空間角的求法：
求空間各種角的大小一般都轉(zhuǎn)化為平面角來計(jì)算，空間角的計(jì)算步驟：一作，二證，三計(jì)算．
(1)求異面直線所成的角常用平移轉(zhuǎn)化法(轉(zhuǎn)化為相交直線的夾角)．
(2)求直線與平面所成的角常用射影轉(zhuǎn)化法(即作垂線、找射影)．
(3)二面角的平面角的作法常有三種：①定義法；②垂線法；③垂面法．
題型一：空間中直線與直線所成的角
1．（2022秋?靜安區(qū)校級(jí)期中）如圖，在四棱錐中，底面是矩形．已知，，，，．
（Ⅰ）證明平面；
（Ⅱ）求異面直線與所成角的大?。?br>2．（2022秋?黃浦區(qū)校級(jí)月考）已知正方體．
（1）求異面直線與所成角的大?。?br>（2）求證：平面．
3．（2023秋?青浦區(qū)校級(jí)月考）如圖所示圓錐中，為底面的直徑，，分別為母線與的中點(diǎn)，點(diǎn)是底面圓周上一點(diǎn)，若，，圓錐的高為．
（1）求圓錐的側(cè)面積；
（2）求異面直線與所成角的大?。?br>4．（2021秋?嘉定區(qū)期末）如圖，直三棱柱中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．
（1）求三棱錐的體積；
（2）求異面直線與所成角的大?。?br>（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）
5．（2023秋?松江區(qū)校級(jí)期中）在四面體中，各棱長(zhǎng)均相等，、分別是、的中點(diǎn)，、分別是、邊上的點(diǎn)，且．
（1）求證：、、、四點(diǎn)共面；
（2）求異面直線和所成角的大?。?br>6．（2022·上海浦東新·高二期末）如圖，在正方體中.
(1)求異面直線和所成的角的余弦值；
(2)求證：直線平面.
7．（2021·上海中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)．
(1)求證：直線∥平面PAC；
(2)求異面直線與AP所成角的大小.
題型二：空間中直線與平面所成的角
1．（2023秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末）在圓錐中，是底面圓周上一點(diǎn)．設(shè)的長(zhǎng)為1，且圓錐的側(cè)面展開圖是半圓．
（1）記圓錐的底面圓半徑為，母線長(zhǎng)為，則圓錐的側(cè)面積 （用，表示）；在本題中，求圓錐的側(cè)面積；
（2）求母線與底面所成角的大?。?br>2．（2022秋?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)期中）已知在正三棱柱中，，點(diǎn)、分別為棱、的中點(diǎn)．
（1）求直線與平面所成角的大??；
（2）求四面體的體積．
3．（2023秋?浦東新區(qū)期末）如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為1，平面，三角形是等邊三角形．
（1）求異面直線與所成的角的大??；
（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得與平面所成的角大小為？若存在，求出的長(zhǎng)度，若不存在，說明理由．
4．（2023秋?普陀區(qū)校級(jí)期中）如圖，在三棱錐中，和都是等腰直角三角形，，，二面角的大小為．
（1）求證：直線與直線不垂直；
（2）求直線與平面所成角的正弦值．
5．（2021·上海市大同中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，垂直于底面，，、分別為、的中點(diǎn).
（1）求證：；
（2）求與平面所成的角.
6．（2021·上海市進(jìn)才中學(xué)高二期中）已知正四棱錐中，，；
(1)求側(cè)棱與底面所成角的正弦值；
(2)求正四棱錐的體積
題型三：二面角
1．（2023秋?閔行區(qū)校級(jí)期末）某校學(xué)生利用解三角形有關(guān)知識(shí)進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)．處有一棟大樓，某學(xué)生選、（與在同一水平面上）兩處作為測(cè)量點(diǎn)，測(cè)得的距離為，，，在處測(cè)得大樓（大樓與水平面垂直）樓頂?shù)难鼋菫椋?br>（1）求，兩點(diǎn)間的距離；
（2）求大樓的高度及二面角的正切值．
2．（2023秋?浦東新區(qū)期末）如圖，在長(zhǎng)方體中，，．
（1）求二面角的正切值；
（2）設(shè)三棱錐的體積為，是否存在體積為為正整數(shù)），且十二條棱長(zhǎng)均相等的直四棱柱，使得它的所有棱長(zhǎng)和為24，若存在，求出該直四棱柱底面菱形的內(nèi)角的大??；若不存在，請(qǐng)說明理由．
3．（2022秋?奉賢區(qū)校級(jí)月考）如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為1的菱形，，平面，，為的中點(diǎn)．
（1）求證：平面平面；
（2）求二面角的正切值；
（3）求點(diǎn)到平面的距離．
4．（2022秋?浦東新區(qū)校級(jí)期中）如圖，點(diǎn)在圓柱的底面圓周上，為圓的直徑，圓柱的側(cè)面積為，，．
（1）求三棱錐的表面積；
（2）求二面角的大?。?br>5．（2022秋?浦東新區(qū)校級(jí)月考）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)、分別為棱、中點(diǎn)．
（1）求證：平面；
（2）求二面角的大?。?br>6．（2022秋?黃浦區(qū)校級(jí)期中）如圖，在正方體中．
（1）求異面直線和所成角的大??；
（2）求二面角的大?。?br>7．（2021秋?徐匯區(qū)校級(jí)期中）如圖，幾何體中，是正三角形，和都垂直于平面，且，，，分別為和的中點(diǎn)．
（1）求證：平面；
（2）求二面角的正切值．
8．（2023秋?普陀區(qū)校級(jí)期中）在直角三角形中，已知，，，為線段上除端點(diǎn)外任意一點(diǎn)（如圖，將三角形沿折成直二面角（如圖．
（1）若為中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正切值；
（2）若為中點(diǎn)，求二面角的正切值；
（3）翻折后的是否存在最小值，若存在，請(qǐng)給出；若不存在，請(qǐng)說明理由．
9．（2022·上?！?fù)旦附中高二期中）如圖所示，某農(nóng)戶擬在院子的墻角處搭建一個(gè)谷倉(cāng)，墻角可以看作如圖所示的圖形，其中OA、OB、兩兩垂直（OA、OB、均大于2米）．該農(nóng)戶找了一塊長(zhǎng)、寬分別為2米和1米的矩形木板．將木板的一邊緊貼地面，另外一組對(duì)邊緊貼墻面，圍出一個(gè)三棱柱（無蓋）形的谷倉(cāng)．
(1)若木板較長(zhǎng)的一邊緊貼地面，且圍成的谷倉(cāng)體積為立方米，問：此時(shí)木板與兩個(gè)墻面所成的銳二面角大小分別為多少？
(2)應(yīng)怎樣擺放木板，才能使得圍成的谷倉(cāng)容積最大？并求出該最大值．
10．（2021·上?！じ裰轮袑W(xué)高二期中）在四棱錐中，底面為梯形，，為正三角形，且，，四棱錐的體積為．
(1)求證：平面；
(2)求PC與平面ABCD所成角的正弦值；
(3)設(shè)平面平面，求證：，并求二面角的大?。?br>11．（2021·上海中學(xué)高二期中）如圖，在矩形ABCD中，M、N分別是線段AB、CD的中點(diǎn)，，，將沿DM翻折，在翻折過程中A點(diǎn)記為P點(diǎn)．
(1)從翻折至的過程中，求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的軌跡長(zhǎng)度；
(2)翻折過程中，二面角P?BC?D的平面角為θ，求的最大值.

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