(cè)棱與底面邊長之比為；
③若，該四棱錐相鄰兩側(cè)面成角的余弦值為．
則關(guān)于這三個(gè)結(jié)論敘述正確的是（????）
A．①②對，③錯(cuò) B．①③對，②錯(cuò)
C．①對，②③錯(cuò) D．①②③都對
【答案】D
【分析】連接交于，連接，即可得到，從而判斷①，連接，則為側(cè)棱與底面所成的角，根據(jù)銳角三角函數(shù)即可判斷②，連接，，則為相鄰兩側(cè)面所成的角，利用余弦定理即可判斷D.
【詳解】連接交于，連接，則為的中點(diǎn)，又的中點(diǎn)為，
在中，，而平面，平面，則平面，故①正確；
連接，由正四棱錐的性質(zhì)可證平面，
所以為側(cè)棱與底面所成的角，即，所以，
而，所以，故②正確；
若，則側(cè)面全是正三角形，連接，，所以，，
根據(jù)二面角定義知，為相鄰兩側(cè)面所成的角，
設(shè)，則，，由余弦定理得，故③正確.
故選：D．
??

三、解答題
11．如圖，在四面體P-ABC中，△ABC是等腰三角形AB⊥BC，.
??
(1)證明：PB⊥AC；
(2)若AB=2，，PA⊥AB.
（?。┣簏c(diǎn)A到平面PBC的距離；
（ⅱ）求二面角的正弦值.
【答案】(1)證明見詳解
(2)（ⅰ）（ⅱ）

【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理分析證明；
（2）根據(jù)題意將三棱錐轉(zhuǎn)化為直三棱柱. （ⅰ）根據(jù)線面垂直的判定定理分析求解；（ⅱ）利用二面角的平面角的概念結(jié)合條件即得.
【詳解】（1）由題意可得：，
所以≌，則，
取的中點(diǎn)，連接，則，
且，平面，所以平面，
由于平面，可得PB⊥AC.
（2）（?。┯深}意可得：，
因?yàn)槠矫?，且平面，平面平面?br /> 過作平面，垂足為，連接，
在中，由余弦定理可得，
即為鈍角，則點(diǎn)在的延長線上，
可得，則，
即，且，則為正方形，
以為底面作直三棱柱，可得，
過作，垂足為，
因?yàn)槠矫?，平面，則，
，平面，則平面，
利用等面積法，即，解得，
所以點(diǎn)A到平面PBC的距離；
（ⅱ）過作//，交于點(diǎn)，連接，
因?yàn)槠矫?，平面，可得?br /> 又因?yàn)槠矫?，平面，可得?br /> 且//，則，
，平面，所以平面，
平面，則，
所以二面角的平面角為，
則，
所以二面角的正弦值.
??
12．如圖，直三棱柱中，，且平面平面．
??
(1)求BC的長；
(2)求直線AC與平面所成角的正弦值．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，分別作，利用面面垂直的性質(zhì)，分別證得，，證得平面，得到，在直角中，即可求解；
（2）過點(diǎn)作，證得平面，得到為直線與平面所成的角，在直角中，結(jié)合，即可求解.
【詳解】（1）證明：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，分別作，如圖所示，
因?yàn)橹比庵?，可得平面平面?br /> 又因?yàn)槠矫?，且平面平面，所以平面?br /> 因?yàn)槠矫妫裕?br /> 又由平面平面，且平面，且平面平面，所以平面，
因?yàn)槠矫?，所以?br /> 又因?yàn)?，且平面，所以平面?br /> 因?yàn)槠矫?，所以?br /> 在直角中，因?yàn)?，可?
（2）解：過點(diǎn)作，垂足為，
由平面平面，且平面，平面，
所以平面，
所以為直線與平面所成的角，
在直角中，，可得，所以，
在直角中，可得，
所以直線與平面所成的角的正弦值為.
??
13．如圖，四棱錐的底面是菱形，，，.

(1)求證：平面PBD；
(2)若E為的中點(diǎn)，求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析；
(2)

【分析】（1）連接，連接，推導(dǎo)出 ，由此能證明平面；
（2）連接，由（1）知平面，進(jìn)而是二面角的平面角，先計(jì)算，再求得，由此能求出二面角的余弦值.
【詳解】（1）
連接，連接，
因?yàn)榈酌鏋榱庑?，所以為的中點(diǎn)，
又，
又平面，，
平面.
（2）連結(jié)，由（1）知平面，
平面，
是二面角的平面角，
由題意知都是邊長為2的等邊三角形，所以，
又為的中點(diǎn)，，
因?yàn)?，且為的中點(diǎn)，，
在Rt中，，
，
，即，
所以
二面角的余弦值為.
14．如圖，在四棱錐中，為正三角形，底面為直角梯形，，，，為中點(diǎn)，為線段上的點(diǎn)，且.
??
(1)求證:平面平面；
(2)已知.求直線和平面所成角的正弦值.
【答案】(1)詳見解析.
(2).

【分析】（1）由線線垂直可得平面再由面面垂直的判定可得證；
（2）轉(zhuǎn)化法求出點(diǎn)C到平面PAD的距離，再由線面角的定義即可得解.
【詳解】（1）由題又為中點(diǎn),,
,又，
四邊形為矩形，則
又為正三角形，為中點(diǎn)，,
又,平面則平面
又，平面又平面
平面平面.
（2）由（1）知平面平面，平面平面,
過點(diǎn)作,交于則平面
又中，,
過作,交于
??
可求得則,
即，
, 即點(diǎn)到平面的距離.
又平面,平面，平面,
則點(diǎn)到平面的距離即是點(diǎn)到平面的距離，
又
設(shè)直線和平面所成角為，則
故直線和平面所成角的正弦值為
15．如圖所示，在直三棱柱中，，D，E分別為棱AB，的中點(diǎn).
??
(1)證明：CD∥平面；
(2)求BE與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)

【分析】（1）利用三角形中位線的性質(zhì)證得四邊形DGEC是平行四邊形，進(jìn)而得，所以可證明
CD∥平面；
（2）利用線線垂直證明面，根據(jù)線面角的概念得即為所求的線面角，然后在直角三角形中求解即可.
【詳解】（1）連接，取中點(diǎn)為點(diǎn)，連接，
因?yàn)镚，D分別為，AB的中點(diǎn)，所以且，
又E為的中點(diǎn)，所以且，
所以且，則四邊形DGEC為平行四邊形，
所以，又平面，平面，則平面.
（2）連接BG，BE，
??
因?yàn)?，D為AB中點(diǎn)，則，
又直三棱柱，面，則，
又，又面，面，所以面，
由（1）知，，所以面，則與平面所成角為，
因?yàn)?，所以，?br /> 所以，則與平面所成角的正弦值為.
16．如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，.
??
(1)為上一點(diǎn)，且，當(dāng)平面時(shí)，求實(shí)數(shù)的值；
(2)設(shè)平面與平面的交線為，證明面；
(3)當(dāng)平面與平面所成的銳二面角的大小為時(shí)，求與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)

【分析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，利用線面平行的性質(zhì)可得出，由可得出，再由可求得的值；
（2）證明出面，利用線面平行的性質(zhì)可證得結(jié)論成立；
（3）取的中點(diǎn)，連接、，過點(diǎn)作，分析可知，為平面與平面所成的銳二面角，即有，證明出平面，則為與平面所成的角，計(jì)算出、的長，即可計(jì)算出的正切值.
【詳解】（1）如圖，連接交于點(diǎn)，連接，
∵平面，平面，平面平面，∴，
在梯形中，∵，∴，∴，
∵，∴，∴.
（2）∵，平面，平面，∴面，
又面，面面，∴，
又面，面，∴面.
（3）取的中點(diǎn)，連接、，
??
∵為的中點(diǎn)，且，，
∴且，∴四邊形為平行四邊形，∴，
∵，∴，∴，
又，∴為等邊三角形，
又，∴為等邊三角形，∴，
∵，平面，平面，∴平面，
∵平面，∴，
過點(diǎn)作，由，則，∴平面，平面，
即平面平面，∴，，
∴為平面與平面所成的銳二面角，∴.
又由，∴，∴，
∵，，
∵，平面，平面，∴平面，
∴為與平面所成的角，
，
∴，
因此，與平面所成角的正弦值為.
17．如圖所示，在四棱錐中，底面是邊長2的正方形，側(cè)面為等腰三角形，，側(cè)面底面．

(1)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得，若存在，請求出的值，若不存在，請說明理由；
(2)求二面角的余弦值．
【答案】(1)存在，
(2)．

【分析】（1）由已知面面垂直可得平面，則，而要使，則必有平面，則，然后在等腰三角形中求解即可；
（2）作的中點(diǎn)，連接，取的中點(diǎn)，連接,則可證得是所求二面角的平面角，然后在中求解即可.
【詳解】（1）存在點(diǎn)E滿足條件，且
證明：因?yàn)榈酌鏋檎叫?，所以?br /> 因?yàn)閭?cè)面底面，側(cè)面底面，平面，
所以平面，
因?yàn)槠矫妫?br /> 所以，
而，平面，平面，
要使，則必有平面，
因?yàn)槠矫妫?br /> 所以
在等腰三角形PAD中，，，計(jì)算可得，，
所以，
所以．
（2）解：作的中點(diǎn)，連接．
因?yàn)?，所以?br /> 取的中點(diǎn)，連接,
因?yàn)?，∥?br /> 所以，
因?yàn)椋?，平面?br /> 所以平面，
因?yàn)槠矫?，所以?br /> 所以是所求二面角的平面角．
因?yàn)闉榈妊切危?，底面為邊長為2的正方形，
所以，．
因?yàn)?，?cè)面底面，側(cè)面底面，平面，
所以底面，
因?yàn)榈酌妫?br /> 所以，
在中，，
所以．
所以
故二面角的余弦值．
??
18．如圖，在五面體中，四邊形為等腰梯形，，且.
??
(1)證明：；
(2)若為等邊三角形，且面面，求與面所成角.
【答案】(1)證明見解析
(2).

【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合直線平行的傳遞性可證；
（2）利用面面垂直性質(zhì)定理證明面，然后可知即為所求，根據(jù)三角函數(shù)定義可得.
【詳解】（1）依題意面面，
所以平面，
又面，面面，
所以，所以.
（2）在等腰梯形中，不妨設(shè)，，
分別過作的垂線EG，F(xiàn)H，則，故
所以，
所以，所以，
又面面，面面面，
因此面，
從而與平面所成角即為，，
其中，
因而，故，從而與平面所成角為.
??



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專題03 立體幾何之向量法與幾何法求二面角-備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)大題保分專練(全國通用)

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專題21 利用傳統(tǒng)方法求線線角、線面角、二面角與距離的問題-2023年新高考數(shù)學(xué)大 二輪復(fù)習(xí)講義之方法技巧與題型全歸納（新高考專用）

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