一．單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）
1．二次根式中，x的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．不等式的解集在數(shù)軸上表示正確的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列條件中不能確定是等腰三角形的是（ ）
A．三條邊都相等的三角形
B．有一個(gè)銳角是45°的直角三角形
C．一個(gè)外角的平分線平行于三角形一邊的三角形
D．一條中線把面積分成相等的兩部分的三角形
4．以下說法：①如果三角形三個(gè)內(nèi)角的比是，那么這個(gè)三角形是直角三角形；②如果三角形的一個(gè)外角等于與它相鄰的內(nèi)角，則這個(gè)三角形是直角三角形；③如果一個(gè)三角形的三條高的交點(diǎn)恰好是三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，那么這個(gè)三角形是直角三角形；④如果，那么是直角三角形；⑤在中，若，則此三角形是直角三角形．其中說法正確的個(gè)數(shù)有（ ）
A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè)D．5個(gè)
5．等腰三角形中一個(gè)外角等于100°，則另兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為（ ）
A．40°，40°B．80°，20°
C．50°，50°D．50°，50°或80°，20°
6．的三邊長a,b,c滿足,則是（ ）
A．等腰直角三角形B．等腰三角形
C．直角三角形D．等邊三角形
7．如圖,,,垂足分別為． 下列說法正確的個(gè)數(shù)是（ ）
①點(diǎn)到線段的距離為線段的長度；
②；
③；
④將三角形繞線段所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體是圓錐．
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè)D．4個(gè)
8．若等邊△ABC的邊長為2cm，那么△ABC的面積為（ ）
A．cm2 B．2cmC．3cm2D．4cm2
9．若關(guān)于，的二元一次方程組的解滿足，則的取值范圍是（ ）
A． B． C．D．
10．如圖所示，點(diǎn)A坐標(biāo)為(-3,0) 點(diǎn)B坐標(biāo)為(1,4)，在y軸上存在一點(diǎn)C，使得△ABC為等腰三角形，則滿足此條件的點(diǎn)C最多有( )
A．4個(gè)
B．5個(gè)
C．6個(gè)
D．8個(gè)
二.填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）
11．有一種感冒止咳藥品的說明書上寫著：“青少年每日用量，分3～4次服用.”一次服用這種藥品劑量的范圍為 .
12．如圖所示，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E在BC邊上，∠ABD=∠DAE=∠EAC=36°，則圖中共有等腰三角形的個(gè)數(shù)是 ．
13．如圖，在中，，以A為圓心，任意長為半徑畫弧分別交于點(diǎn)M和N，再分別以M、N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于P，連接并延長交于點(diǎn)D，若，則 ．
14．不等式3x﹣3m≤﹣2m的正整數(shù)解為1，2，3，4，則m的取值范圍是 ．
15．如圖，在中，，，，，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，連接，點(diǎn)D到的距離等于的長，P、Q分別是上的動(dòng)點(diǎn)，連接，則的最小值是 ．
三、解答題（一）（本大題3小題，每小題6分，共18分）
16．解下列不等式 ；

(1)如果那么_____； (2)如果那么_____；
(3)如果那么_____； (4)請(qǐng)比較與的大?。?br>18．已知a，b，c為三角形的三邊長，并滿，，求三角形的周長，并判斷它的形狀．
四、解答題（二）（本大題3小題，每小題7分，共21分）
19．如圖，中，，AD是的角平分線，于點(diǎn)E，．
(1)求證：；
(2)求的度數(shù)．
20．如圖，在中，，點(diǎn)D、E、F分別在AB、BC、AC邊上，且，．
(1)求證：是等腰三角形；
(2)當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)．
21．某學(xué)校為打造書香校園，計(jì)劃購進(jìn)甲、乙兩種課外書．購買2本甲種書和1本乙種書共需100元；購買3本甲種書和2本乙種書共需175元．
(1)求甲、乙兩種書的單價(jià)；
(2)學(xué)校決定購買甲、乙兩種書共60本，且兩種書的總費(fèi)用不超過2500元，那么該校最多可以購買多少本乙種書?
五、解答題（三）（本大題2小題，每小題8分，共16分）
22．如圖，是等腰三角形，，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，連接．
(1)若的周長是，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，求的長；
(2)若，，，求的面積．
23．如圖，在和中，，，，延長，交于點(diǎn)M．
(1)求證：平分；
(2)若，，，求的長．
六、解答題（四）（本大題2小題，每小題10分，共20分）
24．【教材呈現(xiàn)】下圖是華師版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第94頁的部分內(nèi)容．
（1）請(qǐng)根據(jù)教材內(nèi)容，結(jié)合圖①，寫出完整的證明過程．
【定理應(yīng)用】如圖②，作圖①中的的邊AP的垂直平分線DE，交PA，PC于點(diǎn)D，E，連結(jié)AE．
（2）若，，求的周長；
（3）在（1）的條件下，直接寫出EP的長為________．
25．如圖，在中，，，，，P、Q是邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒1cm，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒2cm，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
(1)______（用含的式子表示）；
(2)當(dāng)點(diǎn)Q在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)．
①出發(fā)幾秒后，是等腰三角形？
②通過計(jì)算說明能否把的周長平分？
(3)當(dāng)點(diǎn)Q在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若是以或?yàn)榈走叺牡妊切危苯訉懗龃藭r(shí)t的值．
線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等．
已知：如圖，，垂足為點(diǎn)C，，點(diǎn)P直線MN上的任意一點(diǎn)．
求證：．

2023-2024學(xué)年度第二學(xué)期學(xué)情練習(xí)（3月）八年級(jí)數(shù)學(xué)參考答案
一.單選題（每題3分，共30分）
1 B 2 A 3 D 4 D 5 D 6 A 7 C 8 A 9 A 10 B
二．填空題（每題3分，共15分）
11． 12. 6 13. 14. 12≤m＜15 15. //
三．解答題（一）（每小題6分，共18分）
16．(1)，數(shù)軸見解析；
【分析】本題主要考查了解一元一次不等式，解題根據(jù)是熟練掌握解一元一次不等式的一般步驟．
（1）根據(jù)解一元一次不等式的一般步驟，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化1,求出不等式的解集，并在數(shù)軸上表示出來即可．
（2）根據(jù)解一元一次不等式的一般步驟，確保正確無誤分母，再去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化1,求出不等式的解集，并在數(shù)軸上表示出來即可．
【詳解】（1）解：
∴解集在數(shù)軸上表示為：
17．（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）根據(jù)不等式的性質(zhì)即可解答；（2）根據(jù)不等式的性質(zhì)即可解答；（3）根據(jù)不等式的性質(zhì)即可解答；（4）可以通過作差，利用（1）（2）（3）中的結(jié)論即可解答．
【詳解】解：（1）如果那么；（2）如果那么；（3）如果那么；
（4）， ， ，．
【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，熟知不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
18．的周長為，為等腰三角形
【分析】本題主要考查了三角形的三邊關(guān)系以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)幾個(gè)數(shù)或式的偶次方相加和為0時(shí)，則其中的每一項(xiàng)都必須等于0．依據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，即可得到和的值，再根據(jù)為方程的解， 即可得到或2，依據(jù)三角形三邊關(guān)系，即可得到，進(jìn)而得出的周長，以及的形狀 ．
【詳解】解：∵，，
又∵， ∴，， 解得，，
∵滿足等式， ∴， 解得：或2，
∵、、為的三邊長，且，
又∵， ∴不合題意舍去， ∴，
∴的周長為， ∵， ∴是等腰三角形．
19．(1)見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得；再根據(jù)全等三角形性質(zhì)，通過證明，即可得到答案；
（2）根據(jù)角平分線和等腰三角形的性質(zhì)，得；再根據(jù)直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案.
【詳解】（1）證明：∵于點(diǎn)E，，AD是的角平分線，∴
在與中
∴ ∴；
（2）解：∵AD是的角平分線， ∴ ∵ ∴，
∴， ∵， ∴， ∴ ∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線、全等三角形的判定及性質(zhì)、等腰三角形、直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定及性質(zhì)．
20．(1)見解析
(2)
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理．
（1）利用證明即可求證；
（2）根據(jù)，結(jié)合全等三角形的性質(zhì)即可求解．
【詳解】（1）證明：∵，，，，
，， ∴是等腰三角形；
（2）解：∵ ， ， ，
， ， ．
21．(1)甲種書為每本元，乙種書為每本元 (2)本
【分析】本題考查了二元一次方程組和一元一次不等式的應(yīng)用；
（1）等量關(guān)系式：購買2本甲種書的費(fèi)用購買1本乙種書的費(fèi)用100元；購買3本甲種書的費(fèi)用購買2本乙種書的費(fèi)用175元；據(jù)此列出方程組，解方程組，即可求解；
（2）不等關(guān)系式：購買甲種書的費(fèi)用購買乙種書的費(fèi)用元；據(jù)此列出不等式，解不等式，即可求解；
找出等量關(guān)系式和不等關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）解：設(shè)甲種書為每本元，乙種書為每本元，由題意得
， 解得：，
答：甲種書為每本元，乙種書為每本元．
（2）解：設(shè)購買乙種書每本，購買甲種書（）本，由題意得
， 解得：， 為整數(shù)， 取，
答：該校最多可以購買本乙種書．
22．(1) (2)
【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理及其逆定理；
（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得，，進(jìn)而勾股定理，即可求解；
（2）根據(jù)勾股定理的逆定理得出，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式，即可求解．
【詳解】（1）解：因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，，
所以．
因?yàn)榈闹荛L是，，所以．
因?yàn)槭堑妊切?，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以．
在中，，，所以．
（2）因?yàn)?，，?br>所以，即，所以．
因?yàn)?，所以?br>所以
所以．
23．(1)見詳解
(2)
【分析】（1）連接，證明，可得，根據(jù)角平分線的判定即可證明；
（2）利用平行線的性質(zhì)證明，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理即可解決問題．
【詳解】（1）證明：如圖，連接，
在和中， ∵，，，
∴， ∴，
∵， ∴平分．
（2）∵ ∴， 由（1）知，平分,
∴, ∴， ∴，
設(shè)，則，
在中， ， 即， 解得：， ∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的判定，勾股定理解三角形，以及平行線的性質(zhì)．掌握這些性質(zhì)即可解題．
24．（1）見解析；（2）17；（3）
【分析】(1) 根據(jù)可得,,根據(jù)邊角邊可證三角形全等,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得:;
(2)根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得: .易得,根據(jù)勾股定理可得,根據(jù)三角形周長即可求解;
(3) 根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得: .易得,根據(jù)勾股定理即可求解.
【詳解】(1)解：∵， ∴. ∵，，
∴， ∴.
（2）∵垂直平分AP， ∴.易得.
在中，，
由勾股定理，得， ∴， ∴.
（3）設(shè)AE=x， 因?yàn)锳E=PE， 所以CE=AP-PE=AP-AE=13-x, 在中，，
由勾股定理，得， ∴ 解得x=, 即PE=.
【點(diǎn)睛】本題主要考查線段垂直平分線的性質(zhì)和勾股定理,解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)和勾股定理.
25．(1) (2)①秒；②不能 (3)11或12
【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、方程思想及分類討論思想等知識(shí)．用時(shí)間t表示出相應(yīng)線段的長，化“動(dòng)”為“靜”是解決這類問題的一般思路，解題時(shí)注意方程思想的應(yīng)用．
（1）根據(jù)題意即可用t可表示出即可求得；
（2）①結(jié)合（1），根據(jù)題意再表示出，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得到，可得到關(guān)于t的方程，可求得t；②當(dāng)在上，，如圖，，，則，，利用把的周長平分，再建立方程求解即可；
（3）用t分別表示出和，利用等腰三角形的性質(zhì)可分和三種情況，分別得到關(guān)于t的方程，可求得t的值．
【詳解】（1）解：由題意可知，， ∵， ∴，
（2）①當(dāng)點(diǎn)Q在邊上運(yùn)動(dòng)，為等腰三角形時(shí)， 即，解得， ∴出發(fā)秒后；
②當(dāng)在上，，如圖，
而，， ∴，， ∵把的周長平分，
∴，
解得：，不符合題意舍去，∴點(diǎn)Q在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)．不能把的周長平分．
（3）①當(dāng)是以為底邊的等腰三角形時(shí)：，如圖1所示，

則，∵，∴．
，∴，∴，∴（cm），∴（cm），
∴；
②當(dāng)是以為底邊的等腰三角形時(shí)：，如圖2所示，

則（cm），∴，
綜上所述：當(dāng)t為11秒或12秒時(shí)，是以或?yàn)榈走叺牡妊切危蚀鸢笧椋?1或12．
1．B【分析】此題主要考查了二次根式有意義的條件．根據(jù)二次根式有意義的條件可得，據(jù)此求解即可．【詳解】解：由題意得：，解得：，故選：B．
2．A
【分析】先求出不等式的解集，再在數(shù)軸上表示出來即可得出選項(xiàng)；
【詳解】，
解得：
在數(shù)軸上表示為：

故選：A
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式和在數(shù)軸上表示不等式的解集，能正確在數(shù)軸上表示不等式的解集是解此題的關(guān)鍵．
3．D
【詳解】A.三條邊都相等的三角形是等邊三角形，它是特殊的等腰三角形，不符合題意，故錯(cuò)誤；
B.有一個(gè)銳角是45°的直角三角形，利用直角三角形性質(zhì)，直角三角形的兩個(gè)銳角互余求出另一個(gè)銳角也是45°，根據(jù)等角對(duì)等邊得出它是等腰三角形，不符合題意，故錯(cuò)誤；
C.一個(gè)外角的平分線平行于三角形一邊的三角形，根據(jù)題意畫出圖形即可證出是等腰三角形，不符合題意，故錯(cuò)誤；
D.一條中線把面積分成相等的兩部分的三角形，因?yàn)橹芯€正好把底邊平分，又因?yàn)閮蓚€(gè)三角形高相等，所以面積也相等，不能確定是等腰三角形，符合題意，正確．
故選D.
4．D
【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和判斷①④⑤，根據(jù)外角的定義判斷②，根據(jù)直角三角形的三條高線交于直角頂點(diǎn)，判斷③．
【詳解】解：①如果三角形三個(gè)內(nèi)角的比是，則最大角的度數(shù)為：，那么這個(gè)三角形是直角三角形，說法正確，符合題意；
②如果三角形的一個(gè)外角等于與它相鄰的內(nèi)角，根據(jù)外角與它相鄰的內(nèi)角互補(bǔ)，得到這個(gè)內(nèi)角是，那么這個(gè)三角形是直角三角形，說法正確，符合題意；
③如果一個(gè)三角形的三條高的交點(diǎn)恰好是三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，那么這個(gè)三角形是直角三角形；說法正確，符合題意；
④如果，根據(jù)，得到，那么是直角三角形；說法正確，符合題意；
⑤在中，若，根據(jù)，得到，則此三角形是直角三角形．說法正確，符合題意；
綜上：說法正確的個(gè)數(shù)有5個(gè)；
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形分類，三角形的內(nèi)角和，三角形的外角的定義，三角形的高線．熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，是解題的關(guān)鍵．
5．D
【分析】由外角求的其內(nèi)角為80°，分這個(gè)內(nèi)角為底角和頂角兩種情況，利用三角形內(nèi)角和為180°求得另外兩個(gè)角即可．
【詳解】解：∵外角等于100°，
∴這個(gè)內(nèi)角為80°，
當(dāng)這個(gè)80°角為頂角時(shí)，則底角為=50°，此時(shí)另兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為50°，50°；
當(dāng)這個(gè)80°角為底角時(shí)，則另一個(gè)底角為80°，頂角為180°﹣2×80°=20°，此時(shí)可得另兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為80°，20°；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、外角定義、三角形內(nèi)角和定理，掌握等腰三角形的兩底角相等，當(dāng)題目未明確頂角或底角的度數(shù)時(shí)，注意分情況討論是解答的關(guān)鍵．
6．A
【分析】本題主要考查了非負(fù)性、勾股定理的逆定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握非負(fù)數(shù)的和為0，每一個(gè)非負(fù) 數(shù)均為0是解題的關(guān)鍵．由等式可分別得到關(guān)于a、b、c的等式，然后得到a、b、c的值，再根據(jù)勾股定理逆定理即可解答．
【詳解】解：∵，
∴，
解得：，
∵，且，
∴為等腰直角三角形．
故選：A．
7．C
【分析】本題主要考查了點(diǎn)、線、面、體，解題關(guān)鍵是熟練掌握點(diǎn)到直線的距離，余角的性質(zhì)．①根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的定義，結(jié)合已知條件進(jìn)行判斷即可；②③均根據(jù)已知條件，直角三角形的性質(zhì)和余角的性質(zhì)進(jìn)行解答即可；④根據(jù)已知條件，找出旋轉(zhuǎn)后的幾何體，進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：①點(diǎn)到直線的距離就是這個(gè)點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度，，
點(diǎn)到線段的距離為線段的長度，
故①說法正確；
②，
，
，
，
，
，
故②說法正確；
③，
，
，
，
，
，
故③說法正確；
④是由和組成，
將三角形繞線段所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體是同一個(gè)底面的兩個(gè)圓錐疊在一起的紡錘體，
故④的說法錯(cuò)誤；
綜上可知，說法正確的是①②③，共3個(gè)，
故選：C
8．A
【分析】根據(jù)等邊三角形面積公式S=,即可解題.
【詳解】解：∵△ABC為等邊三角形，邊長=2,
∴S==,
故選A
【點(diǎn)睛】本題考查求等邊三角形的面積,屬于簡單題，熟悉等邊三角形面積公式是解題關(guān)鍵.
9．A
【分析】本題主要考查了解一元一次不等式，已知二元一次方程組的解的情況求參數(shù)，利用整體的思想可得，從而可得，然后根據(jù)已知，可得，最后進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【詳解】解：，
得：，
解得：，
，
，
，
，
故選：A．
10．B
【分析】分三種情況：當(dāng)BC=BA時(shí)，以點(diǎn)B為圓心，AB的長為半徑畫圓；當(dāng)AC=AB時(shí)，以點(diǎn)A為圓心，AB的長為半徑畫圓；當(dāng)CA=CB時(shí)，作AB的垂直平分線；然后看與y軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.
【詳解】解：如圖，當(dāng)BC=BA時(shí)，以點(diǎn)B為圓心，AB的長為半徑畫圓交y軸于點(diǎn)C1、C2；
當(dāng)AC=AB時(shí)，以點(diǎn)A為圓心，AB的長為半徑畫圓交y軸于點(diǎn)C3、C4；
當(dāng)CA=CB時(shí)，作AB的垂直平分線交y軸于點(diǎn)C5；
綜上，滿足條件的點(diǎn)C最多有5個(gè).
故選B.
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形定義和線段垂直平分線的性質(zhì)，分三種情況、熟練掌握等腰三角形的概念和線段垂直平分線的性質(zhì)以及求解的方法是解題的關(guān)鍵.
11．
【分析】本題主要考查了不等式組的實(shí)際應(yīng)用，讓，得到每天服用時(shí)3次或4次每次的劑量；讓即可得到每天服用時(shí)3次或4次每次的劑量，找到最少的劑量和最多的劑量即可．
【詳解】解：；；
∴一次服用這種藥品劑量的范圍為，
故答案為：．
12．6
【詳解】解：∵AB=AC，∠ABD=36°，即△ABC是等腰三角形，
∴∠C=∠B=36°，
∴∠BAC=108°．
∵∠DAE=∠EAC=36°，
∴∠BAD=36°，
∴∠BAD=∠B=36°，∠EAC=∠C=36°，
∴△ABD，△ACE是等腰三角形，
∴∠ADE=∠AED=∠DAC=∠BAE=72°，
∴△ADE，△ABE，△ACD是等腰三角形．
故答案為6．
13．
【分析】本題考查基本作圖—作角平分線，含30度角的直角三角形，等腰三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)題意，得到平分，進(jìn)而得到，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及等角對(duì)等邊得到，即可．
【詳解】解：∵，
∴，
由題意，得：平分，
∴，
∴，
在中，，
∴；
故答案為：．
14．12≤m＜15
【詳解】分析：先求出不等式的解集，然后根據(jù)其正整數(shù)解求出m的取值范圍．
詳解：不等式3x﹣3m≤﹣2m的解集為x≤m，
∵正整數(shù)解為1，2，3，4，
∴m的取值范圍是4≤m＜5，即12≤m＜15．
故答案為12≤m＜15．
點(diǎn)睛：本題考查不等式的解法及整數(shù)解的確定．解不等式要用到不等式的性質(zhì)：（1）不等式的兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變；（2）不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；（3）不等式的兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變．
15．//
【分析】本題考查角平分線判定及性質(zhì)定理，最短路徑，垂線段最短．根據(jù)題意可知是的平分線，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，再過點(diǎn)作交于點(diǎn)，此時(shí)有最小值．
【詳解】解：點(diǎn)D到的距離等于的長，
∴是的平分線，
過點(diǎn)作交于點(diǎn)，再過點(diǎn)作交于點(diǎn)，
∴，
∵，
∴此時(shí)有最小值，
∵中，，，，，
∴，
∴，
故答案為：．
16．(1)，數(shù)軸見解析；

【分析】本題主要考查了解一元一次不等式，解題根據(jù)是熟練掌握解一元一次不等式的一般步驟．
（1）根據(jù)解一元一次不等式的一般步驟，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化1,求出不等式的解集，并在數(shù)軸上表示出來即可．
（2）根據(jù)解一元一次不等式的一般步驟，確保正確無誤分母，再去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化1,求出不等式的解集，并在數(shù)軸上表示出來即可．
【詳解】（1）解：
∴解集在數(shù)軸上表示為：

17．（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）根據(jù)不等式的性質(zhì)即可解答；
（2）根據(jù)不等式的性質(zhì)即可解答；
（3）根據(jù)不等式的性質(zhì)即可解答；
（4）可以通過作差，利用（1）（2）（3）中的結(jié)論即可解答．
【詳解】解：（1）如果那么；
（2）如果那么；
（3）如果那么；
（4），
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，熟知不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
18．的周長為，為等腰三角形
【分析】本題主要考查了三角形的三邊關(guān)系以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)幾個(gè)數(shù)或式的偶次方相加和為0時(shí)，則其中的每一項(xiàng)都必須等于0．依據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，即可得到和的值，再根據(jù)為方程的解， 即可得到或2，依據(jù)三角形三邊關(guān)系，即可得到，進(jìn)而得出的周長，以及的形狀 ．
【詳解】解：∵，，
又∵，
∴，，
解得，，
∵滿足等式，
∴，
解得：或2，
∵、、為的三邊長，且，
又∵，
∴不合題意舍去，
∴，
∴的周長為，
∵，
∴是等腰三角形．
19．(1)見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得；再根據(jù)全等三角形性質(zhì)，通過證明，即可得到答案；
（2）根據(jù)角平分線和等腰三角形的性質(zhì)，得；再根據(jù)直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案.
【詳解】（1）證明：∵于點(diǎn)E，，AD是的角平分線，
∴
在與中

∴
∴；
（2）解：∵AD是的角平分線，
∴
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線、全等三角形的判定及性質(zhì)、等腰三角形、直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定及性質(zhì)．
20．(1)見解析
(2)
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理．
（1）利用證明即可求證；
（2）根據(jù)，結(jié)合全等三角形的性質(zhì)即可求解．
【詳解】（1）證明：∵，
，
，，
，
，
∴是等腰三角形；
（2）解：∵
，
，
，
，
，
．
21．(1)甲種書為每本元，乙種書為每本元
(2)本
【分析】本題考查了二元一次方程組和一元一次不等式的應(yīng)用；
（1）等量關(guān)系式：購買2本甲種書的費(fèi)用購買1本乙種書的費(fèi)用100元；購買3本甲種書的費(fèi)用購買2本乙種書的費(fèi)用175元；據(jù)此列出方程組，解方程組，即可求解；
（2）不等關(guān)系式：購買甲種書的費(fèi)用購買乙種書的費(fèi)用元；據(jù)此列出不等式，解不等式，即可求解；
找出等量關(guān)系式和不等關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）解：設(shè)甲種書為每本元，乙種書為每本元，由題意得
，
解得：，
答：甲種書為每本元，乙種書為每本元．
（2）解：設(shè)購買乙種書每本，購買甲種書（）本，由題意得
，
解得：，
為整數(shù)，
取，
答：該校最多可以購買本乙種書．
22．(1)
(2)
【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理及其逆定理；
（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得，，進(jìn)而勾股定理，即可求解；
（2）根據(jù)勾股定理的逆定理得出，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式，即可求解．
【詳解】（1）解：因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，，
所以．
因?yàn)榈闹荛L是，，所以．
因?yàn)槭堑妊切?，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以．
在中，，，所以．
（2）因?yàn)椋?，?br>所以，即，所以．
因?yàn)?，所以?br>所以
所以．
23．(1)見詳解
(2)
【分析】（1）連接，證明，可得，根據(jù)角平分線的判定即可證明；
（2）利用平行線的性質(zhì)證明，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理即可解決問題．
【詳解】（1）證明：如圖，連接，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴平分．
（2）∵
∴，
由（1）知，平分,
∴,
∴，
∴，
設(shè)，則，
在中，
，
即，
解得：，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的判定，勾股定理解三角形，以及平行線的性質(zhì)．掌握這些性質(zhì)即可解題．
24．（1）見解析；（2）17；（3）
【分析】(1) 根據(jù)可得,,根據(jù)邊角邊可證三角形全等,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得:;
(2)根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得: .易得,根據(jù)勾股定理可得,根據(jù)三角形周長即可求解;
(3) 根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得: .易得,根據(jù)勾股定理即可求解.
【詳解】(1)解：∵，
∴.
∵，，
∴，
∴.
（2）∵垂直平分AP，
∴.易得.
在中，，
由勾股定理，得，
∴，
∴.
（3）設(shè)AE=x，
因?yàn)锳E=PE，
所以CE=AP-PE=AP-AE=13-x,
在中，，
由勾股定理，得，
∴
解得x=,
即PE=.
【點(diǎn)睛】本題主要考查線段垂直平分線的性質(zhì)和勾股定理,解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)和勾股定理.
25．(1)
(2)①秒；②不能
(3)11或12
【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、方程思想及分類討論思想等知識(shí)．用時(shí)間t表示出相應(yīng)線段的長，化“動(dòng)”為“靜”是解決這類問題的一般思路，解題時(shí)注意方程思想的應(yīng)用．
（1）根據(jù)題意即可用t可表示出即可求得；
（2）①結(jié)合（1），根據(jù)題意再表示出，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得到，可得到關(guān)于t的方程，可求得t；②當(dāng)在上，，如圖，，，則，，利用把的周長平分，再建立方程求解即可；
（3）用t分別表示出和，利用等腰三角形的性質(zhì)可分和三種情況，分別得到關(guān)于t的方程，可求得t的值．
【詳解】（1）解：由題意可知，，
∵，
∴，
（2）①當(dāng)點(diǎn)Q在邊上運(yùn)動(dòng)，為等腰三角形時(shí)，
即，解得，
∴出發(fā)秒后；
②當(dāng)在上，，如圖，
而，，
∴，，
∵把的周長平分，
∴，
解得：，不符合題意舍去，
∴點(diǎn)Q在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)．不能把的周長平分．
（3）①當(dāng)是以為底邊的等腰三角形時(shí)：，如圖1所示，

則，
∵，
∴．
，
∴，
∴，
∴（cm），
∴（cm），
∴；
②當(dāng)是以為底邊的等腰三角形時(shí)：，如圖2所示，

則（cm），
∴，
綜上所述：當(dāng)t為11秒或12秒時(shí)，是以或?yàn)榈走叺牡妊切危?br>故答案為：11或12．

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