1.拋物線x=4y2的準(zhǔn)線方程是( )
A. y=12B. y=?1C. x=?116D. x=18
2.在長方體ABCD?A1B1C1D1中，O為線段AC的中點，則OA1+AD+AB=( )
A. AD1B. OB1C. OC1D. OD1
3.已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線過點(1,12)，則C的離心率是( )
A. 2B. 52C. 62D. 72
4.設(shè)m∈R，則直線l：mx+y?m?1=0與圓x2+y2=2的位置關(guān)系為( )
A. 相離B. 相切C. 相交或相切D. 相交
5.已知平面α內(nèi)的三點A(0,0,1)，B(0,?1,0)，C(?1,0,1)，直線l的方向向量是a=(?1,?1,?1)，則直線l與平面α的位置關(guān)系是( )
A. 垂直B. 平行C. 在平面內(nèi)D. 平行或在平面內(nèi)
6.新冠疫情防控期間，某鎮(zhèn)醫(yī)院派3位醫(yī)生到4個不同的學(xué)校進(jìn)行核酸檢測，每位醫(yī)生至少去一個學(xué)校且至多去兩個學(xué)校，每個學(xué)校只安排一位醫(yī)生，則所有不同的情況共有( )
A. 24種B. 36種C. 48種D. 72種
7.已知點(a,b)的橫縱坐標(biāo)均是集合N={?2,?3,?4,0,5,6}中的元素，若點(a,b)在第二象限內(nèi)的情況共有n種，則( x+2x)n的展開式中的第5項為( )
A. 240x?3B. 80x?3C. 192x?92D. 400x?92
8.吹奏樂器“塤”(如圖1)在古代通常是用陶土燒制的，一種塤的外輪廓的上部是半橢圓，下部是半圓.半橢圓y2a2+x2b2=1(y≥0,a>b>0且為常數(shù))和半圓x2+y2=b2(y0,b>0)上，且直線AB，AD的斜率之積是19，則該雙曲線的漸近線方程是______．
四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17.(本小題10分)
已知△ABC的頂點B的坐標(biāo)為(5,1)，AB邊上的高所在的直線方程為x?2y?5=0，BC邊上的中線所在的直線方程為2x?y?5=0．
(1)求點A的坐標(biāo)；
(2)求直線BC的方程．
18.(本小題12分)
現(xiàn)有如下定義：除最高數(shù)位上的數(shù)字外，其余每一個數(shù)字均比其左邊的數(shù)字大的正整數(shù)叫“幸福數(shù)”(如346和157都是三位“幸福數(shù)”)．
(1)求三位“幸福數(shù)”的個數(shù)；
(2)如果把所有的三位“幸福數(shù)”按照從小到大的順序排列，求第80個三位“幸福數(shù)”．
19.(本小題12分)
如圖，四棱錐P?ABCD的底面ABCD是正方形，且PB⊥底面ABCD，點E是棱AD的中點．
(1)若H是棱CP的中點，證明：EH/?/平面ABP；
(2)若正方形ABCD的邊長是4，BP=3，點F在棱CP上，且CF=13CP，求直線PC與平面ADF所成角的正弦值．
20.(本小題12分)
已知圓C：(x?3)2+(y?3)2=15，直線l：x+y?2=0是圓E與圓C的公共弦AB所在的直線方程，且圓E的圓心在直線y=2x上．
(1)求圓E的方程．
(2)若動直線l′過點P(0,?4)且與圓E交于點M，N，問：|PM|?|PN|是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．
21.(本小題12分)
設(shè)點F(1,0)，動圓Q經(jīng)過點F且和直線x=?1相切，記動圓的圓心Q的軌跡為曲線C．
(1)求曲線C的方程．
(2)若點A，B(不與坐標(biāo)原點O重合)是曲線C上的兩個動點，且∠AOB=90°，問：在x軸上是否存在定點P使得∠OPA=∠OPB恒成立？若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
22.(本小題12分)
已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的點A(1,32)到左、右焦點F1，F(xiàn)2的距離之和為4．
(1)求橢圓C的方程．
(2)若在橢圓C上存在兩點P，Q，使得直線AP與AQ均與圓(x?2)2+(y?32)2=r2(r>0)相切，問：直線PQ的斜率是否為定值？若是定值，請求出該定值；若不是定值，請說明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵2p=14，
∴p=18，開口向右，
∴準(zhǔn)線方程是x=?116．
故選：C．
先根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程形式，求出p，再根據(jù)開口方向，寫出其準(zhǔn)線方程．
根據(jù)拋物線的方程求其焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，一定要先化為標(biāo)準(zhǔn)形式，求出p2的值，再確定開口方向，否則，極易出現(xiàn)錯誤．
2.【答案】C
【解析】解：∵O為線段AC中點，∴AO=OC且AB+AD=2AO，
則OA1+AD+AB=2AO+OA1=AO+AA1=OC+AA1=OC+CC1=OC1．
故選：C．
利用空間向量的加法法則進(jìn)行求解．
本題考查空間向量的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．
3.【答案】B
【解析】解：由題意可知漸近線方程為y=±bax，
所以(1,12)在y=bax上，所以12=ba，
所以離心率為e=ca= 1+(ba)2= 1+14= 52．
故選：B．
根據(jù)漸近線過(1,12)可得12=ba，進(jìn)而可求離心率．
本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，方程思想，屬基礎(chǔ)題．
4.【答案】C
【解析】解：由mx+y?m?1=0，可得m(x?1)+y?1=0，
即直線恒過定點(1,1)，
因為點(1,1)滿足x2+y2=2，
即定點(1,1)在圓上，
所以直線和圓的位置關(guān)系是相交或相切．
故選：C．
求出直線恒過的定點，根據(jù)圓心到直線的距離與半徑比較即可得答案．
本題考查直線過定點及直線和圓的位置關(guān)系，屬基礎(chǔ)題．
5.【答案】D
【解析】解：平面α內(nèi)的三點A(0,0,1)，B(0,?1,0)，C(?1,0,1)，
AB=(0,?1,?1)，AC=(?1,0,0)，
設(shè)平面α的法向量n=(x,y,z)，
則n?AB=?y?z=0n?AC=?x=0，取y=1，得n=(0,1,?1)，
直線l的方向向量是a=(?1,?1,?1)，
n?a=0?1+1=0，
則直線l與平面α的位置關(guān)系是平行或l?α．
故選：D．
求出平面α的法向量n，由n?a=0，得到直線l與平面α的位置關(guān)系是平行或l?α．
本題考查直線與平行的位置關(guān)系的判斷，考查法向量的求法，線面平行的判斷等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
6.【答案】B
【解析】解：由題意知必有一位醫(yī)生去兩個醫(yī)院，另外兩個醫(yī)院各去一位醫(yī)生，
第一步先將醫(yī)院按2，1，1分為三組共有C42=6種方法，
第二步再把三位醫(yī)生分配到三個小組去，有A33=6種分配方法，
故共有6×6=36種方法．
故選：B．
先將醫(yī)院分三組，其中一組有兩個醫(yī)院，再把三位醫(yī)生分配到三個小組去，即可求解．
本題主要考查排列、組合及簡單計數(shù)問題，屬于基礎(chǔ)題．
7.【答案】A
【解析】解：由題意可知，n=3×2=6，( x+2x)6的展開式的通項為Tr+1=C6r(x12)6?r?(2x?1)r=2rC6rx3?3r2，
則展開式中的第5項為T5=24C64x?3=240x?3．
故選：A．
由分步乘法計數(shù)原理得出n，再由二項式定理得出第5項．
本題主要考查二項式定理，屬于基礎(chǔ)題．
8.【答案】D
【解析】解：由點M( 22,?12)在半圓上，所以b= 32，G(0,a)，A(?b,0)，
要使△AGM的面積最大，可平行移動AG，
當(dāng)AG與半圓相切于M( 22,?12)時，M到直線AG的距離最大，
此時OM⊥AG，即kOM?kAG=?1；
又kOM=?12 22=? 22,kAG=ab，∴? 22?ab=?1，∴a= 2b= 62，
所以半橢圓的方程為4x23+2y23=1(y≥0)．
故選：D．
由點M( 22,?12)在半圓上，可求b，然后求出G，A，根據(jù)已知△AGM的面積最大的條件可知，OM⊥AG，即kOM?kAG=?1，代入可求a，進(jìn)而可求橢圓方程．
本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，圓的方程的應(yīng)用，是中檔題．
9.【答案】BC
【解析】解：∵直線y=ax+b與圓x2+y2=2沒有公共點，∴圓心(0,0)到直線y=ax+b的距離：d=|b| a2+12>r，
將r= 2代入，化簡得，2a2?b2+20，故A錯誤；
選項B：將(2,4)代入得，2×22?42+2=?60，直線AB恒過定點(5,0)；
當(dāng)b=?1時，由Δ=16m2+16b>0可知，要使得點A，B在拋物線C上，則m2>1，
此時直線AB恒過定點(?1,0)，故D錯誤；
故選：AC．
當(dāng)AB垂直與x軸時，|AB|取最小值，求出最值判斷A；由拋物線的定義得出x1=4，|y1|=4，進(jìn)而由面積公式判斷B；由數(shù)量積運(yùn)算得出y1y2=?16，x1x2=16，再結(jié)合基本不等式判斷C；聯(lián)立直線和拋物線方程，由b=5或b=?1得出直線AB恒過定點，從而判斷D．
本題考查直線與拋物線的綜合應(yīng)用，拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，是中檔題．
13.【答案】2x+y?5=0
【解析】解：因為點O(0,0)，P(4,2)，所以線段OP的中點坐標(biāo)為(2,1)，
因為點O(0,0)與點P(4,2)關(guān)于直線l對稱，所以直線l過點(2,1)，且OP⊥l，
而直線OP的斜率kOP=2?04?0=12，所以直線l的斜率k=?1kOP=?2，
可得直線l的方程為y?1=?2(x?2)，整理得2x+y?5=0．
故答案為：2x+y?5=0．
先求出線段OP的中點坐標(biāo)與直線OP的斜率，從而根據(jù)對稱的性質(zhì)得到直線l的斜率，由此利用點斜式求出直線l的方程．
本題主要考查線段的中點坐標(biāo)公式、直線的方程及其應(yīng)用、兩條直線垂直與方程的關(guān)系等知識，屬于基礎(chǔ)題．
14.【答案】 36
【解析】解：將四棱錐補(bǔ)成正方體ABCD?PB′C′D′，
則M、N分別是其所在面的中心，
設(shè)面PB′C′D′的中心為R，AB的中點為S，C′D′的中點為T，
則NR//ST//AM，∠RNC是所求的角(或所求的角的補(bǔ)角)，
∴SC= SB2+BC2= 52a，CN= SN2+SC2= 62a，NR= 22a，ST= 2a，
同理，CT= 52a，CR= CT2+TR2= 62a．
所以，cs∠RNC=64+12?642× 62× 22= 36．
故答案為： 36．
將四棱錐補(bǔ)成正方體ABCD?PB′C′D′，則M、N分別是其所在面的中心，設(shè)面PB′C′D′的中心為R，AB的中點為S，C′D′的中點為T，則NR//ST//AM，∠RNC是所求的角(或所求的角的補(bǔ)角)，由此能求出異面直線AM與CN所成角的余弦值．
本題考查異面直線、正方體結(jié)構(gòu)特征等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
15.【答案】54
【解析】解：若a，b，c只有一個偶數(shù)，
則abc能被4整除時，這個偶數(shù)為4或者8，
再從剩下5個奇數(shù)中選2個奇數(shù)，
則有C21C52=20種；
若a，b，c有兩個偶數(shù)，一個奇數(shù)，
則abc能被4整除，
此時有C42C51=30種；
若a，b，c三個均為偶數(shù)，
則此時有C43=4種，
故滿足條件的所有情況為20+30+4=54種．
故答案為：54．
分三類情況，分別考慮一個偶數(shù)，兩個偶數(shù)以及三個偶數(shù)，利用排列組合即可求解．
本題考查了排列、組合及簡單計數(shù)問題，重點考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬基礎(chǔ)題．
16.【答案】y=±13x
【解析】解：雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)是中心對稱圖形，
故平行四邊形ABCD的頂點B，D關(guān)于原點對稱，如圖，
設(shè)A(x0,y0)，B(x1,y1)，則D(?x1,?y1)，
故x02a2?y02b2=1，x12a2?y12b2=1，
兩式相減，得(x0?x1)(x0+x1)a2?(y0?y1)(y0+y1)b2=0，
所以b2a2=(y0?y1)(y0+y1)(x0?x1)(x0+x1)，即b2a2?kAB?kAD=0，
直線AB，AD的斜率之積是19，所以b2a2=19，所以ba=13，
所以雙曲線的漸近線方程為y=±13x．
故答案為：y=±13x．
利用點差法，結(jié)合條件可得ba=13，再求出漸近線方程即可．
本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想，方程思想，屬中檔題．
17.【答案】解：(1)根據(jù)題意，可得AB邊上的高所在直線的斜率為12，則AB的斜率kAB=?2．
結(jié)合點B(5,1)，可得直線AB的方程為y?1=?2(x?5)，即2x+y?11=0．
因為BC邊上的中線所在的直線方程為2x?y?5=0，該直線必定經(jīng)過A點，
所以由2x+y?11=02x?y?5=0，解得x=4y=3，可得點A的坐標(biāo)為(4,3)；
(2)設(shè)點C(x1,y1)，因為BC的中點在直線2x?y?5=0上，所以2×x1+52?y1+12?5=0，即2x1?y1?1=0．
根據(jù)點C在直線x?2y?5=0上，得x1?2y1?5=0，由2x1?y1?1=0x1?2y1?5=0，解得點C的坐標(biāo)為(?1,?3)．
所以直線BC的斜率k1=1+35+1=23，可知直線BC的方程是y?1=23(x?5)，即2x?3y?7=0．
【解析】(1)因為AB邊上的高所在直線的斜率為12，所以直線AB的斜率kAB=?2，進(jìn)而由點斜式算出直線AB方程，求出交點坐標(biāo)，可得答案；
(2)利用中點坐標(biāo)公式以及點C在直線x?2y?5=0上，建立解方程組，解出點C的坐標(biāo)，進(jìn)而利用點斜式算出直線BC方程．
本題主要考查兩條直線垂直與方程的關(guān)系、直線的方程及兩條直線的交點求法等知識，考查了計算能力、邏輯推理能力，屬于中檔題．
18.【答案】解：(1)根據(jù)題意，可知三位“幸福數(shù)”中不能有0，
故只需在數(shù)字1，2，3，…，9中任取3個，將其從小到大排列，即可得到一個三位“幸福數(shù)”，
每種取法對應(yīng)1個“幸福數(shù)”，則三位“幸福數(shù)”共有C93=84個；
(2)對于所有的三位“幸福數(shù)”，1在最高數(shù)位上的有C82=28個，
2在最高數(shù)位上的有C72=21個，
3在最高數(shù)位上的有C62=15個，
4在最高數(shù)位上的有C52=10個，
5在最高數(shù)位上的有C42=6個．
因為28+21+15+10+6=80，
所以第80個三位“幸福數(shù)”是最高數(shù)位為5的最大的三位“幸福數(shù)”為589．
【解析】(1)由幸福數(shù)的定義結(jié)合組合公式求解即可；
(2)分類討論最高位數(shù)字，由組合公式結(jié)合分類加法計數(shù)原理得出第80個三位“幸福數(shù)”．
本題主要考查了排列組合知識，屬于基礎(chǔ)題．
19.【答案】證明：(1)如圖，取棱BP的中點G，連接HG，AG，
則HG//CB，且HG=12BC．
又AE=12AD，AD//BC，AD=BC，
所以HG/?/AE，HG=AE，
所以四邊形AEHG是平行四邊形，
所以HE/?/AG，
又AG?平面ABP，EH?平面ABP，
所以EH/?/平面ABP；
(2)由題意知，BC，BA，BP兩兩互相垂直，以B為原點，BC，BA，BP所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系B?xyz，

則A(0,4,0)，C(4,0,0)，D(4,4,0)，P(0,0,3)，F(xiàn)(83,0,1)，
所以AD=(4,0,0)，AF=(83,?4,1)，PC=(4,0,?3)．
設(shè)平面ADF的法向量為n=(x,y,z)，
則n?AD=4x=0,n?AF=83x?4y+z=0,
令y=1，得n=(0,1,4)，
設(shè)直線PC與平面ADF所成的角為θ，
則sinθ=|cs?PC,n?|=|PC?n|PC|?|n||=|(4,0,?3)?(0,1,4)5× 17|=12 1785，
故直線PC與平面ADF所成角的正弦值為12 1785．
【解析】(1)取棱BP的中點G，連接HG，AG，可證得HE/?/AG，從而證明EH/?/平面ABP；
(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求出PC與平面ADF的法向量，求出直線PC與平面ADF所成角的正弦值．
本題主要考查直線與平面所成的角，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．
20.【答案】解：(1)由題可知圓C的圓心坐標(biāo)為(3,3)，半徑為 15，
因為圓心C到直線l的距離為|3+3?2| 12+12=2 2，
所以|AB|=2 ( 15)2?(2 2)2=2 7，
由圓E的圓心在直線y=2x上，可設(shè)圓心E(a,2a)，
由題意得CE⊥l，
所以2a?3a?3=1，得a=0，即E(0,0)，
因為點E到直線l的距離為2 2= 2，
所以圓E的半徑為 ( 2)2+( 7)2=3，
所以圓E的方程為x2+y2=9；
(2)不妨設(shè)M在N的上方，
若直線l′的斜率不存在，則|PN|=1，|PM|=7，|PM|?|PN|=7，
若直線l′的斜率存在，設(shè)為k，
則直線l′的方程為y=kx?4，
聯(lián)立方程x2+y2=9y=kx?4，
消去y整理得(1+k2)x2?8kx+7=0，
設(shè)M(x1,y1)，N(x2,y2)，則x1x2=71+k2，
因為|PM|= 1+k2|x1?0|= 1+k2|x1|，|PN|= 1+k2|x2?0|= 1+k2|x2|，
所以|PM|?|PN|=(1+k2)|x1x2|=7，
綜上可得|PM|?|PN|恒為定值，定值為7．
【解析】(1)先利用直線和圓求出公共弦長，設(shè)出圓心，根據(jù)垂直關(guān)系求出圓心，利用公共弦長求出半徑，可得圓的方程；
(2)分斜率是否存在兩種情況，分別求解|PM|，|PN|，結(jié)合韋達(dá)定理可得答案．
本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．
21.【答案】解：(1)由題可知點Q到F的距離與其到直線x=?1的距離相等，
所以曲線C是以F為焦點的拋物線，
設(shè)拋物線的方程為y2=2px(p>0)，則p2=1，得p=2，
故曲線C的方程為y2=4x；
(2)設(shè)直線OA的方程為y=kx(k≠0)，
則直線OB的方程為y=?1kx，
由y=kx,y2=4x,得點A(4k2,4k)，同理可得點B(4k2,?4k)，
假設(shè)在x軸上存在定點P使得∠OPA=∠OPB恒成立，設(shè)點P(x0,0)，
則直線PA的斜率kPA=4k4k2?x0=4k4?k2x0，
直線PB的斜率kPB=?4k4k2?x0，
由∠OPA=∠OPB得kPA+kPB=0，
則有4k4?k2x0=4k4k2?x0，
即4?k2x0=4k2?x0，整理得(k2?1)(x0+4)=0，
顯然當(dāng)x0=?4時，對任意不為0的實數(shù)k，(k2?1)(x0+4)=0恒成立，
即當(dāng)x0=?4時，∠OPA=∠OPB恒成立，
所以在x軸上存在定點P使得∠OPA=∠OPB恒成立，
點P的坐標(biāo)為(?4,0)．
【解析】(1)由條件知點Q到F的距離與其到直線x=?1的距離相等，所以曲線C是以F為焦點的拋物線；
(2)設(shè)直線OA的方程為y=kx(k≠0)，可得點A(4k2,4k)，B(4k2,?4k)，設(shè)點P(x0,0)，由kPA+kPB=0恒成立求得x0為定值．
本題考查了拋物線的性質(zhì)及直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題．
22.【答案】解：(1)因為橢圓上的點到左、右焦點的距離之和為4，
所以2a=4，
解得a=2，
又點A(1,32)在橢圓C上，
解得b2=3，
則橢圓C的方程為x24+y23=1；
(2)易知點A在圓(x?2)2+(y?32)2=r2(r>0)外，且直線AP與AQ的斜率均存在，
不妨設(shè)直線AP，AQ的方程分別為y?32=k1(x?1)，y?32=k2(x?1)，
因為直線AP與圓(x?2)2+(y?32)2=r2(r>0)相切，
所以d1=|k1| 1+k12=r，
又直線AQ與圓(x?2)2+(y?32)2=r2(r>0)相切，
所以d2=|k2| 1+k22=r
此時|k1| 1+k12=|k2| 1+k22，
解得k2=?k1，
聯(lián)立x24+y23=1y?32=k1(x?1)，消去y并整理得(3+4k12)x2+4k1(3?2k1)x+4k12?12k1?3=0，
設(shè)P(xP,yP)，Q(xQ,yQ)，
因為點A(1,32)也是直線AP與橢圓的交點，
所以xP=4k12?12k1?33+4k12，yP=k1xP+32?k1，
又k2=?k1，
則xQ=4k12+12k1?33+4k12，yQ=?k1xQ+32+k1
此時直線PQ的斜率kPQ=yQ?yPxQ?xP=?k1(xQ+xP)+2k1xQ?xP=?k1(4k12+12k1?33+4k12+4k12?12k1?33+4k12)+2k14k12+12k1?33+4k12?4k12?12k1?33+4k12
=?k1(8k12?6)+2k1(3+4k12)24k1=12．
故直線PQ的斜率為定值12．
【解析】(1)由題意，根據(jù)橢圓的定義以及性質(zhì)進(jìn)行求解即可；
(2)設(shè)出直線AP和AQ的方程，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系得出k2=?k1，將直線AP的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理得出點P，Q坐標(biāo)，再利用斜率公式進(jìn)行求解即可．
本題考查橢圓的性質(zhì)以及直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力．

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