小題專練03三角函數(shù)、平面向量與解三角形(A)一、單項(xiàng)選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.(考點(diǎn):三角函數(shù)的定義,★)若角α的終邊過點(diǎn)(-sin 45°,cos 30°),則sin α=(    ).A. B. C.- D.-2.(考點(diǎn):三角恒等變換,★)已知tan α=-4,則cos(π-2α)=(    ).A. B. C. D.3.(考點(diǎn):平面向量與三角函數(shù)的綜合,★★)已知向量a=(sin α,3),b=(-1,cos α),且a⊥b,則=(    ).A. B. C.1 D.4.(考點(diǎn):三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),★★)若函數(shù)y=3sin(3x+φ)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱,則|φ|的最小值為(    ).A. B. C. D.5.(考點(diǎn):平面向量的數(shù)量積,★★)設(shè)向量a,b滿足|a+b|=3,|a-b|=2,則a·b=(    ).A.1 B. C. D.6.(考點(diǎn):三角函數(shù)的圖象變換,★★)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的部分圖象如圖所示,為了得到y=sin的圖象,只需將f(x)的圖象上(    ).A.各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,再向右平移個(gè)單位長度B.各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>,再向右平移個(gè)單位長度C.各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,再向左平移個(gè)單位長度D.各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>,再向左平移個(gè)單位長度7.(考點(diǎn):正、余弦定理的綜合應(yīng)用,★★★)已知在△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C所對的邊,且a=2,ccos A+acos C=-bcos B,△ABC的面積S=,則b=(    ).A. B. C.2 D.8.(考點(diǎn):三角恒等變換及函數(shù)的性質(zhì),★★★)已知函數(shù)f(x)=sin2(2π-ωx)+sin ωxcos ωx+,且f(α)=+1,f(β)=,若|α-β|的最小值是π,則下列結(jié)論正確的是(    ).A.ω=1,函數(shù)f(x)的最大值為1B.ω=,函數(shù)f(x)的最大值為+1C.ω=,函數(shù)f(x)的最大值為+1D.ω=,函數(shù)f(x)的最大值為1二、多項(xiàng)選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得3分,有選錯的得0分.9.(考點(diǎn):三角恒等變換,★★)下列各式中,值為的有(    ).A.sin 30°cos 30°B.cos230°-sin230°C.1-2cos230°D.sin230°+cos230°10.(考點(diǎn):平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算,★★)已知向量a+b=(5,3),a-b=(-3,1),c=(-2,1),設(shè)a,b的夾角為θ,則(    ).A.|a|=|b| B.a⊥cC.b∥c D.cos θ=11.(考點(diǎn):三角函數(shù)的基本性質(zhì),★★)已知函數(shù)f(x)=sin x+|cos x|,則下列命題正確的是(    ).A.該函數(shù)為奇函數(shù)B.該函數(shù)的最小正周期為2πC.該函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=對稱D.該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,k∈Z12.(考點(diǎn):解三角形,★★★)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,則下列四個(gè)命題中正確的是(    ).A.若a2+b2-c2<0,則△ABC一定是鈍角三角形B.若==,則△ABC一定是等邊三角形C.若acos A=bcos B,則△ABC一定是等腰三角形D.若bcos C=ccos B,則△ABC一定是等腰三角形三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.(考點(diǎn):向量共線的條件,★★)已知a=(3,2),b=(k,5),若(a+2b)∥(4a-3b),則k=        .14.(考點(diǎn):兩角和與差的正、余弦公式,★★)已知α,β為銳角,cos α=,sin(α+β)=,則cos β=        .15.(考點(diǎn):平面向量的數(shù)量積,★★)已知等邊△ABC的邊長為6,平面內(nèi)一點(diǎn)P滿足=+,則·=        .16.(考點(diǎn):三角恒等變換及函數(shù)的性質(zhì),★★★)已知函數(shù)f(x)=sin2x-sin2,x∈R,則f(x)的最小值為        ;單調(diào)遞增區(qū)間為        .    答案解析：一、單項(xiàng)選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.(考點(diǎn):三角函數(shù)的定義,★)若角α的終邊過點(diǎn)(-sin 45°,cos 30°),則sin α=(    ).A. B. C.- D.-【解析】由題意可知角α的終邊過點(diǎn),故sin α==.【答案】B2.(考點(diǎn):三角恒等變換,★)已知tan α=-4,則cos(π-2α)=(    ).A. B. C. D.【解析】由題意得,cos(π-2α)=-cos 2α=-cos2α+sin2α====.【答案】C3.(考點(diǎn):平面向量與三角函數(shù)的綜合,★★)已知向量a=(sin α,3),b=(-1,cos α),且a⊥b,則=(    ).A. B. C.1 D.【解析】因?yàn)?/span>a⊥b,所以a·b=-sin α+3cos α=0,即sin α=3cos α,所以tan α=3,故==.【答案】B4.(考點(diǎn):三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),★★)若函數(shù)y=3sin(3x+φ)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱,則|φ|的最小值為(    ).A. B. C. D.【解析】由題意可得3sin=0,故3×+φ=kπ,k∈Z,解得φ=kπ-,k∈Z,令k=4,可得|φ|的最小值為.【答案】C5.(考點(diǎn):平面向量的數(shù)量積,★★)設(shè)向量a,b滿足|a+b|=3,|a-b|=2,則a·b=(    ).A.1 B. C. D.【解析】由題意可得,a2+2a·b+b2=9,a2-2a·b+b2=4,兩式相減,得4a·b=9-4=5,即a·b=.【答案】B6.(考點(diǎn):三角函數(shù)的圖象變換,★★)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的部分圖象如圖所示,為了得到y=sin的圖象,只需將f(x)的圖象上(    ).A.各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,再向右平移個(gè)單位長度B.各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>,再向右平移個(gè)單位長度C.各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,再向左平移個(gè)單位長度D.各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>,再向左平移個(gè)單位長度【解析】根據(jù)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的部分圖象,可得A=1,T=-=,解得T=2π,所以ω==1.再根據(jù)五點(diǎn)作圖法可得+φ=,則φ=,故f(x)=sin.則將函數(shù)y=f(x)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>,得到y=sin的圖象,再向右平移個(gè)單位長度,得到y=sin的圖象.故選B.【答案】B7.(考點(diǎn):正、余弦定理的綜合應(yīng)用,★★★)已知在△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C所對的邊,且a=2,ccos A+acos C=-bcos B,△ABC的面積S=,則b=(    ).A. B. C.2 D.【解析】由正弦定理可得sin Ccos A+sin Acos C=-sin Bcos B,即sin(A+C)=-sin Bcos B,所以sin B=-sin Bcos B,又sin B≠0,所以cos B=-,則B=150°.因?yàn)?/span>a=2,△ABC的面積S=,所以S=acsin B=×2×c×=,解得c=2,所以b==2.【答案】C8.(考點(diǎn):三角恒等變換及函數(shù)的性質(zhì),★★★)已知函數(shù)f(x)=sin2(2π-ωx)+sin ωxcos ωx+,且f(α)=+1,f(β)=,若|α-β|的最小值是π,則下列結(jié)論正確的是(    ).A.ω=1,函數(shù)f(x)的最大值為1B.ω=,函數(shù)f(x)的最大值為+1C.ω=,函數(shù)f(x)的最大值為+1D.ω=,函數(shù)f(x)的最大值為1【解析】f(x)=sin2(2π-ωx)+sin ωxcos ωx+=sin2ωx+sin 2ωx+=sin 2ωx-cos 2ωx+=sin+,由題意可得該函數(shù)的周期為π×4=4π,則=4π,所以ω=,則f(x)=sin+,故f(x)的最大值為+1.【答案】C二、多項(xiàng)選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得3分,有選錯的得0分.9.(考點(diǎn):三角恒等變換,★★)下列各式中,值為的有(    ).A.sin 30°cos 30°B.cos230°-sin230°C.1-2cos230°D.sin230°+cos230°【解析】A符合,sin 30°cos 30°=sin 60°=;B符合,cos230°-sin230°=cos 60°=;C不符合,1-2cos230°=-cos 60°=-;D不符合,sin230°+cos230°=1.故選AB.【答案】AB10.(考點(diǎn):平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算,★★)已知向量a+b=(5,3),a-b=(-3,1),c=(-2,1),設(shè)a,b的夾角為θ,則(    ).A.|a|=|b| B.a⊥cC.b∥c D.cos θ=【解析】根據(jù)題意,a+b=(5,3),a-b=(-3,1),則a=(1,2),b=(4,1),對于A項(xiàng),|a|=,|b|=,則|a|=|b|不成立,A錯誤;對于B項(xiàng),a=(1,2),c=(-2,1),則a·c=0,即a⊥c,B正確;對于C項(xiàng),b=(4,1),c=(-2,1),b∥c不成立,C錯誤;對于D項(xiàng),a=(1,2),b=(4,1),則a·b=6,|a|=,|b|=,則cos θ==,D正確.故選BD.【答案】BD11.(考點(diǎn):三角函數(shù)的基本性質(zhì),★★)已知函數(shù)f(x)=sin x+|cos x|,則下列命題正確的是(    ).A.該函數(shù)為奇函數(shù)B.該函數(shù)的最小正周期為2πC.該函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=對稱D.該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,k∈Z【解析】當(dāng)cos x≥0時(shí),f(x)=sin x+cos x=sin,當(dāng)cos x<0時(shí),f(x)=sin x-cos x=sin,畫出函數(shù)圖象,如圖所示.根據(jù)圖象知,函數(shù)不是奇函數(shù),A錯誤;f(x+2π)=sin(x+2π)+|cos(x+2π)|=sin x+|cos x|=f(x),故該函數(shù)的最小正周期為2π,B正確;f(π-x)=sin(π-x)+|cos(π-x)|=sin x+|cos x|=f(x),故該函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=對稱,C正確;由圖象可知,在上,函數(shù)f(x)不單調(diào),所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間不為,k∈Z,D錯誤.故選BC.【答案】BC12.(考點(diǎn):解三角形,★★★)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,則下列四個(gè)命題中正確的是(    ).A.若a2+b2-c2<0,則△ABC一定是鈍角三角形B.若==,則△ABC一定是等邊三角形C.若acos A=bcos B,則△ABC一定是等腰三角形D.若bcos C=ccos B,則△ABC一定是等腰三角形【解析】對于A,若a2+b2-c2<0,由余弦定理可知cos C=<0,角C為鈍角,故A正確;對于B,因?yàn)?/span>==,由正弦定理得a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,所以tan A=tan B=tan C,所以A=B=C,所以△ABC一定是等邊三角形,故B正確;對于C,若acos A=bcos B,由正弦定理得sin 2A=sin 2B,所以A=B或A+B=,所以△ABC是等腰三角形或直角三角形,故C錯誤;對于D,若bcos C=ccos B,由正弦定理得sin Bcos C=sin Ccos B,則sin Bcos C-sin Ccos B=0,所以sin(B-C)=0,得B=C,所以△ABC一定是等腰三角形,故D正確.故選ABD.【答案】ABD三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.(考點(diǎn):向量共線的條件,★★)已知a=(3,2),b=(k,5),若(a+2b)∥(4a-3b),則k=        .【解析】由題意得a+2b=(3+2k,12),4a-3b=(12-3k,-7),因?yàn)?a+2b)∥(4a-3b),所以(3+2k)·(-7)=12·(12-3k),解得k=.【答案】14.(考點(diǎn):兩角和與差的正、余弦公式,★★)已知α,β為銳角,cos α=,sin(α+β)=,則cos β=        .【解析】由題意得sin α==,cos(α+β)=±=±.當(dāng)cos(α+β)=時(shí),cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=×+×=;當(dāng)cos(α+β)=-時(shí),cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=-×+×=.綜上所述,cos β的值為或.【答案】或15.(考點(diǎn):平面向量的數(shù)量積,★★)已知等邊△ABC的邊長為6,平面內(nèi)一點(diǎn)P滿足=+,則·=        .【解析】由=+,可得=+=-,=-=-,故·=·=·--=×18-×36-×36=-8.【答案】-816.(考點(diǎn):三角恒等變換及函數(shù)的性質(zhì),★★★)已知函數(shù)f(x)=sin2x-sin2,x∈R,則f(x)的最小值為        ;單調(diào)遞增區(qū)間為        .【解析】由題意,f(x)=sin2 x-sin2=(1-cos 2x)-=-cos 2x+sin 2x=sin,所以函數(shù)f(x)的最小值為-;令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,則-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,即f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,k∈Z.【答案】-,k∈Z 

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