1.在實(shí)數(shù)1、?1、 2、32中，最大的數(shù)是( )
A. 1B. ?1C. 2D. 32
2.下列各式運(yùn)算正確的是( )
A. a2+2a3=3a5B. a2?a3=a6C. (?a2)4=?a8D. a8÷a2=a6
3.空氣的成分(除去水汽、雜質(zhì)等)是：氮?dú)饧s占78%，氧氣約占21%，其他微量氣體約占1%.要反映上述信息，宜采用的統(tǒng)計(jì)圖是( )
A. 條形統(tǒng)計(jì)圖B. 折線統(tǒng)計(jì)圖C. 扇形統(tǒng)計(jì)圖D. 頻數(shù)分布直方圖
4.已知a?b+2=5，則代數(shù)式a2?b2?6b的值為( )
A. 3B. 6C. 9D. 12
5.如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線與△ABC的外角平分線交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作EF//BC，交AB于E，交AC于F，若BE=8，CF=6，則EF的長(zhǎng)是( )
A. 4
B. 2.5
C. 1.5
D. 2
6.四邊形ABCD的邊長(zhǎng)如圖所示，對(duì)角線AC的長(zhǎng)度隨四邊形形狀的改變而變化.當(dāng)△ABC為等腰三角形時(shí)，△ABC的面積為( )
A. 3 32
B. 3 7
C. 3 7或3 32
D. 15
7.如圖，在△ABC中，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于12AC的長(zhǎng)為半徑作弧(弧所在圓的半徑都相等)，兩弧相交于M，N兩點(diǎn)，直線MN分別與邊BC，AC相交于點(diǎn)D，E，連接AD.若BD=DC，AE=4，AD=5，則AB的長(zhǎng)為( )
A. 9B. 8C. 7D. 6
8.如圖是一塊長(zhǎng)方體木塊，長(zhǎng)BC=5cm，寬CD=4cm，高DD1=5cm，棱DD1上的點(diǎn)P處有一滴蜂蜜，DP=3cm，一只螞蟻要從長(zhǎng)方體木塊的一個(gè)頂點(diǎn)B處，沿著長(zhǎng)方體的表面爬行到點(diǎn)P處吃蜂蜜，那么螞蟻需要爬行的最短路徑的長(zhǎng)是( )
A. 74cm
B. 4 5cm
C. 3 10cm
D. 10cm
9.如圖，在四邊形ABCD中，AB=3，BC=2，CD=1，AD= 14且∠BCD=90°，則四邊形ABCD的面積為( )
A. 1+32 5
B. 1+3 5
C. 1+2 5
D. 1+32 14
10.在△ABC和△A′B′C′中，∠B=∠B′=30°，AB=A′B′=6，AC=A′C′=4，已知∠C=n°，則∠C′=( )
A. 30°B. n°C. n°或180°?n°D. 30°或150°
二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。
11.計(jì)算：3(?1)3=______.
12.分解因式：x3?9x=__________.
13.如圖，已知∠ABC=∠DCB，添加下列條件中的一個(gè)：①∠A=∠D，②AC=DB，③AB=DC，其中不能確定△ABC≌△DCB的是_____(只填序號(hào)).
14.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D為AC上一點(diǎn)，若BD是∠ABC的角平分線，則AD=______.
15.如圖，在△ABC中，AB=AC，∠B=70°，以點(diǎn)C為圓心，CA長(zhǎng)為半徑作弧，交直線BC于點(diǎn)P，連接AP，則∠BAP的度數(shù)是______.
三、解答題：本題共8小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
16.(本小題10分)
(1)計(jì)算：|? 22|?(3?9)3+327? 81? (?12)2；
(2)化簡(jiǎn)[(?ab2)3+ab2?(ab)2?2b2]÷(?2b)2.
17.(本小題8分)
先化簡(jiǎn)，再求值：(2x+1)(1?2x)?2(x+2)(x?4)+(2x?1)2，其中x=? 3.
18.(本小題9分)
發(fā)現(xiàn)兩個(gè)已知正整數(shù)之和與這兩個(gè)正整數(shù)之差的平方和一定是偶數(shù)，且該偶數(shù)的一半也可以表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方和．
驗(yàn)證，(2+1)2+(2?1)2=10為偶數(shù)．請(qǐng)把10的一半表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方和；
探究，設(shè)“發(fā)現(xiàn)”中的兩個(gè)已知正整數(shù)為m，n，請(qǐng)論證“發(fā)現(xiàn)”中的結(jié)論正確．
19.(本小題9分)
為了引導(dǎo)學(xué)生積極參與體育運(yùn)動(dòng)，某校舉辦了一分鐘跳繩比賽，隨機(jī)抽取了m名學(xué)生，將一分鐘跳繩的次數(shù)進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，并根據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制了如下的統(tǒng)計(jì)圖和統(tǒng)計(jì)表：
請(qǐng)結(jié)合上述信息完成下列問題：
(1)m=______，a=______；
(2)請(qǐng)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；
(3)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，“良好”等級(jí)對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)是______；
(4)若該校有1600名學(xué)生，根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果，請(qǐng)估計(jì)該校有多少名學(xué)生一分鐘跳繩次數(shù)達(dá)到合格及以上.
20.(本小題9分)
如圖，在△ABC和△DCE中，AC=DE，∠B=∠DCE=90°，點(diǎn)A、C、D依次在同一直線上，且AB//DE.
(1)求證：△ABC≌△DCE；
(2)連接AE，當(dāng)BC=5，AB=12時(shí)，求△ADE的DE邊上的高.
21.(本小題9分)
學(xué)習(xí)勾股定理之后，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)證明勾股定理有很多方法．某同學(xué)提出了一種證明勾股定理的方法：如圖1點(diǎn)B是正方形ACDE邊CD上一點(diǎn)，連接AB，得到直角三角形ACB，三邊分別為a，b，c，將△ACB裁剪拼接至△AEF位置，如圖2所示，該同學(xué)用圖1、圖2的面積不變證明了勾股定理．請(qǐng)你寫出該方法證明勾股定理的過程．
22.(本小題10分)
如圖是盼酚家新裝修的房子，其中兩個(gè)房間甲、乙，他將一個(gè)梯子斜靠在墻上，梯子頂端距離地面的垂直距離記作MA，如果梯子的底端P不動(dòng)，頂端靠在對(duì)面墻上，此時(shí)梯子的頂端距離地面的垂直距離記作NB.
(1)當(dāng)他在甲房間時(shí)，測(cè)得MA=2.4米，MP=2.5米，且∠MPN=90°，求甲房間的寬AB；
(2)當(dāng)在乙房間時(shí)，他用另一個(gè)梯子，測(cè)得MA=2.8米，且∠MPA=75°，∠NPB=45°.
①∠MPN的度數(shù)；
②求乙房間的寬.
23.(本小題11分)
如圖1，已知△ABC和△DCE為等腰直角三角形，按如圖的位置擺放，直角頂點(diǎn)C重合．
(1)直接寫出AD與BE的關(guān)系；
(2)將△DCE按如圖2的位置擺放，使點(diǎn)A、D、E在同一直線上，求證：AE2+AD2=2AC2；
(3)將△DCE按如圖3的位置擺放，使∠CBD=45°，AC=6，BD=3，求BE的長(zhǎng)．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵ 2≈1.414，
∴32> 2>1>?1，
∴最大的數(shù)是32，
故選：D.
先求出 2的近似值，然后根據(jù)正負(fù)數(shù)的大小比較即可．
本題考查了實(shí)數(shù)的大小比較，算術(shù)平方根，熟練掌握實(shí)數(shù)的大小比較方法是解題的關(guān)鍵．
2.【答案】D
【解析】解：A、a2與a3不是同類項(xiàng)，不能合并，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、a2?a3=a2+3=a5，故本選項(xiàng)不符合題意；
C、應(yīng)為(?a2)4=(?1)4a8=a8，故本選項(xiàng)不符合題意；
D、a8÷a2=a8?2=a6，故本選項(xiàng)符合題意．
故選：D.
根據(jù)同類項(xiàng)，同底數(shù)冪乘法，積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘，同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變指數(shù)相減，對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．
本題考查積的乘方的性質(zhì)，同底數(shù)冪乘法，同底數(shù)冪的除法以及合并同類項(xiàng)，熟練掌握運(yùn)算性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，合并同類項(xiàng)時(shí)，不是同類項(xiàng)的一定不要合并．
3.【答案】C
【解析】解：氮?dú)饧s占78%，氧氣約占21%，其他微量氣體約占1%.要反映上述信息，宜采用的統(tǒng)計(jì)圖是扇形統(tǒng)計(jì)圖．
故選：C.
根據(jù)扇形統(tǒng)計(jì)圖的特點(diǎn)：①用扇形的面積表示部分在總體中所占的百分比；②易于顯示每組數(shù)據(jù)相對(duì)于總數(shù)的大小，即可得到答案．
此題考查的是扇形統(tǒng)計(jì)圖的特點(diǎn)，掌握其特點(diǎn)是解決此題的關(guān)鍵．
4.【答案】C
【解析】解：∵a?b+2=5，
∴a?b=3，
∴a2?b2?6b
=(a+b)(a?b)?6b
=3(a+b)?6b
=3a?3b
=3(a?b)
=3×3
=9.
故選：C.
直接把已知代入原式，進(jìn)而求出答案．
此題主要考查了代數(shù)式求值，正確把已知代入是解題關(guān)鍵．
5.【答案】D
【解析】解：∵BD平分∠ABC，BE=8，CF=6，
∴∠ABD=∠DBC，
∵EF//BC，
∴∠EDB=∠DBC，
∴∠ABD=∠EDB，
∴EB=ED=8，
同理可得FD=FC=6，
∴EF=EO?FO
=EB?FC
=8?6
=2.
故選：D.
由平行線的性質(zhì)和角平分線的定義可證BE=DE=8，DF=CF=6，即可得出答案．
本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義等知識(shí)，利用角平分線和平行線證明等腰三角形是解題的關(guān)鍵．
6.【答案】B
【解析】解：當(dāng)AC=AB=4時(shí)，
過A作AE⊥BC，交BC于點(diǎn)E，
，
∵BC=6，
∴BE=CE=3，
由勾股定理，AE= AC2?CE2= 7，
S△ABC=12×AE×BC=3 7，
當(dāng)CA=CB=6時(shí)，
∵AC不滿足小于AD+CD，
∴此種情況不存在，
故選：B.
分AC=AB、CA=CB兩種情況討論．
本題考查了勾股定理，關(guān)鍵是注意分類討論．
7.【答案】D
【解析】解：由題意得：MN是AC的垂直平分線，
∴AC=2AE=8，DA=DC，
∴∠DAC=∠C，
∵BD=CD，
∴BD=AD，
∴∠B=∠BAD，
∵∠B+∠BAD+∠C+∠DAC=180°，
∴2∠BAD+2∠DAC=180°，
∴∠BAD+∠DAC=90°，
∴∠BAC=90°，
在Rt△ABC中，BC=BD+CD=2AD=10，
∴AB= BC2?AC2= 102?82=6，
故選：D.
根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得AC=2AE=8，DA=DC，從而可得∠DAC=∠C，再結(jié)合已知易得BD=AD，從而可得∠B=∠BAD，然后利用三角形內(nèi)角和定理可得∠BAC=90°，從而在Rt△ABC中，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，即可解答．
本題考查了勾股定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握勾股定理，以及線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
8.【答案】A
【解析】解：如圖1，
PB= (5+4)2+32=3 10(cm)，
如圖2，
PB= (3+5)2+42)= 79(cm)；
如圖3，
BP= 52+(4+3)2= 74(cm)，
∵3 10> 74，
∴螞蟻需要爬行的最短路徑的長(zhǎng)為 74cm.
故選：A.
把長(zhǎng)方體展開，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．
本題考查了平面展開-最短路徑問題，勾股定理，分類討論是解題的關(guān)鍵．
9.【答案】A
【解析】解：∵∠BCD=90°，BC=2，CD=1，
∴BD= BC2+CD2= 5，
∵AB=3，AD= 14，
∴AB2+BD2=AD2，
∴∠ABD=90°，
∴四邊形ABCD的面積=S△ABD+S△BCD=12AB?BD+12BC?CD
=12×3× 5+12×2×1
=32 5+1.
故選：A.
根據(jù)勾股定理求出BD，根據(jù)勾股定理的逆定理求出∠ABD=90°，根據(jù)三角形的面積公式分別求出△ABD和△BCD的面積，即可得出答案．
本題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理的應(yīng)用，能求出△ABD是直角三角形是解此題的關(guān)鍵．
10.【答案】C
【解析】解：當(dāng)BC=B′C′時(shí)，△ABC≌△A′B′C′(SSS)，
∴∠C′=∠C=n°，
當(dāng)BC≠B′C′時(shí)，如圖，
∵A′C′=A′C′′，
∴∠A′C′′C′=∠C′=n°，
∴∠A′C′′B′=180°?n°，
∴∠C′=n°或180°?n°，
故選：C.
分兩種情況討論，當(dāng)BC=B′C′時(shí)，則△ABC≌△A′B′C′，得出∠C′=∠C=n°，當(dāng)BC≠B′C′時(shí)，如圖，利用等腰三角形的性質(zhì)求得∠A′C′′C′=∠C′=n°，從而求得∠A′C′′B′=180°?n°.
本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形兩底角相等是解題的關(guān)鍵．
11.【答案】?1
【解析】解：3(?1)3=3?1=?1，
故答案為：?1.
根據(jù)立方根的定義進(jìn)行解題即可．
本題考查立方根，熟練掌握立方根的定義是解題的關(guān)鍵．
12.【答案】x(x+3)(x?3)
【解析】解：原式=x(x2?9)
=x(x+3)(x?3)，
故答案為：x(x+3)(x?3).
根據(jù)提取公因式、平方差公式，可分解因式．
本題考查了因式分解，利用了提公因式法與平方差公式進(jìn)行分解，注意分解要徹底．
13.【答案】②
【解析】解：∵已知∠ABC=∠DCB，且BC=CB
∴若添加①∠A=∠D，則可由AAS判定△ABC≌△DCB；
若添加②AC=DB，則屬于邊邊角的順序，不能判定△ABC≌△DCB；
若添加③AB=DC，則屬于邊角邊的順序，可以判定△ABC≌△DCB.
故答案為：②．
一般三角形全等的判定方法有SSS，SAS，AAS，ASA，HL據(jù)此可逐個(gè)對(duì)比求解．
本題考查全等三角形的幾種基本判定方法，只要判定方法掌握得牢固，此題不難判斷．
14.【答案】5
【解析】解：如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，
∵∠C=90°，
∴CD⊥BC，
∵BD是∠ABC的角平分線，CD⊥BC，DE⊥AB，
∴CD=DE，
在Rt△BCD和Rt△BED中，
CD=DEBD=BD，
∴Rt△BCD≌Rt△BED(HL)，
∴BC=BE=6，
在Rt△ABC中，AB= AC2+BC2= 82+62=10，
∴AE=AB?BE=10?6=4，
設(shè)CD=DE=x，則AD=AC?CD=8?x，
在Rt△ADE中，AE2+DE2=AD2，
∴42+x2=(8?x)2，
解得：x=3，
∴AD=8?x=5.
故答案為：5.
過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，由角平分線的性質(zhì)得到CD=DE，再通過HL證明Rt△BCD≌Rt△BED，得到BC=BE=6，根據(jù)勾股定理可求出AB=10，進(jìn)而求出AE=4，設(shè)CD=DE=x，則AD=8?x，在Rt△ADE中，利用勾股定理建立方程求解即可．
本題主要考查角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、解二元一次方程，解題關(guān)鍵是正確作出輔助線，利用角平分線的性質(zhì)和勾股定理解決問題．
15.【答案】15°或75°
【解析】【分析】
根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可以得到△ABC各內(nèi)角的關(guān)系，然后根據(jù)題意，畫出圖形，利用分類討論的方法求出∠BAP的度數(shù)即可．
本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是畫出合適的輔助線，利用分類討論的方法解答．
【解答】
解：如圖所示，
當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，
∵AB=AC，∠ABC=70°，
∴∠ACB=∠ABC=70°，
∴∠BAC=180°?∠ACB?∠ABC=180°?70°?70°=40°，
∵CA=CP1，
∴∠CAP1=∠CP1A=180°?∠ACP12=180°?70°2=55°，
∴∠BAP1=∠CAP1?∠CAB=55°?40°=15°；
當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C的右側(cè)時(shí)，
∵AB=AC，∠ABC=70°，
∴∠ACB=∠ABC=70°，
∴∠BAC=180°?∠ACB?∠ABC=180°?70°?70°=40°，
∵CA=CP2，
∴∠CAP2=∠CP2A=∠ACB2=70°2=35°，
∴∠BAP2=∠CAP2+∠CAB=35°+40°=75°；
由上可得，∠BAP的度數(shù)是15°或75°，
故答案為：15°或75°.
16.【答案】解：(1)|? 22|?(3?9)3+327? 81? (?12)2
=2+9+3?9?12
=92；
(2)[(?ab2)3+ab2?(ab)2?2b2]÷(?2b)2
=(?a3b6+ab2?a2b2?2b2)÷4b2
=(?a3b6+a3b4?2b2)÷4b2
=?14a3b4+14a2b2?12.
【解析】(1)根據(jù)去絕對(duì)值、平方根性質(zhì)、立方根性質(zhì)進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算即可；
(2)根據(jù)整式的乘除法運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算即可．
本題考查了實(shí)數(shù)和整式的運(yùn)算，熟練掌握多項(xiàng)式除單項(xiàng)式運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．
17.【答案】解：(2x+1)(1?2x)?2(x+2)(x?4)+(2x?1)2，
=1?4x2?2(x2?4x+2x?8)+4x2?4x+1
=1?4x2?2x2+8x?4x+16+4x2?4x+1
=?2x2+18，
當(dāng)x=? 3時(shí)，原式=?2×(? 3)2+18
=?2×3+18
=?6+18
=12.
【解析】先根據(jù)平方差公式，多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，完全平方公式進(jìn)行計(jì)算，再合并同類項(xiàng)，最后代入求出答案即可．
本題考查了整式的化簡(jiǎn)求值，能正確根據(jù)整式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)是解此題的關(guān)鍵，注意運(yùn)算順序．
18.【答案】解：驗(yàn)證：5=22+12
探究，理由如下：
(m+n)2+(m?n)2
=m2+2mn+n2+m2?2mn+n2
=2m2+2n2
=2(m2+n2)，
故兩個(gè)已知正整數(shù)之和與這兩個(gè)正整數(shù)之差的平方和一定是偶數(shù)，且該偶數(shù)的一半也可以表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方和．
【解析】寫出兩個(gè)已知正整數(shù)之和與這兩個(gè)正整數(shù)之差的平方和，根據(jù)完全平方公式，合并同類項(xiàng)法則計(jì)算即可求解．
本題考查了完全平方公式的計(jì)算，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出題目中的式子的規(guī)律，寫出相應(yīng)的結(jié)論并進(jìn)行驗(yàn)證．
19.【答案】4014108°
【解析】解：(1)m=10÷25%=40，
a=40?4?12?10=14.
故答案為：40，14；
(2)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖如下：
(3)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，“良好”等級(jí)對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)是360°×1240=108°，
故答案為：108°；
(4)1600×40?440=1440(名)，
答：估計(jì)該校學(xué)生一分鐘跳繩次數(shù)達(dá)到合格及以上的人數(shù)為1440名．
(1)根據(jù)優(yōu)秀等級(jí)的頻數(shù)和所占百分比可求出m，用m減去已知各部分的頻數(shù)可求出n；
(2)根據(jù)合格和優(yōu)秀的人數(shù)，即可補(bǔ)全圖形；
(3)用360°乘以“良好”等級(jí)人數(shù)所占百分比即可；
(4)用總?cè)藬?shù)乘以樣本中一分鐘跳繩次數(shù)達(dá)到合格及以上的人數(shù)所占比例即可．
此題考查查了頻數(shù)分布直方圖，頻數(shù)分布表，扇形統(tǒng)計(jì)圖，以及利用統(tǒng)計(jì)圖獲取信息的能力，解題的關(guān)鍵是根據(jù)直方圖得到進(jìn)一步解題的有關(guān)信息．
20.【答案】(1)證明：∵AB//DE，
∴∠BAC=∠D，
在△ABC和△DCE中，
∠BAC=∠D∠B=∠DCEAC=DE，
∴△ABC≌△DCE(AAS).
(2)解：作AF⊥DE交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，
∵∠B=90°，BC=5，AB=12，
∴AC=DE= BC2+AB2= 52+122=13，
∵△ABC≌△DCE，
∴BC=CE=5，AB=DC=12，
∴AD=AC+DC=13+12=25，
∵∠DCE=90°，
∴CE⊥AD，
∴12DE?AF=12AD?CE=S△ADE，
∴12×13AF=12×25×5，
解得AF=12513，
∴△ADE的DE邊上的高是12513.
【解析】(1)由AB//DE，得∠BAC=∠D，而∠B=∠DCE，AC=DE，即可根據(jù)“AAS”證明△ABC≌△DCE；
(2)作AF⊥DE交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，由∠B=90°，BC=5，AB=12，得AC=DE= BC2+AB2=13，由全等三角形的性質(zhì)得BC=CE=5，AB=DC=12，所以AD=AC+DC=25，由12DE?AF=12AD?CE=S△ADE，得12×13AF=12×25×5，求得AF=12513，則△ADE的DE邊上的高是12513.
此題重點(diǎn)考查平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、根據(jù)面積等式求線段的長(zhǎng)度等知識(shí)與方法，推導(dǎo)出∠BAC=∠D，進(jìn)而證明△ABC≌△DCE是解題的關(guān)鍵．
21.【答案】證明：如圖，連接BF，
∵AC=b，
∴正方形ACDE的面積為b2，
∵CD=DE=AC=b，BC=a，EF=BC=a，
∴BD=CD?BC=b?a，DF=DE+EF=a+b，
∵∠CAE=90°，
∴∠BAC+∠BAE=90°，
∵∠BAC=∠EAF，
∴∠EAF+∠BAE=90°，
∴△BAE為等腰直角三角形，
∴四邊形ABDF的面積為：12c2+12(b?a)(a+b)=12c2+12(b2?a2)，
∵正方形ACDE的面積與四邊形ABDF的面積相等，
∴b2=12c2+12(b2?a2)，
∴b2=12c2+12b2?12a2，
∴12a2+12b2=12c2，
∴a2+b2=c2.
【解析】連接BF，由圖1可得正方形ACDE的面積為b2，由圖2可得四邊形ABDF的面積為三角形ABF與三角形BDF面積之和，再利用正方形ACDE的面積與四邊形ABDF的面積相等即可證明．
本題考查勾股定理的證明，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理的證明方法，一般利用拼圖的方法，再利用面積相等證明．
22.【答案】解：(1)由題意得：MP=PN，MA⊥AB，NB⊥AB，
∴∠MAB=∠NBA=90°，
∴∠AMP+∠APM=90°，
在Rt△MAP中，MA=2.4米，MP=2.5米，
∴AP= MP2?MA2= 2.52?2.42=0.7(米)，
∵∠MPN=90°，
∴∠APM+∠BPN=180°?∠MPN=90°，
∴∠AMP=∠BPN，
∴△MAP≌△PBN(AAS)，
∴MA=PB=2.4米，
∴AB=AP+BP=0.7+2.4=3.1(米)，
∴甲房間的寬AB為3.1米；
(2)①∵∠MPA=75°，∠NPB=45°，
∴∠MPN=180°?∠MPA?∠NPB=60°，
∴∠MPN的度數(shù)為60°；
②過點(diǎn)N作NC⊥AM，垂足為N，
∴∠MCN=90°，
由題意得：MP=NP，
∵∠MPN=60°，
∴△MPN是等邊三角形，
∴MN=MP，∠PMN=60°，
∵∠MAP=90°，∠APM=75°，
∴∠AMP=90°?∠APM=15°，
∴∠CMN=∠AMP+∠PMN=75°，
∴∠CMN=∠APM=75°，
∵∠MCN=∠MAP=90°，
∴△MAN≌△NCM(AAS)，
∴CN=AM=2.8米，
∴乙房間的寬為2.8米．
【解析】(1)根據(jù)題意可得：MP=PN，MA⊥AB，NB⊥AB，從而可得∠MAB=∠NBA=90°，進(jìn)而可得∠AMP+∠APM=90°，再在Rt△MAP中，利用勾股定理可求出AP的長(zhǎng)，然后利用平角定義可得∠APM+∠BPN=90°，從而可得∠AMP=∠BPN，再利用AAS證明△MAP≌△PBN，從而可得MA=PB=2.4米，最后利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答；
(2)①利用平角定義進(jìn)行計(jì)算，即可解答；
②過點(diǎn)N作NC⊥AM，垂足為N，可得∠MCN=90°，根據(jù)題意可得：MP=NP，從而可得△MPN是等邊三角形，進(jìn)而可得MN=MP，∠PMN=60°，然后利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余可得：∠AMP=15°，從而可得∠CMN=∠APM=75°，最后利用AAS證明△MAN≌△NCM，從而利用全等三角形的性質(zhì)可得CN=AM=2.8米，即可解答．
本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
23.【答案】(1)解：AD=BE.
(2)證明：如圖2中，設(shè)AE交BC于O.
由(1)可知△ACD≌△BCE，
所以∠CAO=∠OBE，AD=BE，
因?yàn)椤螦OC=∠BOE，
所以∠BEO=∠ACO=90°，
所以AE2+BE2=AB2，
因?yàn)镃A=CB，∠ACB=90°，
所以AB= 2AC，
所以2AC2=AE2+AD2；
(3)解：如圖③中，連接AD，
因?yàn)镃A=CB=6，∠ACB=90°，
所以∠ABC=45°，AB=6 2，
因?yàn)椤螩BD=45°，
所以∠ABD=90°，
因?yàn)锽D=3，AB=6 2，
所以AD= AB2+BD2= (6 2)2+32=9，
因?yàn)椤螦CB=∠DCE=90°，
所以∠ACD=∠BCE，
所以在△ACD和△BCE中，
AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE，
所以△ACD≌△BCE，
所以AD=BE.
所以BE=9.
【解析】(1)解：結(jié)論：AD=BE.
理由：如圖1中，
因?yàn)椤鰽CB和△DCE為等腰直角三角形，
所以AC=BC，DC=CE，∠ACB=∠DCE，
所以∠ACD=∠ECB，
在△ACD和△BCE中，
AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE，
所以△ACD≌△BCE(SAS)，
所以AD=BE.
(2)見答案；
(3)見答案.
(1)如圖①欲證明AD=BE，只要證明△ACD≌△BCE即可；
(2)如圖②中，設(shè)AE交BC于O.證明∠BEO=90°，可得結(jié)論；
(3)如圖③中，連接AD，首先證明∠ABD=90°，利用勾股定理求出線段AD，再證明△ACD≌△BCE推出BE=AD即可解決問題．
本題考查三角形綜合題、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．等級(jí)
次數(shù)
頻數(shù)
不合格
100≤x

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