?2022-2023學年安徽省亳州市渦陽二中等校聯(lián)考高一（下）期末數(shù)學試卷
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．某數(shù)學興趣小組有10名同學，在一次數(shù)學競賽中成績的名次由小到大排列分別是2，4，5，x，11，14，15，39，41，50．若該小組成績名次的40%分位數(shù)是9.5，則x＝（　?。?br /> A．9 B．8 C．7 D．6
2．已知，則＝（　?。?br /> A． B． C． D．
3．在△ABC中，“A＝B”是“sin2A＝sin2B”的（　　）
A．必要不充分條件 B．充分不必要條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
4．現(xiàn)有10名北京冬奧會志愿者，其中2名女志愿者和8名男志愿者，從中隨機地接連抽取3名（每次取一個），派往參與花樣滑冰項目的志愿者服務．則“恰有一名女志愿者”的概率是（　?。?br /> A． B． C． D．
5．已知正實數(shù)m，n滿足m+n＝1，則的最大值是（　?。?br /> A．2 B． C． D．
6．黃鶴樓，位于湖北省武漢市武昌區(qū)，地處蛇山之巔，瀕臨萬里長江，為武漢市地標建筑．某同學為了估算黃鶴樓的高度，在大樓的一側找到一座高為的建筑物AB，在它們之間的地面上的點M（B，M，D三點共線）處測得樓頂A、樓頂C的仰角分別是15°和60°，在樓頂A處測得樓頂C的仰角為15°，則估算黃鶴樓的高度CD為（　?。?br />
A． B． C． D．
7．一個圓錐的側面展開圖是半徑為2的半圓，則此圓錐內(nèi)切球的體積是（　?。?br /> A． B． C．3π D．
8．在銳角△ABC中，三內(nèi)角A，B，C對應的邊分別為a，b，c，且．則的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分。
（多選）9．對于函數(shù)f（x）＝sinx+有如下四個判斷，其中判斷正確的是（　?。?br /> A．f（x）的定義域是{x|x≠kπ，k∈Z}
B．f（x）的最小值是2
C．π是f（x）的最小正周期
D．f（x）的圖象關于直線x＝對稱
（多選）10．設z1，z2是復數(shù)，，是其共軛復數(shù)，則下列命題中正確的是（　?。?br /> A．若，則z1＝z2＝0
B．若z1+z2＝z1﹣z2，則z1?z2＝0
C．若，則z1＝z2
D．若為實數(shù)，則z1為實數(shù)
（多選）11．在四棱錐S﹣ABCD中，SD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，則下列結論中正確的是（　?。?br /> A．BC∥平面SAD
B．AC與SB所成的角為60°
C．平面SDC⊥平面ABCD
D．BD與平面SCD所成角為45°
（多選）12．某校開展數(shù)理化競賽，甲組有10位選手，其中數(shù)學5人，物理2人，化學3人；乙組也有10位選手，其中數(shù)學4人，物理3人，化學3人．先從甲組中隨機選出一人放到乙組，分別以A1，A2和A3表示由甲組選出的是數(shù)學、物理和化學的事件；再從乙組中隨機選出一人，以B表示由乙組選出的人是數(shù)學選手的事件，則下列結論中正確的是（　?。?br /> A．
B．A1，A2，A3是兩兩互斥的事件
C．事件B與事件A1相互獨立
D．
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13．計算的值是 　 ?。?br /> 14．已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長是4，P是棱BC的中點，過點A、P、C1的平面截該正方體得到的多邊形為α，則α的面積是 　 ?。?br /> 15．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+3）+f（x+1）＝f（2），則f（2024）的值是 　 ?。?br /> 16．已知向量，的夾角為θ，||＝1，||＝2，且對任意的λ＜0，|﹣λ|的最小值是，則θ的大小為 　 　．
四、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17．已知函數(shù)，a∈R．
（1）若f（x）為偶函數(shù)，求a的值；
（2）令g（x）＝f（x）﹣（a+1）．若函數(shù)g（x）在[﹣1，1]上有兩個不同的零點，求a的取值范圍．
18．設a是實數(shù)，復數(shù)（a﹣i）（2i+1）（i是虛數(shù)單位）在復平面內(nèi)對應的點在第四象限．
（1）求a的取值范圍；
（2）若a取負整數(shù)，復數(shù)z滿足2z﹣|z|＝a﹣3i3，求z．
19．如圖，在△ABC中，三內(nèi)角A，B，C對應的邊分別為a，b，c，點E是邊AB的中點，點D是邊AC上一點，BD，CE相交于點P，且．
（1）若，求實數(shù)λ的值；
（2）若，證明：a2+3b2＝3c2．

20．如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側棱AA1⊥平面ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC，E是棱BB1上的動點，D是棱BC的中點．
（1）證明：AD⊥C1E；
（2）若四棱錐D﹣AA1B1B的體積是，且AA1＝2，求△ABC的面積．

21．在△ABC中，三內(nèi)角A，B，C對應的邊分別為a，b，c，．
（1）求角C的大?。?br /> （2）若E是邊AB上的點，且BE＝CE＝3EA，求tanB的值．
22．“以任意三角形的三條邊為邊，向外作三個等邊三角形，則這三個等邊三角形的外接圓的圓心組成一個等邊三角形”，這就是著名的拿破侖定理，在△ABC中，∠A＝120°，以AB，BC，AC為邊向外作三個等邊三角形，其外接圓圓心依次是O1，O2，O3．已知△O1O2O3的面積是，建立如圖所示的直角坐標系，請利用拿破侖定理、坐標法和解三角形等相關知識解決以下兩個問題：
（1）求AB+AC的值；
（2）求△ABC周長的取值范圍．



參考答案
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．某數(shù)學興趣小組有10名同學，在一次數(shù)學競賽中成績的名次由小到大排列分別是2，4，5，x，11，14，15，39，41，50．若該小組成績名次的40%分位數(shù)是9.5，則x＝（　?。?br /> A．9 B．8 C．7 D．6
【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義，計算即可．
解：40%×10＝4，
故40%分位數(shù)是第4、第5個名次數(shù)的平均值，即9.5，
因此，解得x＝8．
故選：B．
【點評】本題考查百分位數(shù)的應用，屬于基礎題．
2．已知，則＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】由已知函數(shù)解析式代入即可直接求解．
解：因為，
所以．
故選：C．
【點評】本題主要考查了函數(shù)值的求解，屬于基礎題．
3．在△ABC中，“A＝B”是“sin2A＝sin2B”的（　?。?br /> A．必要不充分條件 B．充分不必要條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【分析】根據(jù)充分必要條件的定義判斷．
解：A＝B時，sin2A＝sin2B，充分性滿足，
當時，，必要性不滿足，
所以“A＝B”是“sin2A＝sin2B”的充分不必要條件．
故選：B．
【點評】本題主要考查了充分條件和必要條件的定義，屬于基礎題．
4．現(xiàn)有10名北京冬奧會志愿者，其中2名女志愿者和8名男志愿者，從中隨機地接連抽取3名（每次取一個），派往參與花樣滑冰項目的志愿者服務．則“恰有一名女志愿者”的概率是（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】隨機地接連抽取3名志愿者（每次取一個），恰有一名女志愿者”可分3類：僅第一次、僅第二次、僅第三次取到女志愿者，由此計算即可．
解：設C1，C2，C3分別為僅第一次、僅第二次、僅第三次取到女志愿者的事件，
且事件C1，C2，C3互斥，
則；；；
則“恰有一名女志愿者”的概率為．
故選：C．
【點評】本題考查互斥時間的概率公式，屬于基礎題．
5．已知正實數(shù)m，n滿足m+n＝1，則的最大值是（　　）
A．2 B． C． D．
【分析】由已知結合基本不等式即可直接求解．
解：由基本不等式可知，，
即，當且僅當時等號成立．
故選：B．
【點評】本題主要考查了基本不等式在最值求解中的應用，屬于基礎題．
6．黃鶴樓，位于湖北省武漢市武昌區(qū)，地處蛇山之巔，瀕臨萬里長江，為武漢市地標建筑．某同學為了估算黃鶴樓的高度，在大樓的一側找到一座高為的建筑物AB，在它們之間的地面上的點M（B，M，D三點共線）處測得樓頂A、樓頂C的仰角分別是15°和60°，在樓頂A處測得樓頂C的仰角為15°，則估算黃鶴樓的高度CD為（　?。?br />
A． B． C． D．
【分析】Rt△ABM中求得AM，在△ACM中運用正弦定理求得CM，解Rt△CDM求得CD的值．
解：在Rt△ABM中，AM＝，
在△ACM中，∠CAM＝15°+15°＝30°，∠AMC＝180°﹣15°﹣60°＝105°，
所以∠ACM＝180°﹣30°﹣105°＝45°，
由正弦定理，＝，
故CM＝＝＝60，
在Rt△CDM中，CD＝CMsin60°＝60×＝30（m）．
所以估算黃鶴樓的高度CD為30m．
故選：C．
【點評】本題考查了三角形的正弦定理和解三角形的應用問題，也考查了方程思想和運算求解能力，是中檔題．
7．一個圓錐的側面展開圖是半徑為2的半圓，則此圓錐內(nèi)切球的體積是（　　）
A． B． C．3π D．
【分析】求解圓錐的底面半徑與高，然后求解內(nèi)切球的半徑，即可求解球的體積
解：設圓錐的底面半徑是r，母線為l，圓錐的側面展開圖是半徑為2的半圓，
則l＝2，2πr＝2π，r＝1．圓錐的高．如圖：SO＝h，O′為內(nèi)切球的球心，
設圓錐內(nèi)切球的半徑是R，則，即，解得．
因此圓錐內(nèi)切球的體積是．
故選：D．

【點評】本題考查幾何體內(nèi)切球的體積的求法，考查空間想象能力，轉化思想以及計算能力，是中檔題．
8．在銳角△ABC中，三內(nèi)角A，B，C對應的邊分別為a，b，c，且．則的取值范圍是（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】由題意利用正弦定理可得，進而可求A的值，可求，利用正弦定理以及正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解的取值范圍．
解：因為，可得sinA＝，
又，
所以利用正弦定理可得，
因為，，
所以，
而，
所以，
即B+C＝5A，
因此6A＝π，可得，
由和得到，，
因此，，
于是．
故選：C．
【點評】本題考查了正弦定理以及正弦函數(shù)的性質(zhì)的綜合應用，考查了轉化思想和函數(shù)思想的應用，屬于中檔題．
二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分。
（多選）9．對于函數(shù)f（x）＝sinx+有如下四個判斷，其中判斷正確的是（　?。?br /> A．f（x）的定義域是{x|x≠kπ，k∈Z}
B．f（x）的最小值是2
C．π是f（x）的最小正周期
D．f（x）的圖象關于直線x＝對稱
【分析】直接利用函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的性質(zhì)的應用判斷A、B、C、D的結論．
解：函數(shù)f（x）＝sinx+，
對于A：定義域是{x|x≠kπ，k∈Z}，故A正確，
對于B：當sinx＝﹣1時，函數(shù)的值為﹣2，故B錯誤；
對于C：函數(shù)滿足f（x+2π）＝f（x），故函數(shù)的最小正周期為2π，故C錯誤．
對于D：函數(shù)f（x）滿足f（π﹣x）＝f（x），故函數(shù)的圖象關于直線x＝對稱，故D正確．
故選：AD．
【點評】本題考查的知識要點：三角函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的對稱性和定義域及值域的應用，主要考查學生的運算能力和數(shù)學思維能力，屬于基礎題．
（多選）10．設z1，z2是復數(shù)，，是其共軛復數(shù)，則下列命題中正確的是（　　）
A．若，則z1＝z2＝0
B．若z1+z2＝z1﹣z2，則z1?z2＝0
C．若，則z1＝z2
D．若為實數(shù)，則z1為實數(shù)
【分析】對于AC，結合特例，即可判斷；
對于B，結合復數(shù)的四則運算，即可求解；
對于D，結合復數(shù)的四則運算，以及共軛復數(shù)的定義，即可求解．
解：對A，取z1＝1，z2＝i，則，但z1≠0，z2≠0，故A錯誤；
對B，z1+z2＝z1﹣z2，解得z2＝0，
則z1?z2＝0，故B正確；
對C，，則|z1|＝|z2|，
顯然|i|＝|﹣i|，但i≠﹣i，故C錯誤；
對D，設z1＝a+bi，
則，因此，b＝0，則z1為實數(shù)，故D正確．
故選：BD．
【點評】本題主要考查復數(shù)的四則運算，考查轉化能力，屬于基礎題．
（多選）11．在四棱錐S﹣ABCD中，SD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，則下列結論中正確的是（　?。?br /> A．BC∥平面SAD
B．AC與SB所成的角為60°
C．平面SDC⊥平面ABCD
D．BD與平面SCD所成角為45°
【分析】選項A，由線面平行的判定定理，可判斷；
選項B，由AC⊥SD，AC⊥BD，可證AC⊥平面SBD，知AC⊥SB；
選項C，由面面垂直的判定定理，可判斷；
選項D，由SD⊥BC，CD⊥BC，知BC⊥平面SCD，從而有∠BDC即為所求，得解．
解：對于選項A，因為底面ABCD是正方形，所以BC∥AD，
又BC?平面SAD，AD?平面SAD，所以BC∥平面SAD，即選項A正確；
對于選項B，因為SD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以AC⊥SD，
又底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD，
因為SD∩BD＝D，SD、BD?平面SBD，所以AC⊥平面SBD，
因為SB?平面SBD，所以AC⊥SB，即AC與SB所成的角為90°，故選項B錯誤；
對于選項C，因為SD⊥平面ABCD，SD?平面SDC，所以平面SDC⊥平面ABCD，即選項C正確；
對于選項D，因為SD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以SD⊥BC，
又CD⊥BC，且SD∩CD＝D，SD、CD?平面SCD，所以BC⊥平面SCD，
所以∠BDC為直線BD與平面SCD所成角，而∠BDC＝45°，故選項D正確．

故選：ACD．
【點評】本題考查空間角的求法，空間中線與面的位置關系，熟練掌握線面平行的判定定理，線面、面面垂直的判定定理以及線面角的定義是解題的關鍵，考查空間立體感、推理論證能力和運算能力，屬于中檔題．
（多選）12．某校開展數(shù)理化競賽，甲組有10位選手，其中數(shù)學5人，物理2人，化學3人；乙組也有10位選手，其中數(shù)學4人，物理3人，化學3人．先從甲組中隨機選出一人放到乙組，分別以A1，A2和A3表示由甲組選出的是數(shù)學、物理和化學的事件；再從乙組中隨機選出一人，以B表示由乙組選出的人是數(shù)學選手的事件，則下列結論中正確的是（　?。?br /> A．
B．A1，A2，A3是兩兩互斥的事件
C．事件B與事件A1相互獨立
D．
【分析】根據(jù)題意，由古典概型公式可得A正確，由互斥事件的定義可得B正確，由相互獨立事件定義可得C錯誤，由全概率公式可得D正確，綜合可得答案．
解：根據(jù)題意，依次分析選項：
對于A，甲組有10位選手，其中數(shù)學5人，則，A正確；
對于B，甲組選出的可以是數(shù)學、物理和化學，分成三類，且互斥，B正確；
對于C，顯然事件A1是否發(fā)生影響到事件B，事件B與事件A1不獨立，C錯誤；
對于D，由全概率公式，，D正確．
故選：ABD．
【點評】本題考查全概率公式，涉及古典概型和互斥事件的定義，屬于基礎題．
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13．計算的值是 　﹣　．
【分析】由二倍角公式化簡即得．
解：＝＝＝．
故答案為：．
【點評】本題考查二倍角公式的應用，屬于基礎題．
14．已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長是4，P是棱BC的中點，過點A、P、C1的平面截該正方體得到的多邊形為α，則α的面積是 　8?。?br /> 【分析】根據(jù)題意，取A1D1的中點Q，連接AQ、AP、PC1、C1Q，分析可得四邊形APC1Q就是截面多邊形為α，進而可得截面α是菱形，求出其對角線的長，計算可得答案．
解：根據(jù)題意，如圖：取A1D1的中點Q，連接AQ、AP、PC1、C1Q，
易得AP∥QC1，PC1∥AQ，則A、P、C1、Q四點共面，故平行四邊形APC1Q就是截面多邊形為α，
又由AP＝PC1＝AQ＝QC1，則截面α是菱形，
其兩條對角線長分別是和，
故截面α的面積是．
故答案為：8．

【點評】本題考查棱柱的結構特征，涉及平面截棱柱所得截面的問題，屬于基礎題．
15．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+3）+f（x+1）＝f（2），則f（2024）的值是 　0　．
【分析】根據(jù)題意，先分析函數(shù)的周期，利用特殊值求出f（0）的值，進而分析可得答案．
解：根據(jù)題意，由于f（x+3）+f（x+1）＝f（2）①，變形可得f（x+1）+f（x﹣1）＝f（2）②，
①﹣②可得：f（x+3）＝f（x﹣1），即f（x+4）＝f（x），則f（x）是周期為4的周期函數(shù)；
在f（x+3）+f（x+1）＝f（2）中，令x＝﹣1，則f（2）+f（0）＝f（2），所以f（0）＝0，
則f（2024）＝f（0+506×4）＝f（0）＝0，即f（2024）＝0．
故答案為：0．
【點評】本題考查抽象函數(shù)的求值，涉及函數(shù)的周期性，屬于基礎題．
16．已知向量，的夾角為θ，||＝1，||＝2，且對任意的λ＜0，|﹣λ|的最小值是，則θ的大小為 　120°?。?br /> 【分析】先對向量的模長平方得到，再根據(jù)運算即可得到，進一步計算即可．
解：已知向量，的夾角為θ，||＝1，||＝2，
所以＝1﹣4λcosθ+4λ2＝＝＝，
又，
所以，即．因為θ∈[0，π]，所以，θ＝60°或120°．驗證知，θ＝120°，
故答案為：120°．
【點評】本題主要考查向量的模長公式以及數(shù)量積運算，屬于中檔題．
四、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17．已知函數(shù)，a∈R．
（1）若f（x）為偶函數(shù)，求a的值；
（2）令g（x）＝f（x）﹣（a+1）．若函數(shù)g（x）在[﹣1，1]上有兩個不同的零點，求a的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)題意，由偶函數(shù)的定義可得f（﹣x）＝f（x），即，變形分析可得答案；
（2）根據(jù)題意，令g（x）＝0分析可得x1＝log3a，x2＝0，分析可得﹣1≤log3a≤1且log3a≠0，解可得答案．
解：（1）根據(jù)題意，函數(shù)為偶函數(shù)，
則有f（﹣x）＝f（x），即，
變形可得：（a﹣1）（9x﹣1）＝0，故a＝1，
（2）根據(jù)題意，若g（x）＝f（x）﹣（a+1）＝0，則有，
變形可得9x﹣（a+1）?3x+a＝0，則有（3x﹣a）?（3x﹣1）＝0，
解可得：x1＝log3a，x2＝0．
若函數(shù)g（x）在[﹣1，1]上有兩個不同的零點，
而0∈[﹣1，1]，
必有﹣1≤log3a≤1且log3a≠0，解得，且a≠1；
故a的取值范圍是．
【點評】本題考查函數(shù)零點與方程根的關系，涉及對數(shù)的運算，屬于基礎題．
18．設a是實數(shù)，復數(shù)（a﹣i）（2i+1）（i是虛數(shù)單位）在復平面內(nèi)對應的點在第四象限．
（1）求a的取值范圍；
（2）若a取負整數(shù)，復數(shù)z滿足2z﹣|z|＝a﹣3i3，求z．
【分析】（1）根據(jù)已知條件，結合復數(shù)的四則運算，以及復數(shù)的幾何意義，即可求解；
（2）根據(jù)已知條件，結合復數(shù)模公式，以及復數(shù)相等的條件，即可求解．
解：（1）（a﹣i）（2i+1）＝a+2+（2a﹣1）i，
則a+2＞0，且2a﹣1＜0，解得．
故a的取值范圍是；
（2）因為，且a取負整數(shù)，
所以a＝﹣1，
設z＝b+ci，b，c∈R．則2z﹣|z|＝a﹣2i3，即，
所以，解得b＝0，c＝1，
故z＝i．
【點評】本題主要考查復數(shù)的四則運算，屬于基礎題．
19．如圖，在△ABC中，三內(nèi)角A，B，C對應的邊分別為a，b，c，點E是邊AB的中點，點D是邊AC上一點，BD，CE相交于點P，且．
（1）若，求實數(shù)λ的值；
（2）若，證明：a2+3b2＝3c2．

【分析】（1）由平面向量的線性運算和平面向量基本定理即可求得；
（2）由平面向量垂直的性質(zhì)和余弦定理化簡即可．
解：（1）因為B，P，D三點共線，
所以存在實數(shù)m，使，
與條件比較，
得到且，
故；
證明：（2）∵，＝，
∴＝＝
＝＝＝0，
即，
化簡整理得：a2+3b2＝3c2．
【點評】本題考查平面向量的線性運算，夾角與數(shù)量積，余弦定理的綜合，屬于中檔題．
20．如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側棱AA1⊥平面ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC，E是棱BB1上的動點，D是棱BC的中點．
（1）證明：AD⊥C1E；
（2）若四棱錐D﹣AA1B1B的體積是，且AA1＝2，求△ABC的面積．

【分析】（1）根據(jù)AA1⊥平面ABC，得出CC1⊥平面ABC，平面ABC⊥平面BCC1B1，再證明AD⊥BC，得出AD⊥平面CBB1C1，即可證明AD⊥C1E．
（2）根據(jù)四棱錐D﹣AA1B1B的體積為AA1?AB?DF，求出AD?DF的值，從而求出△ABC的面積．
【解答】（1）證明：因為AA1⊥平面ABC，AA1∥CC1，所以CC1⊥平面ABC，
又CC1?平面BCC1B1，所以平面ABC⊥平面BCC1B1，
因為棱BC的中點為D，且△ABC是等腰三角形，所以AD⊥BC，
又AD?平面ABC，平面ABC?平面CBB1C1＝BC，
所以AD⊥平面CBB1C1，
又因為C1E?面CBB1C1，所以AD⊥C1E．
（2）解：過點D作DF⊥AB于F，則DF⊥平面AA1B1B，
所以四棱錐D﹣AA1B1B的體積為＝AA1?AB?DF，
即×2×AB×DF＝，解得AD×DF＝，
所以△ABC的面積為AB?2DF＝AB?DF＝．

【點評】本題考查了空間幾何體的體積計算問題，也考查了空間中的垂直關系應用問題，是中檔題．
21．在△ABC中，三內(nèi)角A，B，C對應的邊分別為a，b，c，．
（1）求角C的大??；
（2）若E是邊AB上的點，且BE＝CE＝3EA，求tanB的值．
【分析】（1）由正弦定理和三角恒等變換知識化簡即可；
（2）由正弦定理和三角恒等變換知識化簡即可．
解：（1）由正弦定理及，
得，
即，
即，
∵A∈（0，π），∴sinA≠0，
∴，．
∵C∈（0，π），∴；
（2）∵BE＝CE，∴∠BCE＝B，
在△ACE中，，
即，
∴，
∴，
∴＝，
∴，
∴．

【點評】本題考查由正弦定理和三角恒等變換解三角形，屬于中檔題．
22．“以任意三角形的三條邊為邊，向外作三個等邊三角形，則這三個等邊三角形的外接圓的圓心組成一個等邊三角形”，這就是著名的拿破侖定理，在△ABC中，∠A＝120°，以AB，BC，AC為邊向外作三個等邊三角形，其外接圓圓心依次是O1，O2，O3．已知△O1O2O3的面積是，建立如圖所示的直角坐標系，請利用拿破侖定理、坐標法和解三角形等相關知識解決以下兩個問題：
（1）求AB+AC的值；
（2）求△ABC周長的取值范圍．

【分析】（1）由平面幾何知識將O1，O3的坐標用AB，AC的長度表示出來，再由兩點間的距離公式和三角形的面積公時建立等量關系求出AB+AC；
（2）在△ABC中，由余弦定理求出BC，再由基本不等式即可求周長的取值范圍．
解：（1）顯然以AB，AC為邊作的等邊三角形，其中一邊分別在BA，CA的延長線上，
設AB＝x，AC＝y(tǒng)，則，，，
因此，同理可得，
于是＝，
由拿破侖定理知，ΔO1O2O3是等邊三角形，
＝，∴，
即，∴，∴；
（2）在△ABC中，由余弦定理得：，
所以△ABC的周長，
∵（x+y）2＝x2+y2+2xy≥4xy，所以0＜xy≤3，當且僅當時取等號，
∴9≤12﹣xy＜12，∴，
于是，
∴△ABC周長的取值范圍是．
【點評】本題考查余弦定理、三角形的面積公式，基本不等式的綜合，屬于中檔題．

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