【知識(shí)梳理】2
【真題自測(cè)】2
【考點(diǎn)突破】3
【考點(diǎn)1】分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用3
【考點(diǎn)2】分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用4
【考點(diǎn)3】?jī)蓚€(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用6
【分層檢測(cè)】8
【基礎(chǔ)篇】8
【能力篇】10
考試要求：
1.通過(guò)實(shí)例，了解分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理及其意義.
2.能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.
知識(shí)梳理
1.分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理
完成一件事有兩類(lèi)不同方案，在第1類(lèi)方案中有m種不同的方法，在第2類(lèi)方案中有n種不同的方法.那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法.
2.分步乘法計(jì)數(shù)原理
完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法.
3.分類(lèi)加法和分步乘法計(jì)數(shù)原理，區(qū)別在于：分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理針對(duì)“分類(lèi)”問(wèn)題，其中各種方法相互獨(dú)立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計(jì)數(shù)原理針對(duì)“分步”問(wèn)題，各個(gè)步驟中的方法相互依存，只有各個(gè)步驟都完成了才算完成這件事.
分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理是解決排列組合問(wèn)題的基礎(chǔ)，并貫穿其始終.
(1)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理中，完成一件事的方法屬于其中一類(lèi)，并且只屬于其中一類(lèi).
(2)分步乘法計(jì)數(shù)原理中，各個(gè)步驟中的方法相互依存，步與步之間“相互獨(dú)立，分步完成”.
真題自測(cè)
一、單選題
1．（2023·全國(guó)·高考真題）現(xiàn)有5名志愿者報(bào)名參加公益活動(dòng)，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從這5人中安排2人參加公益活動(dòng)，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有（ ）
A．120B．60C．30D．20
2．（2023·全國(guó)·高考真題）甲乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（ ）
A．30種B．60種C．120種D．240種
3．（2023·全國(guó)·高考真題）某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部?jī)蓪庸渤槿?0名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有（ ）．
A．種B．種
C．種D．種
4．（2023·全國(guó)·高考真題）某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級(jí)各2名．從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來(lái)自不同年級(jí)的概率為（ ）
A．B．C．D．
二、填空題
5．（2024·上海·高考真題）設(shè)集合中的元素皆為無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位正整數(shù)，且元素中任意兩個(gè)不同元素之積皆為偶數(shù)，求集合中元素個(gè)數(shù)的最大值 ．
6．（2023·全國(guó)·高考真題）某學(xué)校開(kāi)設(shè)了4門(mén)體育類(lèi)選修課和4門(mén)藝術(shù)類(lèi)選修課，學(xué)生需從這8門(mén)課中選修2門(mén)或3門(mén)課，并且每類(lèi)選修課至少選修1門(mén)，則不同的選課方案共有 種（用數(shù)字作答）．
考點(diǎn)突破
【考點(diǎn)1】分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用
一、單選題
1．（2023·湖南·模擬預(yù)測(cè)）第19屆亞運(yùn)會(huì)將于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，甲?乙等4名杭州亞運(yùn)會(huì)志愿者到游泳?射擊?體操三個(gè)場(chǎng)地進(jìn)行志愿服務(wù)，每名志愿者只去一個(gè)場(chǎng)地，每個(gè)場(chǎng)地至少一名志愿者，若甲不去游泳場(chǎng)地，則不同的安排方法共有（ ）
A．12種B．18種C．24種D．36種
2．（2024·貴州貴陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）2024年3月16日下午3點(diǎn)，在貴州省黔東南苗族侗族自治州榕江縣“村超”足球場(chǎng)，伴隨平地村足球隊(duì)在對(duì)陣口寨村足球隊(duì)中踢出的第一腳球，2024年第二屆貴州“村超”總決賽階段的比賽正式拉開(kāi)帷幕.某校足球社的五位同學(xué)準(zhǔn)備前往村超球隊(duì)所在村寨調(diào)研，將在第一天前往平地村、口寨村、忠誠(chéng)村，已知每個(gè)村至少有一位同學(xué)前往，五位同學(xué)都會(huì)進(jìn)行選擇并且每位同學(xué)只能選擇其中一個(gè)村，若學(xué)生甲和學(xué)生乙必須選同一個(gè)村，則不同的選法種數(shù)是（ ）
A．18B．36C．54D．72
二、多選題
3．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）如圖，16枚釘子釘成4×4的正方形板，現(xiàn)用橡皮筋去套釘子，則下列說(shuō)法正確的有(不同的圖形指兩個(gè)圖形中至少有一個(gè)頂點(diǎn)不同)（ ）
A．可以圍成20個(gè)不同的正方形
B．可以圍成24個(gè)不同的長(zhǎng)方形(鄰邊不相等)
C．可以圍成516個(gè)不同的三角形
D．可以圍成16個(gè)不同的等邊三角形
三、填空題
4．（22-23高三下·浙江杭州·階段練習(xí)）在一個(gè)圓周上有8個(gè)點(diǎn)，用四條既無(wú)公共點(diǎn)又無(wú)交點(diǎn)的弦連結(jié)它們，則連結(jié)方式有 種.
5．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）有序?qū)崝?shù)組稱(chēng)為維向量，為該向量的范數(shù)，范數(shù)在度量向量的長(zhǎng)度和大小方面有著重要的作用．已知維向量，其中．記范數(shù)為奇數(shù)的的個(gè)數(shù)為，則 ； ．（用含的式子表示）
6．（2024·黑龍江齊齊哈爾·一模）第33屆奧運(yùn)會(huì)于2024年7月26日至8月11日在法國(guó)巴黎舉行，某高校需要選派4名大學(xué)生去當(dāng)志愿者，已知該校現(xiàn)有9名候選人，其中4名男生，5名女生，則志愿者中至少有2名女生的選法有 種（用數(shù)字作答）.
反思提升：
分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)是運(yùn)用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理的難點(diǎn)所在，應(yīng)抓住題目中的關(guān)鍵詞、關(guān)鍵元素和關(guān)鍵位置.
(1)根據(jù)題目特點(diǎn)恰當(dāng)選擇一個(gè)分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn).
(2)分類(lèi)時(shí)應(yīng)注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類(lèi)，并且分別屬于不同種類(lèi)的兩種方法才是不同的方法，不能重復(fù).
(3)分類(lèi)時(shí)除了不能交叉重復(fù)外，還不能有遺漏.
【考點(diǎn)2】分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用
一、單選題
1．（23-24高二上·遼寧·期末）某校高三年級(jí)有8名同學(xué)計(jì)劃高考后前往武當(dāng)山?黃山?廬山三個(gè)景點(diǎn)旅游.已知8名同學(xué)中有4名男生，4名女生.每個(gè)景點(diǎn)至少有2名同學(xué)前往，每名同學(xué)僅選一處景點(diǎn)游玩，其中男生甲與女生不去同一處景點(diǎn)游玩，女生與女生去同一處景點(diǎn)游玩，則這8名同學(xué)游玩行程的方法數(shù)為（ ）
A．564B．484C．386D．640
2．（2023·河南開(kāi)封·模擬預(yù)測(cè)）有2男2女共4名大學(xué)畢業(yè)生被分配到三個(gè)工廠實(shí)習(xí)，每人必須去一個(gè)工廠且每個(gè)工廠至少去1人，且工廠只接收女生，則不同的分配方法種數(shù)為（ ）
A．12B．14C．36D．72
二、多選題
3．（23-24高二上·四川·階段練習(xí)）有五名志愿者參加社區(qū)服務(wù)，共服務(wù)周六?周天兩天，每天從中任選兩人參加服務(wù)，則（ ）
A．只有1人未參加服務(wù)的選擇種數(shù)是30種
B．恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)是40種
C．只有1人未參加服務(wù)的選擇種數(shù)是60種
D．恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)是60種
4．（2024·甘肅·一模）下列說(shuō)法正確的有（ ）
A．?dāng)?shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是40
B．若，則
C．4名學(xué)生選報(bào)3門(mén)校本選修課，每人只能選其中一門(mén)，則總選法數(shù)為種
D．展開(kāi)式中項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為56
三、填空題
5．（2024·福建廈門(mén)·一模）《九章算術(shù)》、《數(shù)書(shū)九章》、《周髀算經(jīng)》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作，甲、乙、丙三名同學(xué)計(jì)劃每人從中選擇一種來(lái)閱讀，若三人選擇的書(shū)不全相同，則不同的選法有 種．
6．（2024·山東濰坊·一模）第40屆濰坊國(guó)際風(fēng)箏會(huì)期間，某學(xué)校派人參加連續(xù)天的志愿服務(wù)活動(dòng)，其中甲連續(xù)參加天，其他人各參加天，則不同的安排方法有 種．（結(jié)果用數(shù)值表示）
一、單選題
1．（23-24高二上·遼寧·期末）某校高三年級(jí)有8名同學(xué)計(jì)劃高考后前往武當(dāng)山?黃山?廬山三個(gè)景點(diǎn)旅游.已知8名同學(xué)中有4名男生，4名女生.每個(gè)景點(diǎn)至少有2名同學(xué)前往，每名同學(xué)僅選一處景點(diǎn)游玩，其中男生甲與女生不去同一處景點(diǎn)游玩，女生與女生去同一處景點(diǎn)游玩，則這8名同學(xué)游玩行程的方法數(shù)為（ ）
A．564B．484C．386D．640
2．（2023·河南開(kāi)封·模擬預(yù)測(cè)）有2男2女共4名大學(xué)畢業(yè)生被分配到三個(gè)工廠實(shí)習(xí)，每人必須去一個(gè)工廠且每個(gè)工廠至少去1人，且工廠只接收女生，則不同的分配方法種數(shù)為（ ）
A．12B．14C．36D．72
二、多選題
3．（23-24高二上·四川·階段練習(xí)）有五名志愿者參加社區(qū)服務(wù)，共服務(wù)周六?周天兩天，每天從中任選兩人參加服務(wù)，則（ ）
A．只有1人未參加服務(wù)的選擇種數(shù)是30種
B．恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)是40種
C．只有1人未參加服務(wù)的選擇種數(shù)是60種
D．恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)是60種
4．（2024·甘肅·一模）下列說(shuō)法正確的有（ ）
A．?dāng)?shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是40
B．若，則
C．4名學(xué)生選報(bào)3門(mén)校本選修課，每人只能選其中一門(mén)，則總選法數(shù)為種
D．展開(kāi)式中項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為56
三、填空題
5．（2024·福建廈門(mén)·一模）《九章算術(shù)》、《數(shù)書(shū)九章》、《周髀算經(jīng)》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作，甲、乙、丙三名同學(xué)計(jì)劃每人從中選擇一種來(lái)閱讀，若三人選擇的書(shū)不全相同，則不同的選法有 種．
6．（2024·山東濰坊·一模）第40屆濰坊國(guó)際風(fēng)箏會(huì)期間，某學(xué)校派人參加連續(xù)天的志愿服務(wù)活動(dòng)，其中甲連續(xù)參加天，其他人各參加天，則不同的安排方法有 種．（結(jié)果用數(shù)值表示）
反思提升：
1.利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決問(wèn)題要按事件發(fā)生的過(guò)程合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步必須滿(mǎn)足：完成一件事的各個(gè)步驟是相互依存的，只有各個(gè)步驟都完成了，才算完成這件事.
2.分步必須滿(mǎn)足兩個(gè)條件：一是步驟互相獨(dú)立，互不干擾；二是步與步確保連續(xù)，逐步完成.
【考點(diǎn)3】?jī)蓚€(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用
一、單選題
1．（23-24高三上·江西南昌·階段練習(xí)）某植物園要在如圖所示的5個(gè)區(qū)域種植果樹(shù)，現(xiàn)有5種不同的果樹(shù)供選擇，要求相鄰區(qū)域不能種同一種果樹(shù)，則共有（ ）種不同的方法.

A．120B．360C．420D．480
2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）“142857”這一串?dāng)?shù)字被稱(chēng)為走馬燈數(shù)，是世界上著名的幾個(gè)數(shù)之一，當(dāng)142857與1至6中任意1個(gè)數(shù)字相乘時(shí)，乘積仍然由1，4，2，8，5，7這6個(gè)數(shù)字組成．若從1，4，2，8，5，7這6個(gè)數(shù)字中任選4個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則在這些組成的四位數(shù)中，大于5200的偶數(shù)個(gè)數(shù)是（ ）
A．87B．129C．132D．138
二、多選題
3．（22-23高二下·貴州貴陽(yáng)·階段練習(xí)）甲?乙?丙?丁4人做傳接球訓(xùn)練，球從甲手中開(kāi)始，等可能地隨機(jī)傳向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機(jī)傳向另外3人中的1人，如此不停地傳下去，假設(shè)傳出的球都能接住.記第次傳球之前球在甲手中的概率為，易知.下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．
B．為等比數(shù)列
C．設(shè)第次傳球之前球在乙手中的概率為
D．第4次傳球后，球落在乙手中的傳球方式有20種
4．（22-23高二下·山東棗莊·階段練習(xí)）現(xiàn)有4個(gè)興趣小組，第一、二、三、四組分別有6人、7人、8人、9人，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．選1人為負(fù)責(zé)人的選法種數(shù)為30
B．每組選1名組長(zhǎng)的選法種數(shù)為3024
C．若推選2人發(fā)言，這2人需來(lái)自不同的小組，則不同的選法種數(shù)為335
D．若另有3名學(xué)生加入這4個(gè)小組，可自由選擇小組，且第一組必有人選，則不同的選法有35種
三、填空題
5．（22-23高二下·湖北·期中）用0~9十個(gè)數(shù)字排成三位數(shù)，允許數(shù)字重復(fù)，把個(gè)位?十位?百位的數(shù)字之和等于9的三位數(shù)稱(chēng)為“長(zhǎng)久數(shù)”，則“長(zhǎng)久數(shù)”一共有 個(gè)．
6．（2023·陜西寶雞·一模）七巧板是古代勞動(dòng)人民智慧的結(jié)晶.如圖是某同學(xué)用木板制作的七巧板，它包括5個(gè)等腰直角三角形?一個(gè)正方形和一個(gè)平行四邊形.若用四種顏色給各板塊涂色，要求正方形板塊單獨(dú)一色，其余板塊兩塊一種顏色，而且有公共邊的板塊不同色，則不同的涂色方案有 種.
反思提升：
1.在綜合應(yīng)用兩個(gè)原理解決問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意：
(1)一般是先分類(lèi)再分步.在分步時(shí)可能又用到分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理.(2)對(duì)于較復(fù)雜的兩個(gè)原理綜合應(yīng)用的問(wèn)題，可恰當(dāng)?shù)亓谐鍪疽鈭D或列出表格，使問(wèn)題形象化、直觀化.
2.解決涂色問(wèn)題，可按顏色的種數(shù)分類(lèi)，也可按不同的區(qū)域分步完成.
分層檢測(cè)
【基礎(chǔ)篇】
一、單選題
1．（2023·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）小明在某一天中有七個(gè)課間休息時(shí)段，為準(zhǔn)備“小歌手”比賽他想要選出至少一個(gè)課間休息時(shí)段來(lái)練習(xí)唱歌，但他希望任意兩個(gè)練習(xí)的時(shí)間段之間都有至少兩個(gè)課間不唱歌讓他休息，則小明一共有（ ）種練習(xí)的方案.
A．31B．18C．21D．33
2．（2023·河北唐山·一模）將英文單詞“”中的6個(gè)字母重新排列，其中字母b不相鄰的排列方法共有（ ）
A．120種B．240種C．480種D．960種
3．（2022·遼寧·二模）重慶九宮格火鍋，是重慶火鍋獨(dú)特的烹飪方式．九宮格下面是相通的，實(shí)現(xiàn)了“底同火不同，湯通油不通”它把火鍋分為三個(gè)層次，不同的格子代表不同的溫度和不同的牛油濃度，其鍋具抽象成數(shù)學(xué)形狀如圖（同一類(lèi)格子形狀相同）：
“中間格“火力旺盛，不宜久煮，適合放一些質(zhì)地嫩脆、頃刻即熟的食物；
“十字格”火力稍弱，但火力均勻，適合煮食，長(zhǎng)時(shí)間加熱以鎖住食材原香；
“四角格”屬文火，火力溫和，適合燜菜，讓食物軟糯入味．現(xiàn)有6種不同食物（足夠量），其中1種適合放入中間格，3種適合放入十字格，2種適合放入四角格．現(xiàn)將九宮格全部放入食物，且每格只放一種，若同時(shí)可以吃到這六種食物（不考慮位置），則有多少種不同放法（ ）
A．108B．36C．9D．6
4．（2023·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示某城區(qū)的一個(gè)街心花園，共有五個(gè)區(qū)域，中心區(qū)域E已被設(shè)計(jì)為代表城市特點(diǎn)的一個(gè)標(biāo)志性塑像，要求在周?chē)鶤BCD四個(gè)區(qū)域中種植鮮花，現(xiàn)有四個(gè)品種的鮮花可供選擇，要求每個(gè)區(qū)域只種一個(gè)品種且相鄰區(qū)域所種品種不同，則不同的種植方法的種數(shù)為（ ）
A．12B．24C．48D．84
二、多選題
5．（2023·湖南·三模）已知一組數(shù)據(jù)：0，1，2，4，則下列各選項(xiàng)正確的是（ ）
A．該組數(shù)據(jù)的極差，中位數(shù)，平均數(shù)之積為10
B．該組數(shù)據(jù)的方差為2.1875
C．從這4個(gè)數(shù)字中任取2個(gè)不同的數(shù)字可以組成8個(gè)兩位數(shù)
D．在這4個(gè)數(shù)字中任取2個(gè)不同的數(shù)字組成兩位數(shù)，從這些兩位數(shù)中任取一數(shù)，取得偶數(shù)的概率為
三、填空題
6．（2023·河北保定·一模）某校為促進(jìn)拔尖人才培養(yǎng)開(kāi)設(shè)了數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物、信息學(xué)五個(gè)學(xué)科競(jìng)賽課程，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四位同學(xué)要報(bào)名競(jìng)賽課程，由于精力和時(shí)間限制，每人只能選擇其中一個(gè)學(xué)科的競(jìng)賽課程，則恰有兩位同學(xué)選擇數(shù)學(xué)競(jìng)賽課程的報(bào)名方法數(shù)為 ．
7．（22-23高三·廣東汕頭·階段練習(xí)）如果一個(gè)四位數(shù)的各位數(shù)字互不相同，且各位數(shù)字之和等于10，則稱(chēng)此四位數(shù)為“完美四位數(shù)（如1036），則由數(shù)字0，1，2，3，4，5，6，7構(gòu)成的“完美四位數(shù)”中，奇數(shù)的個(gè)數(shù)為 ．
8．（2023·安徽·模擬預(yù)測(cè)）數(shù)學(xué)課上，老師出了一道智力游戲題.如圖所示，平面直角坐標(biāo)系中有一個(gè)3乘3方格圖（小正方形邊長(zhǎng)為1），一共有十六個(gè)紅色的格點(diǎn)，游戲規(guī)則是每一步可以改變其中一個(gè)點(diǎn)的顏色（只能由紅變綠或綠變紅），如將其中任何一個(gè)點(diǎn)由紅色改成綠色，則這個(gè)點(diǎn)周?chē)c之相鄰的點(diǎn)也要從原來(lái)的顏色變成另外一種顏色，比如選擇變成綠色，則與之相鄰的，，，四個(gè)點(diǎn)也要變成綠色，那么最少需要 步，才能使得位于直線上的四個(gè)點(diǎn)變成綠色，而其他點(diǎn)都是紅色.
【能力篇】
一、單選題
1．（23-24高三上·山西·期末）某小組兩名男生和兩名女生邀請(qǐng)一名老師排成一排合影留念，要求兩名男生不相鄰，兩名女生也不相鄰，老師不站在兩端，則不同的排法共有（ ）
A．48種B．32種C．24種D．16種
2．（2023·四川雅安·一模）甲、乙、丙、丁4個(gè)學(xué)校將分別組織部分學(xué)生開(kāi)展研學(xué)活動(dòng)，現(xiàn)有五個(gè)研學(xué)基地供選擇，每個(gè)學(xué)校只選擇一個(gè)基地，則4個(gè)學(xué)校中至少有3個(gè)學(xué)校所選研學(xué)基地不相同的選擇種數(shù)共有（ ）
A．420B．460C．480D．520
3．（2024·福建泉州·二模）2024年“花開(kāi)刺桐城”閩南風(fēng)情系列活動(dòng)在泉州舉辦，包含美術(shù)、書(shū)法、攝影民間文藝作品展覽，書(shū)畫(huà)筆會(huì)，文藝晚會(huì)等內(nèi)容．假如在美術(shù)、書(shū)法、攝影民間文藝作品展覽中，某區(qū)域有2幅不同的美術(shù)作品、3幅不同的書(shū)法作品、1幅不同的攝影作品，將這6幅作品排成兩排掛在同一面墻上，第一排掛4幅，第二排掛2幅，則美術(shù)作品不相鄰的概率為（ ）
A．B．C．D．
二、填空題
4．（23-24高二下·江西贛州·期中）提供6種不同顏色的顏料給圖中A，B，C，D，E，F(xiàn)六個(gè)區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不能涂相同顏色，則不同的涂色方法共有 種.
5．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）除數(shù)函數(shù)（divisr functin）的函數(shù)值等于n的正因數(shù)的個(gè)數(shù)，例如，，．則 ．
6．（23-24高三上·河北·期末）將1，2，3，…，9這9個(gè)數(shù)填入如圖所示的格子中（要求每個(gè)數(shù)都要填入，每個(gè)格子中只能填一個(gè)數(shù)），記第1行中最大的數(shù)為，第2行中最大的數(shù)為，第3行中最大的數(shù)為，則的填法共有 種.
7．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）重慶位于中國(guó)西南部、長(zhǎng)江上游地區(qū)，地跨青藏高原與長(zhǎng)江中下游平原的過(guò)渡地帶．東鄰湖北、湖南，南靠貴州，西接四川，北連陜西．現(xiàn)用4種顏色標(biāo)注6個(gè)省份的地圖區(qū)域，相鄰省份地圖顏色不相同，則共有 種涂色方式．
專(zhuān)題58 分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理（新高考專(zhuān)用）
目錄
【知識(shí)梳理】2
【真題自測(cè)】2
【考點(diǎn)突破】5
【考點(diǎn)1】分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用5
【考點(diǎn)2】分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用8
【考點(diǎn)3】?jī)蓚€(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用13
【分層檢測(cè)】17
【基礎(chǔ)篇】17
【能力篇】22
考試要求：
1.通過(guò)實(shí)例，了解分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理及其意義.
2.能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.
知識(shí)梳理
1.分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理
完成一件事有兩類(lèi)不同方案，在第1類(lèi)方案中有m種不同的方法，在第2類(lèi)方案中有n種不同的方法.那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法.
2.分步乘法計(jì)數(shù)原理
完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法.
3.分類(lèi)加法和分步乘法計(jì)數(shù)原理，區(qū)別在于：分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理針對(duì)“分類(lèi)”問(wèn)題，其中各種方法相互獨(dú)立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計(jì)數(shù)原理針對(duì)“分步”問(wèn)題，各個(gè)步驟中的方法相互依存，只有各個(gè)步驟都完成了才算完成這件事.
分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理是解決排列組合問(wèn)題的基礎(chǔ)，并貫穿其始終.
(1)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理中，完成一件事的方法屬于其中一類(lèi)，并且只屬于其中一類(lèi).
(2)分步乘法計(jì)數(shù)原理中，各個(gè)步驟中的方法相互依存，步與步之間“相互獨(dú)立，分步完成”.
真題自測(cè)
一、單選題
1．（2023·全國(guó)·高考真題）現(xiàn)有5名志愿者報(bào)名參加公益活動(dòng)，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從這5人中安排2人參加公益活動(dòng)，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有（ ）
A．120B．60C．30D．20
2．（2023·全國(guó)·高考真題）甲乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（ ）
A．30種B．60種C．120種D．240種
3．（2023·全國(guó)·高考真題）某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部?jī)蓪庸渤槿?0名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有（ ）．
A．種B．種
C．種D．種
4．（2023·全國(guó)·高考真題）某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級(jí)各2名．從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來(lái)自不同年級(jí)的概率為（ ）
A．B．C．D．
二、填空題
5．（2024·上?！じ呖颊骖}）設(shè)集合中的元素皆為無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位正整數(shù)，且元素中任意兩個(gè)不同元素之積皆為偶數(shù)，求集合中元素個(gè)數(shù)的最大值 ．
6．（2023·全國(guó)·高考真題）某學(xué)校開(kāi)設(shè)了4門(mén)體育類(lèi)選修課和4門(mén)藝術(shù)類(lèi)選修課，學(xué)生需從這8門(mén)課中選修2門(mén)或3門(mén)課，并且每類(lèi)選修課至少選修1門(mén)，則不同的選課方案共有 種（用數(shù)字作答）．
參考答案：
1．B
【分析】利用分類(lèi)加法原理，分類(lèi)討論五名志愿者連續(xù)參加兩天公益活動(dòng)的情況，即可得解.
【詳解】不妨記五名志愿者為，
假設(shè)連續(xù)參加了兩天公益活動(dòng)，再?gòu)氖Ｓ嗟?人抽取2人各參加星期六與星期天的公益活動(dòng)，共有種方法，
同理：連續(xù)參加了兩天公益活動(dòng)，也各有種方法，
所以恰有1人連續(xù)參加了兩天公益活動(dòng)的選擇種數(shù)有種.
故選：B.
2．C
【分析】相同讀物有6種情況，剩余兩種讀物的選擇再進(jìn)行排列，最后根據(jù)分步乘法公式即可得到答案.
【詳解】首先確定相同得讀物，共有種情況，
然后兩人各自的另外一種讀物相當(dāng)于在剩余的5種讀物里，選出兩種進(jìn)行排列，共有種，
根據(jù)分步乘法公式則共有種，
故選：C.
3．D
【分析】利用分層抽樣的原理和組合公式即可得到答案.
【詳解】根據(jù)分層抽樣的定義知初中部共抽取人，高中部共抽取，
根據(jù)組合公式和分步計(jì)數(shù)原理則不同的抽樣結(jié)果共有種.
故選：D.
4．D
【分析】利用古典概率的概率公式，結(jié)合組合的知識(shí)即可得解.
【詳解】依題意，從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，總的基本事件有件，
其中這2名學(xué)生來(lái)自不同年級(jí)的基本事件有，
所以這2名學(xué)生來(lái)自不同年級(jí)的概率為.
故選：D.
5．329
【分析】三位數(shù)中的偶數(shù)分個(gè)位是0和個(gè)位不是0討論即可.
【詳解】由題意知集合中且至多只有一個(gè)奇數(shù)，其余均是偶數(shù)．
首先討論三位數(shù)中的偶數(shù)，
①當(dāng)個(gè)位為0時(shí)，則百位和十位在剩余的9個(gè)數(shù)字中選擇兩個(gè)進(jìn)行排列，則這樣的偶數(shù)有個(gè)；
②當(dāng)個(gè)位不為0時(shí)，則個(gè)位有個(gè)數(shù)字可選，百位有個(gè)數(shù)字可選，十位有個(gè)數(shù)字可選，
根據(jù)分步乘法這樣的偶數(shù)共有，
最后再加上單獨(dú)的奇數(shù)，所以集合中元素個(gè)數(shù)的最大值為個(gè)．
故答案為：329．
6．64
【分析】分類(lèi)討論選修2門(mén)或3門(mén)課，對(duì)選修3門(mén)，再討論具體選修課的分配，結(jié)合組合數(shù)運(yùn)算求解.
【詳解】（1）當(dāng)從8門(mén)課中選修2門(mén)，則不同的選課方案共有種；
（2）當(dāng)從8門(mén)課中選修3門(mén)，
①若體育類(lèi)選修課1門(mén)，則不同的選課方案共有種；
②若體育類(lèi)選修課2門(mén)，則不同的選課方案共有種；
綜上所述：不同的選課方案共有種.
故答案為：64.
考點(diǎn)突破
【考點(diǎn)1】分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用
一、單選題
1．（2023·湖南·模擬預(yù)測(cè)）第19屆亞運(yùn)會(huì)將于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，甲?乙等4名杭州亞運(yùn)會(huì)志愿者到游泳?射擊?體操三個(gè)場(chǎng)地進(jìn)行志愿服務(wù)，每名志愿者只去一個(gè)場(chǎng)地，每個(gè)場(chǎng)地至少一名志愿者，若甲不去游泳場(chǎng)地，則不同的安排方法共有（ ）
A．12種B．18種C．24種D．36種
2．（2024·貴州貴陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）2024年3月16日下午3點(diǎn)，在貴州省黔東南苗族侗族自治州榕江縣“村超”足球場(chǎng)，伴隨平地村足球隊(duì)在對(duì)陣口寨村足球隊(duì)中踢出的第一腳球，2024年第二屆貴州“村超”總決賽階段的比賽正式拉開(kāi)帷幕.某校足球社的五位同學(xué)準(zhǔn)備前往村超球隊(duì)所在村寨調(diào)研，將在第一天前往平地村、口寨村、忠誠(chéng)村，已知每個(gè)村至少有一位同學(xué)前往，五位同學(xué)都會(huì)進(jìn)行選擇并且每位同學(xué)只能選擇其中一個(gè)村，若學(xué)生甲和學(xué)生乙必須選同一個(gè)村，則不同的選法種數(shù)是（ ）
A．18B．36C．54D．72
二、多選題
3．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）如圖，16枚釘子釘成4×4的正方形板，現(xiàn)用橡皮筋去套釘子，則下列說(shuō)法正確的有(不同的圖形指兩個(gè)圖形中至少有一個(gè)頂點(diǎn)不同)（ ）
A．可以圍成20個(gè)不同的正方形
B．可以圍成24個(gè)不同的長(zhǎng)方形(鄰邊不相等)
C．可以圍成516個(gè)不同的三角形
D．可以圍成16個(gè)不同的等邊三角形
三、填空題
4．（22-23高三下·浙江杭州·階段練習(xí)）在一個(gè)圓周上有8個(gè)點(diǎn)，用四條既無(wú)公共點(diǎn)又無(wú)交點(diǎn)的弦連結(jié)它們，則連結(jié)方式有 種.
5．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）有序?qū)崝?shù)組稱(chēng)為維向量，為該向量的范數(shù)，范數(shù)在度量向量的長(zhǎng)度和大小方面有著重要的作用．已知維向量，其中．記范數(shù)為奇數(shù)的的個(gè)數(shù)為，則 ； ．（用含的式子表示）
6．（2024·黑龍江齊齊哈爾·一模）第33屆奧運(yùn)會(huì)于2024年7月26日至8月11日在法國(guó)巴黎舉行，某高校需要選派4名大學(xué)生去當(dāng)志愿者，已知該?，F(xiàn)有9名候選人，其中4名男生，5名女生，則志愿者中至少有2名女生的選法有 種（用數(shù)字作答）.
參考答案：
1．C
【分析】本題只需考慮游泳場(chǎng)有2名志愿者和1名志愿者兩種情況即可.
【詳解】①游泳場(chǎng)地安排2人，則不同的安排方法有種，
②游泳場(chǎng)地只安排1人，則不同的安排方法有種，
所以不同的安排方法有種.
故選：C
2．B
【分析】分和兩種情況，分別求出不同的選法再相加即可.
【詳解】若五位同學(xué)最終選擇為，先選擇一位同學(xué)和學(xué)生甲和學(xué)生乙組成3人小組，
剩余兩人各去一個(gè)村，進(jìn)行全排列，此時(shí)有種選擇，
若五位同學(xué)最終選擇為，將除了甲乙外的三位同學(xué)分為兩組，再進(jìn)行全排列，
此時(shí)有種選擇，
綜上，共有種選擇.
故選：B
3．ABC
【分析】利用分類(lèi)計(jì)算原理及組合，結(jié)合圖形，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷即可得出結(jié)果.
【詳解】不妨設(shè)兩個(gè)釘子間的距離為1，
對(duì)于選項(xiàng)A，由圖知，邊長(zhǎng)為1的正方形有個(gè)，邊長(zhǎng)為的正方形有個(gè)，
邊長(zhǎng)為3的正方形有1個(gè)，邊長(zhǎng)為的正方形有個(gè)，邊長(zhǎng)為的有2個(gè)，共有20個(gè)，所以選項(xiàng)A正確，
對(duì)于選項(xiàng)B，由圖知，寬為1的長(zhǎng)方形有個(gè)，寬為2的長(zhǎng)方形有個(gè)，
寬為3的長(zhǎng)方形有5個(gè)，寬為的有2個(gè)，共有24個(gè)，所以選項(xiàng)B正確，
對(duì)于選項(xiàng)C，由圖知，可以圍成個(gè)不同的三角形，所以選項(xiàng)C正確，
對(duì)于選項(xiàng)D，由圖可知，不存在等邊三角形，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤，
故選：ABC.
4．14
【分析】根據(jù)加法分類(lèi)計(jì)數(shù)原理求解即可.
【詳解】不妨設(shè)圓周上的點(diǎn)依次為，
要使得四條弦既無(wú)公共點(diǎn)又無(wú)交點(diǎn)，如圖所示：

符合圖①的連結(jié)方式有2種；符合圖②的連結(jié)方式有4種；符合圖③的連結(jié)方式有8種；
共計(jì)種.
故答案為：.
5． 40
【分析】根據(jù)乘法原理和加法原理即可求解；根據(jù)和的展開(kāi)式相減得到的通項(xiàng)公式.
【詳解】根據(jù)乘法原理和加法原理得到．
奇數(shù)維向量，范數(shù)為奇數(shù)，則的個(gè)數(shù)為奇數(shù)，即1的個(gè)數(shù)為1，3，5，…，，
根據(jù)乘法原理和加法原理得到，
兩式相減得到.
故答案為：40；.
6．105
【分析】分別求出恰有兩名女生人選、恰有3名女生人選、恰有4名女生人選的選法種數(shù)，根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，即可求得答案.
【詳解】由題意可得恰有兩名女生人選的選法有種，
恰有3名女生人選的選法有種，
恰有4名女生人選的選法有種，
所以至少有兩名女生人選的選法有（種），
故答案為：105
反思提升：
分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)是運(yùn)用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理的難點(diǎn)所在，應(yīng)抓住題目中的關(guān)鍵詞、關(guān)鍵元素和關(guān)鍵位置.
(1)根據(jù)題目特點(diǎn)恰當(dāng)選擇一個(gè)分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn).
(2)分類(lèi)時(shí)應(yīng)注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類(lèi)，并且分別屬于不同種類(lèi)的兩種方法才是不同的方法，不能重復(fù).
(3)分類(lèi)時(shí)除了不能交叉重復(fù)外，還不能有遺漏.
【考點(diǎn)2】分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用
一、單選題
1．（23-24高二上·遼寧·期末）某校高三年級(jí)有8名同學(xué)計(jì)劃高考后前往武當(dāng)山?黃山?廬山三個(gè)景點(diǎn)旅游.已知8名同學(xué)中有4名男生，4名女生.每個(gè)景點(diǎn)至少有2名同學(xué)前往，每名同學(xué)僅選一處景點(diǎn)游玩，其中男生甲與女生不去同一處景點(diǎn)游玩，女生與女生去同一處景點(diǎn)游玩，則這8名同學(xué)游玩行程的方法數(shù)為（ ）
A．564B．484C．386D．640
2．（2023·河南開(kāi)封·模擬預(yù)測(cè)）有2男2女共4名大學(xué)畢業(yè)生被分配到三個(gè)工廠實(shí)習(xí)，每人必須去一個(gè)工廠且每個(gè)工廠至少去1人，且工廠只接收女生，則不同的分配方法種數(shù)為（ ）
A．12B．14C．36D．72
二、多選題
3．（23-24高二上·四川·階段練習(xí)）有五名志愿者參加社區(qū)服務(wù)，共服務(wù)周六?周天兩天，每天從中任選兩人參加服務(wù)，則（ ）
A．只有1人未參加服務(wù)的選擇種數(shù)是30種
B．恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)是40種
C．只有1人未參加服務(wù)的選擇種數(shù)是60種
D．恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)是60種
4．（2024·甘肅·一模）下列說(shuō)法正確的有（ ）
A．?dāng)?shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是40
B．若，則
C．4名學(xué)生選報(bào)3門(mén)校本選修課，每人只能選其中一門(mén)，則總選法數(shù)為種
D．展開(kāi)式中項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為56
三、填空題
5．（2024·福建廈門(mén)·一模）《九章算術(shù)》、《數(shù)書(shū)九章》、《周髀算經(jīng)》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作，甲、乙、丙三名同學(xué)計(jì)劃每人從中選擇一種來(lái)閱讀，若三人選擇的書(shū)不全相同，則不同的選法有 種．
6．（2024·山東濰坊·一模）第40屆濰坊國(guó)際風(fēng)箏會(huì)期間，某學(xué)校派人參加連續(xù)天的志愿服務(wù)活動(dòng)，其中甲連續(xù)參加天，其他人各參加天，則不同的安排方法有 種．（結(jié)果用數(shù)值表示）
一、單選題
1．（23-24高二上·遼寧·期末）某校高三年級(jí)有8名同學(xué)計(jì)劃高考后前往武當(dāng)山?黃山?廬山三個(gè)景點(diǎn)旅游.已知8名同學(xué)中有4名男生，4名女生.每個(gè)景點(diǎn)至少有2名同學(xué)前往，每名同學(xué)僅選一處景點(diǎn)游玩，其中男生甲與女生不去同一處景點(diǎn)游玩，女生與女生去同一處景點(diǎn)游玩，則這8名同學(xué)游玩行程的方法數(shù)為（ ）
A．564B．484C．386D．640
2．（2023·河南開(kāi)封·模擬預(yù)測(cè)）有2男2女共4名大學(xué)畢業(yè)生被分配到三個(gè)工廠實(shí)習(xí)，每人必須去一個(gè)工廠且每個(gè)工廠至少去1人，且工廠只接收女生，則不同的分配方法種數(shù)為（ ）
A．12B．14C．36D．72
二、多選題
3．（23-24高二上·四川·階段練習(xí)）有五名志愿者參加社區(qū)服務(wù)，共服務(wù)周六?周天兩天，每天從中任選兩人參加服務(wù)，則（ ）
A．只有1人未參加服務(wù)的選擇種數(shù)是30種
B．恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)是40種
C．只有1人未參加服務(wù)的選擇種數(shù)是60種
D．恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)是60種
4．（2024·甘肅·一模）下列說(shuō)法正確的有（ ）
A．?dāng)?shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是40
B．若，則
C．4名學(xué)生選報(bào)3門(mén)校本選修課，每人只能選其中一門(mén)，則總選法數(shù)為種
D．展開(kāi)式中項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為56
三、填空題
5．（2024·福建廈門(mén)·一模）《九章算術(shù)》、《數(shù)書(shū)九章》、《周髀算經(jīng)》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作，甲、乙、丙三名同學(xué)計(jì)劃每人從中選擇一種來(lái)閱讀，若三人選擇的書(shū)不全相同，則不同的選法有 種．
6．（2024·山東濰坊·一模）第40屆濰坊國(guó)際風(fēng)箏會(huì)期間，某學(xué)校派人參加連續(xù)天的志愿服務(wù)活動(dòng)，其中甲連續(xù)參加天，其他人各參加天，則不同的安排方法有 種．（結(jié)果用數(shù)值表示）
參考答案：
1．A
【分析】先將不平均分組問(wèn)題分成兩大類(lèi)，然后由排列組合知識(shí)結(jié)合加法、乘法計(jì)數(shù)原理即可得解.
【詳解】8人分三組可分為2人，2人，4人和2人，3人，3人，共兩種情況.
第一種情況分成2人，2人，4人：女生去同一處景點(diǎn)，當(dāng)成2人組時(shí)，
其他6人分成2人，4人兩組且男生甲與女生不同組，有種方法；
當(dāng)在4人組時(shí)，有種方法.
第二種情況分成2人，3人，3人：當(dāng)成2人組時(shí)，有種方法；
當(dāng)在3人組時(shí)，有種方法.
故這8名同學(xué)游玩行程的方法數(shù)為.
故選：A.
2．B
【分析】根據(jù)題意，分廠只接受1個(gè)女生和廠接受2個(gè)女生兩類(lèi)情況，結(jié)合廠的分派方案，利用分類(lèi)、分步計(jì)數(shù)原理，即可求解.
【詳解】由題意，可分為兩種情況：
①若廠只接受1個(gè)女生，有種分派方案，
則廠分派人數(shù)可以為或，則有種分派方案，
由分步計(jì)數(shù)原理可得，共有種不同的分派方案；
②若廠接受2個(gè)女生，只有1種分派方案，
則廠分派人數(shù)為，則有種分派方案，
此時(shí)共有種不同的分派方案，
綜上，由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理可得，共有種不同的分派方案.
故選：B.
3．AD
【分析】
有1人未參加服務(wù)或恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)都要先從5人中選出1人，再?gòu)挠嘞碌娜酥羞x取服務(wù)于周六周日，根據(jù)分步乘法原理，即可求得答案.
【詳解】由題意得只有1人未參加服務(wù)，先從5人中選1人，未參加服務(wù)，有種選法，
再?gòu)挠嘞?人中選2人參加周六服務(wù)，剩余2人參加周日服務(wù)，有種選法，
故只有1人未參加服務(wù)的選擇種數(shù)是種，A正確，C錯(cuò)誤；
恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)，先從5人中選1人，服務(wù)周六?周天兩天，有種選法，
再?gòu)挠嘞?人中選1人參加周六服務(wù)，剩余3人選1人參加周日服務(wù)，有種選法，
故恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)是種，B錯(cuò)誤，D正確，
故選：AD
4．ABD
【分析】
由百分位數(shù)的定義計(jì)算結(jié)果判斷選項(xiàng)A；由正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性判斷選項(xiàng)B；由分步計(jì)數(shù)原理判斷選項(xiàng)C；由二項(xiàng)式定理求指定項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)判斷選項(xiàng)D.
【詳解】數(shù)據(jù)，共8個(gè)數(shù)據(jù)，
從小到大排列為，，
所以第75百分位數(shù)是第6個(gè)數(shù)據(jù)與第7個(gè)數(shù)據(jù)的平均值，即，A選項(xiàng)正確；
若，則正態(tài)密度曲線的對(duì)稱(chēng)軸為，
所以，B選項(xiàng)正確；
4名學(xué)生選報(bào)3門(mén)校本選修課，每人只能選其中一門(mén)，則總選法數(shù)為種，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
由二項(xiàng)式定理可知，展開(kāi)式中項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，D選項(xiàng)正確.
故選：ABD.
5．
【分析】先求出三人選書(shū)沒(méi)有要求的選法，再排除三人選擇的書(shū)完全相同的選法即可.
【詳解】若三人選書(shū)沒(méi)有要求，則有種，
若三人選擇的書(shū)完全相同，則有種，
所以三人選擇的書(shū)不全相同，不同的選法有種.
故答案為：.
6．
【分析】首先考慮甲連續(xù)天的情況，再其余人全排列，按照分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得.
【詳解】在天里，連續(xù)天的情況，一共有種，
則剩下的人全排列有種排法，
故一共有種排法．
故答案為：．
反思提升：
1.利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決問(wèn)題要按事件發(fā)生的過(guò)程合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步必須滿(mǎn)足：完成一件事的各個(gè)步驟是相互依存的，只有各個(gè)步驟都完成了，才算完成這件事.
2.分步必須滿(mǎn)足兩個(gè)條件：一是步驟互相獨(dú)立，互不干擾；二是步與步確保連續(xù)，逐步完成.
【考點(diǎn)3】?jī)蓚€(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用
一、單選題
1．（23-24高三上·江西南昌·階段練習(xí)）某植物園要在如圖所示的5個(gè)區(qū)域種植果樹(shù)，現(xiàn)有5種不同的果樹(shù)供選擇，要求相鄰區(qū)域不能種同一種果樹(shù)，則共有（ ）種不同的方法.

A．120B．360C．420D．480
2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）“142857”這一串?dāng)?shù)字被稱(chēng)為走馬燈數(shù)，是世界上著名的幾個(gè)數(shù)之一，當(dāng)142857與1至6中任意1個(gè)數(shù)字相乘時(shí)，乘積仍然由1，4，2，8，5，7這6個(gè)數(shù)字組成．若從1，4，2，8，5，7這6個(gè)數(shù)字中任選4個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則在這些組成的四位數(shù)中，大于5200的偶數(shù)個(gè)數(shù)是（ ）
A．87B．129C．132D．138
二、多選題
3．（22-23高二下·貴州貴陽(yáng)·階段練習(xí)）甲?乙?丙?丁4人做傳接球訓(xùn)練，球從甲手中開(kāi)始，等可能地隨機(jī)傳向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機(jī)傳向另外3人中的1人，如此不停地傳下去，假設(shè)傳出的球都能接住.記第次傳球之前球在甲手中的概率為，易知.下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．
B．為等比數(shù)列
C．設(shè)第次傳球之前球在乙手中的概率為
D．第4次傳球后，球落在乙手中的傳球方式有20種
4．（22-23高二下·山東棗莊·階段練習(xí)）現(xiàn)有4個(gè)興趣小組，第一、二、三、四組分別有6人、7人、8人、9人，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．選1人為負(fù)責(zé)人的選法種數(shù)為30
B．每組選1名組長(zhǎng)的選法種數(shù)為3024
C．若推選2人發(fā)言，這2人需來(lái)自不同的小組，則不同的選法種數(shù)為335
D．若另有3名學(xué)生加入這4個(gè)小組，可自由選擇小組，且第一組必有人選，則不同的選法有35種
三、填空題
5．（22-23高二下·湖北·期中）用0~9十個(gè)數(shù)字排成三位數(shù)，允許數(shù)字重復(fù)，把個(gè)位?十位?百位的數(shù)字之和等于9的三位數(shù)稱(chēng)為“長(zhǎng)久數(shù)”，則“長(zhǎng)久數(shù)”一共有 個(gè)．
6．（2023·陜西寶雞·一模）七巧板是古代勞動(dòng)人民智慧的結(jié)晶.如圖是某同學(xué)用木板制作的七巧板，它包括5個(gè)等腰直角三角形?一個(gè)正方形和一個(gè)平行四邊形.若用四種顏色給各板塊涂色，要求正方形板塊單獨(dú)一色，其余板塊兩塊一種顏色，而且有公共邊的板塊不同色，則不同的涂色方案有 種.
參考答案：
1．C
【分析】利用分類(lèi)計(jì)數(shù)原理求解，按2與4兩區(qū)域種植果樹(shù)是否相同進(jìn)行分類(lèi)即可.
【詳解】分兩類(lèi)情況：
第一類(lèi)：2與4種同一種果樹(shù)，
第一步種1區(qū)域，有5種方法；
第二步種2與4區(qū)域，有4種方法；
第三步種3區(qū)域，有3種方法；
最后一步種5區(qū)域，有3種方法，
由分步計(jì)數(shù)原理共有種方法；
第二類(lèi)：2與4種不同果樹(shù)，
第一步在1234四個(gè)區(qū)域，從5種不同的果樹(shù)中選出4種果樹(shù)種上，是排列問(wèn)題，共有種方法；
第二步種5號(hào)區(qū)域，有2種方法，
由分步計(jì)數(shù)原理共有種方法.
再由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，共有種不同的方法.
故選：C.
2．A
【分析】按千位數(shù)分別是5，7，8進(jìn)行分類(lèi)討論即可.
【詳解】若千位數(shù)字是5，則百位數(shù)字不能是1，故共有（個(gè)）；
（①一個(gè)四位數(shù)為偶數(shù)，則其個(gè)位上的數(shù)字一定是偶數(shù)；②組成的四位數(shù)要大于5200，則其千位上的數(shù)字是5，7或8）
若千位數(shù)字是7，則共有（個(gè)）；
若千位數(shù)字是8，則共有（個(gè)）．
故符合條件的四位數(shù)共有（個(gè)）．
故選：A
3．BCD
【分析】對(duì)于A，求得，可判斷A錯(cuò)誤；對(duì)于B，依題意可得，從而可證明，即可判斷B選項(xiàng)；對(duì)于C，由B選項(xiàng)求得，從而可判斷；對(duì)于D，列舉法可判斷.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)榈?次傳球之前球不在甲手中，所以， A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，因?yàn)榈诖蝹髑蛑扒蛟诩资种械母怕蕿?，則當(dāng)時(shí)，第次傳球之前球在甲手中的概率為，第次傳球之前球不在甲手中的概率為，
則，從而，又，
是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，故正確；
對(duì)于C，由選項(xiàng)可得，故，故C正確；
對(duì)于D，第3次傳球后球在甲手中有：甲乙丙甲，甲乙丁甲，甲丙乙甲，甲丙丁甲，甲丁乙甲，甲丁丙甲，共6種傳法，
第3次傳球后球在丙手中有：甲乙甲丙，甲乙丁丙，甲丙甲丙，甲丙乙丙，甲丙丁丙，甲丁甲丙，甲丁乙丙，共7種傳法，
第3次傳球后球在丁手中有：甲乙甲丁，甲乙丙丁，甲丙甲丁，甲丙乙丁，甲丁甲丁，甲丁乙丁，甲丁丙丁，共7種傳法，
所以第4次傳球后，球落在乙手中的傳球方式共20種，故D正確.
故選：BCD.
4．ABC
【分析】利用加法計(jì)數(shù)原理判斷選項(xiàng)A；利用乘法計(jì)數(shù)原理判斷選項(xiàng)B；利用乘法及加法計(jì)數(shù)原理判斷選項(xiàng)C；利用間接法并結(jié)合乘法計(jì)數(shù)原理判斷選項(xiàng)D.
【詳解】對(duì)于A，選1人為負(fù)責(zé)人的選法種數(shù)：，故A正確；
對(duì)于B，每組選1名組長(zhǎng)的選法：，故B正確；
對(duì)于C，2人需來(lái)自不同的小組的選法：，故C正確；
對(duì)于D，依題意：若不考慮限制，每個(gè)人有4種選擇，共有種選擇，若第一組沒(méi)有人選，每個(gè)人有3種選擇，共有種選擇，
所以不同的選法有：，故D錯(cuò)誤；
故選：ABC.
5．
【分析】將“長(zhǎng)久數(shù)”的排列轉(zhuǎn)化為將9個(gè)表示1的球與2個(gè)表示0的球排成一排，利用隔板法即可求解．
【詳解】設(shè)對(duì)應(yīng)個(gè)位到百位上的數(shù)字，則且，相當(dāng)于將9個(gè)表示1的球與2個(gè)表示0的球排成一排，如圖，
這11個(gè)數(shù)有10個(gè)空，用2個(gè)隔板隔開(kāi)分為3組，左起第一組數(shù)的和作為，第二組數(shù)的和作為，第三組數(shù)的和作為，
故共種，
故答案為：45．
6．
【分析】畫(huà)圖分析其中四板塊必涂上不同顏色，再根據(jù)分類(lèi)分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算剩下的部分即可.
【詳解】由題意，一共4種顏色，板塊需單獨(dú)一色，剩下6個(gè)板塊中每2個(gè)區(qū)域涂同一種顏色.
又板塊兩兩有公共邊不能同色，故板塊必定涂不同顏色.
①當(dāng)板塊與板塊同色時(shí)，則板塊與板塊或板塊分別同色，共2種情況；
②當(dāng)板塊與板塊同色時(shí)，則板塊只能與同色，板塊只能與同色，共1種情況.
又板塊顏色可排列，故共種.
故答案為：
反思提升：
1.在綜合應(yīng)用兩個(gè)原理解決問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意：
(1)一般是先分類(lèi)再分步.在分步時(shí)可能又用到分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理.(2)對(duì)于較復(fù)雜的兩個(gè)原理綜合應(yīng)用的問(wèn)題，可恰當(dāng)?shù)亓谐鍪疽鈭D或列出表格，使問(wèn)題形象化、直觀化.
2.解決涂色問(wèn)題，可按顏色的種數(shù)分類(lèi)，也可按不同的區(qū)域分步完成.
分層檢測(cè)
【基礎(chǔ)篇】
一、單選題
1．（2023·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）小明在某一天中有七個(gè)課間休息時(shí)段，為準(zhǔn)備“小歌手”比賽他想要選出至少一個(gè)課間休息時(shí)段來(lái)練習(xí)唱歌，但他希望任意兩個(gè)練習(xí)的時(shí)間段之間都有至少兩個(gè)課間不唱歌讓他休息，則小明一共有（ ）種練習(xí)的方案.
A．31B．18C．21D．33
2．（2023·河北唐山·一模）將英文單詞“”中的6個(gè)字母重新排列，其中字母b不相鄰的排列方法共有（ ）
A．120種B．240種C．480種D．960種
3．（2022·遼寧·二模）重慶九宮格火鍋，是重慶火鍋獨(dú)特的烹飪方式．九宮格下面是相通的，實(shí)現(xiàn)了“底同火不同，湯通油不通”它把火鍋分為三個(gè)層次，不同的格子代表不同的溫度和不同的牛油濃度，其鍋具抽象成數(shù)學(xué)形狀如圖（同一類(lèi)格子形狀相同）：
“中間格“火力旺盛，不宜久煮，適合放一些質(zhì)地嫩脆、頃刻即熟的食物；
“十字格”火力稍弱，但火力均勻，適合煮食，長(zhǎng)時(shí)間加熱以鎖住食材原香；
“四角格”屬文火，火力溫和，適合燜菜，讓食物軟糯入味．現(xiàn)有6種不同食物（足夠量），其中1種適合放入中間格，3種適合放入十字格，2種適合放入四角格．現(xiàn)將九宮格全部放入食物，且每格只放一種，若同時(shí)可以吃到這六種食物（不考慮位置），則有多少種不同放法（ ）
A．108B．36C．9D．6
4．（2023·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示某城區(qū)的一個(gè)街心花園，共有五個(gè)區(qū)域，中心區(qū)域E已被設(shè)計(jì)為代表城市特點(diǎn)的一個(gè)標(biāo)志性塑像，要求在周?chē)鶤BCD四個(gè)區(qū)域中種植鮮花，現(xiàn)有四個(gè)品種的鮮花可供選擇，要求每個(gè)區(qū)域只種一個(gè)品種且相鄰區(qū)域所種品種不同，則不同的種植方法的種數(shù)為（ ）
A．12B．24C．48D．84
二、多選題
5．（2023·湖南·三模）已知一組數(shù)據(jù)：0，1，2，4，則下列各選項(xiàng)正確的是（ ）
A．該組數(shù)據(jù)的極差，中位數(shù)，平均數(shù)之積為10
B．該組數(shù)據(jù)的方差為2.1875
C．從這4個(gè)數(shù)字中任取2個(gè)不同的數(shù)字可以組成8個(gè)兩位數(shù)
D．在這4個(gè)數(shù)字中任取2個(gè)不同的數(shù)字組成兩位數(shù)，從這些兩位數(shù)中任取一數(shù)，取得偶數(shù)的概率為
三、填空題
6．（2023·河北保定·一模）某校為促進(jìn)拔尖人才培養(yǎng)開(kāi)設(shè)了數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物、信息學(xué)五個(gè)學(xué)科競(jìng)賽課程，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四位同學(xué)要報(bào)名競(jìng)賽課程，由于精力和時(shí)間限制，每人只能選擇其中一個(gè)學(xué)科的競(jìng)賽課程，則恰有兩位同學(xué)選擇數(shù)學(xué)競(jìng)賽課程的報(bào)名方法數(shù)為 ．
7．（22-23高三·廣東汕頭·階段練習(xí)）如果一個(gè)四位數(shù)的各位數(shù)字互不相同，且各位數(shù)字之和等于10，則稱(chēng)此四位數(shù)為“完美四位數(shù)（如1036），則由數(shù)字0，1，2，3，4，5，6，7構(gòu)成的“完美四位數(shù)”中，奇數(shù)的個(gè)數(shù)為 ．
8．（2023·安徽·模擬預(yù)測(cè)）數(shù)學(xué)課上，老師出了一道智力游戲題.如圖所示，平面直角坐標(biāo)系中有一個(gè)3乘3方格圖（小正方形邊長(zhǎng)為1），一共有十六個(gè)紅色的格點(diǎn)，游戲規(guī)則是每一步可以改變其中一個(gè)點(diǎn)的顏色（只能由紅變綠或綠變紅），如將其中任何一個(gè)點(diǎn)由紅色改成綠色，則這個(gè)點(diǎn)周?chē)c之相鄰的點(diǎn)也要從原來(lái)的顏色變成另外一種顏色，比如選擇變成綠色，則與之相鄰的，，，四個(gè)點(diǎn)也要變成綠色，那么最少需要 步，才能使得位于直線上的四個(gè)點(diǎn)變成綠色，而其他點(diǎn)都是紅色.
參考答案：
1．B
【分析】根據(jù)練習(xí)唱歌的課間個(gè)數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論，利用列舉法來(lái)求得正確答案.
【詳解】七個(gè)課間編號(hào)為，
如果僅有一個(gè)課間練習(xí)，則每個(gè)課間都可以，有7種方案，
若有兩個(gè)課間練習(xí)，選法有，
共種方案，
三個(gè)課間練習(xí)，選法為，共種，
故總數(shù)為種.
故選：B
2．B
【分析】先排除b之外的其余四個(gè)字母，再?gòu)倪@四個(gè)字母排完后的5個(gè)空中選2個(gè)放入b即可.
【詳解】由題意可先排除b之外的其余四個(gè)字母，有種排法，
再?gòu)倪@四個(gè)字母排完后的5個(gè)空中選2個(gè)放入b，有種放法，
故字母b不相鄰的排列方法共有（種），
故選：B
3．C
【分析】利用分步計(jì)數(shù)原理及分類(lèi)計(jì)數(shù)原理即得.
【詳解】由題可知中間格只有一種放法；
十字格有四個(gè)位置，3種適合放入，所以有一種放兩個(gè)位置，共有3種放法；
四角格有四個(gè)位置，2種適合放入，可分為一種放三個(gè)位置，另一種放一個(gè)位置，有兩種放法，或每種都放兩個(gè)位置，有一種放法，故四角格共有3種放法；
所以不同放法共有種.
故選：C.
4．D
【分析】根據(jù)四個(gè)區(qū)域所種植鮮花的種類(lèi)進(jìn)行分類(lèi)：種植兩種鮮花，種植三種鮮花，種植四種鮮花，然后相加即可求解.
【詳解】由題意可知：四個(gè)區(qū)域最少種植兩種鮮花，最多種植四種，所以分一下三類(lèi)：
當(dāng)種植的鮮花為兩種時(shí)：和相同，和相同，共有種種植方法；
當(dāng)種植鮮花為三種時(shí)：和相同或和相同，此時(shí)共有種種植方法；
當(dāng)種植鮮花為四種時(shí)：四個(gè)區(qū)域各種一種，此時(shí)共有種種植方法，
綜上：則不同的種植方法的種數(shù)為種，
故選：.
5．BD
【分析】對(duì)于AB選項(xiàng)，根據(jù)極差、中位數(shù)、平均數(shù)、方差的求法計(jì)算即可；對(duì)于C選項(xiàng)，利用分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可；對(duì)于D項(xiàng)，根據(jù)古典概型計(jì)算即可.
【詳解】由數(shù)據(jù)計(jì)算可得：該組數(shù)據(jù)的極差為4-0=4，中位數(shù)為（1+2）÷2=1.5，平均數(shù)為（0+1+2+4）÷4=1.75，它們之積為4×1.5×1.75=10.5，故A錯(cuò)誤；
方差為，故B正確；
先排十位數(shù)，有三種排法，再排個(gè)位數(shù)也是三種派發(fā)，故可以組成9個(gè)兩位數(shù)，即C錯(cuò)誤；
而組成的9個(gè)兩位數(shù)其中只有21，41兩個(gè)奇數(shù)，從中隨機(jī)抽一數(shù)，抽到偶數(shù)的概率為，故D正確.
故選：BD.
6．96
【分析】利用分步加法和分類(lèi)乘法原理，先安排4名同學(xué)的2名選擇數(shù)學(xué)競(jìng)賽，在安排剩下的2名同學(xué)到其他競(jìng)賽課程中即可.
【詳解】由題知先安排甲、乙、丙、丁四位同學(xué)的2名選擇數(shù)學(xué)競(jìng)賽課程，
則有：種情況，
剩下2名同學(xué)在選擇物理、化學(xué)、生物、信息學(xué)四個(gè)學(xué)科競(jìng)賽課程時(shí)有：
①2名同學(xué)選擇1個(gè)學(xué)科競(jìng)賽則有：種情況，
②2名同學(xué)各選擇1個(gè)學(xué)科競(jìng)賽則有種情況，
所以恰有兩位同學(xué)選擇數(shù)學(xué)競(jìng)賽課程的報(bào)名方法數(shù)為：
種情況，
故答案為：96.
7．44
【分析】分尾數(shù)為1，3，5，7，四種情況，每種情況下考慮有0，無(wú)0的情況，結(jié)合排列組合知識(shí)進(jìn)行求解，最后相加得到答案.
【詳解】若尾數(shù)為1，前三位的數(shù)字為，或，或時(shí)，0放在百位或十位上，剩余兩個(gè)數(shù)進(jìn)行全排列，故共有個(gè)完美四位數(shù)，
若前三位數(shù)字為時(shí)，則有個(gè)完美四位數(shù)；
若尾數(shù)為3，前三位的數(shù)字為，或時(shí)，0放在百位或十位上，剩余兩個(gè)數(shù)進(jìn)行全排列，故共有個(gè)完美四位數(shù)，
若前三位數(shù)字為時(shí)，有個(gè)完美四位數(shù)；
若尾數(shù)為5，若前三位數(shù)字為或時(shí)，0放在百位或十位上，剩余兩個(gè)數(shù)進(jìn)行全排列，共有個(gè)完美四位數(shù)，
若尾數(shù)為7，若前三位數(shù)字為時(shí)，0放在百位或十位上，剩余兩個(gè)數(shù)進(jìn)行全排列，有個(gè)完美四位數(shù)；
綜上所述：共有個(gè)完美四位數(shù).
故答案為：44
8．4
【分析】先確定點(diǎn)的顏色，再根據(jù)題意分步求解即得結(jié)果.
【詳解】由題意可知，需要使，，，變成綠色，其他點(diǎn)都是紅色，
第一步：變成綠色，則，也變成綠色；
第二步：變成綠色，則，變成紅色，，變成綠色；
第三步：變成綠色，則，變成紅色，，變成綠色；
第四步：變成綠色，則，變成紅色.
故答案為：4.
【能力篇】
一、單選題
1．（23-24高三上·山西·期末）某小組兩名男生和兩名女生邀請(qǐng)一名老師排成一排合影留念，要求兩名男生不相鄰，兩名女生也不相鄰，老師不站在兩端，則不同的排法共有（ ）
A．48種B．32種C．24種D．16種
2．（2023·四川雅安·一模）甲、乙、丙、丁4個(gè)學(xué)校將分別組織部分學(xué)生開(kāi)展研學(xué)活動(dòng)，現(xiàn)有五個(gè)研學(xué)基地供選擇，每個(gè)學(xué)校只選擇一個(gè)基地，則4個(gè)學(xué)校中至少有3個(gè)學(xué)校所選研學(xué)基地不相同的選擇種數(shù)共有（ ）
A．420B．460C．480D．520
3．（2024·福建泉州·二模）2024年“花開(kāi)刺桐城”閩南風(fēng)情系列活動(dòng)在泉州舉辦，包含美術(shù)、書(shū)法、攝影民間文藝作品展覽，書(shū)畫(huà)筆會(huì)，文藝晚會(huì)等內(nèi)容．假如在美術(shù)、書(shū)法、攝影民間文藝作品展覽中，某區(qū)域有2幅不同的美術(shù)作品、3幅不同的書(shū)法作品、1幅不同的攝影作品，將這6幅作品排成兩排掛在同一面墻上，第一排掛4幅，第二排掛2幅，則美術(shù)作品不相鄰的概率為（ ）
A．B．C．D．
二、填空題
4．（23-24高二下·江西贛州·期中）提供6種不同顏色的顏料給圖中A，B，C，D，E，F(xiàn)六個(gè)區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不能涂相同顏色，則不同的涂色方法共有 種.
5．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）除數(shù)函數(shù)（divisr functin）的函數(shù)值等于n的正因數(shù)的個(gè)數(shù)，例如，，．則 ．
6．（23-24高三上·河北·期末）將1，2，3，…，9這9個(gè)數(shù)填入如圖所示的格子中（要求每個(gè)數(shù)都要填入，每個(gè)格子中只能填一個(gè)數(shù)），記第1行中最大的數(shù)為，第2行中最大的數(shù)為，第3行中最大的數(shù)為，則的填法共有 種.
7．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）重慶位于中國(guó)西南部、長(zhǎng)江上游地區(qū)，地跨青藏高原與長(zhǎng)江中下游平原的過(guò)渡地帶．東鄰湖北、湖南，南靠貴州，西接四川，北連陜西．現(xiàn)用4種顏色標(biāo)注6個(gè)省份的地圖區(qū)域，相鄰省份地圖顏色不相同，則共有 種涂色方式．
參考答案：
1．B
【分析】由排列組合以及分類(lèi)分步計(jì)數(shù)原理即可得解.
【詳解】當(dāng)老師從左到右排在第二或第四位時(shí)，共有種排法，
當(dāng)老師從左到右排在第三位時(shí)，共有種排法，于是共有種排法.
故選：B.
2．C
【分析】
根據(jù)給定條件，利用兩個(gè)原理結(jié)合排列、組合應(yīng)用列式計(jì)算即得.
【詳解】求不相同的選擇種數(shù)有兩類(lèi)辦法：恰有3個(gè)學(xué)校所選研學(xué)基地不同有種方法，
4個(gè)學(xué)校所選研學(xué)基地都不相同有種方法，
所以不相同的選擇種數(shù)有（種）.
故選：C
3．C
【分析】利用排列組合公式，還需要用到分類(lèi)計(jì)數(shù)加法原理和分步計(jì)數(shù)乘法原理，因?yàn)橛龅讲幌噜弳?wèn)題，還得用插空法原理.
【詳解】由題意知這6幅作品排成兩排掛在同一面墻上的不同掛法有：種，
由于美術(shù)作品不相鄰，按以下情形分類(lèi)：
①美術(shù)作品掛在第一排的不同掛法有：種；
②美術(shù)作品分掛在兩排的不同掛法有：種；
所以美術(shù)作品不相鄰的概率是：，
故選：C.
4．6120
【分析】根據(jù)和、和同色或者不同色分類(lèi)，每一種情況中用分步乘法計(jì)數(shù)原理，最后利用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理得到涂色方法的數(shù)量.
【詳解】假定涂色順序?yàn)?br>若、涂相同顏色，則有種涂法；
若、涂不同顏色，、涂相同顏色，則有種涂法；
若、涂不同顏色，、涂不同顏色，則有種涂法；
故由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理得不同的涂色方法共有種.
故答案為：6120.
5．
【分析】根據(jù)定義寫(xiě)出的質(zhì)數(shù)因數(shù)，即可得解.
【詳解】因?yàn)?，它的因?shù)形如，
其中，
所以不同的因數(shù)有個(gè)，即.
故答案為：.
6．60480
【分析】按第行、第行、第行的順序進(jìn)行填寫(xiě)，結(jié)合組合和排列的知識(shí)求得正確答案.
【詳解】第3行，，可選的位置有3個(gè)，其余2個(gè)位置任取2個(gè)數(shù)，共有種情況.
第2行，取剩下6個(gè)數(shù)中最大的數(shù)為，可選的位置有3個(gè)，
其余2個(gè)位置任取2個(gè)數(shù)，共有種情況，
第1行，剩下3個(gè)數(shù)任意排列，則有種情況，
故共有種填法.
故答案為：
7．
【分析】根據(jù)題意，得到這4中顏色全部都用上，其中必有兩個(gè)不相鄰的地區(qū)涂同一中顏色，利用窮舉法，結(jié)合排列數(shù)公式，即可求解.
【詳解】根據(jù)題意，用4種顏色標(biāo)注6個(gè)省份的地圖區(qū)域，相鄰省份地圖顏色不相同，
則這4中顏色全部都用上，其中必有兩個(gè)不相鄰的地區(qū)涂同一中顏色，
共有：{“四川和湖南”且“貴州和湖北”}、{“四川和湖南”且“貴州和陜西”}、{“四川和湖北”且“貴州和陜西”、{“四川和湖北”且“湖南和陜西”、{“貴州和湖北”且“湖南和陜西”，共有5種情況，
所以不同的涂色共有種.
故答案為：.
題號(hào)
1
2
3
4






答案
B
C
D
D






題號(hào)
1
2
3







答案
C
B
ABC







題號(hào)
1
2
3
4






答案
A
B
AD
ABD






題號(hào)
1
2
3
4






答案
C
A
BCD
ABC






題號(hào)
1
2
3
4
5





答案
B
B
C
D
BD





題號(hào)
1
2
3







答案
B
C
C







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