2．如圖，在正方形中，點(diǎn)在上，，，點(diǎn)是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是________．
3．化簡(jiǎn)_________________．
4．如圖，□ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，且AB≠AD，過O作OE⊥BD，交BC于點(diǎn)E，若△CDE的周長(zhǎng)為10，則平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)是__________
5．如圖，在菱形中，，，為中點(diǎn)，為對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，連接和，則的最小值是______．
6．我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一副“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”如圖①是我國(guó)古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的.若較短的直角邊BC=5，將四個(gè)直角三角形中較長(zhǎng)的直角邊分別向外延長(zhǎng)一倍，得到圖②所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，若△BCD的周長(zhǎng)是30，則這個(gè)風(fēng)車的外圍周長(zhǎng)是_________.

7．如圖,在菱形ABCD中,邊長(zhǎng)為1,∠A=60?,順次連接菱形ABCD各邊中點(diǎn),可得四邊形；順次連結(jié)四邊形各邊中點(diǎn),可得四邊形；順次連結(jié)四邊形各邊中點(diǎn),可得四邊形；按此規(guī)律繼續(xù)下去，…,則四邊形的面積是_________________．
8．已知，如圖：在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為、，點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)Р的坐標(biāo)為_______________．
9．【情景呈現(xiàn)】畫，并畫的平分線．
(1)把三角尺的直角頂點(diǎn)落在的任意一點(diǎn)上，使三角尺的兩條直角邊分別與的兩邊，垂直，垂足為，，（如圖1）．則．（選填：“＜”、“＞”或“＝”）
(2)把三角尺繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)（如圖2），猜想，的大小關(guān)系，并說明理由．
【理解應(yīng)用】
(3)在（2）的條件下，過點(diǎn)作直線，分別交，于點(diǎn)，，如圖3猜想，，之間的關(guān)系為______．
【拓展延伸】
(4)如圖4，畫，并畫的平分線，在上任取一點(diǎn)，作，的兩邊分別與，相交于，兩點(diǎn)，與相等嗎？請(qǐng)說明理由．
10．如圖所示，在矩形中，cm，cm，點(diǎn)P從A開始沿邊以4m/s的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從C開始沿邊以2m/s的速度運(yùn)動(dòng)，如果點(diǎn)P，Q分別從A，C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t s．
(1)當(dāng)時(shí)，求P，Q兩點(diǎn)之間的距離．
(2)當(dāng)為何值時(shí)，線段與互相平分?
(3)當(dāng)為何值時(shí)，四邊形的面積為矩形面積的．
11．已知：在矩形和中，，.
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在對(duì)角線上，點(diǎn)在邊上時(shí)，連接，取的中點(diǎn)，連接，，則與的數(shù)量關(guān)系是_____，_____；
（2）如圖2，將圖1中的繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，（1）中的其他條件不變．
①（1）中與的數(shù)量關(guān)系仍然成立嗎？請(qǐng)證明你的結(jié)論；
②求的度數(shù).
12．已知Rt△ABD中，邊AB=OB=1，∠ABO=90°
問題探究：
（1）以AB為邊，在Rt△ABO的右邊作正方形ABC，如圖（1），則點(diǎn)O與點(diǎn)D的距離為 ．
（2）以AB為邊，在Rt△ABO的右邊作等邊三角形ABC，如圖（2），求點(diǎn)O與點(diǎn)C的距離．
問題解決：
（3）若線段DE=1，線段DE的兩個(gè)端點(diǎn)D，E分別在射線OA、OB上滑動(dòng)，以DE為邊向外作等邊三角形DEF，如圖（3），則點(diǎn)O與點(diǎn)F的距離有沒有最大值，如果有，求出最大值，如果沒有，說明理由．
13．已知：正方形中，，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交（或它們的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)．
當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)（如圖1），易證．
（1）當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)（如圖2），線段和之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出猜想，并加以證明．
（2）當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，線段和之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的猜想．
14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形OABC為矩形，OA在x軸正半軸上，OC在y軸正半軸上，且A（10，0）、C（0，8）
（1）如圖1，在矩形OABC的邊AB上取一點(diǎn)E，連接OE，將△AOE沿OE折疊，使點(diǎn)A恰好落在BC邊上的F處，求AE的長(zhǎng)；
（2）將矩形OABC的AB邊沿x軸負(fù)方向平移至MN（其它邊保持不變），M、N分別在邊OA、CB上且滿足CN＝OM＝OC＝MN．如圖2，P、Q分別為OM、MN上一點(diǎn)．若∠PCQ＝45°，求證：PQ＝OP+NQ；
（3）如圖3，S、G、R、H分別為OC、OM、MN、NC上一點(diǎn)，SR、HG交于點(diǎn)D．若∠SDG＝135°，HG＝4，求RS的長(zhǎng)．
15．正方形ABCD中，點(diǎn)P是邊CD上的任意一點(diǎn)，連接BP，O為BP的中點(diǎn)，作PE⊥BD．連接EO，AE，EC．于E，連接ED，AE，EC．
（1）當(dāng)∠DAE＝25°時(shí)，求∠AEC的度數(shù)；
（2）當(dāng)∠PBC＝15°時(shí)，DP＝4，求正方形的邊長(zhǎng)；
（3）當(dāng)AE＝時(shí)，求BP的長(zhǎng)．
16．在正方形ABCD中，點(diǎn)E是CD邊上任意一點(diǎn)．連接AE，過點(diǎn)B作BF⊥AE于F．交AD于H．
(1)如圖1，過點(diǎn)D作DG⊥AE于G，求證：△AFB≌△DGA；
(2)如圖2，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，連接DF，求證：FH+FE＝DF；
(3)如圖3，AB＝2，連接EH，點(diǎn)P為EH的中點(diǎn)，在點(diǎn)E從點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過程中，點(diǎn)P隨之運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)
人教版八年級(jí)下冊(cè)第16~18章壓軸題考點(diǎn)訓(xùn)練（二）
1．如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，連接AE，把∠B沿AE折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)處，當(dāng)為直角三角形時(shí)，BE的長(zhǎng)為____
【答案】3或
【分析】當(dāng)△CEB′為直角三角形時(shí)，有兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)B′落在矩形內(nèi)部時(shí)，如答圖1所示．連結(jié)AC，先利用勾股定理計(jì)算出AC=5，根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠AB′E=∠B=90°，而當(dāng)△CEB′為直角三角形時(shí)，只能得到∠EB′C=90°，所以點(diǎn)A、B′、C共線，即∠B沿AE折疊，使點(diǎn)B落在對(duì)角線AC上的點(diǎn)B′處，則EB=EB′，AB=AB′=3，可計(jì)算出CB′=2，設(shè)BE=x，則EB′=x，CE=4-x，然后在Rt△CEB′中運(yùn)用勾股定理可計(jì)算出x．②當(dāng)點(diǎn)B′落在AD邊上時(shí)，如答圖2所示．此時(shí)ABEB′為正方形．
【詳解】當(dāng)△CEB′為直角三角形時(shí)，有兩種情況：
①當(dāng)點(diǎn)B′落在矩形內(nèi)部時(shí)，如答圖1所示．
連結(jié)AC，
在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，
∴AC==5，
∵∠B沿AE折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，
∴∠AB′E=∠B=90°，
當(dāng)△CEB′為直角三角形時(shí)，只能得到∠EB′C=90°，
∴點(diǎn)A、B′、C共線，即∠B沿AE折疊，使點(diǎn)B落在對(duì)角線AC上的點(diǎn)B′處，
∴EB=EB′，AB=AB′=3，
∴CB′=5-3=2，
設(shè)BE=x，則EB′=x，CE=4-x，
在Rt△CEB′中，
∵EB′2+CB′2=CE2，
∴x2+22=（4-x）2，解得，
∴BE=；
②當(dāng)點(diǎn)B′落在AD邊上時(shí)，如答圖2所示．此時(shí)ABEB′為正方形，
∴BE=AB=3．
綜上所述，BE的長(zhǎng)為或3．
故答案為：或3．
【點(diǎn)睛】此題考查了折疊和矩形的性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用，正方形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握折疊和矩形的性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用，正方形的判定和性質(zhì)．
2．如圖，在正方形中，點(diǎn)在上，，，點(diǎn)是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是________．
【答案】5
【分析】根據(jù)題意，連接PA、AE，由正方形的性質(zhì)可知A、C關(guān)于直線BD對(duì)稱，故AE的長(zhǎng)即為PA+PC的最小值，再根據(jù)勾股定理求出AE的長(zhǎng)即可．
【詳解】解：，，
，
，，
如圖，連接，
在正方形中，點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，
，
，
由兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)，，在一條直線上時(shí)，
有最小值，且最小值為，
在中，，，
．
∴的最小值為．
故答案為：5
【點(diǎn)睛】此題主要考查了正方形的性質(zhì)和軸對(duì)稱及勾股定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用，找出最短路徑作法是解題關(guān)鍵．
3．化簡(jiǎn)_________________．
【答案】x
【分析】由題意得，，則，變形為，進(jìn)行計(jì)算即可得．
【詳解】解：由題意得，，
則，
=
=
=
=x，
故答案為：x．
【點(diǎn)睛】本題考查了化簡(jiǎn)二次根式，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的性質(zhì)和求絕對(duì)值法則．
4．如圖，□ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，且AB≠AD，過O作OE⊥BD，交BC于點(diǎn)E，若△CDE的周長(zhǎng)為10，則平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)是__________
【答案】20
【分析】由四邊形是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分、對(duì)邊相等，即可得出，，，又根據(jù)，即可得是的垂直平分線，然后根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，即可得，又由的周長(zhǎng)為10，即可求得平行四邊形的周長(zhǎng)．
【詳解】解：四邊形是平行四邊形，
，，，
，，
的周長(zhǎng)為10，即，
平行四邊形的周長(zhǎng)為：
．
故答案為：20．
【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)與線段垂直平分線的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．
5．如圖，在菱形中，，，為中點(diǎn)，為對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，連接和，則的最小值是______．
【答案】
【分析】根據(jù)題意，作點(diǎn)M關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)N，然后根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可知AN就是PA+PM的最小值，再根據(jù)勾股定理即可求得AN的值，本題得以解決．
【詳解】】解：作點(diǎn)M關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)N，交CD于點(diǎn)N，連接AN，則AN就是PA+PM的最小值，
∵在菱形ABCD中，AB=4，∠ABC=60°，M為AD中點(diǎn)，AC⊥BD，
∴∠ADC=60°，DA=DC，點(diǎn)N為CD的中點(diǎn)，
∴△DAC是等邊三角形，AN⊥CD，
∴AC=AD=AB=4，
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)、軸對(duì)稱-最短路近問題，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
6．我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一副“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”如圖①是我國(guó)古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的.若較短的直角邊BC=5，將四個(gè)直角三角形中較長(zhǎng)的直角邊分別向外延長(zhǎng)一倍，得到圖②所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，若△BCD的周長(zhǎng)是30，則這個(gè)風(fēng)車的外圍周長(zhǎng)是_________.

【答案】76
【詳解】分析：由題意∠ACB為直角，利用勾股定理求得外圍中一條邊，又由AC延伸一倍，從而求得風(fēng)車的一個(gè)輪子，進(jìn)一步求得四個(gè)．
詳解：依題意，設(shè)“數(shù)學(xué)風(fēng)車”中的四個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)為x，AC=y，則x2=4y2+52，
∵△BCD的周長(zhǎng)是30，
∴x+2y+5=30
則x=13，y=6．
∴這個(gè)風(fēng)車的外圍周長(zhǎng)是：4（x+y）=4×19=76．
故答案是：76．
點(diǎn)睛：本題考查了勾股定理在實(shí)際情況中的應(yīng)用，注意隱含的已知條件來解答此類題．
7．如圖,在菱形ABCD中,邊長(zhǎng)為1,∠A=60?,順次連接菱形ABCD各邊中點(diǎn),可得四邊形；順次連結(jié)四邊形各邊中點(diǎn),可得四邊形；順次連結(jié)四邊形各邊中點(diǎn),可得四邊形；按此規(guī)律繼續(xù)下去，…,則四邊形的面積是_________________．
【答案】
【分析】首先利用已知數(shù)據(jù)求出菱形ABCD的面積，易得四邊形A2B2C2D2的面積等于矩形A1B1C1D1的面積的，同理可得四邊形A3B3C3D3的面積等于四邊形A2B2C2D2的面積的，那么等于矩形A1B1C1D1的面積的（）2，同理可得四邊形A2016B2016C2016D2016的面積．
【詳解】如圖，連接AC、BD．則AC⊥BD．
∵菱形ABCD中，邊長(zhǎng)為1，∠A=60°，
∴S菱形ABCD=AC?BD=1×1×sin60°=
∵順次連結(jié)菱形ABCD各邊中點(diǎn)，可得四邊形A1B1C1D1，易證四邊形A1B1C1D1是矩形，
S矩形A1B1C1D1=AC?BD=AC?BD=S菱形ABCD．
同理，S四邊形A2B2C2D2=S矩形A1B1C1D1=S菱形ABCD，S矩形A3B3C3D3=（）3S菱形ABCD．
四邊形A2019B2019C2019D2019的面積是=S菱形ABCD=，故答案為．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形以及中點(diǎn)四邊形的性質(zhì)．找到中點(diǎn)四邊形的面積與原四邊形的面積之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．
8．已知，如圖：在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為、，點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)Р的坐標(biāo)為_______________．
【答案】，，，；
【分析】題中沒指明△ODP的腰長(zhǎng)與底分別是哪個(gè)邊,故應(yīng)該分情況進(jìn)行分析,從而求得點(diǎn)P的坐標(biāo).
【詳解】（1）OD是等腰三角形的底邊時(shí),此時(shí)P（2.5,4）；
（2）OD是等腰三角形的一條腰時(shí):
①若點(diǎn)O是頂角頂點(diǎn)時(shí),P點(diǎn)就是以點(diǎn)O為圓心,以5為半徑的弧與CB的交點(diǎn)，在直角?OPC中，CP===3，則P的坐標(biāo)是(3,4)；②若D是頂角頂點(diǎn)時(shí),P點(diǎn)就是以點(diǎn)D為圓心,以5為半徑的弧與CB的交點(diǎn)，過D作DM⊥BC于點(diǎn)M，在直角?PDM中,PM==3，當(dāng)P在M的左邊時(shí)，CP=5-3=2，則P的坐標(biāo)是(2,4);當(dāng)P在M的右側(cè)時(shí)，CP=5+3=8,則P的坐標(biāo)是(8,4)；故P的坐標(biāo)為: （2.5,4）；(3,4)； (2,4)或(8,4).故答案為: （2.5,4），(3,4)，(2,4)，(8,4)
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理的運(yùn)用解答,注意正確地進(jìn)行分類，考慮到所有可能的情況是解題的關(guān)鍵.
9．【情景呈現(xiàn)】畫，并畫的平分線．
(1)把三角尺的直角頂點(diǎn)落在的任意一點(diǎn)上，使三角尺的兩條直角邊分別與的兩邊，垂直，垂足為，，（如圖1）．則．（選填：“＜”、“＞”或“＝”）
(2)把三角尺繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)（如圖2），猜想，的大小關(guān)系，并說明理由．
【理解應(yīng)用】
(3)在（2）的條件下，過點(diǎn)作直線，分別交，于點(diǎn)，，如圖3猜想，，之間的關(guān)系為______．
【拓展延伸】
(4)如圖4，畫，并畫的平分線，在上任取一點(diǎn)，作，的兩邊分別與，相交于，兩點(diǎn)，與相等嗎？請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)＝
(2)，理由見解析
(3)
(4)，理由見解析
【分析】（1）由全等三角形的判定和性質(zhì)證明PE=PF；
（2）過點(diǎn)P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足是M，N，利用條件證明△PEM≌△PFN即可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到OP=PG=PH，證明△GPE≌△OPF（ASA），△EPO≌△FPH，得到答案；
②根據(jù)勾股定理，全等三角形的性質(zhì)解答；
（4）作PG⊥OA于G，PH⊥OB于H，證明△PGE≌△PHF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論．
（1）
解：∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC，
∵PE⊥OA，
∴∠OEP=90°，
∵∠AOB=90°，∠EPF=90°
∴∠OFP=360°-∠AOB-∠PEO-∠EPF=90°，
∴∠OEP=∠OFP
又∵∠AOC=∠BOC，OP=OP
∴△OEP≌△OFP（AAS），
∴PE=PF，
故答案為：=；
（2）
解：PE=PF，理由如下：如圖2，過點(diǎn)P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足是M，N，
∵PM⊥OA，PN⊥OB，，
∴∠AOB=∠PME=∠PNF=90°，
∴∠MPN=90°，
與（1）同理可證PM=PN，
∵∠EPF=90°，
∴∠MPE=∠FPN，
在△PEM和△PFN中，
，
∴△PEM≌△PFN（ASA），
∴PE=PF；
（3）
解：GE2+FH2=EF2，理由如下：
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC=45°，
∵GH⊥OC，
∴∠OGH=∠OHG=45°，
∴OP=PG=PH，
∵∠GPO=90°，∠EPF=90°，
∴∠GPE=∠OPF，
在△GPE和△OPF中，
，
∴△GPE≌△OPF（ASA），
∴GE=OF，
同理可證明△EPO≌△FPH，
∴∴FH=OE，
在Rt△EOF中，OF2+OE2=EF2，
∴GE2+FH2=EF2，
故答案為：GE2+FH2=EF2；
（4）
解：PE=PF；理由：作PG⊥OA于G，PH⊥OB于H．
在△OPG和△OPH中，
，
∴△OPG≌△OPH，
∴PG=PH，
∵∠AOB=60°，∠PGO=∠PHO=90°，
∴∠GPH=120°，
∵∠EPF=120°，
∴∠GPH=∠EPF，
∴∠GPE=∠FPH，
在△PGE和△PHF中，
∴△PGE≌△PHF，
∴PE=PF．
【點(diǎn)睛】本題考查幾何變換綜合題，全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．
10．如圖所示，在矩形中，cm，cm，點(diǎn)P從A開始沿邊以4m/s的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從C開始沿邊以2m/s的速度運(yùn)動(dòng)，如果點(diǎn)P，Q分別從A，C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t s．
(1)當(dāng)時(shí)，求P，Q兩點(diǎn)之間的距離．
(2)當(dāng)為何值時(shí)，線段與互相平分?
(3)當(dāng)為何值時(shí)，四邊形的面積為矩形面積的．
【答案】(1)cm
(2)4s
(3)3s
【分析】（1）當(dāng)t=2秒時(shí)，表示出QC，AP的長(zhǎng)，利用勾股定理求出PQ的長(zhǎng)即可．
（2）根據(jù)線段AQ與DP互相平分，則四邊形APQDA為矩形，也就是AP=DQ，分別用含t的代數(shù)式表示，解出即可．
（3）用t表示出四邊形APQD的面積，再求出矩形面積的進(jìn)而得出即可．
【解析】（1）
解：連接PQ，過D點(diǎn)P作PE⊥DQ于點(diǎn)E，如圖所示：
∵AB=24cm，BC=10cm，點(diǎn)P從A開始沿AB邊以4cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)QA從C開始沿CD邊2cm/s的速度移動(dòng)，
∴當(dāng)t=2秒時(shí)，QC=4cm，AP=8cm，
∴DQ=24-QC=20cm，則EQ=12cm，
∴(cm)，
∴P，Q兩點(diǎn)之間的距離cm．
（2）
∵AP=4t，DQ=24-2t，
當(dāng)線段AQ與DP互相平分，則四邊形APQD為矩形時(shí)，
則AP=DQ，即4t=24-2t，
解得：t=4，
故t為4s時(shí)，線段AQ與DP互相平分．
（3）
∵P在AB上，
∴
，
，
，
解得：，
∴t為3秒時(shí)，四邊形APQD的面積為矩形面積的．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)運(yùn)動(dòng)速度得出QC以及AP的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．
11．已知：在矩形和中，，.
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在對(duì)角線上，點(diǎn)在邊上時(shí)，連接，取的中點(diǎn)，連接，，則與的數(shù)量關(guān)系是_____，_____；
（2）如圖2，將圖1中的繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，（1）中的其他條件不變．
①（1）中與的數(shù)量關(guān)系仍然成立嗎？請(qǐng)證明你的結(jié)論；
②求的度數(shù).
【答案】（1），；（2）①成立，證明見解析；②．
【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)得ME=MD，根據(jù)含有30°的直角三角形性質(zhì)∠EMC=∠EMF+∠CMF=2（∠MDE+∠MDC）=2∠BDC，由∠DBC=30°，得∠BDC=90°-30°=60°，∠EMC=2∠BDC=2×60°=120°；
（2）①分別延長(zhǎng)EM，CD交于點(diǎn)G，根據(jù)矩形性質(zhì)證△FEM≌△DGM，得ME=GM，在Rt△GEC中，MC=EG=ME；
②如圖3，分別延長(zhǎng)FE，DB交于點(diǎn)H，證△FEB≌△HEB．得FE=HE．根據(jù)EM∥HD，得∠7=∠4=30°，∠7=∠8=30°，∠EMC=180°-∠7-∠8=180°-30°-30°=120°．
【詳解】（1）如圖1，
∵∠BEF=90°，
∴∠DEF=90°，
∵點(diǎn)M是DF的中點(diǎn)，
∴ME=MD，
∵∠BCD=90°，點(diǎn)M是DF的中點(diǎn)，
∴MC=MD，
∴ME=MC；
∵M(jìn)E=MD，
∴∠MDE=∠MED，
∴∠EMF=∠MDE+∠MED=2∠MDE，
∵M(jìn)C=MD，
∴∠MDC=∠MCD，
∴∠CMF=∠MDC+∠MCD=2∠MDC，
∴∠EMC=∠EMF+∠CMF=2（∠MDE+∠MDC）=2∠BDC，
又∵∠DBC=30°，
∴∠BDC=90°-30°=60°，
∴∠EMC=2∠BDC=2×60°=120°．
故答案為：ME=MC，120．
（2）①M(fèi)E=MC仍然成立．
證明：如圖2，分別延長(zhǎng)EM，CD交于點(diǎn)G，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠DCB=90°．
∵∠BEF=90°，
∴∠FEB+∠DCB=180°．
∵點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上，
∴FE∥DC．
∴∠1=∠G．
∵M(jìn)是DF的中點(diǎn)，
∴FM=DM．
在△FEM和△DGM中，，
∴△FEM≌△DGM，
∴ME=GM，
∴在Rt△GEC中，
MC=EG=ME，
∴ME=MC．
②如圖3，分別延長(zhǎng)FE，DB交于點(diǎn)H，
∵∠4=∠5，∠4=∠6，
∴∠5=∠6．
∵點(diǎn)E在直線FH上，∠FEB=90°，
∴∠HEB=∠FEB=90°．
在△FEB和△HEB中，
∴△FEB≌△HEB．
∴FE=HE．
∵FM=MD，
∴EM是三角形FHD的中位線，
∴EM∥HD，
∴∠7=∠4=30°，
∵M(jìn)E=MC，
∴∠7=∠8=30°，
∴∠EMC=180°-∠7-∠8=180°-30°-30°=120°．
【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)及三角形中位線的性質(zhì)，綜合運(yùn)用矩形的性質(zhì)和直角三角形性質(zhì)分析問題是解題關(guān)鍵．
12．已知Rt△ABD中，邊AB=OB=1，∠ABO=90°
問題探究：
（1）以AB為邊，在Rt△ABO的右邊作正方形ABC，如圖（1），則點(diǎn)O與點(diǎn)D的距離為 ．
（2）以AB為邊，在Rt△ABO的右邊作等邊三角形ABC，如圖（2），求點(diǎn)O與點(diǎn)C的距離．
問題解決：
（3）若線段DE=1，線段DE的兩個(gè)端點(diǎn)D，E分別在射線OA、OB上滑動(dòng)，以DE為邊向外作等邊三角形DEF，如圖（3），則點(diǎn)O與點(diǎn)F的距離有沒有最大值，如果有，求出最大值，如果沒有，說明理由．
【答案】(1)、；(2)、；(3)、.
【分析】試題分析：(1)、如圖1中，連接OD，在Rt△ODC中，根據(jù)OD=計(jì)算即可．(2)、如圖2中，作CE⊥OB于E，CF⊥AB于F，連接OC．在Rt△OCE中，根據(jù)OC=計(jì)算即可．(3)、如圖3中，當(dāng)OF⊥DE時(shí)，OF的值最大，設(shè)OF交DE于H，在OH上取一點(diǎn)M，使得OM=DM，連接DM．分別求出MH、OM、FH即可解決問題．
【詳解】試題解析：(1)、如圖1中，連接OD，
∵四邊形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=AD=1，∠C=90° 在Rt△ODC中，∵∠C=90°，OC=2，CD=1，
∴OD=
(2)、如圖2中，作CE⊥OB于E，CF⊥AB于F，連接OC．
∵∠FBE=∠E=∠CFB=90°， ∴四邊形BECF是矩形， ∴BF=CF=，CF=BE=，
在Rt△OCE中，OC==．
(3)、如圖3中，當(dāng)OF⊥DE時(shí)，OF的值最大，設(shè)OF交DE于H，在OH上取一點(diǎn)M，使得OM=DM，連接DM．
∵FD=FE=DE=1，OF⊥DE， ∴DH=HE，OD=OE，∠DOH=∠DOE=22.5°， ∵OM=DM，
∴∠MOD=∠MDO=22.5°， ∴∠DMH=∠MDH=45°， ∴DH=HM=， ∴DM=OM=，
∵FH=， ∴OF=OM+MH+FH==．
∴OF的最大值為．
考點(diǎn)：四邊形綜合題．
13．已知：正方形中，，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交（或它們的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)．
當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)（如圖1），易證．
（1）當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)（如圖2），線段和之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出猜想，并加以證明．
（2）當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，線段和之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的猜想．
【答案】（1），證明見解析（2）
【分析】（1）BM+DN=MN成立，證得B、E、M三點(diǎn)共線即可得到△AEM≌△ANM，從而證得ME=MN．
（2）DN-BM=MN．證明方法與（1）類似．
【詳解】（1）BM+DN=MN成立．
證明：如圖，把△ADN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABE，則可證得E、B、M三點(diǎn)共線．
∴∠EAM=90°-∠NAM=90°-45°=45°，
又∵∠NAM=45°，
∴在△AEM與△ANM中，

∴△AEM≌△ANM（SAS），
∴ME=MN，
∵M(jìn)E=BE+BM=DN+BM，
∴DN+BM=MN；
（2）DN-BM=MN．
在線段DN上截取DQ=BM，如圖，
在△ADQ與△ABM中，
∵，
∴△ADQ≌△ABM（SAS），
∴∠DAQ=∠BAM，
∴∠QAN=∠MAN．
在△AMN和△AQN中，

∴△AMN≌△AQN（SAS），
∴MN=QN，
∴DN-BM=MN．
14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形OABC為矩形，OA在x軸正半軸上，OC在y軸正半軸上，且A（10，0）、C（0，8）
（1）如圖1，在矩形OABC的邊AB上取一點(diǎn)E，連接OE，將△AOE沿OE折疊，使點(diǎn)A恰好落在BC邊上的F處，求AE的長(zhǎng)；
（2）將矩形OABC的AB邊沿x軸負(fù)方向平移至MN（其它邊保持不變），M、N分別在邊OA、CB上且滿足CN＝OM＝OC＝MN．如圖2，P、Q分別為OM、MN上一點(diǎn)．若∠PCQ＝45°，求證：PQ＝OP+NQ；
（3）如圖3，S、G、R、H分別為OC、OM、MN、NC上一點(diǎn)，SR、HG交于點(diǎn)D．若∠SDG＝135°，HG＝4，求RS的長(zhǎng)．
【答案】（1）AE＝5；（2）見解析；（3）.
【分析】（1）設(shè)，在中，根據(jù)勾股定理列方程解出即可；
（2）作輔助線，構(gòu)建兩個(gè)三角形全等，證明和，由，得出結(jié)論；
（3）作輔助線，構(gòu)建平行四邊形和全等三角形，可得和，則，，證明和，得，設(shè)，在中，根據(jù)勾股定理列方程求出EN的長(zhǎng)，再利用勾股定理求CE，則SR與CE相等，即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）如圖1，由題意得：，，
設(shè)，則，，
在中，，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
解得：，
∴；
（2）如圖2，在PO的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E'，使，
∵，，
∴四邊形OMNC是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
②如圖3，過C作，在x軸負(fù)半軸上取一點(diǎn)E′，使，得，
且，則，
過C作交OM于F，連接FE，得，則，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
在中，，，
根據(jù)勾股定理得：，
∴，
設(shè)，則，，
則，
解得：，
∴，
根據(jù)勾股定理得：，
∴．
【點(diǎn)睛】本題是一道幾何綜合題，主要考查了三角形全等的證明以及平行四邊形的判定與性質(zhì)，還涉及勾股定理得運(yùn)用，解題的關(guān)鍵的能夠熟練地掌握三角形全等的證明方法以及平行四邊形的性質(zhì)的運(yùn)用，根據(jù)邊的等量關(guān)系在直角三角形中設(shè)未知數(shù)運(yùn)用勾股定理求邊．
15．正方形ABCD中，點(diǎn)P是邊CD上的任意一點(diǎn)，連接BP，O為BP的中點(diǎn)，作PE⊥BD．連接EO，AE，EC．于E，連接ED，AE，EC．
（1）當(dāng)∠DAE＝25°時(shí)，求∠AEC的度數(shù)；
（2）當(dāng)∠PBC＝15°時(shí)，DP＝4，求正方形的邊長(zhǎng)；
（3）當(dāng)AE＝時(shí)，求BP的長(zhǎng)．
【答案】（1）140°；（2）2；（3）2．
【分析】（1）只需要證明△DAE≌△DCE，再利用正方形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)即可求解；
（2）先證明三角形DPE是等腰直角三角形，從而求得，再利用含30度的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出，從而可以求出BD，再利用勾股定理求出正方形邊長(zhǎng)即可；
（3）利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可以得到OE＝OC，再通過利用三角形外角的性質(zhì)證明∠EOC＝90°，利用勾股定理求解即可得到答案.
【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ADE＝∠CDE＝45°，DA=DC，
又∵∠DAE＝25°，
∴∠AEB＝∠ADE+∠DAE＝45°+25°＝70°，
在△DAE和△DCE中，
，
∴△DAE≌△DCE（SAS），
∴∠DEA＝∠DEC，
∵∠DEA+∠AEB＝180°，∠DEC+∠CEB＝180°，
∴∠AEB＝∠CEB，
∴∠AEC＝2∠AEB＝2×70°＝140°；
（2）∵∠PBC＝15°，
∴∠PBD＝30°，∠BPC＝75°，
∵PE⊥BD，
∴∠BPE＝60°，
∴∠DPE＝180°﹣75°﹣60°＝45°，
∵DP＝4，∠DPE＝∠EDP＝45°，
∴DE＝EP，
∵，
∴，
∴
在Rt△EBP中，∠EBP＝30°，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴正方形的邊長(zhǎng)為；
（3）連接OC，由（1）得△DAE≌△DCE，
∴EC＝AE＝，
在Rt△EBP中，O為BP中點(diǎn)，
∴EO＝BO＝OP，
同理：OC＝OB＝OP，
∴OE＝OC，
∵∠EBP＝45°﹣∠PBC，OE＝OB，
∴∠EOP＝2（45°﹣∠PBC）＝90°﹣2∠PBC，
又∵∠POC＝2∠PBC，
∴∠EOC＝90°﹣2∠PBC+2∠PBC＝90°，
∴EO⊥OC，
在△OCE中，OC＝OE，OE⊥OC，
∴OE＝OC＝EC＝×＝，
∴BP＝2OE＝2．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等等，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.
16．在正方形ABCD中，點(diǎn)E是CD邊上任意一點(diǎn)．連接AE，過點(diǎn)B作BF⊥AE于F．交AD于H．
(1)如圖1，過點(diǎn)D作DG⊥AE于G，求證：△AFB≌△DGA；
(2)如圖2，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，連接DF，求證：FH+FE＝DF；
(3)如圖3，AB＝2，連接EH，點(diǎn)P為EH的中點(diǎn)，在點(diǎn)E從點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過程中，點(diǎn)P隨之運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)
【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得AB=AD，∠BAD=90°，再證∠BAF=∠ADG，然后由AAS證△AFB≌△DGA即可；
（2）過點(diǎn)D作DK⊥AE于K，DJ⊥BF交BF的延長(zhǎng)線于J，先證△ABH≌△DAE（ASA），得AH=DE，再證△DJH≌△DKE（AAS），得DJ=DK，JH=EK，則四邊形DKFJ是正方形，得FK=FJ=DK=DJ，則DF=FJ，進(jìn)而得出結(jié)論；
（3）取AD的中點(diǎn)Q，連接PQ，延長(zhǎng)QP交CD于R，過點(diǎn)P作PT⊥CD于T，PK⊥AD于K，設(shè)PT=b，由（2）得△ABH≌△DAE（ASA），則AH=DE，再由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得PD=PH=PE，然后由等腰三角形的性質(zhì)得DH=2DK=2b，DE=2DT，則AH=DE=2-2b，證出PK=QK，最后證點(diǎn)P在線段QR上運(yùn)動(dòng)，由等腰直角三角形的性質(zhì)得QR=DQ=，即可求解．
【詳解】（1）（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵DG⊥AE，BF⊥AE，
∴∠AFB=∠DGA=90°，
∴∠FAB+∠DAG=90°，∠DAG+∠ADG=90°，
∴∠BAF=∠ADG，
在△AFB和△DGA中，
，
∴△AFB≌△DGA（AAS）；
（2）證明：過點(diǎn)D作DK⊥AE于K，DJ⊥BF交BF的延長(zhǎng)線于J，如圖2所示：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAH=∠ADE=90°，AB=AD=CD，
∵BF⊥AE，
∴∠AFB=90°，
∵∠DAE+∠EAB=90°，∠EAB+∠ABH=90°，
∴∠DAE=∠ABH，
在△ABH和△DAE中，
，
∴△ABH≌△DAE（ASA），
∴AH=DE，
∵點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，
∴DE=EC=CD，
∴AH=DH，
∴DE=DH，
∵DJ⊥BJ，DK⊥AE，
∴∠J=∠DKE=∠KFJ=90°，
∴四邊形DKFJ是矩形，
∴∠JDK=∠ADC=90°，
∴∠JDH=∠KDE，
在△DJH和△DKE中，
，
∴△DJH≌△DKE（AAS），
∴DJ=DK，JH=EK，
∴四邊形DKFJ是正方形，
∴FK=FJ=DK=DJ，
∴DF=FJ，
∴FH+FE=FJ-HJ+FK+KE=2FJ=DF；
（3）解：如圖3，取AD的中點(diǎn)Q，連接PQ，延長(zhǎng)QP交CD于R，過點(diǎn)P作PT⊥CD于T，PK⊥AD于K，
設(shè)PT=b，
由（2）得：△ABH≌△DAE（ASA），∴AH=DE，
∵∠EDH=90°，點(diǎn)P為EH的中點(diǎn)，∴PD=EH=PH=PE，
∵PK⊥DH，PT⊥DE，
∴∠PKD=∠KDT=∠PTD=90°，
∴四邊形PTDK是矩形，
∴PT=DK=b，PK=DT，
∵PH=PD=PE，PK⊥DH，PT⊥DE，
∴DH=2DK=2b，DE=2DT，
∴AH=DE=2-2b，
∴PK=DE=1-b，QK=DQ-DK=1-b，
∴PK=QK，
∵∠PKQ=90°，
∴△PKQ是等腰直角三角形，
∴∠KQP=45°，
∴點(diǎn)P在線段QR上運(yùn)動(dòng)，△DQR是等腰直角三角形，
∴QR=DQ=，
∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)為．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握正方形的性質(zhì)和等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，證明△AFB≌△DGA和△ABH≌△DAE是解題的關(guān)鍵．

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