A．B．C．D．
2．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B，C的坐標(biāo)分別為B（，），C（，）．任意一點(diǎn)A都滿足．作的內(nèi)角平分線，過點(diǎn)B作的垂線交于點(diǎn)F，已知當(dāng)點(diǎn)A在平面內(nèi)運(yùn)動時，點(diǎn)F與坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為（ ）
A．B．C．D．1
3．如圖是一張矩形紙片，點(diǎn)，分別在邊，上，， ．把該紙片沿折疊，若點(diǎn)，的對應(yīng)點(diǎn)分別為，，的延長線過點(diǎn)，則的值為（ ）
A．B．C．D．4
4．如圖，在正方形所在平面內(nèi)求一點(diǎn)，使點(diǎn)與正方形的任意兩個頂點(diǎn)構(gòu)成，，，均是等腰三角形，則滿足上述條件的所有點(diǎn)的個數(shù)為（ ）．
A．8個B．9個C．10個D．11個
5．如圖，在矩形中，，，點(diǎn)在邊上，且，為邊上的一個動點(diǎn)，連接，以為邊作正方形，且點(diǎn)在矩形內(nèi)，連接，則的最小值為( )．
A．3B．4C．D．
6．如圖，A，B，C，D四個點(diǎn)順次在直線l上，．以為底向下作等腰直角三角形，以為底向上作等腰三角形，且．連接，當(dāng)?shù)拈L度變化時，與的面積之差保持不變，則a與b需滿足（ ）
A．B．C．D．
7．如圖，正方形中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為上一點(diǎn)，且，連接交對角線于點(diǎn)G，點(diǎn)P，Q分別為的中點(diǎn)，則的長為（ ）
A．6B．C．D．
8．如圖，在四邊形紙片中，，，，．將紙片先沿對折，再將對折后的紙片沿過頂點(diǎn)A的直線裁剪，剪開后的紙片打開鋪平，其中有一個圖形是周長為的平行四邊形，則________．
9．如圖，正方形中，，E是邊的中點(diǎn)，F(xiàn)是正方形內(nèi)一動點(diǎn)，且，連接，，，并將繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)得到（點(diǎn)M，N分別為點(diǎn)E，F(xiàn)的對應(yīng)點(diǎn)）．連接，則線段長度的最小值為_____________．
10．在矩形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別在邊AB、BC、CD、DA上，，，，線段HG的長為_______．
11．如圖，在以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的中，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，以為底邊向上作等腰，使得，交于點(diǎn)，則__________．
12．在正方形中，是邊上一點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)、重合），連結(jié)．
感知：如圖①，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．求證．
探究：如圖②，取的中點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．
（1）求證：．
（2）連結(jié)，若，求的長．
應(yīng)用如圖③，取的中點(diǎn)，連結(jié)．過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連結(jié)、．若，求四邊形的面積．
13．已知：四邊形是正方形，點(diǎn)E在邊上，點(diǎn)F在邊上，且．
(1)如圖1，與有怎樣的關(guān)系，寫出你的結(jié)果，并加以證明；
(2)如圖2，對角線與交于點(diǎn)O，，分別與，交于點(diǎn)G，點(diǎn)H．
①求證：；
②連接，若，，求的長．
14．和均為等腰三角形．
(1)如圖1，當(dāng)旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接BE．若，求證：；
(2)如圖2，當(dāng)旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接BE．若，為中DE邊上的高，試猜想，，之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
(3)如圖1中的和，若在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)A，D，E不在同一直線上時，設(shè)直線與相交于點(diǎn)O，求的度數(shù)．
15．如圖1，在長方形中，，含角的直角三角板放置在長方形內(nèi)，，，頂點(diǎn)E、F、G分別在、、上．
(1)求證：；
(2)若P是斜邊的中點(diǎn)．
①如圖2，連接，請寫出線段與、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
②如圖3，連接，若，則的長等于______．
第十八章 平行四邊形壓軸題考點(diǎn)訓(xùn)練
1．如圖，在四邊形中，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連結(jié)并延長交的延長線于點(diǎn)．若，則的大小為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】連接，交于點(diǎn)F，取的中點(diǎn)E，連接，，可得是的中位線，是的中位線，利用中位線的性質(zhì)可得，，，，利用平行線的性質(zhì)得出，，由已知得出，進(jìn)而得出，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出，從而得到，進(jìn)而得出結(jié)論．
【詳解】解：如圖，連接，交于點(diǎn)F，取的中點(diǎn)E，連接，，
點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，
是的中位線，是的中位線，
，，，，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形中位線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等，解題的關(guān)鍵是正確添加輔助線，構(gòu)造三角形中位線．
2．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B，C的坐標(biāo)分別為B（，），C（，）．任意一點(diǎn)A都滿足．作的內(nèi)角平分線，過點(diǎn)B作的垂線交于點(diǎn)F，已知當(dāng)點(diǎn)A在平面內(nèi)運(yùn)動時，點(diǎn)F與坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【分析】過C作，垂足為M，交于D，證明，得出，再連接并延長，交于N，證明四邊形是個平行四邊形，利用全等三角形得出，利用斜邊中線等于斜邊一半求出即可．
【詳解】解：如圖：過C作，垂足為M，交于D，
∵平分，且是邊上的高，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
即長為定值，
連接并延長，交于N，
∵，，
∴，∴，
∵B（，），C（，），
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∴四邊形是平行四邊形，∴，
∵，
∴．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和斜邊中線的性質(zhì)及平行四邊形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是恰當(dāng)構(gòu)建全等三角形和平行四邊形，得出．
3．如圖是一張矩形紙片，點(diǎn)，分別在邊，上，， ．把該紙片沿折疊，若點(diǎn)，的對應(yīng)點(diǎn)分別為，，的延長線過點(diǎn)，則的值為（ ）
A．B．C．D．4
【答案】D
【分析】如圖，連接、，設(shè)，，推得，，，，，，然后在中利用勾股定理求出，接著在、中利用勾股定理建立等式，解之即可求出答案．
【詳解】解：如圖，連接、，
由題意知，的延長線過點(diǎn)，
四邊形是矩形，則四個角都是直角，
設(shè)，，
，，
，，，，
該矩形紙片沿折疊，
，，，，
，
在中有，
，
，解得，
在中有，
，
在中有，
，
，
又，
，解之得，
．故答案為D．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用，正確的畫出輔助線是解題的關(guān)鍵．
4．如圖，在正方形所在平面內(nèi)求一點(diǎn)，使點(diǎn)與正方形的任意兩個頂點(diǎn)構(gòu)成，，，均是等腰三角形，則滿足上述條件的所有點(diǎn)的個數(shù)為（ ）．
A．8個B．9個C．10個D．11個
【答案】B
【分析】作的中垂線，則中垂線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，分別以為圓心，正方形的邊長為半徑畫圓，每個圓與兩條中垂線各有2個交點(diǎn)，共8個交點(diǎn)，根據(jù)半徑都相等，8個交點(diǎn)的位置都滿足，，，均是等腰三角形，再加上兩條中垂線的交點(diǎn)，也滿足，，，均是等腰三角形，共有9個點(diǎn)．
【詳解】解：如圖，作的中垂線，
①分別以為圓心，正方形的邊長為半徑畫圓，每個圓與兩條中垂線各有2個交點(diǎn)，共8個交點(diǎn)，
根據(jù)中垂線的性質(zhì)以及圓內(nèi)半徑相等，8個交點(diǎn)的位置都滿足，，，均是等腰三角形；
②兩條中垂線的交點(diǎn)，也滿足，，，均是等腰三角形；
∴滿足條件的所有點(diǎn)的個數(shù)為：；
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，以及等腰三角形的判定，中垂線的性質(zhì)．熟練掌握相關(guān)性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．
5．如圖，在矩形中，，，點(diǎn)在邊上，且，為邊上的一個動點(diǎn)，連接，以為邊作正方形，且點(diǎn)在矩形內(nèi)，連接，則的最小值為( )．
A．3B．4C．D．
【答案】D
【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作，分別與、交于點(diǎn)、點(diǎn)，證明，得，，設(shè)根據(jù)勾股定理用表示，進(jìn)而求得的最小值．
【詳解】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，
四邊形是正方形，，，
，
，
四邊形是矩形，，
，
，，
設(shè)則
，當(dāng)時，有最小值為．故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是證明三角形全等，確定點(diǎn)運(yùn)動的軌跡．
6．如圖，A，B，C，D四個點(diǎn)順次在直線l上，．以為底向下作等腰直角三角形，以為底向上作等腰三角形，且．連接，當(dāng)?shù)拈L度變化時，與的面積之差保持不變，則a與b需滿足（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，，利用勾股定理可得，再利用三角形的面積公式可得與的面積之差，然后根據(jù)“當(dāng)?shù)拈L度變化時，與的面積之差保持不變”建立等式，化簡即可得．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
是等腰直角三角形，且，
，
是等腰三角形，且，
，
，
，
與的面積之差為
，
當(dāng)?shù)拈L度變化時，與的面積之差保持不變，
，
，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
7．如圖，正方形中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為上一點(diǎn)，且，連接交對角線于點(diǎn)G，點(diǎn)P，Q分別為的中點(diǎn)，則的長為（ ）
A．6B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意作出合適的輔助線，利用三角形中位線定理可以求得和的長，然后根據(jù)勾股定理即可求得的長．
【詳解】取中點(diǎn)，連接，取中點(diǎn)，連接，作交于點(diǎn)，如圖所示，
正方形的邊長為12，
∴，
∵，
∴四邊形是矩形，
∴，
∵中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，
∴， ，，
∴，
∵中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，
，，，
∵，
∵，
∴四邊形是矩形，
∴，，
∴，，
，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形中位線定理、正方形的性質(zhì)、勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
8．如圖，在四邊形紙片中，，，，．將紙片先沿對折，再將對折后的紙片沿過頂點(diǎn)A的直線裁剪，剪開后的紙片打開鋪平，其中有一個圖形是周長為的平行四邊形，則________．
【答案】
【分析】根據(jù)題意，畫出圖形，可知，所得的平行四邊形是菱形，由菱形的性質(zhì)和平行四邊形的周長，求得相關(guān)邊長，進(jìn)而可求得的長．
【詳解】如圖，當(dāng)沿從A出發(fā)的直線裁剪，四邊形是平行四邊形，
根據(jù)裁剪可知：，
∵四邊形是平行四邊形，
∴四邊形是菱形，
∵四邊形周長為，
∴，
∵，，
∴，
∵在平行四邊形中，，
∴，
∴在中，，∴，
∵，
∴，∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查，平行四邊形的性質(zhì)和菱形的判定方法與性質(zhì)以及平行四邊形的面積公式，根據(jù)題意，畫出圖形，是解題的關(guān)鍵，主要要分類討論.
9．如圖，正方形中，，E是邊的中點(diǎn)，F(xiàn)是正方形內(nèi)一動點(diǎn)，且，連接，，，并將繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)得到（點(diǎn)M，N分別為點(diǎn)E，F(xiàn)的對應(yīng)點(diǎn)）．連接，則線段長度的最小值為_____________．
【答案】
【分析】過點(diǎn)M作，垂足為P，連接，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，，根據(jù)正方形的性質(zhì)求出，證明，得到，，利用勾股定理求出，根據(jù)即可求出的最小值．
【詳解】解：過點(diǎn)M作，垂足為P，連接，
由旋轉(zhuǎn)可得：，，，
在正方形中，，E為中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，又，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵C，M位置固定，∴，即，
∴，即的最小值為，故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，兩點(diǎn)之間線段最短，知識點(diǎn)較多，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造全等三角形，求出的長，得到．
10．在矩形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別在邊AB、BC、CD、DA上，，，，線段HG的長為_______．
【答案】
【分析】設(shè)的長度為，的長度為，則的長度為，利用勾股定理和全等三角形的性質(zhì)，分別表示出長方形的四條邊的長度，利用對邊相等列出方程組，求解得到的值，即可求解．
【詳解】解：在與中，，
∴≌，
，
設(shè)的長度為，的長度為，則的長度為，
，，
，
，
，
，，
，①；，②
將①②聯(lián)立，可得，
，即線段HG的長為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用、解方程組，注意在解方程組時要靈活求解，求出即可．
11．如圖，在以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的中，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，以為底邊向上作等腰，使得，交于點(diǎn)，則__________．
【答案】7
【分析】過點(diǎn)H作于M，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得出，再根據(jù)得出，從而得到，，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出，繼而得出，然后利用即可
【詳解】解：過點(diǎn)H作于M，則
∵，，，
∴，
在，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，
∴
∴，
∵以為底邊向上作等腰，
∴
∴
∵，
∴
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴
∵
∴
∴
∴
【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，作出輔助線得出是解題的關(guān)鍵
12．在正方形中，是邊上一點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)、重合），連結(jié)．
感知：如圖①，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．求證．
探究：如圖②，取的中點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．
（1）求證：．
（2）連結(jié)，若，求的長．
應(yīng)用如圖③，取的中點(diǎn)，連結(jié)．過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連結(jié)、．若，求四邊形的面積．
【答案】感知：見解析；（1）見解析（2）2 應(yīng)用：9
【分析】感知：利用同角的余角相等判斷出，即可得出結(jié)論；
探究：（1）判斷出，同感知的方法判新出，即可得出結(jié)論；
（2）利用直角三角形的斜邊的中線是斜邊的一半，可得結(jié)論．
【詳解】（1）感知：∵四邊形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．；
探究：（1）如圖②，
過點(diǎn)作于，
∵四邊形是正方形，
∴，，
∴四邊形G是矩形，
∴，
∴，
由，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
（2）由（1）知，，
連接，
∵，點(diǎn)是的中點(diǎn)，
∴，
∴，
故答案為：2．
應(yīng)用：同探究（2）得，，
∴，
同探究（1）得，，
∵，
∴．
故答案為：9
【點(diǎn)睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，同角的余角相等，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的性質(zhì)和判定是關(guān)鍵．
13．已知：四邊形是正方形，點(diǎn)E在邊上，點(diǎn)F在邊上，且．
(1)如圖1，與有怎樣的關(guān)系，寫出你的結(jié)果，并加以證明；
(2)如圖2，對角線與交于點(diǎn)O，，分別與，交于點(diǎn)G，點(diǎn)H．
①求證：；
②連接，若，，求的長．
【答案】(1)；；理由見解析
(2)①見解析；②
【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，，由證明，得出，然后求出， 再求出，然后根據(jù)垂直的定義解答即可；
（2）①根據(jù)正方形的對角線互相垂直平分可得，，對角線平分一組對角可得，然后求出，由證明，即可得出；
②過點(diǎn)O作于M，作于N，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得：，再由證明，可得，然后證出四邊形是正方形，求出，再求出，然后利用勾股定理列式求出，再根據(jù)正方形的性質(zhì)求出即可．
【詳解】（1）解：，；理由如下：
∵四邊形是正方形，
∴，，
∵在和中 ，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）①證明：∵四邊形是正方形，
∴，，，
∴，
由（1）知，
∴，
即，
在和中，
∴，
∴．
②解：過點(diǎn)O作于M，作于N，如圖所示，
則，
又∵，
∴，
∴四邊行是矩形．
∵，
∴，
∵在和中，
∴，
∴，
∴四邊形是正方形．
∵，
∴，
∵，
∴．
在中，，
∴正方形的邊長為：
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)與判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，通過作輔助線構(gòu)造出全等三角形和以為對角線的正方形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．
14．和均為等腰三角形．
(1)如圖1，當(dāng)旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接BE．若，求證：；
(2)如圖2，當(dāng)旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接BE．若，為中DE邊上的高，試猜想，，之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
(3)如圖1中的和，若在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)A，D，E不在同一直線上時，設(shè)直線與相交于點(diǎn)O，求的度數(shù)．
【答案】(1)證明見詳解；
(2)，證明見詳解；
(3)的度數(shù)為：或；
【分析】（1）根據(jù)和均為等腰三角形，，可得和均為等邊三角形，可得，，，即可得到，即可得到，即可得到證明；
（2）根據(jù)和均為等腰三角形，可得，，，根據(jù)為中DE邊上的高，即可得到，根據(jù)三角形全等邊角邊判定可得，即可得到答案；
（3）由（1）可得和均為等邊三角形，，可得，分D在內(nèi)部與外部兩類討論，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可得到答案；
【詳解】（1）證明：∵和均為等腰三角形，，
∴和均為等邊三角形，
∴，，，
∴，
在與中，
，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下，
證明：∵和均為等腰三角形，，
∴，，，
∵為中DE邊上的高，
∴，
在與中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：由（1）可得，
和均為等邊三角形，，
∴，，
① 如圖所示當(dāng)點(diǎn)D在內(nèi)部時，
∴，∴；
② 如圖所示當(dāng)點(diǎn)D在外部時，
∴，
∴，
∴；
綜上所述的度數(shù)為：或．
【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得到，及分類討論第（3）問．
15．如圖1，在長方形中，，含角的直角三角板放置在長方形內(nèi)，，，頂點(diǎn)E、F、G分別在、、上．
(1)求證：；
(2)若P是斜邊的中點(diǎn)．
①如圖2，連接，請寫出線段與、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
②如圖3，連接，若，則的長等于______．
【答案】(1)見解析
(2)①，理由見解析；②3
【分析】（1）利用余角的性質(zhì)得到，利用即可證明；
（2）①根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得到，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)（1）中全等得到，利用勾股定理得到，等量代換即可得到結(jié)果；②連接，，證明，得到，角的性質(zhì)得到，判斷出是等腰直角三角形，結(jié)合勾股定理即可求出．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）①，理由是：
∵P是斜邊的中點(diǎn)，
∴，
∴在等腰直角三角形中，
，即，
∵，
∴，
∵在中，，
∴，
∴；
②連接，，
∵是等腰直角三角形，P是中點(diǎn)，
∴，即，，
∵，
∴，
在長方形中，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，余角的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，知識點(diǎn)較多，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用全等三角形得到邊的結(jié)論以及角的結(jié)論．

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