基礎過關全練
知識點 平行線的判定
1.【新獨家原創(chuàng)】如圖,已知∠1=75°,添加下列條件:①∠2=105°;②∠3=105°;③∠4=75°;④∠5=105°.其中能判定AB∥CD的有(M7207005)( )
A.1個 B.2個
C.3個 D.4個
2.(2023河北正定期中)如圖,用尺規(guī)作圖:過點C作CN∥OA,其作圖依據是( )
A.同位角相等,兩直線平行
B.內錯角相等,兩直線平行
C.同旁內角相等,兩直線平行
D.同旁內角互補,兩直線平行
3.(2023河北唐山豐南月考)如圖,下列條件中,不能判定AB∥CD的是(M7207005)( )
A.∠C+∠ABC=180° B.∠1=∠2
C.∠3=∠4 D.∠A=∠CDE
4.(2023河北石家莊欒城期中)如圖,下列推理中,正確的是( )
A.因為∠1=∠3,所以AB∥CD
B.因為∠1=∠3,所以AE∥CF
C.因為∠2=∠4,所以AB∥CD
D.因為∠2=∠4,所以AE∥CF
5.(2023河北石家莊二十一中期中)如圖,直線l1,l2,l3,l4,l5相交,依據圖中所標數據,下列判斷正確的有( )
①直線l1∥l2; ②直線l2∥l3;
③直線l1∥l3; ④直線l4∥l5
A.1個 B.2個
C.3個 D.4個
6.【教材變式·P48T1】如圖1,在△ABC中,∠B=73°.如圖2,將圖1中的邊CB繞點C按逆時針方向旋轉一周回到原來的位置.在整個旋轉的過程中,當∠BCB'的度數為多少時,有CB'∥AB(M7207005)( )

圖1 圖2
A.73°
B.107°
C.73°或107°
D.42°或107°
7.【國防教育】(2023河南漯河期末)隨著我國科學技術的不斷發(fā)展,科學幻想變?yōu)楝F(xiàn)實.圖1是我國自主研發(fā)的某型號戰(zhàn)斗機模型,全動型后掠翼垂尾是這款戰(zhàn)斗機的亮點之一.圖2是垂尾模型的示意圖,現(xiàn)測量垂尾模型的相關數據如下:
①BC=8;②CD=2;③∠C=60°;
④∠D=135°;⑤∠ABC=120°.
垂尾模型合格的標準之一是AB∥CD,則至少選擇5個數據中的 可判定模型達標(只填序號).(M7207005)

圖1 圖2
8.(2023北京房山期末)請補全證明過程及推理依據:如圖,AB和CD相交于點O,∠C=∠COA,∠D=∠BOD.求證:AC∥BD.
證明:∵∠C=∠COA,∠D=∠BOD(已知),
∵∠COA=∠BOD( ),
∴∠C= ( ),
∴AC∥BD( ).
9.完成下面的證明:
如圖,已知BE平分∠ABD,DE平分∠BDC,且∠1+∠2=90°.求證:AB∥CD.
證明:∵DE平分∠BDC(已知),
∴∠BDC=2∠1( ).
∵BE平分∠ABD(已知),
∴∠ABD= (角平分線的定義),
∴∠BDC+∠ABD=2∠1+2∠2=2(∠1+∠2)( ).
∵∠1+∠2=90°(已知),
∴∠BDC+∠ABD= .
∴AB∥CD( ).
10.【跨學科·物理】光線從空氣中射入水中會產生折射現(xiàn)象,同時光線從水中射入空氣中也會產生折射現(xiàn)象.如圖,光線a從空氣中射入水中,再從水中射入空氣中,形成光線b,根據光學知識有∠1=∠2,∠3=
∠4,請判斷光線a與光線b是否平行,并說明理由.
能力提升全練
11.(2023河北霸州實驗中學月考,11,★★☆)在一次數學活動課上,老師讓同學們用兩個大小、形狀都相同的三角板畫平行線AB,CD,貝貝、晶晶、歡歡三位同學的做法如圖所示,三位同學的作法中,依據是“內錯角相等,兩直線平行”的是(M7207005)( )

貝貝 晶晶 歡歡
A.僅貝貝同學 B.貝貝和晶晶
C.晶晶和歡歡 D.貝貝和歡歡
12.(2020湖南郴州中考,5,★★☆)如圖,直線a,b被直線c,d所截.下列條件能判定a∥b的是( )
A.∠1=∠3
B.∠2+∠4=180°
C.∠4=∠5
D.∠1=∠2
13.(2023河北青縣五中期中,19,★★☆)已知:如圖,AB⊥BC于點B,CD⊥BC于點C,∠1=∠2.
求證:BE∥CF.
證明:∵AB⊥BC,CD⊥BC,
∴∠ =90°,∠ =90°( ),
∴∠1+∠3=90°,∠2+∠4=90°.
∵∠1=∠2,
∴∠3=∠4( ),
∴BE∥CF( ).
14.(2022河北趙縣月考,17,★★☆)如圖,∠1∶∠2∶∠3=2∶3∶4,
∠AFE=60°,∠BDE=120°,寫出圖中互相平行的直線,并說明理由.
素養(yǎng)探究全練
15.【幾何直觀】如圖,一副三角板的兩個直角頂點重合,其中∠A=30°,
∠B=60°,∠D=∠E=45°.
(1)若∠ACE=35°,求∠BCD的度數;
(2)當點E在∠ACB內部時,試猜想∠ACE與∠BCD的數量關系,并說明理由;
(3)若按住三角板ABC不動,繞頂點C轉動三角板DCE,試探究∠ACD等于多少度時,CE∥AB,請直接寫出結果.
答案全解全析
基礎過關全練
1.C ①當∠2=105°時,∵∠1+∠2=180°,∴AB∥CD(同旁內角互補,兩直線平行);②當∠3=105°時,∠1+∠3=180°,但是∠1和∠3是鄰補角,不能判定AB∥CD;③當∠4=75°時,∵∠1=∠4,∴AB∥CD(同位角相等,兩直線平行);④當∠5=105°時,根據對頂角相等,可得∠2=105°,
∴∠1+∠2=180°,∴AB∥CD(同旁內角互補,兩直線平行).故選C.
2.B 通過尺規(guī)作圖的痕跡可以發(fā)現(xiàn)∠NCO=∠O,則CN∥AO,故作圖依據是內錯角相等,兩直線平行.故選B.
3.C 根據∠C+∠ABC=180°,可得AB∥CD(同旁內角互補,兩直線平行);根據∠1=∠2,可得AB∥CD(內錯角相等,兩直線平行);根據∠3=
∠4,可得BC∥AD(內錯角相等,兩直線平行),但不能得出AB∥CD;
根據∠A=∠CDE,可得AB∥CD(同位角相等,兩直線平行).故選C.
4.D ∠1與∠3沒有公共邊.由∠2=∠4,可以根據“同位角相等,兩直線平行”得到AE∥CF,故D正確.故選D.
5.A 如圖,∵圖中所標角度均和直線l2無關,∴無法判斷直線l1和l2,l2和l3是否平行,故①②錯誤;∵∠BAC+∠ABD=95°+95°=190°,∴l(xiāng)1和l3不平行,故③錯誤;∵∠CAB+∠ACD=95°+85°=180°,∴l(xiāng)4∥l5,故④正確.因此正確的有1個.故選A.
6.C 分兩種情況:在旋轉過程中,當CB'與AB第一次平行時,
有∠ABC=∠BCB'=73°.
當CB'與AB第二次平行時,有∠ABC+∠BCB'=180°,
∴∠BCB'=107°.故選C.
7.③⑤
解析 選擇③⑤,∵∠C=60°,∠ABC=120°,
∴∠C+∠ABC=180°,∴AB∥CD.
8.對頂角相等;∠D;等量代換;內錯角相等,兩直線平行
9.角平分線的定義;2∠2;等量代換;180°;同旁內角互補,兩直線平行
10.解析 平行.理由如下:
如圖,∵∠1=∠2,∴∠5=∠6,∵∠3=∠4,
∴∠3+∠5=∠4+∠6,∴光線a∥光線b.
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11.D 貝貝作法的依據是∠CDA=∠DAB,內錯角相等,兩直線平行.晶晶作法的依據是∠ABE=∠CDF,同位角相等,兩直線平行.歡歡作法的依據是∠ABC=∠BCD,內錯角相等,兩直線平行.故選D.
12.D 當∠1=∠3時,c∥d,故選項A不符合題意;當∠2+∠4=180°時,c∥d,故選項B不符合題意;當∠4=∠5時,c∥d,故選項C不符合題意;當∠1=∠2時,a∥b,故選項D符合題意.故選D.
13.解析 證明:∵AB⊥BC,CD⊥BC,
∴∠ABC=90°,∠BCD=90°(垂直的定義),
∴∠1+∠3=90°,∠2+∠4=90°.
∵∠1=∠2,
∴∠3=∠4(等角的余角相等),
∴BE∥CF(內錯角相等,兩直線平行).
14.解析 DE∥AB,EF∥BC.
理由:∵∠1∶∠2∶∠3=2∶3∶4,∠1+∠2+∠3=180°,
∴∠1=40°,∠2=60°,∠3=80°,
∵∠AFE=60°,∠BDE=120°,
∴∠AFE=∠2,∠BDE+∠2=180°,
∴DE∥AB,EF∥BC.
素養(yǎng)探究全練
15.解析 (1)∵∠BCA=∠ECD=90°,∠ACE=35°,
∴∠DCA=∠ECD-∠ACE=90°-35°=55°,
∴∠BCD=∠BCA+∠DCA=90°+55°=145°.
(2)∠ACE+∠BCD=180°,
理由如下:
∵∠ACE=∠ECD-∠DCA=90°-∠DCA,∠BCD=∠BCA+∠DCA=90°
+∠DCA,
∴∠ACE+∠BCD=90°-∠DCA+90°+∠DCA=180°.
(3)如圖1,當∠A=∠ACE時,CE∥AB,
此時∠ACD=∠ACE+∠ECD=∠A+∠ECD=30°+90°=120°.
圖1 圖2
如圖2,當∠A+∠ACE=180°時,CE∥AB,
此時ACE=180°-∠A=150°,
∴∠ACD=∠ACE-∠DCE
=150°-90°=60°.
綜上所述,當∠ACD=120°或60°時,CE∥AB.

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7.4 平行線的判定

版本： 冀教版

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