第19章綜合素質(zhì)評(píng)價(jià) 一、選擇題 (本大題共10小題，每小題4分，滿分40分) 每小題都給出A，B，C，D四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是符合題目要求的． 1．已知多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都等于150°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是(　　) A．9 B．10 C．11 D．12 2．某人到瓷磚商店去購買一種多邊形形狀的瓷磚，用來鋪設(shè)無縫地板，他購買的瓷磚形狀不可以是(　　) A．正三角形 B．長方形 C．正八邊形 D．正六邊形 3．下列四個(gè)命題中不正確的是(　　) A．對(duì)角互補(bǔ)的平行四邊形是矩形 B．有兩邊相等的平行四邊形是菱形 C．對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形 D．對(duì)角線相等的菱形是正方形 4.如圖，樂樂用邊長為1的正方形做了一副七巧板，并將這副七巧板拼成一只小貓，則陰影部分的面積為(　　) A．eq \f(1,4) B．eq \f(1,2) C．eq \f(2,5) D．eq \f(2,3) 5．【原創(chuàng)題】如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段AO，BO的中點(diǎn)，若AC＋BD＝30 cm，△OAB的周長是23 cm，則EF的長為 (　　) A．10 cm B．8 cm C．6 cm D．4 cm 6．【母題：教材P98習(xí)題T11】有兩張寬為2，長為8的矩形紙片按如圖方式疊放在一起，使重疊的部分構(gòu)成一個(gè)菱形，則該菱形的周長是(　　) A．17 B．15 C．13 D．11 7. 小明用四根長度相同的木條制作了能夠活動(dòng)的菱形學(xué)具，他先使活動(dòng)學(xué)具成為圖①所示菱形，并測得∠B＝60°，對(duì)角線AC＝5 cm，接著使活動(dòng)學(xué)具成為圖②所示正方形，則圖②中對(duì)角線AC的長為(　　) A．5 cm B． 5 eq \r(2) cm C．10 cm D．15 cm 8. 如圖，矩形ABCD的面積為28，對(duì)角線交于點(diǎn)O，以AB，AO為鄰邊作平行四邊形AOC1B，對(duì)角線交于點(diǎn)O1；以AB，AO1為鄰邊作平行四邊形AO1C2B，對(duì)角線交于點(diǎn)O2……以此類推，則平行四邊形AO6C7B的面積為(　　) A．eq \f(7,8) B．eq \f(7,16) C．eq \f(7,32) D．eq \f(7,64) 9．【2022·寧波】如圖，在Rt△ABC中，D為斜邊AC的中點(diǎn)，E為BD上一點(diǎn)，F(xiàn)為CE的中點(diǎn)，若AE＝AD，DF＝2，則BD的長為(　　) A．2 eq \r(2) B．3 C．2 eq \r(3) D．4 10．如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，E為對(duì)角線AC上不與A，C重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F，EG⊥BC于點(diǎn)G，連接DE，F(xiàn)G.有下列結(jié)論：①DE＝FG；②DE⊥FG； ③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值為3.其中正確的結(jié)論有 (　　) A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，滿分20分) 11．平行四邊形ABCD中，有兩個(gè)內(nèi)角的比為1：2，則這個(gè)平行四邊形中較小的內(nèi)角是________． 12．設(shè)AB，CD，EF是同一平面內(nèi)三條互相平行的直線，已知AB與CD的距離是8 cm，CD與EF的距離是3 cm，則AB與EF的距離等于________cm. 13．如圖，四邊形ABCD為菱形，點(diǎn)A，B，C，D在坐標(biāo)軸上，A(eq \r(5)，0)，AB＝3，則菱形ABCD的面積等于________． 14．已知，如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OABC為矩形，A(20，0)，點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在線段BC上以每秒2個(gè)單位長度的速度由點(diǎn)C向點(diǎn)B 運(yùn)動(dòng)．設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒． (1)當(dāng)t＝________時(shí)，四邊形PODB是平行四邊形； (2)在線段PB上有一點(diǎn)M，且PM＝10，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)________秒時(shí)，四邊形OAMP的周長最?。?三、(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分) 15．如圖，四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段OA，OC上，且OB＝OD，∠1＝∠2，AE＝CF.求證： (1)△BOE≌△DOF； (2)四邊形ABCD是平行四邊形． 16．如圖，點(diǎn)E是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠AEB＝90°，D是邊AB的中點(diǎn)，延長線段DE交邊BC于點(diǎn)F，點(diǎn)F是邊BC的中點(diǎn)．若AB＝6，EF＝1，求線段AC的長． 四、(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分) 17．如圖，在?ABCD中，E為對(duì)角線AC延長線上的一點(diǎn)． (1)若四邊形ABCD是菱形，求證：BE＝DE. (2)寫出(1)的逆命題，并判斷其是真命題還是假命題，若是真命題，給出證明；若是假命題，舉出反例． 18．【2023·濟(jì)寧節(jié)選】如圖，BD是矩形ABCD的對(duì)角線． (1)作線段BD的垂直平分線；(要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不必寫作法和證明) (2)設(shè)BD的垂直平分線交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，連接BE，DF，判斷四邊形BEDF的形狀，并說明理由． 五、(本大題共2小題，每小題10分，滿分20分) 19．如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E在邊AD上，連接EB并延長至點(diǎn)F，使BF＝BE，連接EC并延長至點(diǎn)G，使CG＝CE，連接FG，點(diǎn)H為FG的中點(diǎn)，連接DH，AF. (1)若∠BAE＝70°，∠DCE＝20°，求∠DEC的度數(shù)； (2)求證：四邊形AFHD為平行四邊形． 20.【2023·石家莊模擬】如圖，歡歡和樂樂分別站在正方形廣場ABCD的頂點(diǎn)A和頂點(diǎn)C處，歡歡以2 m/s的速度走向終點(diǎn)D，途中位置記為點(diǎn)P；樂樂以3 m/s的速度走向終點(diǎn)B，途中位置記為Q.假設(shè)兩人同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一人到達(dá)終點(diǎn)時(shí)結(jié)束運(yùn)動(dòng)．已知正方形邊長為 80 m，點(diǎn)E在AB上，AE＝60 m．記三角形AEP的面積為S1，三角形BEQ的面積為S2.設(shè)出發(fā)時(shí)間為t s. (1)他們出發(fā)多少秒后S1＝S2? (2)是否存在這樣的時(shí)刻t，使得S1＋S2＝2 300 m2？若存在，請(qǐng)求出t的值，若不存在，請(qǐng)說明理由． 六、(本題滿分12分) 21．【2023·合肥包河大地中學(xué)】如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是AC邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)O作BC的平行線交∠ACB的平分線于點(diǎn)E，交∠ACB的外角平分線于點(diǎn)F. (1)求證：EO＝FO； (2)求證：四邊形CEAF是矩形； (3)若AE＝3，EC＝4，AB＝12，BC＝13，求四邊形ABCF的面積． 七、(本題滿分12分) 22．如圖，平行四邊形ABCD中，AB＝4 cm，BC＝6 cm，∠B＝60°.動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別從點(diǎn)B，D同時(shí)出發(fā)以1 cm/s的速度運(yùn)動(dòng)．動(dòng)點(diǎn)E沿邊BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)F沿邊DA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t s. (1)判斷四邊形AECF的形狀并說明理由； (2)當(dāng)t＝________時(shí)四邊形AECF是矩形； (3)是否存在某個(gè)時(shí)刻，四邊形AECF是菱形，若存在，求出t的值，若不存在，請(qǐng)說明理由． 八、(本題滿分14分) 23．定義：對(duì)于一個(gè)四邊形，我們把依次連接它的各邊中點(diǎn)得到的新四邊形叫做原四邊形的“中點(diǎn)四邊形”．如果原四邊形的中點(diǎn)四邊形是個(gè)正方形，我們把這個(gè)原四邊形叫做“中方四邊形”． 概念理解：下列四邊形中一定是“中方四邊形”的是________． A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 性質(zhì)探究： 如圖①，四邊形ABCD是“中方四邊形”，觀察圖形，寫出關(guān)于四邊形ABCD的兩條結(jié)論； 問題解決： 如圖②，以銳角△ABC的兩邊AB，AC為邊長，分別向外側(cè)作正方形ABDE和正方形ACFG，連接BE，EG，GC．試說明：四邊形BCGE是“中方四邊形”； 拓展應(yīng)用： 如圖③，已知四邊形ABCD是“中方四邊形”，M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)． (1)試探索AC與MN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由； (2)若AC＝2，求AB＋CD的最小值． 答案 一、1．D　【點(diǎn)撥】∵多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都等于150°，∴每一個(gè)外角都等于30°，根據(jù)多邊形外角和等于360°可知，邊數(shù)為12. 2．C　【點(diǎn)撥】正八邊形的內(nèi)角為180°－eq \f(360°,8)＝135°，所以不能使用單一的正八邊形進(jìn)行密鋪． 3．B　 4．A　【點(diǎn)撥】由題圖易得陰影部分的面積是大正方形面積的四分之一. 5．D　【點(diǎn)撥】根據(jù)平行四邊形對(duì)角線互相平分可知， AO＝OC，BO＝OD.∵AC＋BD＝30 cm，∴OA＋OB＝15 cm.又∵△OAB的周長是23 cm，∴AB＝8 cm.∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段AO，BO的中點(diǎn)，∴EF是△OAB的中位線，即EF∥AB，EF＝eq \f(1,2)AB＝4 cm. 6．A　【點(diǎn)撥】如圖，設(shè)AB＝x，EB＝8－x，AE＝2，則由勾股定理得x2＝(8－x)2＋22，解得x＝eq \f(17,4)，∴C菱形＝eq \f(17,4)×4＝17. 7．B　【點(diǎn)撥】如圖①，圖②中，連接AC.在圖①中，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC.∵∠B＝60°，∴△ABC是等邊三角形．∴AB＝BC＝AC＝5 cm.在圖②中，∵四邊形 ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠B＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形．∴AC＝eq \r(AB 2＋BC 2)＝5eq \r(2) cm. 8．C　【點(diǎn)撥】設(shè)矩形ABCD的面積為S，根據(jù)題意得：S?AOC1B＝eq \f(1,2)S矩形ABCD＝eq \f(1,2)S，S?AO1C2B＝eq \f(1,2)S?AOC1B＝eq \f(1,4)S＝eq \f(S,22)，…，S?AOn－1CnB＝eq \f(S,2n).∴S?AOnCn＋1B＝eq \f(S,2n＋1). ∴S?AO6C7B＝eq \f(S,27)＝eq \f(28,27)＝eq \f(7,32). 9．D　【點(diǎn)撥】∵D是斜邊AC的中點(diǎn)， F為CE的中點(diǎn)，DF＝2，∴AE＝2DF=4. ∵AE=AD, ∴AD=4. 在Rt△ABC中，D為斜邊AC的中點(diǎn)，∴BD＝eq \f(1,2)AC＝AD＝4，故選D. 10．C　【點(diǎn)撥】①連接BE，交FG于點(diǎn)O，延長DE交FG于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)H，如圖． ∵EF⊥AB，EG⊥BC，∴∠EFB＝∠EGB＝90°.又∵∠ABC＝90°，∴四邊形EFBG為矩形．∴FG＝BE，OB＝OF＝OE＝OG.∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝CD，∠BAC＝∠DAC＝45°.在△ABE和△ADE中，∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE＝AE，,∠BAE＝∠DAE，,AB＝AD，)) ∴△ABE≌△ADE(SAS)．∴BE＝DE.∴DE＝FG.①正確；②∵△ABE≌△ADE，∴∠ABE＝∠ADE.由①知OB＝OF，∴∠OFB＝∠ABE.∴∠OFB＝∠ADE.∵∠BAD＝90°，∴∠ADE＋∠AHD＝90°.∴∠OFB＋∠AHD＝90°.∴∠FMH＝90°.∴DE⊥FG.②正確；③由②知∠OFB＝∠ADE，即∠BFG＝∠ADE.③正確．④∵E為AC上的一動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)垂線段最短，可知當(dāng)DE⊥AC時(shí)，DE最小．∵AD＝CD＝4，∠ADC＝90°.∴AC＝eq \r(AD2＋CD2)＝4 eq \r(2).∴DE＝eq \f(1,2)AC＝2 eq \r(2).由①知FG＝DE，∴FG的最小值為2 eq \r(2).④錯(cuò)誤. 綜上，正確的結(jié)論為①②③. 二、11．60°　【點(diǎn)撥】由題意可知，平行四邊形ABCD的鄰角互補(bǔ)，對(duì)角相等．∵兩個(gè)內(nèi)角的比為 1∶2，則該兩個(gè)角為相鄰角，∴180°÷3＝60°，較小的內(nèi)角為60°. 12．5或11　【點(diǎn)撥】如圖①所示，AB與EF的距離是11 cm，如圖②所示，AB與EF的距離是5 cm. 13．4 eq \r(5)　【點(diǎn)撥】如圖，∵A(eq \r(5)，0)，∴OA＝eq \r(5).∵四邊形ABCD為菱形，點(diǎn)A，B，C，D 在坐標(biāo)軸上，AB＝3，∴OC＝OA＝eq \r(5)，OB＝OD，AC⊥BD.∴AC＝OA＋OC＝2 eq \r(5)，∠AOB＝90°.∴在Rt△AOB中，由勾股定理得OB＝eq \r(AB2－OA2)＝eq \r(32－(\r(5))2)＝2.∴BD＝OB＋OD＝4.∴菱形ABCD的面積 S＝eq \f(1,2)·BD·AC＝eq \f(1,2)×4×2 eq \r(5)＝4 eq \r(5). 14．(1)5　(2)2.5 【點(diǎn)撥】(1)∵四邊形OABC為矩形，A(20，0)，C(0，8)，∴BC＝OA＝20，AB＝OC＝8.∵點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，∴OD＝eq \f(1,2)OA＝10.由運(yùn)動(dòng)知，PC＝2t，∴BP＝BC－PC＝20－2t. ∵四邊形PODB是平行四邊形，∴PB＝OD＝10，解得t＝5.∴當(dāng)t的值為5時(shí)，四邊形PODB是平行四邊形． (2)如圖所示，連接DM，由(1)知，OD＝AD=10. ∵PM＝10，∴OD＝PM. ∵BC∥OA，∴四邊形OPMD是平行四邊形．∴OP＝DM. ∵四邊形OAMP的周長為OA＋AM＋PM＋OP＝20＋AM＋10＋DM＝30＋AM＋DM，∴當(dāng)AM＋DM最小時(shí)，四邊形OAMP的周長最?。鼽c(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)E，連接DE交BC于點(diǎn)M.∴AB＝EB，當(dāng)點(diǎn)M在M＇處時(shí)，AM+DM最小. ∵BC∥OA，∴BM＝eq \f(1,2)AD＝5.∴PC＝BC－BM－PM＝20－10－5＝5，即2t＝5，解得t＝2.5. 三、15．【證明】(1)在△BOE和△DOF中，∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠1＝∠2，,OB＝OD，,∠BOE＝∠DOF，)) ∴△BOE≌△DOF(ASA)． (2)∵△BOE≌△DOF，∴OE＝OF.∵AE＝CF，∴AE＋OE＝CF＋OF，即AO＝CO.∵OB＝OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形． 16．【解】∵∠AEB＝90°，D是邊AB的中點(diǎn)， AB＝6，∴DE＝eq \f(1,2)AB＝3. ∵EF＝1，∴DF＝DE＋EF＝3＋1＝4. ∵D是邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是邊BC的中點(diǎn)，∴DF是△ABC的中位線．∴AC＝2DF＝8. 四、17．(1)【證明】連接BD，交AC于點(diǎn)O. ∵四邊形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD且BO=OD. ∴直線EO是△BDE的邊BD的垂直平分線， ∴BE＝DE. (2)【解】逆命題為“若BE=DE，則四邊形ABCD是菱形”， 它是真命題.證明如下： ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴OB=OD. 又∵BE=DE，OE=OE， ∴△DOE△BOE. ∴∠DOE=∠BOE. 又∵∠DOE+∠BOE=180°， ∴∠DOE=90°. ∴EO⊥BD，即AC⊥BD， ∴四邊形ABCD是菱形. 18．【解】(1)所作線段BD的垂直平分線如圖所示. (2)四邊形BEDF是菱形． 理由如下：如圖，設(shè)BD與EF交于點(diǎn)O， ∵EF是BD的垂直平分線，OB=OD，BE=DE. ∵四邊形 ABCD 是矩形，∴AD//BC， ∴∠EDO =∠FBO. ∵∠EOD=∠FOB， ∴△EOD△FOB，∴ED=FB， ∴四邊形 BEDF 是平行四邊形 ∵ BE = ED， ∴四邊形 BEDF是菱形. 五、19．(1)【解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DC. ∴∠CDE＝180°-∠BAE＝180°-70=110°， ∴∠DEC＝180°-∠DCE-∠CDE＝50°． (2)【證明】∵四邊形 ABCD 是平行四邊形， ∴AD = BC，AD // BC. ∵BF=BE，CG=CE，∴BC是△EFG的中位線， ∴BC // FG，BC =eq \f(1,2)FG. ∴AD // FG. ∵點(diǎn)H為FG的中點(diǎn)，∴FH=eq \f(1,2)FG， ∴BC = FH，∴AD = FH， ∴四邊形 AFHD 是平行四邊形. 20．【解】(1)由題易得，0≤t

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