一．選擇題（共12小題）
1．要使式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)x的取值范圍是（ ）
A．x≥1B．x≤1C．x≥1且x≠﹣2D．x＞1
解析：解：要使式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x﹣1＞0，
解得：x＞1．
故選：D．
2．已知x＝1是一元二次方程（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0的一個根，則m的值為（ ）
A．﹣1或2B．﹣1C．2D．0
解析：解：把x＝1代入（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0得：
m﹣2+4﹣m2＝0，
﹣m2+m+2＝0，
解得：m1＝2，m2＝﹣1，
∵（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0是一元二次方程，
∴m﹣2≠0，
∴m≠2，
∴m＝﹣1，
故選：B．
3．已知△ABC∽△DEF，若AC：DF＝4：9，則它們的周長之比是（ ）
A．4：9B．16：81C．9：4D．2：3
解析：解：∵△ABC∽△DEF，AC：DF＝4：9，
∴△ABC與△DEF的相似比為4：9，
∴△ABC與△DEF的周長之比為4：9，
故選：A．
4．如圖，如果∠BAD＝∠CAE，那么添加下列一個條件后，仍不能確定△ADE與△ABC相似的是（ ）
A．∠B＝∠DB．∠C＝∠AEDC．＝D．＝
解析：解：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠EAD＝∠CAB，
A．若添加∠B＝∠D，可用兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，證明△ADE～△ABC，故本選項不符合題意；
B．若添加∠C＝∠AED，可用兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，證明△ADE～△ABC，故本選項不符合題意；
C．若添加，已知角不是成比例的兩邊的嬌嬌，不能證明△ADE～△ABC，故本選項符合題意；
D．若添加，可用兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似，證明△ADE～△ABC，故本選項不符合題意．
故選：C．
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若csB＝，則tanA的值是（ ）
A．B．C．D．
解析：解：由題意，得
sinA＝csB＝，
csA＝＝，
tanA＝＝，
故選：D．
6．一個質(zhì)地均勻的骰子，6個面分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6．若隨機投擲一次，則朝上一面的數(shù)字恰好是3的倍數(shù)的概率是（ ）
A．B．C．D．
解析：解：∵一個質(zhì)地均勻的骰子共6個面，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，其中數(shù)字恰好是3的倍數(shù)的有2個，
∴朝上一面的數(shù)字恰好是3的倍數(shù)的概率是＝；
故選：B．
7．如圖，由六個邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格圖中，△ABC的各個頂點都在格點上，則sin∠BAC的值是（ ）
A．2B．C．D．
解析：解：由勾股定理得：AB2＝22+22＝8，BC2＝12+12＝2，AC2＝32+12＝10，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，
∴sin∠BAC＝＝＝；
故選：D．
8．兩個相鄰自然數(shù)的積是132．則這兩個數(shù)中，較大的數(shù)是（ ）
A．11B．12C．13D．14
解析：解：設(shè)這兩個數(shù)中較大的數(shù)為x，則較小的數(shù)為（x﹣1），
依題意，得：x（x﹣1）＝132，
解得：x1＝12，x2＝﹣11（不合題意，舍去）．
故選：B．
9．如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx的圖象開口向下，且經(jīng)過第二象限的點P．若點P的橫坐標為﹣1，則一次函數(shù)y＝（a﹣b）x+b的圖象大致如（ ）
A．B．
C．D．
解析：解：由二次函數(shù)的圖象可知，
a＜0，b＜0，
當(dāng)x＝﹣1時，y＝a﹣b＞0，
∴y＝（a﹣b）x+b的圖象在第一、三、四象限，
故選：A．
10．如圖，在平行四邊形ABCD中，點E在邊AD上，DE：EA＝3：2，連接CE交BD于點F，則△DEF的面積與△BCF的面積之比是（ ）
A．2：5B．3：5C．4：25D．9：25
解析：解：設(shè)DE＝3k，EA＝2k，則AD＝5k，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BC＝AD＝5k，AD∥BC，
∴∠DEF＝∠BCF，∠EDF＝∠CBF，
∴△DEF∽△BCF，
∴，
故選：D．
11．如圖，△ABC中，D、E分別是BC、AC邊上一點，F(xiàn)是AD、BE的交點，CE＝2AE，BF＝EF，EN∥BC交AD于N．若BD＝2，則CD長度為（ ）
A．6B．7C．8D．9
解析：解：∵EN∥BC，
∴∠ENF＝∠BDF，∠NEF＝∠DBF，
又∵BF＝EF，
∴△BDF≌△ENF（AAS），
∴BD＝EN＝2，
∵CE＝2AE，
∴＝，
∵EN∥CD，
∴△AEN∽△ACD，
∴＝，
即＝，
∴CD＝6．
故選：A．
12．如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸的正半軸交于點A，對稱軸為直線x＝1．下列結(jié)論：①abc＜0；②2a+b＝0；③當(dāng)y＞1時，0＜x＜1；④方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有一個根大于1且小于0．其中正確的結(jié)論有（ ）
A．4個B．3個C．2個D．1個
解析：解：由圖象可得，
a＜0，b＞0，c＞0，
則abc＜0，故①正確；
∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故②正確；
當(dāng)y＞1時，0＜x＜2，故③錯誤；
∵函數(shù)圖象與x軸的正半軸交點在點（2，0）和（3，0）之間，對稱軸是直線x＝1，
∴函數(shù)圖象與x軸的另一個交點在點（0，0）和點（﹣1，0）之間，故④正確；
故選：B．
二．填空題（共6小題）
13．若x，y都是實數(shù)，且，則xy的值是 2 ．
解析：解：要使有意義，必須2x﹣1≥0且1﹣2x≥0，
解得：x＝，
所以y＝0+0+4＝4，
即xy＝4＝2．
故答案為：2．
14．在如圖的正方形紙片上做隨機扎針實驗，則針頭扎在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為 ．
解析：解：根據(jù)矩形的性質(zhì)易證矩形的對角線把矩形分成的四個三角形均為同底等高的三角形，故其面積相等，
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)易證陰影區(qū)域的面積＝正方形面積4份中的一份，
故針頭扎在陰影區(qū)域的概率為；
故答案為：．
15．某學(xué)校航模組設(shè)計制作的火箭升空高度h（m）與飛行時間t（s）滿足函數(shù)關(guān)系式為h＝﹣t2+14t+3，當(dāng)火箭升空到最高點時，距離地面 52 m．
解析：解：由題意可得：h＝﹣t2+14t+3＝﹣（t2﹣14t）+3＝﹣（t﹣7）2+52，
∵a＝﹣1＜0，
∴拋物線開口向下，
當(dāng)x＝7時，h取得最大值，當(dāng)火箭升空到最高點時，距離地面52m．
故答案為：52．
16．已知x1、x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的兩個實數(shù)根，則+的值為 13 ．
解析：解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2＝3，x1x2＝﹣2，
所以+＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝32﹣2×（﹣2）＝13．
故答案為：13．
17．如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8，AC⊥CD．若，則tanD＝ ．
解析：解：∵∠B＝90°，sin∠ACB＝，
∴＝，
∵AB＝2，
∴AC＝6，
∵AC⊥CD，
∴∠ACD＝90°，
∴tan∠ADC＝＝＝．
故答案為：．
18．如圖，在正方形ABCD中，E是BC的中點，F(xiàn)是CD上一點，且CF＝CD，下列結(jié)論：①∠BAE＝30°，②AE⊥EF，③△ABE∽△AEF，④△ADF∽△ECF．其中正確的結(jié)論是 ②③ ．
解析：解：在正方形ABCD中，
∵AB＝BC，
∵E是BC的中點，
∴BE＝AB，
∴tan∠BAE＝＝，
∴∠BAE≠30°；故①錯誤；
∵E為BC中點，CF：CD＝1：4，
∴＝＝2，且∠B＝∠C，
∴△ABE∽△ECF，
∴∠BAE＝∠CEF，
∴∠BAE＝∠FEC，且∠BAF+∠AFB＝90°，
∴∠AFB+∠FEC＝90°，
∴∠AEF＝90°，即AE⊥EF，故②正確，
∵△ABE∽△ECF，
∴＝＝2，
∴＝＝，且∠ABE＝∠AEF＝90°，
∴△ABE∽△AEF，
∴③正確；
∵＝2，＝3，
∴≠，
∴△ADF和△ECF不相似，
∴④錯誤，
綜上可知正確的為：②③，
故答案為②③．
三．解答題（共8小題）
19．解方程（x﹣1）（x+2）＝4．
解析：解：方程（x﹣1）（x+2）＝4，
整理得：x2+2x﹣x﹣2﹣4＝0，即x2+x﹣6＝0，
分解因式得：（x﹣2）（x+3）＝0，
可得：x﹣2＝0或x+3＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣3．
20．計算：．
解析：解：原式＝1﹣3+2﹣+3×
＝1﹣3+2﹣+
＝0．
21．如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點都在小方格的格點上．
（1）點A的坐標是 （2，8） ；點C的坐標是 （6，6） ；
（2）以原點O為位似中心，將△ABC縮小，使變換后得到的△A1B1C1與△ABC對應(yīng)邊的比為1：2，請在網(wǎng)格中畫出△A1B1C1；
（3）△A1B1C1的面積為 ．
解析：解：（1）點A的坐標是：（2，8）；點C的坐標是：（6，6）．
故答案為：（2，8），（6，6）；
（2）如圖所示：△A1B1C1，即為所求；
（3）△A1B1C1的面積為：×3×1＝．
故答案為：．
22．某商店以每件40元的價格進了一批熱銷商品，出售價格經(jīng)過兩個月的調(diào)整，從每件50元上漲到每件72元，此時每月可售出188件商品．
（1）求該商品平均每月的價格增長率；
（2）因某些原因，商家需盡快將這批商品售出，決定降價出售．經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：售價每下降一元，每個月多賣出一件，設(shè)實際售價為x元，則x為多少元時商品每月的利潤可達到4000元．
解析：解：（1）設(shè)該商品平均每月的價格增長率為m，
依題意，得：50（1+m）2＝72，
解得：m1＝0.2＝20%，m2＝﹣2.2（不合題意，舍去）．
答：該商品平均每月的價格增長率為20%．
（2）依題意，得：（x﹣40）[188+（72﹣x）]＝4000，
整理，得：x2﹣300x+14400＝0，
解得：x1＝60，x2＝240（不符合題意，舍去）．
答：x為60元時商品每月的利潤可達到4000元．
23．在一個不透明的布袋里裝有4個標號分別為1，2，3，4的小球，這些球除標號外無其它差別．從布袋里隨機取出一個小球，記下標號為x，再從剩下的3個小球中隨機取出一個小球，記下標號為y，記點P的坐標為（x，y）．
（1）請用畫樹狀圖或列表的方法，求兩次取出的小球標號之和等于5的概率；
（2）求點（x，y）落在直線y＝﹣x+3上的概率．
解析：解：（1）根據(jù)題意，畫樹狀圖如下，
由樹狀圖可知，共有12種等可能的結(jié)果，其中兩次取出的小球標號之和等于5的有4種，
∴兩次取出的小球標號之和等于5的概率為；
（2）由樹狀圖可知，點（x，y）落在直線y＝﹣x+3上的情況共計有2種，
∴點（x，y）落在直線y＝﹣x+3上的概率為．
24．如圖，某漁船沿正東方向以20海里/時的速度航行，在A處測得島C在北偏東60°方向，半小時后，漁船航行到B處，此時測得島C在北偏東30°方向．
（1）B處離島C有多遠？
（2）如果漁船繼續(xù)向東航行，需要多長時間到達距離島C最近的位置？
（3）已知島C周圍6海里內(nèi)有暗礁，如果漁船繼續(xù)向東航行，有無觸礁危險？請說明理由．
解析：解：（1）過C作CO⊥AB于O，則CO為漁船向東航行到C道最短距離，
∵在A處測得島C在北偏東的60°，
∴∠CAB＝30°，
又∵B處測得島C在北偏東30°，
∴∠CBO＝60°，∠ABC＝120°，
∴∠ACB＝∠CAB＝30°，
∴AB＝BC＝20×0.5＝10（海里）（等邊對等角）；
（2）∵CO⊥AB，∠CBO＝60°
∴BO＝BC×cs∠CBO＝10×＝5（海里），
5÷20＝0.25（小時），
答：如果漁船繼續(xù)向東航行，需要0.25小時到達距離島C最近的位置；
（3）∵CO⊥AB，∠CBO＝60°
∴CO＝BC×sin∠CBO＝10×sin60°＝5（海里），
∵5＞6，
∴如果漁船繼續(xù)向東航行，沒有觸礁危險．
25．如圖，在?ABCD中，點E在BC邊上，點F在DC的延長線上，且∠DAE＝∠F．
（1）求證：△ABE∽△ECF；
（2）若AB＝3，AD＝7，BE＝2，求FC的長．
解析：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，
∴∠B＝∠ECF，∠DAE＝∠AEB，
又∵∠DAE＝∠F，
∴∠AEB＝∠F，
∴△ABE∽△ECF，
（2）解：∵△ABE∽△ECF，
∴，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BC＝AD＝7．
∴EC＝BC﹣BE＝7﹣2＝5．
∴，
∴．
26．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c交x軸于A，B兩點，交y軸于點C，直線y＝x﹣5經(jīng)過點B，C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P是直線BC上方拋物線上的一動點，求△BCP面積S的最大值；
（3）在拋物線上找一點M，連接AM，使得∠MAB＝∠ABC，請直接寫出點M的坐標．
解析：解：（1）y＝x﹣5，令x＝0，則y＝﹣5，令y＝0，則x＝5，
即點B、C的坐標為（5，0）、（0，﹣5），
則y＝﹣x2+bx+c＝﹣x2+bx﹣5，將點B坐標代入上式并解得：b＝6，
故拋物線的表達式為：y＝﹣x2+6x﹣5…①，
令y＝0，則x＝1或5，即點A（1，0）；
（2）過點P作PH∥y軸交直線BC于點H，
設(shè)：點P（x，﹣x2+6x﹣5），則點H（x，x﹣5），
S△BCP＝PH×OB＝×（﹣x2+6x﹣5﹣x+5）＝﹣x2+x，
∵﹣＜0，故S△BCP有最大值，
當(dāng)x＝﹣＝時，S△BCP最大值為；
（3）①當(dāng)點M在x軸上方時，∠MAB＝∠ABC＝45°，
則直線AM表達式中的k值為1，
設(shè)直線AM的表達式為：y＝x+b，
將點A坐標代入上式并解得：b＝﹣1，
故直線AM的表達式為：y＝x﹣1…②，
聯(lián)立①②并解得：x＝1或4（舍去x＝1），
故點M的坐標為（4，3）；
②當(dāng)點M在x軸下方時，
同理可得點M′（6，﹣5）；
故點M的坐標為（4，3）或（6，﹣5）．

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