【答案】D
【分析】根據平行四邊形面積求出和，有兩種情況，求出的值，求出和的值，相加即可得出答案．
【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
①如圖：
由平行四邊形面積公式得：，
求出，，
在和中，由勾股定理得：，
把代入求出，
同理，即F在的延長線上(如上圖)，
∴，，
即；
②如圖：
∵，在中，由勾股定理得：，
同理，
由①知：，，
∴．
故選：D．
【點睛】此題考查了平行四邊形的性質以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握數形結合思想與分類討論思想的應用．
2．如圖，矩形ABCD中，O為AC中點，過點O的直線分別與AB、CD交于點E、F，連接BF交AC于點M，連接DE、BO．若∠COB=60°，FO=FC，則下列結論：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE=EF；④S△AOE：S△BCM=2：3．其中正確結論的個數是( )
A．4個B．3個C．2個D．1個
【答案】B
【分析】①利用線段垂直平分線的性質的逆定理可得結論；
②證△OMB≌△OEB得△EOB≌△CMB；
③先證△BEF是等邊三角形得出BF=EF，再證?DEBF得出DE=BF，所以得DE=EF；
④由②可知△BCM≌△BEO，則面積相等，△AOE和△BEO屬于等高的兩個三角形，其面積比就等于兩底的比，即S△AOE：S△BOE=AE：BE，再由直角三角形30°角所對的直角邊是斜邊的一半繼續(xù)求解即可．
【詳解】解：①∵矩形ABCD中，O為AC中點，
∴OB=OC，
∵∠COB=60°，
∴△OBC是等邊三角形，
∴OB=BC，
∵FO=FC，
∴FB垂直平分OC，故①正確；
②∵FB垂直平分OC，
∴△CMB≌△OMB，
∵OA=OC，∠FOC=∠EOA，∠DCO=∠BAO，
∴△FOC≌△EOA，
∴FO=EO，
∴OB⊥EF，
∴△FOB≌△OEB，
∴△EOB與△CMB不全等，故②錯誤；
③由△OMB≌△OEB≌△CMB
得：∠1=∠2=∠3=30°，BF=BE，
∴△BEF是等邊三角形，
∴BF=EF，
∵DF∥BE且DF=BE，
∴四邊形DEBF是平行四邊形，
∴DE=BF，
∴DE=EF，故③正確；
④在直角△BOE中∵∠3=30°，
∴BE=2OE，
∵∠OAE=∠AOE=30°，
∴AE=OE，
∴BE=2AE，
∴S△AOE：S△BOE=1：2，
又∵FM∶BM=1∶3，
∴S△BCM = S△BCF= S△BOE
∴S△AOE：S△BCM=2∶3
故④正確；
所以其中正確結論的個數為3個，
故選：B．
3．如果關于的分式方程有整數解，且關于的不等式組有且只有四個整數解，那么符合條件的所有整數的個數為( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先表示出不等式組的解集，由不等式組有且只有四個整數解，確定出a的范圍，分式方程去分母轉化為整式方程，表示出x，由x為整數確定出a的值即可．
【詳解】解：
去分母得：，即，
由分式方程有整數解，得到，即，解得：，
不等式組整理得：，即，
由不等式組有且只有四個整數解，得到，解得：，
由x為整數，且≠2，得到或，解得：，
則符合條件的所有整數a的個數為1，
故選B．
【點睛】此題考查了分式方程的解，以及一元一次不等式組的整數解，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．
4．如圖，在中，，，點E、F分別在上，將四邊形沿折疊得四邊形，恰好垂直于，若，則的值為( )
A．3B．C．D．
【答案】C
【分析】延長交于點H，根據折疊的性質、平行四邊形的性質得到，，在中，得到，，由折疊的性質得到是等腰直角三角形，據此即可求解．
【詳解】解：延長交于點H，
∵恰好垂直于，且四邊形是平行四邊形，∴也垂直于，
由折疊的性質得，，，， ∴，
∴，，
在中，，，
∴，，
∴，
由折疊的性質得，
∴，∴，
∴是等腰直角三角形，∴，
∴，
故選：C．
【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，等腰直角三角形的判定和性質，含30度角的直角三角形的性質以及勾股定理，證明是等腰直角三角形是解題的關鍵．
5．如圖，ABCD是一張長方形紙片，將AD，BC折起，使A、B兩點重合于CD邊上的P點，然后壓平得折痕EF與GH．若PE＝8cm，PG＝6cm，EG＝10cm，則長方形紙片ABCD的面積為( )
A．105.6cm2B．110.4cm2C．115.2cm2D．124.8cm2
【答案】C
【分析】根據翻折的性質及勾股定理得長方形的寬，然后由長方形的面積公式可得答案．
【詳解】解：依題意，得AE＝PE＝8cm，BG＝PG＝6cm，
∴AB＝AE+EG+GB＝24cm，
∵
∴是直角三角形
∴∠EPG＝90°，
設EG邊上的高為h
∴長方形的寬為h=6×8÷10＝4.8(cm)，
故面積為24×4.8＝115.2(cm2)．
故選：C．
【點睛】此題考查的是翻折的性質，掌握其性質是解決此題關鍵．
6．如圖，在平行四邊形ABCD中，E是BD的中點，則下列四個結論：①；②若，，則；③；④若，則與全等．其中正確結論的個數為( )
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】D
【分析】利用平行四邊形的性質、全等三角形的判定與性質、矩形的判定與性質、等腰梯形的性質逐一驗證即可．
【詳解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，E是BD的中點，
∴AD=BC，AD∥BC，AB=CD，BE=DE，
∴∠DME=∠BNE，∠MDE=∠NBE，
∴△DME≌△BNE，
∴DM=BN，
∴AD-DM=BC-BN，
即AM=CN，故①正確；
∵四邊形ABCD是平行四邊形，，
∴四邊形ABCD是矩形，如圖所示，
∵M為AD的中點，
∴AM=DM，
∵AB=CD，∠A=∠CDM=90°，
∴△BAM≌△CDM，
∴BM=CM，故②正確；
∵AD∥BC，
∴△MCN與△DCN等底等高，
∴，
∴，
即，故③正確；
∵AB=MN，AB=CD，
∴MN=CD，
∵NC∥MD，
∴四邊形MNCD是等腰梯形，
∴∠MNC=∠DCN，
∵NC=CN，
∴△MNC≌△DCN，
∴∠MCN=∠DNC，
∴∠MNC?∠MCN =∠DCN?∠DCN，
即∠MNF=∠DCF，
∵∠MFN=∠DFC，MN=CD，
∴△MFN≌△DFC，故④正確；
綜上四個結論全部正確．
故選：D．
【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質、矩形的判定與性質，全等三角形的判定與性質等知識，熟練掌握這些判定與性質是解題的關鍵．
7．當時，則代數式的值為_________．
【答案】2021
【分析】先由已知條件分母有理化得，再變形為，兩邊平方化為，然后利用整體代入的方法即可求解．
【詳解】解：
，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
故答案為：2021．
【點睛】本題考查了二次根式的化簡求值，利用整體代入的方法可簡化計算．
8．如圖，在中，，，，點E在上，，點P是邊上的一動點，連接，則的最小值是________．
【答案】
【分析】過點A作直線的對稱點F，連接交于點P，此時有最小值，最小值為的長，過點E作直線的垂線，利用含30度的直角三角形的性質以及勾股定理即可求解．
【詳解】解：過點A作直線的對稱點F，連接，連接交于點P，此時有最小值，最小值為的長，
∵點A與點F關于直線對稱，
∴，，則，
∴是等邊三角形，
∵在中，，
∴，
過點E作直線的垂線，垂足為點G，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴的最小值是．
故答案為：．
【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，等邊三角形的判定和性質，含30度的直角三角形的性質以及勾股定理，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．
9．如圖，在中，，，以為邊向外作正方形，連接，則_______．
【答案】
【分析】作出如圖的輔助線，利用等腰三角形的性質以及勾股定理求得，，證明，利用全等三角形的性質求得，，再利用勾股定理即可求解．
【詳解】解：過點C、D、E分別作直線的垂線，垂足分別為F、I、G，過點D作直線的垂線，垂足為H，如圖，
∴四邊形為矩形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵四邊形為正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，，，
∴．
故答案為：．
【點睛】本題考查了正方形的性質，矩形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．
10．已知實數、、滿足等式，則__________．
【答案】5
【分析】先根據二次根式有意義的條件得到，進而得到，再列方程組求解即可．
【詳解】由題可知，∴，
∴，
∴，∴，
①②得，，
解方程組得，∴．
故答案為5．
【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件，列方程組求解和代入求值，解題的關鍵是求出．
11．如圖，中，平分，且，為的中點，，，，則的長為_______．
【答案】
【分析】先利用勾股定理可得，再根據等腰三角形的三線合一可得，，從而可得，然后根據三角形中位線定理即可得．
【詳解】如圖，延長AD，交BC于點F，
，，，
，
平分，且，
是等腰三角形，
，且BD是AF邊上的中線，
，，
又點為的中點，是的中位線，
，故答案為：．
【點睛】本題考查了等腰三角形的三線合一、勾股定理、三角形中位線定理，通過作輔助線，構造等腰三角形是解題關鍵．
12．已知：正方形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，∠DBC的平分線BF交CD于點E，交AC于點F，OF＝1，則AB＝_______________．
【答案】2+
【分析】如圖作FH//BC交BD于點H．首先證明△OHF是等腰直角三角形，推出HF＝BH＝，求出OB即可解決問題；
【詳解】解：如圖作FH//BC交BD于點H．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，OB＝OC，∠BOC＝90°
∵FH//BC，
∴∠OHF＝∠OBC，∠OFH＝∠OCB，
∴∠OHF＝∠OFH，
∴OH＝OF＝1，FH＝，
∵BF平分∠OBC，
∴∠HBF＝∠FBC＝∠BFH，
∴BH＝FH＝，∴OB＝OC＝1+，
∴BC＝OB＝2+．
故答案為:2+．
【點睛】本題主要考查正方形的性質和勾股定理,等腰三角形判定與性質解決本題的關鍵是要熟練掌握正方形的性質和勾股定理.
13．如圖，□ABCD的頂點C在等邊的邊BF上，點E在AB的延長線上，G為DE的中點，連接CG．若，，則BG的長為______．
【答案】
【分析】根據平行四邊形的性質和等邊三角形的性質，可以得到BF和BE的長，然后證明△DCG和△EHG全等，可得DC＝EH，CG＝HG，求出BH＝3，證明△CBH是等邊三角形，即可得到CG的長，然后利用勾股定理求出BG即可．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD＝BC，CD＝AB，DC∥AB，
∵AD＝3，AB＝CF＝2，
∴CD＝2，BC＝3，
∴BF＝BC＋CF＝5，
∵△BEF是等邊三角形，G為DE的中點，
∴BF＝BE＝5，DG＝EG，
延長CG交BE于點H，連接BG，
∵DC∥AB，
∴∠CDG＝∠HEG，
在△DCG和△EHG中，，
∴△DCG≌△EHG(ASA)，
∴DC＝EH，CG＝HG，
∵CD＝2，BE＝5，
∴HE＝2，BH＝3，
∵∠CBH＝60°，BC＝BH＝3，
∴△CBH是等邊三角形，
∴CH＝BC＝3，BG⊥CH，
∴CG＝CH＝，
∴BG＝，
故答案為：．
【點睛】本題考查平行四邊形的性質、等邊三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質，勾股定理等，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．
14．已知正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN繞點A順時針旋轉，它的兩邊分別交CB，DC(或它們的延長線)于點M，N，AH⊥MN于點H．
(1)如圖①，當∠MAN繞點A旋轉到BM＝DN時，請你直接寫出AH與AB的數量關系： ；
(2)如圖②，當∠MAN繞點A旋轉到BM≠DN時，(1)中發(fā)現的AH與AB的數量關系還成立嗎？如果不成立請寫出理由，如果成立請證明；
(3)如圖③，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于點H，且MH＝2，AH＝6，求NH的長．(可利用(2)得到的結論)
【答案】(1)AB＝AH；(2)成立，證明見解析；(3)3
【分析】(1)由BM＝DN可得Rt△ABM≌Rt△ADN，從而可證∠BAM＝∠MAH＝22.5°，Rt△ABM≌Rt△AHM，即可得AB＝AH；
(2)延長CB至E，使BE＝DN，由Rt△AEB≌Rt△AND得AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，從而可證△AEM≌△ANM，根據全等三角形對應邊上的高相等即可得AB＝AH；
(3)分別沿AM，AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，分別延長BM和DN交于點C，可證四邊形ABCD是正方形，設NH＝x，在Rt△MCN中，由勾股定理列方程即可得答案．
【詳解】解：(1)∵正方形ABCD，
∴AB＝AD，∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，
在Rt△ABM和Rt△ADN中，
，
∴Rt△ABM≌Rt△ADN(SAS)，
∴∠BAM＝∠DAN，AM＝AN，
∵∠MAN＝45°，
∴∠BAM+∠DAN＝45°，
∴∠BAM＝∠DAN＝22.5°，
∵∠MAN＝45°，AM＝AN，AH⊥MN
∴∠MAH＝∠NAH＝22.5°，
∴∠BAM＝∠MAH，
在Rt△ABM和Rt△AHM中，
，
∴Rt△ABM≌Rt△AHM(AAS)，
∴AB＝AH，
故答案為：AB＝AH；
(2)AB＝AH成立，理由如下：
延長CB至E，使BE＝DN，如圖：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠D＝∠ABE＝90°，
∵BE＝DN，
∴Rt△AEB≌Rt△AND(SAS)，
∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，
∵∠MAN＝45°，
∴∠DAN+∠BAM＝45°，
∴∠EAB+∠BAM＝45°，
∴∠EAM＝45°，
∴∠EAM＝∠NAM＝45°，
又AM＝AM，
∴△AEM≌△ANM(SAS)，
∵AB，AH是△AEM和△ANM對應邊上的高，
∴AB＝AH．
(3)分別沿AM，AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，分別延長BM和DN交于點C，如圖：
∵沿AM，AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，
∴AB＝AH＝AD＝6，∠BAD＝2∠MAN＝90°，∠B＝∠AHM＝90°＝∠AHN＝∠D，
∴四邊形ABCD是矩形，
∵AB＝AD，
∴四邊形ABCD是正方形，
∴AH＝AB＝BC＝CD＝AD＝6．
由(2)可知，設NH＝x，則MC＝BC﹣BM＝BC﹣HM＝4，NC＝CD﹣DN＝CD﹣NH＝6﹣x，
在Rt△MCN中，由勾股定理，得MN2＝MC2+NC2，
∴(2+x)2＝42+(6﹣x)2，
解得x＝3，
∴NH＝3．
【點睛】本題主要考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，熟練掌握正方形的性質定理，全等三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵．
15．在平面直角坐標系xOy中，四邊形OABC為矩形，OA在x軸正半軸上，OC在y軸正半軸上，且A(10，0)、C(0，8)
(1)如圖1，在矩形OABC的邊AB上取一點E，連接OE，將△AOE沿OE折疊，使點A恰好落在BC邊上的F處，求AE的長；
(2)將矩形OABC的AB邊沿x軸負方向平移至MN(其它邊保持不變)，M、N分別在邊OA、CB上且滿足CN＝OM＝OC＝MN．如圖2，P、Q分別為OM、MN上一點．若∠PCQ＝45°，求證：PQ＝OP+NQ；
(3)如圖3，S、G、R、H分別為OC、OM、MN、NC上一點，SR、HG交于點D．若∠SDG＝135°，HG＝4，求RS的長．
【答案】(1)AE＝5；(2)見解析；(3).
【分析】(1)設，在中，根據勾股定理列方程解出即可；
(2)作輔助線，構建兩個三角形全等，證明和，由，得出結論；
(3)作輔助線，構建平行四邊形和全等三角形，可得和，則，，證明和，得，設，在中，根據勾股定理列方程求出EN的長，再利用勾股定理求CE，則SR與CE相等，即可得出結論．
【詳解】(1)如圖1，由題意得：，，
設，則，，
在中，，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
解得：，
∴；
(2)如圖2，在PO的延長線上取一點E'，使，
∵，，
∴四邊形OMNC是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
②如圖3，過C作，在x軸負半軸上取一點E′，使，得，
且，則，
過C作交OM于F，連接FE，得，則，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
在中，，，
根據勾股定理得：，
∴，
設，則，，
則，
解得：，
∴，
根據勾股定理得：，
∴．
【點睛】本題是一道幾何綜合題，主要考查了三角形全等的證明以及平行四邊形的判定與性質，還涉及勾股定理得運用，解題的關鍵的能夠熟練地掌握三角形全等的證明方法以及平行四邊形的性質的運用，根據邊的等量關系在直角三角形中設未知數運用勾股定理求邊．
16．如圖，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分線CF于點F．請你認真閱讀下面關于這個圖的探究片段，完成所提出的問題．
(1)探究1：小強看到圖(*)后，很快發(fā)現AE=EF，這需要證明AE和EF所在的兩個三角形全等，但△ABE和△ECF顯然不全等(一個是直角三角形，一個是鈍角三角形)，考慮到點E是邊BC的中點，因此可以選取AB的中點M，連接EM后嘗試著去證△AEM≌EFC就行了，隨即小強寫出了如下的證明過程：
證明：如圖1，取AB的中點M，連接EM．
∵∠AEF=90°
∴∠FEC+∠AEB=90°
又∵∠EAM+∠AEB=90°
∴∠EAM=∠FEC
∵點E，M分別為正方形的邊BC和AB的中點
∴AM=EC
又可知△BME是等腰直角三角形
∴∠AME=135°
又∵CF是正方形外角的平分線
∴∠ECF=135°
∴△AEM≌△EFC(ASA)
∴AE=EF
(2)探究2：小強繼續(xù)探索，如圖2，若把條件“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC上的任意一點”，其余條件不變，發(fā)現AE=EF仍然成立，請你證明這一結論．
(3)探究3：小強進一步還想試試，如圖3，若把條件“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC延長線上的一點”，其余條件仍不變，那么結論AE=EF是否成立呢？若成立請你完成證明過程給小強看，若不成立請你說明理由．
【答案】(2)證明見解析；(3)成立，理由見解析
【分析】(2)在AB上截取AM=EC，然后證明∠EAM=FEC，∠AME=∠ECF=135°，再利用“角邊角”證明△AEM和△EFC全等，然后根據全等三角形對應邊相等即可證明；
(3)延長BA到M，使AM=CE，然后證明∠BME=45°，從而得到∠BME=∠ECF，再利用兩直線平行，內錯角相等證明∠DAE=∠BEA，然后得到∠MAE=∠CEF，再利用“角邊角”證明△MAE和△CEF全等，根據全等三角形對應邊相等即可得證．
【詳解】解：(2)探究2，證明：在AB上截取AM=EC，連接ME，
由(1)知∠EAM=∠FEC，
∵AM=EC，AB=BC，
∴BM=BE，
∴∠BME=45°，
∴∠AME=∠ECF=135°，
∵∠AEF=90°，
∴∠FEC+∠AEB=90°，
又∵∠EAM+∠AEB=90°，
∴∠EAM=∠FEC，
在△AEM和△EFC中，
，
∴△AEM≌△EFC(ASA)，
∴AE=EF；
(3)探究3：成立，
證明：延長BA到M，使AM=CE，連接ME，
∴BM=BE，
∴∠BME=45°，
∴∠BME=∠ECF=45°，
又∵AD∥BE，
∴∠DAE=∠BEA，
又∵∠MAD=∠AEF=90°，
∴∠DAE+∠MAD=∠BEA+∠AEF，
即∠MAE=∠CEF，
在△MAE和△CEF中，
，
∴△MAE≌△CEF(ASA)，
∴AE=EF．
【點睛】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，閱讀材料，理清解題的關鍵是取AM=EC，然后構造出△AEM與△EFC全等．

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