基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練
知識(shí)點(diǎn)1 平行線的性質(zhì)
1.(2023河北唐山豐南月考)如圖,直線a∥b,直線c與直線a,b分別交于點(diǎn)A,B,若∠1=45°,則∠2的度數(shù)是(M7207006)( )
A.135° B.145° C.155° D.165°

第1題圖 第2題圖
2.(2023河北孟村月考)如圖,若直線l1∥l2,則下列各式成立的是(M7207006)( )
A.∠1=∠2 B.∠4=∠5
C.∠2+∠5=180° D.∠1+∠3=180°
3.【角平分線+平行線】(2022河北石家莊外國(guó)語(yǔ)學(xué)校期中)如圖,AE為∠FAB的平分線,∠1=∠C,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( )
A.∠B=∠C B.∠FAB+∠C=180°
C.AE∥BC D.∠B=∠2
4.(2023河北廊坊八中期中)將一直角三角板與兩邊平行的紙條按如圖所示的方式放置,有下列結(jié)論:①∠1=∠2;②∠3=∠4;③∠2+∠3=90°;④∠4+∠5=180°.其中正確的個(gè)數(shù)是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5.(2023廣東廣州天河期中)如圖所示的是吸管插入某紙杯的截面示意圖,已知AB∥CD,c表示吸管.若∠1=76°,則∠2= 度.

第5題圖 第6題圖
6.(2023河北石家莊四十二中測(cè)評(píng))兩個(gè)不同的三角板按如圖所示的方式放置,AB∥DC,則∠CAE的度數(shù)為 .
7.(2023河北石家莊四十二中測(cè)評(píng))如圖,AB∥CD,直線EF分別交AB、CD于點(diǎn)E、F,EG平分∠BEF,若∠1=72°,求∠2的度數(shù).
8.【新獨(dú)家原創(chuàng)】如圖,已知AC∥DF,∠C=∠D,∠1=60°,求∠2的度數(shù).
9.【跨學(xué)科·物理】(2023河北保定蓮池期末)如圖所示,鏡面MN、EF互相平行,一束光線AB照射到鏡面MN上,反射光線為BC,此時(shí)∠1=∠2;光線BC經(jīng)過(guò)鏡面EF反射后變?yōu)楣饩€CD,此時(shí)∠3=∠4.試判斷AB與CD的位置關(guān)系,你是如何思考的?(M7207006)
10.(2023河北石家莊二十三中月考)下面是嘉琪作業(yè)上的一道題和她給出的答案:
如圖,AB∥CD,∠A=∠D.
求證:AF∥ED.
證明:∵AB∥CD①,
∴∠A=∠AFC,∠D=∠BED②,
∵∠A=∠D③,
∴∠AFC=∠BED④,
∴AF∥ED⑤.
(1)②處推論的理論依據(jù)是 ;
(2)從④到⑤的推理 (填“正確”或“錯(cuò)誤”);
(3)寫出完整的證明過(guò)程(包括每一步的理論依據(jù)).
知識(shí)點(diǎn)2 平行線的傳遞性
11.(2023河北霸州實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考)如圖,筆直的公路一旁是電線桿,若其余電線桿都與電線桿①平行,則判斷其余電線桿兩兩平行的根據(jù)是( )
A.內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行 B.同位角相等,兩直線平行
C.同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行 D.平行于同一條直線的兩條直線平行
12.嘉淇在證明“平行于同一條直線的兩條直線平行”時(shí),給出了如下推理過(guò)程:
小明為使嘉淇的推理更嚴(yán)謹(jǐn),想在方框中“∴∠1=∠5,”和“∴b∥c.”之間作補(bǔ)充,下列說(shuō)法正確的是( )
A.嘉淇的推理嚴(yán)謹(jǐn),不需要補(bǔ)充 B.應(yīng)補(bǔ)充“∴∠2=∠5,”
C.應(yīng)補(bǔ)充“∴∠3+∠5=180°,” D.應(yīng)補(bǔ)充“∴∠4=∠5,”
13.【兩線平行夾一角】如圖,AB∥CD,若∠B=23°,∠D=42°,則∠E=( )
A.23° B.42° C.19° D.65°
14.如圖所示,AB⊥BD于點(diǎn)B,CD⊥BD于點(diǎn)D,∠1+∠2=180°,試問(wèn)CD與EF平行嗎?為什么?(M7207006)
15.如圖,AB∥CD,點(diǎn)F在AB,CD之間,FE與AB交于點(diǎn)M,FG與CD交于點(diǎn)N.若∠EFG=115°,∠EMB=55°,求∠DNG的大小.
16.【一題多解】如圖,已知AB∥CD,∠B=30°,∠D=120°,若∠BEF=60°,求∠DFE的度數(shù).
能力提升全練
17.(2023湖南張家界中考,5,★★☆)如圖,已知直線AB∥CD,EG平分∠BEF,∠1=40°,則∠2的度數(shù)是(M7207006)( )
A.70° B.50° C.40° D.140°
18.(2023河北孟村月考,15,★★☆)如圖,把一個(gè)長(zhǎng)方形紙片沿EF折疊后,點(diǎn)D、C分別落在點(diǎn)D'、C'的位置,若∠EFB=60°,則∠AED'的度數(shù)為( )
A.50° B.55°
C.60° D.65°
19.【中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化】(2023河北景縣期中,16,★★☆)某同學(xué)在研究傳統(tǒng)文化“抖空竹”時(shí)有一個(gè)發(fā)現(xiàn):把它抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題,如圖所示,已知AB∥CD,∠BAE=87°,∠DCE=121°,則∠E的度數(shù)是( )
A.28° B.34°
C.46° D.56°
20.【中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化】(2023山東煙臺(tái)中考,12,★★☆)一桿古秤在稱物時(shí)的狀態(tài)如圖所示,已知∠1=102°,則∠2的度數(shù)為 .
21.(2023河北獻(xiàn)縣月考,26,★★☆)如圖,已知∠3=∠ABC,且∠AEF=∠ABC.
(1)求證:∠1+∠2=180°;
(2)若∠1=60°,∠AEF=2∠FEC,求∠ECB的度數(shù).
素養(yǎng)探究全練
22.【推理能力】(2023河北石家莊四十二中測(cè)評(píng))如圖,已知AB∥CD.
(1)如圖1,直線EF分別和AB,CD相交于點(diǎn)E,F,求證:∠1=∠2;
(2)如圖2,試猜想∠1,∠2和∠EFD之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(3)如圖3,FH⊥AB于點(diǎn)E,若∠1=40°,求∠EFD的度數(shù).

圖1 圖2 圖3
23.【推理能力】在綜合與實(shí)踐課上,老師讓同學(xué)們以“兩條平行線AB,
CD和一個(gè)含60°角的直角三角尺EFG(∠EFG=90°,∠EGF=60°,∠GEF
=30°)”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng).
操作發(fā)現(xiàn)
(1)如圖1,小明讓三角尺60°角的頂點(diǎn)G落在CD上,若∠2=2∠1,求∠1的度數(shù);
(2)如圖2,小穎讓三角尺的兩個(gè)銳角的頂點(diǎn)E,G分別落在AB,CD上,請(qǐng)你探索并說(shuō)明∠AEF與∠FGC之間的數(shù)量關(guān)系;
結(jié)論應(yīng)用
(3)如圖3,小亮讓三角尺的直角頂點(diǎn)F落在CD上,30°角的頂點(diǎn)E落在AB上,若∠AEG=α,則∠CFG= .(用含α的式子表示)

圖1 圖2 圖3
答案全解全析
基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練
1.A 如圖,∵直線a∥b,∠1=45°,
∴∠3=∠1=45°,∴∠2=180°-45°=135°.故選A.
2.D ∵直線l1∥l2,∴∠1+∠3=180°,故選D.
3.B ∵∠1=∠C,∴AE∥BC,∴∠2=∠B,∵AE為∠FAB的平分線,
∴∠1=∠2,∴∠B=∠C,故A,C,D選項(xiàng)結(jié)論正確;B選項(xiàng)中,∠C與∠FAB不一定互為補(bǔ)角,故結(jié)論錯(cuò)誤.故選B.
方法解讀 對(duì)于角平分線+平行線模型,它的基本題目形態(tài)就是題目中會(huì)給出平行或一眼就能看出平行的條件,以及給出角平分線.它的基本解題思路就是將相等的角度都找出來(lái)之后,進(jìn)行等量代換,并且在進(jìn)行角度的等量代換的過(guò)程中,可以發(fā)現(xiàn)更多的“隱藏條件”,為解題提供思路.
4.D ∵紙條的兩邊互相平行,∴∠1=∠2,∠3=∠4,∠4+∠5=180°,故①②④結(jié)論正確;∵三角板是直角三角板,∴∠2+∠4=180°-90°=90°,∵∠3=∠4,∴∠2+∠3=90°,故③結(jié)論正確.綜上所述,正確的個(gè)數(shù)是4.故選D.
5.104
解析 如圖所示,
∵AB∥CD,∴∠1=∠3=76°.
∵∠2與∠3是鄰補(bǔ)角,∴∠2+∠3=180°.
∴∠2=180°-∠3=180°-76°=104°.
6.15°
解析 如圖所示,
由題意知∠1=45°,∠2=30°,
∵AB∥DC,∴∠BAE=∠1=45°,
∴∠CAE=∠BAE-∠2=45°-30°=15°.
7.解析 ∵AB∥CD,∴∠1+∠BEF=180°,
∴∠BEF=180°-72°=108°,
∵EG平分∠BEF,
∴∠BEG=12∠BEF=12×108°=54°,
又∵AB∥CD,∴∠BEG=∠2=54°,
故∠2的度數(shù)為54°.
8.解析 ∵AC∥DF,∴∠C=∠CEF,
又∵∠C=∠D,∴∠D=∠CEF,
∴BD∥CE,
∴∠1+∠2=180°,
∴∠2=180°-∠1=180°-60°=120°.
9.解析 AB∥CD,理由如下:
∵M(jìn)N∥EF,∴∠2=∠3,
∵∠1=∠2,∠2=∠3,∠3=∠4,
∴∠1+∠2=∠3+∠4,
∵∠1+∠ABC+∠2=180°,∠3+∠BCD+∠4=180°,
∴∠ABC=∠BCD,∴AB∥CD.
10.解析 (1)兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等.
(2)錯(cuò)誤.
(3)∵AB∥CD(已知),
∴∠A=∠AFC(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等),
∵∠A=∠D(已知),∴∠AFC=∠D(等量代換),
∴AF∥ED(同位角相等,兩直線平行).
11.D 若其余電線桿都與電線桿①平行,則判斷其余電線桿兩兩平行的根據(jù)是平行于同一條直線的兩條直線平行.故選D.
12.D 應(yīng)補(bǔ)充“∴∠4=∠5,”.故選D.
13.D 如圖,過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB,∵AB∥CD,∴AB∥EF∥CD,
∴∠B=∠BEF,∠D=∠FED,
∴∠BED=∠BEF+∠FED=∠B+∠D=23°+42°=65°.故選D.
方法解讀 解決此類問(wèn)題的方法是過(guò)中間夾角的頂點(diǎn)作一條直線(已知平行線中的一條)的平行線,借助平行線的性質(zhì)解題.
14.解析 平行.理由如下:
∵AB⊥BD,CD⊥BD,∴∠ABD=90°,∠CDB=90°,
∴∠ABD+∠CDB=180°,∴AB∥CD,
∵∠1+∠2=180°,∴AB∥EF,∴CD∥EF.
15.解析 如圖,過(guò)F作FH∥AB,
∵AB∥CD,∴FH∥AB∥CD,
∴∠EMB=∠EFH,∠DNG=∠HFG.
∵∠EFG=115°,∠EMB=55°,∠EFG=∠EFH+∠HFG,
∴∠DNG=∠HFG=∠EFG-∠EFH=115°-55°=60°.
16.解析 解法一:如圖,分別過(guò)點(diǎn)E,F作EM∥AB,FN∥AB,∵AB∥CD,
∴EM∥AB∥NF∥CD,
∴∠BEM=∠B=30°,
∠NFD=180°-∠D=60°,
∠EFN=∠MEF,
∴∠MEF=∠BEF-∠BEM=30°,
∴∠EFN=∠MEF=30°,
∴∠DFE=∠NFD+∠EFN=90°.
解法二:如圖,延長(zhǎng)EF交CD的延長(zhǎng)線于H,延長(zhǎng)FE交BA于點(diǎn)G,
∵AB∥CD,
∴∠BGE=∠H,
∵∠BEF=60°,
∴∠BEG=180°-∠BEF=120°.
∵∠B=30°,∴∠BGE=180°-120°-30°=30°,
∴∠H=30°.∵∠CDF=120°,
∴∠FDH=180°-∠CDF=60°,
∴∠DFH=180°-30°-60°=90°,
∴∠DFE=180°-∠DFH=90°.
能力提升全練
17.A ∵∠1=40°,
∴∠BEF=180°-∠1=180°-40°=140°,
∵EG平分∠BEF,∴∠BEG=∠FEG=70°,
∵AB∥CD,
∴∠2=∠BEG=70°.故選A.
18.C ∵長(zhǎng)方形紙片對(duì)邊平行,
∴∠DEF=∠EFB=60°,
由翻折的性質(zhì)得∠D'EF=∠DEF=60°,
∴∠AED'=180°-∠D'EF-∠DEF=180°-60°-60°=60°.故選C.
19.B 如圖,過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB,
∵AB∥CD,∴AB∥EF∥CD,
∴∠BAE+∠AEF=180°,∠DCE+∠CEF=180°,
∵∠BAE=87°,∠DCE=121°,
∴∠AEF=180°-∠BAE=180°-87°=93°,∠CEF=180°-∠DCE=180°-121°
=59°,
∴∠AEC=∠AEF-∠CEF=93°-59°=34°,故選B.
20.78°
解析 如圖,由題意得AB∥CD,∴∠2=∠BCD,
∵∠1=102°,∴∠BCD=180°-∠1=78°,∴∠2=78°.
21.解析 (1)證明:∵∠3=∠ABC,∠AEF=∠ABC,
∴∠3=∠AEF,∴AB∥FD,∴∠2=∠FDE,
∵∠1+∠FDE=180°,∴∠1+∠2=180°.
(2)∵∠1+∠2=180°,∠1=60°,
∴∠2=180°-60°=120°,
∵∠AEF=2∠FEC,∠AEF+∠FEC+∠2=180°,
∴3∠FEC+120°=180°,∴∠FEC=20°,
∵∠AEF=∠ABC,∴EF∥BC,
∴∠CEF=∠ECB,∴∠ECB=20°.
素養(yǎng)探究全練
22.解析 (1)證明:∵AB∥CD,∴∠2=∠EFD,
∵∠1=∠EFD,∴∠1=∠2.
(2)結(jié)論:∠1+∠2=∠EFD.
證明:如圖,過(guò)F點(diǎn)作FG∥AB,
∵FG∥AB,AB∥CD,
∴AB∥FG∥CD,
∴∠1=∠DFG,∠2=∠EFG,
∴∠1+∠2=∠DFG+∠EFG=∠EFD,
即∠1+∠2=∠EFD.
(3)如圖,過(guò)F點(diǎn)作FG∥AB,
∵FG∥AB,AB∥CD,
∴AB∥FG∥CD,
∴∠EFG=∠AEF,∠DFG=∠1=40°,
∵FH⊥AB,∴∠AEF=90°,∴∠EFG=90°,
∴∠EFD=∠EFG+∠DFG=90°+40°=130°.
23.解析 (1)∵AB∥CD,∴∠1=∠EGD.
又∵∠2=2∠1,∴∠2=2∠EGD.
∵∠FGE=60°,∠2+∠FGE+∠EGD=180°,
∴3∠EGD+60°=180°,
∴∠EGD=40°,∴∠1=40°.
(2)∠AEF+∠FGC=90°.理由如下:
方法一:∵AB∥CD,∴∠AEG+∠CGE=180°,
即∠AEF+∠FEG+∠EGF+∠FGC=180°,
由題意知∠FEG+∠EGF=90°,
∴∠AEF+∠FGC=90°.
方法二:如圖,過(guò)點(diǎn)F作FH∥AB,則FH∥AB∥CD,
∴∠AEF=∠EFH,
∠HFG=∠FGC,
∴∠AEF+∠FGC=∠EFH+∠HFG=∠EFG=90°.
(3)60°-α.
提示:∵AB∥CD,∴∠AEF+∠CFE=180°,
即∠AEG+∠FEG+∠EFG+∠CFG=180°.
又∵∠EFG=90°,∠FEG=30°,∠AEG=α,
∴∠CFG=180°-90°-30°-α=60°-α.
已知:如圖,b∥a,c∥a,
求證:b∥c.
證明:作直線DF分別交直線a,b,c于點(diǎn)D,E,F,
∵a∥b,∴∠1=∠4,
∵a∥c,∴∠1=∠5,
∴b∥c.

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7.5 平行線的性質(zhì)

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